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Bloque 3. Análisis de la información Tema 1. Conteo (principios multiplicativos) y cálculo de probabilidades Ismael organizó una comida para sus trabajadores y sus familias al final de la cosecha. Cada persona recibió un boleto que participaba en una rifa por un premio que se le entregaría a la persona que tuviera el número del boleto seleccionado al azar de una urna. Si el total era de 200 boletos y los integrantes de la familia de Julio César son 7, ¿cuál es la probabilidad de que esta familia resulte triunfadora?

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Para resolver el problema anterior hay que utilizar la probabilidad, pues ésta ayuda a determinar la posibilidad de obtener uno o varios resultados favorables en un experimento aleatorio. La probabilidad teórica de un evento se expresa como:

Como el número de integrantes de la familia de Julio César es de 7 y el total de personas que participaron es de 200, el número de casos favorables es de 7 y el número de resultados posibles es de 200, por lo que la probabilidad de que la familia

de Julio César resulte ganadora es de %5.3035.02007

== .

Hay ocasiones en las que se quiere calcular la probabilidad de la repetición de un mismo experimento y para determinar todos los posibles resultados se utiliza el diagrama de árbol, que es una herramienta gráfica donde se pueden ver todos los resultados en la repetición de un experimento, por ejemplo:

El diagrama de árbol para el lanzamiento de una moneda se hace con dos líneas que parten de un mismo punto, en el extremo de cada una de éstas, llamadas ramas de árbol, se escriben los resultados posibles y la probabilidad de obtener ese resultado.

Si este mismo experimento se repite en otra ocasión, los resultados serán los mismos que en el primer lanzamiento, es decir, si en el primero el resultado fue águila o sol, en el segundo será igual. El diagrama de árbol se forma agregando otras dos

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ramas en las que se ponen los resultados del primer experimento, como se muestra a continuación.

Si se sigue cada una de las ramas del árbol, se obtiene que en el lanzamiento de una moneda en dos ocasiones, los resultados posibles son: (águila, águila), (águila, sol), (sol, águila) y (sol, sol). La probabilidad de que suceda cada uno de los posibles resultados se obtiene multiplicando la probabilidad en

cada una de sus ramas, en este caso cada uno de los eventos

tiene la misma probabilidad igual a 21 x

21 =

41 . Lo anterior es un

ejemplo de la siguiente regla:

En el ejemplo anterior del lanzamiento de la moneda hay dos posibles resultados (m=2) y el experimento se repitió en dos

ocasiones, así que el total de posibles resultados es 422 = . Si se lanza una moneda en tres ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 soles? En cada lanzamiento de la moneda existen dos posibles resultados (m=2) y si esto se repite en tres ocasiones (n=3) el total

de posibles resultados es 823 = . Así que la probabilidad de obtener tres soles en los tres lanzamientos es igual a:

80

81

21

21

21

�xx

Hasta el momento se ha determinado el número de todos los posibles resultados después de realizar el mismo experimento varias veces. Sin embargo, hay ocasiones en las que se realiza un experimento y después otro, en este caso el total de resultados posibles se calcula de la siguiente manera:

Por ejemplo, Ismael lanza una moneda al aire y posteriormente un dado con seis caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es el número total de resultados? Al lanzar una moneda se tienen dos posibles resultados: águila o sol (A,

S) con una probabilidad de 21 para

ambos y al lanzar el dado se obtienen seis resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) con una probabilidad

de 61 , por lo que en total hay 12

resultados posibles como se muestra en el siguiente diagrama de árbol. Otra rama de la probabilidad es la combinatoria, que estudia todas posibles combinaciones que se pueden realizar con distintos objetos, por ejemplo: a) Israel pidió a sus alumnos que determinaran el total de números naturales que pueden formar con los dígitos 1, 2 y 1, 2, 3.

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Sus alumnos rápidamente realizaron la siguiente tabla en la cual se muestran los números que se formaron con los dígitos que les dieron:

Números que se pueden formar con los dígitos 1 y 2.

Números que se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3.

12 y 21. 123, 132, 213, 231, 312 y 321. El número de posibles combinaciones que se pueden formar con distintas cosas es igual al producto de 12...)1( ×××−× mm ,

es decir, con los dígitos 1 y 2 existen 212 =× combinaciones y con los dígitos 1, 2 y 3 hay 6123 =×× combinaciones. Si se tuvieran los dígitos 1, 2, 3 y 4 se podrían formar 241234 =××× números naturales. b) Angélica quiere comprar un helado de dos sabores y existen tres sabores diferentes: fresa, vainilla y chocolate. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir su helado?

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En el diagrama de árbol hay seis formas diferentes de combinar dos sabores de los tres que hay. En primer lugar, Angélica puede escoger tres sabores diferentes, después sólo dos sabores distintos. Podrá escoger 6123 =×× combinaciones de sabores. Una vez calculadas todas las posibles combinaciones, el siguiente paso es determinar la probabilidad que tiene cada una de las combinaciones encontradas. Ésta depende de las preferencias de cada una de las personas, por ejemplo: a Esteban le gusta más el sabor de fresa, Ernesto prefiere el de chocolate y a Julio César le gustan todos los sabores. Se le preguntó a cada uno la probabilidad de elegir un sabor determinado y se elaboró la siguiente tabla:

Fresa Vainilla Chocolate

Ernesto 21

41

41

Esteban 41

41

21

Julio César 31

31

31

Para determinar la probabilidad de elección de la combinación de sabores sólo se coloca la probabilidad de preferencia de sabor en cada una de las ramas del árbol y se multiplican. A continuación se presenta el cálculo de la probabilidad de elección de sabores de Ernesto.

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