Determinación de gravedad mediante gráficos y ajuste de curvas .

8/18/2019 Determinación de gravedad mediante gráficos y ajuste de curvas .

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Universidad de AtacamaFacultad de Ciencias NaturalesDepartamento de Física

Laboratorio física 1

“Determinación de gravedadmediante grácos y ajustes

de curvas”

Integrantes: GabrielaLeiva Pérez VicenteValenzuela Lisboa Gruo!: Jueves !"# $ %&!'#


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"cad#mico: (a) *c+aa, $ec%ade &aboratorio: &-%#-%' $ec%a

de entrega: #.-%%-%''esumen

La e)periencia /ue a continuaci0n se propone1 permitir2 obtener in,ormaci0nsobre el movimiento de un cuerpo a partir del an2lisis e interpretaci0n de larelaci0n 3r24ca entre dos variables e)perimentales1 adem2s de conocer 5aprender el método de los mínimos cuadrados6

7as2ndonos en el concepto de caída libre1 5 c0mo un cuerpo se desplaza enlínea recta +acia aba8o por acci0n de la 3ravedad6 Analizamos la rapidez con la

/ue un dado cuerpo cambia de posici0n1 es decir1 estudiamos su velocidad 9v:15 la rapidez con la /ue cambia esta velocidad1 /ue es la aceleraci0n 9a:6

;ambién analizamos si la aceleraci0n tiene al3una correlaci0n con la masa delob8eto en estudio6

Para realizar este e)perimento se desarroll0 un e8ercicio de laboratorio condatos obtenidos a través de la utilizaci0n del ;6 =ste aparato se utiliz0para re3istrar intervalos de tiempo en relaci0n a la caída de un cuerpo 9%-"#?s@:6 *e comenz0 su8et2ndolo con las varillas sobra una mesa1 5 se pas0verticalmente a través del ; una +uinc+a de papel /ue tenía unido unamasa en uno de sus e)tremos para e8ercer peso6 =n la +uinc+a de papel1 al

de8arse caer se marcaron distintos puntos de re3istro sobre el movimiento delcuerpo6

*e traba80 con los valores de variaci0n de posici0n /ue e)istía entre cada par

de punto 5 utilizando la ,0rmula v∆ y

∆ t se calcul0 la velocidad media6

A partir de esto se realizaron dos 3r24cas1 una de relaci0n lineal /ue ,ue la develocidad en ,unci0n del tiempo1 en la cual se sac0 su ecuaci0n1 /ue ,ue

v=895,17 t −6,83985 se compar0 con la ecuaci0n de caída libre!

v=¿+v0 6

Por otra parte se 3ra4c0 una recta polinomial /ue ,ue la de posici0n en ,unci0ndel tiempo1 5 de la misma ,orma1 se compar0 su ecuaci0n


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y=450,39t 2−5,7812 t +0,208 con la ecuaci0n de caída libre

y (t )=1

2 g t

2+v0 t + y0 6 Lo3rando así interpretar su espacio ,ísico6

*e comprendi0 /ue la pendiente de la recta correspondía al valor de laaceleraci0n de la 3ravedad e)perimental1 la cual ,ue de B'1% ?cm@ 5 alpasarla al sistema internacional1 nos dio una 3ravedad e)perimental de B1'?m@1 esta se utiliz0 para calcular su error porcentual con la si3uiente ,0rmula!

e=gt −ge

g t x 100

nos dio como resultado un error de B1E1 lo cual indica /ue en la realizaci0ndel e)perimento inu5eron diversos ,actores de errores1 tanto como el

sistem2tico o el accidental1 /ue pudieron +aber ocurrido debido a la ,alla de uninstrumento1 error en métodos utilizados 5-o por la mala manipulaci0n de la+uinc+a de papel1 etc6

(bjetivos:

• >epresentar en una curva los datos obtenidos en un e)perimento6• Comprender el ,en0meno de caída libre6•


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Introducción teórica

La Cinem2tica es la parte de la mec2nica /ue estudia el movimiento de loscuerpos en términos del espacio 5 tiempo1 sin considerar las causas /ue lo

ori3inan6 Las ma3nitudes /ue de4ne la cinem2tica son principalmente tres!Posici0n1 Velocidad 5 Aceleraci0n6

Posici0n! =s el lu3ar en /ue se encuentra el m0vil en cierto instante de tiempo

9t:1 suele representarse con el vector ⃗r o con la coordenada respectiva si

est2 en una sola dimensi0n6

Velocidad! =s la variaci0n de la posici0n con el tiempo1 es decir1 el cambio deposici0n 9desplazamiento: en un intervalo de tiempo6

=n cada intervalo en /ue se +a determinado el desplazamiento se puede

calcular la velocidad media1 a partir de su de,inici0n1 en donde It es el

intervalo de tiempo /ue le corresponde a cada I ⃗ x

Aceleraci0n! =s la variaci0n de la velocidad por unidad de tiempo6 *e puedede4nir una aceleraci0n media entre dos instantes1 inicial 5 4nal6 de maneraan2lo3a a la velocidad puede de4nirse una aceleraci0n instant2nea llevando


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estos instantes inicial 5 4nal mu5 cerca uno del otro +asta tener así /ue laaceleraci0n instant2nea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo6

=s bien conocido /ue un cuerpo al /ue se le permite caer libremente cerca dela super4cie terrestre lo +ace con aceleraci0n casi constante6 La Caída libre esun movimiento uni,orme acelerado1 cu5a aceleraci0n es producida por laatracci0n 3ravitacional entre un cuerpo 5 la ;ierra6 =n condiciones reales laresistencia del aire también determina la aceleraci0n de un ob8eto /ue cae1pero si consideramos /ue el aire no opone resistencia 5 /ue la ,uerza3ravitatoria es lo nica /ue a,ecta la caída de un cuerpo1 decimos entonces/ue el mismo est2 en caída libre6 =n este caso la nica ,uerza es el propio pesodel cuerpo 5 su aceleraci0n es la correspondiente a la 3ravedad terrestre 9a 3: =l valor de la aceleraci0n de la 3ravedad tiene su valor m2)imo en lasuper4cie del planeta1 disminu5endo de ,orma apro)imadamente parab0licacon la altura 5 de ,orma lineal con la pro,undidad! La aceleraci0n de la3ravedad en la ;ierra varía se3n la altura6 =n la super4cie est2 de4nida

apro)imadamente por 1B m /s2

6

Las ecuaciones /ue describen el movimiento de un cuerpo en caída libre est2ndadas por!

y (t )= y0+v0 t t −1

2 g t

2

v (t )=v0+¿

Donde {y} rsub {0} es la altura inicial1 {v} rsub {0} es la velocidad inicial 5

g es la aceleraci0n producida por la 3ravedad6

Las representaciones 3r24cas constitu5en un valioso recurso metodol03icopara evoluci0n de un sistema ,ísico 5 es una e)celente +erramienta para

determinar el tipo de relaci0n ,uncional /ue vincula a estas ma3nitudes6

=n el estudio del movimiento de un cuerpo como la velocidad 5 la aceleraci0n1podemos estimarlas a partir de la pendiente 5 la curvatura de la 3r24ca de laposici0n en ,unci0n del tiempo6

Una de las me8ores maneras de lle3ar al tipo de dependencia ,uncional /uee)iste entre dos variables1 es dibu8ar una 3r24ca de las variables en un sistema


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cartesiano de coordenadas6 Los valores e)perimentales de la variableindependiente se marcan en el e8e +orizontal 9abscisa: 5 la variabledependiente se marca sobre el e8e vertical 9ordenada:6 Después de analizar sila tendencia de los puntos en el 3r24co se a8usta a una línea recta o a unacurva1 se puede determinar la naturaleza de la ,unci0n /ue relaciona las

variables6

=n una relaci0n lineal se utilizan los si3uientes métodos!

)#todo Graco: =n el 3ra4co podremos observar una Knube de puntosdispuestos de ,orma lineal1 para lo cual1 este método propone encontrar la

recta /ue me8or la represente1 esta tiene la ,orma1 y=mx+b 6

)#todo de &os )ínimos *uadrados: La me8or curva es la /ue +acemínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva6 Lapendiente m 5 el término libre b se calculan con las si3uientes ,0rmulas!

x2

∑ ¿¿

(∑ xy )∑ x−(∑ y )¿

m=∑ x∑ y−(n∑ ( xy ))(∑ x)

2−n∑ ( x2)

∧b=¿

Instrumentos y materia&es uti&i+ados


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Para el e)perimento se utilizaron ciertos instrumentos con los cuales seprocedi0 a realizar las actividades solicitadas!

,-uio:

;imer 9Pasco *cienti4c M (=$ &B:

)ateria&es:

Cilindro met2lico pe/ueOo

uinc+a de papel

>e3la met2lica de # ?cm@

uinc+a de medir 9*onlon 6' ?m@:

Calculadora cientí4ca 9Casio:

.rocedimiento e/erimenta&

Un re3istrador electr0nico o ; se su8et0 con una varilla sobre una

mesa1 de ,orma /ue se pudiera re3istrar una caída vertical6 *e comenz0

;imer

Calculadora>e3la de #

uinc+a deCilindro


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veri4cando con una +uinc+a de medir /ue el lar3o de la +uinc+a de papel

no sobrepasaba la distancia entre el ; 5 el suelo6Lue3o se uni0 un pe/ueOo cilindro met2lico en uno de los e)tremos de la

+uinc+a de papel para e8ercer peso1 5 se pas0 el otro e)tremo de ésta por

una ranura del ; 5 se elev0 el cilindro para alcanzar el mismo nivel del ;6 Con la precauci0n de /ue la +uinc+a de papel /uedase tensa1 un

compaOero se subi0 sobre la mesa 5 la mantuvo durante unos se3undos

totalmente vertical a través del ;6 Una vez +ec+o esto1 se encendi0 el

interruptor para activar el ; a una ,recuencia de "# z1 5 se de80 caer

la +uinc+a de papel6*e apa30 el ; 5 se retir0 la +uinc+a de papel con los re3istros 5 se puso

la +uinc+a de papel sobre la mesa1 la +uinc+a de papel tenía marcada la

posici0n en ,unci0n del tiempo1 5 con una re3la se midi0 la distancia entra

cada par de puntos6Con los datos obtenidos se cre0 una tabla1 en la cual se calcul0 la velocidad

media a partir de la variaci0n de distancia entre los puntos 5 el tiempo

9Nota! =ntre cada par de puntos transcurri0 un tiempo de %-"# se3undos:1 5

a partir de los datos obtenidos1 se 3ra4c0 en un papel milimetrado la

velocidad en ,unci0n del tiempo6


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)#todos re&ación &inea&

)#todo 1: C2lculos por método 3r24co para obtener pendiente 9m: 5coe4ciente de posici0n 9b:6 A partir de los puntos P 9#6#&'1 B: 5 9#6'1 "&:

F0rmula de pendiente!

m= y 2− y1 x2− x1

m= 432−80,5−0,025

m=892,63

F0rmula coe4ciente de posici0n!

b1= y1−mx1 b2= y2−mx2

b1=−14,32 b2=−14,32

b=b1+b2

2

b=−14,32

=cuaci0n de la recta!

y=mx+b

>eemplazando la ecuaci0n de la recta! y=892,63 x−14,32

)#todo 6: C2lculos del método de mínimos cuadrados para obtener pendiente9m:1 coe4ciente de posici0n 9b: 5 coe4ciente de correlaci0n9r:6


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Determinación de &a gravedad e/erimenta&:

8,95 m

s2

,rror 7 ace&eración de gravedad:

e=gt −ge

g t x 100

4ariab&e $ormu&a 'esu&tado

Pendiente 9m:

m=∑ x∑ y−(n∑ ( xy ))(∑ x)

2

−n∑ ( x2)

B'1%

b x

2

∑ ¿¿

(∑ xy

)∑ x−

(∑ y

)¿

b=¿

$.1B"

r

r= n∑ xy−∑ x∑ y

√ n∑ x2−(∑ x )2

×√ n∑ y2−(∑

#1


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e=9,8−8,95

9.8 x 100

Error % de la aceleración de la gravedad: 8,67%


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# #6% #6& #6 #6" #6' #6.#

'#

%##

%'#

#

&'#

##

'#

"##

"'#

'##

,9): B'6%) $ .6B">Q #6

Velocidad media V-* ;iempo

;iempo ?s@

Velocidad ?cm-s@

Grácove&ocidad en función de& tiemo:

$igura

t?s@ V?cm-s@

# #

#1#&' B

#1#' "B

#1#' "#

#1% .B

#1%&' .

#1%' %

#1%' %""

#1& %B"

#1&&' B

#1&' &&B

#1&' &'&

#1 &.

#1&' ###1'

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#1" ""

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#1"' &

#1"' "#B

#1' "&


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Gráco de osición en función de& tiemo

8ota:La pendiente de la recta tiene un error de R%.1%6

=ntonces m=895,17±16,91 ∴m1=912,08

m2=878,26

=l coe4ciente de posici0n tiene un error de "1"6

=ntonces b=−6,84 ± 4,94 ∴b1=−1,9


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$igur

t?s@ Posici0n ?cm@

# #

#1#&' #1&

#1#' %1"

#1#' &1"#1% "1%

#1%&' .1'

#1%' 1'

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#1 B1

#1&' "'1B#1' '1

#1' .%1"

#1" #

#1"&' 1%

#1"' BB1

#1"' 1%

#1' %#1


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# #6% #6& #6 #6" #6' #6.#

"#

.#

B#

%##

%

,9): "'#6)S& $ '6B) T #6&%

>Q %

Posici0n V-* ;iempo

;iempo ?s@

Pocisi0n ?cm@

"ná&isis de resu&tados

La gura 1 muestra un 3r24co de velocidad en ,unci0n del tiempo1 podemosapreciar /ue para la velocidad ri3e una ecuaci0n lineal del tipo!


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v=mt +b

*i comparamos esta ecuaci0n con! v=¿+v0

*e puede ver /ue ambas e)presiones son del mismo tipo1 siendo la ordenada al

ori3en b=v0 la velocidad inicial del cuerpo1 5 la pendiente de la recta

representa la 3ravedad del cuerpo6

La gura 6 muestra un 3r24co representativo de nuestro e)perimento6=,ectuando el an2lisis de los datos podemos ver en 3eneral /ue en este 3r24code posici0n en ,unci0n del tiempo tenemos una ecuaci0n polinomial dese3undo 3rado de la si3uiente ,orma!

y=a0t 2+b0 t +c0

Donde a0 , b0 , c0 son constantes6 *i comparamos estos datos con la ecuaci0n

para un movimiento uni,ormemente acelerado!

y (t )=1

2 g t

2+v0 t + y0

Podemos identi4car los par2metros como a0=1

2 g 1 b0=v0 5 c0= y0

Con el método de los mínimos cuadrados la pendiente1 el coe4ciente deposici0n 5 de correlaci0n entre3a lo mismo valores /ue en el 3r24co de*o,tHare =)cel6 Al determinar el 3rado de dependencia e)istente se utiliz0 elcoe4ciente de correlaci0n1 r tiene /ue ser entre $%5%6 =n este caso r result0 serpositiva1 5a /ue las variables tienden a aumentar ambas 8untas6


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Analizando nuestro e)perimento pudimos ver /ue la aceleraci0n en caída libreno tiene correlaci0n al3una con la masa6 lo deducimos de la si3uiente,orma!

Con ello concluimos /ue la 3ravedad de un cuerpo en caída libre esindependiente de la masa del cuerpo6

Analizamos /ue el valor te0rico de la 3ravedad aceptado no es i3ual al valorde la 3ravedad e)perimental6 =l valor te0rico es una especie de valor medioredondeado6

Una de las razones por la /ue e)iste esta di,erencia1 ,ue por los errores /ue +a5en el e)perimento1 empezando con /ue no se puede considerar absolutamenteuna caída libre1 pues cuando se de80 caer la +uinc+a de papel a través del

;1 ésta e8erci0 un roce /ue ,ue ,renando la caída del cuerpo6 Adem2s /uela varilla /ue su8etaba al ; no estaba perpendicular al suelo1 5 la +uinc+ade papel no totalmente vertical sobre el ;1 estos ,actores pudieron +aberinuido en al3n error al momento de realizar el e)perimento6

>ecordemos /ue para tener unos valores ideales de 3ravedad esimprescindible despreciar el rozamiento del cuerpo en el aire1 5 es en el vacíodonde podemos encontrar esta particularidad6

Diagrama de cuero &ibre

m0

F g nica ,uerza despreciando el roce6

%: ||⃗ F g||=m0 a &W Le5 de

NeHton6

2¿||⃗ F g||=Gm

0mtierra

rtierra2 Le5 de 3ravitaci0n

universal6


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*onc&usiones

La e)periencia realizada ,ue e)itosa1 5a /ue se cumpli0 con todos los ob8etivospropuestos!*e represent0 en una curva los datos obtenidos en un e)perimento6*e comprendi0 el ,en0meno de caída libre6*e in4ri0 a través de un proceso de a8uste1 el tipo de curva resultante6*e interpret0 el si3ni4cado ,ísico de la ecuaci0n de la curva obtenida6*e +all0 e)perimentalmente el valor de la aceleraci0n de la 3ravedad6*e aplic0 el método de los mínimos cuadrados para obtener un a8uste lineal6

*e aprendi0 a +acer a8ustes de curvas con el *o,tHare =)cel6A lo lar3o de todo el in,orme se pudo comprender me8or los conceptos decinem2tica1 velocidad1 posici0n1 aceleraci0n 5 caída libre6

Aprendimos a ocupar me8or los instrumentos del laboratorio1 5 a 3ra4car en=)cel la velocidad en ,unci0n de tiempo 5 la posici0n en ,unci0n del tiempo6Adem2s se utilizaron los métodos de relaci0n lineal1 estos ,ueron método3r24co 5 el de mínimos cuadrados1 para así obtener la ecuaci0n de la recta6Con ello encontramos la pendiente1 /ue result0 ser la 3ravedad e)perimental1la cual necesit2bamos para calcular el error de 3ravedad porcentual6

=l error de la 3ravedad porcentual del e)perimento ,ue bastante alto 9B1.E:1 5lo podemos atribuir a diversos ,actores1 principalmente a la ,alta dee)periencia 5 la manipulaci0n err0nea de instrumentos de laboratorio1 tambiénen la realizaci0n incorrecta de los procedimientos e)perimentales tales comosu8etar mal la +uinc+a de papel 5 no de8arla totalmente perpendicular a lamesa1 5 el roce /ue e8erci0 la +uinc+a de papel al caer1 pues iba ,renando lacaídaX nos dimos cuenta también /ue el método de mínimos cuadradoscontenía un error en sus resultados6

Conclu5endo /ue la e)periencia no ,ue totalmente satis,actoria1 por el +ec+ode +aber realizado los procedimientos con una cantidad de errores /ue se,ueron acumulando durante todo el e)perimento6


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9ib&iografía

• Libro de ,ísica YemansZ51 Capitulo &! caída libre6• Guía de laboratorio e)perimental6

Linografía

•

HHH64sicalab6com-apartado-caida$libre• HHH64sicanet6com6ar-4sica-cinematica-ap#'[caida[libre6p+p
http://www.fisicalab.com/apartado/caida-librehttp://www.fisicalab.com/apartado/caida-libre

Determinación de gravedad mediante gráficos y ajuste de curvas .

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