Unidad I.-Resistencia a la fatiga.

1.1.- diagrama de esfuerzo - nmeros de ciclos.La figura 3.2 representa en una grfica, una curva tpica esfuerzo-deformacin (-) de ingeniera para un acero de bajo carbono (1020). Se observa la regin elstica en la cual se cumple la Ley de Hooke denotada por la ecuacin la deformacin es proporcional al esfuerzo, hasta un valor de E llamado lmite elstico, a partir del cual empieza una deformacin no recuperable, es decir, se entra a la regin de deformacin plstica, en la que ya no existe una relacin directa entre esfuerzo y deformacin.

Figura 3.2.- Diagrama esfuerzo - deformacin para un acero de bajo contenido de carbono. En el diagrama, P es llamado Lmite de Proporcionalidad, E Lmite Elstico, Y punto de FluenciaSuperior, L punto de Fluencia Inferior, U Resistencia mxima y R Resistencia a la FracturaEl lmite elstico de los materiales es un dato de suma importancia para el diseo, ya que el rebasar este valor conducira a una deformacin plstica, con prdida de tolerancia y otros problemas.Uno de los principales objetivos de los tratamientos trmicos es precisamente le elevacin del lmite elstico, lo que implica un aumento de la resistencia del material a la deformacin plstica; esto es lo que se entiende por aumentar la dureza de un material.Tambin, a partir de dicho diagrama se pueden obtener las siguientes propiedades:

Lmite proporcional: Es el mayor esfuerzo para el cual puede aplicarse la ley deHooke. En otras palabras, es el esfuerzo en el extremo de la porcin recta de la curva esfuerzo-deformacin. Resistencia Mxima: Es el mayor esfuerzo, basado en la seccin original, que puede soportar un material. Tambin conocida como resistencia ltima. Resistencia a la ruptura: Es el esfuerzo en un material, basado en la seccin transversal original en el instante en que se rompe. Tambin conocido como resistencia a la fractura. Elasticidad: Se refiere a la habilidad de un material para deformarse bajo una carga o esfuerzo y recuperar sus dimensiones originales cuando el esfuerzo se retira. Plasticidad: Es la cualidad de un material para deformarse bajo un esfuerzo o carga y retener esta deformacin despus de retirar la carga o esfuerzo. Resistencia a la cedencia o a la fluencia: Es aquel esfuerzo que causar en el material una cierta cantidad especfica de deformacin plstica. Usualmente se determina por el mtodo de la mnima deformacin permanente. La resistencia a la cadencia es el esfuerzo en donde se intersectan la lnea curva y la lnea recta en el diagrama de esfuerzo-deformacin. Porcentaje de alargamiento: Se obtiene comparando el alargamiento total en la fractura, con la longitud calibrada de la probeta.Las dos partes de la fractura se acoplan adecuadamente, y se mide la distancia entre las marcas de comparaciones; el alargamiento total es esta distancia menos la longitud inicial.

Matemticamente se define as:

Donde:Lf=Longitud FinalL=Longitud Inicial= ElongacinPorcentaje de reduccin de rea: Cuando un material dctil se esfuerza ms all de su resistencia mxima, su rea transversal, decrece apreciablemente hasta que sucede la fractura.Este decremento del rea es conocido como estrangulacin y se obtiene comparando la reduccin del rea en la seccin ms pequea de la probeta fracturada con el rea de la seccin transversal original, figura 3.3.

En forma de ecuacin queda as:

Donde:A= rea original de la seccin transversal.AF= rea final de la seccin transversal.

Debe mencionarse que los diagramas esfuerzo-deformacin para diferentes materiales, varan considerablemente, y diferentes pruebas de tensin del mismo material pueden producir resultados diferentes, dependiendo de la temperatura de la muestra y la rapidez en la aplicacin de la carga.Sin embargo, es posible distinguir algunas caractersticas comunes entre los diagramasesfuerzo-deformacin de varios grupos de materiales y dividirlos en dos amplias categoras sobre la base de estas caractersticas; a saber:-Materiales Dctiles y Materiales Frgiles.El comportamiento tpico de estos se observa en la figura 3.4.

Figura 3.4. Diagramas esfuerzo-deformacina) Materiales frgiles b) Materiales dctiles

Los materiales dctiles, que comprenden el acero estructural y muchas otras aleaciones, se caracterizan por su capacidad para fluir a temperaturas normales.Cuando se somete la probeta a una carga creciente, su longitud aumenta, primero linealmente a una velocidad muy baja; pero despus que alcanza un valor crtico de esfuerzo, la probeta sufre grandes deformaciones con un pequeo aumento en la carga aplicada. Esta deformacin ocurre por deslizamiento del material en planos oblicuos y se debe a la presencia de esfuerzos cortantes.Los materiales frgiles como el hierro fundido, cristal y piedra se caracterizan porque la ruptura ocurre sin que se presente antes un cambio importante en la velocidad de alargamiento.As para materiales frgiles no hay diferencia entre resistencia ltima y resistencia a la ruptura.Tambin, la deformacin en el momento de la ruptura es mucho ms pequea para materiales frgiles que para materiales dctiles.Para la realizacin de esta prueba se utilizan mquinas universales como la que se observa en la figura 3.5.

Figura 3.5. Mquina universal para prueba de tensin.

1.2.-Factores que modifican el lmite de resistencia a la fatiga.Se ha visto la probeta para el ensayo en maquina rotativa estilizada en el laboratorio para determinar los lmites de resistencia a la fatiga, se prepara con mucho cuidado y se ensaya bajo condiciones muy controladas. No es posible esperar que el lmite de resistencia a la fatiga de un elemento mecnico o estructural iguale los valores obtenidos en el laboratorio. Algunas diferencias incluyen Material. composicin, base de falla, variabilidad. Manufactura: mtodo, tratamiento trmico, corrosin por frotamiento, Condicin superficial de esfuerzo. Entorno: corrosin, temperaturas, estado de esfuerzos, tiempos de relajacin. Diseo: forma, vida, estado de esfuerzos, concentracin de esfuerzo, velocidad, rozamiento, ludimiento.Marn identifico factores que cuantifican los efectos de la condicin superficial, el tamao, la carga, la temperatura y varios otros puntos. La cuestin respecto a ajustar el lmite de resistencia a la fatiga por medio de correlaciones substractivas o multiplicativas se resolvi mediante un extenso anlisis esttico de acero 4340(horno elctrico, calidad de aeronave), en el que se determin un coeficiente de correlacin de o.85 para la forma multiplicativa, y 0.40 para la forma aditiva. Por lo tanto, una ecuacin de Marn se escribe

Factor de superficie (Ka) El estado superficial tiene efecto sobre la resistencia a la fatiga de los elementos; a mayor rugosidad de la superficie, menor ser la resistencia, ya que las irregularidades de la superficie actan como pequesimos concentradores de esfuerzos que pueden iniciar una grieta de manera ms temprana. La manera de introducir el efecto del acabado superficial, as como el de otros aspectos que se estudian en las secciones 5.8.2 a 5.8.6, es definiendo factores multiplicadores de la resistencia a la fatiga. El factor de superficie, Ka, es el coeficiente que tiene en cuenta el efecto del acabado superficial sobre la resistencia del material a las cargas variables y est en el intervalo [0,1]. Para el caso de elementos pulidos a espejo Ka = 1, ya que este tipo de superficie es el que tienen las probetas para determinar el lmite de fatiga; por lo tanto, no habra necesidad de hacer correccin por estado superficial. Un valor menor que uno implica que el estado superficial reduce en cierto grado la resistencia. Si, por ejemplo, Ka = 0.35, la resistencia a la fatiga corregida para vida infinita sera el 35% del lmite de fatiga, si se considerara slo el efecto de la rugosidad. La figura 5.11 presenta los resultados de ensayos experimentales efectuados sobre probetas de acero con diferentes acabados superficiales. Las curvas de los acabados ms pulidos estn por encima (los valores de Ka son mayores) de curvas de procesos que producen mayores rugosidades o que generan descarburacin de la superficie, como ocurre con el laminado en caliente y el forjado; una superficie descarburada contiene menor porcentaje de carbono, lo cual reduce la resistencia del acero.

Figura 5.11 Factores de superficie para el acero. Fuente: Juvinall. Pueden aplicarse a otros metales dctiles, pero como valores aproximados.

De la figura se puede observar tambin que Ka no slo depende del acabado superficial sino tambin del esfuerzo ltimo del acero. A mayor esfuerzo ltimo, menor tiende a ser el factor de superficie, ya que los aceros ms resistentes tienden a ser ms sensibles a los efectos de concentracin de esfuerzos producidos por las imperfecciones de la superficie. Esto se debe a que dichos materiales tienden a ser menos dctiles, es decir, a tener menos capacidad de deformarse plsticamente.Como se dijo, las curvas de la figura 5.11 son vlidas para el acero, con el cual se hicieron las pruebas experimentales, aunque tambin pueden aplicarse a otros metales dctiles, pero como valores aproximados. Para el hierro fundido se puede tomar Ka = 1, porque las discontinuidades internas debidas a las inclusiones de grafito, hacen que la rugosidad de la superficie no reduzca de manera adicional la resistencia a la fatiga.

Factor de tamao (Kb)El tamao de la pieza en las secciones crticas tambin tiene efecto sobre su resistencia. En general, a mayor tamao de la pieza menor es su resistencia, aunque para carga axial no existe este efecto.La prdida de resistencia al aumentar los tamaos de las piezas se debe a que hay una mayor probabilidad de que exista un defecto en el volumen que soporta los mayores esfuerzos. Considere la figura 5.12 en la cual se muestran las secciones transversales de dos probetas; la segunda con el doble de dimetro que la primera. Si las probetas estn sometidas a flexin giratoria, los puntos que soportan mayores esfuerzos son los que estn entre la circunferencia a trazos y el contorno de la seccin; si los puntos mostrados fueran defectos en la seccin, la de mayor dimetro tendr muchos ms defectos en la zona crtica, con lo que tendra mayor probabilidad de que se iniciara una grieta por alguno de ellos.

La curva continua (BC) de la figura 5.13 muestra la tendencia de datos experimentales, al someter probetas de diferentes tamaos (8 mm a 250 mm) a flexin giratoria. Por ejemplo, al someter una probeta de 250 mm de dimetro a flexin giratoria, se encuentra que el esfuerzo mximo que se puede aplicar sin que ocurra falla es aproximadamente 0.7Se; es decir, el factor de tamao es aproximadamente 0.7.

Factor de confiabilidad (Kc).Como se ha visto hasta ahora, la teora de fatiga se basa, en gran medida, en datos experimentales. Como la mayora de las curvas y datos obtenidos corresponden a la tendencia media que siguen los puntos de ensayo, la confiabilidad de estos datos es del 50%. Considere, por ejemplo, que alguien quiere determinar el lmite de fatiga de un determinado material; lo que puede hacer es tomar varias muestras del material, elaborar probetas de ensayo de fatiga y anotar los diferentes lmites de fatiga obtenidos. Con los datos se construye un histograma o distribucin de frecuencias, que consiste en dividir el rango de valores obtenidos en un nmero pequeo de intervalos (seis, para el ejemplo de la figura 5.15). Se cuenta el nmero de datos que pertenecen a cada intervalo y se construye un rectngulo cuya base es igual a la amplitud del intervalo, y cuya altura es proporcional al nmero de datos en dicho intervalo. Esto se ilustra en la figura 5.15. En la prctica, los datos de las propiedades de un material, como el lmite de fatiga, siguen una distribucin normal, la cual tiene forma de campana

Si se toma como lmite de fatiga del material el valor promedio obtenido, ste tendr una confiabilidad del 50%, lo que significa que la mitad de las piezas construidas con este material tendrn un lmite de fatiga igual o superior al valor promedio; la mitad, ya que a partir del valor promedio hacia la derecha, el rea que queda (probabilidad) es la mitad del rea total.Esto sucede tambin con otros datos, curvas y ecuaciones obtenidas experimentalmente; los valores calculados con las ecuaciones o determinados mediante curvas normalmente son promedios.El factor de confiabilidad, Kc, corrige la resistencia a la fatiga de tal manera que se tenga una mayor probabilidad (y confiabilidad) de que la resistencia real de una pieza sea mayor o igual que el valor corregido. Para la determinacin de este factor se supone que la desviacin estndar de la resistencia a la fatiga es de 8%. Utilizando ecuaciones estadsticas correspondientes a la campana de Gauss (distribucin normal) se obtiene la siguiente tabla:

Al igual que Ka y Kb, el factor de confiabilidad vara entre 0 y 1. Tericamente, una confiabilidad del 100% no se podra lograr ya que la campana de Gauss se extiende hasta menos infinito; sin embargo, como se observa en el diagrama de barras de la figura 5.15, los datos reales se extienden en un rango finito de valores. Para propsitos prcticos, una confiabilidad terica del 99.9% sera suficiente en muchos casos. El diseador decide con que confiabilidad trabaja, aunque es bueno recordar que el factor de seguridad, N, tiene en cuenta tambin las incertidumbres en las propiedades del material y en los datos experimentales. La decisin de tomar cierta confiabilidad debe estar ligada a la seleccin de N; para valores bajos de N se podrn tomar confiabilidades altas, mientras que para valores muy conservadores, no sera necesario un valor grande de confiabilidad.

Factor de temperatura (Kd) Las propiedades de un material dependen de su temperatura, Temp. Por ejemplo, un acero puede fragilizarse al ser sometido a bajas temperaturas, y la resistencia a la fatiga puede reducirse notoriamente por encima de unos 500 C. Para tener en cuenta el efecto de reduccin de resistencia a la fatiga, se utiliza el factor de temperatura, Kd, que vara entre 0 y 1, dependiendo de la temperatura: cero cuando la resistencia es nula y uno cuando la resistencia para vida infinita es igual al lmite de fatiga, es decir, cuando la temperatura no modifica la resistencia. De acuerdo con datos experimentales en los aceros, el lmite de fatiga permanece ms o menos constante entre la temperatura ambiente y 450 C, y comienza a reducirse rpidamente por encima de este valor. La siguiente ecuacin emprica puede utilizarse para determinar el factor de temperatura de un acero:

Factor de efectos varios (Ke) Existen otros factores que modifican la resistencia a la fatiga de los materiales; todos los efectos no considerados por los otros factores son cuantificados por el factor Ke. Sin embargo, es muy escasa la informacin cuantitativa sobre dichos efectos. En general, 0 > Ke < 1; en ausencia de corrosin, esfuerzos residuales, etc., se puede tomar Ke = 1. Algunos de los fenmenos a tener en cuenta en un diseo por fatiga incluyen: Corrosin Aunque hay informacin limitada sobre la resistencia de los materiales en entornos severos, la corrosin por agua o aire, por ejemplo, tiene un efecto altamente perjudicial sobre la resistencia a la fatiga. Una grieta esforzada en presencia de corrosin crecer mucho ms rpido; adems, an en ausencia de variacin de esfuerzo las grietas tienden a crecer. Es por esto que el fenmeno de corrosin es tan perjudicial para los elementos de mquinas. El fenmeno de prdida de resistencia a la fatiga por corrosin no ha sido suficientemente estudiado, pero hay algunos datos que pueden servir de ayuda al diseador. Sin embargo, un estudio experimental bajo las condiciones particulares sera conveniente en los casos requeridos. No existe lmite de fatiga en presencia de corrosin (ya que las grietas aparecen y crecen con el tiempo). Contradictoriamente, las dos curvas a trazos de la figura 5.11 sugieren que s existe lmite de fatiga para el acero en presencia de corrosin (el efecto de corrosin se tendra en cuenta con el factor Ka). Por otro lado, Norton propone la siguiente ecuacin para elementos de acero al carbono en agua limpia.

Es decir, el lmite de fatiga es aproximadamente constante (100 MPa) independientemente de la cantidad de carbono del acero. Entonces, con respecto al lmite de fatiga en un ambiente corrosivo, sera lo mismo un acero de bajo carbono que uno de alto carbono. Para el caso representado por la ecuacin 5.27, no se utilizara el factor de efectos varios, sino que se tomara directamente 100 MPa como lmite de fatiga.La resistencia a la fatiga tiende a reducirse si el agua que rodea el elemento es salada, si la temperatura es alta o si la frecuencia de aplicacin de la carga es baja.Tambin existe la corrosin por apriete (en ajustes forzados). Por ejemplo, en uniones atornilladas, cojinetes, cubos de ruedas dentadas y rboles o ejes. El proceso involucra cambio de color en la superficie, picadura y finalmente fatiga. El factor Ke vara entre 0.24 y 0.90, dependiendo del material de las piezas del ajuste.

Factor de carga (Kcar) El comportamiento a la fatiga de un elemento depende tambin del tipo de carga al cual se somete. Las resistencias a la rotura y a la fluencia de un material son diferentes para esfuerzos cortantes y normales; sucede lo mismo con la resistencia a la fatiga. Adems, tambin hay diferencia entre carga axial y flexin, a pesar de que ambos tipos de carga generan esfuerzos normales. Tal como se dijo en la seccin 5.5.1, el lmite de fatiga es una propiedad determinada para flexin giratoria, y debemos calcular una resistencia a la fatiga para los tipos de carga restantes. De acuerdo con datos experimentales sobre aceros podemos afirmar lo siguiente: (i) para cualquier tipo de flexin, giratoria y no giratoria, la resistencia a la fatiga ideal (es decir, para una probeta normalizada y pulida) es igual al lmite de fatiga. (ii) La resistencia a la fatiga ideal en torsin es aproximadamente 0.577Se. (iii) Para carga axial existen varias versiones debido a la variabilidad de datos experimentales. Norton sugiere que la resistencia a la fatiga ideal bajo carga axial se tome como 0.7Se; esto es ms conservador que lo dicho por Faires y Shigley y Mischke que sugieren relaciones entre la resistencia a la fatiga en carga axial y el lmite de fatiga de 0.8 y de 0.923 a 1, respectivamente. Mientras que en flexin y torsin los mximos esfuerzos ocurren en un pequeo volumen del elemento, todo el volumen de una pieza a carga axial est sometido al mximo esfuerzo. Se cree que la menor resistencia a la fatiga para carga axial se debe a la mayor probabilidad de que se presente un micro grieta en el mayor volumen esforzado. La relacin entre la resistencia a la fatiga para cada tipo de carga y el lmite de fatiga se denomina factor de carga, Kcar. Entonces, de acuerdo con lo dicho en el prrafo anterior, tenemos que:

Concentradores de esfuerzos - factores Kf , Kfm y Kff En el captulo 3 (seccin 3.6) se estudi el concepto de concentrador de esfuerzos. Los concentradores de esfuerzos son discontinuidades de las piezas, tales como chaveteros, agujeros, cambios de seccin y ranuras, que producen un aumento localizado de los esfuerzos. Como se estudi en la seccin 3.6.2, para cargas estticas, el coeficiente terico de concentracin de esfuerzos, Kt, se tiene en cuenta en el diseo de materiales frgiles (con algunas excepciones), pero no en dctiles.Por otro lado, como se vio en la seccin 3.6.3, los concentradores de esfuerzos tienden a afectar a los elementos dctiles y frgiles sometidos a cargas variables. Sin embargo, los diversos materiales tienen diferentes sensibilidades a los concentradores. Entonces, adems de Kt, se usan unos factores de concentracin de esfuerzos por fatiga (Kff, Kf, Kfm), los cuales se estudian a continuacin. Factor de concentracin de esfuerzos por fatiga, Kf (vida infinita) El factor de concentracin de esfuerzos por fatiga, Kf, es un valor que multiplica al esfuerzo nominal, con el fin de obtener un valor corregido del esfuerzo, que tenga en cuenta el efecto de la discontinuidad. Este factor se aplica al esfuerzo alternativo. De acuerdo con estudios experimentales, Kf depende del coeficiente terico de concentracin de esfuerzos, Kt, (ii) el material y (iii) el radio, r, de la discontinuidad. Para tener en cuenta estos dos ltimos, se define el ndice de sensibilidad a la entalla, q, el cual es un coeficiente cuyo valor representa qu tan sensible es el material a la discontinuidad de radio r (qu tanto se afecta su resistencia a la fatiga). El coeficiente q vara desde 0, cuando el material no tiene sensibilidad a la discontinuidad, hasta 1, cuando el material es totalmente sensible a sta.

El ndice de sensibilidad a la entalla se ha definido matemticamente como:

Donde:

Como q vara entre 0 y 1, de acuerdo con la ecuacin 5.30, el valor de Kf vara entre 1 (cuando el material no tiene sensibilidad a la entalla) y Kt (cuando el material es totalmente sensible a la entalla). Al encontrar los coeficientes Kt y q se obtiene, entonces, el valor de Kf. El coeficiente Kt se obtiene de las curvas del apndice 5 o de algunas similares. El valor de q se obtiene a partir de: donde r es el radio de la discontinuidad y es una constante que depende del material y que se denomina constante de Neuber. La tabla 5.3 suministra valores de la constante de Neuber para aceros; Norton[1] presenta tambin valores de esta constante para aluminios. El ndice de sensibilidad a la entalla, q, de los hierros fundidos es muy pequeo (vara entre 0 y 0.2 aproximadamente); se recomienda tomar el valor conservador de q = 0.2[4]. La ecuacin 5.31 puede utilizarse para construir curvas de sensibilidad a la entalla. Estas curvas se muestran en la figura 5.16.

1.3.- Esfuerzo conbinados fluctuntes.

A menudo los esfuerzos fluctuantes sobre las maquinarias adoptan la forma de un patrn sinusoidal debido a la naturaleza de algunas mquinas rotatorias sin embargo tambin ocurren otro tipo de patrones algunos muy irregulares se ha determinado que son patrones peridicos que presentan solo un mximo y solo un mnimo de la fuerza la forma de la onda no resulta fundamental pero los picos en el lado alto (mximo) y en el lado bajo (mnimo) son importantes en consecuencia Fmax y Fmin es un ciclo de fuerzas que emplean para caracterizar el patrn de la fuerza. Tambin es cierto que al variar x arriba y debajo de alguna lnea de base resulte igualmente eficaz para caracterizar el patrn de la fuerza. Si la fuerza mayor es Fmax y la fuerza menor es Fmin se construye una componente uniforme y una alternante como la que sigue

DondeFm es la componente de intervalo medio de la fuerzaFa es la componente de la amplitud de la fuerza

En el esfuerzo contante o esttico no es el mismo que el esfuerzo medio; de hecho, puede tener cualquier valor entre min max el estado constante existe debido a una carga fija o a una precarga aplicada a la parte, y por lo general es independiente de la parte variante de la carga. Por ejemplo un resorte helicoidal de compresin siempre est cargado en un espacio ms corto que la longitud libre del resorte. El esfuerzo creado por esta compresin inicial se llama componente constante o esttica del esfuerzo. No es la misma que el esfuerzo medio. Ms adelante tendr oportunidad de aplicar los subndices de estas componentes a los esfuerzos cortantes, asi como los normales.

Se definen u emplean en conexin de los esfuerzos fluctuantes en las ecuaciones se emplean los smbolos a y m como las componentes del esfuerzo la ubicacin bajo estudio lo anterior significa que en ausencia de una muesca ao y mo inducidas por las cargas.

1.4.-teorias de fallasLas teoras de falla tratan de describir las condiciones bajo las cuales puede fallar un elemento mecnico. Por lo tanto, la falla de una pieza, implica estados de esfuerzos en un punto que superan la capacidad inherente del material de soportar dichas cargas, as la suposicin bsica que constituye el marco de referencia para todas las teoras de falla es esto se producir cuando el esfuerzo principal mximo o el esfuerzo cortante mximo, alcance o supere el valor del mismo parmetro obtenido en una prueba de tensin simple.A lo largo de los aos se han postulado un sin nmero de teoras de falla, mencionndose a continuacin una de las ms importantes, as como el tipo de material para el que son valida.Teoria del esfuerzo normal maximo.Esta teora establece lo siguiente: la falla de un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos se producir cuando cualquiera de los esfuerzos principales alcance a superar la resistencia mxima del material, por lo tanto, un elemento ser seguro siempre y cuando se cumplan las condiciones siguientes:

Figura 4.1.- Representacin grfica de la teora del esfuerzo normal mximo.Se puede apreciar que si se grfica un punto cuyas coordenadas sean 1 y 2 y ca dentro del cuadrado el elemento ser seguro, por el contrario si cae fuera, el elemento ser inseguro, esto es, que podra darse la falla.Esta teora tiene como principal inconveniente que se asume que la resistencia mxima del material a tensin es la misma que a compresin y en los materiales frgiles casi nunca se cumple con tal situacin.Teoria del esfuerzo cortante maxmoLa falla de un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos se producir cuando el esfuerzo cortante producido en la pieza alcance o supere al esfuerzo de corte que se produce en el punto de fluencia de una probeta sometida a una prueba de tensin simple De ese modo, se sabe que el esfuerzo cortante mximo (tmx) producido en un elemento sometido a un estado biaxial de esfuerzos se puede calcular mediante la expresinsiguiente:

Tambin, con ayuda del crculo de Mohr se puede ver que:

Por otro lado, se sabe que en una probeta sometida a una carga axial (como en la prueba de tensin), sobre planos a un ngulo de 45 con respecto a los planos perpendiculares a la carga aplicada, se produce un esfuerzo cortante mximo que es igual a la mitad del esfuerzo normal producido, esto es:

Y cuando se alcanza el punto de fluencia:

Por lo tanto :

Debindose cumplir lo siguiente:

Donde:f = resistencia a la fluencia del materialDebindose cumplir con la condicin de que 1 y 2 sean de signos opuestos, esto es, uno debe actuar a compresin y el otro a tensin. En dado caso, que ambos sean a tensin ambos a compresin debe satisfacerse lo siguiente:

La solucin grfica de esta teora la desarroll el ingeniero Paolo Tresca y se muestra en la figura 4.3.

Figura 4.3.- Representacin grfica de la teora del esfuerzo cortante mximo.

Teora de la energa mxima de distorsin. Esta teora fue propuesta por Huber y mejorada posteriormente por Von Mises yHencky por lo que tambin se le conoce como criterio de Mises-Hencky.

Figura 4.4. Richard Von MisesEsta teora surgi al observar el comportamiento de los materiales sometidos a cargas hidrostticas y establece lo siguiente: La falla de un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos se producir cuando la energa de distorsin por unidad de volumen alcance o supere la energa de distorsin por unidad de volumen que se tiene en el punto de fluencia en una prueba de tensin simple.Se puede establecer entonces que la cantidad de energa invertida en deformar un material es el rea bajo la curva en el diagrama esfuerzo-deformacin de ingeniera (Figura 4.5) y se puede calcular por medio de la ecuacin siguiente:

Donde:Uv= Es la energa que absorbe el material en el cambio de volumen yUd= es la energa por cambio de forma (distorsin).

Despejando a Ud se tiene:

Figura 4.5. rea bajo la curva en el diagrama esfuerzo-deformacin de Ingeniera.

Para un estado multiaxial de esfuerzos, la energa de distorsin para unidad de volumen, se puede calcular as:

Donde G es el mdulo de elasticidad al corte y 1 y 2 son los esfuerzos principales.Para calcular la energa mxima de distorsin por unidad de volumen en le punto de fluencia en una prueba de tensin simple se considera lo siguiente:

La primera, porque se trata de una prueba de tensin y la segunda condicin porque se est considerando en el punto de fluencia.As, Sustituyendo en las ecuaciones se obtiene:

Igualando ambas expresiones se puede establecer que un elemento ser seguro siempre y cuando se cumpla lo siguiente:

Y aplicando un factor de seguridad (FS) la ecuacin de Von Mises quedara as.

La representacin grfica de esta teora es una elipse como la que se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6.- Representacin grfica de la teora de la energa mxima de distorsin.Teora de Mohr Modificada.Esta teora fue sugerida por el ingeniero alemn Otto Mohr y puede utilizarse para predecir el efecto de un estado biaxial de esfuerzos en un material frgil cuando se encuentran disponibles los resultados de varios tipos de ensayos. Supngase que a un material frgil se le somete a una prueba de tensin y a una prueba de compresin y a partir de ellos se obtienen la resistencia mxima a tensin ( max) y la resistencia mxima a compresin ( maxc) para dicho material el estado de esfuerzos producido en el punto de esfuerzo mximo se presenta en la figura 4.7. Para poder analizar el caso cuando 1y 2t tienen signos opuestos, se realiza una prueba de torsin y a partir de dicho ensayo se determina la resistencia mxima al corte del material (max). Dibujando al crculo con centro en el origen del sistema de coordenadas nos representa al estado de esfuerzos correspondiente a la falla en una prueba de torsin.

Figura 4.7.- Crculos de Mohr correspondientes a las pruebas de tensin, compresin y torsin.El criterio de Mohr es lgica extensin de este hecho y de acuerdo con l, un estado de esfuerzos dado es seguro si su representacin mediante un crculo ste queda dentro completamente del rea limitada por la envolvente de los crculos correspondientes a los datos obtenidos en las distintas pruebas realizadas.A la teora de Mohr todava se le puede hacer un pequeo cambio para ponerla de acuerdo con los resultados experimentales, consiste en extender las lneas del primer y tercer cuadrante dentro del segundo y cuarto como se puede apreciar en la figura 4.8.Esta teora se aplica mejor al diseo en forma grfica.

Figura 4.8.- Representacin grfica de la teora de Mohr ModificadaEn el primer cuadrante debe cumplirse:

Y en el tercer cuadrante debe cumplirse que:

Bibliografa.

1.- Diseo en Ingeniera MecnicaJ.E. Shigley y C.R. Mischke,McGraw Hill sexta edicin.

2.- Elementos de MquinasB.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid,McGraw Hill 2000

3.- Diseo de maquinariaR.L. Norton,McGraw Hill. 2000