Unidad No. 9 Descomposición Factorial

“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32 Página 0

FACULTAD DE ARQUITECTURA

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

UNIDAD 9 DESCOMPOSICION FACTORIAL

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura

Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017


DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Para empezar a ver este capítulo de la matemática debemos aclarar primeramente

que es un factor y que es un término.

Términos: son expresiones matemáticas que están separadas por signos

positivos y negativos.

Factores: son expresiones matemáticas separadas por la multiplicación y la

división.

Ejemplos:

ax + 3bx – 5c

ax con respecto a 3bx son términos porque se suman.

a con respecto a x son factores porque se multiplican.

3bx con respecto a 5c son términos porque se restan.

3 con respecto a bx son factores porque se multiplican.

5 con respecto a c son factores porque se multiplican.

Además, se debe tener conocimientos previos de productos notables.

Casos de descomposición factorial

Caso I

Factor común

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, que es

divisible para cada uno de ellos.

1. Descomponer en factores a2+2a.

Observamos que a2 +2a el factor común a. escribimos el factor a como coeficiente

de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir: a2/a =

a; 2a /a= 2 y tendremos.

a2 +2a = a(a+2). R.




2. Descomponer 10b-30ab2.

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos diez

porque siempre se escoge el mayor factor común. De las letras tienen en común la

b porque está en los 2 términos. Y en las letras se la toma con su menor

exponente que es b (no b2), entonces el factor común es 10b y repetimos el

mismo proceso, y tendremos:

10b -30 = 10b(1+3ab).

En síntesis, el caso de factor común consiste en observar y escoger, de los

números el máximo común divisor, y de las letras cual o cuales se repiten en cada

uno de los términos, de lo contrario no saldrá bien la operación, luego dividir el

factor común para cada uno de sus términos.

Ejercicios:

a2 +ab.

x-x2+x3-x4.

15y3+20y2-5y.

Caso II

Factor común por agrupación de términos

1. Descomponer ax +bx +ay +by.

Los dos primeros factores tienen el factor común X y los dos últimos el factor

común Y. Agrupamos los primeros términos en paréntesis y los dos últimos en otro

a continuación del signo del tercer término que en este caso es el más y si fuera el

signo menos los términos que están dentro del paréntesis irían con los signos

cambiados, y tendremos: ax + bx +by + by = (ay +by) + (ay+by).

= y(a + b) + y(a+b).

= (x + y) (a + b).




La agrupación puede tener varias formas de agruparse como: el 1ero y el 2do, el

3ero y el 4to;

el 1ero y el 4to, el 3ero y el 2do; el 1ero y el 3ero, el 2do y el 4to; etc. con tal que

la agrupación tenga algún factor común, si esto no se da, la expresión no puede

descomponerse por este método, y además pueden ser más de 4 términos, con tal

de que sea un numero par para poder agruparlo de 2 en 2, o de 3 en 3, o de 4 en

4,etc. Si es posible.

2. Factorizar: ax + ay + az + x – y + z = (ax – ay+az) + (x – y + z)

= a(x - y + a) + 1(x- y + z)

= (x – y + a) (a+1)

Caso III

Trinomio cuadrado perfecto

Regla para conocer si es un trinomio cuadrado perfecto:

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el

primero y tercero termino son cuadrados perfectos y positivos (no deben ser

negativos), y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas

(puede ser negativo).

Así, a2 – 4ab + 4y2, es un cuadrado perfecto porque es un trinomio, el primero y

tercero termino son positivos, y son cuadrados perfectos porque, la raíz cuadrada

de a2 es a, la raíz cuadrada de 4y2 es 2y, el segundo término es el doble producto

se sus raíces cuadradas, 2(a)(2y) = 4ay. Quedando así

a2 - 4ab + 4y2= (a-b)2

Modo de resolver:

Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término (el trinomio puede estar

desordenado), se comprueba si el segundo término es el doble producto de sus

raíces cuadradas, se introduce dentro de un paréntesis la raíz cuadrada de

primer termino seguido del signo del segundo término (+) o (-) y la raíz cuadrada

del tercer término, todo eso elevado al cuadrado.




Ejemplo:

4x2 + 25y2 – 20xy.

Ordenando el trinomio nos queda:

4x2 – 20xy + 25y2 = sacamos la raíz del primero y tercero termino.

2x y 5y = lo introducimos en un paréntesis separado por el signo del segundo

factor, y elevado al cuadrado y tenemos.

(2x – 5y) 2.

Caso IV

Diferencia de cuadrados perfectos

Como reconocer este caso: se caracteriza por estar formado por 2 términos

separados por el signo (-), y ambos términos son cuadrados perfectos. Ejemplo:

4a2 – 16b2.

Modo de resolver:

Es muy sencillo, solo se sacan las raíces cuadradas a ambos términos:

4a2 -16b2 la raíz cuadrada de 4a2 es 2a, la raíz cuadrada de 16b2 es 4b, los

resultados los introducimos en un paréntesis, (2a + 4b) y lo multiplicamos con su

diferencia, quedándonos:

(2a + 4b)(2a – 4b)

Caso V

Trinomio cuadrado por adición y sustracción

Este caso es muy parecido al trinomio cuadrado perfecto, pero con la diferencia de

que el segundo término no es doble producto del primero por el tercero.




Factorizar x4+ x2y2 + y4.

Lo primero que hay que hacer es comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto.

La raíz cuadrada de x4 es x2; la raíz cuadrada de y4 es y2, el doble producto del

primero por el segundo (2) (x2) (y2) es 2x2y2, (no es x2y2) entonces no es cuadrado

perfecto.

Lo que hay que hacer es transformarlo en trinomio cuadrado perfecto, para lo cual

se debe sumarle x2y2 (lo que falte), y restarle el mismo valor para que no se altere.

X4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2

X4 + 2x2y2 + y4 - x2y2

= (x4 + 2x2y2 +y4) – x2y2 ; agrupamos el trinomio cuadrado perfecto en un

paréntesis y tenemos dos factores.

= (x2 + y2) – x2y2 ; resolvemos lo que está en el paréntesis.

= ((x + y) + xy) ((x + y) – xy); resolvemos por la diferencia de cuadrados.

= (x + xy + y) (x – xy + y) ; y por ultimo ordenamos la expresión.

(x + xy +y) (x -xy +y). R.

Caso VI

Trinomio de la forma x2 +bx +c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como:

X2 + 5x + 6, m2 + 5m – 14

a2 + 2a – 15, y2 - 8y + 15

Que cumplen las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del primer término es uno.

2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1y su

coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1ero y 2do

términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.




Ejemplos:

1) Factorizar x2 + 5x + 6

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz

cuadrada de x2 o sea x:

x2 + 5x + 6 (x ) (x )

En el primer binomio después de x se pone signo del segundo término que en esta

caso es +. En el segundo binomio ponemos el signo que dé como resultado del

producto de los signos del 2do y 3ero, que en este caso sería +, porque se tiene

que + por + da +:

(x+ ) (x+ )

Como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números cuya

suma sea 5 y su producto 6. Estos números son 3 y 2, luego:

x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).R.

2) Factorizar n2 + 28n -29.

Extraemos la raíz de n2 que sería n y lo agrupamos en los dos binomios como

vimos antes.

(n ) (n )

El signo del primer binomio es +;

El signo del segundo binomio sería – porque el producto de + por – es (-)

(n + ) (n- )

Ahora hay que buscar dos números que restando de 28 (el segundo término); y

multiplicando de 29. Esos números son 29 y 1.

(n + 29) (n – 1). R




Caso VII

Trinomio de la forma ax2 + bx +c

Se diferencian del caso anterior solo en que el primer término su coeficiente

no es 1

Son trinomios de esta forma:

2x2 + 11x + 5

3a2 + 7a – 6

10n2 – n – 2

7m2 – 23m + 6

Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2 +bx + c

1) Factorizar 6x2 - 7x – 3

Lo que hay que hacer es multiplicar el coeficiente del 1er término para cada

uno de los términos.

(6) (6x2) – (6) (7x) – (6)(3) = 36x2 – (6)(7x) – 18

Pero 36x2 = (6x)2 lo que se hizo fue introducirlo en un paréntesis y elevarlo

al cuadrado, y podemos escribir:

(6x) 2 – 7(6x) – 18

Descomponiendo este trinomio según el caso anterior, el primer término de

cada factor será la raíz cuadrada de (6x2) o sea 6x: (6x - ) (6x- )

Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 son: 9 y 2.

Tendremos

(6x – 9) (6x – 2)

Y como al principio multiplicamos toda la expresión por 6, para que no se

altere se debe dividir.

(6x – 9) (6x -2)

6

Sacamos factor común:

3(2x -3) 2(3x -1)

6

Simplificamos y nos queda:

(2x – 3) (3x – 1) R.




2) Factorizar 20x2 + 7x – 6=

Multiplicando toda la expresión por 20 y haciendo el mismo proceso nos

queda:

(20x)2 +7(20x) – 120.

Resolviendo como un trinomio de la forma x2 + bx +c nos queda.

(20x + 15) (20x – 8)

Sacamos Factor común y dividimos toda la expresión para 20.

5(4x + 3) 4(5x – 2)

20

(4x + 3) (5x – 2). R.

Caso VIII

Cubo perfecto de binomios

Según los productos notables sabemos que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Entonces este tiene relación con este producto notable y reúne unas

condiciones que son:

1. Tener cuatro términos.

2. Que el primero y ultimo términos sean cubos perfectos.

3. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la

raíz cubica del primer término por la raíz cubica del último. (3)(a)2(b)

4. Que el tercero sea más o menos el triplo de la raíz cubica del primer

término por el cuadrado de la raíz cubica del último. (3)(a)(b)2

Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio.

1 + 12a + 48a2 +64a3

Extraemos las raíces cubicas del primero y el ultimo, lo introducimos en un

paréntesis y lo elevamos al cubo.

(1 + 4a)3

Comprobamos si el segundo término cumple la tercera condición:

3(1)2(4) = 12 a si cumple la condición.

Comprobamos si el tercero término cumple la cuarta condición.

3(1)(4)2 = 64a3




Entonces la respuesta sería:

(1 + 4a)3 R.

Caso IX

Suma o diferencia de cubos perfectos

Sabemos por los cocientes notables que:

a3 + b3 = a2 – ab + b ; y a3 – b3 = a2 + ab +b2

a + b a – b

Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor

por el cociente, tendremos:

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) (1)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) (2)

La fórmula (1) nos dice que:

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1) La suma de sus raíces cubicas.

2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más

el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula (2) nos dice:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.

1) La diferencia de sus raíces cubicas.

2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, más el

cuadrado de la segunda raíz.

Factorizar una suma o una diferencia de cubos perfectos:

1) Factorizar: x3 +1.

La raíz cubica de x3 es x; la raíz cubica de 1 es 1.

Según la regla 1.

x3 + 1 = (x +1) (x2 - x + 1). R.




2) Factorizar: a3 – 8.

La raíz cubica de a3 es a; la raíz cubica de 8 es 2. Según la regla 2:

a3 – 8 = (a – 2) (a2 +2a+ 4). R.

Caso X

Suma o diferencia de dos potencias impares e iguales

Este caso es muy parecido al caso anterior porque también se compone de

dos términos, aunque varía en algunas cosas.

Factorizar una suma o diferencia de potencias impares e iguales:

1) Factorizar: m5 +n5

Extraemos la raíz quinta a cada término:

(m + n)

Y lo dividimos (aplicando la regla de cocientes notables) :

m5 + n5 = m4 – m3n + m2n2 + mn3 +n

(m + n)

Luego.

(m5 + n5) = (m +n) (m4 – m3n + m2n2 + mn3 +n) R.

2) Factorizar : x7 – 1

Repetimos los mismos pasos solo con la diferencia de que los signos no

van alternados, sino que todo es positivo.

x7 – 1 = (x – 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1) R.




EJERCICIOS PLANTEADOS:

Factorizar

1) a2b - ab2 2) 6p2q + 24pq2 3) 12x3y - 48x2y2 4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn

7) x2 - 8x + 16 8) 16y2 + 24y + 9 9) 36a2 - 12a + 1 10) 4x2 + 20xy + 25y2 11) 16x2 - 25y2 12) 144 - x2y2 13) 36 - 25a2 14) 25 - 4a2 15) 16m2n2 - 9p2 16) x2 - 4x + 3 17) x2 - 2x - 15 18) x2 - 7xy - 18y2 19) 12 - 4x - x2 20) 5x2 - 11x + 2 21) 6x2 - 7x - 5 22) 12x2 + 17x - 5 23) 7u4 - 7u2v2 24) kx3 + 2kx2 - 63kx 25) 5x3 - 55x2 + 140x 26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk 28) wx2y - 9wxy + 14wy 29) 2x3 + 10x2 + x + 5 30) px + py + qx + qy 31) 3x3 + 12x2 – 2x – 8 32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 33) x3 – 27 34) 125x3 + y3 35) 8y3 + z3 36) 64 – y3




Respuestas a los ejercicios planteados

1) ab(a - b) 2) 6pq(p + 4q)

3) 12x2y(x - 4y)

4) 9mn(m + 2n - 3)

7) (x - 4)2

8) (4y + 3)2

9) (6a - 1)2

10) (2x + 5y)2

11) (4x - 5y)(4x + 5y)

12) (12 + xy)(12 - xy)

13) (6 + 5a)(6 - 5a) 14) (5 + 2a)(5 - 2a) 15) (4mn + 3p)(4mn - 3p)

16) (x - 3)(x - 1)

17) (x - 5)(x + 3)

18) (x - 9y)(x + 2y)

19) (6 + x)(2 - x)

20) (5x - 1)(x - 2)

21) (3x - 5)(2x + 1)

22) (4x -1)((3x + 5)

23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v)

24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7)

25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7)

26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1)

27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2)

28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7)

29) (2x2 + 1)(x + 5)

30) (p + q)(x + y)

31) (3x2 – 2)(x + 4)

32) (x2 + 4)(3x + 2)

33) (x – 3)(x2 + 3x + 9)

34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2)

35) (2y + z)((4y2 – 2yz + z2)

36) (4 – y)(16 + 4y + y2)




BIBLIOGRAFÍA

Baldor, Aurelio, Dr. (1,987). Algebra. (4ª. Reimpresión) México: Compañía Cultural

editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A., Ediciones y Distribuciones

Códice, S.A., Madrid.

Unidad No. 9 Descomposición Factorial

Documents

Transcript of Unidad No. 9 Descomposición Factorial