UNIDAD 3 Aplic de ECU. DIF. 1er Orden Formato Del Libro

de 43 04/07/2013 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

UNIDAD 3 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CONTENIDO 3.1 INTRODUCCIÓN 3.2 APLICACIONES EN GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.2.1 Trayectorias Ortogonales. 3.2.2Trayectorias Oblicuas. 3.2.3 Ejercicios Propuestos 3.3 APLICACIONES EN FÍSICA MECÁNICA 3.3.2 Movimientos de cuerpos sin considerar la resistencia del aire 3.3.3 Movimientos de cuerpos considerando la fuerza de resistencia producida por el aire. 3.3.4 Movimientos de cuerpos donde se incluye la fuerza producida por el rozamiento con

otros cuerpos. 3.3.5 Movimientos de cuerpos donde su masa es variable. 3.4 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO. 3.4.1 Crecimiento y Decaimiento Naturales. 3.4.2 Enfriamiento y Decaimiento. 3.5 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE MEZCLAS. 3.6 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS. 3.6.1 Circuito eléctrico conformado por resistencia, inductancia y fuente de voltaje

conectadas en serie 3.6.2 Circuito eléctrico conformado por resistencia, capacitancia y fuente de voltaje

conectadas en serie 3.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROPUESTOS Y DESARROLLADOS CON

UNIDADES EN EL SISTEMA MKS


UNIDAD 3

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1 INTRODUCCIÓN.

Muchas son las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Sin temor a equivocarse, se

podría indicar que en la mayoría de los fenómenos de la vida real ya sea física,

sociológica, económica o problemas de ingeniería, se podrá predecir sus resultados ante

ciertas excitaciones o estímulos de entrada, mediante el desarrollo del modelo

matemático o de las ecuaciones diferenciales. Los Modelos Matemáticos utilizados en la

descripción de fenómenos tales como desintegración radiactiva, crecimiento de

poblaciones, reacciones químicas, enfriamientos de cuerpos, problemas de geometría

analítica, velocidad de un cuerpo en caída, corriente y voltaje en circuitos eléctricos, son a

menudo ecuaciones diferenciales de primer orden.

En esta unidad se estudiará la forma de cómo efectuar la conversión de la situación física

dada al modelo matemático, en aplicaciones sencillas que arrojan ecuaciones

diferenciales de primer orden, el desarrollo de las ecuaciones y el análisis de los

resultados.

Las situaciones físicas aquí presentadas, serán de fácil interpretación asimilación y

solución, de tal forma que le puedan servir de referencia al estudiante en los procesos

de investigación o de aplicación en la vida real. En todo caso, es necesario advertir, que

ningún modelo es perfecto y por lo tanto su validez tiene limitaciones; el modelo ideal es

aquel que representa el comportamiento fundamental del fenómeno, e ignora los aspectos

secundarios, sin embargo, este modelo es una aproximación al fenómeno real.

3.2 APLICACIONES EN GEOMETRÍA ANALÍTICA

Por medio de la solución de ecuaciones diferenciales se puede hallar la ecuación de una

curva uniparamétrica a partir de otra que interseca a la primera formando un

determinado ángulo.

3.2.1 Trayectorias Ortogonales. Dada una familia uniparamétrica de curvas en el plano

x.y, recibe el nombre de trayectoria ortogonal a una nueva familia que interseca a la

familia dada formando un ángulo recto

3.2.1.1 Procedimiento Para Determinar La Ecuación De La Trayectoria Ortogonal

A) A partir de la ecuación dada, F(x,y,c) = 0, se obtiene la derivada de y con respecto a x;

dx

dy = f( x , y ) = m1 , pendiente de la curva dada. Sí la primera derivada queda en función de

una constante, ésta debe ser reemplazada por su equivalente en función de las variables

iniciales, obtenida a partir de la ecuación dada.


B) Se sustituye la derivada por su recíproca negativa; dx

dY= -

y)(x,f

1 = G( x , Y ) = m2 que

corresponde a la ecuación de la derivada para la trayectoria ortogonal, o pendiente de la trayectoria ortogonal

C) Se desarrolla la ecuación diferencial para obtener; G( x , Y , c ) = 0 , o, Y = g( x , c ) , que

corresponde a la familia uniparamétrica ortogonal a la familia dada. Ejemplo: Hallar la trayectoria ortogonal a la familia de curvas de la parábola:

y = C x2 ; y = f( x , c)

1) Derivando la ecuación de la familia dada, tendremos: dx

dy = 2 C x , como la primera

derivada queda en función de C, ésta se determina de la ecuación dada y se reemplaza en su primera derivada, esto es: De la ecuación dada C =, que reemplazando en la

primera derivada quedará: dx

dy = 2

x

y

2) Sustituyendo la primera derivada por su recíproca negativa: dx

dY = -

Y 2

x

Nota: se advierte que la nueva variable en la ordenada es Y

3) Desarrollando la ecuación diferencial resultante, tendremos: Separando las variables en la nueva e, la ecuación diferencial: 2 Y dY = - 2 x

Tomando integrales a ambos lados de la ecuación diferencial: dY Y 2 = dxx -

Desarrollando los integrales, la ecuación de la curva ortogonal quedará:

Y2 = - 2

x 2

+ C1 , la cual se puede transformar, dividiendo la ecuación por 2 y

agrupando todos los términos resultantes a un solo lado de la ecuación:

2

Y 2

+ 2

x 2

= 2

C1 ; 2

Y 2

+ 2

x 2

= C2 , que corresponde a la familia de curvas de la

elipse, Notación de la ecuación: G ( x , Y , C) = 0 3.2.2Trayectorias Oblicuas. Dada una familia uniparamétrica de curvas en el plano x.y,

recibe el nombre de trayectoria Oblicua a una nueva familia que interseca a la familia

dada formando un ángulo determinado diferente de 90º.

Para la gráfica de la fugura 3.1:

Sea m1 la tangente a la gráfica de la familia dada en el punto de cruce. m1 = y´ = f( x y)

Sea m2 la tangente a la gráfica de la familia oblicua, a determinar, en el punto de cruce.

m2 = Y ´

= g( x Y )

Sea θ el ángulo entre las dos rectas tangentes.


Por lo tanto: tan(θ) = 12

12

m m 1

m - m

De donde despejamos, m2 = 1

1

m ) tan(- 1

m )tan(

3.2.2.1 Procedimiento Para Determinar La Ecuación De La Trayectoria Oblicua El procedimiento para obtener la trayectoria oblicua es idéntico al proceso inmediatamente anterior, excepto el paso Nº 2 , en donde se sustituye la recíproca negativa por la fórmula siguiente:

dx

dY =

y) , x (

)y , x (

f ) tan(- 1

f )tan(

= m2 = Y

´ = g( x Y )

Nota: Sí el ángulo θ fuere igual a 90º, entonces la fórmula quedaría igual a la de la

trayectoria ortogonal, esto es: Tan(90º) = ∞ y la fórmula quedará: dx

dy= -

y)(x,f

1

Ejemplo: Hallar la familia de trayectorias oblicuas que corte a la familia de rectas, y = C x , formando un ángulo de 45º. 1. Derivando la ecuación obtendremos la pendiente de la ecuación en el punto de cruce:

m1 = dx

dy = C, como la primera derivada queda en función de C, ésta se determina a

partir de la ecuación dada y se reemplaza en la primera derivada, esto es: C = x

y ,

por lo tanto: m1 = dx

dy =

x

y = f( x , y )

2. Se determina la ecuación de la pendiente o tangente en el punto de cruce de la

trayectoria oblicua, por medio de la fórmula siguiente: dx

dY =

y) , x (

)y , x (

f ) tan(- 1

f )tan(

,

donde Y es la nueva variable en las ordenadas

Figura. 3.1

m1 = y´ = f( x y )

m2 = Y ́= g( x Y )

θ

TRAYECTORIA

FLIA OBLICUA

G ( x , Y , C) = 0

TRAYECTORIA

FLIA DADA

F(x, y , c) = 0


Por lo tanto: dx

dY =

x

y )º45 tan(- 1

x

y )º45tan(

= m2 = Y ´

=

)x

Y( 1 - 1

)x

Y( 1

= g( x Y ) , o sea que, la

ecuación diferencial de la curva oblicua será: dx

dY =

)x

Y( - 1

)x

Y( 1

.

3. Desarrollando la ecuación diferencial resultante, tendremos:

a) Efectuando un cambio de variables: Hacemos U = x

Y, entonces

dx

dY= x

dx

dU+ U

b) Reemplazando la nueva variable en la ecuación diferencial quedará:

x dx

dU+ U =

U- 1

U 1

c) Simplificando la nueva ecuación diferencial, separando las variables e integrando a

ambos lados de la ecuación, tendremos: x dx

dU =

U- 1

U 1 2 ;

x

dx =

) U (1

dU U)- (12

;

) U (1

dU U)- (12

= x

dx + C1

Utilizando fracciones parciales para resolver la integral de la izquierda tendremos:

) U (1

dU 2

- ) U (1

dU U2

= x

dx + C1 ; Tan – 1(U) -

21 Ln(1 + U2) = Ln( x ) + C1

Simplificando la ecuación de la trayectoria oblicua, quedará:

U = Tan ( Ln (C1 x U 1 2 ) ). Reemplazando las variables anteriores, tendremos:

x

Y = Tan ( Ln (C1 Y x 22 ) ), que volviendo a la variables iniciales, la ecuación de

la trayectoria oblicua a la familia de rectas dada, quedará:

x

y = Tan ( Ln (C1 y x

22 ) )


3.2.3 Ejercicios Propuestos

PROBLEMAS SOBRE TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS

1. Hallar la trayectoria ortogonal a la familia de círculos dada por: X2 + Y2 = C

2. Hallar la trayectoria ortogonal a la familia de rectas dada por: Y = C X

3. Hallar la trayectoria ortogonal a la familia de parábolas dada por: Y = C X2

4. Hallar la trayectoria ortogonal a la familia de curvas expresadas por: Cx Cos(y) = C

5. Hallar la trayectoria oblicua de una familia que corte a la familia de rectas dada por:

Y = C X, formando un ángulo de 45º.

6. Hallar la trayectoria oblicua de una familia que corte a la familia de círculos dada

por: X2 + Y2 = C, formando un ángulo de 45º.

7. Hallar el valor de n, para que la curva Xn + Yn = C1, sea la trayectoria ortogonal de:

Y = X) C - (1

X

2

3.3 APLICACIONES EN FÍSICA MECÁNICA

Las aplicaciones en mecánica son problemas que incluyen movimientos de cuerpos a los cuales hay que determinar su aceleración, velocidad y distancia o posición de acuerdo a unos ejes coordenados, las cuales son cantidades vectoriales que varían con el tiempo. 3.3.1 Modelos Matemáticos FUNCIONES BÁSICAS 1, DISTANCIA O POSICIÓN EN EL PLANO CARTESIANO.

Iniciamos con asignarle a la distancia o posición en el plano cartesiano una letra como símbolo matemático y más específicamente minúscula si es variable o mayúscula si es constante. x , y , s, son las letras más utilizadas para representar una distancia variable, que

normalmente dependen del tiempo, ejemplos: x = f (t) ; x(t) , y = f(t) ; y(t) , s = f(t) ; s(t) , estas cantidades variables reciben el nombre de funciones X , Y , S, son las letras más utilizadas para representar una distancia constante. 2 VELOCIDAD:

v , es la letra más utilizada para representar una velocidad variable, que normalmente

depende del tiempo, ejemplo: v = f(t) ; v (t) , esta cantidad variable recibe el nombre de

función. V es la letra más utilizada para representar una velocidad constante o instantánea. 3 ACELERACIÓN:

a, es la letra más utilizada para representar una aceleración variable, que normalmente depende del tiempo, ejemplo: a = f(t) ; a(t) , esta cantidad variable recibe el nombre de

función. A es la letra más utilizada para representar una aceleración constante o instantánea. OPERADORES MATEMÁTICOS


1. DIFERENCIAL:

Para las cantidades variables, el incremento finito se representa por : Δx , Δy , Δy Para las cantidades variables, el incremento infinitesimal o diferencial se representa por : dx , dy , ds 2. DERIVADA:

Se considera la derivada de una función como la razón de cambio de la función con

respecto a otra función, ejemplos: La derivada de y con respecto a x; dx

dy. La derivada

de s con respecto a t; dt

ds

Ejemplos de derivadas: Velocidad o rapidez es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo:

dt

dx ;

dt

dy ;

dt

ds

Aceleración es la rapidez con que cambia la velocidad: dt

dv =

2

2

dt

dx =

2

2

dt

dy =

2

2

dt

ds

3. ECUACIÖN DIFERENCIAL:

El modelo matemático fundamental en las aplicaciones de Ingeniería son las derivadas, por lo tanto, las ecuaciones diferenciales, que encierran cantidades variables, constantes y derivadas, hacen que el modelo matemático que permite predecir el comportamiento de los fenómenos sea la Ecuación Diferencial. La ecuación diferencial para esta clase de problemas de física mecánica, se obtiene a partir de la segunda Ley de Newton, aplicada a los diagramas de cuerpo libre, donde se consideran las fuerzas que actúan sobre los cuerpos en movimiento.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: Dice: la derivada de la cantidad de movimiento es

proporcional a la fuerza total que actúa sobre un cuerpo en movimiento. O sea: dt

) (m d v =

K FT , donde: m: es masa del cuerpo ; v : es la velocidad del cuerpo ; t : es el tiempo ; FT : es la

fuerza total sobre el cuerpo y K : es una constante de proporcionalidad. Se considera para muchos casos que K es igual a uno y que la masa del cuerpo es constante, por lo tanto, la segunda Ley de Newton se puede reescribir como:

dt

d m

v = FT o FT = m x a y el enunciado muy utilizado es: La fuerza total que actúa

sobre un cuerpo en movimiento es igual al producto vectorial de su masa por la velocidad.


UNIDADES UTILIZADAS EN LOS MODELOS MATEMÁTICOS:

En la tabla siguiente se presentan las principales unidades utilizadas en los problemas de aplicación a la física mecánica.

SISTEMA DE UNIDADES

INGLES MKS – SISTEMA INTERNACIONAL

CGS

FUERZA LIBRA NEWTON DINA MASA SLUG (UTM) KILOGRAMO GRAMO

DISTANCIA PIE METRO CENTÍMETRO

TIEMPO SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO

ACELERACIÖN PIE/SEG2

MET/ SEG2 CMT/ SEG

2

GRAVEDAD 32 PIE/SEG2 9.8 MET/ SEG

2 980 CMT/ SEG2

EQUIVALENCIAS: 1 milla = 5280 pies ; 1 pie = 0.3048 mts. ; 1 milla = 1609.34 mts. = 1.60934 Kmts. 3.3.2 Movimientos de cuerpos sin considerar la resistencia del aire. 3.3.2.1 Movimiento Vertical. Esta clase movimientos también es considerado como CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS, el cual es un movimiento donde no se considera las fuerzas producidas por la resistencia con el aire ni el rozamiento con otros cuerpos, la única fuerza considerada es la producida por la atracción de la tierra o aceleración de la gravedad, por lo tanto los modelos matemáticos si el eje de las Y es positivo hacia arriba

son: m dt

dv = - w o m

2

2

dt

yd = - w

Problemas Propuestos: 1. Una pelota es arrojada hacia arriba desde el nivel del suelo. Su velocidad inicial es 160 pie/seg.. ¿ Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota y cuanto tiempo permanece en el aire? 2. Una bomba es dejada caer desde un globo suspendido a una altitud de 800 pies, Un cañón dispara un proyectil directamente hacia arriba, en dirección contraria a la caída de la bomba, 2 segundos después de que la bomba es soltada. ¿Con qué velocidad debe ser lanzado el proyectil de modo que intercepte la bomba a una altura exactamente de 400 pies? Respuesta: (181.3 pie/seg.) 3.3.2.2 Movimiento Horizontal. Sí no se considera la fuerza producida por la resistencia del aire, el movimiento puede ser perenne, ya que no existe fricción, por lo tanto, éste movimiento resulta ser teórico. Al existir una fuerza externa que lo mueva en la dirección indicada, resulta un movimiento de aceleración uniforme o constante y la velocidad aumentará si la aceleración tiene el mismo sentido que el del movimiento. 3.3.3 Movimientos de cuerpos considerando la fuerza de resistencia producida por el aire. Sí al movimiento de caída libre, analizado en el punto inmediatamente anterior, le consideramos la fuerza que produce el rozamiento del cuerpo con el aire, el modelo matemático debe ser más detallado. Tan pronto como el cuerpo inicia su movimiento, aparece sobre el cuerpo una fuerza en dirección contraria a la de su movimiento, que es producida por el rozamiento del mismo


cuerpo con el aire. Esta fuerza algunas veces es proporcional a la velocidad del cuerpo y algunas veces es proporcional a su velocidad al cuadrado. 3.3.3.1 Movimiento Vertical. A continuación se presenta una tabla donde se indica el diagrama de cuerpo libre y se establece el modelo matemático para el movimiento vertical dependiendo de la asignación de los ejes, del movimiento ascendente del cuerpo, del movimiento descendente del cuerpo y de si la fuerza producida por la resistencia del aire es proporcional a la velocidad o a la velocidad al cuadrado.

MODELOS MATEMÁTICOS QUE REPRESENTAN A MOVIMIENTOS DE CUERPOS DONDE SE INCLUYE LA FUERZA PRODUCIDA POR LA RESISTENCIA DEL AIRE EN EL MOVIMIENTO VERTICAL

1 Fuerza de resistencia producida por el rozamiento con el aire es proporcional a la velocidad, fR = K v

EJE POSITIVO HACIA ARRIBA EJE POSITIVO HACIA ABAJO Movimiento Ascendente Movimiento Ascendente

m dt

dv = - w – fR (Fuerzas)

dt

dv = - g –

m

K v (Aceleración)

m dt

dv = w + fR (Fuerzas)

Incluyendo el signo (-) de la velocidad

dt

dv = g -

m

K v (Aceleración)

Movimiento Descendente

Movimiento Descendente

m dt

dv = - w + fR (Fuerzas)

Incluyendo el signo (-) de la velocidad

dt

dv = - g –

m

K v (Aceleración

y

y w fR v(+) w fR v(-)

fR

w v(-)

fR

w v(+)


2. Fuerza de resistencia producida por el rozamiento con el aire es proporcional a la velocidad al cuadrado, fR = K v2

EJE POSITIVO HACIA ARRIBA EJE POSITIVO HACIA ABAJO

Movimiento Ascendente Movimiento Ascendente

m dt

dv = - w – fR (Fuerzas)

dt

dv = - g –

m

K v

2 (Aceleración)

m dt

dv = w + fR (Fuerzas)

dt

dv = g +

m

K v

2 (Aceleración)

Movimiento Descendente Movimiento Descendente

m dt

dv = - w + fR (Fuerzas)

dt

dv = - g +

m

K v

2 (Aceleración)

m dt

dv = w – fR (Fuerzas)

dt

dv = g –

m

K v

2 (Aceleración)

3.3.3.1.1 Ejercicios Propuestos 1. Una pelota que pesa 6 lb se lanza verticalmente hacia la superficie terrestre desde una altura de 1000 pies con una velocidad de 6 pies/seg. A medida que cae actúa sobre ella la

resistencia del aire que es numéricamente igual a (2/3) v (en libras), donde v es la

velocidad en pie/seg. a) ¿Cuál es la velocidad y distancia recorrida al final de un minuto? b) Con qué velocidad choca la pelota contra la tierra?. Respuestas: a) 539.16 pies ; b) 2. Una piedra que pesa 4 lb cae desde el reposo hacia la tierra de una gran altura. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a (1/2)

v (en libras), donde v es la velocidad en pie/seg. a) Determinar la velocidad y la distancia

recorrida después de t segundos b) Determinar la velocidad y la distancia recorrida después de 5 segundos. c) Determinar la velocidad límite. 3. Una pelota que pesa ¾ de libra se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra a 6 pies de la superficie terrestre y con una velocidad de 20 pies/seg. A

y

y w fR v(+) w fR v(-)

fR

w v(-)

fR

w v(+)


medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual

a (1/64) v (en libras), donde v es la velocidad en pie/seg. ¿ A qué altura llegará la pelota?.

Respuesta: 10 pies. 4. Una flecha es disparada directamente hacia arriba al nivel del suelo con una velocidad

inicial Vo = 288 ft/seg2. Considérese la resistencia del aire, como FR = ρ v, con ρ = 0.04.

¿Cuál será la máxima altura alcanzada y cuando la alcanzará? ¿ Cuando y con qué golpeará al piso?. Respuestas: 1050 pies, 7.69 seg. , 16.25 seg. , -232 ft/seg. 5. Una mujer salta en paracaídas desde una altura de 10 000 pies y cae libremente durante 20 segundos antes de abrir el paracaídas. ¿ Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo? Supóngase ρ = 0.15 con el paracaídas cerrado y ρ = 1.5 con el paracaídas abierto

para una fuerza de rozamiento FR = ρ v2.

6. Un hombre salta en paracaídas desde una altura de 10 000 pies y cae libremente con el paracaídas cerrado durante 30 segundos. ¿Cuál es la altitud y la velocidad del hombre cuando abre el paracaídas? Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo; supóngase ρ = 0.00075 con el paracaídas cerrado y ρ = 0.075 con el paracaídas abierto. Respuestas:

altitud = 4727 , v = 206.5 pies/seg. tiempo = 258 seg.

7. Supóngase que una flecha de ballesta es disparada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 288 ft/seg. Supóngase que la resistencia del aire es proporcional al

cuadrado de la velocidad, FR = ρ v2, con ρ = 0.0002. Encuéntrese la máxima

altura que alcanza la flecha y el tiempo durante el cual asciende. Calcúlese el t iempo de descenso de la flecha y la velocidad con la que ésta golpea al suelo. Respuestas: 1 044 pies ; 7.79 seg. ; 8.361 seg. ; 233 pies/seg. 3.3.3.2 Movimiento Horizontal. Para que un cuerpo tenga movimiento horizontal, cuando se considera la fuerza producida por la resistencia del aire, se hace necesario que exista una fuerza externa diferente a la fuerza producida por la aceleración de la gravedad, en este caso, la aceleración del cuerpo puede ser negativa o positiva. Sin embargo, puede existir que un cuerpo tenga movimiento horizontal con aceleración negativa en el caso de que el cuerpo halla iniciado el movimiento por algún impulso que se le imprimió, el cual se traduce en velocidad inicial diferente de cero y después solo aparezca la fuerza producida por el rozamiento con el aire a medida que el cuerpo se mueve. MODELO MATEMÁTICO: Para un cuerpo que se mueve en la dirección del eje x positivo, considerando solamente la fuerza producida por la resistencia del aire y la fuerza externa que la mueve, el diagrama de cuerpo libre t su modelo matemático están definidos por: Fuerzas Aceleraciones

m dt

xvd = Fext – FR ;

dt

xvd =

m

Fext - m

FR

vx (+)

Fext FR


3.3.3.2.1 Ejercicios Propuestos.

1. Un bote de motor parte del estado de reposo (v(0) = 0). Su motor le proporciona una

aceleración constante de 4 pies/seg2, pero la resistencia del agua ocasiona una

desaceleración de 400

2v

ft/seg2. Encuéntrese la velocidad cuando el tiempo es igual a 10

segundos y determine la velocidad límite. Respuestas: v(x) = 40 tanh(1) ; v( 10 seg.) = 30.46 ft/seg ; Velocidad límite = 40 ft/seg. 2. Las marcas del derrape de un automóvil indican que los frenos fueron plenamente aplicados durante una distancia de 225 ft antes de que llegara a detenerse. Se sabe que el carro en cuestión tiene una desaceleración constante de 50 ft/seg2. ¿A qué velocidad iba el auto cuando se le aplicaron los frenos. 3. Dos personas viajan en un bote y el peso combinado de las dos personas, el motor y el bote con su equipo, es de 640 lb. El motor ejerce una fuerza constante de 20 lb sobre el bote en la dirección del movimiento, mientras que la resistencia del aire (en libras), es

numéricamente igual a 1.5v, donde v es la velocidad en pies/seg. Sí el bote parte del

reposo, calcule la velocidad del bote después de: a) 20 segundos , b) 1 minuto. Respuestas: 10.36 pies/seg. , 13.19 pies/seg. 4.Un bote que pesa 150 lb transporta a una sola persona que pesa 170 lbs, está siendo remolcado en una cierta dirección a razón de 20 mph. En el instante t = 0 la cuerda del remolque se suelta repentinamente y el pasajero empieza a remar en la misma dirección ejerciendo una fuerza equivalente a una fuerza constante de 12 lb en esta dirección. La resistencia (en libras) es numéricamente igual a dos veces la velocidad en pies por segundo. a) Calcule la velocidad del bote 15 segundos después de que la cuerda del remolque se

soltó. b) ¿Cuántos segundos después de que la cuerda del remolque se soltó, la velocidad será la mitad de la velocidad que el bote llevaba cuando era remolcado. 3.3.4 Movimientos de cuerpos donde se incluye la fuerza producida por el rozamiento

con otros cuerpos. Así como se consideró la fuerza de la resistencia producida por el rozamiento con el aire en el movimiento horizontal, también se puede considerar la fuerza de rozamiento producida por otros cuerpos, en particular la fuerza producida por la superficie sobre la cual se mueve el cuerpo, sumándola a la anterior, ya que ésta también se presenta en dirección contraria a la dirección del movimiento del cuerpo. La fuerza de rozamiento producido por la superficie donde se mueve el cuerpo es proporcional al peso del cuerpo: Froz = ρ w, por lo tanto los modelos matemáticos de fuerza y aceleración correspondiente quedarán: Fuerzas Aceleraciones

m dt

xvd = Fext – FR ;

dt

xvd =

m

Fext - m

FR

vx (+)

Fext

FR

Froz


Ejercicio propuesto: Desde la parte superior de un plano inclinado, que está formando un ángulo de 30º respecto al plano horizontal, se abandona un objeto que parte del reposo y su peso es de 48 libras. La resistencia del aire es (en libras) numéricamente igual un medio de la velocidad en pies/seg. y el coeficiente de rozamiento es de ¼. Determine: a) La velocidad del objeto al cabo de 2 segundos de ser abandonado. b) Sí la longitud del plano es de 24 pies, ¿Cuál es la velocidad de llegada en la parte horizontal? 3.3.5 Movimientos de cuerpos donde su masa es variable. Modelo Matemático: Para un vehículo espacial, cuya masa inicial mo incluye una cantidad sustancial de combustible que se consume durante el vuelo, es necesario considerar el cambio de la masa del vehículo. Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento en este caso, debemos tomar en cuenta la cantidad de movimiento del cohete y la de los gases expulsados producidos por el consumo de combustible.

Se supone que los gases de escape son expulsados del vehículo a una velocidad constante U, relativa al vehículo, y que la

masa total del sistema Vehículo-combustible es constante e igual a mo. Por otro lado, la masa del vehículo en cualquier instante es mveh(t) = mo - mc(t) , en donde mc es la masa del combustible que se escapa y se consume a una rapidez constante β, o sea que : mc(t) = β t, luego, m = mo - β t

De acuerdo con la segunda Ley de Newton: FT = dt

) (m d v , por lo tanto,

- mveh g = dt

) (m d veh v.

Reemplazando los valores de masa y respectivas velocidades y derivando tendremos:

-( mo - β t) g = ( mo - β t) dt

d v+ U

dt

m d ; -( mo - β t) g = ( mo - β t)

dt

d v- U β

Simplificando la ecuación quedará: dt

d v = - g +

t) - (mo

u , que separando variables e

integrando, tendremos: v(t) = - g t – U ln(mo - β t) + K, donde k es la constante de

integración. 3.4 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO.

Una gran variedad de aplicaciones se encuadran dentro del tipo de ecuaciones diferenciales que se presentan en esta sección. Se trata de problemas en donde la rapidez con que varía una sustancia o magnitud es proporcional a la cantidad presente de la sustancia o magnitud respectivamente. Por lo general, el enunciado de los problemas presenta su propio modelo matemático. 3.4.1 Crecimiento y Decaimiento Naturales.

w = mveh g

y

v(-)


Retrata de problemas donde la sustancia o magnitud puede crecer o disminuir (cambiar en general) utilizando un proceso de cambio natural. Nota: Sí el cambio es producido por un efecto externo(no natural) habrá que modificar el modelo para cada caso. MODELO MATEMÁTICO:

Sea x la cantidad de sustancia o magnitud para un instante t de tiempo, entonces,

td

xd, será la rapidez con que varía la sustancia o magnitud, o la razón de cambio de la

sustancia con respecto al tiempo, o el coeficiente de variación instantánea que cambia o se desintegra. El modelo matemático que se presenta para esta clase de problemas quedará

representado por: t d

x d = K x, en donde K es la constante de proporcionalidad.

3.4.1.1 COEFICIENTE DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. El coeficiente de variación instantánea con que se desintegran núcleos radiactivos es proporcional al número de tales núcleos presentes en una muestra dada. La mitad del número original de núcleos radiactivos se ha desintegrado en un periodo de 1500 años. 1) ¿Qué porcentaje de los núcleos radiactivos originales quedará al cabo de 4500 años? 2) ¿Cuántos años tardará en reducirse a una décima parte el número original de núcleos. Respuestas: a) 12.5 % , b) 4985 años. 3.4.1.2 RAPIDEZ CON QUE SE DESINTEGRAN NÚCLEOS RADIACTIVOS (DESINTEGRACIÓN).

1. Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio U238 (cuya vida media es de 4.51 x 109 años), pero no plomo, producto final de la desintegración del U238. Sí la proporción actual de los átomos del U238 al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9 , cuándo ocurrió el cataclismo? Respuesta: 4.86 x 109 años.

2. En cierta roca lunar se encontró igual contenido de átomos de potasio que de argón, suponga que todo el argón es el resultado de la desintegración del potasio(cuya vida media es de 1.28 x 109 años) y que uno de cada nueve átomos de potasio desintegrados producen un átomo de argón. ¿Cuál es la edad de la roca, contada desde el tiempo en que contenía potasio únicamente? 3. (Fechado por radio carbono). EL carbono extraído de un cráneo antiguo contenía solamente una sexta parte del carbono C14 extraído de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? Nota: Cuando un ser vivo muere, el proceso de desintegración radiactiva comienza a agotar su contenido de C14 y en consecuencia, la razón de C14 al carbono normal comienza a decrecer. K = 0.0001216 según Penney


3.4.1.3 RAPIDEZ CON LA CUAL CAMBIA UNA SUSTANCIA. Una reacción química convierte un cierto compuesto en otro, siendo la razón de conversión del primer compuesto proporcional a la cantidad de éste presente en cualquier instante. Al cabo de una hora quedan 50 gramos del primer compuesto, mientras que al cabo de 3 horas solamente quedan 25 gramos. a) ¿Cuántos gramos del primer compuesto existían inicialmente? b) ¿Cuántos gramos del primer compuesto quedarán al cabo de 5 horas? c) ¿En cuántas horas quedarán solamente 2 gramos del primer compuesto? Respuestas: a) 70.71 gramos , b) 12.5 gramos , c) 10.29 horas. 3.4.1.4 CRECIMIENTO DE CAPITAL (Interés Compuesto). 1. Se dice que una cantidad de dinero invertido produce interés compuesto continuo, sí la cantidad de dinero aumenta a una razón que es proporcional a la cantidad presente. Supongamos que se invierten $1000 a un interés compuesto con un interés anual de 6%. a) ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 10 años de haber invertido la cantidad original? b) ¿Cuántos años tardará en doblarse la cantidad inicial? Respuestas: a) 1822.1 $ b) 11.52 años. 2. Una deuda de $ 100000 por un automóvil va a ser pagada continuamente mediante una cuota mensual y por un período de 60 meses. Determine el pago mensual requerido sí la tasa de interés anual es de a) 12% , b) 15%. Respuestas: a) 2 216.3 $ b) 2 369.06 $ 3.4.1.5 CRECIMIENTO DE POBLACIONES (índices de natalidad y mortalidad normales). 1. Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población de 30000 habitantes en 1970 . Suponiendo que su población continúe creciendo constante, ¿Qué población pueden esperar los urbanistas que tenga la ciudad en el año 2000? Respuesta: 51480 habitantes. 2. Bajo circunstancias naturales, la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo, considerando que en la isla no habían gatos. En la isla no hubo gatos desde principios de 1970, y durante ese tiempo la población ratonil se duplicó, alcanzando el número de 100000 a principios de 1970. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones, importó un cierto número de gatos para acabar con ellos; sí la rapidez de crecimiento natural indicado para ratones fue de ahí en adelante contrarrestado por la actividad de los gatos que mataron 1000 ratones cada mes. ¿Cuántos ratones quedaron a principios de 1973? Respuesta: 347 513 ratones. 3.4.1.6 ELIMINACIÓN DE MEDICAMENTOS Y OTRAS APLICACIONES.

En muchos casos la cantidad de cierta droga en la corriente sanguínea D(t), medida por el exceso de ella sobre el nivel natural de la droga, disminuirá en forma proporcional a la

cantidad existente actual, o sea: dt

dD = - k D

Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro; el perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos 45


miligramos de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial con una vida media de 5 horas. ¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg. Respuesta: 2585 mg. 3.4.2 Enfriamiento y Decaimiento. 3.4.2.1 LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.

Ley de enfriamiento de Newton. La tasa de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo

con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente, es decir:

dT

dtK(T-A) donde: K y A son cantidades constantes; T y t son cantidades variables;

T es la función o variable dependiente; t es la variable independiente

La solución de la ecuación diferencial será T= f (t) por medio de la cual se podrá deducir

la temperatura del cuerpo al futuro tiempo. 1. Un cuerpo cuya temperatura es de 80ºF, se coloca en el tiempo t = 0 en un medio en que la temperatura es de 50ºF. Después de 5 minutos, el cuerpo se ha enfriado hasta una temperatura de 70ºF. a)¿Cuál será la temperatura después de 10 minutos? b) ¿Cuándo la temperatura del cuerpo será de 60ºF. Respuestas: a) 63.34 ºF b) 13.56 minutos. 2. Un cuerpo se enfría desde 60 ºC hasta 50 ºC en 15 minutos y el aire en que se encuentra se conserva a 30 ºC. ¿En qué tiempo se enfriará el cuerpo desde 100 ºC hasta 80 ºC en el aire que se conserva a 50 ºC? Respuesta: 18.51 minutos. 3.4.2.1 LEY DE TORRICELLY. Ley de Torricelly. La tasa de cambio del volumen de agua en un tanque que se vacía, con

respecto, al tiempo, es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua en el tanque, es decir:

dV

dtK y donde: K es cantidad constante, que depende del área del recipiente y del

agujero por donde se desocupa el recipiente. V, t, y son cantidades variables. V es la función y t es la variable independiente.

La solución de la ecuación diferencial será V = f (t), para ello es necesario encontrar y

reemplazar la relación de la variable y con la variable t. Por medio de la solución se podrá determinar cuál será el volumen del recipiente para un tiempo determinado, después de haberse iniciado el desague, como también, en cuánto tiempo se desocupará el recipiente. Determinación del modelo matemático:


Se trata de encontrar la relación entre la altura de un líquido contenido en un recipiente y el tiempo transcurrido, cuando el recipiente se desocupa mediante un orificio en el fondo del mismo. El proceso al que se hace referencia es un proceso natural, o sea que: a). La superficie superior del líquido contenido en el recipiente se encuentra a la presión atmosférica. b). El área del orificio en el fondo del recipiente por donde sale el líquido a es pequeño, comparada con el área transversal del recipiente A(y) , que puede ser variable. c). El líquido sale del recipiente debido a la caída por efecto de la aceleración de la gravedad, entonces, el líquido adquiere una velocidad que se puede determinar por medio de la Ley de Torricelly. En la figura a continuación se encuentra el recipiente que se va a desocupar y en donde están indicadas las cantidades variables y constantes que intervienen en el proceso.

a es el área del orificio, constante.

y es la altura del nivel del

líquido, variable A(y) es el área superior

del nivel del líquido o el área transversal del recipiente que contiene el líquido, variable para la figura, pero puede ser constante.

El proceso de desocupación del recipiente se inicia en t = 0, instante en que la altura del nivel del líquido es Yo. Analizamos lo que ha sucedido hasta un instante de tiempo Δt después de iniciar la desocupación del recipiente: La cantidad de volumen del líquido ΔV que ha salido del recipiente es tan pequeño, que el líquido tiene la

forma de un cilindro conformado por las partículas del

líquido que adquieren una velocidad v(t) debido a la presión

atmosférica, presentada en el nivel superior del liquido, y que recorren una distancia Δh en un tiempo Δt orificio, o

sea que ΔV = a x Δh, y Δh = v(t) x Δt, entonces,

ΔV = a x v(t) x Δt,

La velocidad de las partículas del líquido puede ser obtenida por la ley de Torricelly, como si la partícula cayera desde la superficie superior del líquido que está sometido a la presión atmosférica, esto es:

v(t) = y g 2 . Reemplazando esta velocidad en la cantidad de volumen ΔV, esta quedará:

ΔV = a x y g 2 x Δt

Yo

y

a área del

orificio

A(y) área

transversal del

recipiente

Δh

a = área


Por otro lado, la disminución del volumen contenida en el recipiente en el mismo instante de tiempo Δt será: ΔV = - A( y ) Δy , donde el signo menos incluye la

disminución de la altura y

Después del tiempo transcurrido Δt, los volúmenes de salida del recipiente y de

disminución dentro del recipiente deben ser iguales, por lo tanto,

- A( y ) Δy = a x y g 2 x Δt, la cual reagrupando términos quedará: t

y

=

) y ( A-

y g 2 a,

expresión con incrementos, que se convierte en diferenciales al tomar límites para Δt

tendiendo hacia cero, esto es: Lim(t

y

) Δt 0 =

td

yd =

) y ( A-

y g 2 a, luego el modelo

matemático presenta la relación entre la altura del nivel del líquido y el tiempo transcurrido, en el proceso de desocupación del recipiente. Problemas propuestos:

1. Un tanque esférico de 4 pies de radio, lleno de gasolina tiene un agujero en el fondo de 1 pulgada de radio. ¿Cuánto tiempo necesitará la gasolina en vaciarse cuando se abra el agujero? Respuesta: 14.7 min.

2. (La clepsidra o reloj de agua). Un reloj de agua de 12 horas va a ser diseñado con las dimensiones que se muestra con la forma de la superficie de revolución obtenida al girar la curva y = f(x) alrededor de el eje de las y ¿Cuál debe ser la curva y cuál el radio del

agujero circular en el fondo, para que el agua descienda a razón de 4 pulgadas por hora.

3.5 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE MEZCLAS.

Como una aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden consideremos un tanque que tiene una solución (una mezcla de soluto y solvente) como una sal disuelta en agua. Sí se desea cambiar la cantidad de soluto, se hace necesario que le entre al tanque la misma solución pero con otra concentración y si se desea que la concentración del tanque cambie más rápidamente, se hace necesario que el tanque tenga un orificio en el fondo por medio de la cual fluya hacia el exterior la mezcla uniforme por agitación contenida en el tanque.

1 ft

x

y

4 ft

y = f(x)

A(y)

Δy


Modelo Matemático: Sea X(t) la cantidad de soluto en cualquier instante de tiempo,

entonces dt

dx es la rapidez con

que cambia la sustancia o la razón de cambio de la sustancia con el tiempo.

Por lo tanto, la rapidez de la sustancia en la solución varía aumentándose por la rapidez de la solución que entra y disminuyéndose por la rapidez de la solución que sale, siendo ésta última igual a la solución en el tanque.

Por lo tanto, el modelo matemático se presenta como: dt

dx = re - rs

En donde: re es la rapidez de entrada ; re = Cent Vent = Concentración Velocidad rs es la rapidez de salida ; rs = Csal Vsal = Concentración Velocidad

Posibles unidades: r = (litros

gramos) (

utomin

litros) = (

utomin

gramos)

r = (galón

libras) (

utomin

galón) = (

utomin

libras)

Ejercicios Propuestos: 1. Un tanque contiene inicialmente 50 litros de agua pura. Comenzando en el instante t = 0, una solución que contiene 2 gramos de sal disuelta por litro entra en el tanque a razón de 3 litros/minuto. La mezcla se mantiene uniforme por medio de agitación y fluye simultáneamente hacia el exterior del tanque a la misma razón que entra. ¿Qué cantidad de sal hay en cualquier instante para t > 0? ¿Qué cantidad de sal se encuentra en la solución para t = 25 minutos? ¿Qué cantidad de sal hay al cabo de mucho tiempo?

Respuestas: a) S = 100 – 100

b) 77,68 gramos c) 100 gramos

2. Un tanque con capacidad de 300 galones contiene una solución de 200 galones de agua y 50 libras de sal. Una solución que contiene 3 libras de sal por galón se deja fluir en el tanque a una tasa de 4 galones por minuto. La mezcla sale del tanque a una tasa de 2 galones/minuto. ¿Cuántas libras de sal quedan en el tanque después de 30 minutos? Respuesta: 356.92 lbs 3.6 APLICACIONES EN PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

Como una aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden encontraremos el modelo matemático que representa a la corriente eléctrica que circula por un circuito eléctrico simple. Los circuitos eléctricos simples que arrojan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son: El circuito conformado por una resistencia y una inductancia conectadas en serie y el circuito eléctrico conformado por una resistencia y una capacitancia conectadas en serie.

ENTRADAA

SALIDA

SOLUCIÓN


3.6.1 Circuito eléctrico conformado por resistencia, inductancia y fuente de voltaje conectadas en serie.

A continuación se presenta un circuito RL en serie, en donde el interruptor se acciona en t = 0 para conectar la fuente de voltaje (continuo o alterno) que le suministrará la energía al circuito.

Sea i(t) la corriente que circula por el circuito

para t 0, después de accionar el interruptor en t = 0.

Sea Io la corriente por el circuito en t = 0

Sea vR(t) el voltaje a través de la resistencia

para t 0.

Sea vL(t) el voltaje a través de la inductancia

para t 0.

Por estar el circuito en serie: i(t) = iR(t) = iL(t)

Por ley de Ohm: vR(t) = R * iR(t) vR(t) = R * i(t) (A)

Por ley de Faraday: vL(t) = L td

d L(t)i vL(t) = L

td

d (t)i (B)

Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff alrededor del camino cerrado, tendremos:

v(t) - vR(t) - vL(t) = 0, remplazando A y B en esta ecuación y reagrupando en términos de

la corriente, la expresión quedará:

t d

d (t)i+

L

R i(t) =

L

(t)v

, la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal , con i(t) como

función, de primer orden, no homogénea, de coeficientes constantes, en donde el término independiente puede ser variable. 3.6.1.1 Circuito eléctrico RL en serie excitado con voltaje continuo

Para un voltaje continuo, v(t) = Vo = constante, por lo tanto, la ecuación diferencial

quedará:

t d

d (t)i+

L

R i(t) =

L

Vo, la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal , con i(t) como

función, de primer orden, no homogénea, de coeficientes constantes, en donde el término independiente es constante. Por ser una ecuación diferencial lineal, su solución puede apoyarse en la solución de la homogénea correspondiente, o sea, la solución de la ecuación diferencial puede

expresarse como i(t) = ih(t) + iP(t) , en donde ih(t) es la solución general de la homogénea

correspondiente e iP(t) es una solución particular o específica de la ecuación diferencial a

resolver.

Io

vL(t)

vR(t)

i(t)

iR(t)

iL(t)

R

L t = 0

v(t)


Solución de la Homogénea Correspondiente:

Para la ecuación diferencial homogénea correspondiente td

d (t)i+

L

R i(t) = 0, su solución

general se puede encontrar separando variables e integrando, resultando: ih(t) = K e- tLR

, esta respuesta también recibe el nombre de Respuesta Natural, porque su resultado solo depende de la naturaleza del circuito. Solución Particular de la Ecuación Diferencial a Resolver:

Para determinar la solución particular utilizaremos el método de los coeficientes indeterminados, luego, como el término independiente es una constante se asume para la

solución particular una constante, esto es: iP(t) = K1

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, tendremos: td

d p(t)i = 0 y reemplazando,

la función y su derivada, en la ecuación diferencial resulta: 0 + L

R K1 =

L

Vo, luego, K1 =

R

Vo Por tanto, la solución particular quedará iP(t) =

R

Vo

Esta solución también recibe le nombre de Respuesta Forzada, porque depende de la fuente de excitación y se dice que la fuente fuerza a que la corriente tenga ese valor, también es la corriente que aparece mucho tiempo después de haber accionado el interruptor, cuando la inductancia se comporta como corto circuito por encontrarse en estado estable.

Solución General de la Ecuación Diferencial a Resolver:

La solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por:

i(t) = ih(t) + iP(t) , luego, i(t) = K1 e- t

LR

+ R

Vo

Solución Particular o específica de la Ecuación Diferencial:

Reemplazando la condición inicial i(0) = Io , la expresión para la respuesta de corriente

del circuito quedará : i(t) = R

Vo+ ( Io -

R

Vo) e- t

LR

Posteriormente, y después de determinar la expresión para la corriente del circuito, podremos obtener a partir de ésta, las expresiones para los diferentes voltajes a través de la resistencia y de la inductancia en el circuito. 3.6.1.2 Circuito eléctrico RL en serie excitado con voltaje alterno.

Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), por lo tanto, la ecuación diferencial

quedará:

t d

d (t)i+

L

R i(t) =

L

) t Cos(wV Vo , la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal ,

con i(t) como función, de primer orden, no homogénea, de coeficientes constantes, en

donde el término independiente es variable.


Por ser una ecuación diferencial lineal, su solución puede apoyarse en la solución de la homogénea correspondiente, o sea, la solución de la ecuación diferencial puede

expresarse como i(t) = ih(t) + iP(t) , en donde ih(t) es la solución general de la homogénea

correspondiente e iP(t) es una solución particular o específica de la ecuación diferencial a

resolver. Solución de la Homogénea Correspondiente:

Para la ecuación diferencial homogénea correspondiente td

d (t)i+

L

R i(t) = 0, su solución

general se puede encontrar separando variables e integrando, resultando: ih(t) = K e- tLR

, esta respuesta también recibe el nombre de Respuesta Natural, porque su resultado solo depende de la naturaleza del circuito. Solución Particular de la Ecuación Diferencial a Resolver: Para determinar la solución particular utilizaremos el método de los coeficientes indeterminados, luego, como el término independiente es una variable trigonométrica

L

) t Cos(wV Vo , se asume para la solución particular una variable trigonométrica con

igual argumento, esto es:

iP(t) = A Cos(w t + θv) + B Sen(w t + θv)

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, tendremos:

td

d p(t)i = - A Sen(w t + θv) + Bw Cos(w t + θv) y reemplazando, la función y su derivada,

en la ecuación diferencial, tendremos:

- A Sen(w t + θv) + Bw Cos(w t + θv) + L

R [A Cos(w t + θv) + B Sen(w t + θv)]

= L

Vo Cos(w t + θv)

Reagrupando términos iguales, comparando miembro a miembro de la ecuación, podremos determinar los valores para las constantes A y B, las cuales resultan:

A = 22

o

(wL) R

VR

; B =

22

o

(wL) R

V wL

Reemplazando los valores de las constantes, la solución particular o específica quedará:

iP(t) = 22

o

(wL) R

VR

Cos(w t + θv) +

22

o

(wL) R

V wL

Sen(w t + θv), expresión que se puede

simplificar en función solamente del coseno y la solución particular quedará:

iP(t) = 22

o

(wL) R

V

Cos(wt + θV- tag – 1(

R

wL ))

Esta solución también recibe le nombre de Respuesta Forzada, porque depende de la fuente de excitación y se dice que la fuente fuerza a que la corriente tenga ese valor,


también es la corriente que aparece mucho tiempo después de haber accionado el interruptor, cuando la inductancia se comporta como corto circuito por encontrarse en estado estable.

Solución General de la Ecuación Diferencial a Resolver:

La solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por:

i(t) = ih(t) + iP(t) , luego, i(t) = 22

o

(wL) R

V

Cos(wt + θV- tan – 1(

R

wL )) - K e - LR t

,

en donde, K es la constante de integración, que puede ser evaluada reemplazando las

condiciones iniciales t = 0 , i(0) = Io .

Posteriormente, y después de determinar la expresión para la corriente del circuito, podremos obtener a partir de ésta, las expresiones para los diferentes voltajes a través de la resistencia y de la inductancia en el circuito.

3.6.2 Circuito eléctrico conformado por resistencia, capacitancia y fuente de voltaje

conectadas en serie. A continuación se presenta un circuito RC en serie, en donde el interruptor se acciona en t = 0 para conectar la fuente de voltaje (continuo o alterno) que le suministrará la energía al circuito.

Sea i(t) la corriente que circula por el circuito

para t 0, después de accionar el interruptor en t = 0.

Sea Vo el voltaje a través del capacitor en t = 0 y la correspondiente carga Q0 = C Vo

Sea vR(t) el voltaje a través de la resistencia

para t 0.

Sea vC(t) el voltaje a través del capacitor para t

0.

Por estar el circuito en serie: i(t) = iR(t) = iC(t)

Por ley de Ohm: vR(t) = R * iR(t) vR(t) = R * i(t) (A)

Por leyes de la Electrónica: iC(t) = C td

d C(t)v y vC(t) =

C

(t)q (B)

Por la definición de corriente: i(t) = iC(t) = t d

q d C(t) =

t d

d (t)q (C)

Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff alrededor del camino cerrado, tendremos:

v(t) - vR(t) - vC(t) = 0 , remplazando A, B y C en esta ecuación y reagrupando en términos

de la carga, la expresión quedará: t d

d (t)q+

RC

1 q(t) =

R

(t)v, la cual corresponde a una

ecuación diferencial lineal , con q(t) como función, no homogénea, de coeficientes

constantes, de primer orden, en donde el término independiente puede ser variable.

Io

+ vC(t) Vo

-

vR(t)

i(t)

iR(t)

iC(t)

R

C t = 0

v(t)


3.6.2.1 Circuito eléctrico RC en serie excitado con voltaje continuo.

Para un voltaje continuo, v(t) = Vo = constante, por lo tanto, la ecuación diferencial

quedará:

t d

d (t)q+

RC

1 q(t) =

R

V0 , la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal , con q(t)

como función, de primer orden, no homogénea, de coeficientes constantes, en donde el término independiente es constante. La solución general de la ecuación diferencial se puede hallar utilizando el mismo método del numeral 3.6.1.1, esta quedará:

q(t) = K1 e- t

RC1

+ C Vo , en donde K1 es la constante de integración, que puede ser

evaluada reemplazando las condiciones iniciales t = 0 , q(0) = Qo .

Posteriormente, y después de determinar la expresión para la corriente del circuito, podremos obtener a partir de ésta, las expresiones para los diferentes voltajes a través de la resistencia y de la capacitancia en el circuito. 3.6.2.2 Circuito eléctrico RC en serie excitado con voltaje alterno.

Para un voltaje alterno, v(t) = Vo Cos(w t + θv), por lo tanto, la ecuación diferencial

quedará:

t d

d (t)q+

RC

1 q(t) =

R

) t Cos(wV Vo , la cual corresponde a una ecuación diferencial

lineal , con q(t) como función, de primer orden, no homogénea, de coeficientes

constantes, en donde el término independiente es variable. La solución general de la ecuación diferencial se puede hallar utilizando el mismo método del numeral 3.6.1.2, esta quedará:

q(t) = 22

o

)wC

1( R

V

Cos(wt + θV- tan – 1(RwC

1 )) + K e- t RC1

, en donde K es la constante

de integración, que puede ser evaluada reemplazando las condiciones iniciales para t = 0 , q(0) = Qo .

Posteriormente, y después de determinar la expresión para la corriente del circuito, podremos obtener a partir de ésta, las expresiones para los diferentes voltajes a través de la resistencia y de la capacitancia en el circuito. 3.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROPUESTOS Y DESARROLLADOS CON

UNIDADES EN EL SISTEMA MKS MOVIMIENTO VERTICAL: 1º. Una pelota es dejada caer desde una altura de 250 metros. Determine:

A) v(t) , y(t) , para t 0, con el eje positivo de las y hacia arriba , y = 0, en el suelo ;


B) ¿Cuánto tiempo gasta la pelota en llegar al suelo? ; C). ¿Cuál es la velocidad con que la pelota golpea el suelo? Respuestas:

A)v = - 9.8 t, mts./seg., con t en seg. , para t 0 ; y = - 4.9 t2 + 250 , mts, con t en seg. , para t 0

B) t = 7.14 seg., para y = 0 C) v = - 70, mts./seg., para t = 7.14 seg. 2º. Una pelota es lanzada hacia abajo con una velocidad de 10 mts./seg. , desde una

altura de 250 mts. Determine: A) v(t) , y(t) , para t 0, con el eje positivo de las y hacia arriba , y = 0, en el suelo; B) ¿Cuánto tiempo gasta la pelota en llegar el suelo? ; C). ¿Cuál es la velocidad con que la pelota golpea al suelo? .

Respuestas:

A)v = - 9.8 t – 10, mts./seg., con t en seg. , para t 0 ; y = - 4.9 t2 – 10 t + 250 , mts, con t en

seg. , para t 0 B) t = 6.2 seg., para y = 0 ; C) v = - 70.66, mts./seg., para t = 6.2 seg.

3º. Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad de 20 mts./seg. , desdel nivel del

suelo. Determine:

A) v(t) , y(t) , para t 0, con el eje positivo de las y hacia arriba , y = 0, en el suelo ; B) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota ? ; C) ¿Cuánto tiempo la pelota permanece en el aire?.

Respuestas:

A) v = - 9.8 t + 20, mts./seg., con t en seg. , para t 0 ;

y = - 4.9 t2 + 20 t , mts, con t en seg. , para t 0

B) Altura máxima, y =20.4, mts., para t = 2.04 seg. ;

C) permanece en el aire, t = 4.08 seg., para y = 0. 4º. Una pelota es dejada caer desde una altura de 250 metros, a medida que cae actúa

sobre ella una fuerza producida por la resistencia del aire, la cual le causa una desaceleración igual a 0.04 v, mts./seg2., donde v es la velocidad en mts./seg. Determine: A) v(t) , y(t) , para t 0, con el eje positivo de las y hacia arriba , y = 0, en el suelo ;

B) ¿Cuánto tiempo gasta la pelota en llegar al suelo? ; C). ¿Cuál es la velocidad con que la pelota golpea el suelo? .

Respuestas:

A) v = 245 e- 0.04 t

– 245, mts./seg., con t en seg. , para t 0 ;

y = - 6125 e- 0.04 t

– 245 t + 6375, mts, con t en seg. , para t 0

B) t 7.5 seg., para y = 0 C) v = - 63.49, mts./seg., para t = 7.5 seg. 5º. Desde un punto situado a 6 metros por encima de la superficie terrestre y con una

velocidad inicial de 10 mts./seg., se lanza verticalmente hacia arriba una bola que pesa 3.5 Newtons. En su ascenso encuentra una resistencia por parte del aire que es numéricamente igual a 0.0125 v,(Newton), donde v es la velocidad en mts./seg.

Determine: A) v(t) , y(t) , para t 0, con el eje positivo de las y hacia arriba , y = 0, en el punto de partida de la bola. ; B) ¿Cuánto tiempo gasta la bola en su ascenso o en que instante alcanzará la altura máxima? ; C) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola? ; D) ¿Cuál es la velocidad al pasar nuevamente por la posición inicial? ; E)


En que instante la bola golpea el suelo? ; F) ¿Cuál es la velocidad con que la bola golpea el suelo? .

Respuestas:

A) v = 289.9 e- 0.035 t – 279.9, mts./seg., con t en seg. , para t 0

y = - 8282.85 e- 0.035 t – 279.9 t + 8282.85, mts, con t en seg. , para t 0

B) t 1.002 seg., para v 0 ; C) Altura máxima: y = 4.985, mts., para t = 1.002 seg.

D) t = 2.015seg. , para y 0, luego v(2.015) = - 9.74 mts./seg. , E) t 2.37seg., para

y -6 mts., F) v(2.37) = - 13.07 mts./seg.

DESARROLLO:

Datos del problema: wb = 3.5 N, g = 9.8

, m = 0.3571 kg , FR aire = 0.0125 v (Newton), con v en

Velocidad inicial de 10

, hacia arriba del suelo.

Asignación de variables, ejes y tiempo de referencia:

Posición: y, Velocidad: v, Aceleración: a, Tiempo: t.

Eje positivo de las y verticalmente hacia arriba del suelo. y = 0, en el punto de partida de la bola.

t = 0, en el instante de partida de la bola. vo = 10

, velocidad en el instante de partida de la bola.

El movimiento se inicia en t = 0seg. Luego para t = 0, yo = 0 , vo = 10

Modelos matemáticos:

Determinación de la velocidad instantánea:

Con base en la tabla, presentada en la teoría de la unidad 3, el modelo matemático que rige para el problema de física tratado (incluyendo los movimientos de subida y de bajada) es:

dt

dv = - g –

m

K v (Aceleración) , reemplazando los valores respectivos, el modelo matemático o

ecuación diferencial quedará: dt

dv

= - 9.8 -

v ; ó

dt

dv

= - 9.8 - 0.035

v

Desarrollando la ecuación diferencial tendremos:

Simplificando, dt

dv

= - 0.035 (

v + 280)

Separando variables, tendremos:

= - 0.035 dt

Integrando a ambos lados de la ecuación: ∫

= ∫ dt + k

Simplificando: Ln| v + 280| = - 0,035 t + k ; (v + 280) = Ko e

- 0.035 t

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 10 = Ko e- 0.035 (0) - 280 , resulta que Ko = 290

Por lo tanto, la solución particular o específica quedará

Analizando la ecuación de la velocidad se puede observar que para t > 0 la velocidad es positiva pero de

menor valor que la inicial que es 10

, o sea que, a medida que transcurre el tiempo la velocidad disminuye

hasta llegar a su posición más alta en donde la velocidad es cero, con base en la observación anterior,

podremos determinar el tiempo de subida de la bola mediante el uso de la ecuación anterior.

v = Ko e- 0.035 t

- 280

v = 290 e- 0.035 t

- 280


0 = 290 e- 0.035 tsub - 280 ; 280 = 290 e

- 0.035 tsub ; - 0.035 tsub = ln(

) ; tsub = 1.0026

Luego la bola gasta 1.0026 seg., en conseguir su altura máxima. B)

Determinación de la posición instantánea

A partir de la ecuación de la velocidad obtenida anteriormente v = 290 e- 0.035 t - 280 y teniendo en cuenta

que la velocidad es la razón de cambio de la posición v =

, podremos determinar el modelo matemático

o ecuación diferencial que rige para la posición en función del tiempo t, esto es:

= 290 e

- 0.035 t - 280

Desarrollo de la ecuación diferencial

Separando las variables, tendremos: dy = (290 e- 0.035 t - 280) dt

Integrando a ambos lados de la ecuación ∫ = ∫ dt + k

Simplificando: y = - 8285.7 e- 0.035 t - 280 t + k

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial será:

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 0 = -8285.7 e- 0.035 (0) - 280(0) + k ,

resulta que K = 8285.7


Respuestas a las preguntas formuladas:

A) v(t) , y(t) , para t 0: v(t) = 290 e- 0.035 t

- 280 , y(t) = - 8285.7 e- 0.035 t

- 280 t + 8285.7

Nota: a partir de las dos ecuaciones anteriores se le puede dar respuesta a las preguntas formuladas en el

enunciado del problema.

B) ¿Cuánto tiempo gasta la bola en su ascenso o en que instante alcanzará la altura máxima?

tsubida = 1.0026 segundos

C)¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola?

La posición que tiene la bola en el instante que alcanza la altura máxima es:

y (t = 1.0026) = - 8285.7 e- 0.035 (1.0026)

- 280 (1.0026) + 8285.7 = 4.9832

Luego la altura máxima alcanzada por la bola es de 4.98 mts por encima del punto de lanzamiento

D) ¿Cuál es la velocidad al pasar nuevamente por la posición inicial?

A partir de la ecuación para la posición, determinamos el tiempo gastado poir la bola cuando pasa por la

posición inicial o de lanzamiento, y = 0. 0 = - 8285.7 e- 0.035 t - 280 t + 8285.7 , esta ecuación arroja dos

valores para t , t1 = 0 , t2 = 2.015 seg. (obtenidos, mediante prueba y error, método presentado en el

documento adicional de introducción)

Tomamos t2 = 2.015 seg., porque t1 = 0, corresponde al instante inicial.

La velocidad de la bola para este instante es: v(t=2.015) = 290 e- 0.035 (2.015) - 280 = - 9.7477

Por lo tanto, la velocidad de la bola al pasar nuevamente por la posición inicial es de -9.7477

o sea que la bola se dirige hacia el suelo y todavía no ha alcanzado la magnitud de la velocidad con que fue

lanzada hacia arriba, por ello los tiempos de subida y de bajada son diferentes.

E) En que instante la bola golpea el suelo? ; F) ¿Cuál es la velocidad con que la bola golpea el suelo? .

Al igual que el punto inmediatamente anterior, determinamos el instante para la cual la posición de la bola es

y = - 6, resultando: t 2.513seg., para y -6 mts ( método de prueba y error)

Luego la bola golpea el suelo para : t 2.513seg

La velocidad que lleva la bola en ese instante la obtenemos evaluando la ecuación de velocidad para :

t = 2.513seg, esto es: v(t=2.513) = 290 e- 0.035 (2.513) - 280 = - 14.41

Por lo tanto, la velocidad de la bola al chocar con el suelo es de - 14.41

y = - 8285.7 e- 0.035 t

- 280 t + k

y = - 8285.7 e- 0.035 t

- 280 t + 8285.7


MOVIMIENTO HORIZONTAL: 6º. Un bote de motor parte del estado de reposo (v(0) = 0). Su motor le proporciona una

aceleración constante de 4 mts./seg2., pero la resistencia del agua ocasiona una desaceleración de 0.0025 v2, mts./seg2, donde v es la velocidad en mts./seg. Si se

considera el eje positivo en la misma dirección en que se mueve el bote, determine: A)

v(t) , para t 0 ; B) La velocidad del bote para t = 10 segundos. ; C) La velocidad límite con que el bote se mueve.

Respuestas:

A) v = 40 [1 e

1 - t0.2

t2.0

e]mts./seg., con t en seg. , para t 0 ; B) v(10) = 30.46, mts./seg. ;

C) Vel. Límite = v Lim t = 40 mts./seg.

7º. Las marcas del derrape de un automóvil indican que los frenos fueron plenamente

aplicados durante una distancia de 225 metros antes de que llegara a detenerse. Se sabe que el carro en cuestión tiene una desaceleración constante de 50 mts./seg2. Si se considera el eje positivo en la misma dirección en que se mueve el carro y X = 0 en

el instante en que se aplican los frenos. Determine: A) v(t) , X(t) , para t 0 ; B) A que velocidad iba el auto cuando se aplicaron los frenos.

Respuestas:

A) v = - 50 t + Vo, mts./seg., con t en seg. , para t 0 ; X = - 25 t2 + Vo t , mts, con t en seg. ,

para t 0, B) Vo = 3.354 , mts./seg. 8º. Dos personas viajan en un bote y el peso combinado de las dos personas, el motor y

el bote con su equipo es de 2940 newtons. El motor ejerce una fuerza constante de 300 newtons sobre el bote en la dirección del movimiento, mientras que la fuerza producida por la resistencia del aire (en newtons) es numéricamente igual a 22.5 v, donde v es la velocidad en mts./seg. Si se considera el eje positivo en la misma dirección en que se mueve el bote y éste parte del reposo. Determine:

A) v(t) , X(t) , para t 0 ; B) La velocidad del bote y la distancia recorrida después de 20 segundos y después de un minuto.

Respuestas:

A) v =13.33 – 13.33 e- 0.075 t , mts./seg., con t en seg. , para t 0. ;

X = 13.33 t + 177.77e- 0.075 t – 177.77, mts, con t en seg. , para t 0

B) v(20s) = 10.36, mts./seg. , X (20s) = 128.5 mts. ; v(1m) = 13.19, mts./seg. , X (1m) = 624 mts. 9º. Un bote que pesa 600 newtons transporta a una sola persona que pesa 870 newtons,

está siendo remolcado en una cierta dirección a razón de 15 mts./seg. En t = 0, la cuerda del remolque se suelta repentinamente y el pasajero empieza a remar en la misma dirección ejerciendo una fuerza constante equivalente a 180 newtons en esa dirección. La resistencia del aire le produce una fuerza contraria al movimiento que en newtons es numéricamente igual a 30 v, donde v es la velocidad en mts./seg. Si se considera el eje positivo en la misma dirección en que se mueve el bote. Determine:


A) v(t) , para t 0 ; B) Calcule la velocidad del bote 15 segundos después de que se suelta el remolque. ; C) ¿Cuántos segundos después de que la cuerda del remolque se soltó, la velocidad del bote sea la mitad de la velocidad que llevaba cuando la cuerda se soltó. ; D) Calcule la velocidad límite del bote.

Respuestas:

A) v = 9 e- 0.2 t + 6 , mts./seg., con t en seg. , para t 0. ; B) v(15s) = 6.448, mts./seg. C) t = 8.95 segundos, para v = 7.5 mts./seg. ; D) Velocidad límite = 6 , mts./seg.

DESARROLLO:

Datos del problema: wb = 600 N, wp = 870 N, g = 9.8

, mT = 150 kg , FR aire = 30 v (Newton), con

v en

, Velocidad del bote cuando está siendo remolcado = 15

, en una dirección determinada.

Fpasajero = 180 Newtons, fuerza que ejerce el pasajero cundo rema

Asignación de variables, ejes y tiempo de referencia:

Posición: x, Velocidad del bote: vx , Tiempo: t.

Eje positivo de las x horizontalmente hacia la derecha, en la misma dirección de movimiento del bote.

t = 0, el instante en que la cuerda del remolque se suelta.

vo = 15

, velocidad en el instante en que la cuerda del remolque se suelta

El análisis del movimiento se inicia en t = 0seg. Luego para t = 0, xo = 0 , vo = 15

Modelo matemático:

Determinación de la velocidad instantánea:

Elaborando el modelo matemático con base en el diagrama de cuerpo libre en donde aparecen todas las fuerzas que actúan sobre el bote en la dirección del movimiento.

Fuerzas Aceleraciones

m dt

xvd = Fext pas – FRaire ;

dt

xvd =

m

Fext - m

FR

Reemplazando los datos del problema en la ecuación de aceleraciones, tendremos:

dt

xvd =

150

180 -

150

30 v = 1.2 – 0.2 v

Por lo tanto, el modelo matemático o ecuación diferencial que representa la velocidad del bote quedará:

Desarrollando la ecuación diferencial.

Simplificando, dt

d xv

= - 0.2 (

v - 6)


= - 0.2 dt


= ∫ dt + k

Simplificando: Ln| vx - 6| = - 0,2 t + k ; (vx - 6) = Ko e- 0.2 t

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

vx (+)

Fext pas FRaire

dt

xvd = 1.2 – 0.2 v

vx = ko e- 0.2 t

+ 6


Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 15 = Ko e- 0.2 (0) + 6 , resulta que Ko = 9



A) v(t) , para t 0 ; vx = 9 e- 0.2 t

+ 6 ,

, con t en seg.

B) Calcule la velocidad del bote 15 segundos después de que se suelta el remolque.

vx(15 s) = 9 e- 0.2 (15) + 6 ; v(15s) = 6.448,

.

C) ¿Cuántos segundos después de que la cuerda del remolque se soltó, la velocidad del bote sea la mitad de la

velocidad que llevaba cuando la cuerda se soltó.

Calcular t = ? , para vx = 7.5

. Luego reemplazando en la ecuación: 7.5 = 9 e

- 0.2 t + 6 y despejar t

Simplificando: 1.5 = 9 e- 0.2 t , por lo tanto: t =

= 8.95 seg.

D) Calcule la velocidad límite del bote. vlímite = = = 6

RAZÓN DE CAMBIO 10º. Una reacción química convierte un cierto compuesto q1(t) en otro q2(t), siendo la razón

de conversión del primer compuesto proporcional a la cantidad de éste presente en cualquier instante. Al cabo de una hora quedan 50 gramos del primer compuesto, mientras que al cabo de tres horas solamente quedan 25 gramos. Si consideramos que Qo es la cantidad inicial del primer compuesto, determine:

A) q1(t) , para t 0. ; B) ¿Cuántos gramos del primer compuesto existían inicialmente? ; C) ¿Cuántos gramos del primer compuesto quedarán al cabo de 5 horas? ; C) ¿En cuántas horas quedarán solamente 2 gramos del primer compuesto?.

Respuestas:

A) q1(t) = Qo e- 0.3463 t , gramos, con t en segundos, para t 0. ;

B) Qo = 70.71 gramos ; C) 12.5 gramos ; D) 10.29 horas DESARROLLO: Asignación de variables y tiempo de referencia:

Sea q(t) la cantidad del primer compuesto para un instante t

Sea Qo la cantidad del primer compuesto para un instante t = 0

Datos del problema:

Para t = 1 hora, q(1 hora) = 50 gramos , Para t = 3 horas, q(3 horas) = 25 gramos

Modelo matemático: A partir del enunciado del problema ¨La razón de conversión del primer compuesto es proporcional a la

cantidad de éste presente en cualquier instante¨, podremos determinar el modelo matemático o ecuación

diferencial que rige para la variación de éste compuesto, resultando:

= k1 q

Desarrollo de la ecuación diferencial:


= k dt


= ∫ dt + k2

Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln|q| = k1 t + k2 ; q(t) = ko e k1 t

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial quedará:

vx = 9 e- 0.2 t

+ 6

q(t) = ko e k1 t


En donde ko es la constante de integración y k1 es la constante del modelo.

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: Qo = ko e k1 (0), por lo tanto, ko = Qo

y la solución específica o particular quedará:

Reemplazando las condiciones intermedias del problema podremos determinar los valores de las constantes

en la solución de la ecuación diferencial, esto es:

Para t = 1 hora, q(1 hora) = 50 gramos ; 50 = Qo e k1 (A)

Para t = 3 horas, q(3 horas) = 25 gramos 25 = Qo e 3 k1 (B)

Dividiendo la ecuación (A) por la (B), resulta: 2 = e k1- 3 k1 ; 2 = e -2 k1

Tomando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación resultante, tendremos: - 2 k1 = ln(2)

Por lo tanto, k1 = - 0.3465 y la solución específica quedará:

Reemplazando una de las condiciones intermedias, resulta:

50 = Qo e- 0.3465(1)

, entonces, podremos encontrar el valor de Qo. Luego, Qo = 70.70

Así mismo, la solución particular queda totalmente definida por:


A) q1(t) , para t 0 ; q1(t) = 70.70 e- 0.3465 t

B) ¿Cuántos gramos del primer compuesto existían inicialmente? ; Qo = 70.70 gramos.

C) ¿Cuántos gramos del primer compuesto quedarán al cabo de 5 horas?

q(5 horas) = 70.70 e- 0.3465 (5) = 12.5 gramos

D) ¿En cuántas horas quedarán solamente 2 gramos del primer compuesto?. q = 2 gramos , para t = ? ; 2 = 70.70 e

- 0.3465 t , despejando el tiempo, quedará:

t = 10.29 horas, para q = 2 gramos.

CRECIMIENTO DE CAPITAL (Interés Compuesto). 11º. Se dice que una cantidad de dinero invertido produce interés compuesto continuo, sí

la cantidad de dinero aumenta a una razón que es proporcional a la cantidad presente. Supongamos que se invierten $1000 a un interés compuesto con un interés anual de 6%. a) ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 10 años de haber invertido la cantidad original? b) ¿Cuántos años tardará en doblarse la cantidad inicial? Respuestas: a) 1822.1 $ b) 11.52 años. DESARROLLO: Asignación de variables y tiempo de referencia:

Sea C(t) el capital para un instante t

Sea Co el capital inicial o en el instante t = 0

Datos del problema:

Para t = 0, Co = $ 1000 , interés anual = 6%, Para t = 1 año, C(1 año) = $ 1060

Modelo matemático: A partir del enunciado del problema ¨La cantidad de dinero aumenta a una razón que es proporcional a la

cantidad presente.¨, podremos determinar el modelo matemático o ecuación diferencial que rige para la

variación del capital, resultando:

= k1 C



= k1 dt


= ∫ dt + k2

q(t) = Qo e k1 t

q(t) = Qo e- 0.3465 t

q(t) = 70.70 e- 0.3465 t


Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln|C| = k1 t + k2 ; C(t) = ko e k1 t


En donde ko es la constante de integración y k1 es la constante del modelo.

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 1000 = ko e k1 (0), por lo tanto, ko = 1000


Reemplazando la condición intermedia del problema podremos determinar el valor de k1

Para t = 1 año, C(1 año) = $ 1060 , luego 1060 = 1000 e k1 (1)

; e k1

=

Tomando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación resultante, tendremos: k1 = ln(1.06)

Por lo tanto, k1 = 0.0583 ≈ 0.06 y la solución específica quedará:

Después de determinar la constante del modelo k1 , podremos reescribir el modelo de la ecuación diferencial,

esto es: :

= 0.06 C, en donde la constante de proporcionalidad es igual al valor del interés 6%, escrito en

forma decimal 0.06.

Respuestas a las preguntas formuladas: a) ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 10 años de haber invertido la cantidad original?

C(10) = 1000 e 0.06 (10) = 1822.10 Respuesta: $ 1822.10

b) ¿Cuántos años tardará en doblarse la cantidad inicial?

C(t años) = 2000 , para t = ? ; 2000 = 1000 e 0.06 t ; t =

= 11.52 años

12º Una deuda de $ 100000 por un automóvil va a ser pagada continuamente mediante

una cuota mensual y por un período de 60 meses. Determine el pago mensual requerido sí la tasa de interés anual es de: a) 12% , b) 15%. c) 24% . Respuestas: a) 2 216.3 $ b) 2 369.06 $ c) 2 862.03 $ DESARROLLO: Asignación de variables y tiempo de referencia:

Sea C(t) el capital de deuda para un instante t

Sea Co el capital de deuda inicial o en el instante t = 0

Sea r el interés mensual de la deuda

Datos del problema: Para t = 0, Co = $ 100000, interés anual = 24%, interés mensual 2%, # de cuotas mensuales = 60

Modelo matemático:

A partir del enunciado del problema, el capital de deuda aumenta de acuerdo con un interés mensual r y

disminuye por un abono A que se efectúa mensualmente. Por lo tanto, podremos determinar el modelo

matemático o ecuación diferencial que rige para la variación del capital, resultando:

= r C – A, en donde r es el interés mensual en decimal y A es el abono o cuota de pago mensual


Simplificando la ecuación diferencial, tendremos:

= r (C –

)

Separando variables, quedará:

= r dt


= ∫ dt + k1

C(t) = ko e k1 t

C(t) = 1000 e k1 t

C(t) = 1000 e 0.06 t


Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln| (C-

) | = r t + k1 ; C(t) = ko e

r t +


En donde ko es la constante de integración y A es el abono o cuota de pago mensual.

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 100000 = ko e r (0) +

, por lo tanto,

ko = (100000 -

) y la solución específica o particular quedará:

Como la deuda se pagará en 60 meses o cuotas, entonces el valor de la cuota A se puede obtener para cuando

C = 0, t = 60, o sea: 0 = (100000-

) e

60 r +

; 0 = 100000 e 60 r -

e 60 r +

Simplificando y despejando A, quedará: A =

, por lo tanto:

a) Para r = 12% anual ; r = 1% mensual ; r = 0.01 , A = 2216.3 $

b) Para r = 15% anual ; r = 1.25% mensual ; r = 0.0125 , A = 2369.06 $

c) Para r = 24% anual ; r = 2% mensual ; r = 0.01 , A = 2862.03 $


a) 2 216.3 $ b) 2 369.06 $ c) 2 862.03 $

CRECIMIENTO DE POBLACIONES (índices de natalidad y mortalidad normales).

13º. Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población de 30000 habitantes en 1970 . Suponiendo que su población continúe creciendo constante, ¿Qué población pueden esperar los urbanistas que tenga la ciudad en el año 2000? Respuesta: 56197 habitantes. DESARROLLO: Asignación de variables y tiempo de referencia:

Sea p(t) la población para un instante t

Sea Po la población inicial o en el instante t = 0

El análisis se efectúa a partir de 1960, la cual le corresponde t = 0

Datos del problema:

Para 1960 , t = 0, p(0) = Po = 25000 habitantes . Para 1970 , t = 10, p(10) = 30000 habitantes

Modelo matemático: A partir del enunciado del problema, ¨La población crece constantemente o el crecimiento de la población es

proporcional a la población existente¨, podremos determinar el modelo matemático o ecuación diferencial

que rige para la variación de la población, resultando:

= k p , en donde k es la constante de proporcionalidad



= k dt


= ∫ dt + k1

Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln|p| = k t + k1 ; p(t) = ko e k t


En donde ko es la constante de integración y k es la constante del modelo.

C(t) = ko e r t

+

C(t) = ( 100000-

) e

r t +

p(t) = ko e k t


Reemplazando la condición inicial, para t = 0 , p(0) = 25000 hab, tendremos:

25000 = ko e k (0) , luego ko = 25000

Por lo tanto, la solución específica o particular de la ecuación diferencial quedará: p(t) = 25000 e k t

en donde k es la constante del modelo.

Reemplazando las condiciones intermedia del problema, para t = 10 años, p(10 años) = 30000 hab., podremos

determinar el valor de la constante k del modelo, esto es:

30000 = 25000 e k (10) , lego K =

= 0.01823

Por lo tanto, k = 0.01823 y la solución específica quedará totalmente definida por:


¿Qué población pueden esperar los urbanistas que tenga la ciudad en el año 2000?

Para el año 2000 t = 40 , luego p(40) = ? ; p(40) = 25000 e0.01823 (40) = 51840

Respuesta: 51840 habitantes.

14º. Bajo circunstancias naturales, la población de ratones de una cierta isla podría

aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo, considerando que en la isla no habían gatos. En la isla no hubo gatos desde principios de 1970, y durante ese tiempo la población ratonil se duplicó, alcanzando el número de 100000 a principios de 1971. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones, importó un cierto número de gatos para acabar con ellos; sí la rapidez de crecimiento natural indicado para ratones fue de ahí en adelante contrarrestado por la actividad de los gatos que mataron 1000 ratones cada mes. ¿Cuántos ratones quedaron a principios de 1973? Respuesta: 347 513 ratones. DESARROLLO: Asignación de variables y tiempo de referencia: Sea r(t) la población de ratones para un instante t

Sea Ro la población inicial de ratones o en el instante t = 0

El análisis se efectúa a partir de principios de 1970, la cual le corresponde t = 0

Datos del problema:

Periodo sin gatos

Para principios de 1970 , t = 0, r(0) = Ro = 50000 ratones .

Para principios de 1971 , t = 12 meses, r(12) = 100000 ratones

Modelo matemático:

A partir del enunciado del problema, ¨ la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una

rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo¨, podremos determinar el modelo

matemático o ecuación diferencial que rige para la variación de la población de los ratones, resultando:

= k r, en donde k es la constante de proporcionalidad del modelo, (índice de proliferación de los ratones)



= k dt


= ∫ dt + k1

Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln|r| = k t + k1 ; r(t) = ko e k t


p(t) = 25000 e 0.01823 t

r(t) = ko e k t


En donde ko es la constante de integración y k es la constante del modelo.

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 50000 = ko e k (0), por lo tanto, ko = 50000


Reemplazando las condiciones intermedias t = 12 meses, r(12) = 100000 ratones, tendremos:

100000 = 50000 e k (12) ; e k (12) = 2 , por lo tanto, k =

= 0.0577

Por lo tanto, el modelo matemático que rige para la proliferación de los ratones es:

Lo anterior significa que la constante de proporcionalidad del modelo o el índice de proliferación de los

ratones es igual a: k = 0.0577

Nota: El índice de proliferación de los ratones se mantiene para cuando hay presencia de gatos.

Periodo con gatos

Para principios de 1971 , t = 0, r(0) = 100000 ratones , k = 0.0577

Índice de mortalidad de los ratones = 1000

Modelo matemático:

Para este periodo el modelo matemático es igual al anterior, solo que la rapidez de crecimiento de los ratones

se ve afectado por la actividad de los gatos. Por lo tanto, la ecuación diferencial o modelo matemático que

rige para la proliferación de los ratones, incluyendo la actividad de los gatos, es:

= 0.0577 r – 1000,


Simplificando la ecuación:

= 0.0577 ( r – 17331)


= 0.0577 dt


= ∫ dt + k1

Desarrollando las integrales y simplificando, tendremos: ln|r-17331| = 0.0577 t + k1 ;

r(t) = ko e 0.0577 t

+ 17331


En donde ko es la constante de integración.

Reemplazando las condiciones iniciales tendremos: 100000 = ko e k (0) + 17331, por lo tanto, ko = 82669


Respuesta a la pregunta formulada:

¿Cuántos ratones quedaron a principios de 1973?

A principio de 1973, después de 24 meses, el número de ratones presente es:

r(24) = 82669 e 0.0577 (24) + 17331 = 347513 ratones

Respuesta: A principio de 1973 quedaron 347513 ratones

ELIMINACIÓN DE MEDICAMENTOS. 15º En muchos casos la cantidad de cierta droga en la corriente sanguínea D(t), medida

por el exceso de ella sobre el nivel natural de la droga, disminuirá en forma proporcional a la cantidad existente actual, o sea:

r(t) = 50000 e k t

= 0.0577 r

r(t) = ko e 0.0577 t

+ 17331

r(t) = 82669 e 0.0577 t

+ 17331


dt

dD = - k D . Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro; el

perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos 45 miligramos de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial con una vida media de 5 horas. ¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg. Respuesta: 2585 mg. DESARROLLO: Datos del problema: Peso del perro = 50 kgm ,

Concentración necesaria por unidad de peso para el anestesiamiento = 45

Concentración necesaria para el anestesiamiento = 45 x 50 = 2250 gramos de ps

. Vida media en la eliminación del ps = 5 horas. Tiempo de anestesiamiento del perro = 1 hora.

Asignación de variables y tiempo de referencia:

Sea ps(t) la cantidad de pentobarbitol sódico para un instante t

Sea Po la cantidad de pentobarbitol sódico inicial o en el instante t = 0

Instante en que se le administra la droga al perro, t = 0

Modelo matemático:

De acuerdo con el enunciado del problema, el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del

perro con base en el modelo:

= - k ps

Concepto sobre vida media:

Se considera que la vida media es el tiempo que transcurre para que la mitad de la cantidad administrada

inicialmente sea eliminada.

Por lo tanto, para t = 0, ps(0) = Po y para t = 5 horas, , ps(5 h) = Po/2

Con base en estas condiciones podremos determinar la constante de proporcionalidad del modelo presentado.

La solución general del modelo presentado es: ps(t) = ko e – k t (Eliminación en forma exponencial)

Reemplazando las condiciones presentadas, tendremos:

Po = ko e – k (0) , luego , ko = Po y la solución específica quedará:

Reemplazando la condición intermedia, para t = 5 horas, , ps(5 h) = Po/2 , la ecuación quedará:

Po/2 = po e – k (5)

Despejando la constante, tendremos: k =

= 0.1386

Por lo tanto, la constante de proporcionalidad en la eliminación de la droga es: k = 0.1386

y el modelo matemático o ecuación diferencial en la eliminación de la droga es:

= - 0.1386 ps ,

cuya solución es: ps(t) = po e – 0.1386 t

Respuesta a la pregunta formulada:

¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg.?

¿ Cuál debe ser el valor de po, para que al cabo de 1 hora, la cantidad de pentobarbitol sódico sea mínimo

2250 gramos. ? ó , ¿ Cuál debe ser el valor de po, para que ps(1 hora) = 2250 gramos.

Luego reemplazando en la ecuación de la solución específica: 2250 = po e – 0.1386 (1)

Despejando po =

= 2585 gramos.

Respuesta: Para tener anestesiado al perro durante 1 hora, habrá que suministrarle 2250 gramos de pentobarbitol sódico

ps(t) = po e – k t


LEY DE TORRICELLY 16º.Un tanque esférico de 1.25 metros de radio, lleno de un líquido tiene un agujero en el

fondo de 2.5 cmts. de radio. Si se considera que el eje de las y es positivo hacia arriba, la referencia y = 0 está en el agujero del tanque, determine:

A) y = f(t) , para t 0. ; B) ¿Cuánto tiempo necesitará el líquido en vaciarse después de abrirse el agujero? DESARROLLO: Determinación del modelo matemático: De acuerdo con el enunciado teórico, el modelo matemático

que presenta la aplicación de la ley de Torricelly, la cual relaciona la altura del nivel del líquido y el

tiempo transcurrido en el proceso de desocupación del tanque es: td

yd =

) y ( A-

y g 2 a, en donde: a es el

área del agujero, y es la altura del nivel del líquido, g es la aceleración de la gravedad, A(y) es el área transversal del recipiente o el área superior del nivel del líquido.

Determinación del área A(y):

Nivel superior del líquido en función

de su altura y

Si consideramos que para un tiempo

t 0, el nivel del líquido puede estar a una distancia h por encima o por

debajo de la mitad del tanque, la

altura del nivel del líquido se puede

expresar como y = R h,

en donde R es el radio del tanque

cilíndrico.

Despejando h, quedará: h = y – R y elevando al cuadrado, la expresión quedará: h

2 = y2 – 2 y R + R2 (1)

Por otro lado: h = ))( - ( 2

(y)

2rR , o sea que, h2 = R2 – (r(y))

2 (2) , igualando (1) y (2), tendremos:

(r(y))2 = 2 y R – y

2 , o sea el radio del nivel en función de la altura del nivel.

Por otro lado, el área del nivel superior del líquido estará expresado por: A(y) = (r(y))2 , entonces , el área del

nivel superior del líquido en función de su altura quedará expresada por: A(y) = 2 y R – y2.

Reemplazando esta última expresión en la ecuación diferencial presentada, tendremos:

td

yd=

yy

y

R 2 -

g 2 a2

, simplificando y separando variables la ecuación diferencial quedará: ( 2

3

y - 2

R 2

1

y ) d y = a g2 d t, reemplazando los valores de las constantes suministradas, R = 1.25 mts. ra = 2.5x

10- 2 mts. a = 6.25x10-4 , tendremos: ( 2

3

y - 2.5 2

1

y ) d y = 6.25x10-4g2 d t o ( 2

3

y - 2.5 2

1

y )

d y = 0.002766 d t.

La solución general de la ecuación diferencial quedará: 52 2

5

y - 35 2

3

y = 0.002766 t + k1

Reemplazando las condiciones iniciales: t = 0 , y = 2 R = 2.5 ;

52 2

5

(2.5) - 35 2

3

(2.5) = 0.002766 (0) + k1 ; k1 = - 2.6326

Por lo tanto, la solución específica de la ecuación diferencial quedará:

y = 0 a

h

h

r(y)

R

y

A(y) área del

nivel superior del

líquido


Respuestas: A)

B) tiempo de vaciado = 971.57 seg. = 15.86 minutos = 15 min, 51.6 seg.

MEZCLAS DE SOLUCIONES 17º. Un tanque con capacidad de 300 galones contiene una solución de 200 galones (50

libras de sal disueltas en agua). Una solución que contiene 3 libras de sal por galón se deja fluir en el tanque a una tasa de 4 galones por minuto. La mezcla se mantiene uniforme por medio de agitación y fluye simultáneamente hacia el exterior del tanque a una tasa de 2 galones por minuto. Si consideramos t = 0, en el instante en que comienza a cambiar la cantidad de sal dentro del tanque s(t) , determine:

A) La cantidad de sal dentro del tanque en función del tiempo, s(t) = f(t) ; , para t 0.; B) ¿Cuántas libras de sal quedan en el tanque después de 30 minutos. C) ¿Cuántas libras de sal hay en el tanque en el instante en que empieza a rebozarce? DESARROLLO: Determinación del modelo matemático:

Datos del problema: Capacidad del tanque 300 galones. ; Volumen inicial, Vo = 200 galones. ; Cantidad

de sal inicial = 50 libras

Solución de entrada: Cent = 3 galon

sal de libras ; vent = 4 utomin

galones

Solución de salida: Csal =

(t)

(t)

V

s

galonsal de libras ; vsal = 2

utomin

galones

Volumen de la solución V(t) = Vo + (vent – vsal) t ; V(t) = 200 + 2 t galones, con t en minutos.

Modelo matemático: De acuerdo con el enunciado teórico, la ecuación diferencial presentada para este

caso es:

t d

d s = rent – rsal ;

t d

d s = 3 * 4

utomin

galones -

(t)

(t)

V

s

galonsal de libras * 2

utomin

galones

que simplificado quedará: t d

d s = 12 - 2 *

t 2 200

(t)

s(

minuto sal de librasde ) ;

t d

d s = 12 -

t 100

(t)

s,

finalmente la ecuación diferencial se puede escribir como: t d

d s+ [

t 100

1

] s = 12, que es una

ecuación diferencial lineal de primer orden.

La solución general de la ecuación diferencial será:

s = t 100

2 t6 t 1200

+

t 100

K

= 600 + 6 t – (

t 100

1

) K1, la cual, reemplazando las condiciones

iniciales, para t = 0 , s(0) = 50 lbs, tendremos la solución específica o particular:

s = 600 + 6 t – (t 100

55000

) : Respuestas:

A) s = 600 + 6 t – (t 100

55000

), libras, con t en segundos, para 0 t 50 min.

B) 356.92 lbs. ; C) 533.3 lbs, para t = 50 min.

52 2

5

y - 35 2

3

y = 0.002766 t – 2.6326, con y en metros y t en segundos


CIRCUITOS ELÉCTRICOS – CIRCUITO RL Los siguientes problemas se refieren al circuito RL conectado en serie con una fuente de fuerza

electromotriz ( fem) constante , DC, o variable con el tiempo, senoidal o exponencial y cuya teoría es

presentada en la unidad 3 de las guías del profesor

18º. Un circuito RL en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia de

50 , se le aplica un voltaje v(t) = 30 v, para t 0. Determine la corriente i(t) , para

t 0. sí para t = 0, la corriente es igual a cero, i(0) = 0. Determine la corriente cuando

t .

Determine: vR(t) , vL(t) , para t 0. DESARROLLO: Determinación del modelo matemático:

De acuerdo con el enunciado teórico, la ecuación diferencial presentada para este caso es:

t d

d (t)i+

L

R i(t) =

L

(t)v

, la cual reemplazando los datos del problema, la ecuación quedará:

t d

d (t)i+ 500 i(t) = 300.

La solución general de la ecuación diferencial quedará: i(t) = - 53 e

- 500 t + k1 . Reemplazando las

condiciones iniciales i(0) = 0,

la solución específica o

particular quedará:

Para t ,

vR(t) = R * i(t) = 30 - 30 e- 500 t , v, con t en segundos, para t 0

vL(t) = L td

d (t)i = - 30 e- 500 t

, v, con t en segundos, para t 0

120 v, para 0 t 20 seg. 19º. Una fuente cuyo voltaje es: v(t) =

0 v, para t 20 segundos ,

se aplica a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es de 20 H y la resistencia de

2 ohmios. Determine la corriente i(t) , para t 0. sí para t = 0, la corriente es igual a cero, i(0) = 0.

DESARROLLO

Para 0 t 20 seg. Determinación del modelo matemático:

Reemplazando los datos del problema, la ecuación quedará: t d

d (t)i+ 0.1 i(t) = 6

La solución general de la ecuación diferencial quedará: i(t) = - 60 e- 0.1 t

+ k1 . Reemplazando las

condiciones iniciales i(0) = 0,

La solución específica o particular quedará:

Para t = 20 seg. ,

i(t) = 53 -

53 e- 500 t , A, con t en segundos, para t 0

i( ) = 53 A

i(t) = 60 - 60 e- 0.1 t , A, con t en segundos, para 0 t 20 seg.


i(20s) = 60(1 - e- 2) = 51.87 A

Para t 20 segundos. Determinación del modelo matemático:

Reemplazando los datos del problema, la ecuación quedará: t d

d (t)i+ 0.1 i(t) = 0

La solución general de la ecuación diferencial quedará: i(t) = k1 e- 0.1 t

. Reemplazando las condiciones

iniciales i(20s) = 60(1 - e- 2) la solución específica o particular quedará:

i(t) = 383.34 e- 0.1 t , A

20º. Una fuente cuyo voltaje es: v(t) = 100 Cos(60 t ) v, con t en segundos, para t 0. se aplica a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 5 H y la resistencia de

25 ohmios. Determine la corriente i(t) , para t 0. sí para t = 0, la corriente es igual a 4

A, i(0) = 4. Determine: vR(t) , vL(t) , para t 0. DESARROLLO:

Determinación del modelo matemático:

Reemplazando los datos del problema, la ecuación quedará:t d

d (t)i+ 5 i(t) = 20 Cos(60 t)

La solución general de la ecuación diferencial quedará: i(t) = 145

4 Cos(60 t) +14548 Sen(60 t) + k1 e

- 5 t.

Reemplazando las condiciones iniciales i(0) = 4, la solución específica o particular quedará:

vR(t) = R * i(t) = 2920 Cos(60 t) +

29240 Sen(60 t) -

29

20 e- 5 t v, con t en segundos, para t 0

vL(t) = L td

d (t)i = -

29240 Sen(60 t) +

292880 Cos(60 t) +

29

20 e- 5 t , v, con t en segundos, para t 0

21º. Una fuente cuyo voltaje es: v(t) = 100 e- 10 t Cos(60 t) v, con t en segundos, para t 0. se aplica a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 2 H y la resistencia

de 20 ohmios. Determine la corriente i(t) , para t 0. sí para t = 0, la corriente es igual a

0, i(0) = 0. Determine: vR(t) , vL(t) , para t 0. DESARROLLO:


Reemplazando los datos del problema, la ecuación quedará:t d

d (t)i+ 10 i(t) = 50 e- 10 t Cos(60 t)

La solución general de la ecuación diferencial se obtendrá aplicando la fórmula de la ecuación diferencial

lineal, por lo tanto: i(t) = e dt 10 [ k dt e e 1

t10-dt 10

t)Cos(6050 ], simplificando:

i(t) = e- 10 t[50 1k dt )t60(Cos ]

Cuya solución general será: i(t) = 65 e

- 10 t Sen(60 t) + k1 . Reemplazando las condiciones

iniciales i(0) = 0, la solución específica o particular quedará:

i(t) = 60(e 2 - 1) e

- 0.1 t , A, con t en segundos, para t 20 segundos

i(t) = 145

4 Cos(60 t) +14548 Sen(60 t) -

1454 e- 5 t

. A, con t en segundos, para t 0

i(t) = 65 e

- 10 t.Sen(60 t) A, con t en segundos, para t 0


vR(t) = R * i(t) = 6

100 e- 10 t

.Sen(60 t) v, con t en segundos, para t 0

vL(t) = L td

d (t)i = 100 e- 10 t [Cos(60 t) -

61 Sen(60 t) ] v, con t en segundos,

para t 0 = 101.37 e- 10 t [Cos(60 t – 9.4º) v

CIRCUITO RC Los siguientes problemas se refieren al circuito RC conectado en serie con una fuente de fuerza

electromotriz ( fem) constante , DC, o variable con el tiempo, senoidal o exponencial y cuya teoría es

presentada en la unidad 3 de las guías del profesor

22º Un circuito RC en serie, en el cual la capacitancia es de 2.5 x 10- 4 F y la resistencia

de 200 ohmios se le aplica un voltaje v(t) = 100 Cos(120 t) v, con t en segundos, para

t 0. Sí el capacitor está inicialmente descargado, q(0) = 0 c, determine: q(t) , i(t), vR(t),

vC(t), para t 0. Encuentre ¿Cuál es la amplitud de la corriente estacionaria? DESARROLLO:


De acuerdo con el enunciado teórico, y teniendo en cuenta que están dadas las condiciones iniciales para la carga, iniciamos el desarrollo del problema con el modelo matemático de la carga, por lo tanto, la

ecuación diferencial presentada para este caso es: t d

d (t)q+

RC

1 q(t) =

R

(t)v , reemplazando los datos del

problema, la ecuación quedará: t d

d (t)q+ 20 q(t) = 0.5 Cos(120 t)

La solución general de la ecuación diferencial quedará:

q(t) = 14801 Cos(120 t) +

14806 Sen(120 t) + k1 e

- 20 t. Reemplazando las condiciones iniciales q(0) = 0, la

solución específica o particular quedará:

Para determinar la corriente del circuito, utilizamos la ecuación: i(t) = t d

d (t)q, la cual , al reemplazar la

carga obtendremos:

i(t), = 741 [ - 6 Sen(120 t) + 36 Cos(120 t) + e

- 20 t ], A, con t en segundos, para t 0,

i(t), = 74

1332 1Cos(120 t - 9.4º) +

741 e- 20 t

o i(t), = 37

3 Cos(120 t - 9.4º) + 741 e- 20 t

A y las

demás variables quedarán:

vR(t) = R * i(t) = 37

100 [ - 6 Sen(120 t) + 36 Cos(120 t) + e- 20 t

] v, con t en segundos, para t 0

vR(t) = 37

600 Cos(120 t - 9.4º) +37

100 e- 20 t v, = 98.63 Cos(120 t - 9.4º) + 2.702 e- 20 t

v

vC(t) = C

(t)q = 2.702 [Cos(120 t) + 6 Sen(120 t) - e- 20 t

], v, con t en segundos, para t 0

q(t) = 1480

1 [Cos(120 t) + 6 Sen(120 t) - e- 20 t ], c, con t en segundos, para t 0


COMPROBACIÓN DE LA LEY DE KIRCHHOFF: v(t) = vR(t) + vC(t) =

2.702[ - 6 Sen(120 t) + 36 Cos(120 t) + e- 20 t

] + 2.702 [Cos(120 t) + 6 Sen(120 t) - e- 20 t ]

v(t) = - 16.212 Sen(120 t) + 97.272 Cos(120 t)- 2.702 e- 20 t +

2.702 Cos(120 t) + 16.212 Sen(120 t) – 2.702 e- 20 t

v(t) = 99.974 Cos(120 t) v , luego el voltaje de la fuente es aproximadamente igual a:

v(t) = 100 Cos(120 t) v

23º. A un circuito RC en serie, en el que la resistencia es de 1000 ohmios y la

capacitancia, de 5x10- 6 F, se le aplica un voltaje v(t) = 200 v, para t 0, ( voltaje constante proporcionado por una batería). Sí i(0), = 0.4 A, determine: q(t) , i(t), vR(t), vC(t),

para t 0.

Encuentre la carga y la corriente para t = 0.005 segundos ; y la carga cuando t DESARROLLO:


Determinación de las condiciones iniciales:

De acuerdo con la figura, v(t) = vR(t) + vC(t)

Luego para t = 0, v(0) = vR(0) + vC(0), por lo tanto:

vC(0) = v(0) - vR(0) =

200 - 1000 x 0.4 A = - 200 v

por lo tanto, q(0) = C x vC(0) = - 0.001 c

De acuerdo con el enunciado teórico, y teniendo en cuenta que están dadas las condiciones iniciales para la

corriente, iniciamos el desarrollo del problema con el modelo matemático de la corriente, por lo tanto,

la ecuación diferencial presentada para este caso es: td

d (t)i+

RC

1 i(t) = (

R

1)

td

d (t)v, reemplazando los

datos del problema, la ecuación quedará: td

d (t)i+ 200 i(t) = 0

La solución general de la ecuación diferencial quedará: i(t) = k1 e- 200 t

. Reemplazando las condiciones

iniciales i(0), = 0.4 , la solución específica o particular quedará:

vR(t) = R * i(t) = 400 e- 200 t v

También se puede partir de la ecuación

diferencial de carga t d

d (t)q+

RC

1 q(t) =

R

(t)v, reemplazando los datos del problema, la ecuación

quedará: t d

d (t)q+ 200 q(t) = 0.2 . La solución general de la ecuación diferencial quedará: q(t) = k1 e

- 200

t + 0.001. Reemplazando las condiciones iniciales q(0) = - 0.001c , la solución específica o particular

quedará:

Io

+

vC(t) Vo

-

vR(t)

i(t)

iR(t)

iC(t)

R

C t = 0

v(t)

i(t) = 0.4 e- 200 t A, con t en segundos, para t 0.

q(t) = - 0.002 e- 200 t

+ 0.001 c, con t en segundos, para t 0.


Prueba: i(t) = t d

d (t)q = 0.4 e- 200 t A

vC(t) = C

(t)q = - 400 e

- 200 t + 200 v ; i(0.005s) = 0.1471 A ; q(0.005s) = 0.000264 c ;

q( ) = 0.001 c

FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

LONGITUD ANGULO

1 m = 102 cm = 39.37 pulg = 6.214x 10-4

mill 1 mill = 5280 pie = 1.60934 Km

1 pulg = 2.540 cm ; 1 pie = 0.3048 m

1 radián = 57.3º 1º = 1.74x10-2 rad

1´ = 2.91x10-4 rad ; 1´´ = 4.85x10-6 rad

ÁREA VOLUMEN

1 m2 = 104 cm = 1.55x10-5 pulg2 10.76 pie2

1 pulg2 = 6.452 cm2 1 pie2 = 144 pulg2 = 9.29x10-2 m2

1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35.3 pie3 = 6.1x104 pulg3

1 pie3 = 2.83x10-2 m3 = 28.32 litros 1 pulg3 = 16.39 cm3

VELOCIDAD ACELERACIÓN

1 m/s = 102 cm/s = 3.281 pie/s 1 pie/s = 30.48 cm/s

1 Km/min = 60 Km/h = 16.67 m/s

1 m/s2 = 102 cm/s2 = 3.281 pie/s2 1 pie/s2 = 30.48 cm/s2

MASA FUERZA

1 Kg m = 103 g = 2.205 lb m 1 lb m = 453.6 g = 0.4536 Kg m = 0.0311

slug 1 uma = 1.6604x10-27 Kg m

1 N = 105 dina = 0.2248 lb f = 0.102 Kg f 1 dina = 10-5 N = 2.248x10-6 lb f

1 lb f = 4.448 N = 4.448x105 dina

UNIDAD 3 Aplic de ECU. DIF. 1er Orden Formato Del Libro

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