Unidad 3

Combinaciones

Combinaciones

Contar una selección no ordenada de

objetos.

Ejemplo

¿Cuántos comités diferentes de tres

estudiantes se pueden formar desde un

grupo de cuatro estudiantes? R= 4

{1,2,3}, {1,2,4},{2,3,4}, {3,4,1},

Combinaciones

Una r-combinación de elementos de un conjunto es una selección no ordenada de r elementos del conjunto.

Una r-combinación es un subconjunto con r elementos.

El número de r-combinaciones de un conjunto con n elementos distintos se denota por C(n,r).

También se denota por y se llama Coeficiente binomial

r

n

Teorema

El número de r-combinaciones de un conjunto con n

elementos, donde n es un entero no negativo y r es un entero

con 0<=r<=n,

Las r-permutaciones P(n,r) de un conjunto se obtiene al

formar las r-combinaciones C(n,r) del conjunto, y entonces

ordenamos los elementos en cada r-combinación, la cual se

hace en P(r,r) formas. Por lo tanto, por la regla del producto:

Por lo tanto:

Ejemplo

¿Cuántas manos de póquer de cinco cartas

pueden repartirse de una baraja de 52

cartas? Además, ¿cuántas maneras hay para

seleccionar 47 cartas de una baraja de 52

cartas?

Debido a que el orden en el cual las cinco

cartas se reparten de una baraja de 52 cartas

no importa, existen

C(52,5)= 26*17*10*49*12 = 2,598,960

Hay 2,598,960 diferentes manos de poker

de 5 cartas que pueden ser repartidas de una

baraja de 52 cartas.

Además, C(52,47)=52!/47!*5! Diferentes

formas de seleccionar 47 cartas desde una

baraja de 52 cartas.

C(52,47)=C(52,5)

Corolario

Sea n y r un entero no negativo con r<=n. Entonces C(n,r)=C(n,n-r)

Prueba:

Y

Por lo tanto, C(n,r)=C(n,n-r)

Ejemplo

¿Cuántas formas hay para seleccionar a

cinco jugadores de un equipo de tenis de 10

miembros, para hacer un viaje a un partido

en otra escuela?

La respuesta esta dada por el número de 5-

combinaciones de un conjunto con 10

elementos. Por el teorema anterior, el

número de tales combinaciones es:

Ejercicio

Un grupo de 30 personas han sido

entrenados como astronautas para ir en la

primera misión a Marte. ¿Cuántas maneras

hay para seleccionar una tripulación de seis

personas para ir en esta misión (suponiendo

que todos los miembros de la tripulación

tienen el mismo trabajo)?

Solución Un grupo de 30 personas han sido entrenadas como

astronautas para ir en la primera misión a Marte. ¿Cuántas

maneras hay para seleccionar una tripulación de seis

personas para ir en esta misión (suponiendo que todos los

miembros de la tripulación tienen el mismo trabajo)?

El número de formas para seleccionar una tribulación de 6

desde las 30 personas es el número de 6-combinaciones de

un conjunto con 30 elementos, porque el orden en el cual

estas personas son elegidas no importa. El número de

combinaciones es:

C(30,6)= 30!/6!24! = 30*29*28*27*26*25/6*5*4*3*2*1 =

593,775

Ejemplo

¿Cuántas cadenas de bits de longitud n

contiene exactamente r 1’s?

La posición de r 1’s en una cadena de bits de

longitud n forman una r-combinación del

conjunto {1,2,3,…,n}. Existe C(n,r) de

cadenas de bits de longitud n que contiene

exactamente r 1’s.

Ejercicio

Suponga que hay 9 miembros de la facultad

de matemáticas y 11 de la facultad de

computación. ¿Cuántas formas existen para

seleccionar un comité para desarrollar un

curso de matemáticas discretas en una

escuela, si los comités consisten de tres

miembros de la facultad de matemáticas y

cuatro de la facultad de computación?

Ejercicio Suponga que hay 9 miembros de la facultad de

matemáticas y 11 de la facultad de computación.

¿Cuántas formas existen para seleccionar un

comité para desarrollar un curso de matemáticas

discretas en una escuela, si los comités consisten

de tres miembros de la facultad de matemáticas y

cuatro de la facultad de computación?

Por la regla del producto, el número de formas para

seleccionar el comité es

Teorema binomial

Sea x y y variables, y sea n un entero no

negativo. Entonces

Ejemplo:

Aplica el teorema binomial a:

(x+y)4

Aplica el teorema binomial a:

(x+y)4

Ejercicio

¿Cuál es el coeficiente de x12y13 en la

expansión de (x+y)25?

Ejercicio

¿Cuál es el coeficiente de x12y13 en la

expansión de (x+y)25?

Desde el teorema binomial, el coeficiente es:

Corolario

Sea n un entero no negativo. Entonces, si

Corolario 2

Sea n un entero positivo. Entonces:

Con x=-1 y y=1,

´Corolario

Sea n un entero no negativo. Entonces

Reconocemos que el lado izquierdo de la

fórmula es la expansión de (1+2)n

proporcionado por el teorema binomial.

Por lo tanto,

Identidad y Triángulo de Pascal

Identidad de Pascal, sea n y k enteros

positivos con n>=k. Entonces

Triangulo de Pascal, coeficientes binomiales

Identidad Vandermonde

Sea m, n y r enteros no negativos con r no

excediendo m o n. Entonces

Corolario. Si n es un entero no negativo,

entonces

Teorema

Sea n y r enteros no negativos con r <= n.

Entonces

Permutaciones y Combinaciones

Generalizadas

Los elementos pueden usarse más de una

ves.

Permutaciones con repetición

Ejemplo

¿Cuántas cadenas de longitud r se forman con el

alfabeto de letras mayúsculas en ingles?

Por la regla del producto, como hay 26 letras en ingles,

y porque cada letra se puede usar repetidamente, por lo

que hay 26r cadenas de letras mayúsculas en Ingles de

longitud r.

Teorema

El número de r-permutaciones de un

conjunto con repetición es nr.

Ejercicio

¿De cuántas formas diferentes se pueden

seleccionar 5 elementos en orden desde un

conjunto con 3 elementos cuando la

repetición se permite?

Solución

3*3*3*3*3 = 243

Ejercicio

¿Cuántas cadenas de 6 letras existen?

(considerando 26 letras)

Solución

266 cadenas

Ejercicio

¿Cuántas formas existen para asignar tres

empleos a 5 empleados si cada empleado

puede hacer más de un trabajo?

Solución

5*5*5=125

Combinaciones con repetición Ejemplo

¿Cuántas formas existen para seleccionar cuatro piezas de

fruta de un tazón que contiene manzanas, naranjas y peras;

si el orden en el cual las piezas seleccionadas no importa,

sólo el tipo de fruta y las piezas individuales no importan, y

existen al menos cuatro piezas de cada tipo de fruta en el

tazón?

Solución: Para solucionar este problema se listan las formas

posibles de seleccionar la fruta. Hay 15 formas:

4 manzanas 4 naranjas 4 peras

3 manzanas, 1 naranja 3 manzanas, 1 pera 3 naranjas, 1 manzana

3 naranjas, 1 pera 3 peras, 1 manzana 3 peras, 1 naranja

2 manzanas, 2 naranjas 2 manzanas, 2 peras 2 naranjas, 2 peras

2 manazas, 1 naranja, 1

pera

2 naranjas, 1 manzana, 1

pera

2 peras, 1 manzana, 1

naranja

Ejemplo

¿Cuántas formas hay para seleccionar 5

billetes de una caja que contienen billetes de

$1, $2, $5, $10, $20, $50 y $100? Asume

que el orden en el cual los billetes son

elegidos no importa, que los billetes de cada

denominación son indistinguibles, y que hay

al menos 5 billetes de cada tipo.

Contar 5-combinaciones con repetición

desde un conjunto con 7 elementos.

Solución Supóngase que la caja tiene 7 compartimientos, cada uno para almacenar cada

tipo de billete:

Estos compartimientos son separados por 6 divisiones. La elección de 5 billetes corresponde a colocar 5 marcas en los compartimientos manteniendo diferentes tipos de billetes.

Los 6 separadores son representados por barras y los 5 billetes por estrellas.

Solución

El número de formas de seleccionar 5 billetes corresponde al número de formar de ordenar 6 barras y 5 estrellas en una línea dando un total de 11 posiciones. Consecuentemente, el número de formas para seleccionar los 5 billetes es el número de formas para seleccionar la posición de las 5 estrellas desde las 11 posiciones. Esto corresponde al número de selecciones no ordenadas de 5 objetos en un conjunto de 11 objetos, que pueden hacerse de C(11,5) formas.

Entonces, hay

C(11,5) = 11! / (5!6!) = 464

formas de elegir 5 billetes desde una caja con 7 tipos de billetes.

Teorema

Hay C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1)

r-combinaciones de un conjunto con n

elementos cuando la repetición de elementos

se permite.

Ejercicio

Suponga que una tienda de venta de galletas

tiene 4 tipos diferentes de galletas. ¿Cuántas

formas diferentes se pueden elegir 6

galletas? Asume que solo el tipo de galleta, y

no la galleta individual o el orden en el cual

son elegidas, importa.

Solución

C(9,6) = C(9,3) = 9*8*7/1*2*3 = 84

Existen 84 formas diferentes para elegir las 6

galletas.

Ejercicio

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación,

x1 + x2 + x3 = 11

si x1, x2, y x3 son enteros positivos?

Para contar el número de soluciones, notamos que una solución corresponde a una forma de seleccionar 11 elementos desde un conjunto con 3 elementos así que x1 elementos de tipo uno, x2 elementos de tipo 2 y x3 elementos de tipo tres son elegidos. Así, el número de soluciones es igual al número de 11-combinaciones con repetición permitida desde un conjunto con tres elementos. Entonces:

C(3+11-1, 11) )=C(13,11) = C(13,2) = 13*12 / 1*2 = 78.

El número de soluciones de esta ecuación también se pueden encontrar cuando las variables están sujetas a restricciones.

Por ejemplo, podemos encontrar el número de soluciones donde las variables son enteros con x1 >=1, x2 >=2, y x3>=3.

Una solución a la ecuación sujeta a estas restricciones corresponde a una selección de 11 elementos con x1 elementos de tipo uno, x2 elementos de tipo 2, y x3 elementos de tipo 3, donde, además, existen al menos un elemento de tipo uno, dos elementos de tipo 2 y tres elementos de tipo 3.

Así, una solución corresponde a elegir de un elemento de tipo uno, dos de tipo dos y tres de tipo tres, junto con una elección de 5 elementos adicionales de cualquier tipo.

Por el teorema anterior, esto se puede hacer en C(3+ 5 -1, 5) = C(7, 5) = C(7, 2) = 7*6 / 1*2 = 21 formas.

Existen 21 soluciones de la ecuación sujeta a las restricciones dadas.

Ejemplo ¿Cuál es el valor de k después de la ejecución de la siguiente

sección de código?

Note que el valor inicial de k es 0 y que 1 es añadido en k cada ves que el ciclo anidado es recorrido con una secuencia de enteros i1, i2, …, im tal que 1 <= im <= im-1 <= … <= i1 <= n.

El número de tales secuencias de enteros es el número de formas para elegir m enteros de {1,2,.., n}, con repetición permitida. Utilizando el teorema, se obtiene que k= C(n+m-1, m) después de que el código fue ejecutado.

Ejercicio

¿Cuántas formas existen para seleccionar 3

elementos no ordenados desde un conjunto

con 5 elementos, cuando la repetición es

permitida?

Solución

C(3 + 5 -1 , 3) = C(7,3) = 35

Permutaciones con objetos indistinguibles

¿Cuántas cadenas diferentes se pueden formar al reordenar las letras de la palabra SUCCESS?

Como algunas de las letras de SUCCESS son las mismas, la respuesta no esta dada por el número de permutaciones de 7 letras. Estas palabras contienen tres Ss, dos Cs, una U, y una E. Para determinar el número de diferentes cadenas que pueden formarse al reordenar las letras, primero notamos que las tres Ss pueden colocarse en las siete posiciones es decir C(7,3) formas diferentes, dejando cuatro posiciones libres. Entonces las dos Cs pueden colocarse en C(4,2) formas, dejando dos posiciones libres. La U puede colocarse en C(2,1) formas, dejando sólo una posición libre. Consecuentemente, por la regla del producto, el número de diferentes cadenas que se pueden formar es:

Teorema 3

El número de diferentes permutaciones de n

objetos, donde hay n1 objetos indistinguibles

(idénticos) de tipo 1, n2 objetos

indistinguibles de tipo 2, …, y nk objetos

indistinguibles de tipo k, es

Objetos distinguibles y cajas distinguibles

Los objetos son cartas y las cajas son manos

de jugadores.

¿Cuántas formas existen para distribuir 5

cartas a cuatro jugadores, desde una baraja

de 52 cartas?

Teorema 4

El número de formas para distribuir n objetos

distinguibles en k cajas distinguibles así que

ni objetos son colocados en cajas i, i=1, 2,

…, k es igual a:

Otros ejemplos … Si se sientan 6 personas (A, B, C, D, E, F), alrededor de una mesa redonda, ¿cuántas

disposiciones (permutaciones) circulares distintas se pueden realizar si éstas se consideran iguales cuando una se puede obtener de otra por rotación?

Al considerar la figura a) y b), empezando en la parte superior del círculo y moviéndose en el sentido de las manecillas del reloj, se listan distintas disposiciones lineales ABEFCD y CDABEF, BEFCDA, DABEFC, EFCDAB y FCDABE, corresponden a la misma disposición circular que en a) o b).

Como cada disposición circular corresponde a 6 disposiciones lineales, se tiene que

6 * (número de disposiciones circulares de A,B,…, F) =

(número de disposiciones lineales de A, B, …, F)= 6!

En consecuencia, hay 6!/6 = 5!=120 disposiciones de A, B, …, F alrededor de la mesa circular.

Ahora, supóngase que las seis personas del ejemplo anterior son tres parejas, donde A, B y C son mujeres. Se quiere ordenar a las seis personas alrededor de la mesa de forma que se alternen los sexos. (Las disposiciones se consideran idénticas si una se puede obtener de la otra por rotación). Resolvamos el ejemplo anterior por otro método.

Si se coloca A en la mesa como se muestra la figura a), quedarán 5 lugares para ocupar. Ocupar estos lugares con B,C,…,F es el problema de permutar B,C,..,F linealmente, lo que puede hacerse de 5!=120 maneras.

Ahora situar a las 6 personas de forma que se alternen los sexos, considera A colocada en la figura b). La siguiente posición, a partir de A, se marca M1 (masculino) y puede colocarse de tres maneras. La posición F2 (femenino 2) puede ocuparse de 2 maneras. Procediendo de esta forma, por la regla del producto hay 3*2*2*1*1=12 maneras posibles de disponer a estas personas sin que dos hombres o dos mujeres se sienten juntos.