TEORIADASPROBABILIDADES Ateoriadasprobabilidadesbuscaestimaraschancesdeocorrerumdeterminadoacontecimento.Éumramodamatemáticaquecria,elaboraepesquisamodelosparaestudarexperimentosoufenômenosaleatórios.

• Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições. • Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicamos o espaço amostral por Ω. • Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.

2. Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos • Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. • Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio. Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Portanto A = Ω , logo o evento é certo.

Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = ∅ Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível

Evento C: Ocorrência de um número par. C = {2, 4, 6} Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. D = {3, 6} Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3. E = C ∪ D ⇒ E = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} ⇒ E = {2, 3, 4, 6} União de eventos

Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3. F = C ∩ D ⇒ F = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} ⇒ F = {6} Interseção de eventos

Evento H: Ocorrência de número ímpar H = {1, 3, 5}

Obs.: C e H são chamados eventos complementares. Observe que C ∩ H = ∅. Quando a interseção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADEDEOCORRERUMEVENTO

)()()(

de elementos de númeroA de elementos de número)(

Ω=⇒

Ω=

nAnAPAP

Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: Ω = {cara, coroa} ⇒ n(Ω) = 2 Evento A: A = {cara} ⇒ n(A) = 1

Como )()()(BnAnAP = , temos

21)( =AP ou 0,50 = 50%

Ex.:2Nolançamentodeumdadoperfeito,qualéaprobabilidadedesairnúmeromaiordoque4? Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6 Evento A: A = {5, 6} ⇒ n(A) = 2

31)(

62)(

)()()( =⇒=⇒

Ω= APAPnAnAP ou 0,33 = 33%

Ex.: 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) pelo menos 2 caras? b) Exatamente 2 caras ?

C = cara K = coroa Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} ⇒ n(Ω) = 8

a) A = {CCC, CCK, CKC, KCC} ⇒ n(A) = 4

%5021

84)( ===AP

b) B = {CCK, CKC, KCC} ⇒ n(B) = 3

%5,37375,083)( ===BP

Ex.: 4 Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a) ímpar b) par? C) múltiplo de 6? D) múltiplo de 4? E) maior que 780?

Ω = {789, 798, 879, 897, 978, 987} ⇒ n(Ω) = 6 a) EventoA:serímpar⇒A={789,879,897,987}⇒n(A)=4

%6666,032

64)( ====AP

b) EventoB:serpar⇒B={798,978}⇒n(B)=2 %3333,0

31

62)( ====BP

c) EventoC:sermúltiplode6⇒C={798,978}

%3333,062)( ===CP

d) EventoD:sermúltiplode4⇒D=∅⇒n(D)=0

%0060

)()()( ===

Ω=nDnDP

e) Evento E: ser maior que 780 ⇒ E = Ω ⇒ n(E) = 6

%100166

)()()( ===

Ω=nEnEP

Ex.: 5: Consideremos todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?

___ ___ ___ ___ 360!2!2.3.4.5.6

!2!6

)!46(!6)( 4,6 ===−

==Ω An

3 ___ ___ 7 12!2!2.3.4

)!24(!4)( 2,4 ==−

== AAn

%33,3033,0301

36012

)()()( =≅==

Ω=nAnAP

Ex. 6: Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música,esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte eleitura; 6 gostam somentedemúsica; 9 gostam somentede esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE aprobabilidadedeescolher,aoacaso,umdessesjovens:

a) elegostardemúsica;b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades.

N(Ω) = 75 gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44 não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11

a) a probabilidade de gostar de música: %587544

)()()( ≅=

Ω=nAnAP

b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: %147511

)()()( ≅=

Ω=nBnBP

M

L

E 6

8

16 6 14

5

9

11

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS ConsideremosdoiseventosAeBdeummesmoespaçoamostralΩ.Dateoriadosconjuntossabemosque:

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ Dividindoosmembrosdaequaçãoporn(Ω),temos:

)()(

)()(

)()(

)()(

Ω

∩−

Ω+

Ω=

Ω

∪

nBAn

nBn

nAn

nBAn ⇒ )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Exemplo1:Nolançamentodeumdado,qualéaprobabilidadedeseobteronúmero3ouumnúmeroímpar?Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6 Evento A: número 3 ⇒ A = {3} ⇒ n(A) = 1 Evento B: número ímpar ⇒ b = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3 A ∩ B = {3} ∩ {1, 3, 5} = {3} n(A ∩ B) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =

61

63

61

−+ ⇒ P(A ∪ B) = 63

P(A ∪ B) = 21 ou 50%

Exemplo 2: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?

N(Ω) = 52 Evento A: a carta é vermelha ⇒ n(A) = 26 Evento B: a carta é ás ⇒ n(B) = 4 n(A ∩ B) = 2

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

522

524

5226)( −+=∪ BAP ⇒

5228)( =∪ BAP

%8,53137)( ≅=∪ BAP

PROBABILIDADEDOEVENTOCOMPLEMENTAR

A probabilidade de não ocorrer o evento A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A, representado por A .

Nessas condições, temos =∩Ω=∪ AAAA e ∅. Logo, )()( AAPP ∪=Ω .

Então, )()(1 APAP += ⇒ )(1)( APAP −=

Exemplo 1: No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5.

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.⇒n(Ω)=36.

Seja A o evento “sair soma 5”. Então: A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒ n(A) = 4

91

364

)()()( ==

Ω=nAnAP

98)(

911)()(1)( =⇒−=⇒−= APAPAPAP

Exemplo2:Umamáquinaproduziu50parafusosdosquais5eramdefeituosos.Aopegaraoacaso3parafusos,qualéaprobabilidadedeque:

a) Os três sejam perfeitos? b) Os três sejam defeituosos? c) Pelo menos um seja defeituoso?

N(Ω) = nº de combinações de 50 elementos tomados 3 a 3.

N(Ω) = 600.19!47.6!47.48.49.50

!47!.3!50

)!350(!3!50

3,50 ===−

=C

a) evento A: os três parafusos são perfeitos

14190!42.6!42.43.44.45

)!345(!3!45)( 3,45 ==−

==CAn

72,4%ou 72398,01960014190

)()()( ≅=

Ω=nAnAP

b) evento B: os três parafusos são defeituosos

10!2!.3!3.4.5

)!35(!3!5)( 3,5 ==−

==CBn

0,005%ou 00005,019600

10)()()( ≅=

Ω=nBnAP

c) evento C: pelo menos um é defeituoso, o que corresponde ao complementar de A (os três são perfeitos). Logo:

27,6% ou 27602,0)(72398,01)(

)(1)()()(

≅=

−=

−=

=

CPCP

APCPAPCP

PROBABILIDADES CALCULADAS Evento Probabilidade Leitura ou interpretação (como se lê) A

)()()(

Ω=nAnAp Probabilidade de ocorrer o evento A

A )(1 Ap− Probabilidade de não ocorrer o evento A

BA∪ )()()( BApBpAp ∩−+ Probabilidade de ocorrer A ou B

BA∩ )( BAp ∪ Probabilidade de não ocorrer A e não ocorrer B Probabilidade de nem A, nem B

BA∪ )( BAp ∩ Probabilidade de não ocorrer A ou não ocorrer B Probabilidade de não A ou não B

BA∩ Error! Objects cannot be created from editing

field codes.

Probabilidade de ocorrer A, mas não ocorrer B Probabilidade de A, mas não B Probabilidade de um, mas não o outro

EXERCÍCIOS 01) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:

a) Um número par? b) Um número primo? c) O número 3? d) Um número menor do que 3? e) Um número menor do que 1? f) Um número menor do que 7?

02) Num caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: a) Uma bola vermelha? b) Uma bola branca?

03) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. Dobre-os igualmente, de modo que qualquer um deles tenha a mesma “chance” de ser retirado de uma caixa. Qual é a probabilidade de que o número retirado seja:

a) Par? b) Divisível por 3? c) Um número primo? d) Maior do que 8? e) Menor do que 10? f) Um número entre 5 e 10? g) Múltiplo de 4?

04) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual é a probabilidade de que:

a) A soma seja 7? b) A soma seja par? c) A soma seja um número primo? d) A soma seja maior do que 1 e menor do que 8? e) Ambos os números sejam pares? f) Ambos os números sejam iguais? g) O primeiro número seja múltiplo do segundo?

DADO BRANCO D V A E D R O M E L H

(1 , 1)

(1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)

(2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 , 5) (2 , 6)

(3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)

(4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)

(5 , 1) (5 , 2) (5 , 3) (5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)

O (6 , 1) (6 , 2) (6 , 3) (6 , 4) (6 , 5) (6 , 6)

05) No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que: a) Em ambas ocorra “cara”? b) Em uma ocorra “cara” e na outra “coroa”? c) Não ocorra nenhuma “cara”? d) Ocorra exatamente uma “coroa”.

06) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagrama de árvore para mostrar todos os possíveis arranjos de meninos e meninas. Qual é a probabilidade de que:

a) Duas crianças sejam meninos e a outra, menina? b) Todas as crianças sejam meninas? c) Pelo menos uma criança seja menino? d) Todas as crianças sejam do mesmo sexo? e) Nenhuma criança seja menina?

07) Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, sendo que metade dos homens e metade das mulheres têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem ou tenha cabelos castanhos?

08) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter “cara” ou um 6?

09) Numa equipe foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:

a) Somente ônibus? b) Somente carro? c) Carro e ônibus, mas não moto? d) Nenhum dos três veículos? e) Apenas um desses veículos?

10) Suponhamos que A e B sejam eventos de um mesmo espaço amostral e que 4,0)( =Ap , 3,0)( =Bp e

1,0)( =∩ BAp . Determine a probabilidade de cada um dos eventos:

a) BA∪ e) BA∩

b) BA∪ f) A mas não B c) A g) B mas não A d) B h) nem A nem B

11) Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja:

a) Par? b) Primo? c) Par e primo? d) Par ou primo? e) Nem par nem primo? f) Par mas não primo? g) Primo mas não par?

12) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o 6 ?

13) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta retirada ser: a) Copas? b) Dama? c) Copas e dama (dama de copas)? d) Copa ou dama ? e) Não copas? f) Não dama? g) Nem copas nem dama?

CENTRO DE ENSINO MÉDIO 03 DO GAMA

MATEMÁTICA - PROF.: Ronaldo Luiz - 3º ANO PROBABILIDADE – Apostila II (Teoria e Exercícios)

ALUNO(A): ____________________________________________ TURMA:______ PROBABILIDADECONDICIONAL

AprobabilidadecondicionaldeumeventoAocorrer,játendoocorridoBédadapor )/( BAp eécalculadapor:

)()()/(

BpBApBAp ∩

= ou )()./()( BpBApBAp =∩

Ex.:1Aoretirarumacartadeumbaralhode52cartas,qualéaprobabilidadedesairum“ásvermelho”sabendoqueelaéde“copas”?

Resolução: )(Ωn =52 eventoA:sair“ásvermelho” eventoB:sair“copas” Oqueoproblemapedeé )/( BAp ,ouseja,aprobabilidadedesair“ásvermelho”tendosaído“copas”.

eventoA:{ ásdecopas,ásdeouros } eventoB:{ cartasdecopas } BA∩ ={ ásdecopas }⇒ 1)( =∩ BAn

Logo,521)( =∩ BAp e

5213)( =Bp .Portanto:

131

5213521

)()()/( ==

∩=

BpBApBAp

Ex.:2 Umafamíliaplanejouter3crianças.Qualéaprobabilidadedequea família tenha3homens, jáqueaprimeiracriançaquenasceuéhomem?Resolução:Nestecaso,chamandoM:mulhereH:homem,temos:

{ } 8)(,,,,,,, =Ω⇒=Ω nMHMHMHMHHMMHMMMHMMHHMHHH

eventoA:afamíliatem3homens⇒ { }HHHA =

eventoB:aprimeiracriançaéhomem⇒ { }HMMHMHHHMHHHB ,,,=

{ }HHHBA =∩ ;81)( =∩ BAp ;

21

84)( ==Bp

41

2181

)()()/( ==

∩=

BpBApBAp

EVENTOSINDEPENDENTES

DoiseventosAeB deumespaçoamostralΩ (com 0)( ≠Ap e 0)( ≠Bp ) são independentes see somente se

)()/( ApBAp = ,oudemodoequivalente: )().()( BpApBAp =∩

Comisso,podemosafirmarquedoiseventosAeBsãodependentesquando )().()( BpApBAp ≠∩ .Ex.:1 Umamoedaperfeitaé lançadaduasvezes.ConsiderandooseventosA: sair carana1ª jogada e B: sair carana2ª jogada,

demonstrequeoseventosAeBsãoindependentes. Resolução:

{ }KKKCCKCC ,,,=Ω

{ }21

42)(, ==⇒= ApCKCCA

{ }21

42)(, ==⇒= BpKCCCB

{ }41)( =∩⇒=∩ BApCCBA

Como21.

21

41= ,então )().()( BpApBAp =∩

Logo,AeBsãoindependentes.Ex.:2Consideremosumacriadecachorroscom3filhotes.SejamoseventosA:obtençãodepelomenosdoismachoseB:obtenção

depelomenosumdecadasexo.OseventosAeBsãoindependentes?Porquê? Resolução: m:macho;f:fêmea

{ }fffffmfmfmfffmmmfmmmfmmm ,,,,,,,=Ω

{ }21)(,,, =⇒= ApfmmmfmmmfmmmA

{ }43)(,,,,, =⇒= BpffmfmfmfffmmmfmmmfB

{ }83)(,, =∩⇒=∩ BApfmmmfmmmfBA

Vemosque43.

21

83=

Como )().()( BpApBAp =∩ ,temosqueAeBsãoindependentes.

EXERCÍCIOS

01) SeAeBsãoeventoscom53)( =Ap ,

21)( =Bp e

103)( =∩ BAp ,determineaprobabilidadede:

a) A dado B Resp.: 53 c) A dado BA∪ Resp.:

43

b) B dado A Resp.: 21 d) BA∪ dado A Resp.: 1

02) Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade de se obter o 4 no primeiro dado, se a soma dos resultados é 9 ? Resp.: 41

03) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte maneira: Professor Advogado Dentista

Homens 60 80 50 Mulheres 90 40 30

Definindo que H: homem; M: mulher; P: professor; A: advogado; D: dentista; escreva em palavras o que significa cada uma das expressões, supondo que cada pessoa tenha uma única profissão e calcule os valores de cada item.

a) )/( HAp Resp.: 198 b) )/( MPp Resp.:

169

c) )/( HDp Resp.: 195 d) )/( HDp

04) Uma família planeja ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha exatamente 2 meninas, dado que a primeira criança que nasceu é menina ? Resp.:

21

05) Uma moeda é lançada três vezes. Determine a probabilidade de se obter: a) 3 caras. Resp.:

81

b) 3 caras, dado que a primeira foi cara. Resp.: 41

c) exatamente 2 caras. Resp.:83

d) 2 caras, dado que a primeira foi coroa. Resp.: 41

e) cara no 2º lançamento, dado que 2 coroas e 1 cara foram obtidas. Resp.: 31

f) cara no 2º lançamento, dado que 3 caras foram obtidas. Resp.: 1 g) cara no 2º lançamento, dado que pelo menos 1 cara foi obtida. Resp.:

74

06) Para ter acesso às informações de sua conta bancária, um usuário utiliza um terminal de computador, no qual ele deverá digitar seu código secreto, formado por quatro dígitos, numa determinada ordem. O usuário não se lembra exatamente do código secreto, mas lembra que o código não tem dígitos repetidos, os dígitos estão em ordem crescente e o número formado pelos dígitos é maior que 4000. a) Qual é a probabilidade de ele digitar o código corretamente na 1ª tentativa ? Resp.:

151

b) Tendo errado em duas tentativas, qual é a probabilidade de ele acertar o código na terceira tentativa ? Resp.: 151

07) (Fuvest-SP) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades

iguais). Com relação a esse experimento considere os seguintes eventos: I) Oresultadodolançamentoépar.II) O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4. III) O resultado é múltiplo de 3.

a) I e II são eventos independentes ? Resp.: Sim b) II e III são eventos independentes ? Resp.: Não

08) Se A e B são eventos independentes com 2,0)( =Ap e 4,0)( =Bp , determine:

a) )( BAp ∩ Resp.: 0,08 b) )( BAp ∪ Resp.: 0,52

09) Se A e B são eventos independentes com 5,0)( =Ap e 3,0)( =∩ BAp , determine )(Bp . Resp.: 0,6 10) Se 3,0)( =Ap , 2,0)( =Bp e 4,0)( =∪ BAp , determine )/( BAp . A e B são independentes ? Resp.:

21)/( =BAp / Não

11) Consideremos uma família com 3 crianças e os eventos A: a família tem no máximo 1 menino; B: a família tem crianças de ambos

os sexos. Os eventos A e B são independentes ? Resp.: Sim 12) No jogo da Quina, mantida pela Caixa Econômica Federal, são sorteadas cinco dezenas

de um total de 80. O apostador deve marcar um mínimo de 5 e um máximo de 8 dezenas em um volante. O valor da aposta varia de acordo com o número de dezenas marcadas, segundo a tabela ao lado: Carlos encontrou 4 reais no bolso e decidiu apostar na sorte. Diante da porta da lotérica, olhando a tabela de preços, veio-lhe a dúvida: o que seria preferível ? Opção 1: gastar 4 reais fazendo um volante com 8 dezenas marcadas. Opção 2: gastar 4 reais fazendo dois volantes com 7 dezenas marcadas. Opção 3: gastar 4 reais fazendo quatro volantes com 6 dezenas marcadas. Opção 4: gastar 4 reais fazendo oito volantes com 5 dezenas marcadas. Ajude Carlos a tomar a decisão correta.

Aposta (dezenas) Preço (R$) 5 0,50 6 1,00 7 2,00 8 4,00

Resp.: A melhor escolha é a opção 1.

13) (PUC-SP) Um jogo de crianças consiste em lançar uma caixa de fósforos sobre uma mesa. Ganha quem conseguir fazer com que a caixa fique apoiada sobre sua menor face. Suponha que a probabilidade de uma face ficar apoiada sobre a mesa é proporcional à sua área e que a constante de proporcionalidade é a mesma para cada face. Se as dimensões da caixa são 2 cm, 4 cm e 8 cm, qual é a probabilidade de a caixa ficar apoiada sobre sua face menor ? Resp.:

71

14) (Fuvest-SP)

a) Umaurnacontémtrêsbolaspretasecincobolasbrancas.Quantasbolasazuisdevemsercolocadasnessaurnademodoque,

retirando-seumabolaaoacaso,aprobabilidadedeelaserazulsejaiguala32 ? Resp.:16

b) Considereagoraumaoutraurnaquecontémumabolapreta,quatrobolasbrancasexbolasazuis.Umabolaéretiradaaoacasodessaurna,asuacoréobservadaeabolaédevolvidaàurna.Emseguida,retira-senovamente,aoacaso,umabola

dessaurna.Paraquevaloresdexaprobabilidadedequeasduasbolassejamdamesmacorvale21 ? Resp.:1ou9

15) (PUC-SP) Em uma caixa há quatro bolas vermelhas e sete bolas azuis, todas elas do mesmo tamanho. Um experimento consiste em

retirar uma bola e, sem devolvê-la para a caixa, retirar uma segunda bola. Se a primeira bola retirada for azul, a probabilidade de que a segunda retirada seja vermelha é igual a:

a) 20% b)30% c)40%d)50% e)60% Resp.:c 16) (PUC-SP) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de três representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da

comissão ?

a) 101 b)

121 c)

245 d)

31 e)

83 Resp.:a

17) Em uma classe de 25 alunos há dois irmãos gêmeos. Três alunos são sorteados ao acaso para apresentar um trabalho. Qual é a

probabilidade de que os gêmeos estejam entre os escolhidos ? Resp.: 1%

18) (U.F. Juiz de Fora – MG) Um programa de apoio a uma comunidade conta com 7 assistentes sociais, 6 enfermeiros e 4 médicos. a) Quantosgruposdistintosde7profissionaispodemserformadossedevemparticipardecadaumdessesgrupos3assistentes

sociais,2enfermeirose2médicos? Resp.:3150b) Qualaprobabilidadedeseescolher,aoacaso,umgrupode3assistentessociaisconstituídosdeduasmulhereseum

homem,sedos7assistentessociais,3sãohomense4sãomulheres? Resp.:3518

19) Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara é três vezes mais provável que obter coroa. Qual é a probabilidade de se

conseguir cara em um único lançamento dessa moeda ? Resp.: 43

20) Duas cartas, de um baralho de 52 cartas, são extraídas sucessivamente. Qual é a probabilidade de saírem duas cartas de um mesmo

naipe, se a extração é feita:

a) Semreposição? Resp.:174

b) Comreposição? Resp.:41

PROBABILIDADE - Apostila (Teoria e Exercícios) TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Para se calcular a probabilidade de ocorrer a intersecção dos eventos A e B (ocorrência simultânea de A e B), que é )( BAP ∩ , é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles C pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu ))/(( BAP , conforme visto em probabilidade condicional. Exemplos: 01) Em um cesto de roupas há dez meias, das quais três estão rasgadas. Retirando-se uma meia do

cesto duas vezes e sem reposição, qual é a probabilidade de que as duas meias retiradas não estejam rasgadas ?

02) Uma urna contém exatamente nove bolas: cinco azuis (A) e quatro vermelhas (V).

a) Retirando-se simultaneamente três bolas da urna, qual é a probabilidade de se obterem duas bolas azuis e uma vermelha ?

O espaço amostral )(Ω é formado por todos os conjuntos possíveis de três bolas da urna. Assim, temos:

O evento A que nos interessa é formado por todos os conjuntos possíveis de três bolas da urna, sendo duas azuis e uma vermelha. Assim, temos: 404.10.)( 1,42,5 === CCAn

Logo: 2110

8440

)()()( ==

Ω=nAnAP

b) Retirando-se sucessivamente, sem reposição, três bolas da urna, qual é a probabilidade de se obterem duas bolas azuis e uma vermelha ?

Temos três sequências possíveis, com as respectivas probabilidades: AAV:

6310

74.

84.

95

1 ==P ou

AVA: 6310

74.

84.

95

2 ==P ou

VAA: 6310

74.

85.

94

3 ==P

Logo, a probabilidade total é:

2110

6330

6310

6310

6310

321 ==++=++= PPPP

Comparando os itens a e b, acima, percebemos que a probabilidade de retirarmos simultaneamente as bolas da urna é igual a probabilidade de retirá-las sucessivamente e sem reposição. Assim, sugerimos que todo problema em que for pedida a probabilidade de retiradas simultâneas seja transformado em retiradas sucessivas e sem reposição. (OBS: Nas retiradas sucessivas, a ordem dos elementos retirados deve ser levada em consideração).

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº. 1

1) Determine os seguintes espaços amostrais:

a) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra probabilidade;

b) Uma urna contém bolas brancas, vermelhas, azuis e amarelas. Uma bolinha é extraída e

observada a

sua cor;

c) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha é extraída e observada seu

número;

d) Um dado é lançado e observado a sua face superior.

2) Considere o espaço amostral { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=S e os seguintes eventos:

{ } { } { } { } { }.,,,,,,,,,,,,, 642 e 321 5 97531 432 ===== EDCBA

Determine:

a) BA∪ d) CB

b) BA∩ e) ( )CBA∪

c) CA f) CA∩

3) Dos eventos A, B, C, D e E do problema anterior, quais são mutuamente exclusivos?

4) Uma moeda e um dado são lançados e os resultados são colocados na forma (x,y), onde x

representa o

resultado da moeda e y representa o resultado do dado. Determine o espaço amostral e a

probabilidade

dos seguintes eventos:

a) A: ocorrer cara;

b) B: ocorrer número ímpar;

c) C: ocorrer número 3;

d) D: ocorrer BA∪ ;

e) E: ocorrer Error! Objects cannot be created from editing field codes.;

5) O experimento consiste no lançamento de um dado e em observar a face superior. Determine a

probabilidade dos seguintes eventos:

a) Sair face ímpar;

b) Sair face 2 ou face 3;

c) Sair face maior que 1;

d) Sair face 5;

e) Sair face menor que 7;

f) Sair face múltiplo de 9.

6) No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine

a

probabilidade de cada um dos eventos seguintes:

a) A soma ser igual a 7;

b) A soma ser um número ímpar;

c) A soma ser menor que 9;

d) A soma ser múltiplo de 3;

e) A soma ser igual a 12;

f) O produto ser menor que 10;

g) O produto ser um número de 5 a 12;

h) O produto ser um número entre 5 e 12;

7) Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da urna.

Determine a probabilidade da bola escolhida ser:

a) branca;

b) vermelha;

c) azul;

d) não ser branca;

e) ser branca ou vermelha.

8) O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a

cor

dos cabelos:

Loira Morena RuivaCasada 5 8 3Solteira 2 4 1Viúva 0 1 1Divorciada 3 1 1

Uma mulher é sorteada neste grupo. Determine a probabilidade dedos eventos:

a) A: Ser casada.

b) B: Não ser loira.

c) C: Não ser morena nem ruiva;

d) D: Ser viúva;

e) E: Ser solteira ou casada;

f) F: Ser loira e casada;

g) G: Ser morena e solteira;

9) Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é a probabilidade de se

selecionar

ao acaso uma peça não defeituosa dessa caixa?

10) Uma moeda é lançada duas vezes. Determine as seguintes probabilidades:

a) Ocorrer exatamente uma cara;

b) Ocorrer pelo menos uma cara;

c) Ocorrer duas caras;

d) Não ocorrer cara;

11) Uma moeda é lançada três vezes. Determine as seguintes probabilidades:

a) Não ocorra coroa;

b) ocorra exatamente uma coroa;

c) ocorrer pelo menos uma coroa;

d) ocorrer pelo menos duas coroas;

e) ocorrer exatamente duas coroas;

f) ocorrer três coroas;

12) Uma moeda é lançada quatro vezes. Determine a probabilidade de ocorrer quatro caras:

13) Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20).

Determine a probabilidade dos seguintes eventos:

a) Ser sorteado um número par;

b) Não ser sorteado múltiplo de 5;

c) Ser sorteado um número maior que 12;

d) Ser sorteado um número de três algarismos;

e) Ser sorteado um número real.

14) Considerando os números ímpares de 1 até 19, qual a probabilidade de sortear um número maior

que 15?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE:

1) a) { }edliaborpS ,,,,,,,,=

b) { }amarelaazulbrancavermelhaS ,,,=

c) { }50,...,4,3,2,1=S

d) { }6,5,4,3,2,1=S

2) a) { }9,7,5,4,3,2,1=∪BA

b) { }3=∩BA

c) { }10,9,8,7,6,5,1=CA

d) { }10,8,6,4,2=CB

e) ( ) { }10,8,6=∪ CBA

f) { }=∩CA

3) A e C, B e E, C e D, C e E.

4) { })6,(),5,(),4,(),3,(),2,(),1,(),6,(),5,(),4,(),3,(),2,(),1,( cococococococacacacacacaS =

a) { } 6)()6,(),5,(),4,(),3,(),2,(),1,( =⇒= AncacacacacacaA .

126)(; =APLogo ou 50%.

b) { } .6)()5,(),3,(),1,(),5,(),3,(),1,( =⇒= BncocococacacaB

126)(; =BPLogo ou 50%.

c) { })3,(),3,( cocaC = . 122)(; =CPLogo ou 16,67%.

d) { } .9)()5,(),3,(),1,(),6,(),5,(),4,(),3,(),2,(),1,( =∪⇒=∪ BAncocococacacacacacaBA

129)(; =∪BAPLogo ou 75%.

e) { } .2)()3,(),3,( =∩⇒=∩ CBncocaCB 122)(; =∩CBPLogo ou 16,67%.

)impossível (evento 0 ou 060 f) certo) (evento 100 ou 1

66 e)

6716 ou 61 d) 3383 ou

65 c)

33,33% ou 31

62 b) 50% ou

21

63 a) 5)

%%

%,%

==

==

,

6) a) 61

366= ou 16,67% b)

21

3618

= ou 50%

c) 1813

3626

= ou 72,22% d) 31

3612

= ou 33,33%

e) 361 ou 2,78% f)

3617 ou 47,22%

g) 125

3615

= ou 41,67% h) 41

369

= ou 25%

7) a) 103 b)

102 c)

105 d)

107 e)

105

8) a) 158

3016

= b) 32

3020

= c) 31

3010

= d) 151

302= e)

3023 f)

61

305= g)

152

304=

9) 85

4025

=

10) a) %50 ou 21

42= b) %57 ou

43 c) %52 ou

41 d) %52 ou

41

11) 81 f)

83 e)

21

84 d)

87 c)

83 b)

81 a) =

12) 161

%

%

%,

%,

%,

100 ou 12020 e)

0 ou 0200 d)

40 ou 4052

208 c)

80 ou 8054

2016 b)

50 ou 5021

2010 a) 13)

=

=

==

==

==

14) %, 20 ou 2051

102

==

LISTA DE PROBABILIDADES - GABARITO

1) (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é:

(A) 3/25 (B) 7/50 (C) 1/10 (D) 8/50 (E) 1/5

Solução. O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. O número de múltiplos de 8, pode ser calculado utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a1 = 8 (1º múltiplo) e an = 48 (último múltiplo).

6848n8n88488).1n(848 ==⇒−+=⇒−+= .

O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo, 253

506)E(P == .

2) No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?

(A) 1/6 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 2/5 (E) 2/3

Solução1. O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como foi informado queo resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6. Logo ( )

323|parP => .

Solução2. Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos:

i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; iii) E ∩ E’ = {4, 6}

Logo, ( ) ( )32

36.

62

6362

)E(PE'EPE|'EP ===

∩= .

3) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?

(A) 75% (B) 60% (C) 50% (D) 45% (E) 30% Solução. Utilizando a teoria de conjuntos, temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500.

Logo, ( ) %5021

1000500BAP →==∪ .

4) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas?

(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8 (D) 1/16 (E) 1

Solução1. O espaço amostral para essas jogadas possuirá 24 = 16 elementos. O evento CCCC ocorrerá somente uma vez. Logo, ( )

161CCCCP = .

Solução2. Como as jogadas são independentes, isto é, um resultado não depende do outro, temos pelo

teorema da multiplicação: ( )161

21.

21.

21.

21)C(P).C(P).C(P).C(PCCCCP =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==∩∩∩ .

5) (UPF) - Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Então a probabilidade das bolas serem da mesma cor, é:

(A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7 (E) 5/7 Solução. Não há reposição, pois as retiradas são sucessivas.

( ) ( ) ( ) ( )73

4218

42126

63.

74

62.

73PPPBBPPPBBPcormesmaP ==

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∩+∩=∪= .

OBS: Usando o espaço amostral: ( )73

219

2163

CC

CC

cormesmaP27

24

27

23 ==

+=+= .

6) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é:

(A) 2/5 (B) 3/5 (C) 1/2 (D) 1/3 (E) 2/3

Solução. Como queremos que três estejam ocupados teremos três desocupados. Alinhando os apartamentos utilizando O (ocupado) e D (desocupado), temos a sequência: ODODOD. O número total

de possibilidades de permutar (com repetição) essa situação seria 20!3!3!6P 2,2

6 == . Mas como a situação é

por andar, temos 2 possibilidades em cada andar. Logo, 2x2x2 = 8 possibilidades de termos 1 vazio e 1 ocupado por andar. Então, ( )

52

208Andar/O1P == .

OBS: O número total de ocupações poderia ser calculado como combinação: 20!3!3!6C3

6 == .

7) (VUNESP) Dois jogadores, A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter vencido?

(A) 10/36 (B) 5/32 (C) 5/36 (D) 5/35 (E) não se pode calcular

Solução. O espaço amostral do lançamento de dois dados é composto de 36 elementos (pares ordenados). O evento “soma 5” será E(A) = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}. Os eventos “soma 5” e soma “8” são disjuntos, logo não há interseção. Se A não ganhou o espaço amostral ficará reduzido para 36 – 4 = 32 elementos. O evento soma 8 será E(B) = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}.

Logo, a probabilidade de B vencer será: ( )3258somaP = .

8) Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?

(A) 3/56 (B) 9/56 (C) 15/56 (D) 27/56 (E) 33/56

Solução1. Queremos um resultado HHM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:

( )( )

5627

569.3M1H2P

3!2!3P

569

73.

53.

85

146.

159.

1610HHMP

23

==⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

.

Solução2. ( )5627

7.83.9

14.83.9.2

14.5.83.9.10

614.15.16

6.29.10

!13!3!13.14.15.16!0!1!6.

!8!2!8.9.10

CC.C

M1H2P316

16

210 ======= .

9)(UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de:

(A) 25% (B) 30% (C) 33% (D) 50% (E) 60%

Solução1. Queremos um resultado HMM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:

( )( ) %60

53

51.3M2H1P

3!2!3P

51

43.

54.

31

43.

54.

62HMMP

23

→==⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

.

Solução2. ( ) %60106

4.56.2

!3!3!3.4.5.6!2!2!2.3.4.

!0!1!2

CC.C

M2H1P36

24

12 →==== .

10) (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é de:

(A) 1/10 (B) 1/9 (C) 1/5 (D) 2/5 (E) 1/2.

Solução1. Considerando os pares como AA, BB, CC, DD, EE, há um total de 10 meias. O número de formas de retirar duas meias quaisquer desse total será: 45

!8!2!8.9.10C2

10 == . Há 5 possibilidades de saírem

duas do mesmo par. Logo, ( )91

455ParMesmoP == .

Solução2. O resultado é um dos pares (AA) ou (BB) ou (CC) ou (DD) ou (EE). Como não há interseções entre os pares, a probabilidade total será a soma das probabilidades de cada caso.

( )[ ]91

91.

102.5

91.

102.

91.

102.

91.

102.

91.

102.

91.

102)EE)(DD)(CC()BB(AAP =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∪∪ .

11) (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de:

(A) 10% (B) 15% (C) 30% (D) 50% (E) 75%

Solução. A caixa possui um total de 200 parafusos e há 15% de 100 = 15 parafusos defeituosos da máquina A e 5% de 100 = 5 parafusos defeituosos da máquina B. Logo, há um total de 20 parafusos defeituosos. Como já foi detectado que o parafuso retirado é defeituoso, o espaço amostral fica reduzido de 200 para 20.

Logo, ( ) %7543

2015defeituoso|AP →== .

12) (UFRGS) Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de:

(A) 14% (B) 16% (C) 20% (D) 25% (E) 33%

Solução. O espaço amostral será 45!8!2!8.9.10C2

10 == . Cada número de 1 a 9 possui um consecutivo,

excetuando o 10, pois não há a ficha 11. Logo, ( ) %2051

459utivosecconP →== .

13) (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6

Solução. A decomposição em fatores primos de 60 é (2 x 2 x 3 x 5) = 22 x 3 x 5. O número de divisores é calculado pelo produto (2+1).(1+1).(1+1) = 12. Os únicos divisores primos são 2, 3 e 5, num total de três

elementos. Logo, ( )41

123imoPrDivP == .

14) (VUNESP) Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados 1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos) , a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:

(A) 0,3777... (B) 0,47 (C) 0,17 (D) 0,2777... (E) 0,1333...

Solução. Há cinco rótulos ímpares e quatro pares. Considerando cada retirada de camundongo e

buscando a possibilidades (Ímpar, Ímpar), temos: ( ) ...2777,0185

84.

95IIP === .

15) (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam sim a ambas; 300 responderam sim à primeira; 250 responderam sim à segunda e 200 responderam não a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido não à primeira pergunta?

(A) 1/7 (B) 1/2 (C) 3/8 (D) 11/21 (E) 4/25

Solução. O número de alunos será a soma do número de alunos que responderam SIM com o número de alunos que responderam NÃO. Como há interseção nas respostas sim, forma-se o diagrama mostrado. i) Total de alunos: 180 + 120 + 130 + 200 = 630 alunos. ii) Responderam NÃO à primeira pergunta: 130 + 200 330 alunos. Observe que responder NÃO à primeira pergunta, implica em responder SIM somente segunda

pergunta ou NÃO a ambas. Logo, ( )2111

6333

630330Pª1NP === .

16) (FATEC) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade de ele ser um número ímpar é:

(A) 1 (B) 1/2 (C) 2/5 (D) 1/4 (E) 1/5

Solução. Para que o número seja ímpar a unidades simples deverá ser um algarismo ímpar. Há dois casos a considerar: _ _ _ _ 5 e _ _ _ _ 7. Como 5 e 7 estão fixos, a permutação será entre os quatro algarismos restantes. Logo há 2.4! = 2(24) = 48 números ímpares. O espaço amostral será 5! = 120

números de cinco algarismos distintos. Logo, ( )52

3012

12048NÍmparP === .

17) (Objetivo) Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de diversas cores, e somente 4 são brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que não sejam ambas brancas é:

(A) 2/15 (B) 13/15 (C) 1/3 (D) 3/5 (E) 2/9

Solução. Como há várias possibilidades, o evento complementar E = {duas bolas brancas} facilitará o cálculo: ( )

152

31.

52

93.

104BBP === . Logo, o evento pedido é o complementar desse: ( )

1513

1521BBP =−= .

18) (EFOA) Uma pessoa tem em mãos um chaveiro com 5 chaves parecidas, das quais apenas uma abre determinada porta. Escolhe uma chave ao acaso, tenta abrir a porta, mas verifica que a chave escolhida não serve. Na segunda tentativa, com as chaves restantes, a probabilidade de a pessoa abrir a porta é de:

(A) 20% (B) 25% (C) 40% (D) 75% (E) 80%

Solução. Na primeira tentativa a pessoa já excluiu uma das chaves. Logo seu espaço amostral fica reduzido a quatro chaves. Na segunda tentativa a probabilidade será 1 em 4. Logo, ( ) %25

41abrirP →= .

19) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não tenha nível universitário é:

(A) 5/12 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 1/5 (E) 5/36

Solução. Observe a tabela com os cálculos de acordo com as informações.

Logo, ( )103

206

18054NãoCursoMP ===∩ .

20) (F .Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

(A) 1/5 (B) 2/25 (C) 4/25 (D) 2/5 (E) 3/5

Solução. Não há interseção entre esses eventos. Logo P(Primo ∪ QPerfeito) = P(Primo) + P(QPerfeito). Há n{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = 8 primos e n{1, 4, 9, 16} quadrados: ( )

53

2012

2048QPerfeitoimoPrP ==

+=∪ .

21) (FASP) Um colégio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam Matemática, 80 estudam Física, 100 estudam Química, 20 estudam Matemática, Física e Química, 30 estudam Matemática e Física, 30 estudam Física e Química e 50 estudam somente Química. A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemática e Química é:

(A) 1/10 (B) 1/8 (C) 2/5 (D) 5/3 (E) 3/10 Solução. Construindo o diagrama com as informações basta identificar a região que indica o número de alunos que estudam Matemática e Química.

( )101

40040

4002020QuímicaMatemáticaP ==

+=∩ .

22) (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico mostrado. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:

(A) 1/3 (B) 1/4 (C) 7/15 (D) 7/23 (E) 7/25

Solução. De acordo com o gráfico, há 8 mulheres sem filhos, 7 mulheres com 1 filho, 6 mulheres com 2 filhos e 2 mulheres com 3 filhos. O total de crianças é: 8(0) + 7(1) + 6(2) + 2(3) = 7 + 12 + 6 = 25. O número de mulheres com filho único é 7. Logo, ( )

257FilhoÚnicoP = .