Unidad 4 de Ecuaciones

8/16/2019 Unidad 4 de Ecuaciones

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UNIDAD

4:UNIDADSISTEMAS DEECUACIONES


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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPEIOR DECOATZACOALCOS

MATERIA:

ECUACIONES DIFERENCILES

ALUMNA:

ALEJANDRA TORRES RAMIREZ

PROFESOR:

RAFAEL HERNANDEZ VILLAR

UNIDAD:

4

(UNIDAD DE SISTEMAS DE ECUACIONES)

SEMESTRE:

4

GRUPO:

C

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Esta unidad se tratara acerca de reconocer en un problema, la existencia de más deuna situación y que cada una de ellas puede ser representada por una EDL.

• Con la mediación del maestro modelar diversas situaciones presentes en unProblema utilizando sistemas de EDL.

• reconocer que el resolver un sistema de EDL implica solamente aplicar conceptosya estudiados por lo menos solución de sistemas de ecuaciones lineales y soluciónde EDL!.

• resolver sistemas de EDL, utilizando m"todos espec#$icos situados en el tema.

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%&D%CE

'&%D(D )*'&%D(D +%+E-(+ DE EC'(C%&E+

)./ eor#a preliminar.

)././ +istemas de EDL.

)./.0 +istemas de EDL 1omo2"neos.

)./.3 +olución 2eneral y solución particular de sistemas de EDL.

).0 -"todos de solución para sistemas de EDL.

).0./ -"todo de los operadores.

).0.0 'tilizando trans$ormada de Laplace.

).3 (plicaciones.

)./ eor#a preliminar.

3


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)././ +istemas de EDL.

Los problemas de la vida real pueden representarse de me4or manera con la ayuda

de m5ltiples variables. Por e4emplo, piensa en el conteo de la poblaciónrepresentado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de lapoblación de depredadores as# como tambi"n de las condiciones climáticas y ladisponibilidad de alimentos. odas estas condiciones en s# mismas $orman unaecuación di$erente de$inida en una variable separada.Por lo tanto, para estudiar las relaciones comple4as, requerimos de variasecuaciones di$erentes para de$inir di$erentes variables. al sistema es el sistema deecuaciones di$erenciales. 'n sistema de ecuaciones di$erenciales lineales se puededenotar como*

(qu

# xi t!es una

variable en t"rminos de tiempo y el valor de i 6 /, 0, 3, 7, n. ambi"n ( es unamatriz que contiene todos los t"rminos constantes, como 8ai,49.Dado que los coe$icientes de la matriz constante ( no están de$inidos expl#citamenteen t"rminos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones di$erenciales linealeses llamado a veces autónomo. La notación convencional 2eneral para el sistema deecuaciones di$erenciales lineales es*

El sistema anterior de ecuaciones di$erenciales tendrá numerosas $unciones parasatis$acerla. -ediante la modi$icación de la variable tiempo obtendremos un con4unto

de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x:y, los cuales se

denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en al25n tiempo

t es*

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6 dx; dt, dy; dt!

'n e4emplo de un sistema de ecuaciones di$erenciales lineales es el si2uiente*

dx/; dt 6 0=0dx0; dt 6 ?=/ >


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En consecuencia, la $orma de la matriz del e4emplo anterior se puede escribir como,dx; dt 6 ( @ xdx/; dt

dx0; dt 6


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En la ecuación anterior, los t"rminos que se mantienen dentro de los corc1etes son

los vectores $ila, donde B/ 6 8xi/49, B0 6 8xi049 7Bn 6 8xin49. Estas son las soluciones

n $undamentales del sistema de entrada de ecuaciones di$erenciales lineales

1omo2"neas para el intervalo dado %. Entonces tenemos que la matriz $undamental

para el sistema 1omo2"neo de ecuaciones di$erenciales lineales para el intervalo

dado como % es,

Los pasos para resolver un sistema 1omo2"neo de ecuaciones di$erenciales lineales

son los si2uientes*

/.Construye la matriz de coe$icientes para las ecuaciones del sistema dado.0.Determina los valores propios de esta matriz de coe$icientes del sistema dado

de ecuaciones di$erenciales lineales 1omo2"neas.

3.(1ora, busca el vector propio inicial de este con4unto de valores propios y

nómbralo como E/.

).Determina la primera ecuación de este vector en t"rminos de constantes /, 0.

.Despu"s de esto, determina el si2uiente con4unto de valores propios, sus vectores

propios correspondientes y su ecuación.

F.(nota la solución 2eneral para las ecuaciones en t"rminos de constantes /, 0.G.Por 5ltimo, deriva la solución 2eneral para el sistema de ecuaciones.

(unque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones di$erenciales

lineales 1omo2"neo es bastante $ácil, se da un e4emplo ilustrativo que te ayudará a

1acer los conceptos más claros.

!


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dx; dt

6 0x >

3y dy;

dt 6

0x > y

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones

di$erenciales 1omo2"neas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de

coe$icientes es la si2uiente,

Esto nos da / 6


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El determinante de este se

obtiene como, H E/ H 6 ?.

La ecuación asociada de este vector propio es,

3/ > 30 6 ?

0/ > 00 6 ?

De manera similar, la otra ecuación para el se2undo vector propio es,:0/ > 30 6 ?

0/ : 30 6 ?

Cuando t 6 ?, c/ 6 / y c0 6 /.

B/ 6 e:t I/

Del mismo modo,

Esto nos da la solución 2eneral,

#


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4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL

+olución 2eneral de los sistemas de ecuaciones di$erenciales lineales y soluciónparticular de los sistemas de ecuaciones di$erenciales lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones di$erenciales lineales, es absolutamente

esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz -

dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,

(qu# x se llama vector propio de la matriz -.Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que lue2o de ser multiplicados

por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o

resultan cero.

+ea ( la matriz que contiene los valores propios, como 8 /, 0, 3 7 n9. ( continuación

se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones di$erenciales.

/. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones di$erenciales y construye la matriz

que contiene los coe$icientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen

en el sistema de entrada de la ecuación.

0. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los t"rminos de los

coe$icientes.

3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el paso

anterior. &ómbralos en la secuencia a medida que son determinados como E/,

E0, E3 7En.

). Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los con4untos de valorespropios y los vectores propios asociados. Jepite este paso para cada par de valores

y vectores propios.

. bt"n la solución particular para un sistema de ecuaciones no 1omo2"neo como,

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(qu# Bt! se de$ine como,Bt! 6 8x/ x0 x3 7 xn9

A en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación di$erencial 1omo2"nea,

entonces la solución particular del sistema será dada de la $orma,

La ecuación anterior nos da la relación,

En la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.

F. A la solución 2eneral para el sistema de ecuaciones di$erenciales lineales es dada

de la $orma,

En 2eneral podemos decir que la solución de un sistema de ecuación di$erencial es

llamada solución 2eneral si los valores de las constantes no se obtienen en la

solución $inal. La misma solución puede convertirse en una solución particular

cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se 1ace en el caso

que el sistema de entrada de la ecuación di$erencial sea un problema de valor inicial

con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los t"rminos

constantes.

El e4emplo si2uiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema deecuaciones di$erenciales lineales.

Determina el con4unto de ecuaciones como xt! 6 8x/t!, x0t!9 para el sistema de

ecuaciones dx; dt 6 ( @ x con las condiciones iniciales establecidas como x?! 6 x?

6 x?/, x?0!. El valor de la matriz ( estádada como,

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La ecuación caracter#stica de la matriz de coe$icientes

arriba es, $ ! 6 0 Ktrace(! @ > det(! 6 0 > ) > )

A las ra#ces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matriz como, /

6 0 6 s/@ v1/ v/ v0 s/@ / /

La solución particular de este problema ser#a vp! 6


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A la solución 2eneral del problema es,

Estonos da, x/?! 6 c/ e? > c0

? K e?! 6 c/ K c0 6 x?/ x/?! 6

c/ e? > c0 ?! 6 c/ 6 x?0

4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL

'n sistema de di$erenciales lineales puede resolver las ecuaciones. (l i2ual que

existen varias t"cnicas para resolver una ecuación di$erencial lineal, tambi"n las 1ay

para un sistema de ecuaciones di$erenciales lineales. Como el m"todo de

eliminación de auss, m"todo separable y reducible etc. +ea un sistema de

ecuaciones di$erenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones

di$erenciales lineales será,

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(1ora, la t"cnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones

di$erenciales lineales es recurrir al m"todo de multiplicación de matrices. La $órmula

para resolverlo está dada de la $orma,

(qu# ( es la matriz que contiene los t"rminos coe$icientes de toda la ecuación del

sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no 1omo2"neos y,

$inalmente, la matriz B es la que contiene los elementos desconocidos. Cuando la

matriz C es i2ual a cero, entonces el sistema dado es un sistema 1omo2"neo de

ecuaciones di$erenciales lineales.

odo el mundo está $amiliarizado con el 1ec1o de que multiplicar unas cuantas

matrices es muc1o me4or que solucionar las ecuaciones al2ebraicas cr#pticas para

cuatro variables desconocidas. +in embar2o, la t"cnica anterior nos da la solución en

todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar al2unas otras t"cnicas para

resolver las ecuaciones.

Dos sistemas de ecuaciones di$erenciales lineales se llaman equivalentes en la

situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables

desconocidas. +in embar2o, esto puede lo2rarse mediante aplicar al2unas

operaciones elementales como la multiplicación con una constante,la reordenación

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de las ecuaciones, etc.+ea un sistema de ecuaciones di$erenciales lineales dado

como,

• x > y > z 6 ?

• x K 0y > 0z 6 )

• x > 0y K z 6 0

4.2.1 Método de los operadores

'n operador es un ob4eto matemático que convierte una $unción en otra, por

e4emplo, el operador derivada convierte una $unción en una $unción di$erente

llamada la $unción derivada. Podemos de nir el operador derivada D que al actuar sobre una $unción di$erenciable produce la derivada*

?$x! 6 $x! M D/$x! 6 $?x! M D0$x! 6 $??x! M * * * MDn$x! 6 $n!x! *

Es posible construir la si2uiente combinaci on lineal con los operadores

di$erenciales*

P

D! 6 a? > a/D > a0D0 > > anDn M an F6 ? * /!

4.2.2 Utilizando transormada de Laplace.

4.3 !plicaciones

Los sistemas de ecuaciones di$erenciales lineales encuentran sus aplicaciones en

varios problemas que sur2en en el sistema del mundo real. (l2unos de estos

problemas se discuten a continuación.

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/. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes* Dos cuerpos con masa m/,

m0, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de $ricción. Los dos

cuerpos están conectados entre s# con la ayuda de un resorte. Esteresorte está en

una posición no estirada. ambi"n cada uno de estos cuerpos está conectado a una

super$icie estática con la ayuda de los resortes. 'na vez más, estos resortes no

están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es /, 0, 3,respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse como,

(qu# / es la posición inicial del primer cuerpo y 0 es la posición inicial del

se2undo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio

mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y lue2o soltarlos.

'ne4emplo de estoes,

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En la $i2ura anterior, x/ es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo

cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x0 es la cantidad de

distancia recorrida por el se2undo cuerpo cuando este se mueve desde la posición

de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alar2a desde la posición estática

por una distancia de x/ y el se2undo resorte se alar2a desde la posición estática por

una distancia de x0 K x/.Esto implica que dos $uerzas restauradoras están actuando

sobre el primer cuerpo, estas son*

• La $uerza del primer resorte la cual act5a en dirección izquierda. Esta $uerza por la

ley de Nooes i2ual a/=/.

La $uerza del se2undo resorte que act5a en dirección derec1a. Esta $uerza es

i2ual a 0x0 K x/!.

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