Unidad 6 – Funciones reales. Propiedades globales PÁGINA 117

SOLUCIONES

1. Las soluciones pueden quedar así:

2. En cada uno de los casos queda:

a) [ )f fDom ; Im 0,= = + ∞

Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Mínimos en ( 1 Máximo en (0 . ,0) y (1,0).− ,1)Tiende a ( para x tendiendo a ( ))+∞ ±∞ .

b) a)

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b) [ ]g gDom ; Im 1,1= = −

Simétrica respecto al origen de coordenadas. Periódica de período 4. Acotada inferiormente por y superiormente por y 1=− y 1= .

El período tiene un máximo relativo en ( 1,1)− y un mínimo relativo en (1 . ,5; 1)−

c) h hDom ; Im (0, )= = + ∞

No es simétrica ni periódica. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Carece de extremos relativos. Cuando x tiende a ( la función tiende a ) )−∞ (+∞ y cuando x tiende a ( la función tiende )+∞a 0.

3. La función es: siendo N el número de bacterias y t el tiempo en horas. tN 2=

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SOLUCIONES

1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado.

n n

nn n x n x

n

2

2

2 22 2 2

2

Números triangulares : 1,3,4,10,15,21,...,2

Números cuadrados : 1,4,9,16,25,...,8 8esto se cumple para 8, pues 36.

2 2Como dice que hay más de 36 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es :

4949, pues

+

+ +⇒ = ⇒ = = ⇒ =

=

x

x2 249 35 1225 Luego 1225cajas tiene.2+

= = ⇒ =

2. Observamos que:

( )n

n n n n1 1 1 con 2.1 1

Luego :1 1 1

1 2 1 21 1 1

2 3 2 31 1 1

3 4 3 4... ... ...

1 1 1998 999 998 999

1 1999 1000 999 1000

= − ≥− −

= −⋅

= −⋅

= −⋅

= −

= −⋅

= −⋅

1

75

Sumando :1 1 1 1 1... 0,999

1 2 2 3 3 4 998 999 999 1000+ + + + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3. Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A2 indicamos que se tuesta la cara 2.

A B s A y B

s As Bs B

A C s A

s Cs A

s CB C s A

s Bs B

s

1 1 1 1

1

1

1

2 1 1

1

2 1

2

2 2 2

2

2 2

1.º tarda : 30 :tostar cara

5 :colocar5 :colocar5 :sacar

2.º tarda : 3 :dar la vuelta

5 :meter30 :tostar cara

3 :dar la vuelta3.º tarda : 5 :sacar

5 :meter30 :tostar cara

5 :sacar Bs C

2

25 :sacar

y C

y C

En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas.

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SOLUCIONES

1. En cada apartado queda:

a) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:

b) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:

c) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:

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d) Llamando x a la medida de la altura sabemos que la base mide x5+ , por tanto, la tabla de

valores, la fórmula y la gráfica quedan:

2. Los dominios quedan:

( ]( ) ( ) (

{ }{ } [ )

[ )( ] [ ) {

f g

h i

j k

l m

n o

p q

Dom Dom 3,0

Dom 5, Dom ,1 4,

Dom Dom 2,3

Dom 1 Dom 2,

Dom Dom 1,

Dom , 2 2, Dom 1

= =

= − + ∞ = −∞ ∪ + ∞

= =

= − = − + ∞

= =

= −∞ − ∪ + ∞ = − −

)

}

−

−

+ ∞

3. Las funciones se caracterizan por:

• ( )y f x=

( )Dom ; Im 0,f f= = + ∞

Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos.

• ( )y g x=

{ } ( ] ( )Dom 2,2 ; Im , 1 0,g g= − − = −∞ − ∪ + ∞

Estrictamente creciente en ( ) ( ), 2 2,0−∞ − ∪ −

Estrictamente decreciente en ( ) ( )0,2 2,∪ + ∞

Máximo relativo ( )0, 1−

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• ( )y j x=

Do m ; Imj j= =

Estrictamente creciente en ( ) ( ), 5 1,−∞ − ∪ − + ∞

Estrictamente decreciente en ( )5, 1− −

Máximo relativo ( ) 5,4−

Mínimo relativo ( )1, 3− −

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SOLUCIONES

4. Las representaciones quedan:

5. El estudio de cada función nos ofrece la siguiente información:

a) Esta función ( )y f x= está acotada por y y0 e 4= = .

El supremo es y el ínfimo es y 4= y 0= . Esta función tiene un mínimo absoluto en y 0= .

b) Esta función ( )y g x= está acotada por y y3 e 2= =− .

El supremo es y el ínfimo es y 3= y 2=− . Esta función no tiene extremos absolutos.

c) Esta función ( )y h x= está acotada por y y3 e 5=− = . El supremo es y el ínfimo es y 5= y 3=− . Esta función tiene un máximo absoluto en y 5= .

d) Esta función ( )y i x= no está acotada.

e) Esta función ( )y j x= está acotada inferiormente por y 1=− .

El ínfimo es y 1=− y no tiene supremo. Esta función tiene un mínimo absoluto en y 1=− .

f) Esta función ( )y k x= está acotada superiormente por y 2= . El supremo es y no tiene ínfimo. y 2=Esta función no tiene extremos absolutos.

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6. Las simetrías en cada caso son:

• Las funciones: f; i; k; l; son simétricas respecto al eje de ordenadas. • Las funciones: h; j; m; son simétricas respecto al origen de coordenadas. • Las demás funciones no tienen simetrías.

7. En cada caso las respuestas son:

a) La variable independiente es el número de años desde su fundación, y la variable dependiente el beneficio en miles de euros.

b) [ ) [ ]f fDom 0, Im 0,75= + ∞ =

c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de 4 años, y estos ascienden a 75 000 euros.

d) Durante los primeros cuatro años los beneficios crecen; a partir del 4º año empiezan a

decrecer.

e) Como en todo el dominio se verifica que , no habrá pérdidas en ningún momento; f x( ) 0>siempre habrá beneficios.

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SOLUCIONES

8. En cada caso queda:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

f g

x xf g x f gx

xf g x f gx

f x fxg gx x x

xxf x f

3 2

2

3 2

2

a) Dom 1,1 Dom

b) Quedan :4( )( ) Dom( ) 1,

13( · )( ) Dom( · ) 11

3( ) Dom 1,11

c) Queda :1 1 1( ) Dom 3

3

= − − =

− ++ = ⇒ + = − −

−+

= ⇒ = −+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

−

−

9. Los dominios quedan:

{ }

{ }

{ }

3 22

32

22

2 4a) ( )( ) ( ) ( ) 2 Dominio 22 2

2b) ( )( ) ( ) ( ) ( 2) Dom 22 2

( )c) ( ) :( 2) Dom 2( ) 2 (2 ) ( 2)

d) ( )( ) [ ( )]2 2

x x x xf g x f x g x xx x

x x xf g x f x g x x f gx x

f f x x x fx xg gg x x x x

x xg f x g f x gx

− + − ++ = + = + + = ⇒ = −

− −

+⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⇒ ⋅ = −

− −

⎛ ⎞= = + = ⇒ = −⎜ ⎟ − − +⎝ ⎠

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦

{ }2 2

2

2 2 2 4 2

3 8 82 Dom4 4

e) ( )( ) [ ( )] 2 ( 2) 2 4 6 Dom[ ]

x x g fx x x

g g x g g x g x x x x g g

⎛ ⎞ − ++ = ⇒ = −⎜ ⎟ − +⎝ ⎠

= = + = + + = + + ⇒ =

2

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10. Las soluciones son:

f g x x f f

h g x g fxx xf h x h hx x

4 2

4 2

a) ( ) 1 3 d) ( )(1) 493b) ( ) e) ( )( 1) 2

12 28 3c) ( ) f) ( )(0)

102 1

= + =

= −+

+ += =

+ +

=

11. La solución queda:

( )( ) [ ( )] (3 ) 5 3

5( )( ) [ ( )] (5 ) 3 (5 ) 15 3

f g x f g x f x a a xa

g f x g f x g x x a a x

= = − = + − ⎫⎪ ⇒ =⎬⎪= = − = − − = − − ⎭

12. Por ejemplo, las funciones pueden ser:

x

f x x g x xh x l x x

xt x p x xx

2 3

2

( ) ( ) 2( ) 3 ( ) 2

1( ) ( )2

= =

= =+

= =+

+

13. Las inversas quedan:

xf x f xx

x xf x f xx

xf x x f xx

1 1

1 1

1 1

2a) ( ) no existe d) ( )

3 5b) ( ) e) ( )2 3

3c) ( ) 1 f) ( )3 1

− −

− −

− −

+=

+= =

−−

= − =

2

+

14. Las inversas quedan:

x xf x x g x h x1 13 1 l( ) 2 ( ) ( ) 23 l

− − −−= + = = −1 og

og2

15. Queda: f g x x f g x x f g1 1( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) (4)− −= − ⇒ = + ⇒ =7

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16. La solución queda:

Haciendo t obtenemos socios fundadores. 0= N 5250=

La gráfica de la función viene dada por:

17. La solución queda: Cable I PCable II P t

150,05·

⇒ =⇒ =

Veamos a partir de qué número de horas el precio de una empresa y de la otra es el mismo:

t t0,05· 15 300 horas= ⇒ =

Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable II; a partir de 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300 horas mensuales exactamente es indistinta la empresa a elegir.

El número de afiliados desciende los tres primeros años hasta alcanzar el número de 750 y, a partir de ese año, empieza a aumentar. En ningún momento es nulo este número.

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