Técnicas de Conteo - Tolinware · Las técnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar...

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Técnicasde Conteo

Si el número de posibles resultados de unexperimento es pequeño, es relativamente fácillistar y contar todos los posibles resultados. Altirar un dado, por ejemplo, hay seis posiblesresultados.


Las técnicas de conteo son aquellas que seusan para enumerar eventos difíciles decuantificar. El principio fundamental en elproceso de contar ofrece un método generalpara contar el número de posibles arreglos deobjetos dentro de un solo conjunto o entrevarios conjuntos.


A. Principio multiplicativo

B. Principio aditivo

C. Permutación

D. Combinación

E. Diagrama de árbol


Si desea realizar una actividad que conta de 𝑟pasos, en donde el primer paso de la actividadpuede llevarse a cabo de 𝑁1 formas, el segundopaso de 𝑁2 formas, y el r-ésimo paso de 𝐸𝑟 formas,entonces esta actividad puede ser realizada. Elprincipio multiplicativo implica que cada uno de lospasos de la actividad deben efectuarse, uno trasotro.


PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Si un evento puede suceder de “n” manerasdiferentes, el evento 𝐸2 puede ocurrir de 𝑛2maneras diferentes, entonces el total de manerasdistintas en que puede suceder el evento ocurren𝐸1, 𝐸2 y 𝐸𝑝 es igual a producto.


PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

𝑛1. 𝑛2…𝑛𝑝 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Se lanza un dado dos veces y se observan lascaras resultantes. El primer dado puede caer deseis maneras diferentes (1,2,3,4,5,6) y el segundodado también puede caer de seis manerasdiferentes. Entonces, el número de maneras en quepueden caer ambos dados simultáneamente es:


Ejemplo

6 ∗ 6 = 36 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Si se desea hacer una actividad, la cual tieneformas alternativas de realizarse, donde la primerade ellas puede ser realizada de M formas, lasegunda puede hacerse de N maneras… y laúltima de las alternativas puede efectuarse de Wformas, entonces esa actividad puede ejecutarsede:


PRINCIPIO ADITIVO

𝑀 +𝑁 +𝑊 = 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Para viajar de México a Ensenada se puede optar por avión,tren o autobús, existen tres rutas para el avión, cuatro parael autobús y dos para el tren. ¿Cuántas rutas hay paraviajar?

Los tres medios de transporte alternativos son disyuntivas aelegir, a optar por una de ellas las otras dos quedanexcluidas, por lo tanto, es aplicable el principio aditivo. Elnúmero de maneras diferentes en que podemos viajar aEnsenada son:


Ejemplo

3 + 4 + 2 = 9 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Es todo arreglo de elementos en donde nosinteresa el lugar o posición que ocupa cadauno de los componentes que constituyen dichoarreglo.


PERMUTACIÓN

Se le llama permutación de m elementos (m = n) alas diferentes agrupaciones que puede hacerse deesa cantidad de elementos, de forma que:

- Sí entran todos los elementos

- Sí importa el orden

-No se repiten los elementos


PERMUTACIÓN DE “N” ELEMENTOS

𝑃𝑛 = 𝑛!

¿Cuántos números de cinco cifras diferentes sepueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?


Ejemplo

𝑃5 = 5! = 120 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Es un caso particular de las permutaciones. Seutilizan cuando los elementos se han deordenar “en circulo”, por ejemplo, loscomensales en una mesa, de modo que elprimer elemento que “se sitúe” en la muestradetermina el principio y el final de la misma.


PERMUTACIÓN CIRCULAR

𝑃𝑐 = 𝑛 − 1 !

¿De cuántas formas distintas pueden sentarseocho personas alrededor de una mesaredonda?


Ejemplo

𝑃𝑐8 = 8 − 1 ! = 5040 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

Permutaciones con repetición de “n” elementos escuando se tienen elementos iguales o repetidos, esdecir, son los distintos grupos que puedenformarse con esos “n” elementos, de forma que:•Sí entran todos los elementos•Sí importa el orden•Sí se repiten los elementos


PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

𝑃𝑟𝑒𝑝 =𝑛𝑡!

𝑛1! ∗ 𝑛2! … 𝑛𝑛!𝑛𝑡 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

En el palo de señales de un barco se puedenizar tres banderas rojas, dos azules y cuatroverdes. ¿Cuántas señales distintas puedenindicarse con la colocación de las nuevebanderas?


Ejemplo

𝑛𝑡 = 3 + 2 + 4 = 9

𝑃𝑟𝑒𝑝 =9!

3! ∗ 2! ∗ 4!= 1260 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

En este tipo de permutación se toma unsubconjunto del conjunto de elementos, tieneque haber un orden, por lo que se puedentener varias permutaciones con los mismoselementos elegidos.


PERMUTACIÓN DE UN SUBCONJUNTO

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

¿De cuántas formas pueden ordenarse los sietecolores del arcoíris tomándolos de tres entres?


Ejemplo

7𝑃3 =7!

7 − 3 != 210 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

Las combinaciones se conforman con unaselección de elementos de un conjuntoteniendo en cuenta que no importa el orden enque se colocan o se escogen.


COMBINACIÓN

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!

En una clase de 35 alumnos se quiere elegirun comité formado por tres alumnos. ¿Cuántoscomités diferentes se pueden formar?


Ejemplo

35𝐶3 =35!

35 − 3 ! 3!= 6545 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

El diagrama de árbol es una representación gráficaque muestra los resultados posibles de una seriede experimentos, cuando no sólo es necesariossaber cuántos sino cuáles. Para la construcción deun diagrama de árbol se empieza poniendo unarama para cada una de las posibilidades de unprimer conjunto o evento.


DIAGRAMA DE ÁRBOL

Al final de cada rama parcial se constituye, a suvez, un nudo del cual parten nuevas ramas,según las posibilidades del siguiente paso,salvo si el nudo representa un posible final delexperimento.


DIAGRAMA DE ÁRBOL

¿Cuántas palabras con significado se puedenformar con las letras de la palabra amor?

Con el diagrama de árbol podemos sabercuántas y cuáles palabras tienen significado.


Ejemplo

Amor – palabra inicial

Armo – del verbo armar

Mora – fruta

Omar – nombre propio

Ramo – manojo de flores, área disciplinar

Roma – país de Europa

5 palabras con significado

Aparte de la palabra amor


Ejemplo

Técnicas de Conteo - Tolinware · Las técnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar...

Documents

Transcript of Técnicas de Conteo - Tolinware · Las técnicas de conteo son aquellas que se usan para enumerar...