u Interacción gravitatoria 1unidad 1

u Interacción gravitatoria

contenidos1. El modelo geocéntrico

del Universo

2. El modelo heliocéntrico de Copérnico

3. Leyes de Kepler

4. Ley de Gravitación Universal

5. Momento de una fuerza respecto de un punto

6. Momento angular

7. Ley de conservación del momento angular: fuerzas centrales

8. La ley de Gravitación y las leyes de Kepler

9. Satélites geoestacionarios

10. El fenómeno de las mareas

1unidad 1

FIS_QUI_2_BACHI_UD01.qxp 2/3/09 17:57 Página 6

Y

El empeño de la Humanidad por conocer y explicar los fenómenos

celestes se pierde en la noche de los tiempos.

Primero, fue un interés de tipo religioso o mitológico. Luego, la preo-

cupación por encontrar relaciones entre fenómenos tales como las

fases de la Luna o la posición de algunas estrellas en el firmamento

con los ciclos de cultivos en la agricultura. El siguiente paso fue la bús-

queda de un modelo que explicase el orden del Universo.

Los primeros modelos intentaban explicar el movimiento de los astros,

vistos desde una Tierra inmóvil. El modelo geocéntrico del Universo

fue establecido por Aristóteles en siglo IV a.C. y asentado en el siglo II

por Tolomeo al dotarlo del aparato matemático que permitía predecir

las posiciones de los astros.

A mediados del siglo XVI Nicolás Copérnico propone su modelo helio-

céntrico, que no se impone hasta que Johannes Kepler publica, a prin-

cipios del siglo XVII, sus tres leyes que explican el movimiento de los

astros del Sistema Solar. A finales del siglo XVII, Isaac Newton publicó la

expresión de la ley de Gravitación Universal, que le permitió demostrar

que el peso de los objetos en la superficie de la Tierra y la fuerza que

mantiene a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra son manifestacio-

nes del mismo fenómeno.

El desarrollo de las ideas de Newton condujo a la Mecánica Analítica,

cuyo logro culminante fue la predicción, a mediados del siglo XIX, por

Urbain Leverrier, de la posición de un nuevo planeta y el inmediato

descubrimiento del planeta Neptuno.

1. ¿De qué formas se ha explicado la posición de la Tierra en el Univer-so a lo largo del tiempo?

2. Representa en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el siste-ma formado por la Tierra y por la Luna.

3. El Sol está situado a una distancia media de 150 millones de km. ¿Cuáles la velocidad y aceleración media de la Tierra en torno al Sol? Repre-senta los vectores anteriores sobre la trayectoria de la Tierra alrededordel Sol.

cuestiones iniciales

7


1. El modelo geocéntrico del UniversoDurante la antigüedad y hasta el siglo XVI el modelo predominante que ex-plicaba la posición de la Tierra en el Universo fue el modelo geocéntrico.Este modelo fue desarrollado, en el siglo IV a.C., por Aristóteles.

Según el modelo geocéntrico del Universo, la Tierra tiene la forma de una es-fera, está inmóvil y ocupa el centro del Universo.

Los astros se mueven en torno a la Tierra, siendo transportados por esferastransparentes que giran con movimiento circular uniforme.

A distancias crecientes se encuentran las esferas que transportan a la Luna,Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Englobando a todas ellas ymás alejada está la esfera de las estrellas.

El modelo geocéntrico no explica la trayectoria aparente que siguen los pla-netas, que no describen trayectorias circulares en torno a la Tierra. En oca-siones retroceden, sobre el fondo de las estrellas, para luego seguir con sucamino, es lo que se denomina el movimiento retrógrado.

Este movimiento retrógrado de los planetas fue justificado, en el siglo II d.C.,por el astrónomo griego Claudio Tolomeo, al aplicar las construcciones ge-ométricas de epiciclo y deferente al movimiento de los planetas y dotarlasdel aparato matemático necesario para predecir las posiciones astronómi-cas.

Según Tolomeo, cada planeta se mueve siguiendo una circunferencia, quellamó epiciclo. El centro del epiciclo se mueve, a su vez, en torno a la Tie-rra, describiendo otra trayectoria circular llamada deferente. De esta formael movimiento de los astros es el resultado de la suma de movimientos cir-culares uniformes.

El éxito de Tolomeo radicó en que explicaba el movimiento retrógrado de losplanetas y podía predecir con bastante exactitud sus posiciones en cualquiermomento, con la consiguiente ayuda para los navegantes.

También explicaba la diferencia observada en el brillo de los planetas, al re-lacionarlo con que unas veces se encuentran más cerca de la Tierra, y otras,más lejos.

8 Unidad 1 Y

ESFERA DE JUPITER

ESFERA

DE MARTE

ESFERA DE SATURNO

ESFERADE L

AS ESTRELLAS FIJAS

ESFERA DEL SOL

ESFERA DE VENUS

ESFE

RADE MERCUR

IO

ESFE

RADE LA LU

NA

a Sistema astronómico de la anti-güedad.

Efgfsfouf

Fqjdjdmp

Nbsuf

Ujfssb

a Modelo del movimiento retrógra-do de un planeta según Tolomeo.

NbsufUjfssb

Tpm

6

4

2

2

4

6Movimiento de Marte

Al desplazarse la Tierra sobre su trayec-toria más rápidamente que Marte sobrela suya, se produce un efecto visualsobre el fondo de las estrellas, que, aveces, parece que éste retrocede.

�


2. El modelo heliocéntrico de CopérnicoEn el siglo XVI, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico basándose en el ma-yor tamaño aparente del Sol y en que ilumina al resto de planetas, concibela idea de que el Sol, y no la Tierra, es el centro del universo.

Este modelo, centrado en el Sol, se apoya en los siguientes supuestos:

- El Sol está inmóvil en el centro del Universo.

- Los planetas, junto a las esferas que los transportan, giran alrededor del Solsegún el siguiente orden: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno.

- La Tierra está afectada por dos movimientos importantes: uno de rotaciónalrededor de su propio eje y otro de traslación en torno al Sol.

- La Luna gira alrededor de la Tierra.

- La esfera de las estrellas está inmóvil y muy alejada.

Con este modelo se explican los fenómenos de la alternancia de los días yde las noches, las estaciones, las fases de la Luna y el movimiento retrógra-do de los planetas.

Los planetas parece que se mueven hacia atrás porque la Tierra, al describiruna órbita de menor radio y girar más rápido alrededor del Sol, los alcanzay se produce un efecto visual sobre el fondo de las estrellas.

La obra de Copérnico se publicó en una época de grandes tensiones políti-cas y religiosas en una Europa enfrentada por la Reforma protestante. La teo-ría heliocéntrica de Copérnico supondrá una revolución no sólo en el cam-po de la astronomía y de la física sino en la propia mentalidad de laspersonas y en la visión del mundo a partir de entonces.

Las aportaciones de Galileo

El científico italiano Galileo Galilei, además de contribuir al desarrollo de lacinemática y de la dinámica del movimiento, realizó grandes aportacionescomo astrónomo, gracias a la construcción de los primeros telescopios.

Los primeros días del año 1610 descubrió cuatro astros que giraban alrede-dor de Júpiter. Esto implicaba que la Tierra no era el centro de rotación detodos los cuerpos celestes, hecho que consideró prueba suficiente para re-chazar el modelo geocéntrico de universo.

Más tarde descubrió que Venus presenta fases como las de la Luna, lo quedemuestra que gira alrededor del Sol y que no brilla con luz propia.

La defensa que hace Galileo del sistema copernicano, la exposición de suprincipio de la inercia y comprobación experimental de que la caída li-bre es independiente de su masa suponen la ruptura con la tradición aris-totélica.

Interacción gravitatoria 9

Y

Eje derotación23,5

Tierra

Perpendicularal planode la órbita

Rayossolares

Sol

a La rotación de la Tierra da lugar ala alternancia del día y la noche.

a Galileo también descubrió los crá-teres de la Luna y las manchas sola-res, por lo que los cuerpos celestes noson esferas cristalinas como se pensa-ba hasta entonces.

Otros modelos

En el siglo III a. C., Aristarco de Samospropuso un modelo heliocéntrico deUniverso que no prosperó. Situó al Solen el centro, con la Tierra girando a sualrededor.

�


3. Leyes de KeplerA principios de siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler entusiasma-do por las ideas de Copérnico y utilizando los precisos datos astronómicosque sobre el planeta Marte había recogido Tycho Brahe, llego a la conclu-sión de que las observaciones no se adaptaban a una trayectoria circular.

Dedujo que los datos encajaban para una elipse con el Sol situado en unode sus focos, estableciendo la que se conoce como primera ley de Kepler:

Esta ley rompe con la ciencia antigua, según la cual el movimiento perfectoes el circular uniforme y por ello el de los planetas. No obstante la diferen-cia de distancias entre los semiejes de la elipse es pequeña, por lo que lasórbitas de los planetas se consideran circulares.

Al plano que contiene a la órbita de la Tierra se le denomina eclíptica. A suvez, el eje de rotación de la Tierra forma un ángulo de 23,5º con la perpen-dicular a la eclíptica, hecho que permite explicar las estaciones del año.

Kepler, después de realizar laboriosos cálculos sobre la órbita de Marte,enunció la segunda ley.

Así se explica el que el movimiento de los planetas no sea uniforme, éstosvan más rápidos en la parte de la órbita que está más próxima al Sol que enla parte más alejada del mismo.

De esta forma se rompe con la creencia de la uniformidad del movimientode los planetas.

� Segunda ley de Kepler o ley de las áreas: La línea que une el Sol conun planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

� Primera ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas alrede-dor del Sol, encontrándose éste en uno de sus focos.

10 Unidad 1 Y

a Johannes Kepler (1571-1630).

Kepler utilizó las observaciones reali-zadas, a finales del siglo XVI, por eldanés Tycho Brahe en una época enla que no se había inventado el teles-copio.

A B

rBrA

a Una elipse es el lugar geométricode los puntos que cumplen que lasuma de sus distancias a dos puntosfijos llamados focos es constante:

rA + rB = constante

A

Sol

Planeta

A'

a La segunda ley de Kepler justificael que el movimiento de un planetano sea uniforme.

Ó rbita terrest re

Equinoccio de otoño,23 de septiembre

OTOÑO

INVIERNOPRIMAVERA

VERANO

Equinoccio de primavera,21 de marzo

Solsticio de verano,21 de junio

Círculo Polar Ártico

Ecuador

Solsticio deinvierno, 22de diciembre

a La inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto de su órbita y el propio movimien-to en torno al Sol da lugar a la sucesión de las estaciones.


; donde C = constante

Esta ley permite conocer las distancias relativas entre los planetas, ya que eltiempo que tarda un planeta en recorrer su órbita se conoce desde la anti-güedad. También justifica el que los planetas más alejados del Sol tardanmás tiempo en recorrer su órbita que los que están más cerca del mismo.

Las leyes de Kepler se pueden aplicar a cualquier astro y su conjunto de sa-télites, como por ejemplo al grupo formado por la Tierra, la Luna y los saté-lites artificiales.

Las tres leyes de Kepler se refieren a la cinemática de los astros, es decir, asus movimientos, sin plantear nada sobre las causas que los originan.

C rTierra2

Tierra3

Venus2

Venus3

Marte2T

r= T

r= T

MMarte3

2

r= .......= T = C · 3⇒

� Tercera ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos del movimientode los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos desus distancias medias al Sol.


Y

r1 r2

a

b

Foco

a Semieje mayor a; semieje menor b;distancia más alejada al foco r1; dis-tancia más cercana al foco r2.

De la figura se deduce que la distan-cia media, r, de un punto de la elipsea foco coincide con el valor del se-mieje mayor, a, de la elipse.

= =r + r a = r2

⇒1 2 2 ·ar + r1 2

A C T I V I D A D E SRESUELTAS

Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbi-ta circular de radio R1 = 1 · 108 km con un período de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es R1 = 1 · 108 km y la más alejada es R2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra lafigura adjunta. ¿Cuál es el período de rotación del planeta 2?

De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:

Aplicando la tercera ley de Kepler:

Despejando el período de rotación del planeta 2 es: T2 = 3,3 años

Si la luz solar tarda en promedio 8,33 minutos en llegar a la Tierra, 12,7 minutos a Marte y 6,1 minutos en alcanzar elplaneta Venus, calcular el período de rotación, en torno al Sol, de Marte y de Venus.

Aplicando la tercera ley de Kepler a los planetas se obtiene que:

Las distancias desde los planetas al Sol se pueden expresar en función del tiempo que tarda en llegarles la luz del Sol: r = c · t, conc la velocidad de luz, por lo que:

Como el período de rotación de la Tierra, en torno al Sol, es de un año resulta que:

; Venus TV3

T3

3

T = Ttt

= 1 año(6,1 )

(8,

min

33 )3= 0,627años

minMarte T

M3

T3

3

T = Ttt

= 1 año(12,7 )

(8,

min

33 )3= 1,88 años

min

T2

3T3

M2

3M3

V2

3V3

Tc t

= Tc t

= Tc t· · ·

TT2

T3

M2

M3

V2

V3

Tt

= Tt

= Tt

⇒

T2

T3

M2

M

V2

V

Tr

= Tr

= Tr3 3

· ·(2 años)

(1 10 km)= T

(1,4 10 km)

2

8 322

8 312

13

22

3

Tr

= Tr

;

8 81 10 1· ,r

r r km kmkm=

+=

+=1 2 8

28 10

21 4 10

·, ·

r1r2A P

1

2


4. Ley de Gravitación UniversalEn la segunda mitad del siglo XVII, numerosos científicos se preguntaban so-bre el tipo de fuerza con la que debe actuar el Sol para que los planetas semuevan según las leyes de Kepler.

El problema lo resolvió Isaac Newton. En primer lugar utilizó la ley de lainercia de Galileo para explicar que un objeto que se lanza horizontalmen-te describe una curva, ya que la acción de la fuerza de la gravedad lo desvíade su trayectoria rectilínea. Si la velocidad de lanzamiento es mayor llegarámás lejos, pudiéndose lograr que no cayese al suelo y que diese vueltas al-rededor de la Tierra si la velocidad inicial es la adecuada.

Newton extendió esta idea al caso de la Luna y formuló la hipótesis de quela fuerza que obliga a la Luna a girar alrededor de la Tierra tiene el mismoorigen que la fuerza por la que los objetos situados cerca de la Tierra caensobre su superficie.

A continuación, aplicó la dinámica del movimiento circular. Según la cual,para que un objeto recorra un movimiento circular uniforme se precisa delconcurso de una fuerza dirigida hacia el centro de la trayectoria.

Si se supone que la órbita de la Luna es circular y considerando a la Tierra ya la Luna como objetos puntuales, un observador inercial describe el movi-miento de la Luna mediante la fuerza centrípeta, de módulo:

Sustituyendo el valor de la velocidad en función del período y radio orbital:

Multiplicando y dividiendo por r2, teniendo en cuenta la tercera ley de Ke-pler, T2 = C · r3 , y englobando las constante en una, se tiene que:

La fuerza que actúa sobre la Luna es proporcional a su masa e inversamen-te proporcional al cuadrado de su distancia a la Tierra.

Un observador inercial situado en la Luna observaría que la Tierra describeuna trayectoria circular, por lo que sobre ésta actúa una fuerza cuyo módu-lo debe ser proporcional a su masa y a una constante kTierra.

F km

rTierra TierraTierra

Tierra Luna

=−

· 2

= =· ·Fm

rr

LunaLuna

Tierra Luna

Tierra Luna=−

−4 2

2

3· ··

πTT C

mr

km

Luna

Luna

Tierra LunaLuna

Lun2

2

24

−

· π aa

Tierra Lunar −2

Luna

= =· ·

vr

TF m

rTLuna Luna

Tierra Luna

Luna

−2 4 2· ··

π π2⇒

= =· ·F m a mv

rLuna Luna n Luna LunaLuna

Tierra Luna−

2

12 Unidad 1 Y

a Galileo descubrió las leyes del movimiento parabólico y describió latrayectoria que siguen los proyectiles.

a Dibujo de Newton referente al mo-vimiento de un proyectil con diferen-tes velocidades iniciales.

Tierra

LunaFL

r

v

a La única fuerza que actúa sobre laLuna es la fuerza centrípeta.


Aplicando la ley de acción y reacción, se tiene que los módulos de las dosfuerzas son iguales, por lo que:

Igualando las relaciones anteriores a una nueva constante G, se tiene:

Y sustituyendo:

Que es la expresión matemática de la ley de Gravitación Universal y que pu-blicó, en 1687, en su libro: Philosophiae Nauralis Principia Matematica.

Para comprobar la validez de la ley, Newton comparó la aceleración centrí-peta a la que está sometida la Luna en su órbita con la aceleración con laque caen los objetos sobre la superficie de la Tierra.

Dividiendo las expresiones anteriores y como la Luna se encuentra a unadistancia de, aproximadamente, 60 veces el radio de la Tierra, dedujo que laaceleración de los objetos en las proximidades de la superficie de la Tierradebía ser 602 = 3 600 veces superior a la aceleración centrípeta de la Luna.

Suposición que pudo comprobar que era correcta cuando en la década de1680 se determinó que el radio de la Tierra es 6 370 km. Como el períodode la Luna es 27,3 días = 2,36 · 106 s, se tiene que la aceleración centrípe-ta a la que está sometida la Luna es:

Por tanto la relación entre las citadas aceleraciones es:

Que concuerda con las predicciones de la ley de Gravitación.

ga

=9,8 m/ s

2,72 10 m /s= 3602

L

2

-3 2·≈ 602

, ·π π 2 · ·

2 1 −4 4· ·a

vr

rT

mLuna = = =

2

260 6 370 10

2,36 10· ·

( · 6 23 22 7 0

sm s

)/=

3

ga

= rR

=(60

Luna

Tierra-Luna2

Tierra2

tierra· 2

Tierra2R )

R= 3600

aFm

Gm

r

gF

LunaLuna

Luna

Tierra

Tierra Luna

Objeto

= =

=

−

· 2

objeto

Tierra

TierramG

mR

= · 2

= = · ·F F km

rG

mLuna Tierra Luna

Luna

Tierra Luna

L=−

2uuna Tierra

Tierra Luna

mr

·

−2

= =km

km

G k G mLuna

Tierra

Tierra

LunaLuna Tierra= ·⇒

F F= km

rkLuna Tierra Luna

Luna

Tierra LunaTierra

−

; · 2Tierra

Tierra Luna

Luna

Tierra

Tierramr

km

k·

−

=2Lunam

⇒=


Y

a Isaac Newton (1642-1727).

Leyes de Newton

Isaac Newton publicó conjuntamen-te la ley de la Gravitación Universalcon las tres leyes de la dinámica, tam-bién denominadas leyes de Newtonde la dinámica.

a) Primera ley o ley de la inercia.

b) Segunda ley o ecuación fundamen-tal de la dinámica.

c) Tercera ley o ley de acción y reac-ción.

�


Par de fuerzas

Un par de fuerzas son dos fuerzas delmismo módulo y sentidos opuestosque actúan sobre el mismo objeto. Lafuerza resultante es igual a cero ysiempre produce un giro del objeto.

�

4.1. La constante de gravitación, G

La constante de gravitación universal G la determinó el físico inglés HenryCavendish, en 1798, utilizando una balanza de torsión.

Dos esferas de masa m están colocadas en los extremos de una varilla hori-zontal, muy ligera, la cual está suspendida por su punto medio por un hilode fibra de cuarzo. El hilo lleva adosado un espejo sobre el que incide unrayo de luz que, después de reflejarse, se recoge en una escala graduada.

A ambos lados de la barra, y en el mismo plano horizontal, se colocan otrasdos esferas fijas de mayor masa, m’. Debido a la atracción gravitatoria se ge-nera un par de fuerzas sobre la varilla que tiende a hacerla girar, en torno alhilo.

El hilo de cuarzo tiene un momento de torsión que se opone al par de fuer-zas gravitatorio. Alcanzado el equilibrio, se mide el ángulo de giro, que esproporcional al momento de torsión y del que se deduce el valor de la cons-tante de gravitación universal G.

De la ley de gravitación universal, se deduce que la constante G representael módulo de la fuerza con la que interaccionan dos objetos de 1 kg de masasituados a la distancia de 1 m.

Conocido este valor se puede calcular la masa de la Tierra y la de cualquierotro astro, con tal de lograr medir el período de traslación de algún planetao satélite que gire a su alrededor.

� Este valor es: G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2, y es independiente de lascaracterísticas de los objetos y del medio en el que se sitúen.

14 Unidad 1 Y

Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones km.

La interacción gravitatoria entre el Sol y la Tierra proporciona la fuerza centrípeta que es la causa de la aceleración normal que permi-te que la Tierra describa su órbita circular.

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslación de la Tierra, se cumple que:

Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relación con el período de traslación: , se tiene que:

El período de la Tierra es:

Sustituyendo: · ·Sol

2

-11 2 2

9

m =4

6,67 10 N m / kg(150·

··π 110 m)

(3,156 10 s)= 2,01 10 kg

3

7 230

··

=T 365,25 días · 24 h/día · 3600 s/h 3,156 · 107 s=

· ·4 r· ·G

mr

=4 r

TSol

Tierra Sol

2Tierra Sol

Tierra

·−

−π 2

Sol

2Tierra Sol

Tierram =

G T2

3−

·π

2⇒

vr

T=

2 · ·π

→a−

· ·· ·→F = m ; G

m mrTierra n TierraSol Tierra

Tierra

·

SolTierra

Tierra

Tierra Sol

= mv

rG2

2 mr

= vSol

Tierra SolTierra

−

2⇒−


r

m m

m'

C

O

m'

Espejo

q

Lámpara

Fibra detorsión

r

Escala

2θ

a Esquema de la balanza de Caven-dich.


4.2. El peso de los objetos

En la ley de Gravitación Universal, la masa gravitatoria es la propiedad delos objetos responsable de la interacción. Esta masa indica la cantidad de materia de los objetos y se mide con una balanza.

Según la segunda ley de Newton, , la masa inercial es la propie-dad que indica la tendencia que tiene un objeto a conservar su estado de mo-vimiento. La masa inercial es igual al factor de proporcionalidad entre lafuerza que actúa sobre un objeto y la aceleración que le proporciona.

El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria resultante que actúa sobre él,debida a todos los demás objetos del Universo. En la superficie de la Tierrao cerca de ella la fuerza de atracción terrestre es tan grande que el peso deun objeto sólo depende de ella, y lo mismo ocurre en la superficie de la Lunao de otro planeta.

El peso de un objeto, de masa m, es el mismo tanto si se determina aplican-do la ley de gravitación universal como aplicando la segunda ley de New-ton. Denominado g0 a la aceleración con la que caen los objetos en la su-perficie de la Tierra, se tiene que:

Esta expresión permitió a Cavendish calcular la masa de Tierra después dedeterminar el valor de la constante de gravitación G.

Despejando, la masa de la Tierra en la ecuación anterior, resulta que:

, ·6 6, · · /

7 1, ·6 1Tierra

0 Tierra2

m =g R

Gm s· , / · (

=9 8 6 3 02 6 m

N m kgkg

) 2

11 2 224

7 105 9 0− =

F = Gm m

RP= m

Tierra objeto

Tierra2

objeto

·

0

0Tierra

Tierra2

gF P g =G m

R··=} ⇒

� La masa inercial y la masa gravitatoria tienen las mismas propiedadesy son equivalentes a la cantidad de materia y en el SI se miden en kg.

→ →F = m a·


Y

a Experiencia para medir la masagravitatoria.

a

a

F

t

d

a Experiencia para medir la masa inercial.

La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Con esos datos calcula lo quepesará en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa de 70 kg.

Aplicando la ley de gravitación universal en la superficie de la Luna, se tiene que:

Sustituyendo:PLuna = · 9,8 m/s2 · 70 kg = 135,5 N1681

m =LunaLuna persona

Luna2

Tierra

P =Gm m

R=G

· persona

2Tierra

m81

m

R4

=1681

G · Tierra

Tierra2 persona 0,Tierram

R

1681

g mpersona·

( )



4.3. Expresión vectorial de la ley de Gravitación

Inicialmente, Newton consideró a los objetos celestes como simples partículascon su masa concentrada en su centro geométrico. Posteriormente, demostrómatemáticamente que la fuerza gravitatoria que actúa sobre, o con la que ac-túa, una esfera homogénea es la misma que si toda su masa estuviera situadaen su centro. Esta propiedad es la que permite considerar a los objetos comosimples partículas con su masa concentrada en un punto, su centro de masas.

La ley de Gravitación Universal resume en una única ecuación la interacciónde entre dos masas cualesquiera, sean estrellas, planetas o cualquier otro ob-jeto. De esta forma, Newton rompe con la teoría aristotélica que distinguíaentre una Física terrestre y otra celeste.

donde F es el módulo de la fuerza de interacción, M y m las masas, r la dis-tancia entre sus centros y el vector es un vector unitario de dirección de larecta que une a las masas y de sentido hacia la masa considerada. El signonegativo se debe a que el vector fuerza y el vector unitario tienen sentidoscontrarios, es decir, las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas.

Las fuerzas gravitatorias son fuerzas a distancia y su módulo no depende delmedio en el que se sitúen los objetos. Como el valor de G es muy pequeño,los efectos gravitatorios sólo son observables cuando, al menos, la masa deuno de los objetos es muy grande.

En una distribución de masas, la fuerza resultante que actúa sobre cada par-tícula es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella.

� Las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada uno de los objetos for-man un par de fuerzas de acción y reacción y, por tanto, tienen elmismo módulo, son de sentidos contarios y su dirección coincide conla recta que une los centros.

r r→ M m →

→

→F = - Gr

u ; donde u =r

| r |2

· →

� El módulo de la fuerza de atracción entre dos objetos es directamenteproporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado dela distancia que separa sus centros.

16 Unidad 1 Y

O

Y

X

Zk = uz

→

j = uy

→

i = ux

→

a Vectores unitarios en las direccio-nes de los ejes cartesianos de un sis-tema de referencia.

G

n!!

sftvmuboufG

n!!

G

n!!

2

2

3

3

4→

→

→

a La fuerza resultante que actúa so-bre una masa es igual a la suma vec-torial de todas las fuerzas que actúansobre ella.

m1

m2

ur2

r2

F1,2

a Fuerza con la que actúa la partícula 1 sobrela partícula 2.

m1

m2

F2,1

r1ur1

a Fuerza con la que actúa la partícula 2 sobrela partícula 1.



Y


Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 m y 4 m respectivamente. En el vértice del ángulo recto se coloca unobjeto de 2 kg de masa y en el extremo del cateto menor otro objeto de 4 kg de masa. Calcula la fuerza resultante queactúa sobre otro objeto de 5 kg de masa colocado en el otro vértice.

Sean los objetos mA = 2 kg, mB = 4 kg y mC = 5 kg.

Se elige un sistema de referencia con el origen de coordenadas en el vértice del ángulo rectodel triángulo y el cateto menor situado a lo largo del eje X de coordenadas. El otro cateto sesitúa en el eje Y.

Las fuerzas que actúan sobre la masa mC tienen la dirección de la recta que une la citada masacon las otras dos y por sentido hacia mA y mB.

El módulo de la fuerza con la que actúa la masa mB = 4 kg es:

De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sen ϕ = 3/5, por lo que las componentes de la fuerza con la que actúa la masa mB son:

La fuerza resultante que actúa sobre la partícula de masa m tiene de componentes:

Su módulo es:

¿A qué distancia de la Tierra pesa 1 N un objeto que tiene una masa de 1 kg?

Aplicando la ley de gravitación universal:

Aplicando la relación: , se tiene que la distancia pedida, medida desde el centro de la Tierra, es:

Por lo tanto, el objeto estará a una distancia 2,13 · RTierra de la superficie de la Tierra.

r = g RmP

= R9,8 m/ s

0 Tierra2

Tierra

2

···

·1kg

1 N= 3,13 RTierra

· ·0Tierra

Tierra2 Tierra 0g =G

m

RG m = g RTierra

2⇒

· ·P= F = G

m m

rr =

GTierra2

Tierram mP

·⇒

· , 3 1| F | = F + F = (3,20 10 N) + (8x2

y2 -11 2→

· ,,44 10 N) N-11 2 ·= −9 0 0 11

· · j N− − · ·y A By-11F = F + F = 4,17 10

→44,27 10 j N = 8,44 10 j N-11 -11·−

→→→ → →·

· ·x Bx-11F = F = 3,20 10 i N→ →→

· · · ·By B-11F = F (- j ) = 5,34 10 N→ · cos

45

(- j ) = 4 ,27 10 j N-11 ·−→ → →

ϕ

· · · ·· ·Bx B-11F = F sen i = 5,34 10 N

3→

55i = 3,20 10 i N-11 ·

→→→ϕ

4 1( )

· · 4 5, ·B

B C

BC2

-112

2F =G m m

r= 6,67 10

N mkg

·· kg kg

(3 m) + (4 m)2

2 25 3 0

·= −11N

7 12 5

j j, · ·AA C

AC2F =

G m m

r(- j) =

N mk

→ →· ·, ·

·6 6 0 11

2−

ggkg kg

mN2 2

11

44 17 10

·( )

( )− =− −→ →

n

n nB

B

C

CyD

CCz

G

G

GD!)1-5*

1!)1-1* C!)4-1*

Z

Y

Gϕ ϕ


5. Momento de una fuerza respecto de un punto

La magnitud característica del movimiento de traslación de una partícula,respecto del origen de un sistema de referencia, es su cantidad de movimien-to o momento lineal: . Su variación respecto del tiempo constituyela segunda ley de Newton, que permite calcular la fuerza resultante que ac-túa sobre una partícula de masa constante.

Las fuerzas pueden deformar a los objetos y/o modificar su estado de repo-so o de movimiento y además, en algunos casos, pueden hacer que giren,tal es el caso de abrir y cerrar una puerta.

El efecto de giro que provocan las fuerzas sobre los objetos es tanto más acu-sado cuanto mayor sea el módulo de la fuerza aplicada y mayor sea la dis-tancia desde un punto fijo hasta la recta directriz de la fuerza aplicada.

Para caracterizar el efecto giratorio de las fuerzas sobre los objetos se definela magnitud vectorial momento de una fuerza respecto de un punto .

El vector es un vector de posición que tiene por origen el punto O y porextremo el origen del vector fuerza .

El momento de una fuerza respecto de un punto es un vector perpendicularal plano que determinan el vector de posición y el vector fuerza, , ycuyo sentido coincide con el del avance de un sacacorchos que gira desdeel primer vector, , sobre el segundo vector, , siguiendo el camino máscorto.

Su módulo es:

Donde d es la distancia desde el punto O a la recta directriz del vector .

Su unidad en el SI es: m · N.

El vector momento de una fuerza respecto de un punto es independiente dela posición en la que se encuentre el vector fuerza en su recta directriz,siempre y cuando no se cambie su sentido.

Si sobre un objeto actúan un conjunto de fuerzas, entonces el momento dela fuerza resultante respecto de un punto es igual a la suma de los momen-tos de cada una de las fuerzas respecto del mismo punto.

→F

→F

· ·| M | = | r | | F | sen = d | F |= do→ · F·→ → →

ϕ

→F→r

→F→r

→F

→r

OM→

→F =

d pdt

=d (m v )

dt= m

d vdt

= m·

· a·→→ →

→

→p = m v·→

18 Unidad 1 Y

X

Y

Z

O

v

r

p

a El vector momento lineal tiene lamisma dirección y sentido que el vec-tor velocidad.

a x b

ϕ

a

b

→ →

→

→

a El producto vectorial de dos vecto-res es un vector de módulo a ·b · sen ϕ, de dirección perpendicularal plano que delimitan los vectores ysentido el que coincide con el delavance de un sacacorchos que giradesde el primer vector hasta el se-gundo siguiendo el camino máscorto.

→b

a→

a x b→ →

Mo

Od

r

F

ϕ

ϕ

a El momento de una fuerza respec-to de un punto es un vector.

� Momento de una fuerza respecto de un punto O es igual al

producto vectorial: .OM = r x F→→→

→FOM

→


6. Momento angularPara describir, con mayor detalle, el movimiento curvilíneo de una partícu-la se define una nueva magnitud denominada momento angular, , llama-da también momento cinético o momento de la cantidad de movimiento.

Sea una partícula de masa m, que lleva una velocidad y con un vector deposición respecto del origen O de un sistema de referencia.

El momento angular es un vector perpendicular al plano que determinan elvector de posición y vector velocidad y cuyo sentido es el indicadopor la regla de Maxwell, que coincide con el avance de un sacacorchos alvoltear el vector sobre el vector por camino más corto. Su unidad enel SI es kg · m2/s.

El módulo del momento angular es:

Con ν el ángulo delimitado por los vectores y .

Si la trayectoria de la partícula está contenida en un plano y el origen del sis-tema de referencia O está contenido en ese plano, entonces el vector mo-mento angular es siempre perpendicular a dicho plano. El momento an-gular depende del punto respecto del que se determina.

Esta magnitud desempeña en rotación el mismo papel que la cantidad demovimiento en el movimiento de traslación.

OL→

→v→r

0 0= =| |L L r m v sen· · ·→ ϕ

→v→r

→v→r

OL = r x p= r x m v→·→→→ →

→r

→v

→L


Y

Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, considerando a la órbita de la Tierra como circu-lar. Datos: MTierra = 6 · 1024 kg; rórbita = 1,5 · 108 km.

La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es:

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la órbita de la Tierra es circular, entonces el vector posi-ción y el vector velocidad de la Tierra respecto del Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierrarespecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la órbita del planeta, cuyo módulo es:

m v· ·r m · ·| L | = | r | = v se→

x n 90º→→ = 1,5 · 1011 m · 6 · 1024 kg · 3 · 104 m / s = 2,7 · 1040 kg · m2 / s

· ·v =

2 rT

=2 1,5 10 km

365

8· · · · ·π πddías 24 h /día 3 600 s / h

= 30kms

·= 3 1004 ms


r

Lo

m

p = m · v

O

ϕ

a El vector momento angular es per-pendicular al plano que delimita elvector de posición y el vector veloci-dad.

� Se define momento angular de una partícula de masa m respectode un punto O al momento de la cantidad de movimiento, , de lapartícula respecto del mismo punto.

→pOL

→


7. Ley de conservación del momentoangular: fuerzas centrales

El vector momento angular de una partícula respecto de un punto se puedemodificar si cambia el vector de posición, si se altera el vector momento li-neal, o si se produce una variación de la orientación entre ambos.

El primer sumando es igual a cero, ya que vector es paralelo alvector cantidad de movimiento . El segundo sumando es igual al vector momento de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto delorigen del sistema de referencia O.

Expresión denominada ecuación fundamental de la dinámica de rotaciónpara una partícula y es semejante a la segunda ley de Newton en traslación.

De la ecuación fundamental de la dinámica de rotación se deduce que elmomento angular de la partícula respecto de un punto O permanece cons-tante si la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es igual a cero, si elvector de posición es nulo, o cuando la fuerza resultante tiene la misma di-rección que el vector de posición de la partícula.

Un caso especial de conservación del momento angular es en el movimien-to de una partícula por la acción de una fuerza central.

El vector es un vector unitario en la dirección radial a partir del centrode fuerzas. La interacción gravitatoria es una fuerza central.

Si una partícula se mueve por la acción de una fuerza central, su momento angu-lar con respecto del centro de fuerzas permanece constante, ya que el vector fuer-za y el vector de posición de la partícula respecto de dicho punto son paralelos.

ru→

F = F(r) ur·→→

� Una fuerza es central cuando la dirección del vector fuerza pasa porun punto fijo, denominado centro de fuerzas, y su módulo es funciónsolamente de la distancia desde el centro de fuerzas a la partícula con-siderada.

= =0→

r x F MdLdt

L r x p constanteOO

O= = =→→→

→→ ⇒

� La variación del momento angular de una partícula con respecto a unpunto, en el transcurso del tiempo, es igual al momento de la fuerzaresultante, que actúa sobre ella, respecto del mismo punto.

d Ldt

= r xd pdt

= r x m a = r x FO · = MO→→→→

→→→

OM→

→p = m v·→d r / dt = v→ →

d Ldt

=d( r x p )

dt=

d rdt

x p+ rO→

xxd pdt

→→→ →→→

20 Unidad 1 Y

OF

Mo

r

a El vector momento de una fuerzaes perpendicular al plano que defi-nen los vectores de posición y fuerza.

Movimiento de una partícula

Traslación Rotación

F = m · a→ →

Mo = r x F→ →→

p = m · v→ → Lo = r x p

→ →→

dp→ →

dt= F dLo

→ →dt

= Mo

Σ F = 0 ⇒ →

→⇒ p = constante

Σ Mo = 0 ⇒→

→⇒ Lo = constante

Lo = constante

OF v

r

ur

a El momento angular de una partí-cula respecto de un punto permane-ce constante si el vector de posición yel vector fuerza son paralelos.


8. La ley de Gravitación y las leyes de Kepler

Newton dedujo su ley de gravitación aplicando las leyes de Kepler. Es lógicopensar que lo mismo se pueda realizar a la inversa. Para ello, se aplican laspropiedades de las fuerzas centrales y la dinámica del movimiento circular.

- Primera ley de Kepler

La fuerza con la que actúa el Sol sobre los planetas es una fuerza central, yaque tiene la misma dirección que el vector de posición del planeta respectodel Sol. Por tanto, el vector momento angular de un planeta respecto del Solpermanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

- Segunda ley de Kepler

Sea una partícula, un planeta, que en un instante t está en la posición P, sien-do el vector de posición y en un instante posterior, t + dt, se encuentraen otra posición P’, definida por el vector de posición .

El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del para-lelogramo que delimitan. Por tanto, el área del triángulo que delimitan los vec-tores es igual a la mitad del valor del módulo de su producto vectorial.

⇒

Como el momento angular del planeta respecto del Sol permanece constante:

, se cumple que:

Al ser el módulo del momento angular de un planeta respecto del Sol cons-tante y como el vector de posición del planeta respecto del Sol es perpendi-cular al vector velocidad, se puede relacionar la velocidad de un planetacon su distancia al Sol para dos puntos cualesquiera de la órbita.

| L | = | L | r m v sen = r m1 2 1 1 2→ · · · ·1 ·· ·v sen2 2

→ ϕ ϕ⇒

� Lo que significa que el área barrida por unidad de tiempo por vectorde posición de un planeta respecto del Sol, llamada velocidad aerolar,es una cantidad constante, que es otra forma de enunciar la segundaley de Kepler.

dSdt

=| L |2 m

=O→

·constante

vOL = r x m →· = constante→→

dSdt

=12

| r x v |→ →dS=12

| r x d r | =12

| r x v dt |→ ·→ → →

r y d r→→

r + d r→→r→

SolL = r x p= r x m v = constante·→→→→→


Y

Sol

Lsol = constante

F

FF

rr

r

Planeta

a Durante el movimiento de un pla-neta su momento angular respectodel Sol permanece constante.

r

dr

Lo

P’

P

r + dr

O

a El área del triángulo es igual a lamitad del valor numérico del produc-to vectorial de los vectores que lo de-limitan.

mínima

máxima

Sol

v

r2 1

v

r

a Cuanto mayor es la distancia de unplaneta al Sol, menor es su velocidad.

� Si la dirección y el sentido del momento angular son constantes, en-tonces los vectores están siempre contenidos en el mismoplano y la trayectoria descrita por el planeta es una curva plana, quese recorre siguiendo siempre el mismo sentido.

r y v→→


- Tercera ley de Kepler

Sobre los planetas solamente actúa la fuerza de interacción gravitatoria de-bida al Sol. Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la órbitacomo circular, se tiene que:

La relación entre la velocidad y el período es:

Sustituyendo:

Cantidad que solamente depende de la masa del astro central.

De esta forma se justifica el que Kepler otorgara al Sol la causa del movi-miento de los planetas. El valor de la constante sólo depende de la masa delSol y es independiente de la masa y del movimiento de los planetas.

De igual forma, al aplicar la tercera ley de Kepler a un planeta y al conjun-to de sus satélites, el valor de la constante sólo depende de la masa del pla-neta.

= =Gm

rr

TTr G m

constanteSol

Sol

·· · ·

·=

4 42 2

2

2

3

2π π⇒

vr

T=

2· ·π

= · ;Σ→F m a G

m m

rmplaneta n

Sol planetaplaneta

··2

vv

rG

mr

vplaneta Solplaneta

22=·

→= ⇒

22 Unidad 1 Y

F

v

r

Sol

Planeta

a La interacción gravitatoria propor-ciona la fuerza centrípeta que man-tiene a un planeta en su órbita.

La Tierra en su perihelio, punto más cercano al Sol, está a una distancia de 147 millones de km del Sol y tiene una velocidadde 30,3 km/s. ¿Cuál es la velocidad de la Tierra en su afelio, punto más alejado del Sol, si dista 152 millones de km del Sol?

La dirección de la fuerza con la que actúa el Sol sobre la Tierra coincide con la direccióndel vector de posición de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular dela Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

Aplicando la definición de momento angular y como el vector de posición esperpendicular a la velocidad, se tiene:

Sustituyendo: 147 · 106 km · 30,3 km/s = 152 · 106 km · vafelio v vafelio = 29,3 km/s

Calcula el período de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una órbita situada a una distanciamedia de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: RTierra = 6 370 km, g0, Tierra = 9,8 m/s2.

El radio de la órbita es: r = RTierra + 400 km = 6370 · 103 m + 400 · 103 m = 6,77 · 106 m

Aplicando la tercera ley de Kepler y como , se tiene que el período es:

= 5,6 · 103 s = 93 min· ·2 6

π π πT = 2 rG m

= 2 rg

3

Tierra

3

0

··

···

··

R= 2

(6,77 10 m)9,8 mTierra

2

6 3

// s (6,37 10 m)2

0Tierra

Tierra2

g =G m

R·T

r G mTierra

2

3

24=

··π

perihelio perihelio afelior m v =r→· m vafelio·→ →→ x x ⇒ rperihelio · vperihelio = rafelio · vafelio

perihelio afelioL = L→ →


Sol FF

rperihelio rafelio

vafelio

vperihelio


9. Satélites geoestacionariosSe denomina órbita geoestacionaria a la órbita en la que el período de tras-lación de un satélite es igual al período de rotación de la Tierra.

T = 24 h = 8,6 · 104 s

Estos satélites mantienen su posición relativa respecto de un punto de la Tie-rra, por lo que se utilizan como repetidores de las señales electromagnéticasen comunicación.

Aplicando la segunda ley de Newton a la órbita, de radio r, y como:

y , se tiene que:

Despejando:

Sustituyendo se tiene que el radio de la órbita es:

= 4,22 · 107 m = 42 200 km

Por lo que la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra es:

h = r - RTierra = 42 200 km - 6 370 km = 35 830 km · 36 000 km

Para que la órbita de un satélite sea estable el plano que la contiene debecontener el centro de la Tierra, ya que en caso contrario la dirección del vec-tor fuerza y del vector de posición del satélite respecto del centro de la ór-bita no son paralelos y el momento angular del satélite respecto del centrode la órbita no se conservaría.

Como el período de un satélite geoestacionario es el mismo que el de la Tie-rra, su órbita está en la vertical de un punto del ecuador terrestre y no pue-de estar situado sobre la vertical de un punto de España.

r =9,8 m/ s (6 370 10 m) (8,642 3 2· · · ·10 s)

4

4 2

23

· π

R T· ·3 Tierra

2

20 Tierrar =

G m T4

r =g

··

π

2 2

23

4·

·π⇒

= · ;Σ→F m a G

m

rmplaneta n

Tierra ·2

vr G

mr

4 πTierra2 2

=·→

= ⇒· m · r2

T2·

0Tierra

Tierra2

g =G m

R·v = 2 r

Tπ ··


Y

a Los satélites de comunicación y al-gunos satélites meteorológicos se si-túan en la órbita geoestacionaria.Para la observación más detallada ypara latitudes superiores a 60 º se co-locan en órbita circumpolar de 800km de altura.

L0

F

Or

v

a La órbita de un satélite geoestacio-nario está en la vertical del ecuadorterrestre.

F

O

F

F

r r

r

Importante

El plano de la órbita de un satélitedebe contener al centro de la Tierra.

�


10. El fenómeno de las mareasSe denomina marea al ascenso y descenso periódicos de todas las aguas oceá-nicas, incluyendo las de los mares abiertos, las de los golfos y las de las bahías,resultado de la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la pro-pia Tierra.

La primera explicación correcta del fenómeno de las mareas la dio Newton,al asociarlo a la influencia de la interacción gravitatoria entre la Tierra y laLuna.

Mareas lunares

Una persona montada en un tiovivo observa que tiende a ser expulsado dela plataforma con mayor intensidad cuanto más alejada esté del centro de lamisma.

Para justificar esta observación, desde un sistema de referencia no inercial,la persona debe introducir una fuerza de inercia, denominada fuerza centrí-fuga, que le empuja hacia afuera.

La inercia hace que al girar un balón mojado las partículas de agua se des-prenden de su superficie.

De igual forma el movimiento de rotación de la Tierra provoca que el aguade los océanos tienda a salir desprendida, pero no lo consigue debido a laatracción gravitatoria de la propia Tierra. Este efecto es mayor en los puntospróximos al ecuador terrestre.

La Tierra y la Luna forman un sistema que se mantiene unido por la interac-ción gravitatoria. Si dejan de considerarse a los dos astros como objetospuntuales, el sistema gira en torno a un centro común que está situado den-tro de la Tierra y a una distancia de su centro de 3/4 del radio terrestre. Ade-más, todos los puntos de la superficie de la Tierra están afectados por laatracción de la Luna con una fuerza tanto más intensa cuanto más cerca es-tén de ésta.

La combinación de los dos fenómenos (la diferencia de la atracción lunar yla fuerza centrífuga) hace que las regiones oceánicas situadas en la cara dela Tierra orientada a la Luna se acerquen hacia el satélite, por lo que se en-cuentran en pleamar.

A su vez, las regiones que se encuentran en la cara opuesta de la Tierra sealejan del satélite y también se encuentran en pleamar. Si la Tierra estuvieracubierta totalmente de agua se deformaría hasta tener la forma de un elip-soide alineado con el sistema Tierra-Luna.

Debido a los movimientos de la Tierra y de la Luna la componente de marealunar se manifiesta con un período de 12 horas y 30 minutos, aproximada-mente.

24 Unidad 1 Y

a Playa de la Concha (San Sebastián).

T→

Fcentrífuga

→

a Para un observador no inercial elobjeto está en reposo y debe intro-ducir la fuerza centrífuga, fuerza fic-ticia, que equilibre a la tensión.

Sistemas de referencia

Un sistema de referencia es inercialcuando está en reposo o su movi-miento es rectilíneo uniforme. En estesistema se aplican las leyes de New-ton.

A un observador situado en un siste-ma animado con aceleración se ledenomina no inercial. En estos siste-mas no son válidas las leyes de New-ton, para aplicarlas debe introduciruna fuerza ficticia o fuerza de inercia.

�


Mareas solares

El Sol también interviene de manera directa en el fenómeno de las mareas,con un período de 24 horas.

El que la masa del Sol sea 27 millones de veces mayor que la de la Luna y estésituado 400 000 veces más lejos, no basta para explicar que su efecto sobrelas aguas del océano sea un 45 % menor que el efecto producido por la Luna.

Esta menor contribución del Sol al efecto de marea se debe a que la diferen-cia entre los módulos de las fuerzas con que actúa la Luna sobre el océanomás próximo a ella y el más alejado es mucho mayor que la correspondien-te diferencia para el caso del Sol.

Mareas vivas y mareas muertas

La magnitud de la marea es el resultado de la combinación de los dos elip-soides de deformación generados, por lo que la magnitud de la misma de-pende de las posiciones relativas del Sol y de la Luna respecto de la Tierra enun instante dado. Durante los períodos de luna nueva y luna llena, el Sol, laLuna y la Tierra están alineados, los dos efectos se suman y se tienen las ma-reas vivas. En ellas las mareas altas ascienden más y las mareas bajas des-cienden más de lo habitual.

Cuando la Luna está en fase de cuarto menguante o de cuarto creciente, elSol, la Luna y la Tierra forman un ángulo recto y se tienen las mareas muer-tas. En este estado de los astros la marea alta es más baja y la baja más altade lo normal. El tamaño de la marea también está altamente influenciado porla estructura de la costa y de los océanos. Así, no son comparables las ma-reas del mar Mediterráneo, mar cerrado, con las que se producen en el océano Atlántico y en el mar Cantábrico.


Y

Tierra

Luna

F(r + R)F(r – R)

r

R

TierraLunaLuna Sol

Marea viva

Tierra

Luna

Luna

Sol

Marea muerta

a Son muy famosas y espectaculareslas mareas del monte Saint-Michel.En este lugar son normales unas ma-reas de 9 m.


26 Unidad 1 Y

PARA SABER MÁS

El fenómeno de la ingravidez

Con frecuencia observamos imágenes de astronautas y objetos que flotan en el airedentro de las naves espaciales en estado de ingravidez.

El término de ingravidez no es correcto porque la fuerza de atracción gravitatoria conla que actúa la Tierra sobre los astronautas no se hace igual a cero y por tanto las per-sonas y los objetos que están dentro de la nave tienen peso.

La relación entre el peso de un astronauta en la superficie de la Tierra y dentro de laestación espacial internacional, ISS, por ejemplo, que gira en una órbita situada a 400km de la superficie de la Tierra es:

Sustituyendo por sus valores:

El astronauta y todos los objetos de la nave pesan solamente un 11 % menos que enel suelo. Por tanto, la lejanía de la nave no es suficiente explicación de la aparente pér-dida del peso.

Peso aparenteLa sensación que tenemos de nuestro propio peso proviene de las fuerzas que lo equi-libran. Así, al estar sentados sentimos la fuerza con la que actúa la silla, que equilibraa nuestro peso e impide que caigamos al suelo.

Al pesarnos en una báscula de baño, su resorte se comprime para equilibrar a nues-tro peso. Esa compresión permite determinar el valor del peso con un aparato que sehaya calibrado aplicando la ley de Hooke.

Pero veamos qué ocurre al pesarnos o al pesar un objeto con un dinamómetro en elinterior de un ascensor.

Si el ascensor está en reposo, el dinamómetro indica una cantidad igual al peso deobjeto. Si el ascensor desciende con una aceleración igual a la de la gravedad, no hayninguna fuerza que equilibre al peso y el dinamómetro indica una cantidad igual acero. Aparentemente nosotros y los objetos que están dentro del ascensor no pesa-mos nada.

A esta situación se le denomina ingravidez, más correctamente, falta aparente de peso,y es la que experimentan los astronautas cuando se mueven en órbita alrededor de laTierra.

=(6 370 km 22

2

)(6 370 km+ 400 km)

= 0 89,PP

órbita

suelo

· ·

· ·PP

=

G M m(órbita

suelo

Tierra astronauta

Tierra2

Tierra astronauta

Tierra

R + h)G M m

2

Tierra2

Tierra2

R

= R( R + h)a Astronauta en ambiente de ingravi-

dez.

a Ascensor parado. Ascensor en caí-da libre

0

50

0

50

a = 0 a = g

T

PP



Y

Ingravidez en órbitaSobre una nave espacial que describe una órbita circular en torno a la Tierra actúa lainteracción gravitatoria, que es la fuerza centrípeta necesaria para que el movimientocircular tenga lugar. La nave espacial lleva un movimiento continuo de caída libre ha-cia la superficie de la Tierra siguiendo una curva cerrada.

La nave espacial y el astronauta se mueven en caída libre hacia la Tierra con la mismaaceleración y por ello sobre el astronauta y los objetos de la nave no actúa ningunafuerza que equilibre a su peso. Ésa es la razón por la que aparentemente no pesannada.

Creación de ambientes de ingravidezLos científicos generan ambientes de ingravidez produciendo situaciones de caída li-bre hacia la superficie de la Tierra de diferentes formas: a bordo de naves espaciales,en vuelos parabólicos con aeronaves, en la caída libre desde el espacio por medio decohetes sondas y con torres de caída libre.

Los satélites en órbita proporcionan condiciones de ingravidez durante períodos largosy continuos de tiempo. Con cohetes se generan períodos de caída libre, durante su des-censo, con una duración de hasta 20 minutos.

La Agencia Espacial Europea utiliza un avión Airbus 300 para proporcionar condicio-nes de ingravidez mediante vuelos parabólicos. El avión sube hasta unos 8 000 m, paradescender rápidamente. Al bajar hasta la altura adecuada, el avión vuelve a ascenderpara repetir el ciclo. Así se consiguen períodos de caída libre de una duración de me-dio minuto que se pueden repetir sucesivamente. Es como si las personas y objetos semovieran dentro de una montaña rusa gigante.

También hay instalaciones sobre la superficie de la tierra. Consisten en torres de másde 100 m de alto, dentro de las cuales se dejan caer objetos que experimentan una ca-ída libre durante varios segundos.

La gravedad afecta a todos los procesos biológicos, físicos y químicos sobre la superfi-cie de la Tierra.

Los ambientes de ingravidez proporcionan un entorno adecuado para desentrañarcomportamientos de las sustancias que quedan enmascarados por la gravedad. Deesta forma se abren nuevos horizontes de experimentación en medicina, biología, me-cánica de fluidos, combustiones, comportamiento de materiales, etc.

El fenómeno de la ingravidez produce incomodidades a los astronautas a la hora derealizar sus actividades diarias.

Pero, lo que más preocupa a los médicos son los trastornos en su organismo, y sobretodo la pérdida de masa ósea. Otros trastornos son la disminución de glóbulos rojos,la debilidad muscular y los problemas psicológicos derivados del encierro en habitácu-los de dimensiones reducidas. Para paliar los efectos de la ingravidez, los astronautassiguen diariamente programas con ejercicios físicos muy específicos.

a Sobre el satélite y los objetos que con-tiene solamente actúa la interaccióngravitatoria.

Ujfssb

Tbumjuf

a

F

V

normal

a Generación de ambientes de ingravi-dez.


28 Unidad 1 Y

ACTIVIDADES FINALES

1. Si se descubriera un planeta situado a una distancia del Sol diez veces mayor que la distancia a la que se encuentra laTierra, ¿cuántos años terrestres tardaría en recorrer su órbita?

2. Calcula la masa del Sol sabiendo que la constante de la tercera ley de Kepler para los planetas del sistema solar tiene elvalor de 3,35 · 1018 m3/s2.

3. La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra, su radio medio es 10,85 veces el terrestre y su distancia media al Sol es5,2 veces la de la Tierra. Con estos datos calcula el período orbital en torno al Sol en relación a un año terrestre y el va-lor de la gravedad en su superficie en relación al de la Tierra.

4. Dos satélites de comunicaciones A y B (mA > mB) giran alrededor de la Tierra en órbitas circulares de distinto radio (RA < RB).Se pide: a) ¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad lineal? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor período de revolución?

5. Dos satélites de igual masa orbitan en torno a un planeta de masa mucho mayor siguiendo órbitas circulares coplanariasde radios R y 3 · R y recorriendo ambos las órbitas en sentidos contrarios. Calcula la relación entre sus periodos y entresus momentos angulares (módulo, dirección y sentido).

6. Se tienen dos satélites iguales, de la misma masa, uno gira en una órbita circular alrededor de la Tierra y el otro en tornoa Marte. ¿Cuál es la relación entre los radios de las órbitas si ambos tienen el mismo período? Supongamos ahora quelos dos satélites giran en órbitas del mismo radio, cada uno alrededor de su planeta. ¿Cuál es la relación entre los mo-mentos angulares correspondientes? Datos: mMarte = 0,11 · mTierra; RMarte = 0,5·RTierra.

7. Un planeta describe una órbita circular de radio 1 · 108 km con un período de rotación 2 años en torno a una estrella demasa mucho mayor. Calcula la masa de la estrella.

8. Europa, satélite de Júpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el radio de la órbita que describe es de6,7· 105 km y su período de 3 días, 13 horas y 13 minutos, calcula la velocidad de Europa relativa a Júpiter y la masa delplaneta.

9. El diámetro de la Luna es la cuarta parte del de la Tierra y su masa es 1/81 de la masa de la Tierra. ¿Con qué velocidadllegará a la superficie de la Luna un objeto que se deja caer desde una altura de 5 m?

10. Supón que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. ¿Aumentaría el valor de la aceración de la gra-vedad en su superficie? ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?

11. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Mercurio, sabiendo que su radio es igual ala tercera parte del radio terrestre y que su densidad es igual a 3/5 de la densidad de la Tierra.

12. La aceleración de la gravedad en un planeta es 5 m/s2. Si su radio es igual a la mitad del radio terrestre, calcula la rela-ción de su masa con la masa de la Tierra.

13. Un planeta de forma esférica tiene un radio de 3 000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. Cal-cula su densidad media.

14. Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? Si se duplicara el radio de la Tie-rra, manteniendo la masa de ésta, ¿cuál sería entonces el peso del cuerpo? Si se duplicara el radio de la Tierra, mante-niendo constante su densidad media, ¿cuál sería en tal caso el peso del objeto?

15. En dos de los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado hay colocadas sendas masas de 3 kg cada una. Calculael módulo, la dirección y el sentido de la fuerza con la que actúan sobre otra masa de 5 kg colocada en el otro vértice.



Y

16. Tres masas puntuales de 1 kg están situadas en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Qué fuerza actúa sobreuna cuarta masa de 1 kg colocada en el otro vértice?

17. Dos puntos materiales de masas m y 2 m respectivamente se encuentran la una distancia de 1 m. ¿Dónde habrá que co-locar otro objeto para que esté en equilibrio?

18. La Luna describe una órbita circular en torno a la Tierra en 28 días. Si la masa de la Tierra es 6,0 · 1024 kg calcula la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna. ¿Cuál es el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partícula demasa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna, a una distancia del cen-tro de la Tierra de 3,4 · 108 m?

19. Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa mucho mayor. La distancia más próxima es RPróxima = 1 · 108 km yla más alejada es RAlejado = 1,8 · 108 km. Calcula la relación entre las velocidades del planeta en los puntos más pró-ximo, P, y más alejado, A.

20. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2 · 108 y 8 · 108 m, respectiva-mente. Calcula la relación entre sus velocidades tangenciales respectivas.

21. La nave espacial del primer vuelo tripulado chino orbitó la Tierra a una distancia de 330 km de su superficie. Calcula elperíodo orbital de la nave y su velocidad en la órbita, supuesta circular.

22. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2· RTierra en torno a la Tierra. Calcula su velocidad orbital y el peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa 5 000 N. Dato: RTierra = 6 400 km.

23. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 · RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula la veloci-dad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra y el correspondiente período de rotación en días. La masade la Tierra es: 5,98 · 1024 kg.

24. Una sonda espacial orbita en torno a Marte recorriendo una órbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa 120 kg.Sabiendo que el radio del planeta Marte es de 3 390 km y que su masa es igual a 6,421·1023 kg y suponiendo que la ór-bita es circular, calcula su radio y la velocidad con que la recorre la sonda. En realidad, esta sonda describe una órbitaelíptica de forma que pueda aproximarse lo suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a lasuperficie marciana en el punto más próximo es de 258 km y de 11 560 km en el punto más alejado. Obtén la relaciónentre las velocidades de la sonda en estos dos puntos.

25. En el año 1957 la extinta Unión Soviética lanzó al espacio el primer satélite artificial de la historia, el Sputnik 1. El saté-lite pesaba 83 kg y dio 1 400 órbitas alrededor de la Tierra con un período de 96,2 min. Calcula el momento angular delsatélite respecto de la Tierra.

26. Un satélite gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 20 000 km de radio. Si el radio de la Tierra es igual a6 370 km y la aceleración de la gravedad en su superficie 9,8 m/s2, calcula el valor de la aceleración de la gravedad enla órbita y la velocidad angular del satélite.

27. Si la masa de Marte es aproximadamente la décima parte de la Tierra y su período de rotación en torno a su eje es apro-ximadamente igual al de la Tierra, calcular el radio de la órbita de un satélite geoestacionario orbitando sobre el ecuadorde Marte.

28. Desde un lugar situado a una distancia del centro de la Tierra igual a 5/4 del radio terrestre, se desea poner en órbita un sa-télite. ¿Qué velocidad inicial hay que comunicarle? ¿Cuál es el período del satélite? Datos: g0 = 9,8 m/s2; RTierra = 6 370 Km.


30 Unidad 1 Y

CIENCIA Y SOCIEDAD

Desde la antigüedad y hasta finales del siglo XVIII se conocían seisplanetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Lamayoría de la científicos, entre ellos Kepler, estaban convencidosde que ése era el límite del Sistema Solar, a excepción de los co-metas.

En el último cuarto del siglo XVIII el astrónomo alemán William Hers-chel construyó uno de los mejores telescopios de la época, con elque decidió elaborar un censo detallado de la posición de las estre-llas menos brillantes del firmamento.

En 1781 encontró un objeto que no tenía la apariencia de una es-trella. Con la ayuda de otros astrónomos se dedujo que su órbitaera casi circular, por lo que no se correspondía con la de un cometa.Habían descubierto un nuevo planeta al que se le puso el nombrede Urano. Con ello se duplicó el tamaño del Sistema Solar y ade-más se constató que era posible descubrir planetas nuevos y quelos límites del Sistema Solar no estaban establecidos.

Desde el momento de su descubrimiento, los astrónomos empeza-ron a estudiar el movimiento de Urano, para determinar el tiempoque tarda en dar una vuelta alrededor del Sol y al aplicar las leyesde Kepler calcular su distancia al mismo.

Enseguida se dieron cuenta de que Urano no seguía exactamente laórbita calculada y que alguna causa alteraba su movimiento. Paraello sugirieron varias explicaciones como: ¿tendrá Urano algún sa-télite muy masivo, pero invisible? o ¿existirá algún otro planeta queperturba el movimiento de Urano?

El francés Urbain Leverrier había estudiado matemáticamente la ór-bita de algunos cometas, y sabía cómo tratar el problema de la órbita de Urano. En 1846, y después de varios años de trabajo,completó sus cálculos y escribió al astrónomo Johann Galle, del ob-servatorio de Berlín, pidiéndole realizar observaciones en un lugardel cielo donde predecía que el nuevo planeta debería estar. Unosdías más tarde el planeta fue encontrado muy cerca de la posicióncalculada. Se había descubierto un nuevo planeta, que pronto lleva-ría el nombre de Neptuno.

Unos meses antes el inglés John Adams había realizado cálculos si-milares que no fueron tenidos en cuenta por el observatorio de Greenwich hasta que no se conocieron los de Leverrier.

Estos descubrimientos con lápiz y papel supusieron la consagracióndefinitiva de la ley de Gravitación Universal desarrollada por IsaacNewton.

El gran éxito de la ley de gravitación

I N V E S T I G A

En la página http://www.portalplanetasedna.com.ar/astronomos_antiguos/ puedes encontrar biografías de astrónomos.

1. Kepler, inicialmente, buscando la armonía de los cielos asoció las órbitas de los planetas conocidos hasta entones con los cuer-pos sólidos regulares pitagóricos: cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro. Busca de qué forma intentaba Keplerencajar las órbitas de los planetas con los sólidos regulares.

2. Recientemente se le ha quitado a Plutón la categoría de planeta. Investiga cuándo se tomó ese acuerdo y las razones que lomotivaron.



TEST DE EVALUACIÓN

EN RESUMEN

1. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirma-ciones: a) La Tierra se mueve alrededor del Sol más deprisa cuando es verano en el hemisferio norte que eninvierno. b) Si la órbita de un satélite es circular, su centrocoincide con el de la Tierra. c) La constante de la terceraley de Kepler sólo depende de la masa del astro central. d) Cuanto más lejos está un planeta del Sol menor es suvelocidad orbital.

2. Completa la frase: Un satélite geoestacionario recorre suórbita con un período de _______ y está colocado en lavertical del ___________ y se utilizan en ___________.

3. ¿Cuál será el peso de un objeto al elevarlo a una distanciaigual a dos veces el RTERRESTRE? a) 3 · Psuperficie. b) Psuperficie /3. c) Psuperficie /9. d) Psuperficie /2.

4. En el origen de coordenadas se sitúa una masa m1=1kg,en el punto A (3, 0) se coloca otra masa m2 = 2 kg y en elpunto B (0, 4) una tercera m3 = 3 kg. El módulo de lafuerza que actúa sobre la masa colocada en el origen es: a) 1,94 · 10-11 N. b) 2,73 · 10-11 N. c) 0 N. d) 1,94 · 10-9 N.

5. Una unidad astronómica, U.A, es igual a la distancia me-dia desde la Tierra hasta el Sol. Si el planeta Saturno tarda29,5 años en recorrer su órbita, su distancia Sol expresadaen unidades astronómicas es: a) 29,5 U.A. b) 9,5 U.A. c) 59 U.A. d) 100 U.A.

6. Si un satélite está situado en una órbita a 330 km de laTierra, su período de revolución es: a) 91 min. b) 62 min.c) 120 min. d) 1 h.

7. Un planeta posee un radio que es el doble del radio te-rrestre y su densidad media es la misma que la de la Tierra. El peso de los objetos en ese planeta respecto de loque pesan en la Tierra es: a) 2·PTierrra. b) PTierrra. c) PTierrra /2. d) PTierra /4.

8. Completa la frase: El momento angular de la Tierra respecto del Sol es un ________ , de dirección ____ alplano de la órbita y permanece ___________ a lo largo dela trayectoria.

9. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas: a) La interacción gravitatoria entre dos masas depende del medio en el que coloquen. b) El momentoangular de una partícula no depende del origen del sis-tema de referencia. c) Si la órbita de un satélite es estable,su vector de posición y el vector fuerza son paralelos. d) Elvector momento angular de un satélite respecto de la Tie-rra está contenido en el plano de su órbita.

10. Si se duplicara la masa de la Tierra, la distancia a que habría que colocar la Luna para que girase con el mismoperíodo con el que lo hace actualmente sería: a) r’ = 2 r. b) . c) r’ = r/2. d) r’ = r.' ·r r= 23

Z

Movimiento Masa

Posición de la Tierra Leyes de Kepler

Modelo geocéntrico

Modelo heliocéntricoMovimiento planetas Peso de los objetos

Ley de GravitaciónUniversal

ASTROS


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