Una Nota Sobre Métodos de ResoluciónBásicos de Modelos de Expectativas

Racionales

Cruz A. Echevarría

Septiembre de 2002

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1 Introducción

El propósito de esta nota es complementar la exposición que del modelo básicode R. Lucas (1973) se hace en el Capítulo 4 de Attfield, Demery y Duck (1991), pre-sentando una exposición formal del mismo, y ofreciendo un tratamiento alternativoal desarrollado en su apartado 4.6, pp. 88-96. Al mismo tiempo se introducen méto-dos de resolución básicos de modelos en tiempo discreto que incorporan expectativasracionales.Dependiendo de la especificación concreta de las expectativas, distinguiremos

dos tipos de problemas que requerirán técnicas de resolución diferentes. El primerode éstos se caracteriza porque las ecuaciones dependen de expectativas de variablesendógenas corrientes, mientras que en los modelos del segundo tipo intervienen ex-pectativas de variables endógenas futuras. En el primer caso, la solución se obtendráde forma relativamente sencilla, mientras que en el segundo caso será necesario uti-lizar otro tipo de técnicas alternativas. En particular, ilustraremos cómo se resuelvenestos problemas mediante los métodos del operador de adelanto, sustitución repetiday coeficientes indeterminados.Ilustraremos los dos tipos de problemas mediante sendos modelos de oferta y

demanda agregadas que nos permitirán analizar la determinación de los niveles deproducción y precios de equilibrio, así como la cuestión de la efectividad de la políticamonetaria cuando los individuos forman sus expectativas de forma racional.La nota está organizada así. En el apartado 2 se presenta una formalización

del modelo básico de Lucas. En el apartado 3 se discute la resolución del modelocuando la oferta agregada incluye la expectativa pasada del precio de equilibriocorriente, obteniéndose la proposición de Sargent y Wallace de inefectividad de lapolítica monetaria cuando ésta es anticipada. En el apartado 4 se analiza unaespecificación alternativa para la oferta agregada, haciendo depender ésta de laexpectativa corriente del precio de equilibrio futuro. En el apartado 5 se discutentres métodos alternativos de resolución del modelo bajo tal especificación.

2 El modelo básico de Lucas

En este apartado se presenta una formalización del modelo básico de Lucas. Ver,por ejemplo, el capítulo 4 de Attfield, Demery y Duck (1991) para una exposiciónintuitiva del mismo.

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2.1 La regla de predicción óptima

Una cuestión previa sobre notación. En primer lugar, nosotros denotaremos laexpectativa racional de la variableXt+j condicionada por el conjunto de informacióndisponible al final del período t + i como t+iXt+j. Alternativamente, podríamosutilizar otro tipo de notación, de uso frecuente en la literatura, como Et+iXt+j oE[Xt+j|It+i], en donde It+i denota tal conjunto de información. Por simplicidad,utilizaremos la primera de todas. En segundo lugar, las variables expresadas enmayúsculas denotarán niveles; por contra, las variables expresadas en minúsculas,denotarán logaritmos.Supóngase que hay N mercados aislados, y que los agentes del mercado z cono-

cen:

1. el (logaritmo del) nivel de precios en su propio mercado z: pt(z).

2. cómo se distribuye el (logaritmo del) nivel de precios de equilibrio paratoda la economía: pt → N(t−1pt,σ2). Antes de acudir a su mercado z yobservar el precio pt(z) correspondiente, los agentes de todos los mer-cados comparten el mismo conjunto de información, It−1. Como partede ese conjunto de información, los individuos tienen una distribuciónprevia de cuál va a ser el (logaritmo del) nivel de precios de equilibriopt. En concreto, esperan que pt sea una variable aleatoria normalmentedistribuida con media t−1pt y varianza σ2.

3. la relación existente entre el nivel general de precios y el precio de cadamercado z: pt(z) = pt + zt, donde zt → N(0, τ 2). Es decir, el (logarit-mo del) precio del mercado z es igual al nivel general de precios paratoda la economía más una perturbación aleatoria, zt, distribuida nor-malmente con media cero y varianza τ 2. La perturbación zt representalos “shocks” de demanda relativos al mercado z.

El problema planteado es el siguiente: para un agente que sólo observa, primero,el precio de su propio mercado; segundo, de la distribución previa del nivel generalde precios de equilibrio; y, tercero, la relación existente entre ambos niveles deprecios, ?‘cuál será su mejor predicción acerca del nivel de precios de la economíaen agregado?Supóngase que p̂t(z) fuera el E.L.I.O. (Estimador Lineal Insesgado Óptimo) para

pt construido por un agente del mercado z como una combinación lineal convexa dedos datos que le resultan conocidos: p̂t(z) = αt−1pt + (1− α)pt(z) para algún α por

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determinar. El problema será encontrar aquel α que minimiza el error cuadráticomedio (E.C.M.) de la predicción.

Error ≡ p̂t(z)− pt =

= αt−1pt + (1− α)pt(z)− pt + αpt − αpt =

= −α(pt −t−1 pt) + (1− α)[pt(z)− pt)] =

= −α(pt −t−1 pt) + (1− α)zt. (1)

Así, tomando esperanzas sobre el cuadrado del error, se tiene que

E.C.M. = E[p̂t(z)− pt]2 =

= E[α2(pt −t−1 pt)2 + (1− α)2z2t − 2α(1− α)(pt −t−1 pt)zt] =

= α2σ2 + (1− α)2τ 2, (2)

pues las variables aleatorias (pt −t−1 pt) y zt son independientemente distribuidas yambas tienen media cero, y en donde E denota “operador esperanza”. MinimizandoE.C.M. con respecto a α, se tiene como condición necesaria de primer orden

∂E.C.M.

∂α= 2ασ2 − 2(1− α)τ 2 = 0, (3)

de donde

α =τ 2

σ2 + τ 2. (4)

Compruébese que se satisface la condición de segundo orden y que, efectivamente,(4) implica un mínimo para (2).Así, pues, se tiene que

p̂t(z) =τ 2

σ2 + τ 2t−1pt +

σ2

σ2 + τ 2pt(z). (5)

Obsérvese que p̂t(z) resulta ser una media ponderada de dos datos conocidos por losagentes: la esperanza del nivel de precios de equilibrio (previa a observar el nivel

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de precios en el mercado z y común a todos los mercados) y el precio del propiomercado.Considere dos situaciones extremas. En la primera, suponga un país cuya historia

se caracterizara por una gran estabilidad en los precios (de suerte que σ2 fueraaproximadamente cero), y en la que las variaciones en los precios de los mercadosindividuales se hubieran debido fundamentalmente a “shocks” relativos de demanda(y, por tanto, τ 2 fuera relativamente “grande”). En tal caso, se tendrá que p̂t(z)

será aproximadamente igual a t−1pt: los agentes apenas tienen en cuenta qué ocurreen su propio mercado para predecir el nivel general de precios, resultando más fiablesu expectativa racional ( previa) de pt. En este caso, un (por ejemplo) incremento enpt(z) no afectaría a p̂t(z), dando lugar a un incremento en el precio relativo percibidopor los individuos del mercado z.Si, por el contrario, el nivel general de precios hubiera variado mucho en el pasado

(con una historia de hiperinflaciones) y no así los precios relativos de los diferentesmercados (es decir, σ2 y τ 2 fuesen, respectivamente, “grande” y “pequeña”), en-tonces los individuos tendrían más en cuenta el precio observado en el mercado z,y menos la esperanza previa del nivel de precios de equilibrio para predecir éste. Siéste fuera el caso, un incremento en pt(z) también haría incrementarse el nivel deprecios agregado esperado p̂t(z), dejando inalterado el precio relativo percibido porlos individuos del mercado z, esto es, pt(z)− p̂t(z).?‘Por qué resulta relevante el precio relativo que perciben los individuos de una

mercado cualquiera? Pues porque, como veremos a continuación, las decisiones deoferta dependen precisamente de éste.

2.2 Función de oferta agregada de Lucas

Supóngase que la oferta (con las variables expresadas en forma de logaritmos)en el mercado z fuera

yt(z) = kt + xt(z), (6)

xt(z) = γ[pt(z)− p̂t(z)], γ > 0, (7)

en donde kt es un componente normal (natural o secular) conocido y común a todoslos mercados, y xt(z) es un componente cíclico que varía de mercado a merca-do. Además, se supone que éste último depende positivamente del precio relativo

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percibido por los productores de cada mercado, pt(z)− p̂t(z).1Utilizando la regla de predicción óptima,

xt(z) = γ[pt(z)− αt−1pt − (1− α)pt(z)] =

= γα[pt(z)−t−1 pt]. (8)

Definiendo β ≡ γα, y agregando para todos los mercados,

yt(z) = kt + xt(z)

yt(z) = kt + β[pt(z)−t−1 pt], (9)

que es la oferta del mercado z; agregando sobre z,

NXz=1

1

Nyt(z) =

NXz=1

1

Nkt +

NXz=1

1

Nβ[pt(z)−t−1 pt] =

=NXz=1

1

Nkt + β

"NXz=1

1

N(pt(z)−t−1 pt)

#⇒

yt = kt + β(pt −t−1 pt), β > 0 (10)

que es, justamente, la Oferta Agregada de Lucas, y en donde yt es el nivel deproducción agregado medio.Obsérvese que la pendiente de la función inversa de oferta es 1/β y que la posición

de ésta depende del nivel de precios esperado. Resulta interesante analizar cómoafecta la discusión anterior sobre las varianzas σ2 y τ 2 y a dicha pendiente. Enefecto, se tiene que la pendiente es igual a (σ2 + τ 2)/(γτ 2).Considérese ahora el caso de un país con una larga tradición de hiperinflaciones,

y en el que el nivel general de precios se hubiera caracterizado por una gran volatil-idad. En tal caso se tendría una oferta agregada (o, más exactamente, una funcióninversa de oferta agregada) vertical. En estas condiciones, una autoridad monetariaque en el pasado hubiera abusado engañando al sector privado de la economía conaltas tasas de inflación y gran variabilidad en el nivel de precios, habría perdido

1El lector interesado puede encontrar una microfundamentación al respecto en Lucas (1972).

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credibilidad. Se encontraría con una capacidad de maniobra nula: sucesivos inten-tos de incrementar la producción mediante expansiones de la demanda agregada setraducirán únicamente en incrementos en el nivel de precios.La situación de un país con una historia monetaria estable, sin sobresaltos, sería

justamente la contraria. Se tendría una (función inversa de) oferta agregada conmenor pendiente, teniendo la política de manejo de la demanda capacidad paraafectar a la producción.

3 Resolviendo modelos que contienen únicamenteexpectativas de variables endógenas corrientes

En este apartado resolvemos el modelo de oferta y demanda agregadas de Lucas,obteniendo el precio y la producción de equilibrio.Considérese el siguiente modelo de oferta y demanda agregadas, y obténganse

los valores de equilibrio de los niveles de precios y producto.i) demanda agregada de elasticidad-precio unitaria (en logaritmos)

pt + yt = mt, (11)

donde pt es el nivel precios en el período t, yt es el producto en el período t, mt

es la oferta monetaria en el período t, y donde se supone que la velocidad-renta decirculación del dinero es constante y, por simplicidad, idénticamente igual a uno.Obsérvese que la ecuación implica que la demanda agregada depende únicamente devariables monetarias.ii) oferta agregada de Lucas (en logaritmos)

yt = kt + β(pt −t−1 pt), β > 0, (12)

en donde kt es el nivel de producto normal (o natural, y que se supone exógenoy conocido); t−1pt es la expectativa racional del nivel de precios correspondiente alperíodo t formada según el conjunto de información disponible al final del períodot−1. Más adelante (en el apartado 4) haremos un supuesto alternativo para el preciorelativo relevante para la oferta, y que tendrá consecuencias importantes sobre laefectividad de la política monetaria, además de obligarnos a utilizar otro método deresolución diferente al que a continuación vamos a ver.

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3.1 Solución

Despejando yt de (11) y (12) e igualando se tiene

kt + β(pt −t−1 pt) = mt − pt,

es decir,

(1 + β)pt = mt − kt + βt−1pt, (13)

que es una ecuación en diferencias estocásticaEsta podría parecer una solución para el nivel de precios. Sin embargo, depende

de t−1pt, la propia expectativa del nivel de precios: es una variable endógena (gen-erada por el propio modelo) y, por lo tanto, no puede aparecer formando parte dela solución de otra variable, sino que requiere su propia solución.Tomando expectativas racionales en condicionadas al conjunto de información

disponible al final del período t − 1 sobre (13), (y que incluye, además de las con-stantes, todos los valores de todas las variables fechadas en t− 1 y períodos anteri-ores), se tiene

(1 + β)t−1pt =t−1 mt − kt + βt−1pt. (14)

Obsérvese que kt se supone conocido y que, por tanto, t−1kt = kt. Por otraparte, mt es una variable exógena, en general desconocida, y cuyo valor dependerádel proceso que siga la oferta monetaria. Así, se tiene que

t−1pt =t−1 mt − kt. (15)

[Intente justificar por qué t−1mt aparece con signo positivo en y por qué kt lohace con signo negativo].Sustituyendo (15) en (13) se obtiene la solución para pt:

pt =mt − kt1 + β

+β

1 + β(t−1mt − kt). (16)

Así, pues, el nivel de precios será mayor cuanto mayores sean la oferta monetariay la expectativa de ésta, y será menor cuanto mayor sea el nivel de producciónnormal. (?‘Por qué?).Antes de seguir, un par de comentarios. Primero, obsérvese la racionalidad de

los agentes. Éstos determinan cuál es su expectativa del precio de equilibrio (15)imponiendo la propia condición de equilibrio: t−1pt es, pues, una variable endógena.

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Y el precio de equilibrio que se obtiene en (16) es consistente con la expectativaformada. En efecto, tomando expectativas sobre pt en y operando, se obtiene denuevo (15). En otras palabras, los agentes no esperan confundirse en su predicción dept. Compruébese que, restando (15) de (16) y tomando expectativas, la expectativadel error de predicción, t−1(pt −t−1 pt), es efectivamente cero. Digamos que no sería“racional” esperar no acertar, ni tan siquiera en promedio, al efectuar la predicción.En segundo lugar, podemos descomponer el efecto que sobre el precio de equilib-

rio tienen el componente anticipado de la política monetaria (t−1mt) y el componenteno anticipado, (mt−t−1mt). A este último nos referiremos más adelante como “sor-presa” de la autoridad monetaria o error de predicción de la política monetaria porparte de los agentes privados. Así, sumando y restando t−1mt/(1+β) en el segundomiembro de (16) y operando, se tiene

pt = −kt +t−1 mt +1

1 + β(mt −t−1 mt). (17)

[Intente razonar el porqué de los signos de kt, t−1mt y (mt−t−1mt) en la anteriorexpresión].Restando (15) de (16), y sustituyendo (pt −t−1 pt) en (12), se tendrá la solución

para el nivel de producción de equilibrio

yt = kt +β

1 + β(mt −t−1 mt). (18)

Por tanto, el nivel de producción será mayor cuanto mayores sean la producciónnormal (?‘por qué?) y la sorpresa de la autoridad monetaria o error de predicciónde la demanda agregada, es decir la diferencia entre el nivel de oferta monetariaefectiva y la esperada: mt −t−1 mt. (?‘Por qué?).Por último obtenemos las varianzas del producto σ2y y del precio σ

2 de equilibrio.Denotando et al error de predicción de la oferta monetaria [et ≡ mt−t−1mt], al quesuponemos una variable i.i.d. con media 0 y varianza σ2e, se tiene (de la soluciónpara yt) que

σ2y =

Ãβ

1 + β

!2σ2e.

Nótese que (para una β dada) σ2y depende positivamente de la varianza del errorde predicción de la oferta monetaria: la autoridad monetaria podría afectar a laproducción de equilibrio sorprendiendo al sector privado. Obsérvese que tambiéndepende positivamente de β (de manera negativa de 1/β, la pendiente de la inversade la oferta agregada). Sin embargo, β es endógeno [β = γτ2

σ2+τ2]: depende negativa-

mente de la varianza del precio de equilibrio σ2: un intento repetido por parte de

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la autoridad monetaria de afectar a la renta de equilibrio mediante engaños acercade su política, se traduciría en mayor varianza del precio de equilibrio σ2, menor β(mayor pendiente de la inversa de la oferta agregada 1/β) y menor variación en larenta de equilibrio que, en el límite, permanecería igual a su nivel natural kt. Portanto, el parámetro β , no es constante, sino que depende de la política llevada acabo.Queda por obtener la varianza del precio de equilibrio σ2. De la solución para

pt, se tiene que

σ2 =

Ã1

1 + β

!2σ2e,

y, dado β,

σ2 =

1

1 + γτ2

σ2+τ2

2 σ2e,que, implícitamente caracteriza a σ2 como una función de σ2e (y de τ

2). Por ejemplo,en el caso límite de τ 2 = 0, entonces todas las perturbaciones en la oferta monetariade trasladarían a los precios [σ2 = 1× σ2e] y no a la producción [σ

2y = 0× σ2e].

Obsérvese que en el caso particular en el que supusiéramos previsión perfecta ylos agentes privados fueran capaces de prever perfectamente la política monetariadel gobierno (mt =t−1 mt), el nivel de precios de equilibrio sería

pt = mt − kt, (19)

esto es, únicamente dependerá de la oferta monetaria y de la producción natural.Igualmente, se tendrá que el valor de equilibrio de yt será

yt = kt, (20)

como cabría esperar, por lo que kt puede ser interpretado como el nivel de producciónde previsión perfecta o información completa. Por tanto, la única capacidad quetiene la autoridad monetaria de afectar al nivel de producción es sorprendiendo alos individuos con una política monetaria distinta de la anunciada, de forma que(mt−t−1mt) sea distinto de cero. Incluso esta táctica de engañar al personal tendríasus limitaciones en el largo plazo. Recuérdese la discusión anterior sobre la pendientede la oferta agregada y la variabilidad del nivel de precios de equilibrio.

3.2 Oferta y demanda agregadas aleatorias

Supongamos que tanto la demanda agregada como la oferta agregada estuvier-an afectadas por sendos componentes aleatorios. En efecto, supongamos que la

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demanda y la oferta agregadas vinieran dadas, respectivamente, por (21) y (22):

pt + yt = mt + vt, (21)

donde pt, yt, y mt se definen como en (11), pero donde la velocidad-renta de circu-lación del dinero se supone aleatoria, y su logaritmo, vt, independiente e idéntica-mente distribuido (i.i.d.) con media cero: E[vt] = E[vtvt+i] = 0, para todo i distintode cero. El término vt recoge posibles perturbaciones en la demanda de saldos reales,producto, por ejemplo, de perturbaciones en la política fiscal que afectan al tipo deinterés.

yt = kt + β(pt −t−1 pt) + ²t, β > 0, (22)

en donde ²t es una perturbación aleatoria i.i.d. con media cero: E[²t] = E[²t²t+i] = 0,para todo i distinto de cero, y que además E[vt+j²t+i] = 0 para todo i y para todoj. Los ²t’s se interpretan como el resultado de perturbaciones en la productividaddebidas, por ejemplo, a “shocks” en la tecnología, climatología, etc.

3.2.1 Solución

Despejando yt de (21) y (22), e igualando se tiene

kt + β(pt −t−1 pt) + ²t = mt + vt − pt,

es decir,

(1 + β)pt = mt − kt + βt−1pt + vt − ²t. (23)

Tomando expectativas (racionales) condicionadas por el conjunto de informaciónIt−1, se tendrá de nuevo

(1 + β)t−1pt =t−1 mt − kt + βt−1pt, (24)

pues t−1²t =t−1 vt = 0. (Por qué) Así, volvemos a tener

t−1pt =t−1 mt − kt. (25)

Sustituyendo en se tendrá la solución para pt:

pt =mt − kt1 + β

+β

1 + β(t−1mt − kt) + ηt, (26)

en donde ηt ≡ vt−²t1+β

.

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Por tanto, al igual que en (16), el nivel de precios será mayor cuanto mayoressean la oferta monetaria y la expectativa de ésta, y menor cuanto mayor sea el nivelde producción normal. Además, “shocks” positivos de oferta (²t > 0) reducirán elnivel de precios, y “shocks” de demanda (vt > 0) lo incrementarán. Restando (25)de (26), y sustituyendo pt −t−1 pt en (22) se tendrá

yt = kt +β

1 + β(mt −t−1 mt) + ut, (27)

en donde ut ≡ βvt+²t1+β

.Por tanto, el nivel de producción será mayor cuanto mayores sean el nivel de

producción natural, los “shocks” positivos de oferta y demanda agregadas, y el errorde predicción de la política monetaria, es decir, la diferencia entre el nivel de ofertamonetaria efectiva y la esperada: mt −t−1 mt.

3.3 Un proceso concreto para la oferta monetaria

Supongamos que los individuos supieran que la oferta monetaria crece a una tasaconstante θ de suerte que mt siguiera el siguiente proceso

mt = mt−1 + θ +$t, (28)

donde $t es el componente estocástico de la oferta monetaria y que se supone quees i.i.d. con media cero.2 En tal caso, se tendrá que t−1mt = mt−1+θ. Sustituyendoen las soluciones (26) y (27) para pt e yt, respectivamente, se tendrá

pt = mt − kt − β

1 + β$t + ηt, (29)

y

yt = kt +β

1 + β$t + ut. (30)

Obsérvese que yt NO depende del comportamiento sistemático (θ) de la políticamonetaria, sino tan sólo de su componente no anticipado (la diferenciamt−t−1mt =

$t), además de las perturbaciones no anticipadas de oferta y demanda.

2θ se define como (1 + θ) ≡ Mt/Mt−1. Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene quemt −mt−1 ≡ ln(1 + θ) que, para θ suficientemente pequeño, puede ser aproximado por θ.

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4 Una especificación alternativa para la Oferta deLucas

El método que hemos visto en el anterior apartado resulta relativamente sencillo.Sin embargo, no siempre resulta operativo. Considérese un pequeño cambio, ysupóngase que la oferta agregada fuera

yt = kt + β(pt −t pt+1), β > 0, (31)

en donde el significado de los símbolos es obvio.Hasta ahora se ha definido el precio relativo esperado como el cociente del precio

en un mercado dado entre la expectativa racional condicionada por el conjunto deinformación disponible en t−1 del nivel general de precios. En realidad, teóricamenteresulta más probable que los oferentes respondan al precio relativo esperado definidoéste como el cociente del precio en su mercado entre su expectativa corriente del nivelde precios del próximo período. Si este precio relativo esperado es alto, por ejemplo,entonces a los productores les convendrá producir y vender más este año, y acumularlos ingresos en forma de saldos monetarios, anticipando que el valor real de éstosaumentará si el nivel general de precios se espera que disminuya.Una implicación que se deriva de esta especificación alternativa de la oferta

agregada es que un incremento sostenido en la tasa de crecimiento de la demandaagregada, y por tanto de la tasa de inflación, puede reducir de forma permanentela cantidad de producto ofrecido ya que también reduce permanentemente la tasade rendimiento derivada de mantener los ingresos de las ventas en forma de dinero.De este modo, cambios en la tasa de crecimiento de la demanda agregada que seanperfectamente anticipados [debidos, por ejemplo, a cambios en la tasa de crecimientode la oferta monetaria] podrán afectar el nivel de producción real.En el caso de (31) se tiene, pues, que la oferta agregada depende de la expectativa

(racional) de pt+1 condicionada por el conjunto de información disponible al finaldel período t. Se tiene, por tanto, la expectativa de una variable endógena futura.Así, de (11) y (31) se tendrá que

pt =1

1 + β(mt − kt + βtpt+1). (32)

Si no fuera por el último sumando en el paréntesis, esta sería la solución para elnivel de precios. Sin embargo, la solución únicamente puede depender de variablesexógenas (incluyendo valores pasados de variables endógenas) o de expectativas deéstas. [Recuérdese la discusión anterior acerca de la endogeneidad de t−1pt. Otro

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tanto cabría decir de tpt+1]. Así, necesitamos resolver para poder obtener pt. Asimple vista, una posible forma de encontrar la solución sería obtener una expresiónsimilar a (32) para t+ 1, y posteriormente aplicar el operador expectativa racionalen los dos miembros, para luego despejar tpt+1:

pt+1 =1

1 + β(mt+1 − kt+1 + βt+1pt+2), (33)

y tomando expectativas sobre los dos miembros de la ecuación condicionadas por elconjunto de información disponible al final del período t, se tendrá

tpt+1 =1

1 + β(tmt+1 − kt+1 + βtpt+2), (34)

con lo cual hemos resuelto un problema, pero hemos planteado uno nuevo, tpt+2.3

Para obtener (34) hemos utilizado la ley de expectativas iteradas según la cual lamejor expectativa que en el período t puede hacerse acerca de la mejor expectativaque en el período t + 1 se hará del valor de una variable X del período t + 2 es lapropia expectativa que hagamos en el período t. En general, se tendrá, pues, que

t[t+iXt+j] =t Xt+j,∀j ≥ i ≥ 0. En nuestro caso, t[t+1pt+2] =t pt+2.El ejemplo ilustra, por tanto, cómo resulta necesario utilizar algún método al-

ternativo de solución, dedicándose el apartado 4 a este propósito.

5 Resolviendo modelos que contienen únicamenteexpectativas de variables endógenas futuras

En este apartado aprenderemos a resolver modelos sencillos que incorporan ex-pectativas racionales corrientes de variables endógenas futuras. En principio se pre-sentan tres posibilidades: sustitución repetida, operador de adelanto, y coeficientesindeterminados, y que veremos en el mismo orden.

5.1 Sustitución repetida

Teníamos en (32) una expresión para pt

pt =1

1 + β(mt − kt + βtpt+1).

Si este es el proceso que genera pt, ello será cierto también para cualquier otroperíodo t + 1, t + 2, t + 3, ... Se trata de adelantar (32) para pt+1, pt+2, pt+3, etc.,

3Recuérdese que la trayectoria temporal de kt se supone conocida, y que, por tanto, tkt+1 =kt+1.

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hallar las correspondientes expectativas en el período t, y obtener una expresióngeneral para pt.Así, adelantando (32) un período se tiene que para t+ 1,

pt+1 =1

1 + β(mt+1 − kt+1 + βt+1pt+2),

y tomando expectativas racionales al final del período t

tpt+1 =1

1 + β(tmt+1 − k + βtpt+2), (35)

en donde hemos aplicado la ley de expectativas iteradas y, a diferencia de (34),hemos supuesto, por simplicidad, que kt es una constante conocida k para todo t.Sustituyendo (35) en (32) y agrupando términos, se tiene que

pt =mt

1 + β+

βtmt+1

(1 + β)2− k

"1

1 + β+

β

(1 + β)2

#+

β2

(1 + β)2tpt+2, (36)

expresión de la que desconocemos tpt+2.Adelantando (32) dos períodos se tendrá que para pt+2,

pt+2 =1

1 + β(mt+2 − k + βt+2pt+3), (37)

y tomando expectativas racionales en t se tendrá

tpt+2 =1

1 + β(tmt+2 − k + βtpt+3). (38)

Sustituyendo esta última expresión en (36) y agrupando términos, se tiene

pt =1

1 + βmt +

β

(1 + β)2tmt+1 +

β2

(1 + β)3tmt+2−

−k"1

1 + β+

β

(1 + β)2+

β2

(1 + β)3

#+

β3

(1 + β)3tpt+3, (39)

expresión de la que desconocemos tpt+3.Tras haber efectuado dos sustituciones, es posible identificar el aspecto de la

solución final. En efecto, supongamos que hubiéramos repetido el proceso anteriorT veces, y que posteriormente tomáramos el límite cuando T tiende a más infinito.Se tendrá entonces que, teniendo en cuenta que tmt+0 = mt,

pt =∞Xi=0

βi

(1 + β)i+1tmt+i − k

∞Xi=0

βi

(1 + β)i+1+ limT→∞

βT+1

(1 + β)T+1tpt+T+1. (40)

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Si suponemos que el límite que aparece en la última expresión se anula, entoncesobtenemos4, 5

pt =1

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!itmt+i − k. (41)

De este modo el nivel de precios de equilibrio en el período t depende no sólo dela oferta monetaria en dicho período, sino también de los valores de las expectativasefectuadas al final del período t de cuál será la oferta monetaria en todos los períodossubsiguientes hasta el infinito. El hecho de suponer que el límite en (40) es igual acero no deja de ser arbitrario, pues podríamos haber supuesto cualquier otro valor.Este ejemplo ilustra el problema de la multiplicidad de soluciones de los modelos deexpectativas racionales que incorporan expectativas corrientes de variables endóge-nas futuras. De hecho, puede demostrarse que si p∗t (la solución fundamental) denotael segundo miembro de (41), entonces pt = p∗t + bt también será solución siempre ycuando bt satisfaga unas determinadas propiedades no demasiado restrictivas. (Lovolveremos a ver en el apartado 5.2 cuando resolvamos el modelo haciendo uso deloperador de adelanto.)En efecto, por una lado tenemos

pt =1

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!itmt+i − k + bt ≡

≡ p∗t + bt; (42)

y, por otro,

(1 + β)pt = mt − k + βtpt+1.

Sustituyendo (42) en el primer miembro de (32); adelantando (42) un período,tomando expectativas en t, sustituyendo tpt+1 en el segundo miembro de (32), yoperando, se tiene

bt =β

1 + βtbt+1, (43)

que es la condición que caracteriza a la burbuja. Por ejemplo,

4Para los interesados, dicho término se conoce técnicamente como la “burbuja” del precio deequilibrio

5Recuérdese que, en general, si |c| < 1, entonces P∞i=j ci = cj/(1− c).

16

bt = b0

Ã1 + β

β

!t,

satisface la condición (43). Obsérvese que la burbuja tiende a “explotar” (bien amás infinito o a menos infinito) a medida que t crece.Sustituyendo pt (eliminando previamente el término de burbuja) en la ecuación

de demanda agregada, se tendrá que

yt = k +β

1 + βmt − 1

1 + β

∞Xi=1

Ãβ

1 + β

!itmt+i. (44)

Intente razonar el porqué de los signos con que mt, tmt+i, y k afectan a pt e yten (41) y (44), respectivamente.

5.2 Operador de adelanto

Para resolver la ecuación (18) también podemos utilizar el operador de adelantoal que denotaremos por B y que se define del siguiente modo:

B−itXt+j ≡ tXt+j+i. (45)

Es decir, aplicando el operador adelanto i veces a la expectativa racional en tde la variable Xt+j se obtiene la expectativa racional en t (y, por tanto, el conjuntode información sigue siendo el mismo, It) de la variable Xt+j+i que se realiza en eltiempo i períodos después de la variable Xt+j. Como casos particulares se tendrá,para j = 0 y suponiendo (como siempre supondremos nosotros) que el conjunto deinformación It contiene todas las variables indiciadas en t y períodos anteriores, queB−1tXt ≡t Xt+1 y B−itXt ≡t Xt+i.6Antes de seguir adelante, necesitamos algunas propiedades del operador de ade-

lanto.(a) Aplicado i veces a una constante c cualquiera, ésta permanece inalterada:

B−ic = c.(b) Aplicado i veces a una variable cuyo exponente es t (el tiempo), se obtiene

la misma variable elevada a un exponente i veces mayor: B−iXt = Xt+i.(c) Si |α| < 1, entonces6Puede demostrarse que el operador de adelanto tan sólo está bien definido para potencias

negativas. Ver Sargent (1987), p. 395, n. 3.

17

1

1− αB−1=

∞Xi=0

αiB−i = (1 + αB−1 + α2B−2 + · · ·)

(d) Como consecuencia de (a), (b) y (c), se tiene que

(1− αB−1)cµ1

α

¶t= 0.

Todo lo anterior nos servirá para resolver (32). En efecto, se tendrá que, porla definición de B−i y dejando en el primer miembro únicamente términos de pt,podemos expresar (32) como

βpt + pt − βtpt+1 = mt − k, (32bis)

de donde, tomando expectativas condicionadas al conjunto de información It, ten-emos

βtpt +t pt − βB−1t pt = tmt − k. (46)

Dividiendo ambos miembros por (1 + β) se tieneÃ1− β

1 + βB−1

!tpt =

1

1 + β(tmt − k), (47)

o, lo que es lo mismo, pasando el término que premultiplica a tpt al segundo miembroy según (d) [ teniendo en cuenta que tpt ≡ pt],

pt =1h

1− β1+βB−1

i 1

(1 + β)(tmt−k) + c

Ã1 + β

β

!t, (48)

en donde c es una constante arbitraria. Por otro lado, según (c), se tiene que

pt =1

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!iB−i(tmt−k) + c

Ã1 + β

β

!t⇒

⇒ pt =1

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!i(tmt+i−k) + c

Ã1 + β

β

!t. (49)

De nuevo, se observa que las soluciones, dependiendo del valor que tome c, sonmúltiples. En concreto, obtendríamos la solución obtenida en el apartado anterior5.1 para el caso particular de que c fuera igual a cero.

18

Resulta sencillo comprobar que (49) es, efectivamente, solución de pt en laecuación (32.bis). En efecto, dado (49), obtenga la solución para pt+1, posterior-mente obtenga tpt+1 y sustituya la expresión así obtenida junto a pt, según (49), en(32.bis) y observará cómo, efectivamente, ésta se satisface.Una vez obtenida la solución para pt, la obtención de la producción de equilibrio

resulta inmediata.

5.3 Coeficientes indeterminados

En este apartado resolveremos (32) mediante la técnica de los coeficientes inde-terminados. Teníamos, pues, que

pt =1

1 + β(mt − kβtpt+1).

En primer lugar, se trata de proponer una solución de prueba. Dada nuestra“experiencia” para estas alturas podemos aventurarnos a suponer que la solucióndependerá de k, de mt, y de tmt+i para i desde 1 hasta infinito, además de unaposible burbuja, bt. Es decir, la solución para pt tendrá el siguiente aspecto

pt = Π0 +Π1k +Π2mt +∞Xj=1

Ψjtmt+j + bt. (50)

El objetivo es encontrar, precisamente, los coeficientes Π0, Π1, Π2 y Ψj.Si la solución de prueba (50) es cierta, entonces se tendrá que, adelantando un

período y tomando expectativas,

tpt+1 = Π0 +Π1k +Π2tmt+1 +∞Xj=1

Ψjtmt+1+j + tbt+1. (51)

Sustituyendo (51) en (32) y reagrupando términos se tendrá que

pt =βΠ01 + β

+

" −11 + β

+βΠ11 + β

#k+

+1

1 + βmt +

βΠ21 + β

tmt+1 +β

1 + β

∞Xj=1

Ψjtmt+1+j +β

1 + βtbt+1. (52)

Igualando el término constante y los coeficientes de k, mt, y tmt+i en (50) y (52),se tiene que Π0 = 0, Π1 = −1, Π2 = 1/(1 + β), Ψ1 = β/(1 + β)2, y, en general,Ψj = βj/(1 + β)j+1 para j ≥ 2. Comparando los coeficientes de la burbuja se tiene

bt =β

1 + βtbt+1,

19

que, lógicamente, coincide con lo obtenido en (43).De este modo la solución es laobtenida mediante los dos métodos de resolución anteriormente vistos.

5.4 Un proceso concreto para la oferta monetaria

Si suponemos que la oferta monetaria sigue el siguiente proceso ya visto en elapartado 3.3

mt = mt−1 + θ +$t,

entonces se tendrá que tmt+i = mt + iθ. En efecto, adelantando mt para suce-sivos períodos, se tendrá que tmt+i = mt + iθ, pues t$t+i = 0, i ≥ 1. Por tanto,sustituyendo en la solución para pt (tras haber eliminado la burbuja, se tendrá

pt = −k + 1

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!i(mt + iθ) =

= mt − k + θ

1 + β

∞Xi=0

Ãβ

1 + β

!ii, (53)

de donde7

pt = mt − k + θβ. (54)

Y una vez obtenido pt, podemos sustituir en la demanda agregada para obtenerla solución para yt

yt = k − θβ. (55)

Obsérvese que en este caso el componente perfectamente anticipado de la políticamonetaria -la tasa de crecimiento de la oferta monetaria θ- sí tiene efecto sobre elnivel de producción. Ello implica que la política monetaria tiene efectos permanentessobre la producción, contrariamente a lo que ocurría cuando la especificación parala oferta de Lucas era la ecuación (12) en lugar de (31).

Ejercicio: el modelo de hiperinflación de CaganSuponga una situación en la que la demanda de saldos reales depende única-

mente de la tasa de inflación esperada, y en la que el mercado de dinero estuviera

7Pista: Demuestre previamente queP∞i=0

³β1+β

´ii = (1 + β)β.

20

continuamente en equilibrio. Expresando las variables en logaritmos, se tendría quela condición de equilibrio en el mercado de dinero sería

mt − pt = a− b(tpt+1 − pt), a, b > 0. (56)

(a) ¿Cómo justificaría la anterior especificación de la condición de equilibrio enel mercado de saldos reales?(b) Obtenga el precio de equilibrio por los tres métodos que acabamos de ver.

pt = −a+ 1

1 + b

∞Xi=0

Ãb

1 + b

!itmt+i + c

Ã1 + b

b

!t(c) Suponga que la oferta monetaria fuera constante e igual a m. ¿Cuál sería,

entonces, el precio de equilibrio?

Referencias

[1] Attfield, C.L.F., D. Demery, y N.W. Duck (1991), RationalExpectations in Macroeconomics: an Introduction to Theory and Evi-dence, Ed. Basil Blackwell.

[2] Barro , R. J. y D. Gordon (1983), “Rules, Discretion and Reputa-tion in a Model of Monetary Policy”, Journal of Monetary Economics,12, pp. 101-122.

[3] Blanchard, O. J. y S. Fischer (1989), Lectures on Macroeconomics,Cambridge: The MIT Press.

[4] Cagan, P. (1956), “The Monetary Dynamics of Hyper-Inflation”, enM. Friedman (ed.) Studies in the Quantity Theory of Money, The Uni-versity of Chicago Press, Chicago.

[5] Chow, G. (1983), Econometrics, Economics Handbook Series,McGraw-Hill Book Company.

[6] Fischer, S. (1977), “Long Term Contracts, Rational Expectations andthe Optimal Money Supply Rule”, Journal of Political Economy, 85, pp.191-206.

[7] Kydland, F. y E. Prescott (1977), “Rules Rather than Discretion:the Inconsistency of Optimal Plans”, Journal of Political Economy, 85,pp. 473-491

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[8] Lucas, R. Jr. (1972), “Expectations and the Neutrality of Money”,Journal of Economic Theory, Vol. 4, pp. 103-124.

[9] Lucas, R. (1973), “Some International Evidence on Output-InflationTrade Offs”, American Economic Review, 63, pp. 326-334.

[10] Lucas, R. Jr.(1976), “Econometric Policy Evaluation: a Critique”, enK. Brunner y A. Meltzer (eds.), The Phillips Curve and Labor Markets,Carnegie-Rochester Conference Series on Pu-blic Policy 1, Amsterdam:North-Holland, reimpreso en Lucas, R. E. (1981), Studies in BusinessCycle Theory, Cambridge: The MIT Press, pp. 104-130.

[11] Lucas, R. Jr. (1983), “Expectations and the Neutrality of Money.Corrigendum, Journal of Economic Theory, 31 (1), pp. 197-199.

[12] Minford, P. (1992), Rational Expectations Macroeconomics. An In-troductory Handbook, Blackwell.

[13] Muth, J. (1960), “Optimal Properties of ExponentiallyWeighted Fore-casts”, Journal of the American Statistics Association, 55, pp. 299-306.

[14] Muth, J. (1961), “Rational Expectations and the Theory of PriceMovements”, Econometrica, 29, pp. 315-335. Existe una traducción alcastellano: “Expectativas racionales y teoría de los movimientos de pre-cios”, Revista Española de Economía (1979), Julio-Septiembre, pp. 123-148.

[15] Novales, A. y C. Sebastián (1999), Análisis Macroeconómico I,Madrid: Marcial Pons.

[16] Romer, D. (1996), Advanced Macroeconomics, McGraw Hill.

[17] Sargent, T. (1987), Macroeconomic Theory, 2nd edition. AcademicPress.

[18] Taylor, J. B. (1979), “Staggered Wage Setting in a MacroeconomicModel”, American Economic Review, Papers and Proceedings, 69, pp.108-113.

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