MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES DE SEGUNDO...

Francisco Javier Jara Ulloa

Primer Semestre

Nivel Medio Superior

Universidad Autónoma de Nayarit

2da. Edición

ALUMNO: SEM:

UAP:

GRUPO:

MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2

UNIDAD DIDÁCTICA IV ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

PRESENTACIÓN

El propósito de esta unidad didáctica consiste en desarrollar tus habilidades para el

planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas por diferentes

métodos.

Al finalizar la unidad didáctica analizarás, con la ayuda de tu profesor, problemas aplicados a

otras ciencias o relacionados a situaciones cotidianas.

Esta unidad cuenta con tres tipos de ejercicios, los tipo “a” que son fáciles te servirán como

ejercitación y repaso de los temas, los tipo “b” en los cuales tienes que hacer un poco de esfuerzo

porque son ejercicios que implican una sustitución o un grado de complejidad un poco mayor y por

último los tipo “c” los cuales son de aplicación o que requieren un poco de análisis para su solución.

Estos ejercicios los identificarás por aparecer un subíndice a, b o c en el número del mismo.

COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos

géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos

de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,

ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

3

COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,

hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta

con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y

la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o

estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las

propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y

argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

4

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones

de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la

bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página

http://descartes.cnice.mec.es/ en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones

de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados.

ACTIVIDAD 1

Con esta actividad lograrás identificar las diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado

1a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste

sobre las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Ecuaciones

de 2º grado

http://descartes.cnice.mec.es/

5

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad lograrás identificar las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Identifica cuales de las siguientes ecuaciones representan una ecuación de segundo grado o cuadrática.

1a. x2

+ 2x – 3 = 0 2a. 4x – 5 = 0 3a. x2

+ 3x + 2 = 0

4a. x2 + 15 = 0 5a. x

2 + 2x + 15 = 0 6a. x

2 = -5x – 6

7a. 9y + 18 = 0 8a. x2 = 15x – 56 9a. -4x = x

2 + 12

10a. 032

1 2 xx 11a. 6x + 6 = x 12a. -x2 + 5x = -8

ACTIVIDAD 3

Con esta actividad lograrás identificar la ecuación general de segundo grado o cuadrática

En las siguientes ecuaciones, identifica lo valores de a, b y c.

1a. x2

+ 2x – 3 = 0 2a. 4x – 5 = 0 3a. x2

+ 3x + 2 = 0

4a. x2 + 15 = 0 5a. x

2 = -5x – 6 6a. x

2 = 15x – 56

7a. -4x = x2 + 12 8a. 03

2

1 2 xx 9a. -x2 + 5x = -8

6

Método gráfico

Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de

segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la




ACTIVIDAD 1

Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste de la solución de las ecuaciones

de segundo grado por el método gráfico.


sobre el método gráfico para la resolución de una ecuación de segundo grado.

Método gráfico


7

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad lograrás aplicar el método gráfico para la resolución de las ecuaciones

de segundo grado.

Determina la gráfica y las raíces de las siguientes funciones

1c.

2c.

8

3c.

9

Solución de ecuaciones por factorización

Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones

de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la




ACTIVIDAD 1

Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste sobre solución de las ecuaciones

de segundo grado por factorización.


sobre la solución a una ecuación de segundo grado por factorización.

Ecuación

de 2º grado


10

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad aplicarás la factorización en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Resuelve cada ecuación usando la factorización.

1b. x2

+ 2x – 3 = 0 2b. x2 – 4x – 5 = 0

3b. x2

+ 3x + 2 = 0 4b. x2 – 8x + 15 = 0

5b. x2

+ 2x + 15 = 0 6b. x2

= - 5x – 6

7b. x2

+ 9x + 18 = 0 8b. x2 = 15x – 56

9b. - 4x = x2 + 12 10b. 03

2

1 2 xx

11b. 4x – 6 = - 2x2 12b. 3x

2 - 3x – 18 = 0

11

ACTIVIDAD 3

Con esta actividad aplicarás la factorización en la resolución de ecuaciones de segundo grado

incompletas.

Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas.

1b. x2 - 3x = 0 2b. 092 xx

3b. x 062 x 4b. x2 – 36 = 0

5b. x2 - 6x = 0 6b. z

2 - 36 = 0

7b. 2y2 - 7y = 0 8b. 6x

2 = - x

9b. 3w2 - 5 = 0 10b. x

2 = - 3

12

Solución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general






ACTIVIDAD 1

Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste sobre solución de las ecuaciones

de segundo grado por la fórmula general.


sobre la solución a una ecuación de segundo grado por la fórmula general.

Ecuaciones

de 2º grado


13

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad aplicarás la fórmula general en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Resuelve las siguientes ecuaciones usando la fórmula general.

1b. x2

+ 2x – 3 = 0 2b. x2 – 4x – 5 = 0

3b. x2

+ 2x + 15 = 0 4b. x2

= - 5x – 6

5b. x2

+ 9x + 18 = 0 6b. x2 = 15x – 56

7b. - 4x = x2 + 12 8b. 03

2

1 2 xx

14

ACTIVIDAD 3

Con esta actividad aplicarás las diferentes técnicas de resolución de ecuaciones de segundo grado.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1c. 1- 065

2

xx 2c. 1- 0

232

xx

3c.-

12

4

2

32

xx 4c.- 2

3

343

pp

5c. 2=2

22

xx

6c.

x

x

x

x 3

2

22

15

Resuelve por cambio de variable

7c. x4 + 2x

2 – 8 = 0 8c. y

4 - 7y

2 = -12

9c. 065 31

32

xx 10c. p -13 040 p

16

ACTIVIDAD 4

Con esta actividad lograrás identificar las propiedades y características del discriminante

de las ecuaciones de segundo grado.

Determina, sin resolver la naturaleza de las soluciones (raíces)

1b. 2b.

3b. 4b.

5b. 6b.

17

Solución de problemas de aplicación






ACTIVIDAD 1

Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste de la solución de problemas de

aplicación de las ecuaciones de segundo grado.


sobre la resolución de problemas de aplicación de una ecuación de segundo grado.

Resolución de problemas


18

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad lograrás aplicar las ecuaciones de segundo grado en la resolución de

problemas.

Resolver los siguientes problemas formulando una ecuación de segundo grado.

1c. El área de un jardín rectangular es 2 m menor que 3 veces su ancho. Determina el largo y ancho si el

área del jardín es de 21 m2.

2c. Un fotógrafo profesional tiene una foto de 6 X 8 pulg. Desea reducir la foto la misma cantidad de

cada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área que la foto original. ¿En cuanto tiene

que reducir la longitud de cada lado?

3c. Un piloto voló en su aeroplano Cesna de un solo motor 80 millas con el viento a favor, después se

dio la vuelta y regreso con el viento en contra. Si la velocidad del viento fue constante y de 30 mi/h y el

tiempo total de ida y de regreso fue de 1.3 h, determina la velocidad del avión en el aire tranquilo.

19

4c. Después de un pequeño derrame de aceite, se enviaron dos barcos limpiadores para recoger el aceite

que flota en la bahía. El barco mas nuevo puede limpiar solo todo el derrame en 3 horas menos que si el

barco mas viejo lo hace solo. Si ambos trabajan juntos, pueden limpiar todo el derrame de aceite en 8

horas. ¿Cuánto tarda el barco mas nuevo, si trabaja solo en limpiar todo el derrame?

5c. El largo de una parcela rectangular es 50% más que su ancho, si el largo y el ancho se incrementan

en 10 m, el área de la parcela se duplica. ¿Cuáles son las dimensiones originales de la parcela?

6c. Para hacer una caja rectangular de 20 cm de largo por 16 cm de ancho, se cortan cuadrados iguales

de las esquinas y el metal se dobla y se suelda (ver figura). Si el área de la base de la caja es de

140 cm2, ¿Cuál es la longitud de l lado del cuadrado que

se corta de cada esquina?

20

7c. En un auditorio hay 616 asientos dispuestos en filas de 6 asientos más por fila que el número de

filas, ¿Cuántos asientos hay en cada fila?

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CRITERIOS DE CALIFICACIÓN

CALIFICACIÓN PARCIAL

Participación y trabajo en el curso-taller 20%

Tareas y/o trabajos extraclase (Guía Didáctica) 20%

Autoevaluación temática 10%

Caso integrador 10%

Examen 40%

AUTOEVALUACIÓN

Marca con una X según consideres tu trabajo durante la unidad, recuerda ser honesto, ya que tus

resultados te servirán para crecer como estudiante y como persona.

Variable a medir Excelente Bueno Regular Malo

Asistencia

Participación

Trabajo en el aula

Autoestudio

Tareas

Disposición al trabajo en equipo

Tolerancia ante comentarios de

compañeros

Examen

Compromisos para mejorar

Firma de enterado:

Docente:

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AUTOEVALUACIÓN TEMÁTICA

Esta autoevaluación te permitirá una retroalimentación sobre los temas de ecuaciones de

segundo grado y te mostrará si está listo presentar el examen final. Recuerda que esta autoevaluación

cuenta el 10% de tu calificación parcial.

INSTRUCCIONES GENERALES: La siguiente autoevaluación consta de 2 secciones (ejercicios y

problemas), las cuales deberán contestarse como se indica en cada caso. Cada sección tiene un puntaje

(valor) determinado.

VALOR (5%)

I.- Resolver los siguientes ejercicios sobre ecuaciones de segundo grado.

1.- La solución de la ecuación es:

a) 4 y 2 b) – 4 y 2 c) 4 y – 2 d) – 4 y – 2

2.- La solución de la ecuación es:

a) 2 + i, 2 – i b) 2, - 2 c) 3i, - 3i d) 3, 1

3.- ¿Cuál es el valor del discriminante de la ecuación ?

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60

4.- Una de las raíces de la ecuación es:

a) 2/3 b) 3/2 c) 9/4 d) 4/9

5.- Determina la solución de la ecuación

a) 0 y 7 b) – 7 y 7 c) – 7 y 0 d) 1 y 7

VALOR (5%)

II.- Resolver los siguientes problemas sobre ecuaciones de segundo grado.

1.- Un avión hace un viaje de Tepic a México (600 km) a cierta velocidad. Si su velocidad aumenta 30

km/h, el tiempo necesario para el viaje disminuiría 1 h. ¿A qué velocidad va?

a) 100 km/h b) 120 km/h c) 150 km/h d) 180 km/h

2.- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el

doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

a) 6 y 36 b) 5 y 25 c) 4 y 16 d) 7 y 49

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CASO INTEGRADOR

La ganancia semanal G en miles de pesos de la tienda Blockbuster, depende del precio de la renta de

sus cintas, t. La ecuación de ganancia es 52.0 2 tG , 500 t

a) ¿Cuál es la ganancia o pérdida semanal de la tienda, si cobran $10.00 por cinta?

b) ¿Cuál es la ganancia semanal o pérdida semanal, si cobran $35.00 por cinta?

c) ¿A qué precio por cinta su ganancia semanal será de $16,000?

d) Construye la gráfica, donde G representa al eje Y y t al eje X. ¿Qué te indican las raíces de la

gráfica?

e) Investiga el precio de renta actual de esta tienda y basándote en la ecuación de ganancia,

determina la ganancia semanal

24

BIBLIOGRAFIA

Garcia, Marco A. (2009) Matemáticas I para preuniversitarios. México: Esfinge

Méndez, Arturo/Osorio, Juan (2010) Matemáticas I. México: Santillana

Arriaga, Alfonso (2009) Matemáticas 1. México: PROGRESO EDITORIAL

Cuellar, José A. (2005) Matemáticas I para bachillerato. México: Mc Graw Hill

Carpinteiro, Eduardo / Sánchez, Ruben B. (2004) Álgebra. México: Publicaciones Cultural

Allen, R. Angel (2004) Álgebra Intermedia. México: Prentice Hall Hispanoamericana

Olmos, Raul A./ Méndez, Ismael R. (2006) Matemáticas I. Méxco: Mc Graw Hill

Fuenlabrada, Samuel (2001) Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill

Ibáñez, Patricia C. (2006) Matemáticas I. México: Thomson

Osorio, Juan M. (2006) Matemáticas 1. México: Santillana

Ensensberger, Hans Magnus (1997) El diablo de los números. España: Siruela

Malba, Tahan (2003) El hombre que calculaba. México: Noriega Editores

SOFTWARE Y SITIOS DE INTERNET

http://www.nlvm.usu.edu/es


Software Encarta

Software Derive

http://www.nlvm.usu.edu/es


25

ELIGE EL NIVEL EN QUE DESARROLLASTE TUS COMPETENCIAS GENÉRICAS DURANTE ESTA

UNIDAD TEMÁTICA

Se autodetermina y cuida de sí

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

ALT

O

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

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COMPETENCIAS DISCIPLINARES DE MATEMATICAS

Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.

Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente.

Evalúa la relación que existe entre lo que has aprendido en esta Unidad Temática y las competencias disciplinares de matemáticas.

Competencias

NU

LO

BA

JO

ME

DIO

AL

TO

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Ficha de Análisis del Proceso Cognoscitivo

Para facilitar el rescate del proceso personal de formación de conocimiento, elabora una carta a un

amigo donde le expliques lo siguiente:

De acuerdo a tu experiencia ¿Cuáles son los conocimientos previos que necesita una persona

para manejar este conocimiento?

¿Cuáles son los conceptos claves en este tema?

¿Cuáles son los aspectos más fáciles de entender?

¿Cuáles son los aspectos más difíciles de entender?

¿Qué ejemplos pondrías a alguien para que entendiera mejor el tema?

¿En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este conocimiento?

¿Qué nuevos retos y expectativas te plantea lo que has aprendido?

28

La siguiente tabla te da una ubicación en tu desempeño de acuerdo a la Dedicación que

mostraste durante el desarrollo de la Unidad Didáctica de Ecuaciones de primer grado, según la

cantidad de ejercicios que hayas contestado en la guía didáctica, es muy importante tu honestidad ya

que de esto depende la ubicación en el grado de desempeño que te corresponderá.

En total son 26 ejercicios tipo A, 36 ejercicios tipo B y 20 ejercicios tipo C.

GRADO DE DEDICACIÓN DESCRIPCIÓN

INSUFICIENTE Estarás en este nivel siempre y cuando no cumplas con los

requisitos para el ELEMENTAL.

ELEMENTAL Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente

por lo menos 10 ejercicios tipo A, 10 tipo B y 5 tipo C.

BUENO Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente


EXCELENTE Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente


Si no cumples con alguno de los tres requisitos (cantidad mínima de ejercicios) para un grado,

tu ubicación será en el grado anterior.

Para comprender mejor esta tabla pide ayuda a tu profesor y él te orientará sobre algunas

técnicas o estrategias que debes emplear para mejorar tu rendimiento académico y obtener mejores

resultados en las siguientes evaluaciones.

TABLA DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE ALCANZADOS Criterios

Rasgos

INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE

Ecuaciones de

segundo grado

Identifica una

ecuación de

segundo grado y los

valores de a, b y c.

Resuelve

ecuaciones de

segundo grado por

factorización y por

la fórmula general

Resuelve ecuaciones de

segundo grado por

cualquier método e

identifica soluciones

reales y complejas.

Analiza y resuelve

ecuaciones de segundo

grado y analiza la

naturaleza de su

solución por medio del

discriminante. Usa

Software para la

solución

Problemas de

ecuaciones de

segundo grado

Desconoce un

problema que

requiere de una

ecuación de

segundo grado

Identifica un

problema cuyo

planteamiento

requiere de una

ecuación de

segundo grado

Resuelve problemas que

requieren del

planeamiento de una

ecuación de segundo

grado.

Analiza y diseña

problemas que

requieren del

planteamiento de una

ecuación de segundo

grado.

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