NÚMEROS ENTEROS - para alumnos y alumnas de · PDF fileHallar la descomposición...

1 Números enteros

2Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Con esta unidad se cierra el estudio de los números enteros que comenzó el curso anterior. Al final de la unidad, el alumno será capaz de reconocer números enteros y operar con ellos. La unidad comienza repasando la divisibilidad, que será retomado en unidades posteriro-res. Se centra en el cálculo del máximo comun divisor (m.c.d.) y el mínimo común multiplo (m.c.m.), y en la factorización de un número.

Los dos conceptos nuevos que se estudian en la unidad son las potencias y raíces de números enteros, de base tanto positiva como negativa. Se cierra la unidad con el cálculo de operaciones combinadas en las que se añade, respecto del curso anterior, el cálculo de potencias y raíces.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de noticias publicadas en los medios relacionadas con los números enteros.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con los números enteros.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación real como es el submarinismo, los alumnos profundizarán en el uso de los números enteros.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la iniciativa y espíritu emprendedor, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Conocer los números enteros, saber utilizarlos en situaciones cotidianas y operar correctamente con ellos.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de números enteros.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando números enteros.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

NÚMEROS ENTEROS1

3

1Números enteros

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los números enteros.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos estudiados sobre números enteros y se propo-nen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números enteros pueden acceder a las lecciones 1032, 1033, 1034, 1035, 1044, 1053, 1068, 1069 y 1167 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Números naturales. DivisibilidadDescomposición en factores primosMáximo común divisor y mínimo común múltiplo

1. Conocer propiedades de los números en contextos de divisibilidad, y utilizarlos en situaciones cotidianas.

2. Hallar la descomposición factorial de un número. 3. Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.

1.1. Identifica la relación de divisibilidad entre dos números.1.2. Emplea la relación de divisibilidad para resolver problemas cotidianos contextualizados.2.1. Aplica los criterios de divisibilidad para descomponer en factores primos.3.1. Calcula el m.c.d. o m.c.m. de varios números naturales mediante el algoritmo adecuado.3.2. Aplica el cálculo del m.c.d. o m.c.m. a problemas contextualizados.

1-379, 80, 8211, 12

4-681 7-1083 13-1684, 85

CMCTCLCSCCAACSIEE

Números positivos y negativosValor absoluto y opuesto de un número entero

4. Identificar números positivos y negativos, y utilizarlos en situaciones cotidianas.

5. Comparar y ordenar números enteros.

6. Calcular valores absolutos y opuestos de números enteros.

4.1. Identifica los números enteros y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.5.1. Compara números enteros y los utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa.6.1. Calcula e interpreta el valor absoluto o el opuesto de un número entero comprendiendo su significado y contextualizándolo en problemas de la vida cotidiana.

1875-78, 86, 121Matemáticas vivas 119, 20, 24-2687, 88, 93

21-2589-93

CMCTCLCSCCAACSIEE

Suma y resta de números enteros

7. Operar con números enteros.

8. Utilizar las operaciones de números enteros para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

7.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones de números enteros.7.2. Suma, resta, multiplica y divide números enteros utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.8.1. Emplea adecuadamente las operaciones de numéros enteros para resolver problemas cotidianos contextualizados.

27-3694-103

37-4494-103

35, 42-44, 76, 7794, 95, 100, 101122-124Matemáticas vivas 2-5

CMCTCLCSCCAACSIEE

Multiplicación y división de números enterosRegla de los signos

Potencias y raíces cuadradasPotencia de base negativa Raíz cuadrada de un número entero

9. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de potencias y raíces con números enteros, mejorando así la comprensión del concepto.10. Usar diferentes estrategias de cálculo que permitan simplificar potencias y raíces con números enteros.

9.1. Realiza cálculos en los que intervienen potenciasy raíces, y aplica las reglas básicas de las operaciones con potencias.

10.1. Desarrolla estrategias de cálculo mental para realizar cálculos exactos o aproximados valorando la precisión exigida en operaciones con potencias y raíces.

45-64104-115

45-64104-115CM1

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Operaciones con potencias

Operaciones combinadasOperaciones sin paréntesisOperaciones con paréntesis

11. Desarrollar la competencia en el uso de operaciones combinadas con números enteros como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.12. Utilizar las operaciones combinadas de números enteros para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

11.1. Calcula el valor de expresiones numéricas de números enteros mediante las operaciones elementales aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.11.2. Realiza operaciones combinadas de números enteros utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.12.1. Emplea adecuadamente las operaciones combinadas de números enteros para resovler problemas cotidianos contextualizados.

65-74116-120

65-74116-120

73, 74

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

1 Números enteros


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Números positivos y negativos • Valor absoluto y opuesto de un

número

4. Multiplicación y división de números enteros

¿Qué tienes que saber? • Operaciones con números enteros • Operaciones combinadas

Matemáticas vivasSubmarinismo • Estudio de tablas para realizar

inmersiones de forma segura

AvanzaPotencias cuyo exponente es un número negativo

Cálculo mentalTanteo de raíces cuadradas

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. El conjunto de los números enteros

1. Números naturales. Divisibilidad • Descomposición en factores primos • Máximo común divisor y mínimo

común múltiplo

Actividades interactivas

3. Suma y resta de números enteros

5. Potencias y raíces cuadradas

Vídeo. Potencias y signos6. Operaciones con potencias

Vídeo. Operaciones combinadas7. Operaciones combinadas

Lee y comprende las matemáticasMedidas enteras • Estudio de números enteros para

trabajar con alturas y profundidades

MisMates.esLecciones 1032, 1033, 1034, 1035, 1044, 1053, 1068, 1069 y 1167 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

4

5

1Números enteros


Sugerencias didácticas

La unidad comienza con un texto relacionado con las tem-peraturas, para mostrar un ejemplo donde se encuentran números positivos y negativos.

Se puede trabajar la entrada de la unidad con el objetivo de afianzar diferentes conceptos sobre números negativos. Por ejemplo, utilizar las diferentes temperaturas que hay en un frigorífico para ordenar números enteros y dar sentido a su significado.

Se puede respasar la suma y resta de números enteros tra-bajando con los alumnos las variaciones de temperatura que se sufre un alimento al cambiarle de ubicación dentro del frigorífico.

Contenido WEB. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explica la aparición de los conjuntos numéricos y del concepto del cero.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, ya que se trata de un concepto habitual en la vida cotidiana, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Indica qué número natural corresponde a cada punto.

•• • ••10 200

2. Resuelve esta expresión.

12 − 5 + 9 − 7 − 1

3. Opera y resuelve.

72 : 6 ⋅ 4 : 12

4. Calcula el resultado de estas operaciones combinadas.

a) 12 − 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 b) 3 + 2 ⋅ (12 − 4) − 5

5. Expresa los resultados de estas operaciones como una única potencia.

a) 32 ⋅ 34 c) 24( )5 e) 127 : 47

b) 512 : 54 d) 35 ⋅ 25 f) 1010 : 210

5

1Es posible encontrar números negativos en muchos ámbitos de la vida cotidiana. Fijémonos, por ejemplo, en los frigoríficos de nuestros hogares.

En efecto, las neveras o frigoríficos tienen zonas con diferentes temperaturas. La zona donde colocamos alimentos como la fruta o la verdura tiene una temperatura de entre +3 ºC y +5 ºC. Otros compartimentos, como aquel en el que mantenemos congelados alimentos como carnes, pescados o helados, tienen una temperatura de unos −18 ºC.

NÚMEROS ENTEROS

IDEAS PREVIAS

Los números naturales:

❚ Representación.

❚ Operaciones.

❚ Potencias y raíces.

A diferencia de los números naturales, los números enteros no aparecen de forma natural. Los números enteros () se construyen ampliando el conjunto de los números naturales (): por cada número positivo se añade su opuesto y se obtiene el número negativo.

Matemáticas en el día a día ][ma2e1

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Indica qué número natural corresponde a cada punto.•• • ••

10 16 184 200

2. Resuelve esta expresión.

12 − 5 + 9 − 7 − 1

12 − 5 + 9 − 7 − 1 = 7 + 9 − 7 − 1 = 16 − 7 − 1 = 9 − 1 = 8

3. Opera y resuelve.

72 : 6 ⋅ 4 : 12

72 : 6 ⋅ 4 : 12 = 12 ⋅ 4 : 12 = 48 : 12 = 4


a) 12 − 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 b) 3 + 2 ⋅ (12 − 4) − 5

a) 12 − 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 = 12 − 6 + 20 = 26

b) 3 + 2 ⋅ (12 − 4) − 5 = 3 + 2 ⋅ 8 − 5 = 3 + 16 − 5 = 14

5. Expresa los resultados de estas operaciones como una única potencia.

a) 32 ⋅ 34 c) (24)5 e) 127 : 47

b) 512 : 54 d) 35 ⋅ 25 f) 1010 : 210

a) 32 ⋅ 34 = 36 c) (24)5 = 220 e) 127 : 47 = 37

b) 512 : 54 = 58 d) 35 ⋅ 25 = 65 f) 1010 : 210 = 510

1 Números enteros


1. Números naturales. Divisibilidad

7

1Actividades1 Números enteros

6

1. NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD

En un restaurante utilizan 30 huevos para preparar 5 o 6 tortillas más o menos iguales. Pueden hacer 6 tortillas utilizando 5 huevos en cada una o preparar5 tortillas con 6 huevos en cada caso.

3 0 6 3 0 5

0 5 0 6

Observa que el resto de estas divisiones es 0. Por tanto:

30 es divisible por 6 y por 5.

30 es múltiplo de 6 y de 5. 6 y 5 son divisores de 30.

Dos números, a y b, son divisibles si la división a : b es exacta.

El número a es múltiplo de b, y el número b es divisor de a.

Descomposición en factores primos

Podemos escribir el número 30 como producto de factores de diferentes formas.

Factores primos o compuestos Factores primos

30 = 6 ⋅ 5 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Para descomponer un número en factores primos, se realizan estos pasos:

1 Escribimos el número que se va a descomponer y, a su derecha, trazamos una línea vertical.

2 Buscamos el menor número primo divisor del número en cuestión y lo escribimos a la derecha de la línea.

3 Anotamos el cociente debajo del primer número.

4 Repetimos el proceso hasta obtener un 1 como cociente.

La descomposición factorial es el producto de los números primos obtenidos.

140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números, seguimos estos pasos:

m.c.d. (72, 108, 270) m.c.m. (72, 108, 270)

1 Descomponemos los números en factores primos.

72 = 23 ⋅ 32 108 = 22 ⋅ 33 270 = 2 ⋅ 33 ⋅ 5

2 Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen.

23 ⋅ 32 22 ⋅ 33 2 ⋅ 33 ⋅ 5

2 Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el que aparecen.

23 ⋅ 32 22 ⋅ 33 2 ⋅ 33 ⋅ 5

3 El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.

m.c.d. (72, 108, 270) = 2 ⋅ 32

3 El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.

m.c.m. (72, 108, 270) = 23 ⋅ 33 ⋅ 5

❚ El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

❚ El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Aprenderás a… ● Identificar la relación de divisibilidad entre dos números.

● Calcular múltiplos y divisores de un número.

● Descomponer un número en factores primos.

● Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.

Si un número no es primo, es compuesto.

Por orden, los primeros números primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Recuerda

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos.

Lenguaje matemático

Presta atención

Si al calcular el m.c.d. de varios números no hay factores primos comunes en las descomposiciones, el m.c.d. de esos números es 1.

Se dice que esos números son primos entre sí.

140 2

70 2

35 5

7 7

1

Comprueba si entre los siguientes números existe relación de divisibilidad.

a) 14 y 168 c) 84 y 7

b) 12 y 98 d) 17 y 51

Escribe dos múltiplos y dos divisores de estos números.

a) 24 b) 35 c) 144 d) 72

¿Puedes encontrar todos los divisores de un número? ¿Y todos sus múltiplos? Explica por qué.

Descompón en factores primos.

a) 66 d) 450

b) 160 e) 392

c) 168 f) 147

Factoriza estos productos.

a) 2 ⋅ 6 ⋅ 8 c) 25 ⋅ 10

b) 8 ⋅ 4 d) 3 ⋅ 9 ⋅ 12

Factoriza los números propuestos.

a) 253 c) 187

b) 169 d) 242

Calcula el máximo común divisor de estos números.

a) 81 y 108 c) 63 y 88

b) 56 y 84 d) 168 y 216

Halla el mínimo común múltiplo de estas cantidades.

a) 27 y 36 c) 72 y 100

b) 126 y 392 d) 154 y 175

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estas descomposiciones en factores.

a) 22 ⋅ 34 ⋅ 5 23 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 32 ⋅ 7b) 53 ⋅ 132 2 ⋅ 132 ⋅ 7 23 ⋅ 53 ⋅ 72

c) 74 ⋅ 132 ⋅ 23 25 ⋅ 73 ⋅ 232 32 ⋅ 74 ⋅ 233

Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números indicados.

a) 112, 168 y 196 c) 243, 240 y 294

b) 216, 441 y 225 d) 720, 468 y 504

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Óscar ha comprado varias docenas de huevos. ¿Cuántos huevos ha adquirido si se trata de un número que está entre 90 y 100?

En una pastelería empaquetan 312 magdalenas en bolsas.a) ¿Pueden hacerlo en bolsas de 7 magdalenas?

Explica por qué.b) ¿Y en bolsas de 8 magdalenas? c) Si quieren ofrecer a sus clientes paquetes

iguales que tengan entre 5 y 15 magdalenas, ¿qué opciones tienen?

En un almacén de cítricos disponen de 735 kg de naranjas, 540 kg de mandarinas y 375 kg de limones. Quieren transportarlos en cajas con el mayor número de kilos posible sin mezclar las variedades de cítricos. ¿Cuántos kilos de cada clase de cítrico tendrá cada caja? ¿Cuántas cajas se necesitan de cada variedad?

A una pequeña isla llegan un helicóptero con víveres cada 12 días y un barco cada 15 días. Si hoy han arribado a la isla ambos medios de transporte, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

En Navidad, Carol coloca tres guirnaldas de luces que se encienden y se apagan de forma intermitente: las luces rojas se vuelven a encender pasados 32 s; las verdes, a los 24 s, y las azules, transcurridos 18 s. Si se conectan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir las tres encendidas?

En un almacén de aluminio existe un sobrante de perfiles. Disponen de 25 perfiles de 1,20 m, 32 de1,50 m y 12 de 1,80 m. La empresa decide aprovecharlos cortándolos en trozos iguales de la mayor longitud posible.a) ¿Cuál es esa medida?b) ¿Cuántos perfiles habrá después de los cortes?

11

12

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15

16

Investiga

Las antiguas calculadoras solo hacían operaciones básicas y ni siquiera respetaban la jerarquía de las operaciones.Las actuales calculadoras científicas son capaces de simplificar cálculos. Investiga el funcionamiento de las teclas de tu calculadora.

17

limones. Quieren transportarlos en cajas con el mayor número de kilos posible sin mezclar

Soluciones de las actividades1 Comprueba si entre los siguientes números existe relación de divisibilidad.

a) 14 y 168 b) 12 y 98 c) 84 y 7 d) 17 y 51

a) 1 6 8 1 4 b) 9 8 1 2 c) 8 4 7 d) 5 1 1 7

0 2 8 1 2 0 2 8 1 4 1 2 0 0 3

0 0 Sí son divisibles. No son divisibles. Sí son divisibles. Sí son divisibles.

2 Escribe dos múltiplos y dos divisores de estos números.

a) 24 b) 35 c) 144 d) 72

a) Múltiplos: 48, 72; Divisores: 6, 4

b) Múltiplos: 70, 350; Divisores: 7, 5

c) Múltiplos: 1 440, 14 400; Divisores: 12, 3

d) Múltiplos: 144, 288; Divisores: 36, 9


Es importante hacer ver a los alumnos que en este primer epígrafe trabajarán solamente con números naturales.

Al inicio, se recuerda brevemente el concepto de divisibili-dad de varios números.

Se trabaja el cálculo del m.c.m. y el m.c.d. de varios núme-ros mediante la descomposición factorial. Es conveniente hacer ver a los alumnos las ventajas de este método, frente al cálculo tedioso de calcular todos los divisores comunes y elegir el mayor, o cómo calcular bastantes múltiplos comu-nes y elegir el menor.

7

1Números enteros


3 ¿Puedes encontrar todos los divisores de un número? ¿Y todos sus múltiplos? Explica por qué.

Sí se pueden encontrar todos los divisores de un número porque es una cantidad finita. Sin embargo, no se pueden en-contrar todos los múltiplos de un número porque es una cantidad infinita.

4 Descompón en factores primos.

a) 66 b) 160 c) 168 d) 450 e) 392 f) 147

a) 66 = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 c) 168 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 e) 392 = 23 ⋅ 72

b) 160 = 25 ⋅ 5 d) 450 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 f) 147 = 3 ⋅ 72

5 Factoriza estos productos.

a) 2 ⋅ 6 ⋅ 8 b) 8 ⋅ 4 c) 25 ⋅ 10 d) 3 ⋅ 9 ⋅ 12

a) 25 ⋅ 3 b) 25 c) 2 ⋅ 53 d) 22 ⋅ 34

6 Factoriza los números propuestos.

a) 253 b) 169 c) 187 d) 242

a) 11 ⋅ 23 b) 132 c) 11 ⋅ 17 d) 2 ⋅ 112

7 Calcula el máximo común divisor de estos números.

a) 81 y 108 b) 56 y 84 c) 63 y 88 d) 168 y 216

a) 33 b) 22 ⋅ 7 c) 1 d) 23 ⋅ 3 8 Halla el mínimo común múltiplo de estas cantidades.

a) 27 y 36 b) 126 y 392 c) 72 y 100 d) 154 y 175

a) 22 ⋅ 33 b) 23 ⋅ 32 ⋅ 72 c) 23 ⋅ 32 ⋅ 52 d) 2 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 119 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estas descomposiciones en factores.

a) 22 ⋅ 34 ⋅ 5 − 23 ⋅ 3 ⋅ 5 − 23 ⋅ 32 ⋅ 7

b) 53 ⋅ 132 − 2 ⋅ 132 ⋅ 7 − 23 ⋅ 53 ⋅ 72

c) 74 ⋅ 132 ⋅ 23 − 25 ⋅ 73 ⋅ 232 − 32 ⋅ 74 ⋅ 233

a) m.c.d.: 22 ⋅ 3 m.c.m.: 23 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 7

b) m.c.d.: 1 m.c.m.: 23 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 132

c) m.c.d.: 73 ⋅ 23 m.c.m.: 25 ⋅ 32 ⋅ 74 ⋅ 132 ⋅ 233

10 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números indicados.

a) 112, 168 y 196 b) 216, 441 y 225 c) 243, 240 y 294 d) 720, 468 y 504

a) 112 = 24 ⋅ 7 168 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 196 = 22 ⋅ 72

m.c.d. (112, 168, 196) = 22 ⋅ 7 = 28

m.c.m. (112, 168, 196) = 24 ⋅ 3 ⋅ 72 = 2 352

b) 216 = 23 ⋅ 33 441 = 32 ⋅ 72 225 = 32 ⋅ 52

m.c.d. (216, 441, 225) = 32=9

m.c.m. (216, 441, 225) = 23 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 72 = 264 600

c) 243 = 35 240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 294 = 2 ⋅ 3 ⋅ 72

m.c.d. (243, 240, 294) = 3

m.c.m.(243, 240, 294) = 24 ⋅ 35 ⋅ 5 ⋅ 72 = 952 560

d) 720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 468 = 22 ⋅ 32 ⋅ 13 504 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7

m.c.d. (720, 468, 504) = 22 ⋅ 32 = 36

m.c.m. (720, 468, 504) = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 = 65 52011 Óscar ha comprado varias docenas de huevos. ¿Cuántos huevos ha adquirido si se trata de un número que está entre 90

y 100?

El único múltiplo de 12 mayor que 90 y menor que 100 son 96 luego ha comprado 96 huevos.

1 Números enteros


12 En una pastelería empaquetan 312 magdalenas en bolsas.

a) ¿Pueden hacerlo en bolsas de 7 magdalenas? Explica por qué.

b) ¿Y en bolsas de 8 magdalenas?

c) Si quieren ofrecer a sus clientes paquetes iguales que tengan entre 5 y 15 magdalenas, ¿qué opciones tienen?

a) No se puede porque 312 no es múltiplo de 7.

b) Sí se puede porque 312 es un múltiplo de 8.

c) 312 = 23 ⋅ 3 ⋅ 13. Los números que podemos formar con ellos entre 5 y 15 son 6 = 2 ⋅ 3, 8 = 23, 12 = 22 ⋅ 3 y 13. 13 En un almacén de cítricos disponen de 735 kg de naranjas, 540 kg de mandarinas y 375 kg de limones. Quieren transpor-

tarlos en cajas con el mayor número de kilos posible sin mezclar las variedades de cítricos. ¿Cuántos kilos de cada clase de cítrico tendrá cada caja? ¿Cuántas cajas se necesitan de cada variedad?

Necesitamos calcular el máximo común divisor de 735, 540 y 375.

735 = 3 ⋅ 5 ⋅ 72 540 = 22 ⋅ 33 ⋅ 5 375 = 3 ⋅ 53 m.c.d. (735, 540, 375) = 3 ⋅ 5 = 15

Cada caja tendrá 15 kg de cítricos.

Se necesitan 735 : 15 = 49 cajas de naranjas, 540 : 15 = 36 cajas de mandarinas, 375 : 15 = 25 cajas de limones.14 A una pequeña isla llegan un helicóptero con víveres cada 12 días y un barco cada 15 días. Si hoy han arribado a la isla

ambos medios de transporte, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

Necesitamos calcular el mínimo común múltiplo de 12 y 15.

12 = 22 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 m.c.m. (12,15) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

Pasarán 60 días hasta que vuelvan a coincidir.15 En Navidad, Carol coloca tres guirnaldas de luces que se encienden y se apagan de forma intermitente: las luces rojas se

vuelven a encender pasados 32 s, las verdes, a los 24 s, y las azules, transcurridos 18 s. Si se conectan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir las tres encendidas?

Necesitamos calcular el mínimo común múltiplo de 32, 24 y 18.

32 = 25 24 = 23 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 m.c.m. (32, 24, 18) = 25 ⋅ 32 = 288

Tienen que pasar 288 s, que son 4 min 48 s.16 En un almacén de aluminio existe un sobrante de perfiles. Disponen de 25 perfiles de 1,20 m, 32 de 1,50 m y 12 de

1,80 m. La empresa decide aprovecharlos cortándolos en trozos iguales de la mayor longitud posible.

a) ¿Cuál es esa medida?

b) ¿Cuántos perfiles habrá después de los cortes?

Expresamos las medidas en centímetros y calculamos su máximo común divisor.

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 m.c.d. (120, 150, 180) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

a) La medida es de 30 cm.

b) Perfiles de 1,20 m → 25 ⋅ (120 : 30) = 25 ⋅ 4 = 100

Perfiles de 1,50 m → 32 ⋅ (150 : 30) = 32 ⋅ 5 = 160

Perfiles de 1,80 m → 12 ⋅ (180 : 30) = 12 ⋅ 6 = 72

En total hay 100 + 160 + 72 = 332 perfiles.

Investiga17 Las antiguas calculadoras solo hacían operaciones básicas y ni siquiera respetaban la jerarquía de las operaciones. Las

actuales calculadoras científicas son capaces de simplificar cálculos. Investiga el funcionamiento de las teclas de tu calcu-ladora.

Respuesta tipo: Hay calculadoras, por ejemplo, con teclas que descomponen un número en factores, calculan el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de dos números.

9

1Números enteros


2. Números positivos y negativos

Soluciones de las actividades18 Expresa las siguientes oraciones con números enteros.

a) Ayer bajé 4 m buceando.

b) ¡Qué frío! El termómetro marca 3 grados bajo cero.

c) Creo que dejé el coche en el segundo sótano.

d) Hemos arreglado el congelador y ahora marca 18 grados bajo cero.

a) Ayer bajé hasta −4 m buceando. c) Creo que dejé el coche en sótano −2.

b) ¡Qué frío! El termómetro marca −3 grados. d) Hemos arreglado el congelador y ahora marca −18 grados.19 Compara y completa en tu cuaderno con > o <.

a) 3 § 8 b) −12 § −11 c) −3 § 9 d) −5 § −7 e) −6 § −2 f) 5 § −1

a) 3 < 8 b) −12 < –11 c) −3 < 9 d) −5 > –7 e) −6 < −2 f) 5 > −120 Ordena los números de menor a mayor en cada caso.

a) −5, 4, 5, −7, −3, 2, 0 b) −9, −3, −7, −5, 1, −12, −1

a) −7 < −5 < −3 < 0 < 2 < 4 < 5 b) −12 < −9 < −7 < −5 < −3 < −1 < 1


En este epígrafe se recuerda el concepto de número entero, así como su representación en la recta numérica para ayu-dar a la comprensión de este tipo de números.

Es posible que algún alumno encuentre dificultades para ordenar los números negativos.

La segunda parte del epígrafe se centra en los conceptos valor absoluto y opuesto de un número. Ambos contenidos no suelen crear problemas a los alumnos si se trabajan de forma aislada. Por este motivo, es conveniente trabajarlas de forma conjunta ya en este curso.

9


8

2. NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Ordenación de números enteros

Leonor piensa que su nevera se ha estropeado, pues no está segura de que la temperatura de la zona frigorífica y la del congelador sea la adecuada para conservar los alimentos.

En el manual de instrucciones se indica que:

❚ La temperatura ideal de la zona frigorífica se encuentra entre +3 ºC y +5 ºC.

❚ La temperatura ideal del congelador es de −18 ºC.

Decide comparar estas temperaturas ideales con las que realmente marca su nevera, y observa que:

❚ La zona frigorífica del dibujo marca +4 ºC.

❚ La zona del congelador, −12 ºC.

• • •–18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 +2 +4 +6–19 –17 –15 –13 –11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5

Funcionamiento incorrecto–18 < –12

Funcionamiento correcto +3 < +4 < +5

Como +3 < +4 < +5, la zona frigorífica funciona perfectamente. Sin embargo, dado que −12 > −18, la zona del congelador no funciona como debería porque está 6 grados por encima de la temperatura ideal.

Para comparar dos números enteros, se tienen en cuenta las siguientes reglas:

❚ Si los dos son positivos, es mayor el que está más lejos del 0 en la recta.

❚ Si uno es positivo y otro negativo, es mayor el positivo.

❚ Si los dos son negativos, es mayor el que está más cerca del 0 en la recta.

Valor absoluto y opuesto de un número entero

La nevera de Leonor tiene ahora la pantalla de visualización de la temperatura estropeada. No se aprecia si la temperatura es positiva o negativa. Es decir, si el frigorífico marca 2 ºC, la temperatura real podría ser +2 ºC o −2 ºC.

Estos dos datos tienen el mismo valor absoluto, pero son números opuestos.

|−2| = 2 y |+2| = 2 op(+2) = −2 y op(−2) = 2

••–3 –2 –1 0 +1 +2 +3

••–3 –2 –1 0 +1 +2 +3

❚ El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del 0 en la recta numérica.

❚ El opuesto de un número entero es otro entero situado a la misma distancia del 0, pero de signo contrario.

Aprenderás a… ● Identificar y usar los números enteros.

● Representar números enteros en la recta numérica.

● Ordenar números enteros.

● Calcular el opuesto y el valor absoluto de un número entero.

Los números enteros están formados por un signo y una parte numérica.

parte numérica

−12 +12

signo

Recuerda

❚ Al conjunto de los números naturales se les designa por la letra .

❚ El conjunto de los números enteros se representa mediante la letra .


❚ El valor absoluto de un número se indica entre dos barras.

|+15| = 15 |−12| = 12

❚ El opuesto de un número se representa con las letras op y el número entre paréntesis.

op(+5) = −5 op(−7) = +7


Expresa las siguientes oraciones con números enteros.a) Ayer bajé 4 m buceando.b) ¡Qué frío! El termómetro marca 3 grados bajo cero.c) Creo que dejé el coche en el segundo sótano.d) Hemos arreglado el congelador y ahora marca 18 grados bajo cero.

Compara y completa en tu cuaderno con > o <.a) 3 § 8 c) −3 § 9 e) −6 § −2 b) −12 § −11 d) −5 § −7 f) 5 § −1

Ordena los números de menor a mayor en cada caso.a) −5, 4, 5, −7, −3, 2, 0b) −9, −3, −7, −5, 1, −12, −1

Realiza estos valores absolutos.a) |+12| c) |−8| e) |−432|b) |−7| d) |+23| f) |−12|

Calcula estos opuestos.a) op(−14) c) op(+35) e) op(−43)b) op(+99) d) op(−101) f) op(−35)

Halla los siguientes opuestos y valores absolutos.a) op(op(−12)) c) |op(+12)| e) op(|−12|)b) op(op(+12)) d) |op(−12)| f) op(|+12|)

Copia y completa con > o < en tu cuaderno.a) op(−3) § |−4| c) op|−12| § −11 e) |−10| § op(+11)b) −|−17| § op(+15) d) −(op(+15)) § |−17| f) −15 § op(op(−14))

Ordena estos números de mayor a menor.

18

19

20

21

22

23

24

25

DESAFÍOLos espeleólogos se dedican a explorar las simas que hay repartidas por el mundo. Aquí tienes una lista que muestra las diez más profundas del mundo.

Torca Magali España −1 507 m Torca del Cerro del Cuevón España −1 589 m

Lamprechtstofen-Verlorenen Weg Schacht

Austria −1 632 m Sima Sarma Georgia −1 830 m

Réseau Jean-Bernard Francia −1 602 mGouffre Mirolda-Lucien Bouclier

Francia −1 626 m

Sima Krúbera-Voronya Abjasia −2 197 m Cehi 2-«La Vendetta» Eslovenia −1 502 m

Vjacheslav Pantjukhina Georgia −1 508 mIllyuziya-Snezhnaya-Mezhonnogo

Georgia −1 753 m

Realiza una lista con las simas ordenadas de mayor a menor profundidad.

26

Presta atención

Los números enteros positivos suelen escribirse sin el signo +.

+8 = 8

5 −|−5| op(op(−4)) op(−3) op(+7)

−|−14| op(−15) op|−9| −11 op(+10)

1 Números enteros


21 Realiza estos valores absolutos.

a) |+12| b) |−7| c) |−8| d) |+23| e) |−432| f) |−12|

a) 12 b) 7 c) 8 d) 23 e) 432 f) 1222 Calcula estos opuestos.

a) op(−14) b) op(+99) c) op(+35) d) op(−101) e) op(−43) f) op(−35)

a) 14 b) −99 c) −35 d) 101 e) 43 f) 3523 Halla los siguientes opuestos y valores absolutos.

a) op(op(−12)) b) op(op(+12)) c) |op(+12)| d) |op(−12)| e) op(|−12|) f) op(|+12|)

a) −12 b) 12 c) 12 d) 12 e) −12 f) −1224 Copia y completa con > o < en tu cuaderno.

a) op(−3) § |−4| c) op|−12| § −11 e) |−10| § op(+11)

b) −|−17| § op(+15) d) −(op(+15)) § |−17| f) −15 § op(op(−14))

a) op(−3) < |−4| c) op|−12| < −11 e) |−10| > op(+11)

b) −|−17| < op(+15) d) −(op(+15)) < |−17| f) −15 < op(op(−14))25 Ordena estos números de mayor a menor.

5 −|−5| op(op(−4)) op(−3) op(+7)

−|−14| op(−15) op|−9| −11 op(+10)

−|−14| < −11 < op(+10) < op|−9| < op(+7) < −|−5| < op(op(−4)) < op(−3) < +5 < op(−15)

Desafío26 Los espeleólogos se dedican a explorar las simas que hay repartidas por el mundo. Aquí tienes una lista que muestra las

10 más profundas del mundo.

Torca Magali España −1 507 m Torca del Cerro del Cuevón España −1 589 m

Lamprechtstofen-Verlorenen Weg Schacht Austria −1 632 m Sima Sarma Georgia −1 830 m

Réseau Jean-Bernard Francia −1 602 mGouffre Mirolda-Lucien Bouclier Francia −1 626 m

Sima Krúbera-Voronya Abjasia −2 197 m Cehi 2-«La Vendetta» Eslovenia −1 502 m

Vjacheslav Pantjukhina Georgia −1 508 mIllyuziya-Snezhnaya-Mezhon-nogo Georgia −1 753 m

Realiza una lista con las simas ordenada de mayor a menor profundidad.

1.ª Sima Krúbera-Voronya Abjasia −2 197 m 6.ª Réseau Jean-Bernard Francia −1 602 m

2.ª Sima Sarma Georgia −1 830 m 7.ª Torca del Cerro del Cuevón España −1 589 m

3.ª Illyuziya-Snezhnaya-Mezhon-nogo Georgia −1 753 m 8.ª Vjacheslav Pantjukhina Georgia −1 508 m

4.ª Lamprechtstofen-Verlorenen Weg Schacht Austria −1 632 m 9.ª Torca Magali España −1 507 m

5.ª Gouffre Mirolda-Lucien Bouclier Francia −1 626 m 10.ª Cehi 2-«La Vendetta» Eslove-nia −1 502 m

11

1Números enteros


3. Suma y resta de números enteros

Soluciones de las actividades27 Realiza estas sumas y restas.

a) (+12) + (+18) c) (−12) + (+18) e) (+12) − (+18) g) (−12) − (+18)

b) (+12) + (−18) d) (−12) + (−18) f) (+12) − (−18) h) (−12) − (−18)

a) 30 b) −6 c) 6 d) −30 e) −6 f) 30 g) −30 h) 628 Calcula.

a) 3 − 5 c) −5 + 15 e) −17 + 12 g) −21 + 17

b) 12 − 9 d) −12 − 5 f) −15 − 9 h) −13 + 12

a) −2 b) 3 c) 10 d) −17 e) −5 f) −24 g) −4 h) −129 Resuelve las siguientes expresiones.

a) 12 − 5 + (−3) − (−7) + 1 c) −23 + 14 + (−8) − 10 − 7 e) −(−6) + 7 − 8 + (−12) + 1

b) −15 − (−12) + 7 − 3 + 5 d) 3 + (−8) − 12 − (−5) + 2 f) 12 − 5 + (−19) − (−2) − 7

a) 12 b) 6 c) −34 d) −10 e) −6 f) −17


Al comienzo de este epígrafe, es conveniente indagar, uti-lizando operaciones sencillas, qué recuerdan los alumnos sobre la suma y la resta de números enteros. Algunos alum-nos mezclan conceptos y les cuesta volver a operar con este tipo de números.

Es conveniente que los alumnos observen la relación de las operaciones que se proponen en actividades como la 27 y la 28. Cuando esta idea esté clara, es el momento de pasar a ejercicios como el 29.

11


10

3. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Alberto tiene una aplicación en su smartphone que muestra la temperatura del día actual y la prevista para las 4 próximas jornadas.

Observa la información que aparece en su pantalla. ¿Cuál es la temperatura que se espera para dentro de 4 días?

A los −5 ºC del día actual hay que sumarles:

❚ Un número positivo si la temperatura aumenta (↑).

❚ Un número negativo cuando disminuye la temperatura (↓).

Efectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

(−5) + (+6) + (+2) + (−4) + (−5) = −5 + (+6) + (+2) + (−4) + (−5) =

= −5 + 6 + (+2) + (−4) + (−5) = −5 + 6 + 2 + (−4) + (−5) =

= −5 + 6 + 2 − 4 + (−5) = −5 + 6 + 2 − 4 − 5 = 1 + 2 − 4 − 5 = 3 − 4 − 5 == −1 − 5 = −6

La temperatura dentro de 4 días será de −6 ºC.

Para sumar dos números enteros:

❚ Si tienen el mismo signo, se suman las partes numéricas. El resultado tendrá el mismo signo que los números.

❚ Si tienen distinto signo, se resta a la parte numérica mayor la menor.El resultado tendrá el signo de la parte numérica mayor.

Alberto consulta la aplicación otro día. Los datos indican −3 ºC para esa jornada y una bajada de 2 ºC para la siguiente. ¿Cuál es la previsión del día siguiente?

Para calcularlo, restamos esos dos datos.

(−3) − (+2) = −3 − (+2) = −3 + (−2) = −3 − 2 = −5

op(+2) = −2

La previsión del día siguiente es de −5 ºC.

Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo.

Aprenderás a… ● Sumar y restar números enteros.

● Aplicar la suma y la resta de números enteros.

Presta atención

A la hora de resolver operaciones con números enteros tenemos en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

❚ Si va precedido del signo +,se deja el mismo número.

3 + (−5) = 3 − 5

❚ Si va precedido del signo −,se sustituye por su opuesto.

3 − (−5) = 3 + 5

Presta atención

Para resolver operaciones con enteros sin paréntesis:

❚ Si tienen el mismo signo, sumamos las partes numéricas y dejamos el signo.

3 + 5 = 8 −3 − 5 = −8

❚ Si tienen distinto signo, restamos a la parte numérica mayor la menor y dejamos el signo de la parte numérica mayor.

−3 + 5 = 2 3 − 5 = −2

} Resuelve esta expresión con sumas y restas de números enteros.

(−2) + (−5) + 3 − (−6)

SoluciónEfectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.

(−2) + (−5) + 3 − (−6) = −2 + (−5) + 3 − (−6) = −2 − 5 + 3 − (−6) == −7 + 3 − (−6) = −4 − (−6) = −4 + 6 = 2

EJERCICIO RESUELTO

Realiza estas sumas y restas.

a) (+12) + (+18) e) (+12) − (+18)

b) (+12) + (−18) f) (+12) − (−18)

c) (−12) + (+18) g) (−12) − (+18)

d) (−12) + (−18) h) (−12) − (−18)

Calcula.

a) 3 − 5 e) −17 + 12

b) 12 − 9 f) −15 − 9

c) −5 + 15 g) −21 + 17

d) −12 − 5 h) −13 + 12

27

28

Resuelve las siguientes expresiones.

a) 12 − 5 + (−3) − (−7) + 1

b) −15 − (−12) + 7 − 3 + 5

c) −23 + 14 + (−8) − 10 − 7

d) 3 + (−8) − 12 − (−5) + 2

e) −(−6) + 7 − 8 + (−12) + 1

f) 12 − 5 + (−19) − (−2) − 7

Calcula.

a) 125 − 269 − (−141) + 72

b) −350 + 130 − 45 + (−92)

c) 35 − 167 − (−87) + (−35)

d) −83 − (−172) + 271 − 16

e) 76 + (−165) − 206 − (−62)

f) −94 − 83 − (−319) − (−77)

29

30

Calcula.

a) −12 + (15 − 20) + 3 − (−8)

b) 14 − (3 − 7) + (4 − 7 − 6) + 1

c) 12 − 19 − (12 − 8) + (−4)

d) −(7 − 21) − (15 − 6) − 3

Resuelve estas operaciones.

a) 3 − (5 − 7) − (4 + (−7) − 3) + 1

b) −(5 + (−12)) + (5 − 9 + (−1))

c) (4 − 9 − (−17)) − (12 − 4 + (−22))

d) −(−12 − (−5)) + (4 − 12 + (−2)) + 1

Halla la solución en cada caso.

a) 12 − (9 − (4 − 12) + 19) − 7

b) 34 + (−(12 − 5) + (4 − 7)) + 6

c) −22 − (−7 + (17 − 9)) + (13 − 8)

d) 15 − (6 − (−2 − 9) + (14 − 3)) − 5

Copia y completa con los números que faltan.

a) −7 + § = 5 − 8

b) −14 + § = 3 + (− 19)

c) 12 − (− 3) = 20 + §

d) 3 − 12 = 1 + (−§)

Joan tiene un saldo en el banco de 235 € y tiene que pagar tres facturas: una de 195 €, otra de 73 € y otra de 45 €. ¿Qué saldo le quedará finalmente en la cuenta?

31

32

33

34

35

EJERCICIO RESUELTO

} Efectúa.

3 − (−5) − 14 + (−7) + 3

SoluciónEfectuamos las operaciones en el orden en el que aparecen, teniendo en cuenta el signo que precede a los paréntesis.3 − (−5) − 14 + (−7) + 3 = 8 − 14 + (−7) + 3 == −6 + (−7) + 3 = −13 + 3 = −10

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve la siguiente operación.

3 + (−5) − (4 − 7) − (12 − 5)

Solución3 + (−5) − (4 − 7) − (12 − 5) =

= 3 + (−5) − (−3) − 7 = = 3 − 5 + 3 − 7 = −2 + 3 − 7 = 1 − 7 = −6

Efectuamos primero los paréntesis.

Operamos de izquierda a derecha.

DESAFÍOCalcula los resultados de estas expresiones.a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 c) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 b) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 d) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 Imagina que pudieras continuar añadiendo sumas o restas del siguiente número indefinidamente.1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 + 11 − 12 + 13 − 14…Busca en Internet cuál es el resultado de la suma y resta de esos infinitos números.

36

1 Números enteros


30 Calcula.

a) 125 − 269 − (−141) + 72 d) −83 − (−172) + 271 − 16

b) −350 + 130 − 45 + (−92) e) 76 + (−165) − 206 − (−62)

c) 35 − 167 − (−87) + (−35) f) −94 − 83 − (−319) − (−77)

a) 69 b) −357 c) −80 d) 344 e) −233 f) 21931 Calcula.

a) −12 + (15 − 20) + 3 − (−8) c) 12 − 19 − (12 − 8) + (−4)

b) 14 − (3 − 7) + (4 − 7 − 6) + 1 d) −(7 − 21) − (15 − 6) − 3

a) −12 − 5 + 3 + 8 = −6 c) 12 − 19 − 4 − 4 = −15

b) 14 + 4 − 9 + 1 = 10 d) 14 − 9 − 3 = 232 Resuelve estas operaciones.

a) 3 − (5 − 7) − (4 + (−7) − 3) + 1 c) (4 − 9 − (−17)) − (12 − 4 + (−22))

b) −(5 + (−12)) + (5 − 9 + (−1)) d) −(−12 − (−5)) + (4 − 12 + (−2)) + 1

a) 3 + 2 + 6 + 1 = 12 c) 12 + 14 = 26

b) 7 − 5 = 2 d) 7 − 10 + 1 = −233 Halla la solución en cada caso.

a) 12 − (9 − (4 − 12) + 19) − 7 c) −22 − (−7 + (17 − 9)) + (13 − 8)

b) 34 + (−(12 − 5) + (4 − 7)) + 6 d) 15 − (6 − (−2 − 9) + (14 − 3)) − 5

a) 12 − (9 + 8 + 19) − 7 = 12 − 36 − 7 = −31

b) 34 + (−7 − 3) + 6 = 34 − 10 + 6 = 30

c) −22 − (−7 + 8) + 5 = −22 − 1 + 5 = −18

d) 15 − (6 + 11 + 11) − 5 = 15 − 28 − 5 = −1834 Copia y completa con los números que faltan.

a) −7 + § = 5 − 8

b) −14 + § = 3 + (−19)

c) 12 − (−3) = 20 + §

d) 3 − 12 = 1 + (−§)

a) −7 + 4 = 5 − 8

b) −14 + (−2) = 3 + (−19)

c) 12 − (−3) = 20 + (−5)

d) 3 − 12 = 1 + (−10)35 Joan tiene un saldo en el banco de 235 € y tiene que pagar tres facturas: una de 195 €, otra de 73 € y otra de 45 €. ¿Qué

saldo le quedará finalmente en la cuenta?

235 − 195 − 73 − 45 = −78 €

Desafío36 Calcula los resultados de estas expresiones.

a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 c) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8

b) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 d) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9

Imagina que pudieras continuar añadiendo sumas o restas del siguiente número indefinidamente.

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 + 11 − 12 + 13 − 14…

Investiga en Internet cuál es el resultado de la suma y resta de esos infinitos números.

a) −3 b) 4 c) −4 d) 5

El sorprendente resultado de esta suma es 0,25.

13

1Números enteros


4. Multiplicación y división de números enteros

Soluciones de las actividades37 Copia y completa el signo que falta en estas operaciones.

a) 4 ⋅ (§5) = −20 d) (−12) : (−4) = §3

b) (−16) : 8 = §2 e) 3 ⋅ (§7) = −21

c) (−12) ⋅ (−4) = §48 f) (−36) : (§12) = 3

a) 4 ⋅ (−5) = −20 d) (−12) : (−4) = +3

b) (−16) : 8 = −2 e) 3 ⋅ (−7) = −21

c) (−12) ⋅ (−4) = +48 f) (−36) : (−12) = 338 ¿Qué signo tendrán los resultados de estas expresiones?

a) 12 ⋅ (−35) : (−7) ⋅ (−450) c) (−405) ⋅ 35 : 15 ⋅ (−89)

b) 350 ⋅ 61 : 10 ⋅ (−65) d) (−45) ⋅ (−58) ⋅ (−135) : (−30)

a) Negativo b) Negativo c) Positivo d) Positivo


Es aconsejable primero trabajar la regla de los signos de forma aislada para, posteriormente, aplicarla a productos y cocientes.

El siguiente paso puede ser realizar multiplicaciones o di-visiones de más de dos números, trabajando solamente el signo del resultado.

Uno de los problemas que puede surgir es que los alumnos apliquen esta regla cuando no hay multiplicaciones o divi-siones. Hay alumnos que identifican dos números negativos con el menos menos es más, sin pensar qué operación hay entre los dos signos menos.

13


12

4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Un depósito tiene una grieta y pierde 7 L de agua por cada minuto que pasa. ¿Cuántos litros habrá perdido el depósito transcurridos 5 min?

❚ Representamos el hecho de perder 7 L de agua cada minuto mediante el número entero −7.

❚ Calculamos cuántos litros de agua habrá perdido el depósito en 5 min, multiplicando −7 por 5.

Para ello:

1 Multiplicamos las partes numéricas.

2 Como los números tienen distinto signo, el resultado es negativo.

Así, obtenemos que:

(−7) ⋅ 5 = −35

Por tanto, el depósito habrá perdido 35 L de agua en 5 min.

Para multiplicar o dividir dos números enteros:

1 Se multiplican o dividen las partes numéricas.

2 Al resultado se le añade el signo más (+) si ambos números tienen el mismo signo, y el signo menos (−) si tienen distinto signo.

Regla de los signos

Para multiplicar y dividir números enteros, tenemos en cuenta la parte numérica y aplicamos la regla de los signos de los números.

(+8) ⋅ (+3) = +24 (−8) ⋅ (+3) = −24

+ ⋅ + = + − ⋅ + = −

(−8) ⋅ (−3) = +24 (+8) ⋅ (−3) = −24

− ⋅ − = + + ⋅ − = −

(+12) : (+4) = +3 (−12) : (+4) = −3

+ : + = + − : + = −

(−12) : (−4) = +3 +12 : (−4) = −3

− : − = + + : − = −

Aprenderás a… ● Multiplicar y dividir números enteros.

● Aplicar el producto y el cociente de números enteros.

Presta atención

Para multiplicar o dividir números enteros, se utiliza la regla de los signos.

+ ⋅ + = + + : + = +

+ ⋅ − = − + : − = −

− ⋅ + = − − : + = −

− ⋅ − = + − : − = +

Copia y completa el signo que falta en estas operaciones.a) 4 ⋅ (§5) = −20 d) (−12) : (−4) = §3b) (−16) : 8 = §2 e) 3 ⋅ (§7) = −21c) (−12) ⋅ (−4) = §48 f) (−36) : (§12) = 3

¿Qué signo tendrán los resultados de estas expresiones?a) 12 ⋅ (−35) : (−7) ⋅ (−450) c) (−405) ⋅ 35 : 15 ⋅ (−89)b) 350 ⋅ 61 : 10 ⋅ (−65) d) (−45) ⋅ (−58) ⋅ (−135) : (−30)

Resuelve en tu cuaderno.a) 14 ⋅ (−4) e) 18 : (−9)b) (−7) ⋅ 7 f) 24 : 3c) 15 ⋅ 5 g) (−42) : (−7)d) (−9) ⋅ (−8) h) (−12) : 6

Calcula.a) 12 ⋅ (−3) : 4 d) (−45) : (−5) : (−3)b) (−24) : 3 ⋅ (−6) e) 8 ⋅ 4 ⋅ (−3)c) 36 : (−4) ⋅ 5 f) (−42) : (−7) ⋅ 4

Completa en tu cuaderno con el número entero que falta en cada caso.a) 50 : § = (−25) d) § ⋅ (−6) = 72b) § ⋅ (−12) = 96 e) (−140) : § = (−28)c) § : (−6) = (−15) f) 15 ⋅ § = (−105)

Representa estas oraciones en forma de operación y resultado.

Úrsula tiene una cuenta bancaria que solo utiliza para pagar un préstamo. Cada mes, en su extracto aparece el dato −125 €, que corresponde a los 125 € que paga por su préstamo.a) ¿Cuánto variará su saldo después de pagar el préstamo durante un año?b) Si su saldo ha bajado 875 €, ¿cuántos meses de préstamo ha pagado?

37

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43

DESAFÍOEl producto de dos números enteros es 18. ¿Cuáles podrían ser esos números? Si ahora tenemos tres números enteros cuyo producto es 19, averigua de qué números podría tratarse.

44 } Resuelve esta expresión de operaciones con números enteros.

6 ⋅ (−5) : 2 ⋅ (−3)

SoluciónEfectuamos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.6 ⋅ (−5) : 2 ⋅ (−3) = −30 : 2 ⋅ (−3) = –15 ⋅ (−3) = 45

EJERCICIO RESUELTO

1 Números enteros


39 Resuelve en tu cuaderno.

a) 14 ⋅ (−4) c) 15 ⋅ 5 e) 18 : (−9) g) (−42) : (−7)

b) (−7) ⋅ 7 d) (−9) ⋅ (−8) f) 24 : 3 h) (−12) : 6

a) −56 c) 75 e) −2 g) 6

b) −49 d) 72 f) 8 h) −240 Calcula.

a) 12 ⋅ (−3) : 4 c) 36 : (−4) ⋅ 5 e) 8 ⋅ 4 ⋅ (−3)

b) (−24) : 3 ⋅ (−6) d) (−45) : (−5) : (−3) f) (−42) : (−7) ⋅ 4

a) −9 c) −45 e) −96

b) 48 d) − 3 f) 2441 Completa en tu cuaderno con el número entero que falta en cada caso.

a) 50 : § = (−25) d) § ⋅ (−6) = 72

b) § ⋅ (−12) = 96 e) (−140) : § = (−28)

c) § : (−6) = (−15) f) 15 ⋅ § = (−105)

a) 50 : (−2) = (−25) d) (−12) ⋅ (−6) = 72

b) (−8) ⋅ (−12) = 96 e) (−140) : 5 = (−28)

c) 90 : (−6) = (−15) f) 15 ⋅ (−7) = (−105)42 Representa estas oraciones en forma de operación y resultado.

12 ⋅ 100 = 1 200 € 7 ⋅ (−8) = −56 € (−4) ⋅ (−9) = 36 €43 Úrsula tiene una cuenta bancaria que solo utiliza para pagar un préstamo. Cada mes, en su extracto aparece el dato

−125 €, que corresponde a los 125 € que paga por su préstamo.

a) ¿Cuánto variará su saldo después de pagar el préstamo durante un año?

b) Si su saldo ha bajado 875 €, ¿cuántos meses de préstamo ha pagado?

a) 12 ⋅ (−125) = −1 500 €

b) (−875) : (−125) = 7 meses

Desafío44 El producto de dos números enteros es 18. ¿Cuáles podrían ser esos números? Si ahora tenemos tres números enteros

cuyo producto es 19, averigua de qué números podría tratarse.

1 ⋅ 18 (−1) ⋅ (−18) 2 ⋅ 9 (−2) ⋅ (−9) 3 ⋅ 6 (−3) ⋅ (−6)

Como 19 es un número primo, dos números tienen que ser 1 y otro 19, salvo el signo.

1 ⋅ 1 ⋅ 19 (−1) ⋅ (−1) ⋅ 19 1 ⋅ (−1) ⋅ (−19)

15

1Números enteros


5. Potencias y raíces cuadradas

Soluciones de las actividades45 Calcula en tu cuaderno.

a) −8 c) 4 e) −32

b) 64 d) −128 f) 1646 Expresa las siguientes expresiones como potencias con base positiva.

a) (−15)13 b) (−105)32 c) (−23)53 d) (−8)37 e) (−42)46 f) (−37)98

a) −1513 b) 10532 c) −2353 d) −837 e) 4246 f) 3798


Es conveniente recordar el significado del concepto poten-cia y de raíz cuadrada que se vio en el curso anterior para, posteriormente, añadir la dificultad de realizar estas opera-ciones utilizando números negativos.

Suele ser útil recordar el significado de la paridad de un número: número par o número impar; para comprender las dificultades que se encuentran al intentar resolver raíces y potencias de números negativos.

a) (–2)3 c) (–2)2 e) (–2)5

b) (−2)6 d) (−2)7 f) (−2)4

15


14

5. POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

Potencia de base negativa

Charo sabe que una multiplicación de varios factores iguales se puede escribir en forma de potencia. La base es el factor, y el exponente, el número de veces que se repite dicho factor.

(−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = (−3)5

Para calcular el resultado, utilizamos la regla de los signos en la multiplicación de números enteros:

(−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 9 ⋅ 9 ⋅ (−3) = 81 ⋅ (−3) = −243

(−3)2 = +9 (−3)2 = +9 + ⋅ + = + + ⋅ − = −

De este modo comprobamos que un número negativo elevado a un número par tiene como resultado un número positivo, mientras que, elevado a un número impar, el resultado es un número negativo.

El valor de una potencia de base negativa depende de la paridad de su exponente.

❚ Si el exponente es par, su valor es el opuesto de la base elevado al exponente. El resultado es positivo.

(−a)par = apar

❚ Si el exponente es impar, su valor es el opuesto de la base elevado al exponente, con signo negativo.

(−a)impar = −aimpar

Raíz cuadrada de un número entero

Charo también recuerda que la raíz cuadrada de un número positivo es otro número cuyo cuadrado es igual al número positivo dado.

Por ejemplo:

La raíz cuadrada de 25 es 5 porque 52 = 25.

También la raíz cuadrada de 25 es −5 porque (−5)2 = 25.

Observamos que 25 tiene dos raíces cuadradas: 5 y −5.

Para calcular la raíz cuadrada de un número negativo deberíamos encontrar un número tal que, al elevarlo al cuadrado, dé ese número negativo.

Por ejemplo:

¿Qué número elevado al cuadrado da −25?

(?)2 = −25

Como hemos visto, cualquier número elevado a una potencia par tiene un valor positivo. Por eso, no es posible calcular raíces cuadradas de números negativos.

❚ Un número entero positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa.

❚ La raíz cuadrada de un número entero negativo no se puede calcular.

Aprenderás a… ● Comprender y utilizar las potencias de números con base negativa.

● Comprender y manejar las raíces cuadradas.

● Calcular el número de raíces de un número entero.

El símbolo de la raíz

cuadrada es .

a = b → b2 = a


Calcula en tu cuaderno.

Expresa las siguientes expresiones como potencias con base positiva.a) (−15)13 c) (−23)53 e) (−42)46

b) (−105)32 d) (−8)37 f) (−37)98

Expresa estos productos como potencias con base positiva.a) 2 ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 2 d) (−5) ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5b) 3 ⋅ (−3) e) (−9) ⋅ 9 ⋅ (−9) ⋅ (−9) ⋅ (−9)c) (−7) ⋅ (−7) ⋅ 7 ⋅ (−7) f) (−10) ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ (−10) ⋅ (−10)

Determina si cada par de potencias tienen el mismo resultado. Justifica tu respuesta.a) (−3)4 y −34 d) 945 y (−9)45

b) −713 y (−7)13 e) (−2)3 y −23

c) (−5)12 y 512 f) −1111 y (−11)11

Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números. a) −3 481 c) 8 649 e) −40 401b) 11 025 d) −23 716 f) 103 041

Señala cuáles son las raíces cuadradas de estos números. Ten en cuenta los datos que se indican. a) 529 si 529 = 232 c) 676 si 676 = 262

b) 2 209 si 2 209 = 472 d) 1 156 si 1 156 = 342

Calcula las raíces cuadradas de estos números.a) 16 d) 81 g) −32b) −25 e) 49 h) 100c) −4 f) −10 000 i) 121

Copia en tu cuaderno y asocia cada expresión con el número que corresponde.

–3²

–6²

–9

11

121

–3

64Sin

solución

8

–36–6

(–11)²

(–8)²

√36 √121

√9

√64

√–64

45

46

47

48

49

50

51

52

DESAFÍOEn general, la igualdad ab = ba no se cumple. ¿Eres capaz de encontrar valores para a y para b de forma que se cumpla la igualdad? Escríbelos en tu cuaderno.

53

a) (–2)3 c) (–2)2 e) (–2)5

b) (−2)6 d) (−2)7 f) (−2)4

1 Números enteros


47 Expresa estos productos como potencias con base positiva.

a) 2 ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 2 d) (−5) ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

b) 3 ⋅ (−3) e) (−9) ⋅ 9 ⋅ (−9) ⋅ (−9) ⋅ (−9)

c) (−7) ⋅ (−7) ⋅ 7 ⋅ (−7) f) (−10) ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ (−10) ⋅ (−10)

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 d) −5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = −55

a) −3 ⋅ 3 = − 32 e) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 95

b) −7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = −74 f) −10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = −105

48 Determina si cada par de potencias tienen el mismo resultado. Justifica tu respuesta.

a) (−3)4 y −34 c) (−5)12 y 512 e) (−2)3 y −23

b) −713 y (−7)13 d) 945 y (−9)45 f) −1111 y (−11)11

a) (−3)4 ≠ −34 c) (−5)12 = 512 e) (−2)3 = −23

b) −713 = (−7)13 d) 945 ≠ (−9)45 f) −1111 = (−11)11

49 Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números.

a) −3 481 c) 8 649 e) −40 401

b) 11 025 d) −23 716 f) 103 041

a) Ninguna c) Dos e) Ninguna

b) Dos d) Ninguna f) Dos50 Señala cuáles son las raíces cuadradas de estos números. Ten en cuenta los datos que se indican.

a) 529 si 529 = 232 c) 676 si 676 = 262

b) 2 209 si 2 209 = 472 d) 1 156 si 1 156 = 342

a) ±23 b) ±47 c) ±26 d) ±3451 Calcula las raíces cuadradas de estos números.

a) 16 d) 81 g) −32

b) −25 e) 49 h) 100

c) −4 f) −10 000 i) 121

a) ±4 d) ±9 g) No tiene.

b) No tiene. e) ±7 h) ±10

c) No tiene. f) No tiene. i) ±1152 Copia en tu cuaderno y asocia cada expresión con el número que corresponde.

−32 = −9 36 = −6 121 = 11 (−11)2 = 121 9 = −3

(−8)2 = 64 64 = 8 −62 = −36 −64 = Sin solución

Desafío53 En general, la igualdad ab = ba no se cumple. ¿Eres capaz de encontrar valores para a y para b de forma que se cumpla la

igualdad? Escríbelos en tu cuaderno.

Se cumple, por ejemplo, para los valores a = 2 y b = 4, pues 24 = 42.

–3²

–6²

–9

11

121

–3

64Sin

solución

8

–36–6

(–11)²

(–8)²

√36 √121

√9

√64

√–64

17

1Números enteros


6. Operaciones con potencias

Soluciones de las actividades54 Expresa en forma de potencia única.

a) 35 ⋅ 25 b) 73 ⋅ 33 c) 127 : 47 d) 322 ⋅ 162

a) 65 b) 213 c) 37 d) 5122 55 Escribe como potencia única de base positiva.

a) (−2)5 ⋅ 65 c) 25 ⋅ (−6)5 e) (−12)3 : (−6)3 g) (−12)3 : 63

b) (−2)5 ⋅ (−6)5 d) 25 ⋅ 65 f) 123 : 63 h) 123 : (−6)3

a) (−12)5 = −125 c) (−12)5 = −125 e) 23 g) (−2)3 = −23

b) 125 d) 125 f) 23 h) (−2)3 = −23

56 Opera y deja el resultado en forma de potencia única de base positiva.

a) 82 ⋅ (−32) ⋅ 22 : 62 b) (−12)5 : (−3)5 ⋅ 55 : 25 c) 310 ⋅ (−4)10 : (−2)10 : (−3)10

a) (−8)2 = 82 b) 105 c) (−2)10 = 210


Es importante trabajar primero con potencias de base posi-tiva para, después, ir introduciendo potencias de base ne-gativa.

Suele ser útil aconsejar a los alumnos que piensen primero cuál será el signo del resultado y lo escriban, y después rea-lizar los operaciones para encontrar la base o el exponente correspondiente.

Vídeo. POTENCIAS Y SIGNOS

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un ejercicio de simplificación de potencias con la misma base, indicando la utilización de la regla de los signos o de las propiedades de las potencias.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos los repasen.

17


16

6. OPERACIONES CON POTENCIAS

Potencias con el mismo exponente

❚ Producto de potencias con el mismo exponente

53 ⋅ (−2)3 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ ((−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2)) =

= (5 ⋅ (−2)) ⋅ (5 ⋅ (−2)) ⋅ (5 ⋅ (−2)) =

= (−10) ⋅ (−10) ⋅ (−10) = (−10)3 = −103

Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente.

❚ Cociente de potencias con el mismo exponente

(−6)2 : (−2)2 = ((−6) ⋅ (−6)) : ((−2) ⋅ (−2)) =

= ((−6) : (−2)) ⋅ ((−6) : (−2)) = 3 ⋅ 3 = 32

Se dividen las bases y se deja el mismo exponente.

Para multiplicar o dividir potencias con el mismo exponente, se multiplican o dividen las bases y se deja el mismo exponente.

Potencias con la misma base

❚ Producto de potencias con la misma base

(−5)2 ⋅ 54 = 52 ⋅ 54 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 = 52+4

35 ⋅ −3( )3 = − 33 ⋅35( ) = − 3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3( ) = −38 = −33+5 =Se deja la misma base y se suman los exponentes.

❚ Cociente de potencias con la misma base

(−7)6 : 72 = 76 : 72 = 74 ⋅ 72 : 72 = 74 = 76−2

28 : −2( )5 = − 28 : 25( ) = −23 ⋅25 : 25 = −23 = −28−5

Se deja la misma base y se restan los exponentes.

❚ Potencia de una potencia

−3( )3( )2 = −3( )3 ⋅ −3( )3 = −3( )3+3 = −3( )3⋅2 = −3( )6 = 36

−3( )5( )3 = −3( )5 ⋅ −3( )5 ⋅ −3( )5 = −3( )5+5+5 = −3( )5⋅3 = −3( )15 = −315

Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

❚ Para multiplicar o dividir potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman o restan los exponentes.

❚ Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Potencias de exponente 0 y 1 (−8) : (−8) = 1 16 : (−8) = −2

(−2)3 : (−2)3 = (−2)0 = 1 (−2)4 : (−2)3 = (−2)1 = −2

(−2)3−3 = (−2)0 (−2)4−3 = (−2)1

❚ Una potencia de exponente 0 es igual a 1.

❚ Una potencia de exponente 1 es igual a la base.

Aprenderás a… ● Operar con potencias con el mismo exponente.

● Operar con potencias con la misma base.

● Calcular potencias con exponente 0 y 1.

Presta atención

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n

an : bn = (a : b)n

Presta atención

ap ⋅ aq = ap+q

ap : aq = ap−q

ap( )q = ap⋅q

Presta atención

a0 = 1 a1 = a

Expresa en forma de potencia única.a) 35 ⋅ 25 c) 127 : 47

b) 73 ⋅ 33 d) 322 ⋅ 162

Escribe como potencia única de base positiva.a) (−2)5 ⋅ 65 e) (−12)3 : (−6)3

b) (−2)5 ⋅ (−6)5 f) 123 : 63

c) 25 ⋅ (−6)5 g) (−12)3 : 63

d) 25 ⋅ 65 h) 123 : (−6)3

54

55

Opera y deja el resultado en forma de potencia única de base positiva.

a) 82 ⋅ −32( ) ⋅22 : 62

b) (−12)5 : (−3)5 ⋅ 55 : 25

c) 310 ⋅ (−4)10 : (−2)10 : (−3)10

Escribe como una única potencia de base positiva.

a) 25 ⋅ (−2)3 d) 612 ⋅ (−6)5

b) (−7)8 ⋅ 72 e) 47 ⋅ (−4)2

c) (−5)8 ⋅ 53 f) 36 ⋅ (−3)4

Expresa como una única potencia de base positiva.

a) 25 : (−2)3 d) 612 : (−6)5

b) (−7)8 : 72 e) 47 : (−4)2

c) (−5)8 : 53 f) 36 : (−3)4

Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) −5( )3( )3 d) −2( )2( )5

b) −3( )8( )2 e) −3( )3( )7

c) −9( )3( )8 f) −8( )6( )4

56

57

58

59


a) 35 ⋅ 34 : (−3)3 d) 92 ⋅ (−9)7 : (−9)5

b) (−11)8 : 112 ⋅ (−11)5 e) (−3)2 ⋅ 34 ⋅ 35

c) (−7)9 : 73 : 72 f) (−5)6 : (−5)4 ⋅ 55

Escribe como potencia única de base positiva.

a) 25 ⋅ −2( )3 : 25 ⋅ −2( )3( )2

b) 5( )95( )3

: 52 5( )3( )2

c) −3( )5( )3 : −33( )2 ⋅32

Calcula las siguientes potencias.

a) (−3)2 d) (−3)0

b) 32 e) −30

c) −32 f) 30


a) 34 ⋅ (−3) : (−3)2 c) −2( )4 : 24( )2 ⋅ −2( )3

b) (−5)5 : (−5)3 : 52 d) 34 : −3( )3( )5 ⋅ −3( )

60

61

62

63

EJERCICIO RESUELTO

} Expresa como potencia única de base positiva.

(−2)4 ⋅ 64 : (−3)4 ⋅ (−5)4

SoluciónRealizamos las operaciones de izquierda a derecha.(−2)4 ⋅ 64 : (−3)4 ⋅ (−5)4 = (−12)4 : (−3)4 ⋅ (−5)4 = = 44 ⋅ (−5)4 = (−20)4 = 204

EJERCICIO RESUELTO

} Escribe en forma de una única potencia de base positiva.

32 ⋅ (−3)5 : (−3)2

Solución

Investiga

Busca en Internet quién y dónde enunció las reglas para operar con números enteros tal y como lo hacemos en la actualidad.

64

ma2e2

1 Números enteros


57 Escribe como una única potencia de base positiva.

a) 25 ⋅ (−2)3 c) (−5)8 ⋅ 53 e) 47 ⋅ (−4)2

b) (−7)8 ⋅ 72 d) 612 ⋅ (−6)5 f) 36 ⋅ (−3)4

a) −25 ⋅23 = −28 c) 58 ⋅ 53 = 511 e) 47 ⋅ 42 = 49

b) 78 ⋅ 72 = 710 d) −612 ⋅ 65 = −617 f) 36 ⋅ 34 = 310

58 Expresa como una única potencia de base positiva.

a) 25 : (−2)3 c) (−5)8 : 53 e) 47 : (−4)2

b) (−7)8 : 72 d) 612 : (−6)5 f) 36 : (−3)4

a) −25 : 23 = −22 c) 58 : 53 = 55 e) 47 : 42 = 45

b) 78 : 72 = 76 d) −612 : 65 = −67 f) 36 : 34 = 32

59 Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) −5( )3( )3 c) −9( )3( )8 e) −3( )3( )7

b) −3( )8( )2 d) −2( )2( )5 f) −8( )6( )4

a) (−5)9 = −59 c) (−9)24 = 924 e) (− 3)21 = −321

b) (−3)16 = 316 d) (−2)10 = 210 f) (−8)24 = 824


a) 35 ⋅ 34 : (−3)3 c) (−7)9 : 73 : 72 e) (−3)2 ⋅ 34 ⋅ 35

b) (−11)8 : 112 ⋅ (−11)5 d) 92 ⋅ (−9)7 : (−9)5 f) (−5)6 : (−5)4 ⋅ 55

a) −35 ⋅ 34 : 33 = −36 c) −79 : 73 : 72 = −74 e) 32 ⋅ 34 ⋅ 35 = 311

b) −118 : 112 ⋅ 115 = −1111 d) 92 ⋅ 97 : 95 = 94 f) 56 : 54 ⋅ 55 = 57

61 Escribe como potencia única de base positiva.

a) 25 ⋅ −2( )3 : 25 ⋅ −2( )3( )2

b) 5( )9 5( )3 : 52 5( )3( )2

c) −3( )5( )3 : −33( )2 ⋅32

a) 25 ⋅ −2( )3 : 25 ⋅ −2( )3( )2 = −25 ⋅ 23 : 25 ⋅ 26 = −29

b) −5( )9 ⋅ −5( )3 : 52 ⋅ −5( )3( )2 = 59⋅ 53 : (52 ⋅ 53)2 = 59 53 : 510 = 52

c) −3( )5( )3 : −33( )2 ⋅32 = −315 : 36 ⋅ 32 = −311

62 Calcula las siguientes potencias.

a) (−3)2 b) 32 c) −32 d) (−3)0 e) −30 f) 30

a) 9 b) 9 c) −9 d) 1 e) −1 f) 163 Reduce a una sola potencia de base positiva.

a) 34 ⋅ (−3) : (−3)2 b) (−5)5 : (−5)3 : 52 c) −2( )4 : 24( )2 ⋅ −2( )3 d) 34 : −3( )3( )5 ⋅ −3( )

a) 34 ⋅ (−3) : (−3)2 = −34 ⋅ 3 : 32 = −33

b) (−5)5 : (−5)3 : 52 = 55 : 53 : 52 = 50 = 1

c) −2( )4 : 24( )2 ⋅ −2( )3 = −(20)2 ⋅ 23 = −1 ⋅ 23 = −23

d) 34 : −3( )3( )5 ⋅ −3( ) = 35 ⋅ 3 = 36

Investiga64 Busca en Internet quién y dónde enunció las reglas para operar con números enteros tal y como lo hacemos en la actua-

lidad.

El origen se encuentra en los matemáticos italianos del Renacimiento, como Tartaglia y Cardano.

19

1Números enteros


7. Operaciones combinadas

Soluciones de las actividades65 Resuelve, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a) 7 − (5 − 8) + 3 − 4 ⋅ 2 c) −12 − (4 − 12) + (5 − 7) + 1

b) 5 − 13 + (5 − 7 + 1) − (3 − 6) d) (−5 − 7) − (7 − 5 + 3) + 4

a) 7 + 3 + 3 − 4 ⋅ 2 = 7 + 3 + 3 − 8 = 5 c) −12 + 8 − 2 + 1 = −5

b) 5 − 13 − 1 + 3 = −6 d) −12 − 5 + 4 = −1366 Opera.

a) 5 − 3 ⋅ 2 + 7 c) −4 ⋅ (−3) + 5

b) 2 ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−2) d) 5 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 4

a) 5 − 6 + 7 = 6 c) 12 + 5 = 17

b) −10 − 6 = −16 d) 15 − 8 = 7


La jeraquía de las operaciones es conocida por los alumnos desde la etapa de Educación Primaria. Sin embargo, es un contenido en el que suelen errar. Suelen resolver correcta-mente las dos primeras operaciones pero luego comien-zan a cometer errores. Por este motivo, es importante ir añadiendo diferentes operaciones de forma gradual, hasta llegar a resolver expresiones que incluyan todas las opera-ciones.

Vídeo. OPERACIONES COMBINADAS

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un ejercicio de cálculo con operaciones combinadas, incluyendo potencias y raíces y aplican-do la jerarquía de las operaciones.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen los ejerci-cios de este tipo.

19


18

7. OPERACIONES COMBINADAS

Operaciones sin paréntesis

Al igual que cuando operamos con números naturales, para realizar operaciones combinadas con números enteros debemos seguir un orden.

12− 6 ⋅22 : 3− (−5)− 25 ⋅3

1 Calculamos todas las potencias y las raíces.

2 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

3 Resolvemos todas las sumas y las restas. Si hay varias, procedemos también de izquierda a derecha.

Operaciones con paréntesis

Cuando en una expresión con números enteros hay operaciones agrupadas con paréntesis, hemos de efectuar las operaciones siguiendo un orden.

(−3)2 + 5 ⋅ (4− 6) + 16 −1

1 Realizamos todas las operaciones que hay entre paréntesis.

2 Calculamos todas las potenciasy las raíces.

3 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, procedemos de izquierda a derecha.

4 Resolvemos todas las sumas y las restas de izquierda a derecha.

El orden en el que resolvemos operaciones combinadas con números enteros es el siguiente:1 Paréntesis.2 Potencias y raíces.3 Multiplicaciones y

divisiones (de izquierda a derecha).

4 Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Recuerda

Aprenderás a… ● Realizar operaciones combinadas con números enteros.

Presta atención

Al operar con raíces cuadradas, consideramos que es positiva.

49 = 7

12 − 6 ⋅ 22 : 3 − (−5) − 25 ⋅ 3 =

= 12 − 6 ⋅ 4 : 3 − (−5) − 5 ⋅ 3 =

= 12 − 8 − (−5) − 15 == 12 − 8 + 5 − 15 == 4 + 5 − 15 = 9 − 15 = −6

( 3)2 + 5 (4 6 ) + 16 1 =

= (−3)2 + 5 ⋅ (−2) + 16 −1 =

= 9 + 5 ⋅ (−2) + 4 − 1 =

= 9 − 10 + 4 − 1 = −1 + 4 − 1 == 3 − 1 = 2

} Resuelve la siguiente operación combinada.

12− 16 ⋅ (3− (5− 3) ⋅ (−2)) + (−2)3

SoluciónRealizamos las operaciones siguiendo el orden correcto.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e3

Resuelve, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a) 7 − (5 − 8) + 3 − 4 ⋅ 2 c) −12 − (4 − 12) + (5 − 7) + 1

b) 5 − 13 + (5 − 7 + 1) − (3 − 6) d) (−5 − 7) − (7 − 5 + 3) + 4

Opera.

a) 5 − 3 ⋅ 2 + 7 c) −4 ⋅ (−3) + 5

b) 2 ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−2) d) 5 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 4

Calcula los resultados en cada caso.

a) 3 − 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) c) 12 − 15 : (−3) + (−4) ⋅ 5

b) −7 ⋅ (−2) − 3 ⋅ 4 + 2 d) −7 − 3 ⋅ (−5) + 4 − 3 ⋅ (−5)

Opera.

a) 13 − 4 ⋅ (−3)2 c) 23 − 3 ⋅ (−2)3

b) 4 ⋅ (−5) + (−5)2 d) 52 ⋅ 2 + (−2)3 ⋅ 3

Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 4 ⋅ (−3) + (−2)5 : 4 − 7 c) 7 + 16 ⋅ (−3) − 5 + 32

b) −12 + (−2)3 ⋅ 9 − (−5) d) (−3)3 − (−5) ⋅ 36 + 5 ⋅ (−3)

Halla los resultados en cada caso.

a) 1− 4 ⋅ 3− −2( )2( ) + 5 c) 4 − 52 : (2 − 7) + 16

b) − 4−7( ) + 72 − 24 : − 64( ) d) −3( )2 + 5 ⋅ 32 − 42( )− 25

Calcula.

a) 3− −2( )3 − 4 ⋅ −5( )( )− − 49( ) c) −12 + 5 + 18 : −32( )( ) + 25

b) 15 + 18 : −6( )− 4 ⋅ 4( ) + −3( )3 d) 12− 4 ⋅ −2( )4( ) : −2( ) + 15

Resuelve. Ten en cuenta los paréntesis.

a) 5− 3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 25( )−12( ) + 8 : − 16( )

b) 6 ⋅ −3( ) + 12 + 7 ⋅ − 9( )− 2( )− 3( ) + 22

c) 4− 5 + −9( )( )− 4−7( ) ⋅ 36( )d) −15 + ((5 − 3 ⋅ 2) ⋅ 7 − (−2)4 : 4 + 7)

Alicia abre una cuenta en el banco e ingresa en ella 125 € cada mes. Si en este momento tiene 875 € en la cuenta, indica mediante una expresión matemática las siguientes situaciones.

a) Los meses que lleva la cuenta activa.

b) El dinero que tenía hace tres meses.

65

66

67

68

69

70

71

72

73

DESAFÍOEl sistema métrico utiliza la escala Celsius para medir la temperatura. Sin embargo, la temperatura en Estados Unidos todavía se mide en grados Fahrenheit. Las fórmulas para cambiar de escalas son:

F = 1,8 ⋅C + 32 o C =F − 32

1,8

Utiliza estas formulas para saber cuántos grados Fahrenheit son −20 ºC y cuántos grados centígrados son 14 ºF.

74

1 Números enteros


67 Calcula los resultados en cada caso.

a) 3 − 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3)

b) −7 ⋅ (−2) − 3 ⋅ 4 + 2

c) 12 − 15 : (−3) + (−4) ⋅ 5

d) −7 − 3 ⋅ (−5) + 4 − 3 ⋅ (−5)

a) 3 − 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) = 3 − 20 − 9 = −26

b) −7 ⋅ (−2) − 3 ⋅ 4 + 2 = 14 − 12 + 2 = 4

c) 12 − 15 : (−3) + (−4) ⋅ 5 = 12 + 5 − 20 = −3

d) −7 − 3 ⋅ (−5) + 4 − 3 ⋅ (−5) = −7 + 15 + 4 + 15 = 2768 Opera.

a) 13 − 4 ⋅ (−3)2

b) 4 ⋅ (−5) + (−5)2

c) 23 − 3 ⋅ (−2)3

d) 52 ⋅ 2 + (−2)3 ⋅ 3

a) 13 − 4 ⋅ (−3)2 = 13 − 4 ⋅ 9 = 13 − 36 = −23

b) 4 ⋅ (−5) + (−5)2 = −20 + 25 = 5

c) 23 − 3 ⋅ (−2)3 = 8 − 3 ⋅ (−8) = 8 + 24 = 32

d) 52 ⋅ 2 + (−2)3 ⋅ 3 = 25 ⋅ 2 − 8 ⋅ 3 = 50 − 24 = 2669 Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 4 ⋅ (−3) + (−2)5 : 4 − 7

b) −12 + (−2)3 ⋅ 9 − (−5)

c) 7 + 16 ⋅ (−3) − 5 + 32

d) (−3)3 − (−5) ⋅ 36 + 5 ⋅ (−3)

a) 4 ⋅ (−3) + (−2)5 : 4 − 7 = 4 ⋅ (−3) − 32 : 4 − 7 = −12 − 8 − 7 = −27

b) −12 + (−2)3 ⋅ 9 − (−5) = −12 − 8 ⋅ 3 + 5 = −12 − 24 + 5 = −36 + 5 = −31

c) 7 + 16 ⋅ (−3) − 5 + 32 = 7 + 4 ⋅ (−3) − 5 + 9 = 7 − 12 − 5 + 9 = −1

d) (−3)3 − (−5) ⋅ 36 + 5 ⋅ (−3) = −27 − (−5) ⋅ 6 − 15 = −27 + 30 − 15 = −12 70 Halla los resultados en cada caso.

a) 1− 4 ⋅ 3− −2( )2( ) + 5

b) − 4−7( ) + 72 − 24 : − 64( )

c) 4 − 52 : (2 − 7) + 16

d) −3( )2 + 5 ⋅ 32 − 42( )− 25

a) 1− 4 ⋅ 3− −2( )2( ) + 5 = 1 − 4 ⋅ (3 − 4) + 5 = 1 − 4 ⋅ (−1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10

b) − 4−7( ) + 72 − 24 : − 64( ) = −(−3) + 49 − 24 : (−8) = 3 + 49 + 3 = 55

c) 4 − 52 : ( 2 − 7) + 16 = 4 − 25 : (−5) + 4 = 4 + 5 + 4 = 13

d) −3( )2 + 5 ⋅ 32 − 42( )− 25 = 9 + 5 ⋅ (9 − 16) − 5 = 9 + 5 ⋅ (−7) − 5 = 9 − 35 − 5 = −31

21

1Números enteros


71 Calcula.

a) 3− −2( )3 − 4 ⋅ −5( )( )− − 49( )

b) 15 + 18 : −6( )− 4 ⋅ 4( ) + −3( )3

c) −12 + 5 + 18 : −32( )( ) + 25

d) 12− 4 ⋅ −2( )4( ) : −2( ) + 15

a) 3− −2( )3 − 4 ⋅ −5( )( )− − 49( ) = 3 − (−8 + 20) − (−7) = 3 − 12 + 7 = −2

b) 15 + 18 : −6( )− 4 ⋅ 4( ) + −3( )3 = 15 + (18 : (−6) − 4 ⋅ 2) − 27 = 15 +(−3 − 8) − 27 = 15 − 11 − 27 = −23

c) −12 + 5 + 18 : −32( )( ) + 25 = −12 + (5 + 18 : (−9) + 5 = −12 + (5 − 2) + 5 = −12 + 3 + 5 = −4

d) 12− 4 ⋅ −2( )4( ) : −2( ) + 15 = (12 − 4 ⋅ 16) : (−2) + 15 = (12 − 64) : (−2) + 15 = −52 : (−2) + 15 = 26 + 15 = 4172 Resuelve. Ten en cuenta los paréntesis.

a) 5− 3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 25( )−12( ) + 8 : − 16( )

b) 6 ⋅ −3( ) + 12 + 7 ⋅ − 9( )− 2( )− 3( ) + 22

c) 4− 5 + −9( )( )− 4−7( ) ⋅ 36( )d) −15 + ((5 − 3 ⋅ 2) ⋅ 7 − (−2)4 : 4 + 7)

a) 5− 3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 25( )−12( ) + 8 : − 16( ) = 5 − (3 ⋅ (9 − 20) − 12) + 8 : (− 4) = 5 − (3 ⋅ (−11) − 12) − 2 =

= 5 − (−33 − 12) − 2 = 5 + 45 − 2 = 48

b) 6 ⋅ −3( ) + 12 + 7 ⋅ − 9( )− 2( )− 3( ) + 22 = −18 + (12 + 7 ⋅ (−3 − 2) − 3) + 4 = −18 + (12 + 7 ⋅ (−5) − 3) + 4 =

= −18 + (12 − 35 − 3) + 4 = −18 − 26 + 4 = −40

c) 4− 5 + −9( )( )− 4−7( ) ⋅ 36( ) = 4 + 4 − (−3) ⋅ 6 = 4 + 4 + 18 = 26

d) −15 + ((5 − 3 ⋅ 2) ⋅ 7 − (−2)4 : 4 + 7) = −15 + ((5 − 6) ⋅ 7 − 16 : 4 + 7) = −15 + ((−-1) ⋅ 7 − 4 + 7) =

= −15 + (−7 − 4 + 7) = −15 − 4 = −1973 Alicia abre una cuenta en el banco e ingresa en ella 125 € cada mes. Si en este momento tiene 875 € en la cuenta, indica

mediante una expresión matemática las siguientes situaciones.

a) Los meses que lleva la cuenta activa.

b) El dinero que tenía hace tres meses.

a) 875 : 125 = 7 meses

b) 875 + 3 ⋅ (−125) = 875 − 375 = 500 €

Desafío74 El sistema métrico utiliza la escala Celsius para medir la temperatura. Sin embargo, la temperatura en Estados Unidos

todavía se mide en grados Fahrenheit. Las fórmulas para cambiar de escalas son:

F = 1,8 ⋅C + 32 o C =F − 32

1,8

Utiliza estas fórmulas para saber cuántos grados Fahrenheit son −20 ºC y cuántos grados centígrados son 14 ºF.

F = 1,8 ⋅ (−20) + 32 = −36 + 32 = −4 °F

C =14− 32

1,8=−18

1,8= −10 ºC

1 Números enteros


Lee y comprende las matemáticas

1 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

20 21

1Actividades

Medidas enteras

Hoteles increíbles del mundo

Al viajero curioso ya no le basta con una simple cama para pasar la noche, sino que busca un lugar con personalidad, que deje huella y sea una experiencia más del viaje.

Para dormir en la suite de Sala Silvermine, hay que tener valor. O al menos no sufrir de claustrofobia. Esta es la habitación de hotel más profunda del mundo. Se encuentraa −155 m en una antigua mina de plata. Aquí los móviles no funcionan y la única comunicación con el personal del hotel se realiza por radio. Es recomendable llevar ropa de abrigo, ya que durante una visita guiada recorrerás las oscuras y sinuosas galerías de la mina (a 2 ºC). Las temperaturas en la suite rondan los 18 ºC, aunque hay ropa de cama gruesa y calentita disponible. Por si acaso.

Fuente: www.ocholeguas.com

El extravagante hotel más alto del mundo estará en un pueblo de los Alpes

En Vals, un pequeño pueblo balneario del cantón de los Grisones, en Suiza, viven oficialmente menos de mil personas.Alrededor, montañas, el esplendor verde o blanco, según la estación del año, que podemos suponer. En ese paisaje parece que se va a construir el hotel (edificio dedicado exclusivamente a ese fin) más alto del mundo, con 381 m.

Cada planta tendrá solo una habitación. Costará entre 1 000 y 25 000 € la noche. También será el rascacielos más alto de Europa.

Fuente: www.abc.es

Julio ha leído los artículos sobre los dos hoteles: el más alto y el más profundo. Se imagina cómo sería si ambos estuvieran unidos uno sobre el otro y se comunicaran por una interminable escalera.

Si cada peldaño de la escalera de esa construcción tuviese un desnivel de −17 cm, ¿cuántos peldaños debería tener una escalera que nos llevase desde el punto más alto al más profundo de este imaginario hotel?

Analiza la pregunta

¿Cuántos peldaños debería tener una escalera que nos llevase desde el punto más alto al más profundo de este imaginario hotel?

Primero, elegimos una unidad de medida de longitud común para los datos del escalón y la profundidad del hotel.

A continuación, calculamos la distancia que hay del punto más alto al punto más bajo de este hotel imaginario.

Por último, dividimos este dato entre el desnivel de los peldaños.

Busca los datos

❚ La habitación más profunda se encuentra a −155 m.

❚ El hotel más alto del mundo va a medir 381 m.

❚ Cada escalón de la escalera tiene un desnivel de −17 cm.

Utiliza las matemáticas

Calculamos la distancia entre el punto más alto y el más bajo.

381 − (−155) = 381 + 155 = 536 m

Expresamos esta longitud en centímetros.

536 m = 53 600 cm

Tomamos el valor absoluto del desnivel de cada peldaño para obtener su altura.

|−17| cm = 17 cm

Dividimos la longitud total entre el desnivel de cada escalón.

53 600 : 17 = 3 152,94 escalones

Por tanto, se necesitan unos 3 153 escalones para ir del punto más alto al más bajo.

Beatriz necesita un frigorífico y lee lo siguiente.75 Rosalía es muy friolera y lee con atención los siguientes artículos.

77

a) ¿Cuántas estrellas como mínimo debe tener el frigorífico que compre Beatriz si quiere enfriar hasta los −15 ºC?

b) Un frigorífico congela hasta los −11 ºC. ¿Cuántas estrellas tendría que tener para que congele 5 ºC menos? ¿Y para congelar 5 ºC más?

Consejos a la hora de comprar un frigorífico

Elegir un modelo u otro determinará la conservación de los alimentos.

La duración de los productos congelados es otro de los aspectos que se deben considerar. La medida de la congelación viene dada por las estrellas del congelador:

a) 1 estrella: −6 ºC de temperatura mínima, por lo que serán congeladores para mantener unas horas los alimentos.

b) 2 estrellas: −12 ºC de temperatura mínima. Los alimentos se pueden congelar hasta unos tres días.

c) 3 estrellas: −18 ºC de mínima temperatura. Los alimentos duran meses congelados.

d) 4 estrellas: la congelación es más rápida y permite congelar mayor cantidad de alimentos.

Fuente: www.consumer.es

a) ¿En cuántos grados se superó la temperatura de hipotermia?

b) Si cada 30 min la temperatura variaba en −2 ºC, ¿cuántos grados habría en Michigan pasadas dos horas?

Temperaturas anormalmente bajas siguen azotando Estados Unidos

Peligro mortal

Un frío como el registrado el lunes causa hipotermia en unos cuantos minutos. Las tormentas de nieve y hielo han dejado una docena de muertos.

El Servicio Meteorológico señaló en su página web que, «combinadas con ráfagas de viento, las temperaturas van a caer a niveles potencialmente mortales, tan bajas como los −51 °C en algunos lugares del país».

En la madrugada del lunes, a la vera del lago Michigan, la temperatura bajó a −37 grados Celsius, informó laAgencia Francesa de Noticias, AFP, citando declaraciones de Sarah DeRoo, portavoz del municipio.

Fuente: www.univision.com

«A menos 30 grados te congelasen un minuto».

A temperaturas tan bajas, todo el cuerpo debe estar protegido. La hipotermia es el efecto más grave.

[…] Claro que todo depende de la protección que se tenga. «A menos 30 grados, la temperatura a la que se ha llegado en partes de EE UU, una persona mal preparada se congela en un minuto», afirma.

Fuente: El pais.es

Lee y contesta.76

¿Cuántos metros le faltaron para llegar a lo más profundo de la sima?

Jesús Calleja atrapado en la sima más profunda de la Tierra

El aventurero, que grababa un especial de Desafío extremo, se encuentra con su equipo a 1 600 m de profundidad.

Cinco jornadas después de comenzar con el desafío, el aventurero ha tenido que desistir por las malas condiciones climatológicas en el terreno. «No han podido alcanzar los −2 080 m. Se dan la vuelta. Era una decisión difícil, ha subido mucho el nivel de agua. La seguridad, lo primero».

Fuente: www.abc.es

Analiza cuál de estas frases está mejor enunciada.

❚ Está a una profundidad de −120 m por debajo del nivel del mar.

❚ Está a una profundidad de −120 m.

❚ Está a una profundidad de 120 m por debajo del nivel de mar.

78

Soluciones de las actividades75 Beatriz necesita un frigorífico y lee lo siguiente.

Consejos a la hora de comprar un frigorífico Elegir un modelo u otro determinará la conservación de los alimentos.La duración de los productos congelados es otro de los aspectos que se deben considerar. La medida de la congelación viene dada por las estrellas del congelador:a) 1 estrella: −6º C de temperatura mínima, por lo que serán congeladores para mantener unas horas los alimentos.b) 2 estrellas: −12º C de temperatura mínima. Los alimentos se pueden congelar hasta unos tres días.c) 3 estrellas: −18º C de mínima temperatura. Los alimentos duran meses congelados.d) 4 estrellas: la congelación es más rápida y permite congelar mayor cantidad de alimentos.

Fuente: www.consumer.es


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas utilizando números enteros.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

23

1Números enteros


a) ¿Cuántas estrellas como mínimo debe tener el frigorífico que compre Beatriz si quiere enfriar hasta los −15 ºC?

b) Un frigorífico congela hasta los −11 ºC, pero queremos que congele 5 ºC menos. ¿Cuántas estrellas tendría que tener? ¿Y para congelar 5 ºC más?

a) Tres estrellas o más. b) −11 − 5 = −16 ºC → Debe tener 3 estrellas al menos.

−11 + 5 = −6 ºC → Con una estrella valdría.76 Lee y contesta.

Jesús Calleja atrapado en la sima más profunda de la TierraEl aventurero, que grababa un especial de Desafío extremo, se encuentra con su equipo a 1 600 m de profundidad.Cinco jornadas después de comenzar con el desafío, el aventurero ha tenido que desistir por las malas condiciones climatológicas en el terreno. «No han podido alcanzar los −2 080 m. Se dan la vuelta. Era una decisión difícil, ha subido mucho el nivel de agua. La seguridad, lo primero».

Fuente: www.abc.es

¿Cuántos metros le faltaron para llegar a lo más profundo de la sima?

−1 600 − (−2 080) = −1 600 + 2 080 = 480

Le faltaron 480 m para llegar a lo más profundo de la sima.77 Rosalía es muy friolera y lee con atención los siguientes artículos.

Temperaturas anormalmente bajas siguen azotando Estados UnidosPeligro mortalUn frío como el registrado el lunes causa hipotermia en unos cuantos minutos. Las tormentas de nieve y hielo han dejado una docena de muertos. El Servicio Meteorológico señaló en su página web que, «combinadas con ráfagas de viento, las temperaturas van a caer a niveles poten-cialmente mortales, tan bajas como los −51 °C en algunos lugares del país».En la madrugada del lunes, a la vera del lago Michigan, la temperatura bajó a −37 grados Celsius, informó la Agencia Francesa de Noticias, AFP, citando declaraciones de Sarah DeRoo, portavoz del municipio.

Fuente: www.univision.com

«A menos 30 grados te congelas en un minuto».A temperaturas tan bajas, todo el cuerpo debe estar protegido. La hipotermia es el efecto más grave.[…] Claro que todo depende de la protección que se tenga. «A menos 30 grados, la temperatura a la que se ha llegado en partes de EEUU, una persona mal preparada se congela en un minuto», afirma.

Fuente: elpais.es

a) ¿En cuántos grados se superó la temperatura de hipotermia?

b) Si cada 30 min la temperatura variaba en −2 ºC, ¿cuántos grados habría en Michigan pasadas dos horas?

a) −51 − (−30) = −21 ºC

b) −37 ºC + 4 ⋅ (−2) = −37 − 8 = −45 ºC

Analiza78 Analiza cuál de estas frases está mejor enunciada.

❚❚ Está a una profundidad de −120 m por debajo del nivel del mar.

❚❚ Está a una profundidad de −120 m.

❚❚ Está a una profundidad de 120 m por debajo del nivel de mar.

Son válidas las dos últimas frases.

1 Números enteros



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Identificar la relación de divisibilidad entre dos números y calcular el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.

❚❚ Operar con números enteros.

❚❚ Calcular el valor de potencias y raíces de números enteros.

❚❚ Realizar operaciones combinadas con números enteros.

Actividades finalesSoluciones de las actividades79 Escribe tres múltiplos de 6 que estén comprendidos entre 20 y 40.

Tres múltiplos de 6 comprendidos entre 20 y 40: 24, 30 y 3680 Escribe todos los divisores de estos números.

a) 18 b) 21 c) 23 d) 32

a) Div(18) = 1, 2, 3, 6, 9 y 18 c) Div(23) = 1 y 23

b) Div(21) = 1, 3, 7 y 21 d) Div(32) = 1, 2, 4, 8, 16, 3281 Realiza la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 12 c) 360 e) 300

b) 128 d) 539 f) 567

a) 22 ⋅ 3 c) 23 ⋅ 32 ⋅ 5 e) 22 ⋅ 3 ⋅ 52

b) 27 d) 72 ⋅ 11 f) 34 ⋅ 7

¿Qué tienes que saber?

22 23

¿QUÉ1 tienes que saber? Actividades Finales 1

Calcula el m.c.d. (12, 15) y el m.c.m. (12, 15).

12 2 15 3 m.c.d. (12, 15) = 3

m.c.m. (12, 15) = 22 ⋅ 3 ⋅ 56 2 5 53 3 11

12 = 22 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5

Números naturales. DivisibilidadTen en cuenta

Dos números, a y b, son divisibles si la división a : b es exacta. El número a es múltiplo de b, yel número b es divisor de a.

❚ El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

❚ El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

¿Cuáles son los resultados?

a) (−2)5 b) (−3)4 c) Raíz cuadrada de 81 d) −16

a) (−2)5 = −25 = −32

b) (−3)4 = 34 = 81

c) Las raíces cuadradas de 81 son +9 y −9.

d) −16 → No se puede calcular.

Potencias y raíces de números enterosTen en cuenta

Potencias de base negativa

(−a)par = apar

(−a)impar = −aimpar

Realiza la siguiente operación combinada.

−15 − 23 ⋅ (5 − 7) + 36 : (−11 + 8)

−15 − 23 ⋅ (5 − 7) + 36 : (−11 + 8) = −15 − 23 ⋅ (−2) + 36 : (−3) =

= −15 − 8 ⋅ (−2) + 6 : (−3) = −15 + 16 − 2 = 1 − 2 = −1

Operaciones combinadas con números enterosTen en cuenta

❚ La raíz cuadrada de un entero positivo siempre tiene dos soluciones.

❚ La raíz cuadrada de un entero negativo no se puede calcular.

Números naturales. Divisibilidad

Escribe tres múltiplos de 6 que estén comprendidos entre 20 y 40.

Escribe todos los divisores de estos números.

a) 18 b) 21 c) 23 d) 32

Realiza la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 12 d) 539

b) 128 e) 300

c) 360 f) 567

Indica cuáles de estos números no pueden ser primos. Justifica tu respuesta.

12 30 23 16 51

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos.

a) 36 y 48 c) 54, 72 y 99

b) 25 y 27 d) 150, 250 y 340

Se quieren cortar tres cuerdas de 24, 32 y 36 cm, respectivamente, en trozos iguales con la mayor longitud posible. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Dos cronómetros están programados para que suenen uno cada 252 s y el otro cada 180 s. Si los dos acaban de sonar en cierto instante, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

Números positivos y negativos

Escribe tres oraciones donde utilices el número −15 en diferentes contextos.

Copia estas rectas numéricas y escribe los números que faltan en cada caso.

a) • • • • •–22 –17 –10 –9–25

b) • • •–22 –8 –2

c) • • •–30 5–5

Copia y completa estas desigualdades.

a) −4 < § < −1 d) −7 > § > −12

b) 0 > § > −2 e) −12 < § < −9

c) −1 < § < 1 f) 2 > § > −1

Calcula los siguientes valores absolutos.

a) |−27| d) |+301|

b) |+42| e) |−61|

c) |−37| f) |−15|

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

Resuelve.

a) op(−21) d) op(+53)

b) op(+37) e) op(−91)

c) op(−14) f) op(+52)

¿Son ciertas estas oraciones? Explica por qué.

a) El opuesto de un número es siempre negativo.

b) El valor absoluto de un número es siempre positivo.

¿Cuál es el número mayor en cada caso?

a) op(−43) y |−44| d) −|−4| y op(+3)

b) |op(+12)| y |−11| e) op(op(+5)) y |−|+6||

c) op(|−7|) y −op(+5) f) −|−12| y op(+13)

Escribe, en cada caso, un número que cumpla las condiciones que se indican.

a) Es mayor que −7 y menor que −3.

b) Es menor que |−6| y mayor que op(−2).

c) Es menor que op(|−5|) y mayor que op(+8).

d) Es mayor que −|−12| y menor que op(|−10|).

Operaciones con números enteros

Supongamos que la suma de dos números enteros, a y b, es negativa.

a) ¿Pueden ser a y b negativos?

b) ¿Pueden ser a y b positivos?

c) ¿Pueden ser a positivo y b negativo?

Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

Supongamos que la diferencia entre dos números enteros es negativa.

a) ¿Pueden ser los dos números negativos?

b) ¿Pueden ser los dos positivos?

c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?


¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.

a) 42 − 35 d) −5 + 68

b) 78 − 98 e) −67 + 56

c) −16 − 45 f) 72 − 86

Resuelve.

a) 3 − 7 + 4 d) −12 + 5 − 3

b) −5 + 12 − 4 e) 6 − 8 + 12

c) 4 − 3 − 7 f) 8 − 12 + 4

90

91

92

93

94

95

96

97

Resuelve estas expresiones con números enteros.

a) 15 − 17 − (−5) + (−8)

Primero, resolvemos los paréntesis y, después, operamos de izquierda a derecha.

15 − 17 − (−5) + (−8) = 15 − 17 + 5 − 8 = −2 + 5 − 8 = 3 − 8 = −5

−(−5) = +5 +(−8) = −8

b) (−15) ⋅ 6 : (−3)

Operamos de izquierda a derecha aplicando la regla de los signos.

(−15) ⋅ 6 : (−3) = −90 : (−3) = 30

(−15) ⋅ 6 = −90 −90 : (−3) = +30

Suma, resta, multiplicación y división de números enterosTen en cuenta

Suma o resta

❚ Con el mismo signo, se suman las partes numéricas y se deja el mismo signo que tienen los números.

❚ Con distinto signo, se resta a la parte numérica mayor la menor y se deja el signo de dicha parte numérica mayor.

Multiplicación o división

1 Se multiplican o dividen las partes numéricas.

2 El resultado tiene signo más (+) si los números tienen el mismo signo, o signo menos (−) si son de distinto signo.

25

1Números enteros


82 Indica cuáles de estos números no pueden ser primos. Justifica tu respuesta.

12 30 23 16 51

El único número primo es el 23; el 12, 16 y 30 no son primos por tener como divisor el 2, y el 51 por tener como divisor el 3.

83 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos.

a) 36 y 48 b) 25 y 27 c) 54, 72 y 99 d) 150, 250 y 340

a) m.c.d. (36, 48) = 22 ⋅ 3 = 12 m.c.m. (36, 48) = 24 ⋅ 32 = 144

b) m.c.d. (25, 27) = 1 m.c.m. (25, 27) = 52⋅ 33 = 675

c) m.c.d. (54, 72, 99) = 32 = 9 m.c.m. (54, 72, 99) = 23 ⋅ 33 ⋅ 11 = 2 376

d) m.c.d. (150, 250, 340) = 2 ⋅ 5 m.c.m. (150, 250, 340) = 22 ⋅ 3 ⋅ 53 ⋅ 17 = 25 50084 Se quieren cortar tres cuerdas, de 24, 32 y 36 cm, respectivamente, en trozos iguales con la mayor longitud posible.

¿Cuánto medirá cada trozo?

Se calcula el m.c.d. de 24, 32 y 36.

m.c.d. (24, 32, 36) = 22 = 4

Cada trozo medirá 4 cm.85 Dos cronómetros están programados para que suenen uno cada 252 s y el otro cada 180 s. Si los dos acaban de sonar en

cierto instante, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

Se calcula el m.c.m. de 252 y 180.

m.c.m. (252, 180) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1 260

Pasarán 1 260 segundos hasta que vuelvan a coincidir.86 Escribe tres oraciones donde utilices el número −15 en diferentes contextos.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Tengo en el banco un saldo de −15 €.

Hace mucho frío, hay −15 ºC.

He buceado hasta los −15 m.87 Copia estas rectas numéricas y escribe los números que faltan en cada caso.

a) • • • • •–22 –17 –10 –9–25

b) • • •–22 –8 –2

c) • • •–30 5–5

Comprobar que los alumnos escriben los números donde corresponde.88 Copia y completa estas desigualdades.

a) −4 < § < −1 d) −7 > § > −12

b) 0 > § > −2 e) −12 < § < −9

c) −1 < § < 1 f) 2 > § > −1


a) −4 < −3 < −1 d) −7 > −9 > −12

b) 0 > −1 > −2 e) −12 < −10 < −9

c) −1 < 0 < 1 f) 2 > 0 > −189 Calcula los siguientes valores absolutos.

a) |−27| c) |−37| e) |−61|

b) |+42| d) |+301| f) |−15|

a) 27 c) 37 e) 61

b) 42 d) 301 f) 15

1 Números enteros


90 Resuelve.

a) op(−21) c) op(−14) e) op(−91)

b) op(+37) d) op(+53) f) op(+52)

a) 21 b) −37 c) 14 d) −53 e) 91 f) −5291 ¿Son ciertas estas oraciones? Explica por qué.

a) El opuesto de un número es siempre negativo.

b) El valor absoluto de un número es siempre positivo.

a) Falso. Por ejemplo, el opuesto de −2 es 2.

b) Verdadero.92 ¿Cuál es el número mayor en cada caso?

a) op(−43) y |−44| c) op(|−7|) y −op(+5) e) op(op(+5)) y |−|+6||

b) |op(+12)| y |−11| d) −|−4| y op(+3) f) −|−12| y op(+13)

a) |−44| c) −op(+5) e) |−|6||

b) |op(+12)| d) op(+3) f) −|−12| 93 Escribe, en cada caso, un número que cumpla las condiciones que se indican.

a) Es mayor que −7 y menor que −3. c) Es menor que op(|−5|) y mayor que op(+8).

b) Es menor que |−6| y mayor que op(−2). d) Es mayor que −|−12| y menor que op(|−10|).


a) −5 b) 5 c) −7 d) −11 94 Supongamos que la suma de dos números enteros, a y b, es negativa.

a) ¿Pueden ser a y b negativos?

b) ¿Pueden ser a y b positivos?

c) ¿Pueden ser a positivo y b negativo?


a) Sí. Por ejemplo: (−3) + (−4) = −7

b) No, pues si a un número positivo se le suma otro positivo, el resultado es mayor. Por tanto, es positivo.

c) Sí. Por ejemplo: (+3) + (−4) = −195 Supongamos que la diferencia entre dos números enteros es negativa.





a) Sí. Por ejemplo: (−5) − (−4) = −1

b) Sí. Por ejemplo: (+5) − (+7) = −2

c) Sí. Por ejemplo: (−5) − (+2) = −796 ¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.

a) 42 − 35 c) −16 − 45 e) −67 + 56

b) 78 − 98 d) −5 + 68 f) 72 − 86

a) Positivo c) Negativo e) Negativo

b) Negativo d) Positivo f) Negativo97 Resuelve.

a) 3 − 7 + 4 c) 4 − 3 − 7 e) 6 − 8 + 12

b) −5 + 12 − 4 d) −12 + 5 − 3 f) 8 − 12 + 4

a) 0 c) −6 e) 10

b) 3 d) −10 f) 0

27

1Números enteros


98 Opera.

a) −2 + (−25) + 18 − 7 c) −16 + 7 − (−21) − 19

b) 9 − (−8) + (−20) + 15 d) 45 − 36 + (−18) − 23

a) −2 − 25 + 18 − 7 = −16 c) −16 + 7 + 21 − 19 = −7

b) 9 + 8 − 20 + 15 = 12 d) 45 − 36 − 18 − 23 = −3299 Resuelve estas expresiones.

a) −(12 − 18) + (−3) + (−3 − 15) c) 19 − 7 + (12 − 20) + (−15) − (12 + (−27))

b) −12 − (12 + (−15) − 7) + 8 − 21 d) −31 − (2 − 10 − (−8)) + (−15 − (−27))

a) 6 − 3 − 18 = −15 c) 19 − 7 − 8 − 15 + 15 = 4

b) −12 + 10 + 8 − 21 = −15 d) −31 + 0 + 12 = −19100 Supongamos que el producto de dos números enteros es negativo.





a) No, porque: − ⋅ − = +b) No, porque: + ⋅ + = +c) Sí, no hay otra posibilidad. Por ejemplo: (−2) ⋅ 3 = −6

25

Actividades Finales 1

24

1 Números enteros

Opera.a) −2 + (−25) + 18 − 7 b) 9 − (−8) + (−20) + 15 c) −16 + 7 − (−21) − 19 d) 45 − 36 + (−18) − 23

Resuelve estas expresiones.a) −(12 − 18) + (−3) + (−3 − 15)b) −12 − (12 + (−15) − 7) + 8 − 21c) 19 − 7 + (12 − 20) + (−15) − (12 + (−27))d) −31 − (2 − 10 − (−8)) + (−15 − (−27))

Supongamos que el producto de dos números enteros es negativo.a) ¿Pueden ser los dos números negativos?b) ¿Pueden ser los dos positivos?c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

Supongamos que el cociente de dos números enteros es negativo.a) ¿Pueden ser los dos números negativos?b) ¿Pueden ser los dos positivos?c) ¿Pueden ser uno positivo y otro negativo?Si la respuesta es afirmativa, escribe un ejemplo; si es negativa, justifícala.

¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.a) (−45) ⋅ 8 : 6 ⋅ 71b) (−525) : (−15) ⋅ (−36) : (−7)c) 23 ⋅ (−45) : 9 ⋅ (−12)d) (−360) : (−15) : 12 ⋅ (−99)

Resuelve.a) (−12) ⋅ 5b) 12 ⋅ (−5) : 30 ⋅ 4 c) (−42) : (−6) ⋅ 15 : (−5)d) 105 : (−7)e) (−8) ⋅ (−12) : (−4) ⋅ (−5)f) 45 : (−9) ⋅ (−6) ⋅ 2

Potencias y raíces cuadradasde números enteros

¿Qué signo tiene cada potencia? Comparte tus respuestas con tu compañero.a) (−53)16 d) (−29)105

b) (−49)71 e) (−15)49

c) (−71)39 f) (−63)1 051

98

99

100

101

102

103

104

Expresa como potencia de base positiva.

a) (−7)9 : (−7) ⋅ 73 c) (−5)12 : 54 ⋅ (−5)5

b) 97 ⋅ (−9)3 : (−9)2 d) (−3)16 : 35 : 36


a) 35 ⋅ −3( ) : 35 ⋅ −3( )2( )4

b) 5 ⋅ −5( )12 : −5( )2 ⋅ −5( )4( )2

c) −7( )2( )4 : −7( )2 ⋅72

d) 23 ⋅ −2( )12 : 23( )4( )2 ⋅ −2( )

Calcula estas potencias.

a) (−2)4 c) −24 e) −20

b) 24 d) (−2)0 f) 20

Operaciones combinadas

Resuelve.

a) 5 ⋅ (−3) + 4 − 3 ⋅ 2b) −21 − (−9) − 5 ⋅ (−3)

c) 4 ⋅ (−7) − (−10) − (−72) : 6

Opera.

a) −(16 − 20) : 2 + (−7) ⋅ (12 − 10)

b) 60 : (−5) + (−7) ⋅ (8 − 10) − 1

c) −25 + (−30 − 15) : (2 − 7) − 12

Opera.

a) 3 − 49 ⋅ (−7) + 5 ⋅ (−2)3 − 2

b) − 36 + 5 ⋅ (−4) + 42

c) −12 + 5 ⋅ 3 − (−4) ⋅ 3 + (−3)3

d) 2 + 25 − (−7) ⋅ 3 − 52

Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

Calcula las siguientes operaciones.

a) 3− 4− 5−7( )2 ⋅3 + − 9( )( ) ⋅2 + 1

b) 8 : − 16( )− 4− 5−7( )2 + 1( ) ⋅ 3− 6( )

c) 16− 24( ) : 23( ) ⋅ 12− 3 ⋅ −2( )2( )−5

d) −32− 4 ⋅ 3− 9( )−5( ) + 4− 9( )2

113

114

115

116

117

118

119

120

Expresa como una sola potencia de base positiva.a) (−2)63 d) (−2)244

b) (−2)82 e) (−2)75

c) (−2)34 f) (−2)352

¿Tienen cada par de potencias el mismo resultado? Explica tu respuesta.a) (−5)6 y 56 c) (−15)24 y 1524

b) −1221 y (−12)21 d) 3127 y (−31)27

Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números.a) 1 225 d) 1 764b) −2 704 e) −121c) 0 f) 10 000

Calcula los resultados de estas raíces.

a) 312 d) −49

b) (−27)2 e) (−37)2

c) −152 f) 672

Operaciones con potencias

Escribe como potencia única de base positiva.a) (−3)4 ⋅ 64 e) (−9)7 : (−9)7

b) (−7)5 ⋅ (−2)5 f) (−24)6 ⋅ (−4)6

c) 73 ⋅ (−3)3 g) (−36)8 : 98

d) (−5)6 ⋅ (−4)6 h) 255 : (−5)5

Opera y deja el resultado en forma de una sola potencia de base positiva.a) 43 ⋅ (−3)3 ⋅ 53 : 63

b) (−24)6 : (−3)6 ⋅ (−4)6 : 26

c) 65 ⋅ (−9)5 : (−3)5 : 25

d) (−8)8 ⋅ (−4)8 : (−2)8 ⋅ (−5)8

Expresa como potencia única de base positiva.a) 53 ⋅ (−5)4 g) 812 : (−8)3

b) (−9)8 ⋅ 95 h) (−2)8 : 2c) (−3)7 ⋅ 3 i) (−7)10 : 74

d) 711 ⋅ (−7)3 j) 618 : (−6)2

e) 47 ⋅ (−4) k) 517 : (−5)12

f) (−2)6 ⋅ 27 l) (−9)5 : 9


a) −7( )2( )3 d) −11( )3( )5

b) −5( )6( )4 e) −3( )6( )7

c) −9( )5( )7 f) −15( )6( )3

105

106

107

108

109

110

111

112

Problemas con números enteros

Un día de invierno, a la misma hora, diez estaciones meteorológicas registran estas temperaturas.

−2 ºC −4 ºC −9 ºC −6 ºC −11 ºC

−1 ºC −15 ºC −5 ºC −7 ºC −14 ºC

a) ¿Cuál es la temperatura más alta?

b) ¿Cuál es la más baja?

c) ¿Qué temperatura está más próxima a −10 ºC?

Gerardo tiene en la cuenta 255 €. Realiza un ingreso de 125 € y le cargan un recibo de 78 €. Después, realiza dos compras que tienen ambas el mismo importe. Si, finalmente, el saldo de la cuenta es de −18 €, ¿cuál ha sido el precio de esas compras?

Cualquier elevación terrestre se mide a partir del nivel del mar, que se considera que tiene una elevación de 0 m. Los puntos que se elevan por encima del nivel del mar se consideran positivos, y los que están por debajo de dicho nivel, negativos. Los puntos más bajos de cada continente son:

Continente Lugar Elevación

África Lago Assal −156 m

América del Norte

Valle de la Muerte −86 m

del SurLaguna del

Carbón −105 m

AntártidaFosa subglaciar

Bentley −2 540 m

Asia Mar Muerto −422 m

Australia Lago Eyre −12 m

Europa Mar Caspio −28 m

a) Ordénalos de menor a mayor elevación.

b) ¿Cuántos metros hay de diferencia entre la elevación del mar Caspio y la del mar Muerto?

c) Uno de los puntos subterráneos más profundos de la Tierra es la cueva de Voronya, en el Cáucaso, con −2 160 m. ¿En cuántos metros supera a la fosa Bentley? ¿Y qué diferencia de elevación tiene respecto al mar Muerto?

d) El punto más elevado de Europa es el monte Elbrus, en Rusia, con 5 642 m. ¿Cuántos metros hay de diferencia entre el monte Elbrus y la elevación más profunda del mismo continente?

Las temperaturas en cinco localidades del Pirineo en pleno invierno son las siguientes:

−13 ºC −17 ºC −20 ºC −16 ºC −14 ºC

Calcula la temperatura media.

121

122

123

124

a) – 81– (12 –20) : (–2)2 +5 ⋅ (7 –10)

b) –21+ (25 – 9) : (8 –12) + 121

c) – 8 – 3 ⋅22( ) + 5 –7( )3 : – 4( )

d) 25 – 144 ⋅ (7 – 9) + (3 – 6)3

1 Números enteros


101 Supongamos que el cociente de dos números enteros es negativo.





a) No, porque: − : − = +b) No, porque: + : + = +c) Sí, no hay otra posibilidad. Por ejemplo: (−9) : 3 = −3

102 ¿Qué signo tiene la solución de cada operación? Comparte los resultados con tu compañero.

a) (−45) ⋅ 8 : 6 ⋅ 71 c) 23 ⋅ (−45) : 9 ⋅ (−12)

b) (−525) : (−15) ⋅ (−36) : (−7) d) (−360) : (−15) : 12 ⋅ (−99)

a) Negativo b) Positivo c) Positivo d) Negativo103 Resuelve.

a) (−12) ⋅ 5 c) (−42) : (−6) ⋅ 15 : (−5) e) (−8) ⋅ (−12) : (−4) ⋅ (−5)

b) 12 ⋅ (−5) : 30 ⋅ 4 d) 105 : (−7) f) 45 : (−9) ⋅ (−6) ⋅ 2

a) −60 c) −21 e) 120

b) −8 d) −15 f) 60104 ¿Qué signo tiene cada potencia? Comparte tus respuestas con tu compañero.

a) (−53)16 b) (−49)71 c) (−71)39 d) (−29)105 e) (−15)49 f) (−63)1051

a) Positivo b) Negativo c) Negativo d) Negativo e) Negativo f) Negativo105 Expresa como una sola potencia de base positiva.

a) (−2)63 b) (−2)82 c) (−2)34 d) (−2)244 e) (−2)75 f) (−2)352

a) −263 b) 282 c) 234 d) 2244 e) −275 f) 2352

106 ¿Tienen cada par de potencias el mismo resultado? Explica tu respuesta.

a) (−5)6 y 56 b) −1221 y (−12)21 c) (−15)24 y 1524 d) 3127 y (−31)27

a) Sí, porque al elevar una potencia con base negativa a exponente par, el resultado es positivo.

b) Sí, porque al elevar una potencia con base negativa a exponente impar, el resultado es negativo.

c) Sí, porque al elevar una potencia con base negativa a exponente par, el resultado es positivo.

d) No, porque al elevar una potencia con base negativa a exponente impar, el resultado es negativo.107 Indica cuántas raíces cuadradas tienen estos números.

a) 1 225 b) −2 704 c) 0 d) 1 764 e) −121 f) 10 000

a) Dos. b) Ninguna. c) Una. d) Dos. e) Ninguna. f) Dos.108 Calcula los resultados de estas raíces.

a) 312 b) (−27)2 c) −152 d) −49 e) (−37)2 f) 672

a) 31 y −31 c) No tiene. e) 37 y −37

b) 27 y −27 d) No tiene. f) 67 y −67109 Escribe como potencia única de base positiva.

a) (−3)4 ⋅ 64 c) 73 ⋅ (−3)3 e) (−9)7 : (−9)7 g) (−36)8 : 98

b) (−7)5 ⋅ (−2)5 d) (−5)6 ⋅ (−4)6 f) (−24)6 ⋅ (−4)6 h) 255 : (−5)5

a) 184 c) −213 e) 17 g) 48

b) 145 d) 206 f) 966 h) −55

29

1Números enteros


110 Opera y deja el resultado en forma de una sola potencia de base positiva.

a) 43 ⋅ (−3)3 ⋅ 53 : 63 c) 65 ⋅ (−9)5 : (−3)5 : 25

b) (−24)6 : (−3)6 ⋅ (−4)6 : 26 d) (−8)8 ⋅ (−4)8 : (−2)8 ⋅ (−5)8

a) −103 b) 166 c) 95 d) 808

111 Expresa como potencia única de base positiva.

a) 53 ⋅ (−5)4 d) 711 ⋅ (−7)3 g) 812 : (−8)3 j) 618 : (−6)2

b) (−9)8 ⋅ 95 e) 47 ⋅ (−4) h) (−2)8 : 2 k) 517 : (−5)12

c) (−3)7 ⋅ 3 f) (−2)6 ⋅ 27 i) (−7)10 : 74 l) (−9)5 : 9a) 57 d) −714 g) −89 j) 616

b) 913 e) −48 h) 27 k) 55

c) −38 f) 213 i) 76 l) −94


a) −7( )2( )3 d) −11( )3( )5

b) −5( )6( )4 e) −3( )6( )7

c) −9( )5( )7 f) −15( )6( )3

a) 76 d) −1115

b) 524 e) 342

c) −935 f) 1518

113 Expresa como potencia de base positiva.

a) (−7)9 : (−7) ⋅ 73 c) (−5)12 : 54 ⋅ (−5)5

b) 97 ⋅ (−9)3 : (−9)2 d) (−3)16 : 35 : 36

a) 711 c) −513

b) −98 d) 35


a) 35 ⋅ −3( ) : 35 ⋅ −3( )2( )4 c) −7( )2( )4 : −7( )2 ⋅72

b) 5 ⋅ −5( )12 : −5( )2 ⋅ −5( )4( )2 d) 23 ⋅ −2( )12 : 23( )4( )2 ⋅ −2( )

a) −35 ⋅ 3 : 35 ⋅ 38 = −39 c) 78 : 72 ⋅ 72 = 78

b) 5 ⋅ 512 : 512 = 5 d) −23 ⋅ 20 ⋅ 2 = −24

115 Calcula estas potencias.

a) (−2)4 c) −24 e) −20

b) 24 d) (−2)0 f) 20

a) 16 c) −16 e) −1

b) 16 d) 1 f) 1116 Resuelve.

a) 5 ⋅ (−3) + 4 − 3 ⋅ 2 b) −21 − (−9) − 5 ⋅ (−3) c) 4 ⋅ (−7) − (−10) − (−72) : 6a) −15 + 4 − 6 = −17 b) −21 + 9 + 15 = 3 c) −28 + 10 + 12 = −6

1 Números enteros


117 Opera.

a) −(16 − 20) : 2 + (−7) ⋅ (12 − 10)

b) 60 : (−5) + (−7) ⋅ (8 − 10) − 1

c) −25 + (−30 − 15) : (2 − 7) − 12

a) 4 : 2 + (−7) ⋅ 2 = 2 − 14 = −12

b) −12 + (−7) ⋅ (−2) − 1 = −12 + 14 − 1 = 1

c) −25 + (−45) : (−5) − 12 = −25 + 9 − 12 = −28118 Opera.

a) 3 − 49 ⋅ (−7) + 5 ⋅ (−2)3 − 2

b) − 36 + 5 ⋅ (−4) + 42

c) −12 + 5 ⋅ 3 − (−4) ⋅ 3 + (−3)3

d) 2 + 25 − (−7) ⋅ 3 − 52

a) 3 − 7⋅ (−7) + 5 ⋅ (−8) − 2 = 3 + 49 − 40 − 2 = 10

b) −6 + 5 ⋅ (−4) + 16 = −6 − 20 + 16 = −10

c) −12 + 5 ⋅ 3 − (−4) ⋅ 3 − 27 = −12 + 15 + 12 − 27 = −12

d) 2 + 5 − (−7) ⋅ 3 − 25 = 2 + 5 + 21 − 25 = 3119 Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) − 81 − (12 − 20) : (−2)2 + 5 ⋅ (7 − 10) = −9 − (12 − 20) : 4 + 5 ⋅ (7 − 10) = −9 − (−8) : 4 + 5 ⋅ (−3) = = −9 + 2 − 15 = −22

b) −21 + (25 − 9) : (8 − 12) + 121 = −21 + (25 − 9) : (8 − 12) + 11 = −21 + 16 : (−4) + 11 = = −21 − 4 + 11 = −14

c) −(8 − 3 ⋅ 22) + (5 − 7)3 : − 4( ) = −(8 − 3 ⋅ 4) + (−2)3 : (−2) = −(8 − 12) − 8 : (−2) = 4 + 4 = 8

d) 25 − 144 ⋅ (7 − 9) + (3 − 6)3 = 25 − 12⋅ (7 − 9) + (−3)3 = 25 − 12 ⋅ (−2) − 27 = 25 + 24 − 27 = 22120 Calcula las siguientes operaciones.

a) 3− 4− 5−7( )2 ⋅3 + − 9( )( ) ⋅2 + 1

b) 8 : − 16( )− 4− 5−7( )2 + 1( ) ⋅ 3− 6( )

c) 16− 24( ) : 23( ) ⋅ 12− 3 ⋅ −2( )2( )−5

d) −32− 4 ⋅ 3− 9( )−5( ) + 4− 9( )2

a) 3 − (4 − (−2)2 ⋅ 3 + (−3)) ⋅ 2 + 1 = 3 − (4 − 4 ⋅ 3 − 3) ⋅ 2 + 1 = 3 − (4 − 12 − 3) ⋅ 2 + 1 = = 3 − (−11) ⋅ 2 + 1 = 3 + 22 + 1 = 26

b) 8 : (−4) − (4 − (−2)2 + 1) ⋅ (3 − 6) = 8 : (−4) − (4 − 4 + 1) ⋅ (3 − 6) = 8 : (−4) − 1 ⋅ (−3) = −2 + 3 = 1

c) ((16 − 24) : 8) ⋅ (12 − 3 ⋅ 4) − 5 = ((−8) : 8) ⋅ (12 − 12) − 5 = −1 ⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5

d) −32 − (4 ⋅ (3 − 3) − 5) + (−5)2 = −32 − (4 ⋅ 0 − 5) + 25 = −32 − (0 − 5) + 25 = −32 + 5 + 25 = −2

a) – 81– (12 –20) : (–2)2 +5 ⋅ (7 –10)

b) –21+ (25 – 9) : (8 –12) + 121

c) – 8 – 3 ⋅22( ) + 5 –7( )3 : – 4( )

d) 25 – 144 ⋅ (7 – 9) + (3 – 6)3

31

1Números enteros


121 Un día de invierno, a la misma hora, diez estaciones meteorológicas registran estas temperaturas.

−2 ºC −4 ºC −9 ºC −6 ºC −11 ºC −1 ºC −15 ºC −5 ºC −7 ºC −14 ºC

a) ¿Cuál es la temperatura más alta?

b) ¿Cuál es la más baja?

c) ¿Qué temperatura está más próxima a −10 ºC?

a) −1 ºC b) −15 ºC c) −9 ºC y −11 ºC122 Gerardo tiene en la cuenta 255 €. Realiza un ingreso de 125 € y le cargan un recibo de 78 €. Después, realiza dos compras

que tienen ambas el mismo importe. Si, finalmente, el saldo de la cuenta es de −18 €, ¿cuál ha sido el precio de esas compras?

255 + 125 = 380 380 + (−78) = 302 302 − (−18) = 320 320 : 2 = 160

El precio de las dos compras ha sido 320 €.

Por tanto, una sola compra ha costado 160 €.123 Cualquier elevación terrestre se mide a partir del nivel del mar, que se considera que tiene una elevación de 0 m. Los

puntos que se elevan por encima del nivel del mar se consideran positivos, y los que están por debajo de dicho nivel, negativos. Los puntos más bajos de cada continente son:

Continente Lugar Elevación

África Lago Assal −156 m

América del Norte Valle de la

Muerte −86 m

del Sur Laguna del Carbón −105 m

Antártida Fosa subglaciar Bentley −2 540 m

Asia Mar Muerto −422 m

Australia Lago Eyre −12 m

Europa Mar Caspio −28 m

a) Ordénalos de menor a mayor elevación.

b) ¿Cuántos metros hay de diferencia entre la elevación del mar Caspio y la del mar Muerto?

c) Uno de los puntos subterráneos más profundos de la Tierra es la cueva de Voronya, en el Cáucaso, con −2 160 m. ¿En cuántos metros supera a la fosa Bentley? ¿Y qué diferencia de elevación tiene respecto al mar Muerto?

d) El punto más elevado de Europa es el monte Elbrus, en Rusia, con 5 642 m. ¿Cuántos metros hay de diferencia entre el monte Elbrus y la elevación más profunda del mismo continente?

a) Lago Eyre < Mar Caspio < Valle de la Muerte < Laguna del Carbón < Lago Assal < Mar Muerto < Fosa subglaciar Bentley

b) −28 − (−422) = −28 + 422 = 394 Hay una diferencia de 394 m.

c) −2 160 − (−2 540) = −2 160 + 2 540 = 380 La cueva de Voronya supera en 380 m a la fosa Bentley.

−2 160 − (−422) = −2 160 + 422 = −1 738

La cueva de Voronya tiene una diferencia de elevación de −1 738 m respecto al mar Muerto.

d) 5 642 − (−28) = 5 642 + 28 = 5 670

Hay 5 670 m de diferencia entre el monte Elbrus y la elevación más profunda del mismo continente.124 Las temperaturas en cinco localidades del Pirineo en pleno invierno son las siguientes:

−13 ºC −17 ºC −20 ºC −16 ºC −14 ºC

Calcula la temperatura media.

Media: ((−13) + (−17) + (−20) + (−16) + (−14)) : 5 = (−80) : 5 = −16 ºC

1 Números enteros


Matemáticas vivas. Submarinismo

1 MATEMÁTICAS VIVAS

26 27

1Submarinismo

El buceo se considera una actividad de riesgo controlado, ya que se desarrolla en un medio que no es el natural del ser humano. Cada vez que un buceador realiza una inmersión, tiene que ser consciente de los peligros a los que se enfrenta.

A los −20 m o −25 m se encuentra la barrera entre el buceo deportivo y buceo profundo. En el año 1997 se creó en nuestro país una normativa en relación con la seguridad para el ejercicio de actividades subacuáticas, que regula tanto el buceo deportivo-recreativo como el profesional y que limita a los −50 m la profundidad del buceo.

RELACIONA

La fosa de las Marianas, localizada en el océano Pacífico, es la zona más profunda que se conoce en el mundo, y el Everest, situado en el Himalaya, es el punto más alto.

a. ¿Cuál es la diferencia de altura entre el punto más alto y el punto más profundo de la Tierra?

b. ¿Cuál es la diferencia entre el valor absoluto de los mismos puntos?de los mismos puntos?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Si un buceador pudiera realizar un descenso hasta la fosa de las Marianas sin que peligrase su salud, cosa imposible, a una velocidad de 20 m por minuto, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar al fondo?

2

COMPRENDE

Observa el gráfico anterior.

a. Indica cuáles de los buceadores están practicando buceo deportivo y cuáles están haciendo buceo profundo.

ARGUMENTA

b. ¿Qué buceador se encuentra más cerca de la superficie? ¿A qué profundidad está?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Teniendo en cuenta su profundidad, representa a todos los buceadores en una recta numérica.

REPRESENTA

d. ¿Cuántos metros separan al buceador más profundo del más cercano a la superficie?

e. ¿Cuál es el buceador que está corriendo más peligro?

f. ¿Por qué motivo crees que es más peligroso bucear a mayor profundidad?

PIENSA Y RAZONA

1

Uno de los mayores peligros en el buceo es el momento del ascenso a la superficie. Si se realiza de una forma muy rápida y sin haber expulsado todo el aire de los pulmones, se puede producir un desequilibrio entre las presiones y el aire no eliminado puede dañar los pulmones gravemente.

Para ayudar a los buceadores, se han elaborado unas tablas a fin de realizar esta subida de forma segura. Existen tablas para cada profundidad y tiempo de buceo. Por ejemplo, para una profundidad de −18 m solo se tiene que hacer una parada de descompresión a los −3 m transcurrido 2 min de ascenso.

Profundidad (m) Tiempo hastala parada (min)

Tiempo enel fondo (min)

Parada de descompresión en los −3 m

Tiempo totalde ascenso (min)

−18 2

60 0 2

120 26 28

180 56 58

a. ¿Cuántos metros tiene que recorrer un buceador en el primer minuto de ascensión?

b. ¿En cuáles de los siguientes gráficos no se ha respetado la tabla de descompresión?

•••

••• • •

•

•

•O 20

4

X

Y

•••

•• • • •

• •O 20

4

X

Y

•••

•• • • •

••

•O 20

4

X

Y

Lola tiene el siguiente plan para una inmersión: bajar hasta un profundidad de −5 m y estar ahí 4 min; después, subir 2 m para volver a bajar 12 m; a continuación, subir 3 m y, después, bajar 8 m. Sabiendo que en total han pasado 150 min en el fondo, ¿qué tabla de profundidad tiene que elegir?

Lola programa una inmersión fotográfica: bajará 3 m para realizar fotos durante 5 min y luego repetirá este proceso9 veces. En una de las paradas fotográfica echa un vistazo a su profundímetro y observa que marca −21 m.

a. ¿Cuántas paradas fotográficas lleva realizadas en ese momento?

b. Si hace dos paradas más, ¿a qué profundidad se encuentra ahora?

c. Si pudiese realizar 5 paradas más de las planeadas, ¿cuál sería su profundidad?

3

4

5

REFLEXIONA

RESUELVE

c. Si pudiese realizar 5 paradas más de las planeadas, ¿cuál sería su profundidad?

TRABAJO

COOPERATIVO TAREABuscad tablas de descompresión para distintas profundidades y realizad gráficos con planes de buceo que respeten las normas, las profundidades y las paradas para la descompresión.

Investigad sobre la mayor profundidad a la que se ha encontrado vida marina.


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el submarinismo, en la que intervienen los números enteros.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático, Representa, Piensa y razona o Resuelve.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Los alumnos buscarán en equipos pequeños tablas de descompresión para distintas profundidades y realizarán gráficos con planes de buceo. Además, investigarán sobre la mayor profundidad a la que se ha encontrado vida marina.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos realizarán la tarea en pequeños grupos y, finalmente, examinarán sus respuestas con el resto de la clase, y las elaborarán para ampliar los resultados.

Soluciones de las actividades

El buceo se considera una actividad de riesgo controlado, ya que se desarrolla en un medio que no es el natural del ser humano. Cada vez que un buceador reali-za una inmersión, tiene que ser consciente de los peligros a los que se enfrenta.

A los −20 m o −25 m se encuentra la barrera entre el buceo deportivo y buceo profundo. En el año 1997 se creó en nuestro país una normativa en relación con la seguridad para el ejercicio de actividades subacuáticas, que regula tanto el buceo deportivo−recreativo como el profesional y que limita a los −50 m la profundidad del buceo.

33

1Números enteros


Comprende1 Observa el gráfico anterior.

a) Indica cuáles de los buceadores están practicando buceo deportivo y cuáles están haciendo buceo profundo.

b) ¿Qué buceador se encuentra más cerca de la superficie? ¿A qué profundidad está?

c) Teniendo en cuenta su profundidad, representa a todos los buceadores en una recta numérica.

d) ¿Cuántos metros separan al buceador más profundo del más cercano a la superficie?

e) ¿Cuál es el buceador que está corriendo más peligro?

f) ¿Por qué motivo crees que es más peligroso bucear a mayor profundidad?

a) Buceo deportivo: buceador rojo; Buceo profundo: buceador verde y buceador amarillo.

b) El buceador rojo. Está a −10 m.

c) Comprobar que los alumnos colocan correctamente los números enteros −10, −30, −45 en la recta numérica.

d) −10 − (−45) = −10 + 45 = 35 m

e) El buceador verde.

f) Por la presión que ejerce el agua en el cuerpo del buceador.

Relaciona2 La fosa de las Marianas, localizada en el océano Pacífico, es la zona más profunda que se conoce en el mundo, y el Everest,

situado en el Himalaya, es el punto más alto.

a) ¿Cuál es la diferencia de altura entre el punto más alto y el punto más profundo de la Tierra?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el valor absoluto de los mismos puntos?

c) Si un buceador pudiera realizar un descenso hasta la fosa de las Marianas sin que peligrase su salud, cosa imposible, a una velocidad de 20 m por minuto, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar al fondo?

a) 8 840 − (−11 220) = 8 840 + 11 220 = 20 060

La diferencia es de 20 060 m.

b) |8 840| − |−11 220| = 8 840 − 11 220 = −2 380

La diferencia es de −2 380 m.

c) −11 220 : (−20) = 561

Tardaría: 561 minutos = 9 horas y 21 minutos

1 Números enteros


Reflexiona3 Uno de los mayores peligros en el buceo es el momento del ascenso a la superficie. Si se realiza de una forma muy rápida

y sin haber expulsado todo el aire de los pulmones, se puede producir un desequilibrio entre las presiones y el aire no eliminado puede dañar los pulmones gravemente.

Para ayudar a los buceadores, se han elaborado unas tablas a fin de realizar esta subida de forma segura. Existen tablas para cada profundidad y tiempo de buceo. Por ejemplo, para una profundidad de −18 m solo se tiene que hacer una parada de descompresión a los −3 m transcurrido 2 min de ascenso.

Profundidad (m) Tiempo hasta la parada (min)

Tiempo en el fondo (min)

Parada de descompresión en los −3 m

Tiempo total de ascenso (min)

−182

60 0 2

120 26 28

180 56 58

a) ¿Cuántos metros tiene que recorrer el buceador en el primer minuto de ascensión?

b) ¿En cuáles de los siguientes gráficos no se ha respetado la tabla de descompresión?

•••

•• • • •

••

•O 20

4

X

Y

•••

•• • • •

• •O 20

4

X

Y

•••

••• • •

•

•

•O 20

4

X

Y

a) En 2 min tiene que llegar desde los −18 m hasta los −3 m, luego sube 15 m en 2 min, es decir, 7,5 m por minuto.

b) En el primero y el último.4 Lola tiene el siguiente plan para una inmersión: bajar hasta una profundidad de −5 m y estar ahí 4 min; después, subir

2 m para volver a bajar 12 m; a continuación, subir 3 m y, después, bajar 8 m. Sabiendo que en total han pasado 150 min en el fondo, ¿qué tabla de profundidad tiene que elegir?

−5 + 2 − 12 + 3 − 8 = −20

La tabla de −20 m y 150 min.5 Lola programa una inmersión fotográfica: bajará 3 m para realizar fotos durante 5 min y luego repetirá este proceso 9

veces. En una de las paradas fotográficas, echa un vistazo a su profundímetro y observa que marca −21 m.

a) ¿Cuántas paradas fotográficas lleva realizadas en ese momento?

b) Si hace dos paradas, ¿a qué profundidad se encuentra ahora?

c) Si pudiese realizar 5 paradas más de las planeadas, ¿cuál sería su profundidad?

a) −21 : (−3) = 7 veces b) −21 + 2 ⋅ (−3) = −21 − 6 = −27 m c) −27 + 5 ⋅ (−3) = −27 − 15 = −32 m

Trabajo cooperativo

TAREABuscad tablas de descompresión para distintas profundidades y realizad gráficos con planes de buceo que respeten las normas, las profundidades y las paradas para la descompresión.

Investigad sobre la mayor profundidad a la que se ha encontrado vida marina.

Respuesta abierta.

35

1Números enteros


28

1 Números enteros

Observa varias maneras de resolver este cociente de potencias: 104 : 106

❚ Se aplica la propiedad del cociente de dos potencias con la misma base: 104

106= 104−6 = 10−2

10−2 =1

102

❚ Se desarrollan las potencias para, a continuación, efectuar el cociente: 104

106=

10 000

1000 000=

1

100=

1

102

Observa que: a−n =1

an

AVANZA

A1. Calcula las siguientes potencias con exponente negativo.

a) 3−3 c) 2−5 e) 4−3

b) 5−4 d) 7−2 f) 10−5

A2. Calcula el valor de estas potencias.

a) 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

e) 6

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

b) 3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

d) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−6

f) 10

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

A3. Halla el valor de estas potencias.

a) (−2)−4 c) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

e) (−10)−5

b) −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

d) (−2)−6 f) −3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

A4. Expresa en forma de una única potencia de exponente positivo.

a) 23 : 27 c) 53 : 54

b) 7 : 75 d) 43 : 49

Potencias cuyo exponente es un número negativo

CÁLCULO MENTAL Tanteo de raíces cuadradas

El resultado de una raíz cuadrada es un número que, al elevarlo al cuadrado, da el radicando. Por tanto, es conveniente saber cuáles son las terminaciones de los primeros números naturales al cuadrado.

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100

Por ejemplo, si queremos calcular 1849 :

❚ Primero, acotamos la decena.

Tenemos que 402 = 1 600 y 502 = 2 500; luego, se tiene que: 40 < 1849 < 50

❚ En segundo lugar, como el número acaba en 9, los únicos posibles valores para la raíz son 43 y 47.

Calculamos las dos potencias y obtenemos el resultado.

432 = 1 849 472 = 2 209

Por consiguiente, tenemos que 1849 = 43.

CM1. Calcula las siguientes raíces cuadradas.

a) 2916 c) 1521 e) 8 281

b) 4 225 d) 5 776 f) 3 844


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el cálculo de potencias cuyo exponente es un número negativo para completar lo aprendido en la unidad.

Este contenido será ampliado en cursos superiores.


A1. Calcula las siguientes potencias con exponente negativo.

a) 3−3 b) 5−4 c) 2−5 d) 7−2 e) 4−3 f) 10−5

a) 3−3 =1

33=

1

27 d) 7−2 =

1

72=

1

49

b) 5−4 =1

54=

1

625 e) 4−3 =

1

43=

1

64

c) 2−5 =1

25=

1

32 f) 10−5 =

1

105=

1

100000A2. Calcula el valor de estas potencias.

a) 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

e) 6

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

b) 3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

d) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−6

f) 10

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

a) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

=27

8 b)

5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

=625

81 c) 25 = 32 d) 106 = 1000000 e)

7

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=49

36 f)

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

=27

1000

A3. Halla el valor de estas potencias.

a) (−2)−4 b) −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

c) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

d) (−2)−6 e) (−10)−5 f) −3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

a) 2−4 =1

24=

1

16 c) 105 = 100000 e) −10−5 =

−1

105=

−1

100 000

b) −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

= −53 = −125 d) 2−6 =1

26=

1

64 f)

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

=10

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

=10 000

8 ⋅1

A4. Expresa en forma de una única potencia de exponente positivo.

a) 23 : 27 b) 7 : 75 c) 53 : 54 d) 43 : 49

a) 2−4 =1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

b) 7−4 =1

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

c) 5−1=1

5 d) 4−6 =

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

Cálculo mental. Tanteo de raíces cuadradasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para tantear raíces cuadradas, basada en el razonamiento ¿Entre qué dos cuadrados se encuentra el número del que tengo que calcular la raíz cuadrada?


CM1. Calcula las siguientes raíces cuadradas.

a) 2916 b) 4 225 c) 1521 d) 5 776 e) 8 281 f) 3 844

a) 54 b) 65 c) 39 d) 76 e) 91 f) 62

Avanza. Potencias cuyo exponente es un número negativo

1 Números enteros


1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 42 y 54.

Descomponemos en factores primos los dos números.

42 = 2⋅ 3 ⋅ 7

54 = 2 ⋅ 33

Elegimos los factores y exponentes adecuados.

m.c.d. (42, 54) = 2 ⋅ 3

m.c.m. (42, 54) = 2 ⋅ 33 ⋅ 7

2. Ordena los siguientes números enteros.

op(4) |−5| 3 −6

Primero transformamos los opuestos y los valores absolutos.

op(4) = −4

|−5| = 5

Después, ordenamos todas las cantidades.

−6 < −4 < 3 < 5 → −6 < op(4) < 3 < |−5|

3. Realiza las siguientes operaciones con números enteros.

a) 3 − 5 + (−4) b) −12 + (−7) − (−8) c) 12 : (−4) ⋅ 5 d) 9 ⋅ (−2) : (−3)

a) 3 − 5 + (−4) = 3 − 5 − 4 = −6

b) −12 + (−7) − (−8) = −12 − 7 + 8 = −11

c) 12 : (−4) ⋅ 5 = −3 ⋅ 5 = −15

d) 9 ⋅ (−2) : (−3) = −18 : (−3) = 6


a) (−3) ⋅ (5 − 7) + (−2)3

b) 20 : − 16( ) + (−5) + (−2) ⋅ (5 − 9)

a) (−3) ⋅ (5 − 7) + (−2)3 = (−3) ⋅ (5 − 7) − 8 = (−3) ⋅ (−2) + (−8) = 6 − 8 = −2

b) 20 : − 16( ) + (−5) + (−2) ⋅ (5 − 9) = 20 : (−4) + (−5) + (−2) ⋅ (5 − 9) = −5 − 5 +(−2) ⋅ (−4) = −5 − 5 + 8 = −2

5. Expresa cada resultado en forma de potencia única.

a) 32 ⋅ 52 ⋅ (−2)2

b) 54 ⋅ (56 : 53)2

a) 32 ⋅ 52 ⋅ (−2)2 = 32 ⋅ 52 ⋅ 22 = 302

b) 54 ⋅ (56 : 53)2 = 54 ⋅ (53)2 = 54 ⋅ 56 = 510

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

37

1Números enteros


1. Javier tiene una caja llena de canicas. Las canicas las puede agrupar en grupos de 12, de 15 y de 20 sin que sobre ninguna canica. Averigua el número de canicas que tiene Javier, si tiene más de 100 canicas pero menos de 150.

El número de canicas que tiene Javier ha de ser un múltiplo de 12, de 15 y de 20. Por tanto, calculamos el mínimo común múltiplo de estos números.

12 = 22 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 20 = 22 ⋅ 5

m.c.m. (12, 15, 20) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

Como Javier tiene más de 100 canicas pero menos de 150, el número de canicas que tiene ha de ser un múltiplo de 60 que se encuentre entre 100 y 150.

Múltiplos de 60: 60, 120, 180…

Por tanto, Javier tiene un total de 120 canicas.

2. Ordena los siguientes números enteros.

|op(−12)| op(|−15|) −|−13| −op(18)

Tenemos que:

|op(−12)| = |12| = 12

op(|−15|) = op(15) = −15

−|−13| = −13

−op(18) = −(−18) = 18

Ordenamos los resultados y tenemos:

−15 < −13 < 12 < 18 → op(|−15|) < −|−13| < |op(−12)| < −op(18)

3. Resuelve estas sumas y restas de números enteros.

a) (−12) − (5 − 17 + (−8)) − (3 − 12)

b) −(4 − 19 − (−12)) + (−5) − (−12 + 21)

a) (−12) − (5 − 17 + (−8)) − (3 − 12) = −12 − (−20) − (−9) = −12 + 20 + 9 = 17

b) −(4 − 19 − (−12)) + (−5) − (−12 + 21) = −(−3) + (−5) − (9) = 3 − 5 − 9 = −11

4. Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a) 3 − (5 − 4 ⋅ 2) + 25 ⋅ (3 − 8)

b) −15 − (8 − 3 ⋅ 3)2 + (−18) : (2 − 5)

a) 3 − (5 − 4 ⋅ 2) + 25 ⋅ (3 − 8) = 3 − (−3) + 25 ⋅ (−5) = 3 + 3 + 5 ⋅ (−5) = 3 + 3 − 25 = −19

b) −15 − (8 − 3 ⋅ 3)2 + (−18) : (2 − 5) = −15 − (8 − 9)2 + (−18) : (2 − 5) = −15 − (−1)2 + (−18) : (2 − 5) = = −15 − 1 + (−18) : (−3) = −15 − 1 + 6 = −10

5. Expresa el resultado en forma de potencia única.

a) (−52) ⋅ 53 : (−5)4

b) 76 : (−7)3 ⋅ (−7)3( )2

a) (−52) ⋅ 53 : (−5)4 = −52 ⋅ 53 : 54 = −5

b) 76 : (−7)3 ⋅ (−7)3( )2 = −76 : 73 ⋅76 = −79

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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