INDICEUNIDAD 2:Ecuaciones lineales de orden superior

2.1 Teora preliminar, 2.1.1 Definicin de ED de orden n, 2.1.2 Problemas de valor inicial, 2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solucin nica, 2.1.4 EDL homogneas, 2.1.4.1 Principio de superposicin, 2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano., 2.1.6 Solucin generales de las EDL homogneas., 2.2 Solucin de EDL homogneas de coeficientes constantes., 2.2.1 Ecuacin caracterstica para EDL de segundo orden (races reales y distintas, races reales e iguales, races complejas conjugadas)., 2.3 Solucin de las EDL no homogneas., 2.3.1 Mtodo por coeficientes determinados., 2.4 Aplicaciones.,

INTRODUCCIN

En este captulo se estudian las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Desde que se comenzaron a estudiar las ecuaciones diferenciales ha resultado evidente que es difcil obtener resultados muy generales que permitan obtener las soluciones de un tipo determinado de ecuacin. Una excepcin a esta carencia de una teora general para resolver ecuaciones diferenciales se presenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y en particular de las que tienen coeficientes constantes. En una ecuacin diferencial lineal de orden n homognea, el conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensin n, por lo que basta encontrar n soluciones linealmente independientes para obtener la solucin general. El conjunto de soluciones de cualquier ecuacin diferencial lineal de orden n completa tiene estructura de espacio afn, que tiene como espacio vectorial asociado el conjunto de soluciones de la ecuacin homognea asociada. En consecuencia, si se conoce la solucin general de la ecuacin homognea asociada, para tener la solucin general de la ecuacin completa es suficiente encontrar un punto de ese espacio afn, es decir, una solucin particular de esta ecuacin.Pero incluso en este caso, a veces, resulta difcil encontrar n soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal homognea. Solamente en el caso ms sencillo, en el que los coeficientes de la ecuacin son constantes, existe un mtodo general que permite calcular las soluciones en funcin de los coeficientes de la ecuacin. Si los coeficientes de la ecuacin diferencial son funciones analticas se pueden obtener soluciones en forma de series de potencias, y resolver de esta forma muchas ecuaciones particulares, como las ecuaciones de Legendre y Bessel, que tienen una importancia especial por sus mltiples aplicaciones en problemas relativos a vibraciones de membranas, flujos de calor y propagacin de corrientes elctricas

UNIDAD 2:Ecuaciones lineales de orden superior2.1 Teora preliminar 2.1.1 Definicin de ED de orden n

Una ecuacin diferencial lineal de orden n tiene la forma:

Si las funciones son todas constantes (o cero) entonces se dice que la ecuacin es de coeficientes constantes. Una ecuacin diferencial lineal homognea de orden n tiene la forma:

Es decir, una ecuacin diferencial lineal es homognea si la funcin g(x) es cero. En caso contrario, se dice que es no homognea o inhomognea. De las ecuaciones diferenciales de orden superior, la ms importante es la ecuacin de segundo orden:

2.1.2 Problemas de valor inicial

De la misma forma como se plante el problema de valor inicial para una ecuacin diferencial de primer orden, se puede plantear el problema de valor inicial para una ecuacin de orden superior:

Donde y0, y0, y0(n-1) son constantes arbitrarias. Al resolver el problema de valor inicial, se busca una solucin particular en algn intervalo I que contenga al punto X0 y que se cumpla en dicho punto con los valores especificados dey y sus derivadas. Para la ecuacin de segundo orden, el problema de valor inicial se simplifica a:

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solucin nica

Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales de primer orden, este teorema establece las condiciones necesarias para que un problema de valor inicial tenga solucin (existencia) y que esa solucin sea la nica que existe (unicidad).Sea an (X), an-1 (X),, a1 (X), a0 (X) y g(x) continuas en un intervalo I y sea an (x) 0 para todo x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solucin y(x) del problema de valor inicial en el intervalo, y esa solucin es nica.

2.1.4 EDL homogneas2.1.4.1 Principio de superposicin

El principio de superposicin se enuncia a partir de los siguientes tres postulados: Una ecuacin diferencial lineal homognea de orden superior siempre tiene la solucin trivial y = 0. Si y1 (x) es una solucin de una ecuacin diferencial lineal homognea, entonces cualquier mltiplo constante de ella, y = c1 y1 (x) tambin es una solucin. Sean y1 (x), y2 (x),, yk (x) diferentes soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de orden n en un intervalo I. Entonces, la combinacin lineal de esas soluciones donde las constantes C1, C2 , , CK son constantes arbitrarias, es tambin una solucin de la ecuacin diferencial. Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y1, y2,, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal homognea de orden n.

2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.

Definicin: Se dice que un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x) , , fn (x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes C1, C2 , , cn , no todas cero, tales que la combinacin lineal de las funciones sea igual a cero para todo x en el intervalo. Si un conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que el linealmente independiente. El siguiente teorema permite determinar si un conjunto dado de funciones es o no linealmente dependiente:

2.1.6 Solucin generales de las EDL homogneas.

2.2 Solucin de EDL homogneas de coeficientes constantes.Las ecuaciones lineales homogneas, donde los coeficientesy b son constantes. Este tipo de ecuacin se resuelve ya sea por separacin de variables o con ayuda de un factor de integracin, pero hay otro mtodo de solucin, uno en el que solo se utiliza algebra. Al observar bien podemos ver que al despejarde la ecuacinse obtiene, donde k es una constante. Ahora el nuevo mtodo de una solucin: si se sustituyeyense obtieneo biencomonunca es cero para valores reales de x, la ltima ecuacin se satisface solo cuando m es una solucin o raz de la ecuacin polinomio de primer gradopara este nico valor de mes una solucin de la ED. En esta seccin se ver que el procedimiento que se vio anteriormente genera soluciones exponenciales para ED lineales homogneas de orden superior:

donde los coeficientes:

ECUACION AUXILIARse empieza por considerar el caso especial de la ecuacin de segundo orden:

donde a,b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solucin de la formaentonces despus de sustituirypor lo que al sustituir quedara:

CASO 1: "RACES REALES Y DISTINTAS"Bajo la suposicin de que la ecuacin tienes dos races desigualesy, se definen dos solucionesy. Se ve que estas funciones son linealmente independientes eny por consiguiente forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solucin general de la ED en este intervalo es:

CASO 2: RACES REALES REPETIDAS"Cuando, necesariamente se obtiene slo una solucin exponencial,.De la frmula cuadrtica se encuentra quepuesto que la nica forma en que se tienees tener.Una segunda solucin de la ecuacin es:

CASO 3:"RACES COMPLEJAS CONJUGADAS"

Siyson compleja entonces se puede escribirydondeson reales.De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por con siguiente:

Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Para este fin se usa la frmula de Euler:

dondees cualquier nmero real. Se deduce de esta frmula que

donde se utiliz

Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en se obtiene, respectivamente:

Comoes una solucin para alguna eleccin de las constantesy, las eleccionesydan, a su vez, dos soluciones:

Pero

y

Por consiguiente la solucin general es:

2.2.1 Ecuacin caracterstica para EDL de segundo orden (races reales y distintas, races reales e iguales, races complejas conjugadas).

Se desea encontrar la solucin a la ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden con coeficientes constantes: donde a , b y c son constantes y a0. Para definir un punto de partida para el anlisis de esta ecuacin, considrese primero la ecuacin diferencial lineal homognea de primer orden con coeficientes constantes: Esta ecuacin tiene solucin general y= Ce(b/a)x , es decir y=Ce mx donde m=A/ B es constante. Por comparacin, esto sugiere intentar una solucin de prueba mx y=e para la ecuacin de segundo orden. Sustituyendo esta solucin de prueba en la ecuacin de segundo orden:

Este polinomio se conoce como ecuacin caracterstica. Aun cuando se debera obtener siempre sustituyendo la solucin de prueba en la ecuacin diferencial, se puede observar que la potencia de m en cada trmino de la ecuacin caracterstica corresponde con el orden de la derivada de cada trmino de la ecuacin diferencial, se suele deducir la ecuacin caracterstica directamente de la ecuacin diferencial. Las races de este polinomio son los valores de m que satisfacen la ecuacin caracterstica, generalmente identificados como m1 y m2. Las races se obtienen por factorizacin (cuando es posible) o aplicando la frmula general para la ecuacin cuadrtica. La solucin general de la ecuacin diferencial depender entonces del tipo de estas races, de acuerdo con los casos siguientes:

CASO 1: Races reales diferentes. Si las races son dos nmeros reales diferentes, la solucin general est expresada en trminos de funciones exponenciales de la siguiente forma:

CASO 2: Races reales repetidas. Si las dos races son iguales, es decir, m1=m2=m , entonces la solucin general tiene la siguiente forma:

CASO 3: Races complejas conjugadas. Si las dos races son de la forma , , entonces puede aplicarse la frmula de Euler para escribir la solucin en la forma:

2.3 Solucin de las EDL no homogneas.

La forma general de una ecuacin diferencial lineal de orden superior no homognea de coeficientes constantes es:

donde an 0 . La solucin de esta ecuacin est formada por dos partes, una solucin complementaria y una solucin particular (tambin llamada integral particular) y= yc + yp donde yc es la solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada:

La solucin particular no debe tener constantes arbitrarias, y puede obtenerse por el mtodo de coeficientes indeterminados o por el mtodo de variacin de parmetros.

2.3.1 Mtodo por coeficientes determinados.

1.P(D) puede ser factorizado en operadores diferenciales de orden menor, tratndolo como si fuera un polinomio ordinario.

2. Los factores de P(D) pueden conmutarse.

Un operador diferencial anulador es aqul polinomio P (D) que puede reducir una cierta funcin a cero. La siguiente tabla muestra los operadores anuladores ms comunes y las funciones que pueden anular:

Aplicacin del mtodo de coeficientes indeterminados:

1. Resolver la ecuacin diferencial homognea asociada para encontrar la solucin complementaria Yc.

2. Buscar operadores diferenciales que anulen a las funciones que constituyen g(x), observando que cuando un operador dado pueda anular a ms de un trmino de g(x) no es necesario repetirlo. 3. De cada operador diferencial se genera una ecuacin caracterstica y se determinan sus races.

4. Con las races obtenidas en el paso anterior, escribir la forma de la solucin particular yp, empleando A, B, C, etctera, como constantes arbitrarias. Si alguna de las races para la solucin particular ya haba aparecido tambin en la solucin complementaria, dichas races se tomarn en cuenta para la multiplicidad.

5. Ya que la solucin particular no debe tener constantes arbitrarias, hay que determinar los valores de las constantes A, B, C, etctera. Para esto, se sustituye la solucin particular en la ecuacin diferencial y se genera una ecuacin algebraica con los coeficientes de cada clase de trminos semejantes. El nmero de ecuaciones obtenidas debe ser el mismo que el nmero de constantes buscadas.

1.3.2 Mtodo de variacin de parmetros

La solucin general de la ecuacin diferencial de segundo orden lineal no homogneo de coeficientes constantes:

Es y = yc + yp donde yc se obtiene a partir de la ecuacin diferencial homognea asociada:

2.4 Aplicaciones.

Movimiento oscilatorio armnico

Vibraciones armnicas simples no amortiguadas Se considera un bloque de masa m sujeto al extremo de un resorte y se denota por y(t) el desplazamiento del bloque en funcin del tiempo. Se considera el desplazamiento hacia abajo como positivo y hacia arriba negativo. En el punto de equilibrio el peso del bloque se compensa con la fuerza de elasticidad del resorte. Se supone que esta fuerza elstica es proporcional al desplazamiento, es decir, igual a ky(t), siendo k > 0 una constante, que cuantifica la rigidez del resorte. El movimiento de este sistema, siempre que no se rebasen los lmites de elasticidad del resorte, viene dado por la ecuacin:

Vibraciones amortiguadas

El modelo libre no amortiguado no es realista pues no se conoce ningn resorte que no pare nunca. Existe siempre la resistencia del medio. Se puede suponer que existe resistencia debido a que el medio es viscoso, o bien que existe un dispositivo amortiguador. Esta fuerza se considera proporcional a la velocidad del movimiento y, y si b es la constante de amortiguacin se tiene que la ecuacin del movimiento amortiguado viene dada por:

Vibraciones forzadas En este caso actan fuerzas exteriores al sistema. As, por ejemplo, se puede suponer que el punto inferior del resorte efecta movimientos verticales segn una funcin de t. Esto puede ocurrir cuando, por ejemplo, el resorte y el bloque se desplazan por un camino de relieve irregular. En este caso, ms general, la ecuacin diferencial que describe el movimiento es una ecuacin lineal no homognea de coeficientes constantes:

donde g(t) es una fuerza externa que acta sobre la masa del resorte. Para calcular sus soluciones, en primer lugar, hay que resolver la ecuacin homognea y luego hallar una solucin particular de la completa. Cuando la funcin g que representa la fuerza exterior es peridica se puede originar una situacin especial que se analiza a continuacin, si se supone que la fuerza externa g es una funcin seno o coseno con la misma frecuencia que las soluciones de la ecuacin homognea asociada. (MOLEROSALVADOR, 2010)

ReferenciasMOLEROSALVADOR, M., 2010. ECUACIONES DIFERENCIALES. [En lnea] Available at: http://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C10_Lineales_Orden_Superior.pdf[ltimo acceso: 17 07 2014].