FUNCIONES

1º BACHILLERATO

Dominios:• y = cos D = R-{ -, }• y = tag = D = (R-{2})(R-{2}) – {x = 0} = R-{2} – {x = + k = R-{2, +2}

PROPIEDADES GLOBALES

1- Dominio = (i.e. valores de x (de izquierda a derecha) que tienen imagen)

2- Imagen o recorrido = {y (i.e. valores de y (de abajo a arriba) que proceden de alguna x)

3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Eje x: y = 0 Eje y: x = 0

4- Continuidad: una función es continua si se representa de un solo trazo. En los puntos donde haya que levantar el lápiz del papel se dice que la función es discontinua. Tipos de discontinuidad en x = x0

- Evitable: si f(x0) o

- De salto finito: si y ambos son números reales- De salto infinito: si alguno de los límites laterales en x0

es

5- Simetría:

(i.e.. f(x) es par si al doblar respecto del eje de ordenadas la gráfica coincide y es impar si al doblar respecto de ambos ejes la gráfica coincide

6- Periodicidad: f(x) es periódica de periodo T (T positivo) si f(x+kT) = f(x) , con k (i.e.: si la gráfica se repite en intervalos de longitud T)

7- Monotonía:- f(x) es estrictamente creciente en x ϵ (a,b)

x1 y x2 ϵ (a,b) con x1 < x2 f(x1) < f(x2)

- f(x) es estrictamente decreciente en x ϵ (a,b) x1 y x2 ϵ (a,b) con x1<x2 f(x1) > f(x2)

8- Extremos relativos:- f(x) tiene un Máximo relativo en x = x0 si un intervalo

abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el

mayor valor que alcanza la función.

- f(x) tiene un mínimo relativo en x = x0 si un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el

menor valor que alcanza la función.

9- Extremos absolutos:- f(x) tiene un Máximo absoluto en x = x0 si

f(x0) es el mayor valor que alcanza la función

- f(x) tiene un mínimo absoluto en x = x0 si

f(x0) es el mayor valor que alcanza la función

10- Concavidad:- f(x) es cóncava hacia el eje positivo de las Y en x ϵ (a,b)

- f(x) es cóncava hacia el eje negativo de las Y en x ϵ (a,b)

.

11- Puntos de inflexión: f(x) tiene un punto de inflexión en x = x0 si existe

un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x) tenga un tipo de concavidad a cada lado de x0

.

12- Asíntotas:

- f(x) tiene una asíntota vertical en x = x0 si al aproximarse x a x0, f(x) se aproxima a

- fx) tiene una asíntota horizontal en y = y0 si al aproximarse x a + o -, f(x) se aproxima a y0

- f(x) tiene una asíntota oblicua en y = mx + n si al aproximarse x a + o -, f(x) se aproxima a la recta

oblicua

• D= (-• I = R• Puntos cortes ejes: (0,0)• Continuidad: continua en R-{1}, en x = 1 DSI• No simétrica• No periódica• Monotonía: crece de (-, decrece de (1,3), crece de (3,• Extremos relativos: m.r (3,6.5)• Extremos absolutos: no hay• Concavidad: hacia abajo (- • Puntos de inflexión: (0,0)• Asíntotas: - verticales: x = 1

- oblicuas: y = x+2

• D = R• I = [0,2]• Cortes ejes: (0,1), (1,0)• Continua en R• No simétrica• No periódica• Monotonía: crece (, decrece (-1,1), crece (1,• Extremos relativos: M.r. (-1,2), m.r. (1,0)• Extremos absolutos: M.a. (-1,2) , m.a. (1,0)• Concavidad: hacia arriba de (-, hacia debajo de (-1.5,0), hacia arriba

(0,1.5), hacia abajo (1.5,• Puntos inflexión: x = -1.5, x = 0, x = 1.5• Asíntotas: horizontal: y = 1

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES POLINÓMICAS DE 1º GRADO y = mx + n

• y = mx + n– D = R– Representación: recta– Basta calcular dos puntos para representarla– m = pendiente – n = lugar donde corta al eje Y

Ejemplos:

• Tienes ejemplos de rectas en los archivos de geoegebra

Y en la siguiente página Web

• http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/f1_lineal.html

FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO – CUADRÁTICAS: y = ax2

• y = ax2

– D = R– Representación: parábola– Basta calcular el vértice (0,0), el eje de simetría ( x = 0) y un punto para representarla– cuanto mayor es su valor, más cerrada es la parábola

Ejemplos:

• Tienes ejemplos de y = ax2 en los archivos de geogebra

Y en la siguiente página Web

• http://platea.pntic.mec.es/curso20/100_tic_matematicas_iniciacion/2010/html1/index.html

• Traslaciones:• y = a(x)2 Traslación horizontal

• y = ax2 Traslación vertical

• y = a(x )2 Traslación horizontal y vertical

Ejemplos:

• Tienes ejemplos de parábolas desplazadas en los archivos de geogebra

Y en la página:• http://

www.geogebra.org/en/upload/files/mluisamh/FUNCIONES/CUADRATICA/5.FunciontipoV.html

• y = ax2 + bx + c

– Es una parábola elemental trasladada

– Para representarla se puede:• Poner como: y = a(x )2

Ó

• Calcular el vértice (-b/2a, f(-b/2a)), y sabiendo que el eje de simetría es x = -b/2a, calcular otro punto de la gráfica. Si corta a los ejes de coordenadas, también se pueden calcular estos puntos.

Ejemplo: representar y = x2 – 4x + 7• y = (x-2)2 + 3

ó• Vértice (-b/2a = 2, f(2) = 3), eje de simetría x = 2, imagen de otro

punto (3, 4)

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y =

• y = – D = R – {0}– Representación: hipérbola– cuanto mayor es su valor, más cerrada es la hipérbola.- Asíntota vertical: x = 0- Asíntota horizontal: y = 0

Ejemplos:

• Tienes ejemplos de hipérbolas en los archivos de geogebra

Y en la página:• http://

www.geogebra.org/en/upload/files/mluisamh/FUNCIONES/PROPORCIONALIDAD%20INVERSA/1.Fpinversa.html

• Traslaciones: D = R– {x que anulen al denominador}– y = – y = – y =

Al desplazarse una hipérbola, cambian sus asíntotas Desplazamiento vertical: cambio A.H, y = c Desplazamiento horizontal: cambio A.V, x = -b

Ejemplos:

• Tienes ejemplos de hipérbolas desplazadas en los archivos de geogebra

Y en la página:• http://

web.educastur.princast.es/ies/rosarioa/archivos/matematicas/proporInver.html

• y = también es una hipérbolaPero, estudiaremos las más simples, que son de la forma y =

Ejemplo:y = = 1 +

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/FuncRacional.html

FUNCIÓN RADICAL PAR: y = • y = • D = R+

• Representación:

Ejemplos: en los archivos de geogebra y en:

http://www.geogebra.org/en/upload/files/ElizabethdeHaro/Funciones_con_radicales_1.html(solo traslados horizontales o verticales)

FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax , a>0, • y = ax

• D = R• Representación:

{0<𝑎<1 ,𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒𝑎>1 ,𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

• Pasa por el punto (0,1)

• Asíntota horizontal : y = 0

Ejemplos:

• http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Funciones/Exponencial/exponencial.html

• Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje Y y el cambio de asíntota cuando ocurra

– Tienes ejemplos de traslaciones de la función exponencial en los archivos de geogebra

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logax, a

• y = logax• D = (0,)• Representación:

{0<𝑎<1,𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒𝑎>1 ,𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

• Pasa por el punto (1,0)

• Asíntota vertical: x = 0

Ejemplos:

• Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje X y el cambio de asíntota cuando ocurra

- Tienes ejemplos de funciones logarítmicas trasladadas en los archivos de geogebra

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• FUNCIÓN SENO: y = sen x– Dominio R– Periódica de período T = 2

• FUNCIÓN COSENO: y = cos x– Dominio R– Periódica de período T = 2

• FUNCIÓN TANGENTE: y = tag x– Dominio R – {+k, k– Periódica de período T = – Asíntotas verticales: x = +k, k

Traslaciones:

• No varía el período.• En la tangente varían las asíntotas verticales

- Tienes ejemplos de traslaciones de funciones trigonométricas en los archivos de geogebra

Y en:http://www.geogebra.org/en/upload/files/Ferito/Grafica_y_variaciones_de_la_funcion_SENO.html

Deformaciones:

• En el caso de que y = f(ax) o y = f(x/a), el período varía, quedando dividido o multiplicado por a, respectivamente.

• En el caso de que y = af(x), no varía el período

- Tienes ejemplos de funciones trigonométricas deformadas en los archivos de geogebra

Y en:- http://

www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Funcion_coseno.html