Interacción gravitatoria física

8/4/2019 Interaccin gravitatoria fsica

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Fsica 2 bachillerato 1

1.- INTERACCIN GRAVITATORIA

FORMULACIN

Ley de Kepler: r3/T2 = constante para cualquier sistema que gira en torno a un mismocuerpo.

Ley de gravitacin universal: F = Gm1m2/r2 siendo G = 6,67.10-11 N m2 kg-2

Constante de Kepler para el sistema solar: r3/T2 = GMS/42

Intensidad del campo gravitatorio: g = Gm/r2

Trabajo de una fuerza: W = F.dr = Ecfinal - Ecinicial , es independiente del tipo de fuerza.

Trabajo de una fuerza conservativa: W = Ecfinal - Ecinicial = Epinicial - Epfinal

Energa cintica: Ec = mv2

Energa potencial gravitatoria: Epg = - Gm1m2/r

Potencial gravitatorio: Vg = - Gm/r

Conservacin de la energa mecnica: Em = Ec inicial+Epinicial = Ecfinal+Epfinal (fuerzasconservativas)

Condicin matemtica en una rbita gravitatoria: GMm/r2 = mv2/r

Fuerza elstica.- Ley de Hooke: F = - kx (k=constante de elasticidad, x=elongacin)

Energa potencial elstica: Epe

= kx2

Fuerza de rozamiento: F = N ( = coeficiente de rozamiento)

Conservacin de la energa en general: Ecinicial+Epinicial = Ecfinal+Epfinal+Energa disipativa

APARTADO 1-1. Leyes de Kepler. Ley de gravitacin y campo gravitatorio.

EJERCICIO 1-1-1

Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa.a) Aumentara la intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie?.b) Se modificara sustancialmente su rbita alrededor del Sol?. Justifique las respuestas.

a) El campo gravitatorio viene dado por g = GMT/RT2, si el radio se redujera a la mitad, el

nuevo campo gravitatorio sera g = GMT/(RT/2)2 = 4 GMT/RT

2, por lo que el campoaumentara cuatro veces.

b) La condicin que se verifica en la rbita de la Tierra en torno al Sol es:GMSMT/r

2 = MT v2 /r, siendo r en este caso el radio de la rbita en torno al Sol. El radio

terrestre no participa en esta ecuacin, por lo que esta rbita no se ve afectada por eltamao de la Tierra y, ni siquiera, por la masa de la Tierra, ya que en la ecuacin anterior lamasa terrestre se cancela.

EJERCICIO 1-1-2

Dos satlites idnticos estn en rbita alrededor de la Tierra, siendo sus rbitas de distintoradio.

Interaccin gravitatoria


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a)Cul de los dos se mover a mayor velocidad?.b) Cul de los dos tendr mayor energa mecnica?. Razone las respuestas.

a) Llammosles a los satlites A y B.

Para el satlite A se verifica: GMT mA / rA2 = mA vA

2 / rA

Para el satlite B se verifica: GMT mB / rB2

= mB vB2

/ rB

En ambas ecuaciones se van las masas de los satlites y quedan, simplificando:

GMT /rA = vA2 GMT /rB = vB

2

Lo cual implica que el que tenga mayor radio tiene menor velocidad

b) La energa mecnica del satlite es la suma de su energa cintica y de su energapotencial, por tanto:

EmA = mA vA2 - G MT mA / rA

Sustituyendo vA2 por la expresin del apartado anterior, queda:

EmA = mA GMT / rA - GMT mA / rA = - G MT mA / rA

Una ecuacin anloga se obtiene para el satlite B.Al ser ambos satlites idnticos, tienen la misma masa, por lo que su energa mecnica solodepende del radio de la rbita. El que tenga mayor radio tendr menor valor absoluto deenerga mecnica, aunque al tener signo negativo implica en realidad mayor energamecnica.

EJERCICIO 1-1-3

a) Explique la influencia que tiene la masa y el radio de un planeta en la aceleracin de lagravedad en su superficie y en la energa potencial de una partcula prxima a dichasuperficie.b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cudruple, cul sera elnuevo valor de g?; y el nuevo periodo de la Luna?.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg ; dT-L = 3,8.105 km

a) La aceleracin de la gravedad coincide con el valor del campo gravitatorio, ya que, segnla ley de la dinmica de Newton: F = mg = ma. Por tanto: a = g = G M/r2; se deduce, pues,que la aceleracin es directamente proporcional a la masa del planeta.

La energa potencial en la superficie del planeta viene dada por Epo = - G M m / R, siendo M

la masa del planeta, m la masa de la partcula, y R el radio del planeta. En un punto a unaaltura h sobre la superficie del planeta, la energa potencial viene dada por Ep = - G M m /(R+h). Estos son realmente los valores de la energa potencial de la partcula en esoslugares.

Cuestin diferente sera si quisiramos hallar la diferencia de energa potencial entre esosdos puntos: Ep = Ep - Epo = - GMm/(R+h) + GMm/R = GMm 1/R - 1/(R+h); o bien: Ep= GMm h/R(R+h). Si la partcula se encuentra prxima a la superficie del planeta,podemos considerar que h es mucho ms pequea que R, con lo que podemos despreciarladentro del parntesis. Lo cual nos lleva a: Ep = GMmh/R2 = m go h, siendo go = GM/R

2 elvalor del campo gravitatorio en la superficie del planeta. Por tanto, en la expresin de laenerga potencial o en la diferencia de energa potencial, estos valores dependen

directamente de la masa del planeta, en el primero caso el valor ser negativo y en elsegundo positivo.



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b) Sustituyendo los valores indicados en el enunciado ser:

g = G MT / RT2 = 6,67.10-11 x 4 x 6.1024 / (2 x 6400000)2 = 9,8 N/Kg

Es el mismo valor que el de la Tierra con su masa y tamao actual en su superficie.

Por otro lado, la rbita lunar cumple: G MTML = ML v2/r2; lo que implica que la velocidad

orbital depende de la raz cuadrada de la masa terrestre; si sta se cuadriplica la velocidadse duplicar, con lo que el periodo orbital se reduce a la mitad ya que la distancia Tierra-Luna permanece igual. Efectivamente: al ser v = 2r/T la velocidad y el periodo soninversamente proporcionales.

EJERCICIO 1-1-4

Dos satlites idnticos A y B describen rbitas circulares de diferente radio (RA>RB)alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:a) cul de los dos tiene mayor energa cintica?b) si los dos satlites estuvieran en la misma rbita (RA=RB) y tuviesen distinta masa(mA


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a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de laTierra sera la mitad de su peso en la superficie de la Tierra.b) El estado de "ingravidez" de los astronautas en el interior de las naves espacialesorbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos esnula.

a) El peso de un cuerpo en la superficie del planeta viene dada por F = mg = GMm/R2,

siendo m la masa del cuerpo, M la masa del planeta y R el radio del planeta. Por tanto, elpeso del cuerpo es directamente proporcional a la masa del planeta y la afirmacin delapartado a) es verdadera si los radios de ambos planetas coinciden.

b) La afirmacin es falsa ya que la Tierra ejerce sobre el astronauta una fuerza que vienedada por la ley de gravitacin. La sensacin de ingravidez aparece como consecuencia detomar como sistema de referencia la propia nave que est sometida al mismo campogravitatorio que los astronautas y, por tanto, todos ellos sometidos a la misma aceleracinde la gravedad.

EJERCICIO 1-1-7

La masa de la Luna es mL = 7,36.1022

kg y su radio RL = 17.105

m, aproximadamente.a) Qu distancia recorrer en 1 s un cuerpo en cada libre sobre la superficie de la Luna?.b) Cul ser el peso en la Luna de un hombre que en la Tierra pesa 70 kg?.a) Se trata de un movimiento uniformemente acelerado para espacios o tiempos cortos, enlos que se recorre un espacio s = at2; al coincidir la aceleracin con el valor del campogravitatorio, ser: s = gt2 = (GML/RL

2) t2; y sustituyendo valores:s = (6,67.10-11 x 7,36.1022 / (17.105)2) . 12 = 0,849 m

b) Podramos discutir en este apartado la frase "pesa 70 kg" ya que el peso es realmenteuna fuerza y se mide en Newton. En realidad el peso de ese hombre en la Tierra sera P =70 x 9,8 = 686 N. La frase correcta es que tiene una masa de 70kg, y como la masa es unvalor constante para cualquier punto del espacio, el peso del hombre en la luna sera: P = mgL = 70 x 6,67.10

-11 x 7,36.1022/(17.105)2 = 118,9 N.

EJERCICIO 1-1-8

a) Explique las analogas y diferencias entre las interacciones gravitatoria y electrosttica.b) Qu relacin existe entre el periodo y el radio orbital de dos satlites?.

a) Analogas:- ambas interacciones suceden a distancia, es decir, los cuerpos se ejercen entre s

fuerzas recprocas e iguales sin tener que estar en contacto.- en las dos interacciones, la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia.

- las dos son fuerzas conservativas por lo que tienen asociadas una energa potencialverificndose el principio de conservacin de la energa mecnica.

Diferencias:- la interaccin electrosttica es mucho ms intensa que la gravitatoria. Mientras que

la constante electrosttica es del orden de casi diez mil millones (9.109), la constantegravitatoria es inferior a la diez mil millonsima (6,67.10-11).

- La interaccin gravitatoria es de carcter atractiva mientras que en la electrostticase puede presentar carcter atractivo o repulsivo.- En la interaccin gravitatoria participan las masas de los cuerpos mientras que en laelectrosttica participan las cargas.

- La constante electrosttica tiene valores diferentes para los distintos medios en que

se encuentren las cargas. La constante de gravitacin es universal e independiente delmedio en que se encuentren las masas.



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- En la naturaleza podemos encontrar grandes cantidades de masas por su carcteratractivo; sin embargo no es frecuente encontrar grandes cantidades de cargas, bienporque la existencia de cargas positivas y negativas conducen a la neutralizacin de lasmismas, o porque de encontrarse una cierta cantidad de carga del mismo signo lleva a unasituacin tericamente inestable por la repulsin entre ellas.

b) La condicin de una rbita de un satlite de masa m a una distancia r de un planeta de

masa M viene dada por: GMm/r2 = mv2/r = m(2r/T)2/r; simplificando nos queda:r3/T2 = GM/(42); o bien: r3 = T2 x GM/(42)As pues, a mayor periodo orbital tambin mayor radio, y viceversa. Si bien debe tenerse encuenta que no es una proporcionalidad lineal.

EJERCICIO 1-1-9

a) Enuncie la ley de gravitacin universal y comente el significado fsico de las magnitudesque intervienen en ella.b) Segn la ley de gravitacin universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo esproporcional a la masa de ste.Por qu no cae ms deprisa los cuerpos con mayor masa?.

a) La fuerza que se ejercen entre s dos cuerpos es F = G M m / r2

; siendo G la constante degravitacin universal de valor 6,67.10-11 N m2 kg-2; M y m las masas de ambos cuerpos, y rla distancia entre ellos.

b) Efectivamente la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo es F = mg, pero teniendo encuenta la segunda ley de la dinmica: F = mg = ma, lo que implica que a = g. Amboscuerpos se vera sometidos a la misma aceleracin y por tanto recorreran iguales espaciosen iguales tiempos.

Tngase en cuenta, como una segunda explicacin, que si, por ejemplo, la fuerza sobre unode los cuerpos fuera el doble por el hecho de tener masa doble, tambin es cierto quenecesita arrastrar justamente esta masa doble lo cual supone una resistencia almovimiento. Efectivamente, de la ley de la dinmica deducimos a = F/m, lo cual implica quela masa influye inversamente proporcional en la aceleracin. Es lo que se conoce comomasa inercial o "resistencia" que ofrece un cuerpo para alterar su estado de reposo omovimiento.

EJERCICIO 1-1-10

a) Determine la densidad media de la Tierra.b) A qu altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorioterrestre se reduce a la tercera parte?.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms

-2

a) La densidad de la Tierra viene dada por la relacin masa/volumen, y siendo el volumen

4/3 R3, vamos a deducir primero la masa de la Tierra.

g = GM/R2; M = gR2/G = 10 x (6370000)2/6,67.10-11 = 6,08.1024 kg

As pues: densidad = 6,08.1024 / 4 x x (6370000)3 /3 = 5618,833 kg/m3

b) Sustituyendo en g = GM/R2: 10/3 = 6,67.10-11 x 6,08.1024/R2; despejando R obtenemos:R = 11029995,47 m

Por tanto la altura sobre la superficie es: 11029995,47 - 6370000 = 4659995,47 m

EJERCICIO 1-1-11 (SELECTIVIDAD 2005)



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La misin Cassini a Saturno-Titn comenz en 1997 con el lanzamiento de la nave desdeCabo Caaveral y culmin el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con xito la cpsulaHuygens sobre la superficie de Titn, el mayor satlite de Saturno, ms grande que nuestraLuna e incluso ms que el planeta Mercurio.a) Admitiendo que Titn se mueve alrededor de Saturno describiendo una rbita circular de1,2.109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital.b) Cul es la relacin entre el peso de un objeto en la superficie de Titn y en la superficie

de la Tierra?.G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MSaturno = 5,7.10

26 kg ; MTitn = 1,3.1023 kg ; RTitn = 2,6.10

6 m ;g = 10 m s-2

a) La condicin de la rbita es: G MS MT/ r2 = MT v

2/ r; v = G MS /r;

v = 6,67.10 -11 x 5,7.10 26/1,2.10 9 = 5628,72 m/s

v = 2r/T; T = 2r/v = 2 x 1,2.10 9/5628,72 = 1339526,992 s

b) gTitn = G MT/RT2 = 6,67.10 -11 x 1,3.10 23/(2,6.10 6) 2 = 1,283 m s -2

peso en Titn/peso en la Tierra = 1,283/10 = 0,1283

Es decir, el 12,83% del peso en la Tierra.


La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su dimetro 10veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierraal Sol.a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que Jpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol,expresado en aos terrestres.g = 10 m s -2 ; radio orbital terrestre = 1,510 11 m.

a) gJ= G M

J/R

J

2 = G (300 MT)/(10 R

T

2) 2 = 3 G MT/R

T

2 = 3 x10 = 30 m/s2P = mg = 75 x 30 = 2250 N

b) Segn la ley de Kepler: rJ3/ TJ

2 = rT3/TT

2(5 x 1,5.10 11) 3/TJ

2 = (1,5.10 11) 3/3652; TJ = 4080, 82 das = 11,18 aos terrestres


a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo detraslacin alrededor de nuestro planeta es de 27 das y 6 horas. Determine razonadamentela masa de la Tierra.b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, cul sera su perodo orbital?G = 6,6710 -11 N m 2 kg -2

a) La condicin de la rbita de la Luna alrededor de la Tierra es que la fuerza de atraccingravitatoria coincide con la fuerza centrpeta. Matemticamente sera:G MT ML /r

2 = ML v2 /r. La masa de la Luna se cancela y queda: MT = v

2 r/G. Al ser unmovimiento circular uniforme se verifica v = 2r/T y sustituyendo en la ecuacin anteriornos queda: MT = 4

2r 3/(G T 2), sustituyendo datos:MT = 4

2 (384000000) 3/(6,67.10 -11 x 2354400 2) = 6,05.10 24 kgHemos pasado previamente la distancia de 384000 km a 384000000 m y los 27 das y 6horas 235400 segundos.

b) Nuevamente aplicamos la condicin de la rbita y llegamos a la ecuacin:

T = 4 2r 3 /(G MT) = 4 2x 200000000 3/(6,67.10 -11 x 6,05.10 24) = 884676 saproximadamente o bien 10 das 5 horas y 45 minutos aproximadamente.



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a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededordel Sol es la misma en cualquier punto de la rbita.b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie deVenus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, simidisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el

90% del medido en la Tierra.

las zonas rayadas tienen iguales reas yel planeta ha tardado el mismo tiempoen recorrer el tramo de la rbita

a) 1) Los planetas describen rbitas elpticasalrededor del Sol siendo el Sol uno de sus focos.

planeta

SolC2) el radio vector del planeta

barre reas iguales en tiemposiguales.

B

AD

3) r3/T2 (siendo r el radio de la rbita y T el periodo) es constante para cada planeta entorno al Sol.

Segn la 2 cuando el planeta est en la regin del perihelio (la ms cercana al Sol) va mslento que cuando est en la zona del afelio (la ms alejada del Sol). Efectivamente, lasreas barridas son iguales en tiempos iguales, en el dibujo anterior se puede observar comoel arco AB es menor que el arco CD.

b) Es falsa. La constante de gravitacin G es universal, esto implica que su valor nodepende del medio en que nos encontremos ni, por supuesto, de las masas que estnprximas a ese lugar. Lo que si cambia es el valor del campo gravitatorio g ya que al ser g= G M/r2 sus valores dependen de la masa adems de la distancia.


Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radioorbital permaneciera constante.b) Si, adems de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, cul sera el valor deg en la superficie terrestre?G = 6,6710-11 N m2 kg-2 ; MT = 6 1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 3,84.10

8 m

a) La condicin de la rbita lunar alrededor de la Tierra es que la fuerza de atraccingravitatoria coincide con la fuerza centrpeta, matemticamente sera:

G MT ML /r2 = ML v2/r, donde la masa de la Luna se cancela y queda G MT = v2r. Al ser unmovimiento circular uniforme se verifica v = 2r/T y sustituyendo en la ecuacin anteriornos queda: G MT = 4

2r 3/ T2, por tantoT = 4 2r 3/(G MT) = 4

2 x (3,84.108) 3/(6,67.10 -11 x 6.10 24) = 2363405,07 s

b) g = GMT/RT2, si sustituimos los valores obtenemos aproximadamente 10 m/s2

pero si fuera g = G 2MT/(2RT)2 obtendramos g = GMT/RT

2, con lo cual, la gravedad sereducira a la mitad, aproximadamente 5 m/s2

APARTADO 1-2. Pr incipio de superposicin.

EJERCICIO 1-2-1

En dos vrtices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m 1=100 gy m2 = 300 g.



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a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro delcuadrado y calcule la fuerza que acta sobre una masa m = 10 g situada en dicho punto.b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10 g desde el centro del cuadradohasta uno de los vrtices no ocupados por las otras dos masas.

a) Lo primero que haremos es deducir la distancia de cada masa al centro del cuadrado.Este valor coincide con la mitad de la diagonal:

diagonal = 0,062 + 0,062 = 0,085 msemidiagonal = r = 0,0425 m

Calculemos ahora el campo creado por cada masa:

g1 = Gm1/r2 = 6,67.10 -11 x 0,1 / 0,0425 2 = 3,69.10 -9 N/kg

g2 = Gm2/r2 = 6,67.10 -11 x 0,3 / 0,0425 2 = 1,108.10 -8 N/kg

g1

g2r

m1=0,1 kg

0,06 m

L=0,06 m

m2=0,3 kg

Podemos calcular el campo total en ese punto restando los dos campos ya que tienen la

misma direccin y sentidos contrarios:

gT = g2 - g1 = 1,108.10-8 - 3,69.10 -9 = 7,388.10 -9 N/kg

Por tanto, la fuerza sobre una masa de 10 gramos en ese punto ser:

F = mg = 0,01 x 7,388.10 -9 = 7,388.10 -11 N

b) El trabajo lo podemos obtener a travs de: W = Epi - Epf, es decir: la diferencia entre laenerga potencial inicial (centro del cuadrado) y la energa potencial final (vrtice delcuadrado). Teniendo en cuenta adems la ecuacin Ep = -GMm/r ser:

W = - 6,67.10 -11 x 0,1 x 0,01 / 0,0425 - 6,67.10 -11 x 0,3 x 0,01 / 0,0425 ++ 6,67.10 -11 x 0,1 x 0,01 / 0,06 + 6,67.10 -11 x 0,3 x 0,01 / 0,06 == 6,67.10 -11 x 0,01 x (0,4/0,06 - 0,4/0,0425) = -1,83.10 -12 J

El signo menos significa que hay que ejercer ese trabajo sobre la partcula de 10 g para quese desplace desde el centro hasta el vrtice. Es un resultado lgico si tenemos en cuentaque son fuerzas atractivas y estamos alejando dicha partcula de las otras dos.

EJERCICIO 1-2-2

Calcular el punto del espacio situado entre la Tierra y la Luna donde el campo gravitatorioes nulo.Datos: MT = 5,98.10

24 kg ; ML = 7,36.1022 kg ; distancia T-L: d = 3,84.108 m

La condicin que se debe cumplir es que los campos creados por la Tierra y en la Luna seaniguales en mdulo y, como se ve en la figura, de sentidos contrarios. Por tanto:

gT = gL GMT/rT2 = GML/rL

2; sustituyendo valores y cancelando G:

5,98.10 24/r2 = 7,36.10 22/(3,84.108-r)2

5,98.10 24/7,36.10 22 = r2/(3,84.108-r)25,98.10 24/7,36.10 22 = r/(3,84.108-r)

9,014 = r/(3,84.108-r); 3461376000 - 9,014 r = r; 3461376000 = 10,014 r

gLgT

r 3,84.108-r

LunaTierra



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r = 345653684,8 mSe puede ver como al ser la Tierra ms msica que la Luna, el punto de ingravidez est mscerca de sta.

EJERCICIO 1-2-3

Tres masas de 2 kg cada una estn situadas en los vrtices de un tringulo equiltero de 1

m de lado. Calcula la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de lasinteracciones de las otras. Cunto vale la suma de las tres fuerzas?.

La fuerza que se ejerce sobre una de las masas como resultado de lasinteracciones de las otras se obtiene sumando vectorialmente lasfuerzas que cada una ejerce sobre ella. Al ser masas iguales e igualesdistancias podemos deducir una de las fuerzas elementales:F = G m m/r2 = 6,67.10 -11 x 2 x 2 /12 = 2,668.10 -10 NAplicando el teorema del coseno, deducimos la fuerza total sobre unade ellas:

FT = (2,668.10-10)2 + (2,668.10 -10)2 + 2x2,668.10 -10x2,668.10 -10xcos 60

FT = 4,62.10-10

NSobre cada una de ellas se ejerce esta fuerza lo que da globalmente una fuerza cero paratodo el sistema. Tngase en cuenta que dos masas se ejercen entre s fuerzas iguales y desentidos contrarios con lo que el resultado global de ambas sera cero.


a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en elpunto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distanciadesde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84.108 m.b) A qu distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna,en el que el campo gravitatorio es nulo?.G = 6,67.10-11 N m2 kg-2; M

T= 5,98.1024 kg; M

L= 7,35.1022 kg

MTML

Fresultante

a)mF1 F2

F1 = 6,67.10-11 x 5,98.10 24 x 1000/(3,84.10 8/2) 2 = 10,82 N

F2 = 6,67.10-11 x 7,35.10 22 x 1000/(3,84.10 8/2) 2 = 0,13 N

F resultante = 10,82 - 0,13 = 10,69 N hacia la Tierra

MTMLgLgT

b)

r = 345653684,8 m . Ver ejercicio 1-2-2


a) Analice las caractersticas de la interaccin gravitatoria entre dos masas puntuales.b) Cmo se ve afectada la interaccin gravitatoria descrita en el apartado anterior si en lasproximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, tambin puntual? Haga unesquema de las fuerzas gravitatorias que actan sobre la tercera masa.

a) Segn la ley de gravitacin de Newton F = G m1 m2 /r2 siendo G la constante de

gravitacin universal cuyo valor es 6,67.10 -11 N m 2 kg -2 es independiente del medio enque se encuentren las cargas. m1 y m2 son las masas expresadas en kg y r la distanciaexpresada en metros entre los centros geomtricos de las dos masas. La fuerza es por tanto



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proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia. Esto ltimo implica que si multiplicamos la distancia por 2, 3, 4, ... la fuerza sereduce a un cuarto, un noveno, un dieciseisavos, ... de su valor.

Son fuerzas atractivas siempre.

b) El principio de superposicin nos dice que la fuerza resultante sobre una masa en

presencia de otras es la suma vectorial de cada una de las fuerzas que cada una de lasotras masas ejerce sobre ella, de manera que para cada una de ellas, podramosmentalmente aislar cada pareja.

m2 Sean tres masas tal como indica la figura:

La fuerza sobre la masa m3 sera: F = F13 + F23 siendoF13 = Gm1m3/r13

2 y F23 = Gm2m3/r232

Por tanto se podra calcular cada una de ellasindependientemente de la otra y despus sumarlasvectorialmente.

m1

m3

F23

F13r13

F

r23

APARTADO 1-3. Trabajo. Energa cintica y energa potencial. Principio deconservacin de energa.

EJERCICIO 1-3-1

Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba, por una rampa rugosa ( = 0,2) que forma unngulo de 30 con la horizontal, con una velocidad de 6 m/s.a) Explique como varan las energa cintica, potencial y mecnica del cuerpo durante lasubida.b) Calcule la longitud mxima recorrida por el bloque en el ascenso.g = 10 ms-2

a) La energa cintica vale inicialmente mvo2 y al final se anula al pararse. Por tanto

pierde una energa cintica de valor x 2 x 6 2 = 36 J.

Su energa potencial inicial se considera nula y la finales mgh = 2x10h = 20hLa prdida de energa cintica no se transformantegramente en energa potencial ya que una partese gasta en el trabajo de rozamiento mientras

asciende. Este trabajo se calcula mediante: WR = FR s= mg cos s = 0,2x2x10xcos30xs = 3,464 s J.Este valor es justamente lo que se pierde en energamecnica. Dicho de otra forma: los 36 J iniciales enforma de energa cintica se invierten en 20h deenerga potencial y en 3,464s J de trabajo derozamiento.

vf= 0

h

b) Igualando lo indicado en el apartado anterior: 36 = 20 h + 3,464 s, y teniendo en cuentala relacin trigonomtrica h = s x sen 30 = s/2: 36 = 10 s + 3,464 s = 13,464 s, con loque el espacio mximo recorrido es 2,67 m.

EJERCICIO 1-3-2

mvo

Ep=0



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Por un plano inclinado 30 respecto a la horizontal asciende con velocidad constante, unbloque de 100 kg por accin de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente derozamiento entre el bloque y el plano es 0,2.a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actan sobre el bloque y explique lastransformaciones energticas que tienen lugar en su deslizamiento.b) Calcule la fuerza paralela que produce el desplazamiento, as como el aumento deenerga potencial del bloque en un desplazamiento de 20 m.

g = 10 ms-2

mgsen

mgcos

mg

FR

FN

a) mg es el peso del cuerpo cuyas componentesvalen:mgsen = 100x10xsen30 = 500 Nmgcos = 100x10xcos30 = 866 N

N es la normal que coincide con la componentemgcos, es decir: N = 866 N

FR es la fuerza de rozamiento: FR = N = 0,2x866 = 173,2 NF es la fuerza paralela al plano y que hace ascender al bloque.

Cuando el cuerpo asciende a velocidad constante, su energa cintica permanece constantepor lo que no hay prdida ni ganancia de la misma. Su energa potencial en cambio vaaumentando desde un valor cero (por convenio) hasta Ep = mgh siendo h la alturaadquirida desde el origen. Este aumento de la energa potencial se obtiene a partir deltrabajo que realiza la fuerza F, cuyo valor es W = Fs, siendo s el espacio recorrido por lasuperficie inclinada. Tambin hay una parte de este trabajo que se invierte en trabajo derozamiento de valor FRs. Por tanto se verifica el siguiente balance energtico: Fs = mgh +FRs.

b) Cuando el cuerpo recorre un espacio s = 20 m adquiere una altura desde el origen h =20 sen 30 = 10 m.

Aplicando el balance energtico ser:

30

1020 Fx20 = 100x10x10 + 173,2x20 F = 673,2 N

El aumento de energa potencial es 10000 J

EJERCICIO 1-3-3

Un bloque de 0,2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un plano inclinado queforma un ngulo de 30 con la horizontal. Tras recorrer 2 m, queda unido al extremo librede un resorte, de constante elstica 200 N/m, paralelo al plano y fijo por el otro extremo. Elcoeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2.a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actan sobre el bloque cuando comienza el

descenso e indique el valor de cada una de ellas. Con qu aceleracin desciendo elbloque?.b) Explique los cambios de energa del bloque desde que inicia el descenso hasta quecomprime el resorte y calcule la mxima compresin de ste.g = 10 ms-2

a) mg es el peso del cuerpo cuyas componentes valen:mgsen = 0,2x10xsen30 = 1 Nmgcos = 0,2x10xcos30 = 1,732 N

N es la normal que coincide con la componentemgcos, es decir: N = 1,732 N

FRmgsen

mgcos

mg

N

FR es la fuerza de rozamiento: FR = N = 0,2x1,732 = 0,346 N



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A travs de la ley de la dinmica F = ma deducimos la aceleracina = F/m = (mgsen- FR)/m = (1-0,346)/0,2 = 3,27 m s

-2

b) Al principio el bloque est en reposo por lo que no tiene energa cintica, al final acabarcomprimiendo al muelle y se detendr, por lo que su energa cintica final tambin es cero.

En cuanto a la energa potencial gravitatoria: si suponemos que al final la energa potencial

es cero por convenio, su energa potencial inicial ser mgh, siendo h la altura al principio.

Esta energa potencial gravitatoria se ha invertido en:

- trabajo de rozamiento que viene dado por WR = FRs = 0,346s, siendo s el espacio totalrecorrido por el bloque.- energa potencial elstica que viene dada por Epel = kx

2 = 200 x2 = 100 x2, siendo xla compresin del muelle.

El espacio total s tiene que ser la suma de los 2 metros que separaban al cuerpo del muellems la distancia x de compresin del muelle, es decir: s = 2 + x. (*)

Si tenemos en cuenta el balance energtico explicado:

Energa potencial gravitatoria = trabajo de rozamiento + energa potencial elsticamgh = WR + Epel 0,2x10xh = 0,346 s + 100 x

2

Teniendo en cuenta la ecuacin (*) y la razn trigonomtrica h = s x sen 30 = (2+x)/2ser: 2 + x = 0,346 (2 + x) + 100 x2, simplificando queda:100 x2 - 0,654 x - 1,308 = 0;

- 0,111 m

0,118 m0,654 0,6542+ 4x100x1,308

2x100x =

EJERCICIO 1-3-4

Una partcula de masa m, situada en un punto A, se mueve en lnea recta hacia otro puntoB, en una regin en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M.a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone sila partcula se acerca o se aleja de M.b) Explique las transformaciones energticas de la partcula durante el desplazamientoindicado y escriba su expresin. Qu cambios cabra esperar si la partcula fuera de A a Bsiguiendo una trayectoria no rectilnea?.

a) El potencial gravitatorio de una masa m viene dado por V = - Gm/r, por tanto, si secumple que VB VA, ser: - Gm/rB - Gm/rA, de donde Gm/rB Gm/rA 1/rB 1/rApor lo tanto: rB es mayor que rA. En definitiva la masa m se aleja de M.

b) Dado que VB es mayor que VA, lo mismo ocurrir con la energa potencial ya que Ep =mV; y puesto que se trata de una fuerza conservativa, se cumple que la energa cintica enB es menor que en A. En definitiva, si va desde A hasta B, su energa cintica disminuyemientras que su energa potencial aumenta.

El hecho de que siga una trayectoria u otra no influye en el balance energtico ya que eltrabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente del camino seguido.

EJERCICIO 1-3-5

Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:a) Si la energa mecnica de una partcula permanece constante, puede asegurarse que

todas las fuerzas que actan sobre la partcula son conservativas?.b) Si la energa potencial de una partcula disminuye, tiene que aumentar su energacintica?.



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a) No puede asegurarse. Podemos afirmar que si las fuerzas que actan son conservativasla energa mecnica permanece constante pero no al revs. Puede haber alguna fuerza noconservativa que compensara una posible prdida de energa mecnica debida alrozamiento por ejemplo.

b) La afirmacin es cierta si la fuerza que acta es conservativa ya que al permanecer

constante la energa mecnica existe una compensacin entre la cintica y la potencial.

EJERCICIO 1-3-6

Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:a) una partcula sobre la que acta una fuerza efecta un desplazamiento.Puedeasegurarse que realiza un trabajo?.b) Una partcula, inicialmente en reposo, se desplaza bajo la accin de una fuerzaconservativa. Aumenta o disminuye su energa potencial?.

a) La afirmacin no es cierta. Efectivamente el trabajo viene dado por un producto escalarentre la fuerza y el desplazamiento. Ello implica que debe no ser nula ni la fuerza ni el

desplazamiento ni que formen un ngulo de 90 (cos 90 = 0) para que haya un trabajo.Pudiera ocurrir que el ngulo sea de 90 con lo que el trabajo de dicha fuerza sera nulo.

b) Si estaba en reposo no tena energa cintica inicial, la cual aumenta al desplazarse, porlo que su energa potencial debe disminuir ya que la energa mecnica debe permanecerconstante.

EJERCICIO 1-3-7

Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que leimprime la velocidad necesaria. Se desprecia la friccin con el aire.a) Explique los cambios energticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza unaaltura h y calcule su energa mecnica a una altura de 1000 m.b) Qu velocidad inicial sera necesaria para que alcanzara dicha altura?.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg

a) Inicialmente se le aporta energa cintica que se anula cuando alcanza la altura mxima.Esta disminucin de la energa cintica supone una ganancia de igual cantidad en la energapotencial, de manera que la energa mecnica permanece constante.

As pues, la energa mecnica en su mximo de altura coincide con su energa potencial enese lugar, es decir:Em = Epf= - GMm/(RT+h) = - 6,67x10

-11x6x1024x500/(6400000+1000) = -3,126.1010 J

b) Se resuelve aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica:

Emi = Emf Eci + Epi = Ecf+ Epf 500 vi2 - 6,67x10 -11x6x1024x500/6400000 == -3,126.1010 J vi = 150 m/s

EJERCICIO 1-3-8

La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre.Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N cae desde una altura de 50 m sobre lasuperficie lunar.a) Realice el balance de energa en el movimiento de cada y calcule la velocidad con que elcuerpo llega a la superficie.b) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna.g =10 ms-2

a) Por los datos del problema se entiende que el cuerpo parte del reposo y cae, por tanto suenerga cintica inicial el cero y aumenta hasta el mximo cuando alcanza el suelo. Este



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aumento de la energa cintica supone una disminucin de la energa potencialmantenindose la energa mecnica constante. Por tanto Epi = Epf + Ecf. Por otro lado ydado que hablamos de una distancia de cada muy corta en relacin al radio del planeta osatlite podemos tomar valor cero para la energa potencial en la superficie y valor mghpara una cierta altura, con lo que el balance energtico se traduce en: mgh = mv f

2, obien: vf= 2gh.

El campo gravitatorio terrestre en la superficie es: gT = GMT/RT2

El campo gravitatorio lunar en la superficie es: gL = GML/RL2

gT MTRL2

gL MLRT2=Dividiendo ambas nos queda:

Sustituyendo: 10/gL = (MT x 0,252 RT

2) / (0,01 MT x RT2) = 6.25 gL = 1,6 ms

-2

Por lo tanto: vf= 2 x 1,6 x 50 = 12,65 m s-1

b) A partir del peso en la Tierra hallaremos la masa: m = F/g = 800/10 = 80 kgEsta masa es invariable, es decir, es la misma en la Luna.

El peso en la Luna es: F = mg = 80 x 1,6 = 128 N

EJERCICIO 1-3-9

a) Explique qu se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente suexpresin.b) Si consideramos la presencia de la atmsfera, Qu ocurrira si lanzsemos un cohetedesde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape?. Razone larespuesta.

a) La velocidad de escape es la que hay que imprimirle a un cuerpo para que escape de lainteraccin de otro, por ejemplo de un planeta. En realidad significa llevarlo al infinito(=lugar hipottico donde el campo gravitatorio se ha anulado).

Aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica tenemos:Eci + Epi = Ecf+ Epf mve

2 - GMm/R = 0Donde hemos supuesto que en el infinito la velocidad es cero. Por tanto nos queda laexpresin: ve = 2GM/R.

b) Al considerar la presencia de la atmsfera, hay un consumo energtico en el rozamientodel cuerpo que queremos lanzar con la misma, por lo que la velocidad de escape debera sermayor que la deducida anteriormente. O dicho de otra forma, no sera suficiente la anteriorpor lo que no escapara y volvera a caer en el planeta.

EJERCICIO 1-3-10

a) Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de laTierra y de la Luna. Explique por qu los tiempos de cada seran distintos y calcule surelacin.b) Calcule la altura que alcanzar un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficielunar con una velocidad de 40 m/s.MT = 81 ML ; RT = (11/3)RL ; g =10 ms

-2

a) La razn ha sido explicada en el apartado a) del ejercicio 1-3-8. Al ser distinta lagravedad tambin ser distinta la aceleracin de cada y por tanto el tiempo. Dado que eltiempo se relaciona con la altura por la ecuacin del movimiento uniformemente acelerado:h = gt2, ser t2 = 2h/g, por lo que tT

2/tL2 = (2h/gT)/(2h/gL) = gL/gT = 1,6/10 = 0,16, de

donde tT/tL = 0,4. El tiempo de cada en la Tierra, como se ve, es menor que en la Luna. Elvalor de 1,6 se ha deducido en el ejercicio 1-3-8.



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b) Aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica ser: m 402 + 0 = 0 + m x 1,6 x h, de donde h = 500 mDonde hemos supuesto energa potencial cero en la superficie lunar y energa cintica ceroen la mxima altura ya que se para. Como el recorrido es despreciable frente el radio lunarhemos aplicado la frmula mgh para la energa potencial.

EJERCICIO 1-3-11

Explique y razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:a) el trabajo realizado por todas las fuerzas que actan sobre una partcula cuando setraslada desde un punto a otro es igual a la variacin de su energa cintica.b) el trabajo realizado por todas las fuerzas conservativas que actan sobre una partculacuando se traslada desde un punto a otro es menor que la variacin de su energa potencial.

a) Es cierto, se conoce como el teorema de variacin de la energa cintica. Efectivamente ysin importar los tipos de fuerzas que intervienen, el trabajo se obtiene a partir de ladiferencia entre las energa cinticas final e inicial.

b) No es cierto. Si las fuerzas son conservativas, el trabajo coincide con la diferencia de la

energa potencial y adems es independiente del camino seguido.

EJERCICIO 1-3-12

Un bloque de 10 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 30 sobre la horizontal y delongitud 2 m. El bloque parte del reposo y experimenta una fuerza de rozamiento con elplano de 15 N.a) Analice las variaciones de energa que tienen lugar durante el descenso del bloque.b) Calcule la velocidad del bloque al llegar al extremo inferior del plano inclinado.g =10 ms-2

a) Se supone que parte del reposo por lo que su energa cintica inicial es cero. Su energapotencial inicial es mgh siendo h la altura sobre la base del plano inclinado. Por tanto suenerga mecnica inicial es tambin mgh. Esta energa se transforma en energa cinticafinal ya que tiene una velocidad y en un trabajo de rozamiento. La energa potencial final seha considerado nula. En definitiva aumenta su energa cintica desde cero hasta mv f

2 ysu energa potencial disminuye desde mgh hasta cero. En definitiva: la energa potencialinicial se ha transformado en energa cintica final y en trabajo de rozamiento (WR = FR s,siendo s el espacio recorrido).

b) Con las consideraciones del apartado a) ser: mgh = mvf2 + FR x s (ver ejercicio 1-3-3.

Sustituyendo tenemos: 10 x 10 x 2 x cos 30 = x 10 v f2 + 15 x 2

De donde: vf= 5,35 m s-1

EJERCICIO 1-3-13

Comente las siguientes afirmaciones:a) Un mvil mantiene constante su energa cintica mientras acta sobre l: i) una fuerza;ii) varias fuerzas.b) Un mvil aumenta su energa potencial mientras acta sobre l una fuerza.

a) El trabajo realizado por una fuerza viene dado por W = F . dr = Ecf- EciPara que se mantenga la energa cintica constante, el trabajo debe ser nulo, lo cual sucedecuando la fuerza sea perpendicular al desplazamiento.Tambin podra ser nulo en una trayectoria cclica como podra ser el ascenso y cada de uncuerpo sometido a la gravedad por ejemplo, ya que hay una parte donde el trabajo es afavor del objeto y otra donde es en contra anulndose ambos. El hecho de que sea una sola

fuerza o varias solo supone un aadido a una situacin especial en la cual la resultante deesas fuerzas fuera nula con lo que el trabajo tambin lo sera y, en consecuencia, la energacintica permanece invariable.



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b) Si se supone que la fuerza ejerce un trabajo aportndole energa, sta se distribuye entrela cintica y la potencial por lo que no puede asegurarse un aumento de sta ltima.

EJERCICIO 1-3-14

a) Qu trabajo se realiza al sostener un cuerpo durante un tiempo t?

b) Qu trabajo realiza la fuerza peso de un cuerpo si ste se desplaza una distancia d poruna superficie horizontal?. Razone las respuestas

a) Al decirse "sostener" se supone en reposo, por lo que no hay desplazamiento y, portanto, tampoco trabajo mecnico (ver apartado a) del ejercicio 1-3-13). Podra surgir laparadoja de que entonces no habra consumo energtico si una persona sostuviera duranteun tiempo ms o menos prolongado un cuerpo cuando en realidad sabemos que s hay uncansancio. Lo cierto es que s hay un desplazamiento pero en los "msculos" de esa personaque se tensan para ejercer la fuerza.

b) En este caso la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares por lo que el productoescalar de ambos es cero, as que el trabajo es nulo.

EJERCICIO N 1-3-15

Un automvil arranca sobre una carretera recta y horizontal, alcanza una cierta velocidadque mantiene constante durante un cierto tiempo y, finalmente, disminuye su velocidadhasta detenerse.a) Explique los cambios de energa que tienen lugar a lo largo del recorrido.b) El automvil circula despus por un tramo pendiente hacia abajo con el freno accionado ymantiene constante su velocidad. Razone los cambios energticos que se producen.

a) Como parte del reposo no tiene energa cintica inicial. Su energa potencial es constanteya que mantiene la misma altura y por tanto la misma distancia al centro de la Tierra. Lanica energa que se le proporciona es la debida al trabajo que efecta el motor delautomvil. Esta energa se transforma en energa cintica ya que adquiere una velocidad yen trabajo de rozamiento no solo de las ruedas con la carretera sino el debido al propiomecanismo interior del automvil adems del rozamiento con el aire. En el trayecto quemantiene la velocidad constante su energa cintica no cambia por lo que todo el aporte deltrabajo del motor se invierte en rozamiento. Finalmente va perdiendo velocidad y por tantoenerga cintica que tambin se transforma en rozamiento.

b) Cuando desciende por el plano inclinado a velocidad constante mantiene su energacintica invariable mientras que va perdiendo energa potencial que se transforma entrabajo de rozamiento independientemente de la energa que pueda seguir aportando elmotor.

EJERCICIO 1-3-16

a) Explique cualitativamente la variacin del campo gravitatorio terrestre con la altura yhaga una representacin grfica aproximada de dicha variacin.b) Calcule la velocidad mnima con la que habr que lanzar un cuerpo desde la superficie dela Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km.RT = 6370 km ; g =10 ms

-2

a) El campo gravitatorio viene dado porg = GM/r2, se trata de una curvaexponencial.El campo gravitatorio parte de un valor

mximo en la superficie terrestre (=9,8N/kg) para ir disminuyendo

g

9.8

r



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exponencialmente con la distancia hastael valor cero que sucede en el infinito.

b) Aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica:Eci + Epi = Ecf+ Epf m vi

2 - 6,67.10 -11x MT m/6370000 == 0 - 6,67.10 -11x MT m/10370000La masa de la Tierra la calculamos a travs del campo g = GMT/RT

2

MT = gRT2/G = 10 x 6370000 2 / 6,67.10 -11 = 6.1024 kgSustituyendo y despejando en la ecuacin anterior: vi = 6961,8 m/s

EJERCICIO 1-3-17

Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elstico de constante k = 4000 N/m, vertical ysujeto al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior delresorte, es de 2 m.a) Explique los cambios energticos durante la cada y la compresin del resorte.b) Determine la deformacin mxima del resorte.g = 10 ms-2

a) Se supone que el cuerpo parte del reposo por lo que su energa cintica inicial es cero, encambio tiene una energa potencial gravitatoria inicial mgh siendo h la altura del cuerpomedida desde el lugar donde ha comprimido al mximo al muelle. Su energa cintica finales cero ya que se para y la potencial gravitatoria tambin por convenio. Por tanto toda laenerga potencial gravitatoria inicial se transforma en energa potencial elstica kx2siendo x la compresin del muelle.

b) Teniendo en cuenta el apartado a) sermgh = kx2 2 x 10 x (2+x) = x 4000 x22000 x2 - 20 x - 40 = 0

h=0 x

h2 m

- 0,137 m

0,147 m20 202+ 4x2000x40

4000x =

EJERCICIO 1-3-18

Una partcula se mueve bajo la accin de una sola fuerza conservativa. El mdulo de suvelocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentneamente y ms tarde crece.a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento.b) Describa la variacin de energa potencial y la de la energa mecnica de la partculadurante ese movimiento.

a) El ascenso de un cuerpo sometido a la gravedad. Mientras asciende su velocidad vadisminuyendo al actuar la aceleracin de la gravedad en contra, se parar en su alturamxima y comenzar a caer aumentando su velocidad al tener la aceleracin de la gravedada favor.

b) Mientras asciende su energa potencial va aumentando con la altura, llegar al mximoen la mxima altura y disminuir cuando descienda. En cambio su energa mecnicapermanece en todo el tiempo constante al ser una fuerza conservativa.

EJERCICIO 1-3-19

Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6

veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energa cintica.a) Cunto pesa el meteorito en ese punto y cul es su energa mecnica tras la colisin?.



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b) Si cae a la Tierra, haga un anlisis energtico del proceso de cada. Con qu velocidadllega a la superficie terrestre? Depender esa velocidad de la trayectoria seguida?. Razonelas respuestas.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg

a) El peso de meteorito ser F = mg = mGMT/r2

F = 1000 x 6,67.10 -11 x 6.1024 / (7 x 6400000) 2 = 199,4 N

b) Al perder la energa cintica, toda su energa mecnica est en forma de energapotencial, parte de ella se transforma en energa cintica al llegar a la superficie terrestredonde tiene tambin una energa potencial residual.Por tanto : Epi = Ecf+ Epf - GMTm/(RT+h) = mvf

2 - GMTm/RT, que, finalmente nos llevaa la frmula: vf= 2GMT(1/RT - 1/(RT+h), sustituyendo:vf= 2 x 6,67.10

-11 x 6.1024 (1/6400000 - 1/(7 x 6400000) = 10353,6 m/s

Al ser una fuerza conservativa no depende de la trayectoria seguida.

EJERCICIO 1-3-20

a) Defina los trminos "fuerza conservativa" y "energa potencia" y explique la relacinentre ambos.b) Si sobre una partcula actan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una noconservativa, cuntos trminos de energa potencial hay en la ecuacin de conservacin dela energa mecnica de esa partcula? Cmo aparece en dicha ecuacin la contribucin dela fuerza no conservativa?. Razone las respuestas.

a) Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo no depende del camino seguido, tan solodepende de su estado inicial y su estado final, de manera que si ambos coincidieran, eltrabajo sera cero como sucede en un proceso cclico. El trmino relacionado con el estadoinicial o final se denomina energa potencial, es una energa cuya diferencia entre ambosestados coincide con el trabajo de la fuerza conservativa. Tambin podemos establecer unarelacin ntima entre la energa potencial y el lugar donde se encuentre un cuerpo dentro deun campo de fuerza.

b) Hay tantos trminos de energa potencial como fuerzas conservativas, en este caso serntres. La fuerza no conservativa no se asocia a una energa potencial pero s a un trabajollamado disipativo que disminuye la energa mecnica global del sistema. Podemosestablecer que la energa mecnica inicial es igual a la final ms el trabajo disipativo.

EJERCICIO 1-3-21

Comente las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas:a) existe una funcin energa potencial asociada a cualquier fuerza;b) el trabajo de una fuerza conservativa sobre una partcula que se desplaza entre dos

puntos es menor si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une.

a) Es cierta la afirmacin. (Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20)b) No es cierto, el trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido.

EJERCICIO 1-3-22

Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 ms -1 por una superficie horizontal lisahacia el extremo libre de un resorte horizontal de constante elstica 200 N/m, fijo al otroextremo.a) Analice las variaciones de energa que tienen lugar a partir del instante anterior alimpacto con el resorte y calcule la mxima compresin del resorte.

b) Discuta en trminos energticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficiehorizontal tuviera rozamiento.



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a) Cuando dice superficie lisa entendemos que no hay rozamiento, por lo tanto en todomomento su energa cintica permanece constante hasta que alcanza al muelle. La energapotencial gravitatoria permanece constante en todo momento al mantenerse el cuerpo a lamisma altura. Por tanto toda la energa cintica se transforma en energa potencial elsticaal comprimirse el muelle.

Es decir: mv2 = kx2, o bien: 10 x 30 2 = 200 x2 x = 6,7 m

b) Al tener rozamiento parte de la energa cintica se transforma en trabajo de rozamientopor lo que adquiere menos energa potencial elstica y el muelle se comprime menos que enel apartado a).

EJERCICIO 1-3-23

Razone las respuestas a las siguientes preguntas:a) si el cero de energa potencial gravitatoria de una partcula de masa m se sita en lasuperficie de la Tierra, cul ser el valor de la energa potencial de la partcula cuando stase encuentra a una distancia infinita de la Tierra?;b) puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?; puede ser

negativa la energa potencial gravitatoria?

a) Realmente lo importante es la diferencia. Por la frmula Ep = -GMm/r se supone cero laenerga potencial en el infinito mientras que en la superficie terrestre vale Epo = - GMm/RT.La diferencia es Ep - Epo = GMm/RT. Supuesto que Epo fuera cero, entonces Ep = G Mm/RT.

b) Cuando la fuerza gravitatoria acta vectorialmente en contra del desplazamiento, eltrabajo resulta negativo.

Por la frmula Ep = -GMm/r se deduce que la energa potencial siempre adquiere valoresnegativos.

EJERCICIO 1-3-24

Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas:a) el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variacin de su energacintica.b) la energa necesaria para escapar de la Tierra depende de la eleccin del origen deenerga potencial.

a) Es verdadera. Ver apartado a) del ejercicio 1-3-11.b) No es cierta la afirmacin, lo que realmente importa es la diferencia de energa potencialy este valor no depende del origen elegido.

EJERCICIO 1-3-25

Una fuerza conservativa acta sobre una partcula y la desplaza, desde un punto x1 hastaotro punto x2, realizando un trabajo de 50 J.a) Determine la variacin de energa potencial de la partcula en ese desplazamiento. Si laenerga potencial de esa partcula es cero en x1, cunto valdr en x2?.b) Si la partcula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza partiendo delreposo en x1, cul ser la velocidad en x2?; cul ser la variacin de su energamecnica?.

a) W = Ep1 - Ep2 = 50 J; si Ep1 = 0 entonces Ep2 = - 50 Jb) W = Ec2 - Ec1 = 0; x 0,005 v2

2 - 0 = 50 J; v2 = 141,42 m/sLa energa mecnica permanece constante ya que es una fuerza conservativa.

Efectivamente: Em1 = Em2 Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 0 + 0 = 50 - 50

EJERCICIO 1-3-26



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a) Se cumple siempre que el aumento o disminucin de la energa cintica de una partculaes igual a la disminucin o aumento, respectivamente, de su energa potencial?. Justifiquela respuesta.b) Un satlite est en rbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energa potencial, laenerga cintica y la energa total del satlite son mayor, menor o igual que las de otrossatlites que siguen una rbita, tambin circular, pero de menor radio.

a) Se cumple cuando una fuerza es conservativa ya que al ser la energa mecnicaconstante supone que una variacin de la energa cintica supone la misma variacin perocon sentido contrario en la variacin de la energa potencial. Si una aumenta, la otradisminuye en igual cantidad.

b) Ver ejercicio 1-1-2.El satlite de menor radio tiene ms energa cintica pero menos energa potencial.Globalmente el que tenga mayor radio tendr menos energa mecnica en cuanto a valorabsoluto pero al ser sta negativa, en realidad la tiene mayor.

EJERCICIO 1-3-27

La velocidad de escape de un satlite, lanzado desde la superficie de la Luna, es de 2,37.103m/s.a) Explique el significado de la velocidad de escape y calcule el radio de la Luna.b) Determine la intensidad del campo gravitatorio lunar en un punto de su superficie.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; ML = 7,4.10

22 kg

a) La velocidad de escape es la que hay que darle al cuerpo para que escape hasta elinfinito.Ver apartado a) del ejercicio 1-3-9.ve = 2GM/R = 2 x 6,67.10

-11 x 7,4.10 22 / R = 2,37.10 3 R = 1757482 m

b) g = GM/R2 = 6,67.10 -11 x 7,4.10 22 / (1757482) 2 = 1,6 N/kg

EJERCICIO 1-3-28

Un bloque de 0,5 kg est colocado sobre el extremo superior de un resorte vertical que estcomprimido 10 cm y, al liberar el resorte, el bloque sale despedido hacia arribaverticalmente. La constante elstica del resorte es 200 N/m.a) Explique los cambios energticos que tienen lugar desde que se libera el resorte hastaque el cuerpo cae y calcule la mxima altura que alcanza el bloque.b) Con qu velocidad llegar el bloque al extremo del resorte en su cada?.g = 10 ms-2

a) El sistema tiene al principio energa potencial elstica kx2. No tiene energa cintica ya

que est en reposo y tampoco energa potencial gravitatoria por convenio. Cuando se liberael sistema, el muelle lanza al cuerpo hacia arriba comunicndole energa cintica (1/2 mv 2)y energa potencial gravitatoria (mg x 0,1) a costa de la energa potencial elstica. Dichaenerga cintica va disminuyendo con la altura hasta ser cero en la altura mxima,transformndose en energa potencial gravitatoria (mgh). Cuando comienza a caer, laenerga potencial gravitatoria se convierte en energa cintica hasta que llega a contactar denuevo con el muelle para comprimirlo de nuevo y pasar toda la energa de nuevo a energapotencial elstica. En ausencia de rozamiento el muelle se comprime de la misma forma queal principio.

kx2 = mgh; x 200 x 0,1 2 = 0,5 x 10 h; h = 0,2 m

b) Como hemos dicho antes, al descomprimirse el muelle, su energa potencial elstica setransforma en energa cintica y en energa potencial gravitatoria por los 10 cm queasciende. Por tanto: x 200 x 0,1 2 = x 0,5 x v2 + 0,5 x 10 x 0,1; v = 1,41 m/s



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EJERCICIO 1-3-29

Sobre una partcula solo actan fuerzas conservativas.a) Se mantiene constante su energa mecnica?. Razone la respuestab) Si sobre la partcula actan adems fuerzas de rozamiento, cmo afectaran a la energamecnica?.

a) S se mantiene su energa mecnica. Es una de las caractersticas fundamentales de lasfuerzas conservativas. Supone como hemos visto en ejercicios anteriores unatransformacin de energa cintica en energa potencial.

b) Disminuye la energa mecnica si aparece una fuerza de rozamiento o disipativa ya queeste tipo de fuerzas no son conservativas.

EJERCICIO 1-3-30

Se deja caer un cuerpo de 0,5 kg desde lo alto de una rampa de 2 m, inclinada 30 con lahorizontal, siendo el valor de la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la rampa de 0,8 N.

Determine:a) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actan sobre el cuerpo, altrasladarse ste desde la posicin inicial hasta el final de la rampa.b) La variacin que experimentan las energas potencial, cintica y mecnica del cuerpo enla cada a lo largo de toda la rampa.g = 10 ms-2

a) W1 = mgsen s cos=0,5x10xsen30x2 xcos0 = 5 JW2 = mg cos s cos90 = 0WR = FR s cos180 = 0,8x2x(-1) = -1,6 Jb) Ep = 0 - mgh = - 0,5x10x2sen30 = - 5 JEsta prdida de energa potencial se transforma enganancia de energa cintica ms el trabajo consumidoen el rozamiento, por tanto:

FRmgsen

mgcos

mg

N

5 = Ec + 1,6, de donde Ec = 5 - 1,6 = 3,4 JLa energa mecnica ha experimentado una prdida de 1,6 J debido al rozamiento.

EJERCICIO 1-3-31

a) Al desplazarse un cuerpo desde una posicin A hasta otra B, su energa potencialdisminuye. Puede asegurarse que su energa cintica en B es mayor que en A?. Razone larespuesta.b) La energa potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre lasuperficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes: mgh -

(GMTm)/(RT+h). Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qucorresponden a diferentes valores y signos.

a) Se puede asegurar ese trasvase de energa potencial ntegramente en cintica si lafuerza es conservativa.b) El segundo trmino es rigurosamente el que corresponde a la energa potencial de uncuerpo a una cierta altura sobre la superficie terrestre. El primer trmino representa enrealidad una variacin de la energa potencial del cuerpo a una altura determinada enrelacin con la que tiene en la superficie. Dicha expresin se ha obtenido suponiendodespreciable la altura h frente al radio terrestre.

EJERCICIO 1-3-32

Sobre un plano inclinado que forma un ngulo de 30 con la horizontal se encuentra unbloque de 0,5 kg adosado al extremo superior de un resorte, de constante elstica 200



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N/m, paralelo al plano y comprimido 10 cm. Al liberar el resorte, el bloque asciende por elplano hasta detenerse y, posteriormente, desciende. El coeficiente de rozamiento es 0,1.a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actan sobre el bloque cuando asciende por elplano y calcule la aceleracin del bloque.b) Determine la velocidad con la que el bloque es lanzado hacia arriba al liberarse el resortey la distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse.g = 10 ms-2

a) a = (-mgsen - mgcos)/m =(-0,5x10sen30-0,1x0,5x10cos30)/0,5= -5,87 m s-2

b) kx2 = mv2 + mgh + FRxx200x0,12= x0,5v2+0,5x10x0,1sen30++0,1x0,5x10cos30x0,1; v = 1,681 m/s

mgsen

mgcos

mg

FR

N

kx2 = mgh + FRx; x200x0,12= 0,5x10x xsen30+ 0,1x0,5x10cos30 x; x = 0,34 m

EJERCICIO 1-3-33

a) Qu se entiende por fuerza conservativa?. Explique la relacin entre fuerza y energapotencial.b) Sobre un bloque acta una fuerza conservativa. Cmo vara su energa potencial aldesplazarse en la direccin y sentido de la fuerza? Qu mide la variacin de energapotencial del cuerpo al desplazarse desde un punto A hasta otro B?. Razone las respuestas

a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20.b) Si sobre el bloque acta una fuerza conservativa debe aumentar su energa cintica porlo que debe disminuir su energa potencial. La variacin de la energa potencial mide eltrabajo realizado con signo cambiado en base al apartado a).

EJERCICIO 1-3-34

Un trineo de 100 kg desliza por una pista horizontal al tirar de l con una fuerza F, cuyadireccin forma un ngulo de 30 con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es 0,1.a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actan sobre el trineo y calcule el valor de Fpara que el trineo deslice con movimiento uniforme.b) Haga un anlisis energtico del problema y calcule el trabajo realizado por la fuerza F enun desplazamiento de 200 m del trineo.

FRmg

NFFy

Fx

g = 10 ms-2

a) Fx - FR = 0; Fx - N= 0; Fx - (mg-Fy) = 0Fcos30 - 0,1(100x10-Fsen30) = 0F = 273,2 N

b) La fuerza F es la que proporciona la energa al sistema. Ya que ste mantiene la mismavelocidad y la misma altura, sus energas cintica y potencial no varan.

Por tanto, el trabajo de la fuerza F se invierte completamente en trabajo de rozamiento.W = Fscos30 = 273,2 x 200 = 54641 J

EJERCICIO 1-3-35

a) Defina la energa potencial. Para qu tipo de fuerzas puede definirse? Por qu?.



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b) Un satlite de masa m describe una rbita circular de radio r alrededor de un planeta demasa M. Determine la energa mecnica del satlite explicando el razonamiento seguido.

a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20.b) Ver ejercicio 1-1-2.

EJERCICIO 1-3-36

Explicando las leyes fsicas que utiliza, calcule:a) A qu altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestrees de 2 m s-2.b) Con qu velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta unaaltura de 500 km sobre la superficie terrestre.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms

-2

a) A partir de la frmula para el campo gravitatorio g = GM/r2

2 = GM /r2

10 = GM/63700002Dividiendo ambas: 0,2 = 63700002/r2; r = 14243753 m

h = 14243753 - 6370000 = 7873753 m

b) mv2 - 6,67.10 -11 Mm/6370000 = 0 - 6,67.10 -11 Mm/6870000Hallamos M a partir de 10 = 6,67.10 -11 M/6370000 2 ; M = 6.1024 kg, y sustituyendo en laanterior obtenemos: v = 3024 m/s.

EJERCICIO 1-3-37

a) El origen elegido habitualmente para la energa potencial gravitatoria lleva a que statome valores negativos. Por qu la energa potencial gravitatoria terrestre, en lasproximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?.b) Discuta la siguiente afirmacin: "Puesto que el valor de g disminuye al aumentar ladistancia al centro de la Tierra, la energa potencial mgh disminuye con la altura sobre elsuelo".

a) Efectivamente la energa potencial viene dada por Ep = - GMm/r por lo que toma valoresnegativos en cualquier lugar del espacio. El valor mgh representa en realidad una variacinde la energa potencial Ep-Epo siendo Epo la energa potencial en la superficie terrestre (suvalor real es -GMm/RT), pero si convenimos que este valor es cero, entonces Ep a una ciertaaltura sera mgh y sera positivo.

Tngase en cuenta que el valor absoluto de GMm/r disminuye con la distancia pero al tenerla energa potencial signo negativo, en realidad va aumentando con la altura.

b) No es rigurosamente cierto, el valor de g en la expresin mgh es el que corresponde al

campo gravitatorio en la superficie y se supone de valor constante para todo el tramo dealtura. Esto se puede hacer siempre que h sea despreciable frente al radio terrestre.

EJERCICIO 1-3-38

Un bloque de 0,2 kg est apoyado sobre el extremo superior de un resorte vertical, deconstante 500 N/m, comprimido 20 cm. Al liberar el resorte, el bloque sale lanzado haciaarriba.a) Explique las transformaciones energticas a lo largo de la trayectoria del bloque y calculela altura mxima que alcanza.b) Qu altura alcanzara el bloque si la experiencia se realizara en la superficie de la Luna?.gT = 10 m s

-2 ; MT = 102 ML ; RT = 4 RL



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a) Al principio solo tiene energa potencial elstica (kx2)ya que su energa cintica es cero al estar en reposo y laenerga potencial gravitatoria es cero por convenio. Estaenerga se convierte en energa potencial gravitatoria(mgh) siendo la cintica tambin cero cuando adquiere laaltura mxima.

xh=0

h

Por tanto: kx2 = mgh x 500 x 0,2 2 = 0,2 x 10 h; h = 5 m

b) Primero tenemos que calcular el valor de g en la superficie lunar, para ello:

ecuacin de g en la superficie terrestre:10 = G MT/RT

2 = G x 10 2ML/(16RL2) = 6,25 G ML/RL

2 = 6,25 gLpor tanto gL = 10/6,25 = 1,6 N/kg

y sustituyendo en la ecuacin del apartado a): x 500 x 0,2 2 = 0,2 x 1,6 h; h = 31,25 m

EJERCICIO 1-3-39

a) La energa potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otrocuerpo de masa m' depende de la distancia entre ambos. Aumenta o disminuye dichaenerga potencial al alejar los dos cuerpos? Por qu?.b) Qu mide la variacin de energa potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desdeuna posicin A hasta otra B?. Razone la respuesta.

a) La energa potencial entre ambos cuerpos viene dada por - Gmm'/r. Esto implica que elvalor absoluto disminuye al aumentar la distancia pero al tener signo negativo en realidadaumenta.

b) Representa el trabajo con signo cambiado, es decir si aumenta la energa potencial esnecesario ejercer sobre el cuerpo un trabajo, y viceversa. Tngase en cuenta la ecuacin W= EpA - EpB.

EJERCICIO 1-3-40

Un satlite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una rbita circular situada a 120km sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa.a) Con los datos del problema, se podra calcular la masa de la Luna?. Explique como lohara.b) Determine la energa potencial del satlite cuando se encuentra en la rbita citada.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RL = 1740 km

a) La condicin que se cumple en la rbita es fuerza gravitatoria = fuerza centrpeta, esdecir: GMm/r2 = mv2/r, simplificando queda: GM = v2r = (2r/T)2r = 42r3/T2. Al disponerde los datos G, r y T, podemos deducir la masa de la Luna:M = (42r3/T2)/G = (42 x 1860000 3/ 7200 2)/6,67.10 -11 = 7,3.10 22 kg.

b) Ep = - GMm/r = - 6,67.10 -11 x 7,3.10 22 x 500 / 1860000 = - 1,31.10 9 J

EJERCICIO 1-3-41

El satlite de investigacin europeo (ERS-2) sobre vuela la Tierra a 800 km de altura.Suponga su trayectoria circular y su masa de 1000 kg.a) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satlite.

b) Si suponemos que el satlite se encuentra sometido nicamente a la fuerza degravitacin debida a la Tierra, por qu no cae sobre la superficie terrestre?. Razone larespuesta.



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RT = 6370 km ; g =10 ms-2

a) Teniendo en cuenta la condicin indicada en el apartado a) del ejercicio 1-3-40 ser:GM = v2r; v = GM/r = 6,67.10 -11 x M/7170000

Vamos a calcular la masa de la Tierra a partir del valor del campo g = GM/R2M = gR2/G = 10 x 6370000 2/6,67.10 -11 = 6.10 24 kgsustituyendo en la ecuacin anterior resulta v = 7471 m/s

b) Podemos interpretar este hecho de varias formas. Podramos decir que en realidad s cae,de hecho describe una curva de cada cuya trayectoria es circular y paralela a la superficieterrestre por lo que mantiene su altura. Por tanto, si se entiende la palabra "cae" comoacercamiento hacia el centro de la Tierra entonces s podemos decir que efectivamente nocae.

No es riguroso decir que no cae porque se produce un equilibrio entre la fuerza degravitacin y la fuerza centrfuga cuyo sentido es de alejamiento de la Tierra ya que estafuerza no es real.

EJERCICIO 1-3-42

Un satlite artificial en rbita geoestacionaria es aqul que, al girar con la misma velocidadangular de rotacin que la Tierra, se mantiene sobre la misma vertical.a) Explique las caractersticas de esa rbita y calcule su altura respecto a la superficie de laTierra.b) Razone qu valores obtendra para la masa y el peso de un cuerpo situado en dichosatlite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20 kg.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg

a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-40.Aplicando la condicin GM = v2r = (2r/T)2r = 42r3/T2

El periodo es de 86400 s ya que tiene que coincidir con un da que es el periodo de rotacinde la Tierra en torno a su eje.Por tanto r = GMT2/(42) = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 86400 2/(42) = 4,23.10 7 mb) La masa del cuerpo es un valor constante y, por tanto, sigue siendo de 20 kg.

3 3

El peso sera F = GMm/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 20 /(4,23.10 7)2 = 4,47 N

EJERCICIO 1-3-43

Un satlite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una rbita circular de 12800km de radio.a) Explique las variaciones de energa cintica y potencial del satlite desde su lanzamientoen la superficie terrestre hasta que alcanz su rbita y calcule el trabajo realizado.b) Qu variacin ha experimentado el peso del satlite respecto del que tena en la

superficie terrestre?G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg

a) Se le imprimi una energa cintica inicial mv12 que ha ido disminuyendo hasta mv2

2siendo v2 su velocidad en la rbita. Inicialmente tena tambin una energa potencial Ep1 = -GMm/RT para ir aumentando hasta Ep2 = - GMm/r siendo r el radio de la rbita. Se cumpleel principio de conservacin de la energa mecnica, es decir, la suma de las energascintica y potencial es constante.

El trabajo podemos deducirlo a partir de W = Ep1 - Ep2 = - GMm/RT + GMm/r = GMm(1/r -1/RT) = 6,67.10

-11 x 6.10 24 x 1000 (1/12800000 - 1/6400000) = -3,12.10 10 JEl valor negativo nos indica que se ha tenido que ejercer un trabajo a favor del cuerpo.

b) El peso en la superficie terrestre es: F1 = GMm/RT2

F1 = 6,67.10-11 x 6.10 24 x 1000 /6400000 2 = 9770 N



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y en la rbita: F2 = GMm/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 1000 /12800000 2 = 2442,6 N

El porcentaje de disminucin del peso ha sido: (9770-2442,6)x100/9770 = 75%

EJERCICIO 1-3-44

Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300km, siendo de todos conocidos las imgenes de astronautas flotando en su interior.

a) Determine la intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficieterrestre y comente la situacin de ingravidez de los astronautas.b) Calcule el periodo orbital del transbordador.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.10

24 kg

a) g = GM/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 / 67000002 = 8,915 m/s2

Con respecto a la situacin de ingravidez ver apartado b) del ejercicio 1-6.

b) Ver apartado a) del ejercicio 1-52.T = 42r3 /(GM) = 42 x 6700000 3 /(6,67.10 -11 x 6.10 24) = 5446,95 s

EJERCICIO 1-3-45

a) Haciendo uso de consideraciones energticas, determine la velocidad mnima que habraque imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M yradio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta.b) Se desea que un satlite se encuentre en una rbita geoestacionaria, con qu periodode revolucin y a qu altura debe hacerlo?.

a) Para que salga de la influencia del planeta hay que llevarlo desde la superficie hasta elinfinito. Se le debe imprimir una energa cintica mve

2 siendo ve la velocidad de escape.Adems tiene una energa potencial inicial - GMm/R siendo R el radio del planeta. Laenerga cintica final es cero ya que no tendra sentido suponerle alguna velocidad en elinfinito y la energa potencial final es cero al ser la distancia infinita.Por tanto y aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica ser: mve

2 - GMm/R = 0, de donde ve = 2GM/R.

b) Ver ejercicio 1-3-42.El periodo de revolucin debe ser el de rotacin del planeta en torno a su eje.El radio ser r = GMT2/(42)

EJERCICIO 1-3-46

Un satlite artificial describe una rbita circular alrededor de la Tierra.a) Explique qu se entiende por velocidad orbital y deduzca razonadamente su expresin.b) Conociendo el radio de la rbita y su periodo, podemos determinar las masas de la

Tierra y del satlite?. Razone la respuesta.

a) Velocidad orbital es la que tiene justamente en esa rbita y debe verificar la ecuacinGMm/r2 = mv2/r de donde v = GM/r.

3

b) Como v = 2r/T, podemos deducir v conociendo r y T, y sustituyendo en la ecuacin dela velocidad anterior podemos calcular M conociendo adems G.

Lo que no podemos determinar es la masa del cuerpo m ya que se suprime en la ecuacinde la rbita.

EJERCICIO 1-3-47

Un satlite de 200 kg describe una rbita circular, de radio R = 4.106 m, en torno a Marte.a) Calcule la velocidad orbital y el periodo de revolucin del satlite.



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b) Explique cmo cambiaran las energas cintica y potencial del satlite si el radio de larbita fuera 2R.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; MMarte = 6,4.10

23 kg

a) Teniendo en cuenta lo dicho en el ejercicio 1-3-46:v = 6,67.10 -11 x 6,4.10 23 /4.10 6 = 3266,8 m/sT = 2r/v = 2 x 4.10 6 / 3266,8 = 7693,38 s

b) Al ser Ep = - GMm/r y al doblarse el radio la energa potencial tendr la mitad del valorabsoluto pero en realidad aumenta por el signo negativo.

Elevando al cuadrado la ecuacin de la velocidad del apartado anterior tenemos v2 = GM/r ysiendo Ec = mv2, significa que al aumentar el radio al doble disminuir v2 a la mitad y,por tanto, tambin la energa cintica.

EJERCICIO 1-3-48

Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones:a) a una rbita de radio R de un satlite le corresponde una velocidad orbital y

caracterstica.b) la masa M de un planeta puede calcularse a partir de la masa m y del radio orbital R deuno de sus satlites.

a) Ver ejercicio 1-3-46.Efectivamente hay una relacin entre ambas magnitudes: GMm/r2 = mv2/r.

b) Teniendo en cuenta la ecuacin anterior y v = 2r/T se necesita el periodo y el valor de laconstante G. La masa m del satlite no influye ya que se suprime en la condicin de larbita.

EJERCICIO 1-3-49

Un satlite artificial de 400 kg gira en una rbita circular a una altura h sobre la superficieterrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficiede la Tierra.a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satlite en rbita y calcule suenerga mecnica.b) determine el periodo de la rbita.g = 10 ms-2 ; RT = 6,4.10

6 m

a) No hay que realizar ningn trabajo ya que ste es la diferencia de la energa potencialentre dos puntos cualesquiera de la rbita y como la distancia permanece constante ambasenergas potenciales son iguales por lo que su variacin es nula y, consecuentemente,tambin el trabajo.

La energa mecnica sera: Em = mv2 - GMm/r, pero al cumplirse GMm/r2 = mv2/r o bienGMm/r = mv2 y sustituyendo en la primera ecuacin ser: Em = - GMm/r o bien Em = - mv2.

b) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-44.T = 42r3 /(GM) = 42 x (6,4.10 6 + h)3/(GM)

Por otro lado y teniendo en cuenta la frmula para el campo: g = GM/r2en la superficie terrestre: 10 = GM/(6,4.106)2 (ecuacin *)y a una altura h: 10/3 = GM/(6,4.106 + h)2Dividiendo ambas ecuaciones: 3 = (6,4.106 + h)2 / (6,4.106)2, de donde h = 4,685.106 m

De la ecuacin * deducimos GM = 4,096.10 14T = 42 x (6,4.10 6 +4,685.10 6)3/(4,096.1014) = 11457,86 s.



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EJERCICIO 1-3-50

La nave espacial Apolo 11 orbit alrededor de la Luna con un periodo de 119 minutos y auna distancia media del centro de la Luna de 1,8.106 m. Suponiendo que su rbita fuecircular y que la Luna es una esfera uniforme:a) determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave.b) cmo se vera afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el

doble?. Razone la respuesta.G = 6,67.10-11 Nm2kg-2

a) GMm/r2 = mv2/r; GM = v2r = 42r3/T26,67.10 -11 M = 42 x (1,8.106)3/(119x60)2, de donde M = 6,77.10 22 kgv = 2r/T = 2 x 1,8.10 6/7140 = 1584 m/sb) Como se ve en la ecuacin anterior, la masa m del satlite se suprime por lo que noafecta.


Un satlite describe una rbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las

siguientes preguntas:a) Qu trabajo realiza la fuerza de atraccin hacia la Tierra a lo largo de media rbita?.c) Si la rbita fuera elptica, cul sera el trabajo de esa fuerza a lo largo de una rbitacompleta?.

a) Al ser el trabajo W = F.dr, como la fuerza es perpendicular al desplazamiento ser W =F.dr.cos90 = 0.

if

if

F drTambin podramos razonarlo a partir de W = Epi - Epf siendo ambasiguales aGMTm/r.

b) Al ser una fuerza conservativa, el trabajo en un ciclo cerrado es cero.Es lgico ya que la energa potencial inicial y final coinciden.


Con un arco se lanza una flecha de 20 g, verticalmente hacia arriba, desde una altura de 2m y alcanza una altura mxima de 50 m, ambas sobre el suelo. Al caer, se clava en el suelouna profundidad de 5 cm.a) Analice las energas que intervienen en el proceso y sus transformaciones.b) Calcule la constante elstica del arco (que se comporta como un muelle ideal), si ellanzador tuvo que estirar su brazo 40 cm, as como, la fuerza entre el suelo y la flecha alclavarse.g = 10 m s -2

a) Vamos a suponer que la energa potencial gravitatoria fuera cero en el suelo. La flechatiene inicialmente una energa potencial gravitatoria (mgho) y una energa potencial elstica( kx2), la suma de las dos sera la energa mecnica inicial. Cuando llega a su alturamxima solo tiene energa potencial gravitatoria (mghmax) de manera que mgho + kx

2 =mghmax (ecuacin *).

Cuando se clava en el suelo tiene solo una energa potencial gravitatoria (mghf) siendo hfnegativa y ha habido una prdida de energa en forma de trabajo de rozamiento (FRs)siendo s la profundidad con que se ha clavado. O sea: Emi = mghf+ FRs (ecuacin **).

b) ecuacin *: 0,02 x 10 x 2 + k x 0,42 = 0,02 x 10 x 50 = 10 = Em i

de donde sale: k = 120 N/m

ecuacin **: 10 = 0,02 x 10 x (-0,05) + FR x 0,05; FR = 200,2 N



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Un bloque de 1 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal y chocacontra el extremo de un muelle horizontal, de constante elstica 200 N m-1,comprimindolo.a) Cul ha de ser la velocidad del bloque para comprimir el muelle 40 cm?.

b) Explique cualitativamente cmo variaran las energas cintica y potencial elstica delsistema bloque-muelle, en presencia del rozamiento.g = 10 m s-2

viniciala) Emi = Emf

Epg= 0Eci + Epi = Ecf+ Epf mvi

2 + 0 = 0 + kx2xmvi2 = kx2

1 x vi2 = 200 x 0,4 2

vi = 5,66 m/s

finalEpg= 0

b) Al existir rozamiento, parte de la energa cintica inicial se gasta en el trabajo derozamiento. Esto significa que si se quiere comprimir el muelle 40 cm se requiere unaenerga cintica mayor que en el apartado a) y, en consecuencia, una velocidad tambinmayor. En otras palabras, que si el aumento de la energa potencial elstica es el mismo, ladisminucin de la energa cintica es mayor; o si la disminucin de la energa cintica es lamisma, el aumento de la energa potencial elstica es menor.


a) Defina energa potencial a partir del concepto de fuerza conservativa.b) Explique por qu, en lugar de energa potencial en un punto, deberamos hablar deenerga potencial entre dos puntos. Ilustre su respuesta con algunos ejemplos.

a) Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo coincide con la menos variacin de laenerga potencial siendo independiente del camino seguido. Ver ejercicio 1-3-20.

b) Justamente por lo indicado en el apartado a), la energa potencial entre dos puntosrepresenta el trabajo para desplazar un cuerpo entre ellos. Cuando decimos por ejemploque la energa potencial gravitatoria de un cuerpo a una distancia de la Tierra r es GMTm/r, estamos indicando que ste es el valor para llevar un cuerpo desde ese lugar hastael infinito. Cuando decimos que la energa potencial de un cuerpo en las proximidades de lasuperficie terrestre es mgh estamos indicando que esa es la energa que deberamoscomunicarle para elevarlo una altura h. Siempre est referida a la energa o, mejor dicho,

diferencia de energa potencial entre dos puntos.


Dibuje en un esquema las lneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masapuntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma lnea de fuerza del campo, siendo Bel punto ms cercano a M.a) Si una masa m est situada en A y se traslada a B, aumenta o disminuye su energapotencial? Por qu?b) Si una masa m est situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la mismadistancia de M que A, pero en otra lnea de fuerza, aumenta o disminuye la energapotencial? Razone la respuesta.

a) Se puede explicar de dos formas:



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- la energa potencial de un cuerpo m situado a unadistancia r del cuerpo M es Ep = - GMm/r, por tanto, si rdisminuye, el valor absoluto de Ep aumenta pero al tenersigno negativo en realidad disminuye.- si un cuerpo m se abandonara en el punto A seacelerara hacia B debido a la atraccin gravitatoria delcuerpo M, por tanto aumenta su velocidad y su energa

cintica. Al ser una fuerza conservativa, implica que suenerga potencial disminuye.

M

B AM

b) Si la distancia a M es la misma, la energa potencial no cambia por la propia definicinmatemtica Ep = - GMm/r. Los puntos A y C pertenecen a lo que se denomina superficieequipotencial.


Una partcula parte de un punto sobre un plano inclinado con una cierta velocidad yasciende, deslizndose por dicho plano inclinado sin rozamiento, hasta que se detiene yvuelve a descender hasta la posicin de partida.a) Explique las variaciones de energa cintica, de energa potencial y de energa mecnicade la partcula a lo largo del desplazamiento.b) Repita el apartado anterior suponiendo que hay rozamiento.

a) Inicialmente tiene una energa cintica que va disminuyendo hasta anularse cuandoadquiere su mxima altura. Esta energa se va transformando en una ganancia de energapotencial gravitatoria mientras asciende. Cuando desciende, la energa potencial gravitatoriadisminuye y se transforma en una ganancia de energa cintica. Cuando el cuerpo pasa porel punto de salida la energa cintica inicial se ha recuperado.

b) Si hay rozamiento se produce una prdida energtica tanto en el ascenso como en eldescenso en forma de trabajo de rozamiento. Esto implica que la ganancia de energapotencial cuando asciende es menor y la recuperacin en forma de energa cintica cuandodesciende tambin es menor que en el apartado a) por lo que pasar por el punto departida con una energa cintica menor que la inicial y, en consecuencia, tambin menorvelocidad.


Un bloque de 500 kg asciende a velocidad constante por un plano inclinado de pendiente30, arrastrado por un tractor mediante una cuerda paralela a la pendiente. El coeficiente

de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2.a) Haga un esquema de las fuerzas que actan sobre el bloque y calcule la tensin de lacuerda.b) Calcule el trabajo que el tractor realiza para que el bloque recorra una distancia de 100m sobre la pendiente. Cul es la variacin de energa potencial del bloque?.g = 10 m s-2

a) Segn la ley de Newton:T = Px + FR = mgsen + mgcos == mg(sen + cos) == 500 x 10 (sen30 + 0,2 cos30) == 3366 N

b) W = T s = 3366 x 100 = 336600 J

N

T

Px

FR Py

PInteraccin gravitatoria


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W = Ep + WR336600 = Ep + mgcos s = Ep + 0,2 x 500 x 10 x cos30 x 100 = Ep + 86602,5Ep = 336600 86602,5 = 249997,5 JTambin podemos calcularlo mediante Ep = mgh = 500x10x100sen30 = 250000 J


a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie terrestre, quvelocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape?.b) A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye lafuerza con que es atrado por ella. Significa eso que tambin disminuye su energapotencial? razone la respuesta.

a) La velocidad orbital verifica la siguiente condicin matemtica: G Mm/r2 = mvo /r, esdecir: vo = GM/r. La velocidad de escape verifica que Emi = Emf, es decir: mve

2 GMm/r = 0, o bien ve = 2GM/r, por tanto la velocidad de escape es mayor.

b) Efectivamente la fuerza va disminuyendo segn la ecuacin F = GMm/r2 de manera queal aumentar r el mdulo de la fuerza va disminuyendo. Sin embargo la energa potencial Ep

= - Gmm/r va aumentando como consecuencia del signo negativo.


Un satlite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre.Calcule su velocidad orbital.Razone cmo se modificaran sus energas cintica y mecnica si su altura se redujera a lamitad.G = 6,6710 -11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6

10 24 kg

GMm/r2 = mv2 /r; v = GM/r = 6,67.10 -11 x 6.10 24/26370000 = 3895,68 m/s

La energa cintica es mv

2

= m GM/r. Si el radio se reduce a la mitad la energacintica duplica su valor.La energa mecnica es Em = mv2 GMm/r = GMm/r GMm/r = - GMm/r. Si elradio se reduce a la mitad, el valor absoluto de la energa mecnica se dobla pero al tenersigno negativo, en realidad disminuye.


a) Un satlite artificial describe una rbita circular en torno a la Tierra. Qu trabajo realizala fuerza con la que la Tierra atrae al satlite, durante una rbita? Justifique la respuesta.b) Razone por qu el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento es siempre negativo.

a) El trabajo es nulo. Efectivamente es as ya que la fuerza de atraccin de la Tierra y eldesplazamiento son perpendiculares por lo que W = F . dr = F cos dr = 0. Otra formade demostrarlo es que mientras est en rbita, la distancia r permanece constante, por loque la energa potencial GMm/r es constante y por tanto su variacin es nula, por tanto W= Epi Epf= 0.

b) La fuerza de rozamiento siempre acta en sentido contrario al vector desplazamiento,por tanto W = F . dr = F cos dr = - F . dr.Otra forma de explicar por qu es negativo es que es una energ

Interacción gravitatoria física

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