GUION DE CLASES

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BSICASMATEMATICA III

Ciclo I / 2015PAGE Ciclo I / 2015

Matrices y determinantes

UNIDAD I: MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES

Una matriz de orden m x n se denota por

Ejemplo de matriz B de orden 4x3 (cuatro filas y tres columnas)

El elemento b23 es el nmero 5 (el elemento que est en la segunda fila tercera columna.

Notas:

- Dos matrices A y B son iguales si y solo si para todo valor de .

Hallar los valores de x , y ,z en la siguiente igualdad:

- Matriz nula es aquella de orden m x n donde todos los elementos son ceros.

OPERACIONES CON MATRICES

- Suma de matrices

Si dos matrices A y B poseen el mismo orden m x n, la suma de ellas es

Observacin:

Las matrices se suman elemento a elemento

Propiedad conmutativa y asociativa

i) A + B = B + A

ii) A + (B + C) = (A + B) + C ; matrices A , B y C del mismo orden.

Ejemplo 1: Determinar A+B si:

Solucin:

- Resta de Matrices

Si A y B son matrices del mismo orden m x n, entonces

Ejemplo 2:

Dadas las matrices A y B hallar B A. Siendo

Solucin:

- Producto de una constante por una matriz

Si k es un nmero real y A es una matriz de orden m x n, entonces :

Propiedades:

Si k y t son nmeros reales, A y B son matrices del mismo orden:

i) k (A+B)=kA+kB

ii) (k+t)A=kA+tA

iii) (kt)A=k(tA)

Ejemplo 3: Determinar -2B , si

Solucin:

- Producto de Matrices

Si A y B son matrices de orden respectivamente, el producto AB es posible si y slo si:

Es decir, que el nmero de columnas de la matriz A tiene que ser igual al nmero de filas de la matriz B.

El resultado de multiplicar A con B (AB) es otra matriz C, donde:

Nota: El orden de la matriz C es

Por ejemplo si una matriz A es de orden 5x4 y la matriz B es de orden 4x3 se puede efectuar el producto AB . La matriz resultante del producto AB es del orden 5x3.

El producto de matrices No goza de la propiedad conmutativa, pero si de la asociativa y distributiva, siempre y cuando los productos sean posibles:

i) A(BD)=(AB)D

ii) A(B+D)=AB+AD

iii) (A+B)D=AD+BD

Ejemplo 4: si , determinar AB y BA.B-3121

A4-1-63

-21

3-4

25

Solucin:

Primero observemos que la matriz A es de orden 3 x 2 y la matriz B es de orden 2 x 4, es decir que AB es posible realizarlo y ser una matriz C de orden 3 x 4 . Adems BA no es posible realizarlo (B es de orden 2 x 4 y A es de orden 3 x 2).

c11 = fila1 de A por columna1 de B = (-2x-3) + (1x4) = 10

c12 = fila1 de A por columna2 de B = (-2x1) + (1x-1) = -3

c13 = fila1 de A por columna3 de B = (-2x2) + (1x-6) = -10

c14 = fila1 de A por columna4 de B = (-2x1) + (1x3) = 1c21 = fila2 de A por columna1 de B = (3x-3) + (-4 x4) = -25

c22 = fila2 de A por columna2 de B = (3x1) + (-4 x-1) = 7

c23 = fila2 de A por columna3 de B = (3x2) + (-4 x-6) = 30

c24 = fila2 de A por columna4 de B = (3x1) + (-4 x 3) = -9

De la misma manera: c31 = 14 , c32 = -3 , c33 = -26 y c34 = 17. Entonces

Ejemplo 5:Calcular CD y DC, si es posible, siendo

Solucin

C3x3 D3x4 =E3x4 es posible D

C 0121

-2-111

5302

11-2

052

3-43

D3x4 C3x3 No es posible realizar ya que e nmero de columnas de la matriz D no es igual al nmero de filas de C- Inversa de una Matriz

Definiciones preliminares:

Matriz cuadrada: es aquella donde el nmero de filas es igual al nmero de columnas.

Diagonal principal de una matriz cuadrada A: es el conjunto de elementos definidos por donde i = j. Matriz transpuesta: La traspuesta de la matriz A se denota por

Si , entonces

Notemos que la filas de C pasan a ser las columnas de

Matriz identidad ( I ) : es aquella matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son unos y el resto de elementos son ceros.

Ejemplos de matrices identidad:

Propiedad: El resultado del producto de una matriz cuadrada cualquiera A, por la matriz identidad I del mismo orden de A, es la matriz A.

A I =A I A = A

Definicin: (Matriz inversa)

Si A, B e I son matrices cuadradas de orden n y se cumple que AB = I y BA = I, entonces se dice que B es la matriz inversa de A y viceversa.

Notacin: La inversa de una matriz A se denota por A-1 .

DETERMINANTES

A toda matriz cuadrada A, se le asocia un nmero llamado determinante de A.

Simbologa: det(A) |A| , el cual no hay que confundirlo con el valor absoluto de un nmero real.

Si A es una matriz de orden 1 :

Si A es de orden 2:

Ejemplo 6: Hallar det(A) , siendo

Para matrices cuadradas de orden 3, se definir la siguiente terminologa:

Menor: Si A es una matriz de orden 3, el menor Mij de un elemento es el determinante de la matriz de orden 2 que se obtiene al omitir la fila i y la columna j. As, por ejemplo:

Sea , hallar M21 y M32Solucin

Cofactor: El cofactor Aij del elemento se define como

Ejemplo 7:

Dada la matriz , hallar los cofactores

Solucin

Teorema 1: Si A es una matriz cuadrada de orden n > 1, entonces el determinante de A se puede obtener multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna ) por sus respectivos cofactores y sumando los productos resultantes.

As, si se tiene que calcular el determinante de una matriz A de orden 3, lo podemos hacer mediante el uso de cofactores a travs de cualquier fila o columna.

Ejemplo 8: Si , hallar det(A) usando cofactores.

Solucin:

Hallaremos |A| mediante la columna 1

El mismo resultado obtendremos si calculamos dicho determinante utilizando cualquier otra columna o cualquier fila. (comprobarlo hacindolo de otra forma).Si una matriz posee elementos que son ceros, hay que tratar de aprovecharlos a la hora de que necesitemos calcular el determinante de la matriz, tal como lo vemos en el siguiente ejemplo.Ejemplo 9 : Evaluar

Solucin

Conviene resolver por columna 3 ya que hay ms ceros en dicha columna

Ejemplo 10: Resolver el problema anterior utilizando otra columna u otra fila, el resultado tiene que ser el mismoTeorema 2: Si todos los elementos de una fila (o columna ) de una matriz cuadrada A son ceros , entonces |A| = 0.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Sea A una matriz cuadrada de orden n:

1) Si la matriz B se obtiene al intercambiar 2 filas ( o dos columnas ) de A, entonces |B| = -|A|.

2) Si B se obtiene al multiplicar por un nmero real k cada elemento de una fila (o columna ) de A , entonces |B| = k|A|.

3) Si B se obtiene al sumarle a cualquier fila (o columna) de A, k veces otra de sus filas(o columnas), donde k es cualquier nmero real, entonces |B| = |A|.

4) Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son idnticas, entonces |A| = 0. Por ejemplo, el determinante de la matriz siguiente es cero, ya que al multiplicar la fila 2 por -3/2 queda idntica a la fila 1.

Ejemplo 11: Aplicar propiedades para facilitar el clculo del determinante de la siguiente matriz

Solucin

Observacin:

Para calcular el determinante de matrices de orden 3 (nicamente), se puede utilizar tambin el mtodo de Sarrus. Este mtodo consiste en agregar las columnas uno y dos a la derecha del determinante y efectuar las operaciones que se indican en el esquema siguiente.

Luego el determinante de la matriz A es el resultado de la operacin

Ejemplo 12: Encontrar el determinante de la matriz

Solucin

=

SOLUCION DE SISTEMAS DE n ECUACIONES CON n INCOGNITAS, USANDO DETERMINANTES: REGLA DE CRAMER.

Para un sistema de 2 ecuaciones 2 incgnitas:

Observe que el sistema escrito en forma matricial es:

Haciendo

Entonces:

Es decir

NOTA: Si , entonces se deber resolver el sistema utilizando el mtodo de Gauss.

En forma anloga, se puede resolver un sistema de n ecuaciones con n incgnitas.

La regla de Cramer para un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas es:

Ejemplo 13: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando la regla de Cramer

RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATRICESMETODO DE GAUSSSi se tiene un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas, como por ejemplo

Podemos asociar un arreglo de nmeros al sistema anterior, conocido como MATRIZ DE COEFICIENTES, el cual tendr la forma siguiente:

Si a la matriz anterior le agregamos la columna de trminos independientes, se obtiene la Matriz Aumentada:

NOTA:

Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son EQUIVALENTES cuando las soluciones son iguales.

Sistema de 3 ecuaciones lineales

Matriz aumentada

Si la solucin del sistema anterior es UNICA, podemos a travs de transformaciones de filas llegar a un sistema equivalente de la forma:

El cual es ms fcil de resolverEl procedimiento anterior se conoce como METODO DE GAUSS, para resolver sistemas de ecuaciones de n incgnitas.

TEOREMA PARA TRANSFORMAR LAS FILAS DE UNA MATRIZ AUMENTADASe pueden hacer las siguientes operaciones entre filas:

i) intercambiar 2 filas cualesquiera

ii) multiplicar todos los elementos de una fila por el mismo nmero real k, diferente de cero.

iii) Sumar a los elementos de una fila, k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila (k pertenece a los reales y debe ser distintos de cero).iv) Sumar m veces una fila a n veces otra fila Ejemplo 14: Encontrar la solucin del sistema, usando el mtodo de Gauss.

SolucinLa matriz aumentada relacionada con el sistema de ecuaciones anterior es el siguiente

El primer paso es convertir en uno el elemento , para ello debemos multiplicar cada elemento de la fila 1 por . Pero en lugar de hacer esto, podemos aprovechar que hay un uno en la columna 1, es decir el elemento y as podemos intercambiar la fila 2 con la fila 1. Esta operacin la podemos representar por

Luego el nuevo elemento nos servir para hacer ceros debajo de este elemento , llamado elemento pivote, con las siguientes operaciones en fila:

Esta operacin permite hacer cero en el elemento (toda la fila 2 menos 3 veces la fila 1 y el resultado escribirlo en la fila 2

Esta operacin permite hacer cero en el elemento (toda la fila 3 menos 2 veces la fila 1 y el resultado escribirlo en la fila 3

EMBED Equation.DSMT4 ,

Ahora hay que convertir en uno el elemento y hacer ceros debajo de l (ahora el elemento pivote es el ). Para ello podemos multiplicar toda la fila 2 por

Luego con este nuevo elemento , hacemos ceros debajo de l. En este caso mediante la operacin en fila , obteniendo una matriz aumentada equivalente a las anteriores

Convertimos en uno el elemento multiplicando toda la fila 3 por - 2

De esta ltima matriz aumentada se obtiene el sistema de ecuaciones equivalente al original

Observemos que segn la ecuacin (3), ya tenemos el valor de la variable z y podemos sustituirla en la ecuacin (2) para obtener el valor de , el cual resulta ser . Estos resultados los podemos sustituir en (1) para obtener el valor de Ejemplo 15 : Resolver

Observaciones:

1) Si utilizando el mtodo de Gauss se obtiene la matriz aumentada siguiente

Entonces, si tendremos que el sistema de ecuaciones no tiene solucin

2) Si utilizando el mtodo de Gauss se obtiene la matriz aumentada siguiente

Entonces el sistema tiene infinito nmero de soluciones, ya que el sistema en este caso se reduce a dos ecuaciones con 3 variables.

De manera similar puede analizarse sistema de m ecuaciones con n variables

Ejemplo16: Si en un sistema de 3 ecuaciones con tres variables x,y,z, despus de efectuar el mtodo de Gauss obtenemos el siguiente resultado

El nuevo sistema de ecuaciones equivalente es

El cual no posee solucin nicaPodemos hacer , entonces si sustituimos este valor (parmetro t) en las ecuaciones anteriores, obtenemos

Para poder tener una solucin particular del sistema, basta con darle valores al parmetro t (cualquier nmero real).Por ejemplo , es una solucin del sistema de ecuaciones cuando ; tambin es otra solucin del sistema cuando . EMBED Equation.DSMT4

17

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