UNIDAD 3

FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES

“Matrices”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

Estos son los temas que estudiaremos:

3.7 Conceptos básicos de matrices

3.7.1 Concepto de matriz e igualdad de matrices

3.8 Operaciones con matrices

3.8.1 Suma

3.8.2 Producto

3.8.3 Potencia

3.7.2 Clasificación de matrices según sus elementos

3.7.3 Clasificación de matrices según su forma

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

èçççççæ

ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

3.6 Concepto de matriz e Igualdad de matrices

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Expresión matricial: ejemplo

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A * = èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ

ø÷÷ö 2 5 –3

1 –4 1 èççæ

ø÷÷ö x

y z

= èççæ

ø÷÷ö 1

– 2

2 z 4y - x

1z3y5x2El sistema

3.6.2 Clasificación de matrices según sus elementos

Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000

000

000

O

23

00

00

00

O

400

320

631

T

100

030

002

D

100

010

001

I3

200

020

002

A

453

023

001

T

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

· Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

· Matriz columna: A = èççæ

ø÷÷ö 2

4 6

jiij aa =

Diagonalsecundaria Diagonal

principal

· Matriz cuadrada: A= èççæ

ø÷÷ö 1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

3.6.3 Clasificación de matrices: Forma

3.7.1 Suma de matrices

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) = èççæ

ø÷÷ö a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+ èççæ

ø÷÷ö b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

= èççæ

ø÷÷ö a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

3.7 Operaciones con matrices

Es decir, se suman los elementos de ambas matrices que estén en la misma posición.

Propiedades de la adición de matrices

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + O = O + A = A donde O es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

3.7.2 Producto de un número por una matriz

k . A = k . (aij) = k·èççæ

ø÷÷ö a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

= èççæ

ø÷÷ö ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

Propiedades suma y producto por un número

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

3.7.3 Producto de matrices

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

El producto de la matriz

A = (a ij) =

èççççæ

ø÷÷÷÷ö

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B = èççæ

ø÷÷ö 2 1 –1

3 –2 0 .

èççæ

ø÷÷ö 1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

= èççæ

ø÷÷ö 3 3 –1

1 6 6

1. El producto de A = èçæ

ø÷ö 2 1 –1

3 –2 0 por la matriz B = èçæ

ø÷ö 1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

de A por cada columna de B.

multiplicando cada fila

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Propiedades del producto de matrices (I)

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.

A . (B . C) = (A . B) . C

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C

las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

II. Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y

Im = ÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

1......000

..........

0......100

0......010

0......001

e In =

èçççæ

ø÷÷÷ö

1 0 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 ...... 1

Propiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.

II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O.

III. Si A . C = B . C y C O, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque èççæ

ø÷÷ö 0 2

0 0 . èççæ

ø÷÷ö 0 –3

0 0 = èççæ

ø÷÷ö 0 0

0 0 ninguno de los factores que

forman el producto es la matriz nula.

3.7.4 Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . An veces

Ejemplo:÷÷ø

öççè

æ=

10

11A ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

10

21

10

11

10

11AAA2

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=×=

10

31

10

21

10

11AAA 23 ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ×÷÷

ø

öççè

æ=×=×××=

10

41

10

31

10

11AAAAAAA 34

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ -÷÷ø

öççè

æ=×==

10

1

10

11

10

11AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n

321 L