UNIDAD III GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

CARTAS P Y NP

CARTAS P (Proporción de artículos defectuosos)

Esta carta analiza las variaciones en la fracción o prporcion

de artículos defectuosos por muestra o subgrupo. Se utiliza

mucho para reportar la proporción (o porcentaje) de

productos defectuosos en un proceso. En carta p se toma

una muestra o subgrupo de ni, artículos, que puede ser la

totalidad o una parte de las piezas de un pedido, un lote, un

embarque o cierta producción. Se revisa cada uno de estos

artículos y si de ellos se encuentran di defectuosos, entonces

en la carta p se grafica la proporción pi de artículos

defectuosos,

pi

Para calcular los limites de control, se parte del

supuesto de que la cantidad de piezas defectuosas por

subgrupo sigue una distribución binomial y apartir de

esto se aplica el mismo esquema general, que señala

que los limites están dados por µw ± 3σw. Por lo tanto,

en el caso que nos ocupa w=pi . Asi, de acuerdo con la

distribución binomial, se sabe que la media y la

desviación estándar de una proporción están dadas,

respectivamente por,

𝜇𝜌=𝑝

Y

𝜎 𝑃=√ 𝑝 (1−𝑝)𝑛

Donde n es el tamaño de

subgrupo y es la proporción

promedio de artículos

defectuosos en el proces. De

acuerdo con esto, los limites

de control de la carta p con

un tamaño de subgrupo

constante están dados por:

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑒𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟=𝑝+3√ 𝑝 (1−𝑝)𝑛

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑒𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟=𝑝−3√ 𝑝(1−𝑝)𝑛

𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙=𝑝

Cuando el tamaño de subgrupo n no se mantiene constante a

lo largo de las muestras, se tienen dos alternativas: usar el

tamaño promedio de subgrupo en lugar de n, o construir una

carta de control con limites variables. Si el promedio del

proceso medido a través de es desconocido, entonces será

necesario estimarlo por medio de un estudio inicial.

En una empresa del ramo metal mecánico se fabrican

válvulas. Después del proceso de fundición se hace un

inspección y las piezas que no cumplen con cierta

características se rechazan. Las razones por las que pueden

rechazarse son diversas: piezas incompletas, porosas, mal

formadas, etc. Para evaluar la variabilidad y la magnitud de

la proporción de piezas defectuosas en el proceso de

fundición se decide implementar una carta p.

712104

47951519

618109259

300300300300

articulos defectuosos di

151215716

300300300305295300

300300280290300300

18192021

tamaño de lote, ni

300300300300330

121314151617

67891011

muestra o lote12345

CARTAS NP (número de artículos defectuosos)

En ocasiones, cuando el tamaño de la muestra en las cartas p es constante, es mas conveniente usar la carta np en la que se grafica el numero de artículos defectuosos por subgrupo (di), en lugar de la proporción. Los limites de control para la carta np se obtienen estimando la media y la desviación estándar de di, que bajo el supuesto de distribución binomial están dadas por:

Y

Donde n es el tamaño de subgrupo y es la proporción promedio de artículos defectuosos. De aquí que los limites de control de la carta np estén dados por:

𝐿𝐶𝑆=𝑛𝑝+3√𝑛𝑝 (1−𝑝)

𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙=𝑛𝑝

𝐿𝐶 𝐼=𝑛𝑝−3√𝑛𝑝 (1−𝑝)

Del análisis de los datos inspecciones y pruebas finales de un producto ensamblado, se ha detectado, atreves de una estratificación y análisis de Pareto, que la causa principal por la que los artículos salen defectuosos esta relacionado con los problemas en un componente en particular: el componente W. se decide, entonces, analizar mas de cerca el proceso que produce tal componente. Para ello, de cada lote de componentes W se inspecciona una muestra de n=120. los datos obtenidos en 20 lotes consecutivos se muestran en la tabla 14.5. el análisis de estos datos se hace directamente al registrar la cantidad de artículos defectuosos por muestra, sin necesidad de calcular la proporción, es decir, se estudian con una carta np. Para obtener sus limites, primero se estima , que se obtiene de dividir el total de artículos defectuosos entre el total de piezas inspeccionadas, es decir:

Lote Artículos defectuosos en

la muestra

Lote Artículos defectuosos en

la muestra

1 9 11 10

2 6 12 20

3 10 13 12

4 8 14 10

5 5 15 10

6 5 16 0

7 14 17 13

8 12 18 5

9 9 19 6

10 8 20 11

Interpretación de los limites de control de la carta np

Los limites de la carta np indican que tanto varia la cantidad espera de piezas defectuosas por cada n artículos inspeccionados. Por ello, en el caso del ejemplo 14.9 se espera que de cada muestra de 120 componentes inspeccionados, el numero de rechazados varíe entre 0.43 y 17.87, con un promedio de 9.15.

Hacemos énfasis en el hecho de que estos limites reflejan la realidad del proceso de acuerdo con la manera en la que la se muestra, lo que hace que la carta ayude a detectar la presencia de causas especiales que afectan el proceso. Sin embargo, aunque se identifiquen y se eliminen tal tipo de causas y se logre tener un proceso estable, la cantidad de piezas defectuosas aun será demasiado grande, como se aprecia en interpretación de los limites. Por ello, será necesario generar acciones para disminuir la cantidad de piezas defectuosas.

Algo que es importante destacar es la relación entre la carta p y la np, ya que esencialmente son las mismas, salvo con un cambio de escala.

Cartas c y u (para defectos)

Es frecuente que al inspeccionar una unidad (la cual puede representar un artículo, un lote de artículos, una medida lineal —metros, tiempo—, una medida de área o de volumen) se cuenten el número de defectos que tiene, en lugar de limitarse a concluir que es o no defectuosa.

Ejemplos de unidades que se inspeccionan para contar sus defectos son: una mesa, “x” metros de rollo fotográfico, un zapato, una prenda de vestir, “x” metros cuadrados de pintura, etc.

En cada una de estas unidades se puede tener más de un defecto, suceso o atributo y no necesariamente se cataloga al producto o unidad como defectuoso.

Por ejemplo, un mueble puede tener algunos defectos en su acabado, pero tal vez cumpla con relativa normalidad la función para la que fue fabricado. Aunque se detecten defectos en una operación intermedia de un proceso, la unidad inspeccionada podría pasar a la siguiente etapa, contrariamente a lo que ocurre en las cartas p y np.Otro tipo de variables que es importante evaluar son aquellas que cuantifican el número de eventos o sucesos por unidad, como por ejemplo: número de errores por trabajador, cantidad de accidentes, número de quejas por mal servicio, número de nuevos clientes, cantidad de llamadas telefónicas en un periodo de tiempo, clientes atendidos en un periodo de tiempo, errores tipográficos por página en un periódico, número de fallas de un equipo, etc. Es importante notar que en estas variables la unidad de referencia es un cierto periodo de tiempo o una cantidad de actividades que se realizan.

Las variables mencionadas se pueden ver en general como el número de eventos que ocurren por unidad, y tienden a comportarse de acuerdo con la distribución de Poisson. Las variables que se ajusten moderadamente bien a esta distribución pueden analizarse a través de las cartas c y u, que estudian el número de defectos por subgrupo o muestra (carta c), o el número promedio de defectos por unidad (carta u).

Carta c (número de defectos)

El objetivo de la carta C es analizar la variabilidad del número de defectos por subgrupo, cuando el tamaño de subgrupo se mantiene constante. En esta carta se grafica Ci, que es igual al número de defectos o eventos en el i-ésimo subgrupo (muestra). Los límites de control se obtienen suponiendo que el estadístico Ci sigue una distribución de Poisson, por lo tanto, las estimaciones de la media y la desviación estándar de este estadístico están dadas por:

Por lo que los límites de control de la carta c se obtienen con las expresiones

Ejemplo 14.10

En una empresa que elabora productos agroquímicos se tiene el problema de intoxicación de los trabajadores debido al contacto con agentes tóxicos. Para evaluar el número de obreros intoxicados por mes en los últimos dos años, serecurre a los registros de la enfermería de la empresa. Los datos obtenidos se muestran en la tabla 14.6; se obtiene que el número promedio de intoxicados por mes es:

Observe que el LCI resulta negativo, pero como no puede haber cantidades negativas de intoxicados, entonces el límite inferior se iguala a cero. La carta obtenida se muestra en la fi gura 14.17. A partir de ella se aprecia que en el mes 12 hubo una situación especial que causó un alto número de intoxicados, más de los que ordinariamente se esperarían. Al recurrir a los expedientes de la enfermería, se encontró que ese punto fuera de los límites ocurrió cuando se introdujo por primera vez cierto tóxico, y que no se les dieron las instrucciones adecuadas a los trabajadores. Localizada la causa, para fijar los límites de control definitivos se eliminó el dato correspondiente al mes 12 y entonces los límites de control a usarse en el futuro son:

Línea central= 4.35, LCI=0 y LCS=10.61

Interpretación de los límites de control de la carta c

Los límites de una carta C reflejan la variación esperada para el número de eventos por subgrupo. De aquí que para el caso del ejemplo 14.10, los límites a usarse en el futuro son: línea central=4.35, LCI=0 y LCS=10.61, entonces se espera que el número de trabajadores intoxicados por mes fluctúe entre cero y 10.61, con un promedio de 4.35. Es evidente que estas cantidades son altas, por lo que se requiere un plan de acción que reduzca esta problemática. Por lo tanto, una forma natural de empezar sería estratificando el problema, es decir, localizando el área, trabajadores o agentes químicos en los que se presentan mayores problemas.

El hecho de representar a través de una carta de control este tipo de variables no sólo ayudará a detectar situaciones anormales que en lo futuro se deben prevenir, sino que además provoca en la administración una mayor conciencia de la magnitud e importancia del problema; además de que será muy fácil evaluar el impacto de las acciones de mejora.

La carta c es aplicable donde el tamaño del subgrupo (muestra) puede verse como constante; por ejemplo, una semana, una pieza, 100 artículos, un metro de tela o cualquier otra cantidad que se considere unidad, pero siempre debe permanecer constante. Cuando no permanece constante se aplica la carta u.