UNIDAD IV Ajuste de Curvas e Interpolación

8/20/2019 UNIDAD IV Ajuste de Curvas e Interpolación

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Métodos Numéricos UNIDAD 4: Ajuste de curvas e

interpolación

Catedrático: Ing. María

Isabel Piña Villanueva

Alumnos: Luis Rodríguez

Sánchez y Jesús David

González Valdés

Fecha de entrega: jueves 30 de abril de 2015

Instituto

Tecnológico

de Saltillo


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ÍndiceIntroducción…………………………………………………………………………… 1

Interpolación: Lineal y cuadrática………………………………………………….. 2

Polinomios de interpolación………………………………………………………… 5

Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y cuadrática………………………… 11

Aplicaciones………………………………………………………………………….. 16

Conclusiones…………………………………………………………………………. 18


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IntroducciónEste trabajo consiste en explicar cómo la interpolación se presenta en varios casos de la vida

diaria, nos referimos a que diariamente se producen fenómenos en los que se necesitan utilizar

estos métodos o procesos para llegar a un dato aproximado, en el caso de que este entre un

rango de datos o fuera de ellos.

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de

producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones

que no hemos medido directamente. La Interpolación consiste en hallar un dato dentro de un

intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. La Extrapolación consiste en hallar

un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de

sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.


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4.1 Interpolación: Lineal y cuadrática

¿Qué es?

Calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos algunos delos valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo.

En la vida real, encontramos situaciones carentes de información que permiten determinar

valores dependientes (y), en función de una o más variables independientes. Es aquí cuando

utilizamos la interpolación.

INTERPOLACION LINEAL

La interpolación lineal es un método matemático para aproximar el valor de un punto. Utiliza un

polinomio de interpolación de grado 1.

P(x) = ax + b

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los

valores en los extremos.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual

solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x 0 y xn) de esta función.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen

tres.

INTERPOLACIÓN LINEAL

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la

variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los

valores la interpolación lineal…

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Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación delvalor y, para un valor x tal que x0


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Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa através de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio deprimer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar elúnico polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomioproporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos,existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresareste polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están biencondicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.

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4.2 Polinomios de interpolación

Diferencias divididas de NewtonLa forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos ( x 0, ƒ( x 0)), ( x 1, ƒ( x 1)), ...,( x n, ƒ( x n)) es:

Los coeficientes a i se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferenciasdivididas.

La notación para las diferencias divididas de una función ƒ( x ) están dadas por:

Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente reglarecursiva:

Retomando el polinomio interpolante de Newton:P n( x ) = a0 + a1( x – x 0) + a2( x – x 0)( x – x 1) + ... +an( x – x 0)( x – x 1)…( x – x n-1)

Observe que P n( x 0) = a0. Como P n( x ) interpola los valores de ƒ en x i , i =0,1,2,...,nentonces P ( x i )

= ƒ( x i ), en particular P n( x 0) = ƒ( x 0) = a0. Si se usa la notación de diferencia dividida a0= ƒ[ x 0].

Ahora, P n( x 1)= a0 + a1( x 1 – x 0), como P n( x 1)= ƒ( x 1) y a0= ƒ( x 0), entonces reemplazando se tiene

ƒ( x 1)=ƒ( x 0) + a1( x 11 – x 0), donde


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Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[ x 0, x 1].De manera similar cuando se evalúa P n( x ) en x = x 2 se obtiene a2 = ƒ[ x 0, x 1, x 2]

En general ai = ƒ[ x 0 , x 1 , x 2, ..., x i ], y el polinomio interpolante de Newton se escribe como:

(2)

En la figura 3.2 se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes del polinomiointerpolante de Newton para 4 pares de valores ( x , ƒ( x ))

Los elementos de la diagonal (superior) en la figura 3.2 son los coeficientes del polinomiointerpolante de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.

EJEMPLO:

Halle el polinomio que interpola los datos:

x 1 2 3 5

f ( x ) 4 3.5 4 5.6

Solución:El polinomio interpolante de Newton es de grado 3 ya que se tienen 4 puntos, usando lafórmula (2) el polinomio que resulta es:

En este caso x 0=1, x 1=2, x 2=3

Para determinar el valor de los coeficientes, se construye la tabla de diferencias divididas

x i f ( x i )

1 4

-0.5

2 3.5 0.5

0.5 -0.1

3 4 0.1

0.8

5 5.6

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Luego P 3( x )=4 – 0.5( x - 1) + 0.5( x - 1)( x - 2) – 0.1( x - 1)( x - 2)( x - 3)

Observe que P 3(1) = 4, P 3(2) = 3.5, P 3(3) = 4, P 3(5) = 5.6

El ejercicio si se resuelve con el método de Lagrange el cálculo para encontrarlo es muchomayor.

Método Lagrangeano

El matemático francés Joseph Louis Lagrange descubrió que se puede encontrar un polinomiode grado a lo más n tal que P n( x i ) = f ( x i ), para i = 0, 1, 2, ... n usando un método distinto. Porejemplo para 3 puntos ( x 0, f ( x 0)), ( x 1, f ( x 1)) y ( x 2, f ( x 2)) el polinomio interpolante de Lagrange degrado 2 es:

Observe que

El polinomio P2(x) se escribe en forma simplificada como

donde


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observe que

La forma general del polinomio de Lagrange P ( x ) de grado menor o igual a n y que pasa porlos n + 1 puntos ( x 0, f ( x 0)), ( x 1, f ( x 1)), ..., ( x n, f ( x n)) es la fórmula:

P n( x ) = L0( x )f ( x 0 ) + L1f ( x 1) + ... + Ln( x )f ( x n) =

Donde Lk ( x ) se llaman polinomios coeficientes de Lagrange y se definen como:

Observe que hay n factores en el numerador, de modo que cada Lk ( x ) es un polinomio degrado n. En Lk ( x ) esta ausente el factor ( x - x k ) en el numerador; el denominador es elnumerador evaluado en x = x k . Por consiguiente

EJEMPLO:

Encuentre el polinomio de interpolación de grado 3 con los siguientes puntos y aproxime ƒ(3.5).

x i 1 2 3 5

f ( x i ) 4 3.5 4 5.6

Solución: En este caso f ( x 0) = 4, f ( x 1) = 3.5, f ( x 2) = 4, y f ( x 3) = 5.6. El polinomio deLagrange P 3( x ) tiene la forma:


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Ahora se calcula L0( x ), L1( x ), L2( x ) y L3( x ) con x 0=1, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 5

Luego

Verificación:P (1) = - 0.1 + 1.1 – 3.1 + 6.1 = 4P (2) = - 0.8 + 4.4 – 6.2 + 6.1 = 3.5P (3) = - 2.7 + 9.9 – 9.3 + 6.1 = 4P (5) = - 12.5 + 27.5 – 15.5 + 6.1 = 5.6

Para aproximar a f en x = 3.5 se utiliza P 3( x ) = - 0.1 x 3 + 1.1 x 2 – 3.1 x + 6.1f (3.5) P (3.5) = - 0.1(3.5)3 + 1.1(3.5)2 – 3.1(3.5) + 6.1 = 4.4375

Teorema.

Si x 0, x 1,..., x n son números distintos en el intervalo [a, b] y f C n+1 [a, b].

Entonces para cada x en [a, b] existe un número z (que depende de x) en (a, b)tal

que: donde P n( x ) es el polinomiointerpolante de Lagrange.

El teorema establece que cuando ƒ( x ) se aproxima por P n( x ), entonces el error que se cometeen la aproximación es:

(3)


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Observe que la forma del error del polinomio de Lagrange se parece mucho a la del polinomiode Taylor. El polinomio de Taylor de grado n alrededor de x 0concentra toda la informaciónconocida en x 0 y tiene un término de error de la forma:

donde z esta entre x 0 y x

El polinomio de Lagrange de grado n utiliza la información en todos los números distintos x 0, x 1,..., x n y en lugar de ( x - x 0)

n+1, su fórmula de error utiliza un producto de n+1 términos ( x – x 0),( x – x 1), ..., ( x - x n)

EJEMPLO:

Hallar una cota para el error al aproximar ln(1.2) usando un polinomio de Lagrange de grado 3en los puntos

x i 1 1.1 1.3 1.4

f ( x i ) 0 0.0953118 0.262364 0.336472

Solución: Se aplica la fórmula (3) con n=3, ƒ( x )=ln x y x =1.2, f (4)( x ) = -6/ x 4

Por lo tanto E 10-4 = 0.1 x 10-3Esto indica que si se aproxima ln(1.2) con los datos de la tablausando un polinomio de grado tres, entonces la aproximación tiene tres decimales exactos2.

El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas. El primero es que si se deseasumar o restar un punto del conjunto de puntos usados para obtener el polinomio,

esencialmente deben volver a empezarse los cálculos ya que no se dispone de unprocedimiento simple que permita medir la contribución de cualquier punto particular alpolinomio.

El segundo problema es que pueden ocurrir grandes oscilaciones en el polinomio, de modo queentre los puntos (datos) no se representa en forma realista la función que originó los datos.

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4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal ycuadrática

La dependencia entre dos (o más) variables puede ser tal que se base en una relaciónfuncional (matemática) exacta, como la existente entre la velocidad y la distancia recorrida porun móvil; o puede ser estadística. La dependencia estadística es un tipo de relación entrevariables tal que conocidos los valores de la (las) variable (variables) independiente(s) nopuede determinarse con exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si se puedellegar a determinar un cierto comportamiento (global) de la misma. (Ej. la relación existenteentre el peso y la estatura de los individuos de una población es una relación estadística) .

Pues bien, el análisis de la dependencia estadística admite dos planteamientos (aunqueíntimamente relacionados):

El estudio del grado de dependencia existente entre las variables que queda recogidoen la teoría de la correlación.

La determinación de la estructura de dependencia que mejor exprese la relación, lo quees analizado a través de la regresión.

Una vez determinada la estructura de esta dependencia la finalidad última de la regresión esllegar a poder asignar el valor que toma la variable Y en un individuo del que conocemos quetoma un determinado valor para la variable X (para las variablesX1, X2,..., Xn ).

En el caso bidimensional, dadas dos variables X e Y con una distribución conjunta defrecuencias ( xi, yj ,nij ), llamaremos regresión de Y sobre X ( Y/X) a una función que explique la

variable Y para cada valor de X, y llamaremos regresión de X sobre Y (X/Y) a una función quenos explique la variable X para cada valor de Y.(Hay que llamar la atención, como se verá másadelante, que estas dos funciones, en general, no tienen por qué coincidir).

REGRESION LINEAL

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto lautilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras dellevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe osuponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta anuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nospermite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, elmétodo de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.


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Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobrecuál es lamejor recta:

y(x) = a x + b

Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de lospredichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada alorigen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores queremplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b puedenobtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estastécnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:

Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el

proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a

y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.


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Gráfico de datos asociados a un modelo

lineal. La cantidad yi - y(xi) representa la

desviación de cada observación de yi

respecto del valor predicho por el modelo

y(x).

El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y

defina cuál es la mejor recta. En los programas como Excel, se realiza usando la herramienta

“regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados se aplican en el caso lineal cuando todos los

datos de la variable dependiente tienen la misma incertidumbre absoluta y la incertidumbre de

la variable independiente se considera despreciable.

REGRESION CUADRATICA

Consiste en explicar una de las variables en función de la otra a través de un determinado tipo

de función (lineal, parabólica, exponencial, etc.), de forma que la función de regresión se

obtiene ajustando las observaciones a la función elegida, mediante el método de Mínimos-

Cuadrados (M.C.O.).

Elegido el tipo de función ¦ ( ) la función de regresión concreta se obtendrá minimizando la

expresión:

(y j - ¦ (x i ) )2 . nij en el caso de la regresión de Y/X

(x i - ¦ (y j ) )2 . nij en el caso de la regresión de X/Y

Puede probarse que es equivalente ajustar por mínimos cuadrados la totalidad de las

observaciones (toda la nube de puntos) que realizar el ajuste de los puntos obtenidos por la

regresión de la media; de forma que la regresión mínimo-cuadrática viene ser, en cierto modo,

la consecución de una expresión analítica operativa para la regresión en sentido estricto.

Coeficientes de regresión.

Se llama coeficiente de regresión a la pendiente de la recta de regresión:


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en la regresión Y/X : b = Sxy / Sx2

en la regresión X/Y b' = Sxy / Sy2

El signo de ambos coincidirá con el de la covarianza, indicándonos la tendencia (directa o

inversa a la covariación).Es interesante hacer notar que b.b'= r 2

BONDAD DEL AJUSTE (Varianza residual, varianza de la regresión y coeficiente dedeterminación)

Por bondad del ajuste hay que entender el grado de acoplamiento que existe entre los datos

originales y los valores teóricos que se obtienen de la regresión. Obviamente cuanto mejor sea

el ajuste, más útil será la regresión a la pretensión de obtener los valores de la variable.

Obtener indicadores de esta bondad de ajuste es fundamental a la hora de optar por una

regresión de un determinado tipo u otro.

Puesto que la media de los residuos se anula, el primer indicador de la bondad del ajuste (no

puede ser el error medio) será el error cuadrático medio, o varianza del residuo, o varianza

residual :

Considerando la regresión Y/X:

Que será una cantidad mayor o igual que cero.De forma que cuanto más baja sea mejor será el

grado de ajuste.Si la varianza residual vale cero el ajuste será perfecto (ya que no existiráningún error ).

Del hecho de que yi=y*i+ei ,y de que las variables y* ý e están incorrelacionadas se tiene que:

Donde S2y* es la llamada varianza de la regresión y supone la varianza de la variableregresión:

Igualdad fundamental anterior de la que se deduce que la varianza total de la variable y puede

descomponerse en dos partes una parte explicada por la regresión( la varianza de la regresión)

y otra parte no explicada (la varianza residual).

Considerando que la varianza nos mide la dispersión de los datos este hecho hay que

entenderlo como que la dispersión total inicial queda, en parte explicada por la regresión y en

parte no.Cuanto mayor sea la proporción de varianza explicada (y menor la no explicada) tanto

mejor será el ajuste y tanto más útil la regresión.


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A la proporción de varianza explicada por la regresión se le llama coeficiente dedeterminación ( en nuestro caso lineal):

que evidentemente estará siempre comprendido entre 0 y 1 y, en consecuencia, da cuenta del

tanto por uno explicado por la regresión.

Una consecuencia importante en la práctica es que la varianza residual será obviamente:

Es sencillo probar que en el caso lineal que nos ocupa el coeficiente de determinación coincide

con el cuadrado del coeficiente de correlación:

R2 = r 2

Con lo cual la varianza residual y la varianza debida a la regresión pueden calcularse a partirdel coeficiente de correlación:


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4.4 Aplicaciones

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definidaen porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porqueda lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado,evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas alinterpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. Lasimplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen popularespara la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos porordenado.

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan unnúmero N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Estaserie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-

1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es

decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello

que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Interpolación Segmentaria Cuadrática

En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Estoquiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c

Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son lospuntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que lafunción que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que parasacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar como condiciones:

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dosPn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estospuntos.

Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida

a trozos que pasa por tal punto común.

Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuacionesP(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamosseis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x)en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a lasdos P(x).


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Se necesita una sexta ecuación. Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto,al que se fuerza uno de los P(x).

Interpolación Segmentaria Cúbica

En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d

En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condiciónpara cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dosPn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estospuntos.

Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definidaa trozos que pasa por tal punto común.

Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la funcióndefinida a trozos que pasa por tal punto común.

Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltaruna sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar:

Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 parael primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, lospuntos m y n en el intervalo [m,n].

Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de

splines definidos en el intervalo [m,n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines

definidos en el intervalo [m,n]

Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada

primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de

Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].


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Conclusiones

Con esto hemos concluido que la interpolación es muy necesaria en los casos que se

presenten así como el ajuste de curvas que podemos llegar a plasmar en una gráfica con los

datos que obtenemos al hacer iteraciones o al estar siguiendo el proceso específico para llegar

a obtener los datos que se solicitan. La Unidad nos sirve de mucho ya que gracias a las

Unidades anteriores hemos podido relacionar como se van conectando cada una de estas, y

nos damos cuenta como los métodos numéricos son muy esenciales para el trabajo como para

la vida.

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