República Bolivariana de Venezuela Ministerio de Educación Superior

Universidad Fermín Toro Cabudare- Edo Lara

Departamento de Ingeniería Mecánica

Integrantes: Cristian Escalona

C.I: 17.100.986 Profesor:

Domingo Méndez Aula:

AN_2_1_1_1_1_3 Asignatura:

Análisis numérico

Asignación de la Unidad IV

Temática Unidad IV.

En análisis numérico, la interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un

experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

Método de las diferencias divididas de Newton

Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

El polinomio de grado resultante tendrá la forma

definiendo como

y definiendo como

Los coeficientes son las llamadas diferencias divididas.

Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a .

Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función .

Queda definido, como:

Se muestra ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de

una cierta función dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:

Interpolación de Lagrange

Sea la función a interpolar, sean las abscisas conocidas

de y sean los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado de Lagrange es un polinomio de la forma

donde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

Nótese que en estas condiciones, los coeficientes están bien definidos y son siempre distintos de cero.

Se muestra en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrange usando interpolación por Lagrange y diferencias divididas de Newton:

Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función para usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.

Para ello se usan los siguientes datos:

Se usa primero el método directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:

Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:

Ahora evaluamos este polinomio en para obtener un valor

aproximado de :

Si se usase una calculadora para efectuar el cálculo

obtenemos , por lo que el error cometido es el siguiente:

Se trata de un error del orden del 0.66 %.

Interpolación de Hermite

La interpolación de Hermite, llamada así en honor a su inventor Charles Hermite, es similar a la de Newton pero con el añadido de que ahora también

conocemos los valores que toma la derivadade la función en las abscisas conocidas .

El Polinomio Interpolador de Hermite de grado de la función es un polinomio de la forma

con

La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se

puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.

En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado cada vez mayor debido a las sucesivas derivadas de los

coeficientes . Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que

"conocemos" cero derivadas de ). Tal y como ocurría con la Interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermite también disponemos una fórmula del error de interpolación que, naturalmente, tiene en cuenta factores relacionados con las derivadas de f. Más

concretamente, se dispone de una fórmula del error en el caso en que la función sea 2m+2 veces diferenciable en un intervalo mediante la siguiente expresión:

para y donde La diferencia esencial entre la Interpolación de Hermite y la Interpolación de Lagrange reside en el cálculo a través de la construcción de los Polinomios de Lagrange. En este caso, su cálculo es árduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadas diferencias divididas generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomio interpolador.

Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las

Diferencias Divididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir tantas veces más una como derivadas de f conozcamos. Aquí sólo veremos el caso en el que conocemos la primera derivada, siendo el resto una generalización de este.

Como en la Interpolación de Lagrange, el Polinomio Interpolador de Hermite de grado se escribirá, una vez calculadas las Diferencias Divididas, de este modo

Nótese que, aparentemente, los coeficientes no están bien definidos, pues

Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:

Pero esto no es más que la definición de la derivada de en el punto , de modo que

Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las derivadas conocidas de la función a interpolar.

Fórmula de newton-gregory ascendente

• Conocidos los valores y0; y1; ... ; yn de una función,correspondientes a los n+1 valores equidistantes x0; x1;... ; xn de la variable, se trata de encontrar el polinomio de grado n:

7,2

Los n+1 coeficientes a0 ; a1 ; ... ;anse determinan imponiendo a la parabola (7.2) las n+1 condiciones de pasar por los puntos A0 ; A1 ; ... ; An; es decir, estableciendo que para x=x0 ; x=x1 ; ... ; x=xn, la expresion (7.2) debe ser igual a y0

; y1 ; ... ; yn, respectivamente; es necesario hacer: • Pn( x0 ) = y0 = a0 • Pn( x1 ) = y1 = a0 + a1 ( x1 - x0 ) • Pn( x2 ) = y2 = a0 + a1 ( x2 - x0 ) + a2 ( x2 - x0 ) ( x2 - x1 ) • Pn( xn ) = yn = a0 + a1 ( xn - x0 ) + ... + an ( xn - x0 ) ... ( xn - xn-1 )

de donde, despejando resultan:

Fórmula de newton-gregory ascendente:

Sustituyendo los valores de los coeficientes, calculados a partir de la expresión (7.3 ), en la ecuación (7.2 ), se llega a la Formula de NEWTON-GREGORY ASCENDENTE:

Haciendo x = x0 + hu, y sustituyéndola en la expresión (7.4), se obtiene una fórmula de uso más práctico. Bajo estas condiciones es:

x-x0 = h u ; x-x1 = x-(x0 +h) = h u-h = h(u-1) etc.; vale decir, la fórmula de newton-gregorytoma la forma:

Considerando que, según la teoría y notación de los números combinatorios, se puede expresar:

y considerando a Δ0 y0 = y0 , la expresión 7.5 se puede escribir:

Si en una tabla de valores, las diferencias son nulas, a partir de la segunda en adelante, la formula de NEWTON-GREGORYbse reduce a la siguiente: Es la expresión analítica de la recta que pasa por los puntos A0; A1 . Puede utilizarse cuando, las diferencias tabulares de orden dos y > son nulas; o cuando las diferencias de orden superior Δ 2 ; Δ 3 y siguientes, son despreciables. En este caso, la curva representativa de la función es reemplazada por la poligonal que se obtiene uniendo los puntos A0 ; A1 ; ... ; An , con segmentos de recta.

Fórmula de newton-gregory descendente Cuando, la interpolación debe efectuarse para un valor de x próximo a xn o, en general, alejado de x0 , ->Aplicar fórmulas de interpolación en las que intervengan las diferencias sucesivas relacionadas con el último valor yn de la tabla. Definiendo la diferencia de primer orden mediante la expresión: y, operando de igual modo al realizado para definir las diferencias avanzadas, en este caso podemos observar la tabla correspondiente:

Las diferencias calculadas arriba, reciben el nombre de diferenciasatrasadas. Para deducir la fórmula correspondiente, es necesario escribirla en forma análoga a la ya utilizada para la ascendente; la expresión de la ecuación de la polinomio de grado n es:

Calculando sus coeficientes a0 ; a1 ; ...; anmediante las n+1 condiciones que impone el hecho que la parábola (7.12) tenga que pasar por los puntos A0 ; A1 ; ...; An y operando en forma similar a G.N.A. se obtienen los coeficientes ai buscados. En general resulta que: Sustituyendo los coeficientes calculados en la expresión 7.12 Realizando el cambio de variable de x por xn+ h u, resulta una expresión mas practica.

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas. Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite.