TIPOS DE ENTRADAS EN SISTEMAS DE

SEGUNDO ORDEN

ENTRADA IMPULSO

La respuesta del sistema a una entrada del tipo impulso unitario permite tener una idea acerca del comportamiento intrínseco del sistema.

Matemática de la función impulso unitario es:

Un sistema se representa matemáticamente a través de su función de transferencia. En el plano de Laplace la expresión matemática que lo representa es:

Donde Y(s):salida del sistema y (s):entrada del sistema. La función de transferencia del impulso unitario es la unidad; es decir:

L [ (t ) ]= ∫0−¿¿

0+¿ (t )dt=1¿

Por tanto, la señal de salida tiene como transformada de Laplace a la función de transferencia del proceso

(S)

(t)

De ello, se deduce que la respuesta impulsional y la función de transferencia contienen la misma información.

Sistema Subamortiguado.

A los sistemas de segundo orden, cuyos factores de amortiguamiento están entre 0 y 1, 0 £ x < 1, sus soluciones son complejas y conjugadas. Si además se pide que sean estables, se exigirán que los factores de amortiguamiento sean mayores que cero.Se llaman sistemas subamortiguados, aquellos que los factores de amortiguamiento sean mayor que cero y menor que uno. Los polos serán complejos y conjugados y se encuentran en el semiplano negativo del dominio complejo.La respuesta impulsional de un sistema subamortiguado simple indicará la Naturaleza del sistema. Aplicando descomposición en fracciones simples en su transformada, permitirá ver la evolución temporal:

Haciendo la anti transformada y empleando el cálculo de los residuos de dos Polos simples (da igual que sean reales que complejos):

Introduciendo el cálculo de los residuos y sacando factor común se conseguirá una expresión a la que posteriormente se empleará la relación de Euler:

La respuesta impulsional para un sistema subamortiguado es una combinación de una exponencial monótonamente decreciente con el tiempo y un armónico de frecuencial d. El resto de

la expresión es un valor constante. La excitación depende de la constante de amortiguamiento, s, y de la frecuencia de amortiguamiento. Las conclusiones requieren de un análisis detallado.

En primer lugar, considérese el efecto de la constante de amortiguamiento, s. El lugar geométrico de la constante de amortiguamiento son rectas paralelas al eje imaginario. Los polos complejos situados sobre estas rectas paralelas tendrán igual constante de amortiguamiento. A medida de que la constante de amortiguamiento, s, se hace mayor, dos conclusiones se extraen: el sistema es más estable y es más rápido. La primera por que alejarse del semiplano positivo indica mayor estabilidad, la segunda por que a medida de que aumenta la constante de amortiguamiento, más rápido cesará la salida a consecuencia del término exponencial con el tiempo, et.

a) Lugar geométrico de la constante de amortiguamiento b) RespuestaImpulsional de dos sistemas con igual frecuencia de amortiguamiento

En cambio, el lugar geométrico de la frecuencia de amortiguamiento, d, serán rectas paralelas al eje real. Aquellas raíces del denominador que estén a la misma altura respecto al eje real, tendrán igual frecuencia de amortiguamiento. En cuanto aumente la frecuencia de amortiguamiento, d, menor será el periodo del armónico y para un mismo valor de coeficiente de amortiguamiento, s, el número de oscilaciones, antes de apagarse la salida, será mayor.

a) Lugar geométrico de la frecuencia de amortiguamiento, b) Respuesta Impulsional de dos sistemas con igual constante de amortiguamiento y diferente frecuencia de amortiguamiento

Las naturalezas de los polos de los sistemas de segundo orden están determinadas por el factor de amortiguamiento. Si el x es menor a cero el sistema es inestable. Cuando está entre 0 y 1 las raíces son complejas y conjugadas, situadas en el semiplano negativo. Un valor del x igual a la unidad, indica que los polos son dobles y reales, con valor negativo. Por último, valores del coeficiente de amortiguamiento mayor a 1, indica dos raíces negativas y reales:

ENTRADA ESCALON

La respuesta de escalón unitario que se pueden hallar usando C(s)=R(s)G(s), donde R(s)=1/s, seguido por una expansión en fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace.

A continuación se muestran la ecuación, grafica de sistemas de segundo orden con respuesta escalón unitario los para diferentes casos:

Sobreamortiguado Subamortiguado No amortiguado Críticamente

Curva de respuesta escalón unitario generalizado

Donde

Tiempo de retardo, td Tiempo de levantamiento, tr Tiempo de pico, tp Sobrepaso máximo, Mp Tiempo de asentamiento, ts

Respuesta Sobreamortiguada

Para todo sistema de segundo orden con señal de entrada escalón sobreamortiguado tendremos

σ1 y σ2: Raíces reales y distintas Su ecuación de estado será:

C ( t )=k1+k2 e−σ1 t+k3 e

−σ2 t

Respuesta Subamortiguado

Para todo sistema de segundo orden con señal de entrada escalón subamortiguado tendremos

σ1 y σ2: Raíces complejas y conjugadas (-σd ± jωd) Su ecuación de estado será:

R(s)=1/s

G(s) C(

s) b s2 + as + b

δ

Plano s

jω

C ( t )=k1+e−σ1 t [k 2 sen (ωt )+k3 cos (ωt ) ]

Respuesta No amortiguada

Para todo sistema de segundo orden con señal de entrada escalón no amortiguado tendremos σ1 y σ2: Raíces imaginarias y conjugadas ( ± jωd) Su ecuación de estado será:

C (t )=k1+k2 sen (ωt ) +k3 cos (ωt )C ( t )=k4 cos (ωt−ф )

Respuesta Críticamente amortiguada

Para todo sistema de segundo orden con señal de entrada escalón críticamente amortiguado tendremos

σ1 y σ2: Raíces reales e iguales Su ecuación de estado será:

R(s)=1/s

G(s) C(

s) b s2 + as + b

δ

Plano s

jω

R(s)=1/s

G(s) C(

s) b s2 + as + b

δ

Plano s

jω

C (t )=k2e−σ 1 t+k 3te

−σ2 t

ENTRADA RAMPA

Al considerar que en la ecuación diferencial heterogénea τ 2d2Y (t )d t 2

+2 ζτdY (t )dt

+Y ( t )=KX (t) ,

(donde τ es una constante de tiempo, ζ el factor de amortiguamiento y K la ganancia en estado estacionario del sistema), la variable de entrada es perturbada con un cambio rampa de pendiente “r”, es decir que X (t) = rt, entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuación para cada uno de las respuestas se encuentran las siguientes soluciones:

Respuesta Sobreamortiguada

R(s)=1/s

G(s) C(

s) b s2 + as + b

δ

Plano s

jω

En este caso, se puede demostrar que la respuesta rampa de un sistema lineal de segundo orden sobreamortiguado es de la forma:

Y como solución general:

Respuesta Críticamente Amortiguada

Para este caso, puede demostrarse que la respuesta rampa de un sistema lineal de segundo orden es de la forma:

Y como solución general:

Las graficas quedan de la siguiente forma:

Respuesta Subamortiguada

Para este caso se puede demostrar que la respuesta rampa de un sistema lineal de segundo orden es subamortiguada porque la solución de la ecuación diferencial contiene una expresión exponencial sinusoidal decreciente de la forma:

Siendo y

Y como solución general:

Obteniendo como graficas:

ENTRADA SENO

Al considerar que en la ecuación diferencial heterogénea τ 2d2Y (t )d t 2

+2 ζτdY (t )dt

+Y ( t )=KX (t),

la variable de entrada es perturbada con un cambio sinusoidal de amplitud “A” y frecuencia “w” es decir que X (t) = ASen(wt) , entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuación para cada uno de los casos se encuentra:

Respuesta Sobreamortiguada

En este caso, se puede demostrar que la respuesta seno de un sistema lineal de segundo orden sobreamortiguado es de la forma:

Siendo

Respuesta Críticamente Amortiguada

Para este caso, puede demostrarse que la respuesta seno de un sistema lineal de segundo orden es de la forma:

Siendo

Representación grafica:

Respuesta Subamortiguada

Para este caso se puede demostrar que la respuesta seno de un sistema lineal de segundo orden es subamortiguada porque la solución de la ecuación diferencial contiene una expresión exponencial sinusoidal decreciente de la forma:

Siendo , y

Como representación grafica obtenemos:

Referencias

http://www.esi2.us.es/~guiller/CD%200506-tema%203.pdf

http://www.itmatamoros.edu.mx/files/pdf/Programas/IMCT-2010/FA%20IMCT-2010-

229%20Dinamica%20de%20Sistemas.pdf

http://www.uhu.es/fernando.gomez/sdinamic_archivos/Apuntes/Ap_tema4.pdf

http://www.elai.upm.es:8009/spain/Asignaturas/Servos/Apuntes/5_AnaTemp.pdf

http://www.famaf.unc.edu.ar/~anoardo/Control%20de%20sistemas%20lineales.pdf

http://www.galeon.com/mcoronado/MODELAMIENTO/04SORDTI.pdf