Unidad N 4: Medidas de Dispersin

Unidad N 4: Medidas de DispersinAsignatura: Estadstica I (MAT-31214)Elaborado por: Lcdo. Ely Rosas

UNIDAD N 4: MEDIDAS DE DISPERSIN

4.1. MEDIDAS DE DISPERSIN. CONCEPTO

Estas medidas tambin son conocidas como de variabilidad y su funcin consiste en determinar el grado de dispersin de los valores con respecto a un promedio. Entre ellas se tienen:

4.1.1. EL RANGO

Es la medida numrica descriptiva ms sencilla de la variacin de un conjunto de datos, y es igual a valor mayor menos el valor menor. Es decir,

Ejemplo: Determine el rango para los datos de la Tabla N 2.

Tabla N 2: Nmero total de vehculos alquilados en un fin de semana, para una muestra de 15 agencias de alquiler de vehculos que funcionan en la Isla de Margarita.6082151245

2538254562

3245325612

Fuente: Datos suministrados por la Corporacin de Turismo del Estado Nueva Esparta

4.1.2. EL RANGO SEMI-INTERCUARTIL

Tambin llamado desviacin cuartil, se denota por y est definido como la diferencia entre el tercer y primer cuartil de un conjunto de datos, dividida entre dos. Es decir,

Ejemplo: Determine el rango semi-intercuartil para los datos de la Tabla N 2.

4.1.3. EL RANGO PERCENTIL 10-90

El rango percentil 10-90 de un conjunto de datos est definido como la diferencia entre el percentil 90 y el percentil 10. Es decir,

Ejemplo: Determine el rango percentil 10-90 para los datos de la Tabla N 2.

4.1.4. DESVIACIN MEDIA

Este valor se obtiene restando a cada una de las observaciones la media aritmtica, para luego obtener de cada diferencia el valor absoluto correspondiente. Su clculo se determina con la siguiente expresin:

Ejemplo: Determine la desviacin media para los datos de la Tabla N 2.

4.1.4.1. LA DESVIACIN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Ejemplo: Determine la desviacin media para los datos de la Tabla N 3.

4.1.5. LA VARIANZA Y LA DESVIACIN TPICA O ESTNDAR

La varianza y la desviacin estndar son dos medidas de la variacin muy utilizadas para tomar en cuenta cmo se distribuyen los datos. Estos estadsticos miden la dispersin promedio alrededor de la media, es decir qu tanto varan los valores ms grandes que estn por encima de ella y cmo se distribuyen los valores menores que estn por debajo de ella.

La varianza para una muestra es la suma de las diferencias con respecto a la media elevada al cuadrado y dividida por el tamao de la muestra menos uno. Es decir,

Donde

n = tamao de la muestra= i-simo valor de la variable X = sumatoria de los cuadrados de todas las diferencias entre los valores de y .

La desviacin estndar de una muestra es la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias con respecto a la media dividida por el tamao de la muestra menos uno. Es decir,

Para calcular la varianza y la desviacin estndar de una muestra:

Ejemplo: Suponga que se define en minutos (redondeando al minuto ms cercano) el tiempo que le lleva a un turista arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de un hotel. A lo largo de 10 das hbiles consecutivos, usted recaba los tiempos que se muestran a continuacin:Da12345678910

Tiempo (minutos)39294352394440314435

Determine la varianza y la desviacin estndar 4.1.5.1. LA VARIANZA Y LA DESVIACIN ESTNDAR PARA DATOS AGRUPADOS

Varianza para datos agrupados

La desviacin estndar muestral, S, es la raz cuadrada positiva de la varianza para datos agrupados.

Ejemplo: Calcule la varianza y la desviacin estndar para los datos de la Tabla N 3

Tabla N 3: Distribucin de Frecuencias para Gastos en Dlares de 50 turistas que visitaron la Laguna de la Restinga en la Pennsula de Macanao, Isla de Margarita.Clases (k)DlaresfiXiFi

153 552542

256 585577

359 6196016

462 64156331

565 67126643

668 7056948

771 7327250

Totales50

Fuente: Datos suministrados por la Corporacin de Turismo del Estado Nueva Esparta

RELACIONES EMPRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIN

Para las distribuciones moderadamente sesgadas, se tiene la relacin emprica

Esto es consecuencia de que en una distribucin normal se encuentre que la desviacin media y el rango semiintercuartil son iguales, respectivamente, a 0.7979 y 0.6745 veces la desviacin estndar.

4.1.6. EL COEFICIENTE DE VARIACIN

Es una medida relativa de la variacin que siempre se expresa como porcentaje, ms que en trminos de las unidades de los datos en particular. Este coeficiente mide la dispersin de los datos con respecto a la media, y es igual a la desviacin estndar dividida por la media aritmtica, multiplicada por 100%. Es decir,

Ejemplo: Determine el coeficiente de variacin para los datos de la Tabla N 3VARIABLES TIPIFICADAS: UNIDADES ESTNDARA la variable que mide la desviacin respecto a la media en trminos de unidades de desviaciones estndar se le llama variable estandarizada y es una cantidad adimensional (es decir, es independiente de las unidades empleadas) y est dada por

Si las desviaciones respecto a la media se dan en trminos de unidades de desviacin estndar, se dice que las desviaciones se expresan en unidades estndar o en puntuaciones estndar. Las unidades estndar son de gran valor para comparar distribuciones.Ejemplo: En el examen final de Matemticas en el que la media es 76 y la desviacin estndar es 10, un alumno obtiene una calificacin de 84. En el examen final de Fsica, en el que la media es 82 y la desviacin estndar es 16, el mismo alumno obtiene como puntuacin 90. En qu materia tiene una posicin relativa ms alta? 1