UNIDAD 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD - Cipri · I.E.S. “Ramón Giraldo” 1 ipri Matemáticas...

I.E.S. “Ramón Giraldo”

1

i pr i

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

UNIDAD 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD

PARTE 1: LÍMITES Y ASÍNTOTAS

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Diremos que a es un punto de acumulación de D , y escribiremos 'a D , cuando exista una

sucesión nx de puntos de D tal que nx a (la sucesión nx tiende a a ).

Siempre que exista un intervalo abierto de centro a contenido en D se tendrá que 'a D .

Definición: Sea :f D una función, 'a D y L . Diremos que el límite de f x

cuando x tiende a a ( )x a es L, y escribiremos limx a

f x L

, si para valores de x cada vez más

próximos a (distintos de a), los valores de las imágenes f x están cada vez más próximos a L. Límites laterales:

El límite por la izquierda es el valor al que tiende la función f x cuando la variable x se aproxima

a a siendo menor que a. Se denota por: lim o limx a x a

x a

f x f x

El límite por la derecha es el valor al que tiende la función f x cuando la variable x se aproxima a

a siendo mayor que a. Se denota por: lim o limx a x a

x a

f x f x

Esto da lugar a la siguiente caracterización:

lim , lim

limlim lim

x a x a

x a

x a x a

f x f xf x

f x f x

En cuyo caso lim lim limx a x a x a

f x f x f x

2. LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES Decir que lim

x af x

significa que cuando x tiende a a, con x a , f x toma valores mayores

que cualquier número real k.

Análogamente, decir que limx a

f x

significa que cuando x tiende a a, con x a , f x toma

valores cada vez más pequeños. Llamamos asíntotas de una función a las rectas que se aproxima la función en el infinito.

Bloque 3: Análisis

2

i pr i

Departamento de Matemáticas

La recta x = a es una asíntota vertical de f x si existe alguno de los siguientes límites:

limx a

f x

limx a

f x

limx a

f x

x

y

y f x

limx a

f x

x

y

y f x

limx a

f x

x

y

y f x

limx a

f x

x

y

y f x

limx a

f x

3. LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES Decir que lim

xf x b

significa que cuando x se hace tan grande como queramos, la función f x

toma valores muy próximos un número fijo b.

De igual modo, limx

f x b

significa que f x se aproxima a b cuando x se hace cada vez más

pequeño.

La recta y = k es una asíntota horizontal de f x si existe alguno de los siguientes límites:

limx

f x k

o limx

f x k

y b

y f x

limx

f x b

limx

f x b

4. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUAS También puede suceder que lim

xf x

, lo que significa que x y f x se hacen infinitamente

grandes a la vez. Por tanto: limx

f x f x k

para todo x p , siendo k y p números

arbitrariamente grandes.


3

i pr i


La recta y mx n , m 0 , es una asíntota oblicua de f x si existe alguno de los siguientes

límites: lim 0

xf x mx n

lim 0

xf x mx n

en cuyo caso lim y lim

x x

f xm n f x mx

x

y mx n

y f x

5. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES 1) lim

x ak k

2) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x

3) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x

4)

limlim

limx a

x ax a

f xf x

g x g x

siempre que lim 0x a

g x

4) lim

lim lim x ag x

g x

x a x af x f x

siempre que lim 0

x af x

5) lim log log lim siempre que lim 0A Ax a x a x a

f x f x f x

6. REGLAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Regla I: Para calcular el límite de una función, cuando x a , basta con sustituir a en la función y si nos da un número real, ya está resuelto.

Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x , se comportan del mismo modo que su término de mayor grado.

1 0lim ... limn nn n

x xa x a x a a x

Bloque 3: Análisis

4

i pr i


Regla III: 0

0

si

...lim si

...

0 si

nn n

mxm m

n m

a x a an m

b x b b

n m

Regla IV: Cuando al aplicar la regla I en el cálculo de límites el resultado obtenido no tiene sentido aparecen las indeterminaciones, que son expresiones como las siguientes:

Indeterminaciones

Tipo

Indeterminaciones

Tipo

Indeterminaciones 0 0 0

L

0

0

0

Tipo 0 0

K

0

0

Indeterminaciones 00 0 1 1

Tipo 00 0 1

7. ASÍNTOTAS VERTICALES

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f x si existe alguno de los siguientes

límites lim

x af x

lim

x af x

lim

x af x

Observaciones: (1) Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. (2) En las funciones racionales las asíntotas verticales se hallan en los valores x que anulan al denominador. (3) La gráfica ele la función no puede cortar a las asíntotas verticales.

8. ASÍNTOTAS HORIZONTALES

La recta y = k es una asíntota horizontal de la función f x si existe alguno de los siguientes

límites: lim

xf x k

lim

xf x k


5

i pr i


Observaciones: (1) Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales. (2) La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales. (3) Para funciones racionales:

Si en una función racional el grado del numerador es menor que el grado del denominador la recta y = 0 (el eje OX) es una asíntota horizontal. Si en una función racional el grado del numerador y el del denominador son iguales la recta y b será una asíntota horizontal (b indica el cociente entre los coeficientes líderes del numerador y del denominador). Si en una función racional el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador la función presenta una asíntota oblicua y no hay asíntotas horizontales. Si en una función racional el grado del numerador es dos o más unidades mayor que el del denominador hay asíntota horizontal.

9. ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y mx n , m 0 , es una asíntota oblicua de la función f x si existe alguno de los

siguientes límites: lim 0

xf x mx n

lim 0

xf x mx n

en cuyo caso lim y lim

x x

f xm n f x mx

x

Observaciones: (1) Una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas. (2) Si una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal y recíprocamente. (3) La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas oblicuas en uno o varios puntos. (4) Si en una función racional el grado del numerador es dos o más unidades mayor que el del denominador, no hay asíntota oblicua.

10. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cuando al calcular el límite de una suma, un producto, un cociente o una potencia de funciones no se pueden aplicar las propiedades de los límites, es decir, hay que hacer un estudio particular de cada caso, suele decirse que estos límites son una indeterminación.

1. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0

k

CON 0k

Se calculan los límites laterales: x a-

lim , limx a

f x f x

Si existen ambos límites y coincide su valor, entonces: lim lim lim

x a x a x af x f x f x

Si no existe alguno de los límites laterales o no coincide su valor, entonces, no existe limx a

f x

.

Ejemplos:

Bloque 3: Análisis

6

i pr i


(1) Calcular 0

1limx x

:

0

1 1lim

0x x

Calculamos los límites laterales: 0

0

1lim

1lim

x

x

x

x

0

1limx x

(2) Calcular 4 20

2 8lim

2x

x

x x

4 20

2 8 8lim

2 0x

x

x x

Calculamos los límites laterales:

4 20

4 20

4 20

2 8lim

2 82 lim2 8 2

lim2

x

x

x

xxx x

x x x

x x


0

a) Para funciones racionales Se descomponen numerador y denominador en factores y se simplifica. b) Para funciones irracionales Si se trata de una función con raíces cuadradas en el numerador (o en el denominador), multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador (o del denominador).

Ejemplos:

(1) Calcular 3

41

1lim

1x

x

x

:

23 3

4 4 21 1 1

1 11 0 1lim lim lim

1 0 1 1 1 1x x x

x x xx x

x x x x x

1

1limx

x

2 1

1

x x

x

2

22 1

1 3lim

41 11 1 x

x x

x xx x

(2) Calcular 4

5 3lim

4x

x

x

:

4 4

5 3 5 35 3 0lim lim

4 0 4 5 3x x

x xx

x x x


7

i pr i


4 4

5 9 4lim lim

4 5 3x x

x x

x x

4x 4

1 1lim

65 3 5 3xx x

3. INDETERMINACIÓN DEL TIPO

Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x que aparezca en la función (basta con dividir por la mayor potencia de x del denominador). Ejemplos:

(1) Calcular 2 2 1

lim24x

x x

x

:

2 2

22 1 2 1

2 1lim lim lim

24 2424x x x

x x x xx x x x x x

x xxx x x

12

lim24

1x

xx

x

(2) Calcular 3

4

2 1lim

3x

x

x

:

3 33

3 8 8 84

44

4

2 1 2 12 12 1

lim lim lim lim33 3 3x x x x

x xxx x x xx

xxx

5 8

2 10

lim 03 3x

x x

4. INDETERMINACIÓN DEL TIPO

a) La función es diferencia de dos funciones racionales Se efectúa dicha operación. b) La función es diferencia de funciones irracionales Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de la función.

Ejemplos:

(1) Calcular 2 1

lim1x

x xx

x

:

2 2 11 1lim lim

1 1 1x x

x xx x x xx

x x x

2 2 21 1 1 2 1lim lim lim 2

1 1 1x x x

x x x x x x x x x

x x x

Bloque 3: Análisis

8

i pr i


(2) Calcular 2lim 8 16 3x

x x x

:

2 2

2

2

8 16 3 8 16 3lim 8 16 3 lim

8 16 3x x

x x x x x xx x x

x x x

2

2

48 3lim

8 16 3x

x x

x x x


Transformar esta indeterminación en una de las anteriores, generalmente efectuando las operaciones. Ejemplo:

Calcular 2

30

3 5lim

4x

x x

x

:

22 2

3 3 30 0 0

3 53 5 3 15 0lim 0 lim lim

4 4 4 0x x x

x xx x x x

x x x

3 20 0

3 15 3 15 15lim lim

4 4 0x x

x x x

x x


Se resuelve empleando la siguiente igualdad:

lim 1lim x a

g x f xg x

x af x e

donde a y sabemos que 1

lim 1x

xe

x

Ejemplo:

Calcular 52

2lim

2

x

x

x

x

:

2

2

52 lim 5 12 0

2lim 1 1

2x

xxx

x

x

xe e

x

ya que

2 22

2 2 2

2 2lim 5 1 lim 5 lim 5

2 2 2x x x

x xxx x x

x x x

2

10lim 0

2x

x

x


9

i pr i


11. EJERCICIOS Límite de una función en un punto

1. Mediante tablas calcula: a) 2lim 2

0

x

x b) 23lim

2

x

x c) 13lim

1

x

x d) 2

39lim x

x

2. Teniendo en cuenta la gráfica de la función, calcula los siguientes límites:

a) xfx 3lim

b) xfx 0lim

c) xfx 7lim

3. A partir de la gráfica de la función, comprueba que 2lim

2fxf

x

:

4. Calcula x

x

x

xxx

tglim ý

sen lim

00 , teniendo en cuenta su gráfica1:

Límites infinitos en un punto

5. Mediante tablas de valores, calcula:

1 Estos dos límites son importantes y debes recordarlos.

Bloque 3: Análisis

10

i pr i


a) 62

3lim

3 xx b)

1

3lim

1 x

xx

c) 4

6lim

22 xx

d) 1

2lim

1 x

xx

e) 4

1lim

22 xx f)

16

2lim

24 x

xx

6. Calcula los siguientes límites, teniendo en cuenta la gráfica de la función:

xf

x 4lim

1

1lim

1 xx

7. Teniendo en cuenta las gráficas calcula los siguientes límites:

11

5lim

0 x

xx

62

9lim

2

3

x

xx

Límites en el infinito

8. Observando la gráfica calcula: a) xf

x lim

b) xfx lim

c) xfx 0lim

9. Observa la función xf que tienes a continuación, y calcula:

a) xfx lim

b) xfx lim

c) xfx 2lim

d) xfx 2lim

10. Calcula:


11

i pr i


a) 2

3

3lim

3 5x

x

x

b) 3

3

1lim

1x

x

x

c)2

2

3 5 1lim

1x

x x

x

Límites infinitos en el infinito

11. Calcula los siguientes límites mediante tablas de valores: a) 20lim x

x b) 3lim x

x c) xx

x

6lim d) 23lim xxx

Propiedades de los límites

12. Mediante las propiedades de los límites, comprueba que:

a) 013

143lim

2

1

x

xxx

c) 32742lim 2

3

xx

x

b) 12

54lim

21

x

xx

d) 1

143lim

2

2

x

xxx

Cálculo de límites

13. Estudia a qué tipo de indeterminación corresponden los siguientes límites:

a) 2

4lim

2

2

x

xx

b) 3

lim4

6

x

xxx

c) x

x xx

xx3

32

3 3lim

d) 1

1lim

2

x

xx

e)

xx

xx

3

0

1lim f) 2lim 3 1

xx x

14. (Indeterminación del tipo 0con 0

kk

). Calcula los siguientes límites:

a) 2

3

1 1lim

x

xx

b) 16

2lim

24 x

xx

c) 20

1lim

xx d)

23 9

5lim

x

xx

e) 20 5

62lim

x

xx

f) 240 2

82lim

xx

xx

g) 20

52lim

x

xx

h) 1

1lim

3

2

1

x

xx

15. (Indeterminación del tipo 0

0). Calcula los siguientes límites:

a) 1

1lim

4

3

1

x

xx

b) 4

35lim

4

x

xx

c)

x

xx

11lim

2

0

d) x

xx

2

0

11lim

e) 22 2

63lim

x

xx

f) 24

lim2

0 x

xx

g) x

xx

1

1lim

1 h)

4

42lim

22

x

xx

i) 52

9lim

2

2

3

x

xx

16. (Indeterminación del tipo

). Calcula el valor de los siguientes límites:

a) 24

12lim

2

x

xxx

b) 4

3

3

12lim

x

xx

c)

x

xx

11lim

2

Bloque 3: Análisis

12

i pr i


d) 52

86lim

2

2

x

xxx

e) 1

1lim

3

2

x

xx

f) 1

1lim

2

23

x

xxxx

g) 3 6

2 72lim

xx

xx

h) 1

1lim

3

6

x

xx

17. (Indeterminación del tipo ). Calcula los siguientes límites:

a) 55lim

xxx

e) 24 4lim xxxx

b)

x

x

xxx 1

1lim

2

f) xxxx

3168lim 2

c) 24 1lim xxx

g)

x

xxx

1

2

52lim

2

d)

1

1

1

2lim

21 xx

xx

h) xxxx

4239lim 2

18. (Indeterminación del tipo 0 ). Calcula los siguientes límites:

a)

4

53lim

2

30

xx

xx e)

2

1

5

2lim

2 x

xx

b)

8

2lim 2x

xx f)

416lim 2

4 x

xx

x

c)

xxxx

x

1lim 4 g)

63

84lim 2

2 xx

x

d)

3

19lim 2

3 xx

x h)

x

x

xxx 7

1

4

5lim

1

19. (Indeterminación del tipo 1 ). Calcula el valor de los siguientes límites2:

a) x

x x

x5

2

2

2lim

c) x

x x

x2

54

34lim

e) x

xx

4

071lim

b) xx

x6

031lim

d)

x

x x

x2

3

3

75

5lim

f) x

x x

x4

2 1

21lim

Asíntotas

20. Averigua las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones, cuando existan:

a) 642

x

xxf d)

3

3

xxf

b) 7

1

xxf e)

4

12

2

x

xxf

2 Recuerda que 1

lim 1 2,718281...x

xe

x


13

i pr i


c) 24

26

x

xxf f)

1

1

xxf

21. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones.

1) 1

2

x

xxf 11)

1

2

x

xxf

2) 1

2

x

xxxf 12)

12

32

x

xxxf

3) 3

9 2

x

xxf 13)

45

432

2

xx

xxxf

4) x

xxxf

2

2 14) f x

x x2 x x2

5) f x 3 x 2

2x 1 15) f x x3

x2 4

6) f x x 2

x2 1 16) f x 3x2

x 2

7) f x x2

x2 x 1 17) f x 1

9 x2

8) f x x4 1

x2 18) f x x2 1

2x2 1

9) f x x 3 2

x 1 2 19) f x x3

2x 5

10) f x 5x 2

2x 7 20)

3

2

2( )

4

xf x

x x

Bloque 3: Análisis

14

i pr i


PARTE 2: CONTINUIDAD

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN CONTINUA

Una función :f D es continua en el punto Domx a f cuando

limx a

f x f a

(1)

Aclaraciones:

Para que una función sea continua en un punto, dicho punto ha de pertenecer a su dominio de definición. En otro caso, no tiene sentido hablar de continuidad.

No tiene sentido decir que la función 1

yx

no es continua en 0x , por que

dicho punto no pertenece a su dominio. La condición (1) de continuidad implica:

o limx a

f x

o f a

o Dichos valores coincidan: limx a

f x f a

Una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto (de su dominio) se dice que es discontinua en dicho punto. Una función es continua por la derecha en un punto si existe límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:

continua en por la derecha limx a

f x a f x f a

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:

continua en por la izquierda limx a

f x a f x f a

Caracterización Una función es continua en un punto cuando es continua por la izquierda y por la derecha en ese punto:

f continua en x a f continua por la derecha y por la izquierda en x a

Una función es continua en ,a b cuando:

(1) Sea continua en el intervalo abierto ,a b

(2) Sea continua por la derecha en a (3) Sea continua por la izquierda en b


15

i pr i


2. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Las funciones polinómicas, 1

1 1 0...n nn nf x a x a x a x a

, son continuas en todos los

puntos.

Las funciones racionales,

P xf x

Q x , son continuas en su dominio.

La función exponencial, f xy e , es continua siempre que lo sea f x .

La función logarítmica, logy f x , es continua en todo punto x , tal que 0f x y

f x sea continua.

Las funciones trigonométricas, sen e cosy x y x , son siempre continuas. La función

tg y x es continua en su dominio: con 2

k k

.

Las funciones definidas a trozos serán continuas si lo son en sus intervalos respectivos y en los puntos de unión. En estos puntos habrá que ver que la función esté definida y que los límites laterales existan y sean iguales.

3. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES 1) Si lim

x af x L

y L f a entonces se dice que f tiene una discontinuidad evitable en

el punto x a .

El valor que deberíamos darle a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama valor verdadero de la función en a , y es:

: limx a

f a f x

2) Si lim , lim ' y ' x a x a

f x L f x L L L

se dice que f presenta una discontinuidad

de salto o de primera especie en a .

En este caso, el valor

lim limx a x a

f x f x

se llama salto de la función en a , y puede ser finito o infinito.

3) Diremos que f presenta una discontinuidad de tipo infinito en a cuando

lim o x a

f x

Bloque 3: Análisis

16

i pr i


Las discontinuidades que no sean ni evitables ni de primera especie se denominan discontinuidades de segunda especie, es decir, cuando al menos uno de los límites laterales no exista.

Veamos gráficamente las situaciones en las que una función no es continua en un punto:

c

,c f c

x f no está definida en c

,c f c

f no tiene límite en c

,c f c

lim

x cf x f c

Un resultado que es importante conocer y memorizar:

Toda función continua en un intervalo de la forma ,a b tiene un máximo y un mínimo

absolutos.


17

i pr i


4. EJERCICIOS 1. La función

9

32

x

xxf , ¿es continua en 3x ?

2. Representa la función

1 si 2

31 si 4

3 si 2

x

xx

xx

xf , y estudia su continuidad en los puntos

1x y 3x .

3. Estudia la continuidad en 8x de la siguiente función:

8 si 7

8 si 7

xx

xxxf

4. Estudia la continuidad de la función:

0 si 62

0 si 6

xx

xxxf

5. Calcula k para que la función

1 si

1 si 1

12

xk

xx

xxf sea continua en 1x .

6. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la función

0 si

0 si 24 2

xk

xx

xxf sea

continua?

7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

0 si 42

0 si 3

xx

xxxf

b) 1

12

x

xxf

8. Justifica si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:

1x

2y 1 xx 1x

En caso de que no lo sean, indica el tipo de discontinuidad que presenta.

9. Estudia la continuidad de las funciones:

Bloque 3: Análisis

18

i pr i


2

3 1 2 1

4 1 2

7 2( ) 2 4 2 5

3 1 5 7

3 17

7

x x

x x

xf x x x

x x

xx

x

2

4 5 0

5 0 1

6 1 2

4 2 3( )9

3 103

110

9

x x

x x

x x

x xh xx

xx

xx

xxx

xxj

86

4)(

23

2

10. Halla k para que las siguientes funciones sean continuas:

21

216208

43

)(23

23

xk

xxxx

xx

xf

2

2

4 31 y 1

1( ) 1

3 21

5 2

x xx x

xg x k x

xx

x

11. ¿Cómo deberá definirse 1f para que la función 1 1

245

xx

xxf , sea continua

en 1x ?

12. Estudia la continuidad de la función 3 1sen si 0

0 si 0

x xf x x

x

.

(Indicación: 3

0

1lim 0

senxx

x )

13. Se considera la función f x definida por:

2

si 0

3 si 0 2

si 2

x x

f x x b x

ax x

Calcula los valores de a y b para que f x sea continua en todos los puntos.

14. Dada la función

2

2 si 1

2 si 1 1

ln si 1

x a x

f x x x

x x

Calcular a para que la función f sea continua en 1x , y estudiar la continuidad en 1 .x

15. Calcula los valores de M y N para que la función f sea continua:


19

i pr i


2 si

3 si

2y 3 si 6

6231132

234

xM

xN

xxxx

xxxx

xf

16. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) 2

2

4

3 5

xf x

x

b)

2

2

2

1

x xf x

x

d) 2

2

1si 0

314 si 0 3

16 si 3

xx

f x x x

x x

c) 0 si 2

2 si 2

2

x

f x xx

x

17. Dada la función: 2

2

3

11

3 4 1 1

8 1

b xx

f x x x

x x

calcula el valor de b para que f x sea

continua en 1x . ¿Es continua en 1x ?

18. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en función del parámetro k :

a)

3 2

3 2

3 4si 2 , 4

8 20 161 si 2

3si 4

2

x xx x

x x xf x k x

x

b) 2 4 3

si 11

si 1

x xx

g x xk x

19. Calcula a y b para que sea continua la siguiente función

2 1

1 3

2 4 3

x ax x

f x b x

x x

20. Calcula a y b para que sea continua la siguiente función f x 2x 1 x 3ax b 3 x 5

x2 2 x 5

Bloque 3: Análisis

20

i pr i


21. Estudia la continuidad de la función 21f x x .

22. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:

a) 2 1

si 11

3 si 1

xx

f x xx

b) 2 1 si 1

1 si 1

x xf x

x x

c) 1

si 0

1 si 0

xf x x

x

23. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:

a) 3 si 3

2 si 3

x xf x

x

b)

29 si 2

3 2 si 2

x xf x

x x

c) 1

si 12

1si 1

xxf x

xx

d) 1

si 44

4 si 4

xxf x

x x

UNIDAD 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD - Cipri · I.E.S. “Ramón Giraldo” 1 ipri Matemáticas...

Documents

Transcript of UNIDAD 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD - Cipri · I.E.S. “Ramón Giraldo” 1 ipri Matemáticas...