Unidad 3 Combinatoria

CONTEO

� La enumeración no termina con la aritmética.

� Tiene aplicaciones en áreas como álgebra, la probabilidad y estadística (matemáticas) y el análisis de algoritmos (en ciencias de la computación).

� A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son “duros” de resolver.

Conteo� Las técnicas de conteo son aquellas que

son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.� Ejemplo :

� ¿Cuántas maneras tiene una personade seleccionar una lavadora, una batidora y dos

licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?.

� Se les denomina técnicas de conteo a las:� Combinaciones� permutaciones

� Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio aditivo y el multiplicativo.

Principio Aditivo

� Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde:

� la primera de esas alternativas puede ser realizada

de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras

� ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras,

� Entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :

� M + N + .........+ W maneras

Ejemplo

� La biblioteca de la FCC tiene 40 libros de

texto de programación y 50 de matemáticas.

� Por la regla de la suma, un estudiante de

esta facultad puede elegir entre

40+50=90 libros de texto

� para aprender acerca de alguno de estos dos

temas.

Ejercicio

� Un estudiante puede elegir un proyecto de

computación desde una de tres listas. Las

tres listas contienen 23, 15, y 19 posibles

proyectos, respectivamente. Ningún proyecto

esta en más de una lista. ¿Cuántos posibles

proyectos son posibles de elegir?

Solución

� 23+15+19=57 formas de elegir un proyecto

Ejercicio

� ¿Cuál es el valor de k, dado el siguiente

código?

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO� Si se desea realizar una actividad que consta de r

pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

� N1 x N2 x ..........x Nr maneras

� El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

� Ejemplo : “Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower).

� ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?”

� � Respuesta 2*3*2*1=12

Ejercicio

� Una compañía con dos empleados, Sanchez

y Perez, rentan un piso de un edificio con 12

oficinas. ¿Cuántas formas se pueden usar

para asignar diferentes oficinas a estos dos

empleados?

Solución

� 12*11=132 formas

Ejercicio

� Las sillas de un auditorio son etiquetadas con

una letra del alfabeto seguida por un número

positivo (hasta 100). ¿Cuántas etiquetas

pueden asignarse a una silla?

Solución

� 26*100=2600 formas diferentes

Ejercicio

� Existen 32 computadoras en un centro de

computación. Cada computadora tiene 24

puertos. ¿Cuántos puertos diferentes para

una computadora existen en el centro?

� El procedimiento de elegir un puerto consiste

de dos tareas, primero seleccionamos una

computadora y entonces seleccionamos un

puerto para esa computadora. Debido a que

existen 32 formas de elegir la computadora y

24 formas de elegir un puerto. Por la regla

del producto existen 32*24= 768 puertos.

Ejercicio

� ¿Cuántas cadenas de bits diferentes existen

de longitud siete ?

� Cada uno de los siete bits se puede elegir de

dos formas, porque cada bit es o 0 o 1. Por lo

tanto, por la regla del producto existen en

total 27=128 cadenas diferentes de bits de

longitud siete.

Ejercicio

� ¿Cuántas placas de circulación diferentes

pueden formarse si cada placa contiene una

secuencia de tres letras del alfabeto del

Ingles seguida por tres dígitos (y ninguna

secuencia de letras esta prohibida)?

Solución

� Existen 26 elecciones para cada una de las

tres letras del alfabeto Ingles y 10 elecciones

para cada uno de los tres dígitos. Por lo

tanto, por la regla del producto existen un

total de 26*26*26*10*10*10=17,576,000

posibles placas de circulación.

Contando funciones

� ¿Cuántas funciones existen desde un

conjunto con m elementos a un conjunto con

n elementos?

Solución

� Una función corresponde a elegir de uno de los n elementos en el codominio para cada uno de los m elementos en el dominio. Por lo tanto, por la regla del producto existen n*n*…*n=nm funciones desde un conjunto con m elementos a uno con n elementos.

� Por ejemplo, existen 53=125 funciones diferentes desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

Contando funciones uno-a-uno

� ¿Cuántas funciones uno-a-uno existen desde un conjunto con m elementos a una con n elementos?

� Primero nota que cuando m>n no existen funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos.

� Ahora sea m<=n. Suponga que los elementos en el dominio son a1, a2, …, am. Existen n formas de elegir el valor de la función para a1. Como la función es uno a uno, el valor de la función en a2 puede elegirse de n-1 formas (porque el valor usado para a1 no puede volverse a usar de nuevo).

� En general, el valor de la función en ak se puede elegir de n-k+1 formas. Por la regla del producto, existen n(n-1)(n-2)…(n-m+1) funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a una con n elementos.

� Por ejemplo, existen 5*4*3=60 funciones uno a uno desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

Ejercicio

� ¿Cuál es el valor de k al termino del siguiente

código, donde n1, n2, …,nm son número

positivos?

Solución

� n1*n2*…*nm.

Contando subconjuntos de un conjunto finito� Usa la regla del producto para demostrar que el

número de diferentes subconjuntos de un conjunto finito S es 2|S|.

� Sea S un conjunto finito. Lista los elementos de S en un orden arbitrario. Existe una correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos de S y una cadena de bit’s de longitud |S|. Un subconjunto de S es asociado con una cadena de bits con un 1 en la i-esima posición si el i-esimo elemento en la lista esta en el subconjunto, y un 0 en otro caso. Por la regla del producto, existen 2|S| cadenas de bits de longitud |S|. Por lo tanto, |P(S)|=2|S|.

PRINCIPIO ADITIVO YMULTIPLICATIVO� ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso

del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

� Cuando se trata de una sola actividad la cual requiere para ser llevada a cabo de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Ejercicio

� En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles.

� Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos.

� Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. ¿Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic?

Propuesta de solución - análisis

� En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. V = v_1 + v_2� V_1 : variables de longitud 1� V_2 : variables de longitud 2

� Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. (26+10=36)� V_1 = 26 � V_2 = 26*36

� Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. � V_2 = 26*36 – 5 =931

� ¿Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic? V= v_1 + v_2 = 26 + 931 = 957

Ejercicio

� Cada usuario de un sistema de computo

tiene un password, el cual es de seis a ocho

caracteres de longitud, donde cada carácter

es una letra o un digito.

� Cada password debe contener al menos un

digito.

� ¿Cuántos posibles passwords existen?

Solución

� P – número de posibles passwords

� P = P_6 + P_7 + P_8

� (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8)

� P_6 debe contener al menos un digito

� P_7 debe contener al menos un digito

� P_8 debe contener al menos un digito

Solución

� P – número de posibles passwords

� P = P_6 + P_7 + P_8 = 2,684,483,063,360

� (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8)

� Quitamos a cada cadena, las cadenas que sólo tienen letras

� P_6 = 366 – 266 = 2,176,782,336 – 308,915,776 = 1,867,866,560

� P_7 = 367 – 267 = 78,364,164,096 – 8,031,810,176 = 70,332,353,920

� P_8 = 368 – 268 = 2,821,109,907,456 – 208,827,064,576 = 2,612,282,842,880

Regla de substracción (Inclusión-exclusión para dos conjuntos)� Si una tarea se realiza de n1 formas o n2

formas, entonces el número de formas para

hacer la tarea es n1 + n2 menos el número

de formar para hacer la tarea que es común

en las dos formas diferentes.

� Principio de Inclusión - exclusión

Ejemplo

� ¿Cuántas cadenas de bits de longitud 8 o

inician con un 1 o terminan con dos bits 00?

128 + 64 – 32 = 160

Ejercicio

� Una compañía de computación recibe 350

aplicaciones de graduados de computación

para un trabajo de servicios Web. Suponga

que 220 de estas aplicaciones están

especializadas en ciencias de la

computación, 147 están especializadas en

negocios, y 51 en ambos. ¿Cuántas de estas

aplicaciones no están especializadas en

ciencias de la computación ni en negocios?

Solución

� |A1 U A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2| = 220 +

147 – 51 = 316

� Conclusión

� 350 – 316 = 34

Diagrama de Árbol

� ¿Cuántas cadenas de bits de longitud 4 no

tienen 2 consecutivos 1’s? 8 cadenas

Diagrama de árbol, ejercicio

� Una eliminatoria entre dos equipos consiste

de a lo más cinco juegos. El primer equipo

que gane los tres juegos gana la eliminatoria.

¿En cuantos formas diferentes puede ocurrir

la eliminatoria?

Diagrama de árbol, ejercicio� 20 diferentes formas para ganar la

eliminatoria.

Ejercicio

� Suponga que la playera “I love Mexico” viene en

cinco diferentes tamaños: S, M, L, XL, XXL. Más aún suponga que cada tamaño viene en cuatro colores, blanco, rojo, verde y negro, excepto para

XL, que sólo viene en verde, rojo y negro, y la XXL, viene en sólo verde y negro. ¿Cuántas playeras

diferentes debe abastecerse una tienda para que tenga por lo menos una playera de cada color y tamaño?

Solución

� 17 playeras

Principio del palomar� Si k es un entero positivo y k+1 o más

objetos son colocados en k cajas, entonces

existe al menos una caja que contiene dos o

más objetos.

Ejemplo

� Corolario: Una función f desde un conjunto con k+1 o más elementos a un conjunto con k elementos es uno a uno.

� Dem: Suponga que para cada elemento y en el codominio de f tenemos una caja que contiene todos los elementos x del dominio de f tal que f(x)=y.

� Como el dominio contiene k+1 o más elementos y el codominio contiene solo k elementes, el principio del palomar nos dice que una de estas cajas contiene dos o más elementos x del dominio. Esto significa que f no puede ser uno a uno.

Ejemplo

� En cualquier grupo de 367 personas, debe

existir al menos dos personas con el mismo

día de cumpleaños, porque existen sólo 366

posibles días de cumpleaños.

� En cualquier grupo de 27 palabras en Ingles,

debe existir al menos dos que inician con la

misma letra, porque hay 26 letras en el

alfabeto del Ingles.

Ejercicio

� ¿Cuántos estudiantes debe tener un curso

para garantizar que al menos dos

estudiantes reciban el mismo puntaje en un

examen final, si el resultado del examen se

encuentra en la escala de 0 a 100 puntos?

Solución

� Existen 101 posibles puntajes en el examen

final. Por el principio del palomar mostramos

que entre 102 estudiantes existen al menos 2

estudiantes con el mismo puntaje.

Generalización del principio del palomar

� Si N objetos son colocados en k cajas,

entonces existe al menos una caja que

contiene al menos objetos.

� Ejemplo

� En un grupo de 100 personas existe al menos

= 9 que nacieron el mismo mes.

k� /

12/100

Ejercicio

� ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes

requeridos en la clase de matemáticas

discretas para asegurar que al menos seis

recibirán la misma calificación, si existen

cinco posibles calificaciones, 10, 9 , 8, 7 y 6?

Solución

� El número mínimo de estudiantes necesarios

para asegurar que al menos 6 estudiantes

reciban la misma calificación es el entero N

más pequeño tal que =6. El más

pequeño entero es N= 5*5 +1 = 26.

Entonces, 26 es el número mínimo de

estudiantes necesarios para asegurar que al

menos seis estudiantes reciban la misma

calificación.

5/�

Ejercicio

� Calcular el número total de comidas con dos

platos posibles del siguiente menú:

� Menú Sopa Du Joir

� Crema de la Crema

� Crema de Tomate

� Platos Principales

� Rosbif con Papas o Coles de Bruselas

� Lomo de cerdo con Manzana, Mango, o Papaya

Ejercicio

� Consideremos tres conjuntos� conjuntos I, II y III.� I ={a, m, r}

� II = {b, d, i, l,u}

� III = {c, e, n, t}

� Cuántos modos hay para elegir una letra de losconjuntos I, II y III. Nótese que estos tres conjuntos son disjuntos o mutuamente excluyentes, es decir no hay elementos en común entre ellos.

� Usando nuestros tres conjuntos I, II y III. Determinar el número de conjuntos de tres letras que pueden ser creados tales que una letra sea de I, una de II y la otra de III.

Ejercicio

� Un matrimonio decide comprar una radio y

una cocina. Si en el lugar donde harán la

compra hay 4 tipos de radio y 2 tipos de

cocina. ¿De cuántas maneras distintas

pueden realizar la compra de ambos objetos

a la vez?

Ejercicio

� Una pareja quiere ir al sur de Chile. Para ir

en avión hay 2 compañías y para ir en

autobús hay 3 compañías. ¿Cuántas

maneras tienen para ir al sur?

Permutaciones

� Muchos problemas de conteo se pueden

resolver encontrando el número de formas

para organizar un número específico de

distintos elementos de un conjunto de cierto

tamaño, donde el orden de estos elementos

importa.

� Otros problemas de conteo se pueden

resolver al encontrar el número de formas

para seleccionar un número particular de

elementos desde un conjunto de cierto

tamaño, donde el orden de los elementos

seleccionados no importa.

Permutaciones, ejemplo

� ¿En cuantas formas podemos seleccionar tres estudiantes de un grupo de cinco estudiantes colocados en línea para la toma de una fotografía? ¿De cuantas formas organizamos a los 5 de estos estudiantes en una línea para la fotografía?

� Primero, notamos que el orden en cual seleccionemos a los estudiantes importa. Existen 5 formas para seleccionar el primer estudiante colocado al inicio de la línea. Una ves que este estudiante ha sido seleccionado, hay 4 formas para seleccionar el segundo estudiante colocado en la línea. Después del primero y segundo seleccionados, hay 3 formas para seleccionar el tercer estudiante para colocarlo en la línea. Por la regla del producto, hay 5*4*3 =60 formas de seleccionar a tres estudiantes de un grupo de cinco estudiantes para colocarlos en línea para la toma de la fotografía.

� Para organizar a los 5 estudiantes en una línea, seleccionamos al primer estudiante, el segundo en 4 formas, el tercero en 3 formas, el cuarto en 2 formas, y el quinto en una forma. Por lo tanto, hay 5*4*3*2*1=120 formas de organizar a los 5 estudiantes en una línea para la toma de una fotografía.

Permutaciones

� Una permutación de un conjunto de distintos objetos es una arreglo ordenado de estos objetos.

� Un arreglo ordenado de r elementos de un conjunto se llama un r-permutación.

� Ejemplo: Sea S={1,2,3}. El arreglo ordenado 3,1,2

es una permutación de S. El arreglo ordenado 3,2 es una 2-permutación de S.

� El número de r-permutaciones de un conjunto con n elementos se denota por P(n,r).

Ejemplo

� Sea S={a,b,c}.Las 2-permutaciones de S son

arreglos ordenados a, b; a, c; b,a; b, c; c,a; y c, b.

� Consecuentemente, hay seis 2-permutaciones de

este conjunto con tres elementos . Hay seis 2-permutaciones de un conjunto con tres elementos.

Existen tres formas para elegir el primer elemento del arreglo. Hay dos formas para elegir el segundo elemento del arreglo, porque debe ser diferente

desde el primer elemento. Por lo tanto, por la regla del producto, tenemos P(3,2)=3*2=6.

Permutaciones

� Si n es un entero positivo y r es un entero

con 1 <= r <= n, entonces hay

P(n,r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

r-permutaciones de un conjunto con n

elementos distintos.

� Si n y r son enteros con 0<= r <=n, entonces

� P(n,r) = n! / (n-r)!

Ejercicio

� ¿Cuántas formas existen para seleccionar el

ganador de un primer premio, el ganador de

un segundo premio y el ganador de un tercer

premio de 100 personas diferentes que han

entrado a un concurso?

Solución

� 3-permutaciones de un conjunto de 100

elementos.

� P(100,3)=100*99*98 = 970,200