Un modelo simple de depredación sobre juveniles: comparación tiempo discreto-tiempo continuo
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Un modelo simple de depredación sobre juveniles: comparación tiempo discreto-tiempo continuo Andrea Decidel Jorge González Guzmán IMA-PUCV
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Un modelo simple de depredación sobre juveniles: comparación tiempo discreto-tiempo continuo. Andrea Decidel Jorge González Guzmán IMA-PUCV. Ejemplo de presas. depredador. Modelo en tiempo discreto:. PRESA: X : tamaño pobl. juveniles Y : tamaño pobl. adultos - PowerPoint PPT Presentation
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Un modelo simple de depredación sobre juveniles: comparación
tiempo discreto-tiempo continuoAndrea Decidel
Jorge González GuzmánIMA-PUCV
Ejemplo de presas
depredador
Modelo en tiempo discreto:
• PRESA: X : tamaño pobl. juveniles
Y : tamaño pobl. adultos Z: tamaño pobl. depredadores
• X’: sucesor de x , análogamente y’ , z’
• Depredador:
0
01
f
z
' (1 (1 )z
z r za bx
• El sistema de tiempo discreto queda:
'
'1
' (1 (1 )
x fy
y xz
zz r z
a bx
• Invariancia primer octante: • Puntos de equilibrio:• Z = 0 (en ausencia de depredadores):• (0,0,0) el punto de equilibrio trivial• Si (caso singular: ) : hay una
recta de equilibrio:
3r
1f
( , ,0),x x x o
0 1R
• x = y =0 : en ausencia de presas:• En el interior del octante (equilibrios de
coexistencia) : solo si
(0,0, )a
1f a
1*
1* *
1*
f ax
b
y xf
fz
• Estabilidad local:
Hay un valor propioPor lo tanto es siempre inestable (caso no
degenerado )
0 0
(0,0,0) 0 0
0 0 1
f
J
r
1 1r
0r
• El caso singular
Tiene los mismos valores propios que el caso
anterior: luego es siempre inestable.
0, 1z f
0 0
( , ,0) 0
0 0 1
f
J x x x
r
• El equilibrio (0,0,a)
• Los valores propios son :
0 0
(0,0, ) 0 01
0 1
f
J aa
rb r
1 ;1
fr
a
• Luego, es estable si acaso
• El punto de equilibrio de coexistencia:
0 2
1
r
f a
2
0 0
1( *, *, *) 0
1
0 1
f
f aJ x y z
z bf
rb r
La ecuación característica es de tercer grado:
• Truco: 2( 1)(1 ) 0r 3 2( ) (1 ) (1 )f r r
Este punto es siempre inestable
El análogo de tiempo continuo
El sistema de ec. diferenciales queda:
• Invariancia del primer octante:
' ( )1
'
' (1 )
zx fy x
zy sx my
zz r z
a bx
( plano z=0 es invariante)
0 ' 0x x fy
0 ' 0y y sx
0 ' 0z z
Puntos de equilibrio: (0,0,0) caso singular:
recta de equilibrio en ausencia de depredadores
(0,0,a) equilibrio en ausencia de presas
sf m
( , ,0)s
x xm
• Equilibrio de coexistencia:• Existe si se cumplen las condiciones:•
( *, *, *)x y z
0
( )
msf m
sf ma
m sf m
La estabilidad local:
• Si :
Entonces (0,0,a) es localmente asintóticamente estable.
1
masf m
a
