Unidad 1

Funciones Mireya Tovar Vidal

Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un

conjunto A un único elemento b de un conjunto B, es decir

F: A B

Para que sea función debe cumplirse:

Dom(R)=A , es decir el dominio de R debe ser todo el conjunto A.

Si hay dos pares ordenados (a,b) y (a,c) que pertenecen a f, entonces

b=c, es decir a cada elemento del dominio debe estar relacionado con

sólo un elemento del codominio.

Sean los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c}

a) R={(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)}

b) R={(1,a),(2,c),(1,b),(3,a),(4,c)}

c) R={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c)}

d) R={(1,b),(2,c),(4,a)}

Inyectiva

Biyectiva

Sobreyectiva

Una función se llama uno a uno (inyectiva), si a cada elemento

distinto del conjunto A le corresponde un elemento distinto del

conjunto B, esto es, para todo a, a’A si f(a)=f(a’) implica que

a=a’.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Una función se llama sobre (sobreinyectiva), si el conjunto de

los segundos elementos de los pares ordenados de la función es

igual al conjunto B, es decir si Cod(f)=B.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Una función se llama (biyectiva), si cumple que sea tanto

inyectiva como sobreyectiva.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Determinar si las siguientes relaciones son

funciones:

R={a Z, b Z= a2 + 2a + 1}

A={1,2,3,4,5}=B, R={(1,3),(2,5),(4,3),(3,5),(5,1)}

Determinar si las siguientes funciones son

inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

A={1,2,3,4,5}=B, f={(1,2),(2,5),(3,1),(4,4),(5,3)}

A={a,b,c,d},B={1,2,3}, f={(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)}

Si f: A B y g: B C son funciones, entonces la combinación g°f

llamada composición también es una función g°f: AC

Hay que observar que (a,c)(g°f) si y sólo si (a,b) f y (b,c) g

Composición de funciones

g°f

A B C

f g

a b=f(a) c

C=g(b)=(g°f)(a)

Ejemplos de composición de funciones

Sean A=B=C=R y las funciones

f: A B, f(a)=a2-1

g: BC, g(b)=b+2

a) (g°f)(3)=g(f(3))=g(32-1)=g(9-1)=g(8)=8+2=10

b) (f°g)(-1)=f(g(-1))=f(-1+2)=f(1)=(12-1)=0

c) (g°f)(x-1)= g(f(x-1))=g(x2-2x)=x2-2x+2

d) (g°g°f)(1)= g(g(f(1)))=g(g(12-1))=g(g(0))=g(2)=4

Ejemplo

}0:{: xxf6)( 24 xxxf

4)(,}0:{: xxgxxg

Una función f: A B es invertible si su relación inversa f-1 es una

función, además debe ser biyectiva.

Funciones Invertibles

Ejemplo 1:

Sea f:A B con A={1,2,3} y B={rojo, verde, azul}.

Entonces f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}.

Obtener la inversa de la función.

Solución: Como la función es inyectiva y sobreyectiva entonces su inversa es f-1: B A,

es decir: f-1={(verde,1),(azul,2),(rojo,3)}.

Ejemplo 2:

Sea A=B=R y f(a)=a3+2.

Obtener la inversa de la función.

Solución: Como la función es inyectiva y sobreyectiva, se obtiene la inversa al despejar la

variable independiente en la función inicial

f(a)=a3+2. entonces b= a3+2.

b-2= a3

a=(b-2)1/3 por tanto f-1(a)=f(b)=(b-2)1/3

Sea A=B=R; f(x)=-4x3-2; g(y)=3y2-1; h(z)=5z+3

Establecer si son funciones invertibles y si es así obtener su

inversa.

Determinar el valor de la composición

h°g°g(1)

g°h(-x)

Ejercicios