INTRODUCCIN

Debido a que un cuerpo es una distribucin continua de masa, en cada una de sus partes acta la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posicin donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posicin promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simtrico homogneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geomtrico, pero no para un objeto irregular. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto est en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando ste es el caso, siempre habr un torque de restauracin. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauracin pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posicin de equilibrio. Los cuerpos rgidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, ms estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente en el diseo de los automviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. Tambin la posicin del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades fsicas.Estaba trabajando en la oficina de patentes de Berna cuando de pronto me vino el siguiente pensamiento: Si una persona cae libremente no sentir su propio peso. Estaba sorprendido. Este simple pensamiento me caus una gran impresin. Esto me impuls hacia una teora de la gravitacin.De esta manera recordaba Albert Einstein cmo comenz a gestarse la teora de la Relatividad General. Ese simple pensamiento, como el propio Einstein lo describe es el llamado Principio de Equivalencia, que formul en el ao 1907.Galileo Galilei, en el siglo XVI, descubri que todos los cuerpos, independientemente de su composicin y estructura, tienen la misma aceleracin en un campo gravitacional constante. Einstein adems comprendi que si todos los cuerpos en cada libre se aceleran de igual forma, la aceleracin relativa entre estos es nula; localmente, un observador en cada libre podra pensar que est en reposo. No tiene forma de distinguir que est inmerso en un campo gravitacional.Los efectos de la gravedad pueden, adems, reproducirse mediante cualquier tipo de aceleracin, como se ilustra en los siguientes ejemplos: un ser humano en una nave espacial cuya aceleracin sea igual a la aceleracin de terrestre, no notar ninguna diferencia entre estar parado en la nave y en la Tierra (ver Figura 1). Otro ejemplo, que era el favorito de Einstein, es el de un ascensor en cada libre. Una persona dentro del ascensor experimenta la misma sensacin de ingravidez que si se encontrara en el espacio, libre de toda influencia del campo gravitatorio terrestre. En ambos casos los efectos de la gravedad han sido reemplazados mediante la eleccin de un sistema de referencia acelerado.

TEORA DE LA GRAVEDAD

Centro de masa (CDM) Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo fsico en donde podra concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.Si consideramos un sistema de n puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del CDM G del sistema de puntos materiales son:

Donde:

Centro de gravedad (CDG)

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo. Es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de l. En el caso de una esfera hueca, el CG est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el CDG del cuerpo. El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntosa del cuerpo experimentan la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; adems los suponemos rgidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo slido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicacin recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo del CDM tendremos:

Donde:

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podr determinarse considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado as:

donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento ser

y segn la definicin de CDG:

as pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser: y anlogamente:

Centro de Gravedad y Centro de masa

Para la mayora de los objetos en las inmediaciones de nuestro planeta, puede considerarse a estos trminos como equivalentes en lo que respecta a la ubicacin

Parte experimental

Descripcin:1.1 Colocar una tabla apoyando sus extremos en los soportes afilados de madera que descansan sobres las balanzas ajustadas a cero, de tal modo que el cero corresponda al peso solo de la tabla.1.2 Medir la distancia L entre los soportes, tal como se indica en la figura N 1.1.3 Cuando la persona se encuentra sobre la tabla, usted debe anotar los pesos W1 y W2 que registran las balanzas. Mida la distancia X dese el plano medio de la persona a la balanza. Usar la SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO para determinar la coordenada X del centro de gravedad de la persona.

Fig. N 1: Persona en posicin de pie sobre la tabla que descansa sobre las balanzas.

Aplicando momentos en el C.G encontramos: XW = (Lx X) W2 XW1 XW = Lx W2 X W2 X W1 XW = Lx W2 X (W2 + W1) X = Lx W2 X (W2 + W1) W

1.4 Haga que la persona gire 90 ( mirando a la balanza W1) y repita el paso anterior tomando momentos al plano frontal del cuerpo que pasa por las articulaciones coxofemorales, tal como indica la figura N 2 . De este modo podr determinar la coordenada Y. Aplicando momentos en el C.G encontramos:

YW = (Ly Y) W2 YW1 YW = Ly W2 YW2 YW1 YW = Ly W2 Y(W2 + W1) Y = Ly W2 Y(W2 + W1) W

Fig. N 2: Persona en posicin de pie de perfil, sobre la tabla que descansa sobre las balanzas.

1.5 Ahora haga acostar a la persona sobre la tabla en posicin de cbito dorsal, tal como indica la figura N 3 y sigue el mismo procedimiento del paso numero 3 . La distancia Z se obtiene midiendo la distancia entre la balanza de referencia y el plano horizontal del cuerpo que pasa por el ombligo.

Para determinar la coordenada Z aplique momento sobre el C.G.

ZW = (Lz Z) W2 ZW1 ZW = Lz W2 ZW2 ZW1 ZW = Lz W2 Z(W2 + W1) Z = Lz W2 Z(W2 + W1) W

Fig. N 3: Persona acostada de cbito dorsal, sobre la tabla que descansa sobre las balanzas.

RESULTADOSCOORDENADA X X = cmCOORDENADA Y Y = cmCOORDENADA Z Z = cm

Lx(cm)235 cmLy(cm)235 cmLz(cm)235 cm

X(cm)175.5 cmX(cm)116 cmX(cm)98 cm

W1(Kg)27 KgW1(Kg)29 KgW1(Kg)31 Kg

W2(Kg)31 KgW2(Kg)33 KgW2(Kg)25 Kg

W(Kg)29 KgW(Kg)31 KgW(Kg)28 Kg

CENTRO DE GRAVEDAD: C.G.= (-284, 563, 387)

ANLISIS Y DISCUSIN DE LOS RESULTADOS

Discutimos sobre el problema que haba al obtener el resultado ya que era muy inexacto. Tambin sobre el resultado distinto que haban obtenido otros proyectos de este tipo ya que utilizaban otros mtodos.

RELATIVIDADVemos entonces que existe una gran diferencia entre la gravedad y el resto de las fuerzas de la naturaleza, como por ejemplo la fuerza elctrica: es imposible simular la fuerza elctrica, dado que no todos los cuerpos en un campo elctrico experimentan la misma aceleracin.La gravedad, pues, no es una fuerza ejercida entre los distintos cuerpos, sino la propiedad que tienen los cuerpos materiales de curvar el espacio-tiempo.El concepto de espacio-tiempo fue desarrollado por Hermann Minkowski, antiguo profesor de matemticas de Einstein en el Instituto Federal de Tecnologa (ETH) de Zrich. Segn Einstein, gracias a los trabajos de Minkowski, le fue mucho ms fcil la transicin entre la Relatividad Especial y la Relatividad General. Al clebre matemtico y sus trabajos sobre el espacio-tiempo est dedicada la prxima seccin.

Figura1. Un observador en una nave espacial, Einstein, cuya aceleracin es igual a la terrestre no podra distinguir entre estar parado en la nave y en la Tierra.

EL ESPACIO-TIEMPOHermann Minkowski naci el 22 de junio de 1864 en Aleksotas, parte del Imperio Ruso, hoy Lituania. Realiz sus estudios universitarios en la Universidad de Knigsberg, en la actualidad Kaliningrado. All, en 1885 recibi el doctorado en matemticas. Dio clases en las universidades de Bonn y Knigsberg. En el ao 1902, Minkowski se traslado de Zrich, donde, como ya mencionamos, haba sido profesor de Einstein en el ETH, a la Universidad de Gttingen. Fue all donde, en 1905, comenz a estudiar una formulacin geomtrica ms precisa de la electrodinmica y se interes particularmente por los trabajos de Einstein sobre el tema. Dos aos ms tarde, el 7 de noviembre de 1907 dio un coloquio sobre relatividad y fue por primera vez, cuando los trminos espacio-tiempo, cono de luz, entre otros, fueron conocidos.

Qu es el espacio-tiempo?

El espacio-tiempo es la suma fsica de todos los eventos que suceden a las cosas.

Figura 2. El joven Hermann Minkowski.

Figura 3. Residencia de Minkowski en Gttingen desde 1902 hasta 1909.

Las cosas son individuos dotados de propiedades fsicas. Por ejemplo, la carga es una propiedad de los electrones; la temperatura es una propiedad de los cuerpos macroscpicos. Un cambio en el estado de una cosa material es un evento. Las partculas, estrellas, campos electromagnticos, seres vivos o muertos, por mencionar slo algunos ejemplos, son cosas materiales1, esto es, sus propiedades cambian. El espacio-tiempo est conformado por todos los eventos que han sucedido, suceden y sucedern de todas las cosas materiales que han existido, existen y existirn. El espacio-tiempo es entonces una propiedad emergente de las cosas. Si no existiesen cosas cambiantes, no habra espacio-tiempo.

Cada evento del espacio-tiempo puede especificarse mediante 3 coordenadas espaciales y una temporal. Por ejemplo, estas lneas estn siendo escritas en la confitera Pars cuyas coordenadas espaciales pueden ser dadas por la latitud y la longitud del lugar, y la altura sobre el nivel del mar, ms una cuarta coordenada que indica cuando sucede el evento.Hasta hace poco ms de un siglo se pensaba que las distancias se medan de acuerdo a la geometra desarrollada por Euclides. La geometra que hemos aprendido en el colegio es euclideana y algunos de sus axiomas2 son por ejemplo: la suma de los ngulos interiores de todo tringulo es 180 o, dos lneas paralelas slo se intersecan en el infinito. Para poder medir la distancia entre dos puntos en este espacio se utiliza el famoso teorema de Pitgoras:

donde h denota la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo y x e y la longitud de los catetos, como se muestra en la Figura 4. Un espacio donde se cumple esta relacin se llama euclideo. Adems, espacio y tiempo eran concebidos como dos entidades completamente independientes. Mientras que el movimiento en el espacio es tridimensional, el tiempo fluye en una nica direccin y sentido, desde el pasado hacia el futuro. La coordenada temporal de un dado evento, por lo tanto, es la misma para todos los observadores, independientemente de su posicin y velocidad relativa.

Figura 4. Teorema de Pitgoras.

Uno de los aspectos ms revolucionarios de la teora de la Relatividad Especial, formulada por Einstein en 1905, fue el de la desaparicin de la simultaneidad absoluta. La duracin de un intervalo espacial y temporal para un observador inercial (en movimiento rectilneo y uniforme) ya no tiene porqu coincidir con la duracin del mismo intervalo para otro observador. Esto da lugar a fenmenos tales como la dilatacin temporal o la contraccin de longitudes. Poco tiempo despus de la publicacin de los trabajos de Einstein en Relatividad Especial, Minkowski comprendi que la nueva teora implicaba una reformulacin del concepto y de la estructura del espacio y del tiempo. Bsicamente, la forma de medir distancias e intervalos de tiempo cambia, ya no es ms eucldea.Minkowski encontr que las distancias (llamadas intervalos) en el espacio-tiempo de la Relatividad Especial, se miden como:.En esta expresin dx, dy y dz representan distancias arbitrariamente pequeas en tres direcciones espaciales. La variable t denota al tiempo, y c es una constante con unidades de velocidad (se trata de la velocidad de la luz), de forma que cdt es una distancia medida segn un eje temporal. Vemos as que el espacio-tiempo de Minkowski es cuadri- dimensional: se ha incorporado al tiempo como una dimensin ms. La forma de medir distancias, o en trminos geomtricos, la mtrica de este espacio-tiempo es pseudo- eucldea o minkowskiana.Cmo se puede representar el espacio-tiempo de Minkowski?

Supongamos que ocurre un evento consistente en la emisin de un pulso de luz. En un espacio -tiempo sin materia, el frente de onda electromagntico se propaga como una esfera centrada en el punto de emisin, cuyo radio crece con el tiempo a la velocidad de la luz (ver Figura 5). Si suprimimos una dimensin espacial, podemos representar la esfera de luz como un cono cuyo pex coincide con el evento inicial, tal como se muestra en la Figura 6. La propagacin de la luz divide al espacio-tiempo en tres regiones: aquella por donde viaja la luz (la superficie en forma de cono), el interior del cono, y el exterior del mismo. Slo en la primera regin hay rayos de luz; los sistemas materiales que se mueven a velocidades menores que la luz se encuentran en la segunda regin. Por fuera del cono, no puede haber sistemas u objetos fsicos que hayan estado en el lugar y momento en que ocurri el evento; de lo contrario, stos viajaran ms rpido que la luz, lo que no est permitido de acuerdo con la Relatividad Especial. El cono determinado por el evento se llama cono de luz. La estructura causal del espacio-tiempo de Minkowski queda entonces definida por el cono de luz en cada evento.

Figura 5. Representacin de un frente de onda esfrico en distintos instantes de tiempo. Una dimensin espacial ha sido suprimida.

Figura 6. Cono de luz.

En el espacio-tiempo hay algunos eventos que estn relacionados entre s y hay otros que no, como se ilustra en la Figura 7. El eje x representa una de las dimensiones espaciales y el eje ct (en unidades de longitud), la dimensin temporal. Dado un evento que llamaremos A, su correspondiente cono de luz queda determinado por todos aquellos rayos de luz que pasan por dicho evento. En la regin interior al cono encontramos todos los eventos que estn relacionados con A. En particular, el evento C se encuentra en el cono de luz pasado de A y el evento B en el cono de luz futuro. Los eventos E y D, sin embargo, se hallan fuera del cono de luz de A y por ende, no estn relacionados con ste ya que una seal emitida desde A hasta E o D debera viajar ms rpido que la luz, lo cual no est permitido por la Relatividad Especial.La estructura causal del espacio-tiempo es, entonces, el complejo de relaciones entre los eventos que lo componen, esto es entre los cambios de estado de todas las cosas del universo.La causalidad es una relacin entre eventos, no entre cosas. Es comn or decir, por ejemplo, que el estmago causa la digestin. Las cosas no causan una sucesin de eventos, esto es, procesos. Las cosas continuamente cambian de estado, experimentan procesos. Son estos procesos los que causan cambios en otras cosas. La causalidad es una forma de generacin de eventos, pero no es la nica. El decaimiento3 del mun4, por ejemplo, es una forma de generacin de eventos acausal. La diferencia crucial entre eventos causales y acausales es que en el primer caso, un dado evento es causado necesariamente por la accin de una cosa. El decaimiento del mun es espontneo, no requiere de la accin de ninguna cosa externa.Antes de la Relatividad Especial, la estructura causal del espacio y tiempo, concebido por Galileo y Newton, se representa como una lnea infinita que separa el pasado y el futuro, tal como se muestra en la Figura 8 (dos dimensiones espaciales fueron suprimidas). Cada evento se caracteriza mediante un tiempo universal. Todos aquellos eventos que tienen la misma coordenada temporal y son paralelos a la lnea del presente son simultneos.

Figura 7. Cono de luz del evento A.

Figura 8. Estructura causal del espacio y tiempo newtoniano.

A diferencia del espacio-tiempo de Minkowski, los sistemas u objetos materiales se mueven del pasado al futuro, sin ninguna restriccin. La diferencia fundamental, entonces, entre la estructura causal del espacio-tiempo minkowskiano y newtoniano, es que en el primero existe una velocidad mxima para el movimiento de los sistemas materiales, 300000 km/seg, la velocidad de la luz, mientras que en el segundo no existe tal restriccin.El espacio-tiempo de Minkowski es el espacio-tiempo de la Relatividad Especial: todos los sistemas de referencia se mueven con velocidad constante, libres de toda fuerza o aceleracin. El espacio- tiempo es plano. La situacin cambia si se introduce la gravedad. Al estar todos los sistemas de referencia acelerados, no hay sistemas de referencia inerciales. La geometra del espacio-tiempo ya no es ms plana y queda determinada por las propiedades de los sistemas fsicos (ver Figura 9). La geometra del universo ya no puede ser descripta mediante una nica mtrica, la minkowskiana, sino que depende del contenido de energa y cantidad de movimiento de los sistemas fsicos en cada punto del espacio- tiempo. El Principio de Equivalencia se traduce a que localmente, en el entorno de todo evento, la mtrica es aproximadamente minkowskiana, esto es la curvatura del espacio- tiempo se anula a pequea escala y la Relatividad Especial sigue siendo vlida.Ocho aos transcurrieron desde la formulacin del Principio de Equivalencia, en 1907, hasta la obtencin de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, en 1915. Durante ese tiempo Einstein dej de ser un completo desconocido que trabajaba en su tiempo libre en ciencia; ingres al mundo acadmico, convirtindose en profesor de las universidades ms prestigiosas de Europa. Fue en el ETH de Zrich donde vuelve a encontrarse con un viejo amigo, Marcel Grossmann. Juntos desarrollaran el formalismo matemtico necesario para formular las ecuaciones de la Relatividad General.

Figura 9. Espacio-tiempo de Minkowski y espacio-tiempo de la Relatividad General. Las propiedades de los sistemas fsicos curvan el espacio-tiempo.

De la colaboracin Einstein-Grossmann a las ecuaciones de campo de la Relatividad GeneralEn el ao 1907 comienza la vida acdemica de Einstein. Obtiene una Privadozent en la Universidad de Berna, lo que le daba derecho a dar clases y cuya nica remuneracin era una pequea matrcula que pagaban quienes atendan a clases. Al poco tiempo, obtiene su primera posicin acadmica, profesor asociado de fsica terica en la Universidad de Zrich. El 15 de octubre de 1909 comienza a ejercer su nuevo cargo. En el mismo mes, a los 30 aos de edad, asiste a su primera conferencia cientfica en la bella ciudad de Salzburgo.Su estada en Zrich finaliz en marzo de 1911, cuando el Emperador Francisco Jos de Austro-Hungra nombra a Einstein profesor titular de la Universidad Alemana de Praga. Fue all donde se dedic a estudiar los efectos de la gravitacin sobre la luz. Lleg a la conclusin que la trayectoria de la luz se curvara en la presencia de un cuerpo masivo. Estos efectos seran observables por ejemplo durante un eclipse de sol. Predijo que el efecto del desplazamiento de las estrellas de fondo justo detrs del sol debera ser de 0.83, la mitad de lo que hoy se conoce es el valor correcto. Segn cuenta Einstein en su correspondencia, nunca estuvo cmodo en Praga. Se senta molesto por la cantidad de trabajo burocrtico que deba hacer a lo que se aada el trato que reciba, extremadamente formal y servil, que no corresponda con su personalidad.A los 16 meses de haber sido nombrado profesor en Praga, Einstein se incorpora como profesor en el ETH de Zrich, donde l mismo haba estudiado. All se encuentra con su viejo amigo Marcel Grossmann, quien haba estudiado con Einstein y que ahora era profesor de matemticas en dicha universidad. Fue a ste a quien Einstein no slo dedic su tesis doctoral sino tambin la primera monografa sobre relatividad general, escrita en 1916: Finalmente, en este lugar mis agradecimientos van a mi amigo el matemtico Grossmann, cuya ayuda no slo me salv del estudio de la literatura matemtica relevante sino que tambin me apoy en la bsqueda de las ecuaciones de campo de la gravitacin.Marcel Grossmann naci en Budapest en 1878, aunque su familia era de ascendencia Suiza. Hasta los 15 aos vivi en su ciudad natal para luego regresar a Suiza, donde terminara el colegio secundario. Entre 1896 y 1900 estudi junto con Einstein en el ETH de Zrich.Durante los siguientes aos ense en colegios secundarios, obtuvo su doctorado en la universidad de Zrich, public dos libros de geometra para estudiantes secundarios y 3 trabajos en geometra no-euclideana, recibiendo elogios del propio Hilbert, el matemtico ms importante de aquella poca. Entre 1910 y 1912 publica otros cuatro trabajos, presentando uno de ellos en el 5 congreso internacional de matemticos en Cambridge, Inglaterra. Previamente, en 1907, Grossmann ingresa como profesor titular de geometra en

el ETH de Zrich y en 1910 se convierte en uno de los miembros fundadores de la Sociedad Suiza Matemtica.Grossmann fue quien seal a Einstein que la geometra Riemanniana era la herramienta matemtica adecuado para la formulacin de la Relatividad General y le ense los formalismos matemticos de la geometra diferencial. Juntos publicaron dos trabajos, en 1913 y 1915. En 1936 Grossmann muere de esclerosis mltiple. Einstein siempre lo record con gratitud y respeto, no slo por haberlo ayudado en la construccin de la Relatividad General sino por la amistad de toda una vida.Einstein y Grossmann lograron describir a la gravitacin como un tensor mtrico; el tensor mtrico es una herramienta matemtica que permite medir distancias. De acuerdo a la energa y cantidad de movimiento de los sistemas fsicos en un dado evento, la geometra del espacio-tiempo cambia y por ende la forma de medir distancias entre eventos del espacio-tiempo. El siguiente paso fundamental que le faltaba dar a Einstein era encontrar las ecuaciones que relacionaban el campo mtrico con las propiedades fsicas de los sistemas materiales.

Figura 10. De izquierda a derecha: Marcel Grossmann, Albert Einstein, Gustav Geissler y Eugen Grossmann en Thalwil, cerca de Zrich, 28 de mayo de 1899.

En 1913 Einstein acepta una invitacin para ir a Berln a incorporarse a la Academia Prusiana de Ciencias y dirigir el Instituto de Fsica Kiser Guillermo. El 6 de abril de 1914, a poco menos de tres meses que se desatara la Primera Guerra Mundial, Einstein llega a Berln. En el verano del ao siguiente en la Universidad de Goettingen, Einstein dicta una serie de conferencias sobre relatividad general y sus esfuerzos por llegar a las ecuaciones de campo. Entre los asistentes se encontraba David Hilbert, quien era profesor de dicha universidad. Hilbert logr interesarse en el trabajo de Einstein y ambos cientficos intercambiaron una nutrida correspondencia sobre el tema, en particular entre el 7 y 25 de noviembre de 1915. El 20 de noviembre Hilbert enva para su publicacin un artculo con las ecuaciones de campo de la Relatividad General a la revista de la sociedad matemtica de Goettingen. El 25 de noviembre Einstein descubre la forma definitiva de las ecuaciones de campo de la gravitacin y enva el correspondiente trabajo a los Anales de la Academia Prusiana de Ciencias. Si bien fue Hilbert el primero en hallar las ecuaciones de campo de la Relatividad General, Einstein, con la ayuda de Marcel Grossmann, fue quien desarrollo las ideas fundamentales de la teora. Hilbert siempre reconoci pblicamente todo el crdito de la Relatividad General a Einstein.

David Hilbert muri el 14 de febrero en 1943 en Gttingen, a la edad de 81 aos. Unas pocas personas asistieron a su entierro, en el cementerio de Gttingen. En el epitafio de su tumba se lee: Wir mssen wissen. Wir werden wissen (We must know. We will know).

Figura 11. David Hilbert.

Figura 12. Tumba de Hilbert en el cementerio deGttingen.

Las ecuaciones de campo de Einstein

Las ecuaciones de campo de Einstein tienen la forma:

donde G es una expresin matemtica llamada tensor de Einstein que contiene toda la informacin geomtrica del espacio-tiempo, y T es el tensor de energa-impulso que describe las propiedades fsicas de los sistemas materiales que generan la gravitacin. Las ecuaciones de Einstein son un sistema de 10 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de tipo hiperblico no-lineales. Dada su extrema complejidad se conocen pocas soluciones exactas de las mismas, y suelen utilizarse una variedad de soluciones aproximadas.En la teora de la Relatividad General la distribucin de los conos de luz ya no es ms uniforme, como suceda en el espacio-tiempo de la Relatividad Especial (ver Figura 13). De acuerdo a como sea la curvatura del espacio-tiempo, la direccin temporal del los conos puede cambiar. Dado que las partculas masivas slo pueden moverse dentro de su correspondiente cono de luz, sus trayectorias en el espacio-tiempo tambin se vern afectadas. En otras palabras, tanto las partculas masivas como tambin la luz, se movern por una trayectoria dictada por la curvatura del espacio-tiempo, como se muestra en la Figura 14.

Figura 13. En la imagen izquierda se muestran los conos de luz en el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. Los ejes temporales de los conos estn en la misma direccin y sentido. En la imagen de la derecha la orientacin de los conos no es uniforme debido a que el espacio-tiempo est curvado.

Figura 14. Cuando un rayo de luz pasa cerca del Sol su trayectoria se ve afectada ya que el espacio-tiempo est fuertemente curvado en un entorno del Sol. La trayectoria B es la que seguira el rayo de luz en ausencia del Sol.

Einstein propuso tres test para verificar la teora de la Relatividad General. El primero, en 1916, fue la correcta prediccin de las anomalas en la rbita de Mercurio, descubiertas por el astrnomo francs Urbain Le Verrier en 1859, y que hasta el momento no haban podido ser explicadas. El segundo fue la desviacin de los rayos de luz en las cercanas del Sol, verificado durante un eclipse solar en 1919. Los valores medidos durante el experimento estaban en acuerdo con los calculados por Einstein. Este hecho le vali el reconocimiento del mbito cientfico mundial adems de convertirse en el cientfico ms famoso de todos los tiempos. El tercer test propuesto por Einstein fue la observacin del corrimiento al rojo de la luz inmersa en un campo gravitacional. La verificacin de este fenmeno fue posterior a la muerte de Einstein. En 1960, fsicos de la Universidad de Harvard detectaron con una precisin de uno en mil el corrimiento en frecuencia de rayos gamma que recorrieron 23 metros en forma vertical hacia la Tierra.

Desde el comienzo de la dcada de 1920 hasta fines de de la dcada de 1950, la Relatividad General fue una teora en la que muy pocos cientficos trabajaban. Como se mencion anteriormente, slo dos test experimentales de la misma fueron realizados en dicho perodo. En aquellos tiempos estaba en boga la teora de la Mecnica Cuntica que resultaba a muchos ms redituable tanto en lo acadmico como en lo econmico. La Relatividad General tampoco era objeto de estudio en las universidades. Durante la vida de Einstein no hubo ninguna conferencia internacional sobre relatividad general y gravitacin. La primera fue celebrada en Berna, en julio de 1955, tres meses despus de la muerte de Einstein, con motivo de los 50 aos de la Relatividad. Einstein fue invitado a participar pero declin la invitacin por problemas de salud. Esta conferencia, llamada GR0, marc el inicio de una serie de congresos internacionales en relatividad general y gravitacin que se celebran hasta la fecha. La prxima conferencia, la GR20, ser el ao que viene en Varsovia, Polonia.Cules fueron las causas del renacimiento de la Relatividad General? Una de las razones ms importantes fueron los espectaculares avances en el campo de la astronoma, que comenzaron en 1954 cuando Cygnus A, la segunda fuente ms brillante en radio del cielo, fue identificada con una galaxia lejana. Le siguieron las fuentes X en 1962, los quasars5 en 1963, la radiacin de fondo de microondas6 en 1965 y los pulsares7 en 1967. En 1964 se descubre la fuente Cygnus X-1, que hoy sabemos es una agujero negro8 estelar que pertenece a la Va Lctea. La Relatividad General ya haba predicho la existencia de varios de estos objetos, dcadas antes que fueran descubiertos.

Parte de la riqueza de la Relatividad General yace en que es el propio universo el laboratorio que permite explorarla. A casi 50 aos del descubrimiento del primer agujero negro, a casi 100 aos del nacimiento de la Relatividad General, todava somos como nios que vamos a tientas en la oscuridad del universo, cuyos vastos corredores, como la Biblioteca, no tienen fin.

Figura 15. Esta foto, una de las pocas a color de Einstein, fue tomada en la puerta de su casa en Princeton, en febrero de 1954.

Figura 16. ltimo pizarrn de Einstein. La foto fue tomada el 18 de abril de 1955, el da que muri Einstein, en su oficina en Princeton.

Conclusiones La sencilla actividad experimental que proponemos servir para afianzar los conceptos asociados al centro de gravedad y tiene especial inters en cursos bsicos de fsica o biomecnica de titulaciones relacionadas con la educacin fsica o la actividad deportiva. Durante los ocho cursos de realizacin de esta prctica encontramos una respuesta muy favorable de los alumnos en la medida en que esta experiencia estimula su curiosidad y fomenta su participacin en el experimento debido a la implicacin y exploracin de su propio cuerpo. La evaluacin del trabajo de los alumnos se realiza mediante la correccin de un informe que cada estudiante debe confeccionar durante la sesin de laboratorio incluyendo las medidas tomadas, el diagrama de slido libre del montaje experimental y los clculos realizados. Esta actividad experimental puede generalizarse fcilmente a un caso bidimensional no mucho ms complicado en el clculo sin ms que aadir una bscula ms y utilizar una tabla de momentos con un apoyo fijo y dos apoyos sobre sendas bsculas. De esta forma la determinacin del centro de gravedad permite el anlisis de posturas del cuerpo ya que se puede involucrar en los clculos el eje transversal al cuerpo del sujeto experimental. Albert Einstein "Uno de los representantes ms grandes de la fsica del siglo XX"; en cuanto a su Teora de la Relatividad centramos su reconocimiento, porque es uno de los clculos ms exactos que hizo, ya que al crear una hiptesis acerca del tiempo en el espacio tuvo que hacer muchos clculos sobre distancias, tiempo y aceleracin. Para nosotros fue un seor muy brillante porque adems invento la bomba atmica; aunque desgraciadamente este invento es peligroso ya que hay pases que lo utilizan para daar a otros. Estos inventos mencionados consideramos que son los ms importantes por ser los ms complejos y tambin los ms conocidos por las personas. Por otra parte la bomba atmica y la teora de la relatividad son los trabajos de Einstein que hoy en da los cientficos utilizan. Einstein debe recordarse por las mltiples aportaciones que dio a la humanidad. Con esto queda introducido ese concepto tan propio del pensamiento de Einstein, el concepto de campo. Es ese concepto el que permite eliminar las fuerzas de gravedad y la accin a distancia. El sol no es una partcula situada en un punto del universo y que actuara "a distancia" sobre los planetas. Es ms bien un ser desparramado por todo el universo, con un punto de mxima concentracin que es lo que identificamos con el astro de ese nombre. Ese ser desparramado en un campo, un campo gravitatorio que interponerte a otros campos y que con su presencia "arruga" al espacio y al tiempo, determinando as la forma en que transcurren los planetas (y en algn grado todos los otros seres del universo).

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ANEXOSDebido a que un cuerpo es una distribucin continua de masa, en cada una de sus partes acta la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posicin donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posicin promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simtrico homogneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geomtrico, pero no para un objeto irregular. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto est en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando ste es el caso, siempre habr un torque de restauracin. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauracin pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posicin de equilibrio. Los cuerpos rgidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, ms estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente en el diseo de los automviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. Tambin la posicin del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades fsicas En otras palabras el centro de gravedad es:

. Es el centro de simetra de masas Es el punto donde se considera concentrada la masa del cuerpo En el hombre est alrededor del 60 % de la altura, en posicin anatmica, y va variando cuando realizamos un movimiento a partir de dicha posicin

El centro de gravedad en el hombre ,en posicin anatmica, cae entre los 2 pies,en la parte anterior de estos, por esa razn el cuerpo tiende a irse hacia adelante,y para que el cuerpo no se caiga, los msculos gemelos y los espinales secontraen isomtricamente, por esta razn a estos msculos se los denomina"antigravitatorios"