Estadística. Sesión 7: Probabilidad. Tercera parte.

Contextualización

En la presente sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de

conteo, mayormente utilizadas en la probabilidad, como lo son las

permutaciones y combinaciones.

Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de las

técnicas en cada uno de los experimentos realizados en la

probabilidad.

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Smm7jbht22I/AAAAAAAAAdA/rQxJB4fD9jI/s400/terminado+en+0.JPG

Introducción

.

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-3SR7T-Pm0cs/TcemQSOoMOI/AAAAAAAAAJA/wCmpGJgmg_8/s320/combinatoria.jpg

Seguimos con el tema de Probabilidades.

Ya estudiamos Espacio/Muestra, Eventos

compuestos, Leyes de probabilidad, Ley

de Bayes. Ahora solamente resta por

analizar dos subtemas: Conteo de puntos

muestrales y Combinación y permutación.

Así que los invitamos a que continúen

atentos a cada uno de los ejercicios.

¿Qué son las técnicas de conteo en

probabilidad?

¿Cuál es la diferencia entre permutar y

combinar?

Al asignar probabilidades es necesario

saber identificar y contar los resultados

experimentales.

Explicación

Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Principio fundamental del conteo

Si una operación puede realizarse en m1 formas, y si por cada una de éstas una segunda operación puede realizarse en m2 formas y una k-esima operación puede realizarse en mk formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a cabo juntas en m1xm2x……mk formas.

Explicación

Regla de conteo para las Combinaciones

Permite contar el número de resultados experimentales cuando el

experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto

(usualmente mayor) de n objetos en donde el orden en que están

dispuestos los objetos no importa.

El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es:

𝐶𝑟𝑛 =

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

La notación “!” significa factorial.

Explicación

Ejemplo: Si de un grupo de 8 personas se van a seleccionar 4 para

un comité de representación en donde todas ostentan el mismo

cargo, ¿cuántos grupos diferentes de 4 representantes se pueden

formar?

Solución. En este caso n=8 y r=4 y como cada elemento tiene el

mismo cargo, entonces:

𝐶48 =

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !=

8!

4! 8−4 !=

40320

(24)(24)= 70

Se forman 70 diferentes grupos de 4 representantes.

Explicación

Regla de conteo para las Permutaciones

Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.

El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por:

𝑃𝑟𝑛 = 𝑟!

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑛−𝑟 !

Explicación

Ejemplo. Si se va a integrar un código con 5 letras diferentes,

partiendo de un conjunto de 6 caracteres disponibles de la A -

F. ¿Cuántos códigos es posible generar?

Solución. En este caso n = 6 (Cantidad de letras de la A - F) y r

= 5 y como cada orden es un código diferente, entonces se

trata de una permutación.

𝑃56 =

𝑛!

𝑛−𝑟 !=

6!

6−5 !=

720

1= 720

Son 720 códigos diferentes que se generan.

Explicación

Probabilidad usando técnicas de conteo

Es factible usar técnicas de conteo vistas anteriormente para el cálculo de probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo.

La regla que se sigue es la siguiente:

𝑃 𝐴 =𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐴

𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

Ejemplo. Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de importación. Si se toman 4, ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean de importación?

Explicación

Solución:

Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones:

Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k de

elementos que cumplen con cierta característica.

De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha

característica en una muestra de tamaño n.

Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente

manera:

𝑃 𝑥 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 =𝐶𝑛−𝑥

𝑁−𝑘×𝐶𝑥𝑘

𝐶𝑛𝑁

Explicación

Por lo tanto, N = 20 Total de población,

k= 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica,

n=4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica,

x= 4 elementos que cumplen con dicha característica.

𝑃 𝑥 = 4 =𝐶0

16×𝐶45

𝐶420

Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta

multiplicación de combinaciones.

Efectuando las operaciones indicadas, tenemos que

P(x=4)=(1)(5)/4845=0.000103

Conclusión

En la presente sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más

utilizadas, como son las permutaciones y combinaciones, recordando que la

diferencia entre ellas es que en la primera sí importa el orden que se va a

realizar y en la segunda no interesa ese orden.

En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de

probabilidad para variables aleatorias.

Fuente: http://www.hrc.es/bioest/normal3.gif

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Técnicas de Conteo. (s/f). Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf

Hernández, J. (s.f.). Técnicas de Conteo. En Instituto Tecnológico de Apizaco. Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%20de%20conteo.pdf

Video con la explicación de las Técnicas de conteo: permutaciones y combinaciones.

Diferencia entre permutación y combinación. (2011). Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=fUuDW7ky5j8

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.