Unidad 3

Combinatoria

CONTEO La enumeración no termina con la aritmética.

Tiene aplicaciones en áreas como álgebra, la probabilidad y estadística (matemáticas) y el análisis de algoritmos (en ciencias de la computación).

A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son “duros” de resolver.

Conteo Las técnicas de conteo son aquellas que

son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo :

¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?.

Se les denomina técnicas de conteo a las:

Combinaciones permutaciones

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo

son el principio aditivo y el multiplicativo.

Principio Aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde:

la primera de esas alternativas puede ser realizada

de M maneras, la segunda alternativa puede

realizarse de N maneras

..... y la última de las alternativas puede ser

realizada de W maneras,

Entonces esa actividad puede ser llevada a cabo

de :

M + N + .........+ W maneras

Ejemplo

La biblioteca de la FCC tiene 40 libros de

texto de programación y 50 de matemáticas.

Por la regla de la suma, un estudiante de

esta facultad puede elegir entre

40+50=90 libros de texto

para aprender acerca de alguno de estos dos

temas.

Ejercicio

Un estudiante puede elegir un proyecto de

computación desde una de tres listas. Las

tres listas contienen 23, 15, y 19 posibles

proyectos, respectivamente. Ningún proyecto

esta en más de una lista. ¿Cuántos posibles

proyectos son posibles de elegir?

Solución

23+15+19=57 formas de elegir un proyecto

Ejercicio

¿Cuál es el valor de k, dado el siguiente

código?

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

N1 x N2 x ..........x Nr maneras

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Ejemplo : “Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower).

¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?”

Respuesta 2*3*2*1=12

Ejercicio

Una compañía con dos empleados, Sanchez

y Perez, rentan un piso de un edificio con 12

oficinas. ¿Cuántas formas se pueden usar

para asignar diferentes oficinas a estos dos

empleados?

Solución

12*11=132 formas

Ejercicio

Las sillas de un auditorio son etiquetadas con

una letra del alfabeto seguida por un número

positivo (hasta 100). ¿Cuántas etiquetas

pueden asignarse a una silla?

Solución

26*100=2600 formas diferentes

Ejercicio

Existen 32 computadoras en un centro de

computación. Cada computadora tiene 24

puertos. ¿Cuántos puertos diferentes para

una computadora existen en el centro?

El procedimiento de elegir un puerto consiste

de dos tareas, primero seleccionamos una

computadora y entonces seleccionamos un

puerto para esa computadora. Debido a que

existen 32 formas de elegir la computadora y

24 formas de elegir un puerto. Por la regla

del producto existen 32*24= 768 puertos.

Ejercicio

¿Cuántas cadenas de bits diferentes existen

de longitud siete ?

Cada uno de los siete bits se puede elegir de

dos formas, porque cada bit es o 0 o 1. Por lo

tanto, por la regla del producto existen en

total 27=128 cadenas diferentes de bits de

longitud siete.

Ejercicio

¿Cuántas placas de circulación diferentes

pueden formarse si cada placa contiene una

secuencia de tres letras del alfabeto del

Ingles seguida por tres dígitos (y ninguna

secuencia de letras esta prohibida)?

Solución

Existen 26 elecciones para cada una de las

tres letras del alfabeto Ingles y 10 elecciones

para cada uno de los tres dígitos. Por lo

tanto, por la regla del producto existen un

total de 26*26*26*10*10*10=17,576,000

posibles placas de circulación.

Contando funciones

¿Cuántas funciones existen desde un

conjunto con m elementos a un conjunto con

n elementos?

Solución

Una función corresponde a elegir de uno de los n elementos en el codominio para cada uno de los m elementos en el dominio. Por lo tanto, por la regla del producto existen n*n*…*n=nm funciones desde un conjunto con m elementos a uno con n elementos.

Por ejemplo, existen 53=125 funciones diferentes desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

Contando funciones uno-a-uno

¿Cuántas funciones uno-a-uno existen desde un conjunto con m elementos a una con n elementos?

Primero nota que cuando m>n no existen funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos.

Ahora sea m<=n. Suponga que los elementos en el dominio son a1, a2, …, am. Existen n formas de elegir el valor de la función para a1. Como la función es uno a uno, el valor de la función en a2 puede elegirse de n-1 formas (porque el valor usado para a1 no puede volverse a usar de nuevo).

En general, el valor de la función en ak se puede elegir de n-k+1 formas. Por la regla del producto, existen n(n-1)(n-2)…(n-m+1) funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a una con n elementos.

Por ejemplo, existen 5*4*3=60 funciones uno a uno desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.

Ejercicio

¿Cuál es el valor de k al termino del siguiente

código, donde n1, n2, …,nm son número

positivos?

Solución

n1*n2*…*nm.

Contando subconjuntos de un conjunto

finito

Usa la regla del producto para demostrar que el número de diferentes subconjuntos de un conjunto finito S es 2|S|.

Sea S un conjunto finito. Lista los elementos de S en un orden arbitrario. Existe una correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos de S y una cadena de bit’s de longitud |S|. Un subconjunto de S es asociado con una cadena de bits con un 1 en la i-esima posición si el i-esimo elemento en la lista esta en el subconjunto, y un 0 en otro caso. Por la regla del producto, existen 2|S| cadenas de bits de longitud |S|. Por lo tanto, |P(S)|=2|S|.

PRINCIPIO ADITIVO Y

MULTIPLICATIVO

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Cuando se trata de una sola actividad la cual requiere para ser llevada a cabo de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Ejercicio

En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles.

Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos.

Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. ¿Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic?

Propuesta de solución - análisis

En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. V = v_1 + v_2 V_1 : variables de longitud 1

V_2 : variables de longitud 2

Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. (26+10=36) V_1 = 26

V_2 = 26*36

Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. V_2 = 26*36 – 5 =931

¿Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic? V= v_1 + v_2 = 26 + 931 = 957

Ejercicio

Cada usuario de un sistema de computo

tiene un password, el cual es de seis a ocho

caracteres de longitud, donde cada carácter

es una letra o un digito.

Cada password debe contener al menos un

digito.

¿Cuántos posibles passwords existen?

Solución

P – número de posibles passwords

P = P_6 + P_7 + P_8

(longitud 6 + longitud 7 + longitud 8)

P_6 debe contener al menos un digito

P_7 debe contener al menos un digito

P_8 debe contener al menos un digito

Solución

P – número de posibles passwords

P = P_6 + P_7 + P_8 = 2,684,483,063,360

(longitud 6 + longitud 7 + longitud 8)

Quitamos a cada cadena, las cadenas que sólo tienen letras

P_6 = 366 – 266 = 2,176,782,336 – 308,915,776 = 1,867,866,560

P_7 = 367 – 267 = 78,364,164,096 – 8,031,810,176 = 70,332,353,920

P_8 = 368 – 268 = 2,821,109,907,456 – 208,827,064,576 = 2,612,282,842,880

Regla de substracción (Inclusión-exclusión

para dos conjuntos)

Si una tarea se realiza de n1 formas o n2

formas, entonces el número de formas para

hacer la tarea es n1 + n2 menos el número

de formar para hacer la tarea que es común

en las dos formas diferentes.

Principio de Inclusión - exclusión

Ejemplo

¿Cuántas cadenas de bits de longitud 8 o

inician con un 1 o terminan con dos bits 00?

128 + 64 – 32 = 160

Ejercicio

Una compañía de computación recibe 350

aplicaciones de graduados de computación

para un trabajo de servicios Web. Suponga

que 220 de estas aplicaciones están

especializadas en ciencias de la

computación, 147 están especializadas en

negocios, y 51 en ambos. ¿Cuántas de estas

aplicaciones no están especializadas en

ciencias de la computación ni en negocios?

Solución

|A1 U A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2| = 220 +

147 – 51 = 316

Conclusión

350 – 316 = 34