la normal Teoria de probabilidades

Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1

Capítulo 6

La Distribución Normal

Estadística para Administración4a Edición


Objetivos de Aprendizaje

En este capítulo, usted aprenderá: A calcular probabilidades de la distribución

normal A interpretar los gráficos de probabilidad normal

para determinar si un grupo de datos se distribuye aproximadamente normal


Distribuciones de Probabilidad


continua

Binomial

Poisson

Distribuciones de Probablidad

Distribuciones de probabilidad

discreta

Normal

C. 5 C. 6

Exponencial


Distribuciones de Probabilidad Continua

Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo (puede tomar un número incontable de valores), por ejemplo: Espesor de un elemento Tiempo requerido para completar una tarea Temperatura de una solución Altura, medida en centímetros

Estas variables pueden tomar cualquier valor, dependiendo solo de la habilidad de medir exactamente.




Normal

Distribuciones de probabilidad

continuas



‘Forma Acampanada’ Simétrica Media, Mediana y Moda

son Iguales

La ubicación se determina por la media, μ

El ancho se determina por la desviación estándar, σ

La variable aleatoria tiene un rango teórico infinito: - a +

Media = Mediana = Moda

X

f(X)

μ

σ


Variando los parámetros μ y σ, podemos obtener diferentes distribuciones de probabilidad Normal

Familias de Distribución Normal


Forma de la Distribución Normal

X

f(X)

μ

σ

Variando μ cambia la distribución a la izquierda o a la derecha.

Variando σ se amplía o se angosta el ancho.


Función de Densidad de Probabilidad de la Normal

La fórmula de la función de densidad para la distribución Normal es:

Donde e = la constante matemática 2.71828

π = la constante matemática 3.14159

μ = la media poblacional

σ = la desviación estándar poblacional

X = cualquier valor de la variable aleatoria continua

2μ)/σ](1/2)[(Xe2π

1f(X)


La Normal Estándar

Cualquier distribución normal (con cualquier combinación de media y desviación estándar) puede ser transformada en una distribución normal estándar (Z)

Para ello se necesita transformar las unidades de X en unidades de Z


Transformación a la Distribución Normal Estándar

Para Transformar X a la normal estándar (la distribución “Z”) se resta la media de X y se divide por su desviación estándar:

σ

μXZ

La distribución Z siempre tendrá media = 0 y desviación estándar = 1


La función de densidad de probabilidad de la Normal estándar

La fórmula para la función de densidad de probabilidad de la normal estándar es:

Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828

π = la constante matemática aproximada por 3.14159

Z = cualquier valor de la distribución normal estándar

2(1/2)Ze2π

1f(Z)


La Distribución Normal Estándar

También conocida como distribución “Z” Su media es 0 Su desviación estándar es 1

Z

f(Z)

0

1

Por encima de la media los valores de Z son positivos. Por debajo de la media los valores de Z son negativos.


Ejemplo

Si X está distribuida normalmente con media 100 y desviación estándar 50, el valor de Z para X = 200 es

Esto significa que X = 200 está a 2 desviaciones estándar por encima de la media 100 (2 incrementos de 50 unidades).

2.050

100200

σ

μXZ


Comparación de las unidades de X y Z

Z100

2.00200 X

Note que la distribución es la misma, solo la escala ha cambiado. Se puede expresar el problema en las unidades originales (X) o en unidades estandarizadas de (Z)

(μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)


Probabilidades de la Normal

Probability is the area under thecurve!

a b X

f(X) P a X b( )≤

La Probabilidad es medida por el área bajo la curva

≤

P a X b( )<<=(Note que la probabilidad de cualquier valor individual es cero


f(X)

Xμ

Probabilidades como áreas bajo la curva

0.50.5

El area total bajo la curva es 1.0, y por ser simétrica, la mitad está por encima de la media y la otra mitad por debajo.

1.0)XP(

0.5)XP(μ 0.5μ)XP(


Regla empírica

μ ± 1σ contiene alrededor del 68% de los datos

f(X)

Xμ μ+1σμ-1σ

¿Qué se puede decir acerca de la distribución de los valores alrededor de la media? Hay algunas reglas generales:

σσ

68.26%


La regla empírica

μ ± 2σ contiene el 95% de las X’s

μ ± 3σ contiene el 99.7% de las X’s

xμ

2σ 2σ

xμ

3σ 3σ

95.44% 99.73%


La tabla de la Normal Estándar

La tabla de la Normal estándar acumulada en el texto guía (Tabla apéndice E.2) da la probabilidad de los menores que para un valor deseado de Z (es decir, desde menos infinito hasta Z)

Z0 2.00

0.9772Ejemplo:

P(Z < 2.00) = 0.9772


La tabla Normal Estándar

El valor dentro de la tabla da la probabilidad de Z = hasta el valor deseado de Z

.9772

2.0P(Z < 2.00) = 0.9772

La fila da el valor de Z con su primer punto decimal

La columna da el valor del segundo punto decimal para Z

2.0

.

.

.

Z 0.00 0.01 0.02 …

0.0

0.1


Procedimiento general para encontrar probabilidades

Dibuje la curva normal para el problema en términos de X

Transforme los valores de X a valores de Z

Use la tabla de la Normal Estándar

Para encontrar P(a < X < b) donde X está distribuida normalmente:


Ejemplo

Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0

Encuentre P(X < 8.6)

X

8.6

8.0


Entonces:

Z0.12 0X8.6 8

μ = 8 σ = 10

μ = 0σ = 1

Ejemplo

0.125.0

8.08.6

σ

μXZ

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)


Z

0.12

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Ejemplo

.5478.02

0.1 .5478

Una porción de la tabla Normal Estándar

0.00

= P(Z < 0.12)P(X < 8.6)


Cálculo de probabilidades de cola superior

Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.

Encuentre P(X > 8.6)

X

8.6

8.0


P(X > 8.6)…

Z

0.12

0Z

0.12

0.5478

0

1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522

P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

= 1.0 - 0.5478 = 0.4522

Probabilidades cola superior


Probabilidades entre dos valores

Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. Encuentre P(8 < X < 8.6)

P(8 < X < 8.6)

= P(0 < Z < 0.12)

Z0.12 0

X8.6 8

05

88

σ

μXZ

0.125

88.6

σ

μXZ

Calcule los valores Z:


Z

0.12

Probabilidades entre 2 valores

0.0478

0.00

= P(0 < Z < 0.12)P(8 < X < 8.6)

= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)= 0.5478 - .5000 = 0.0478

0.5000

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

.02

0.1 .5478

Porción de la Tabla Normal Estándar


Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.

Encuentre P(7.4 < X < 8)

X

7.48.0

Probabilidades de cola inferior


Probabilidades de cola inferior

P(7.4 < X < 8)…

X7.4 8.0

P(7.4 < X < 8)

= P(-0.12 < Z < 0)

= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)

= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478

0.0478

0.4522

Z-0.12 0

La Normal es simétrica, luego la probabilidad es la misma que para P(0 < Z < 0.12)


Pasos para encontrar el valor de X para una probabilidad conocida:1. Encuentre el valor de Z para la probabilidad conocida

2. Convierta a unidades de X usando la fórmula:

Cálculo del valor de X para una probabilidad conocida

ZσμX


Ejemplo

Si X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.

Encuentre el valor de X tal que solo el 20% de todos los valores estan por debajo de él

X? 8.0

0.2000

Z? 0


Ejemplo - continuación

El 20% es el área en la cola inferior que le corresponde un valor de Z de -0.84Z .03

-0.9 .1762 .1736

.2033

-0.7 .2327 .2296

.04

-0.8 .2005

Porción de la tabla Normal Estándar

.05

.1711

.1977

.2266

…

…

…

…X? 8.0

0.2000

Z-0.84 0

1. Encuentre el valor Z para la probabilidad conocida


2. Convierta a unidades de X usando la fórmula:

Ejemplo - continuación

80.3

0.5)84.0(0.8

ZσμX

Luego el 20% de los valores de la distribución con media 8.0 y desviación estándar 5.0 son menores que 3.80

X3.80 8.0

0.2000

Z-0.84 0


Evaluación de Normalidad

No todas las variables aleatorias continuas se distribuyen normal

Por lo cual es importante evaluar para un grupo de datos que tanto se aproximan a una distribución normal


Evaluación de Normalidad

Construya gráficas o diagramas Para tamaños pequeños o moderados de grupos de

datos, haga diagramas de tallos y hojas o construya gráficas de caja y bigotes y mire si muestran simetría

Para tamaños grandes de grupos de datos, haga histogramas de frecuencias y observe si lucen con forma acampanada

Calcule medidas descriptivas resumidas La media, mediana y moda tienen valores similares? El rango intercuartil es aproximadamente 1.33 σ? El rango de los datos es aproximadamente 6 σ?


Evaluando Normalidad en datos

Observe la distribución de los datos Aproximadamente 2/3 de los datos “caen” dentro

del intervalo de? Aproximadamente el 80% de los datos “caen”

dentro del intervalo de? Aproximadamente el 95% de los datos “caen”

dentro del intervalo de? Evalúe un gráfico de probabilidad normal

Luce el gráfico aproximadamente como una línea recta con pendiente positiva?

1

28.1

2


Gráfico de Probabilidad Normal

Gráfico de probabilidad normal Organice los datos en un arreglo ordenado

Encuentre sus valores correspondientes a los

cuantiles de la normal estándar

Grafique los pares de puntos en el eje de

coordenadas así: el valor observado en el eje vertical

y el cuantil de la normal estándar correspondiente en

el eje horizontal

Evalúe si el gráfico presenta evidencia de linealidad


Un gráfico de probabilidad normal para unos datos que provienen de una distribución normal debería ser approximadamente una línea recta:

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

Gráfico de probabilidad normal


Gráficos de probabilidad normal

Sesgada a la izq. Sesgada a la der.

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

Gráficos que no sean aproximadamente una línea recta, indican desviaciones de la distribución normal


Resumen del capítulo

Se presentó la distribución normal como una distribución

importante dentro de las distribuciones de variables

aleatorias continuas

Se mostró como encontrar probabilidades para

distribuciones normales usando fórmulas y tablas

Se examinó como reconocer cuando una distribución es

aproximadamente normal

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