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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL FACTOR Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí dan como resultado la expresión inicial. Si multiplico x por ( x + y ) se obtiene: FACTORIZAR Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores. CASOS DE FACTORIZACIÓN Para factorizar monomios y polinomios se utilizan varios procedimientos que se desarrollan mediante situaciones o casos que se presentan con un método particular para cada uno. Caso I. Factor común monomio Se presenta cuando todos los términos de un polinomio tienen una elemento en común, bien sea numérico, literal o ambos. Descomponer o factorar la expresión: Los tres términos tienen el factor común a. Se escribe el factor común a como coeficiente de los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común. Estos resultados se encierran dentro de un paréntesis separados por sus correspondientes signos.
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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL FACTOR
Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí dan como resultado la expresión inicial.
Si multiplico x por ( x + y ) se obtiene:
FACTORIZAR
Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
Para factorizar monomios y polinomios se utilizan varios procedimientos que se desarrollan mediante situaciones o casos que se presentan con un método particular para cada uno.
Caso I. Factor común monomio
Se presenta cuando todos los términos de un polinomio tienen una elemento en común, bien sea numérico, literal o ambos.
Descomponer o factorar la expresión:
Los tres términos tienen el factor común a. Se escribe el factor común a como coeficiente de los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común. Estos resultados se encierran dentro de un paréntesis separados por sus correspondientes signos.
Factorizar:
Factorizar:
Caso I. Factor común polinomio
Factorizar:
3x(x - 2) - 2y(x - 2)
Los dos términos de esta expresión tienen en común el binomio (x - 2), entonces escribimos el binomio (x - 2) como coeficiente de un paréntesis donde irán los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común (x - 2) separados por el signo correspondiente.
Factor común: (x - 2)
Luego:
Se escribe primero el factor común. Todo caso de factorización se prueba multiplicando los factores obtenidos y comprobando que resulte la expresión algebraica inicial.
Caso II. Factor común por agrupación
El segundo paréntesis va precedido del signo menos -, que corresponde al signo del tercer término, y se sabe que se debe cambiar de signo al término 3n porque el paréntesis va precedido del signo menos -.
Factorizar:
Caso III. Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de un producto de dos factores idénticos:
De lo anterior se concluye que la raíz cuadrada de una cantidad positiva posee dos signos uno positivo y otro negativo.
Raíz cuadrada de un monomio
El anterior procedimiento se enuncia mediante la siguiente regla: Un trinomio ordenado es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son cuadrados perfectos, es decir, que tiene raíz cuadrada exacta, son positivos y el segundo término es dos veces el producto de sus raíces cuadradas. (El doble producto de las raíces puede ser positivo o negativo.)
Hay ocasiones en que el primero, tercero, o ambos términos de un trinomio resultan ser expresiones compuestas, y si bien es un caso especial, para su desarrollo se procede de la misma manera que la estipulada en el ejemplo anterior:
Caso IV. Diferencia de cuadrados perfectos.
Se ha visto en los productos notables que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de las cantidades. Recordemos:
Para factorizar una diferencia de cuadrados le extraemos la raíz cuadrada tanto al minuendo como al sustraendo y el resultado será el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas extraídas.
Factorizar:
Al igual que en el caso anterior (caso III) se pueden encontrar expresiones algebraicas en que en una diferencia de cuadrados uno o ambos cuadrados resultan ser expresiones compuestas.
Factorizar:
Combinación de los casos III y IV
Factorizar:
Importante:
Al introducir una cantidad dentro de un paréntesis precedido de un signo -, se debe cambiar de signo a la cantidad.
En la eliminación de signos de agrupación (paréntesis) se debe aplicar la ley de los signos.
Caso V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Es decir:
Factorizar:
Caso especial. Factorizar una suma de cuadrados.
Factorizar:
Para que esta expresión algebraica sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta
que su segundo término sea igual al doble producto de las raíces cuadradas
Entonces sumamos esta cantidad al trinomio inicial para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto y para que éste no se altere se le resta la misma cantidad que se ha sumado.
Es decir:
Caso VI. Trinomio de la forma
De acuerdo con la expresión general son trinomios como:
y que tienen las siguientes características:
El coeficiente del primer término es igual a 1.
El primer término es una parte literal cualquiera elevada al cuadrado, es decir, es cuadrado perfecto.
El segundo término tiene la misma parte literal que el primer término con exponente 1 y coeficiente cualquier número positivo o negativo.
El tercer término es un número cualquiera positivo o negativo e independiente del primero y segundo términos.
Se descompone el trinomio en dos binomios, donde el primer término de cada binomio va a ser la raíz cuadrada del primer término del trinomio:
(x....... .) (x......... )
En el primer binomio se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo binomio se escribe el producto del signo del segundo término del trinomio
por el signo del tercer término del trinomio:
(x +...... ) (x -...... )
Ahora se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente de segundo término del trinomio con su signo correspondiente y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio con su signo correspondiente.
Para hallar estos dos números de una forma más rápida se realiza mediante la descomposición del tercer término del trinomio en sus factores primos:
(x + 5) (x - 2)
10 dividido entre 2 = 5
5 dividido entre 5 = 1
Los números serán 5 y 2.
Se han buscado dos números cuya suma algebraica sea igual a 3 y cuyo producto sea igual a -10.
Entonces se concluye que:
Caso VII. Trinomio de la forma a
Estos trinomios se diferencian de los anteriores (caso VI) en que el primer término tiene un coeficiente diferente de 1. Por tal razón pueden no ser cuadrados perfectos estos coeficientes.
Factorizar:
Caso VIII. Cubo perfecto de binomios.
En los productos notables vimos que:
De lo que se puede concluir que para que una expresión algebraica sea el cubo perfecto de un binomio, debe cumplir con las siguientes características:
Estar ordenado con respecto de una letra.
El primero y último términos deben ser cubos perfectos.
El segundo término debe ser tres veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicada por la raíz cúbica del último término.
El tercer término debe ser tres veces la raíz cúbica del primer término, multiplicada por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.
Factorizar:
Veamos si esta expresión cumple con las condiciones para que sea el cubo perfecto de un binomio:
Factorizar:
Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Se vio en cocientes notables que:
Estos dos enunciados se utilizan para Factorizar la suma o diferencia de un cubo perfecto.
Caso X. Suma o diferencia de dos potencias iguales.
También se vio en los cocientes notables que:
Factorizar:
Ejercicios:
Descomponer en factores:
Respuestas:
Respuestas al pensamiento lateral de la unidad anterior
El veneno estaba en los cubitos de hielo, cuando el hombre bebió, el hielo aún estaba congelado.
Los medio agujero no existen. Un agujero siempre será un agujero.
Si el que pilota el avión eres tú el nombre del piloto será el tuyo.
El personaje tenia hipo.
A veces la realidad no es lo que parece...
Mira las dos líneas gruesas,... ¿Son rectas?
Son rectas y totalmente paralelas... ¡quién lo diría!
Las zonas blancas son cuadrados o trapecios?
