Interacción gravitatoria TEMA I : INTERACCIÓN GRAVITATORIA · Interacción gravitatoria Luis...

Interacción gravitatoria

Luis Suárez Mora. IES Antonio Machado (Sevilla)

1

TEMA I: INTERACCIÓN GRAVITATORIA..

Contenido:

1. -Interacción gravitatoria; ley de gravitación universal. _______________________________________________ 1

2. Campos escalares y vectoriales. __________________________________________________________________ 3

3. Trabajo; energía cinética y energía potencial. ______________________________________________________ 4

3.1. Fuerzas conservativas: energía potencial._____________________________________________________ 7

4. Conservación de la energía mecánica. ____________________________________________________________ 9

5. Campo y potencial gravitatorios. ________________________________________________________________ 11

6. Campo gravitatorio terrestre. __________________________________________________________________ 13

1. -Interacción gravitatoria; ley de gravitación universal.

La concepción del Universo más antigua, que puede ser considerada una teoría más o menos

científica, es el modelo de Ptolomeo de Alejandría (s. II d.c.). Según este modelo los astros describen

círculos perfectos, cuyos centros describen a su vez órbitas circulares en torno a la Tierra, que se

considera el centro del universo. Otros filósofos griegos de la antigüedad habían elaborado teorías

heliocéntricas, como la sugerida por Aristarco (310-230 a.C.). Según estas teorías el Sol ocupa el

centro del Universo y los demás astros giran alrededor del mismo. La teoría geocéntrica se impuso y se

mantuvo hasta el siglo XVI, por ser la que sugiere la observación directa del firmamento y por ser la

teoría adoptada por la iglesia católica. Nicolás Copérnico (1473-1543) se dedicó durante su vida a

tareas tan variadas como las finanzas, la medicina, la política y los asuntos eclesiásticos, y además

elaboró un nuevo sistema del mundo que se publicó en 1543 (el año de su muerte) con el nombre de

"De las revoluciones de los orbes celestes". En este modelo el Sol es el centro en torno del cual giran

los planetas describiendo órbitas circulares. Con este modelo los cálculos se simplificaban

extraordinariamente. Tycho Brahe (1546-1601) fue un noble danés, a quien Federico I de Dinamarca

concedió una pensión y un castillo para que se dedicara a la observación astronómica. Mantuvo un

sistema en el cual los planetas giraban en torno del sol en órbitas circulares, girando todo este conjunto

en torno de la tierra que volvía a ser el centro del universo. Un colaborador de Brahe, Johanes Kepler

(1571-1650), mejoró notablemente las observaciones e introdujo la elipse como forma general de

órbita planetaria, dentro de un modelo copernicano de sistema solar. Del análisis de las tablas de

posiciones planetarias dedujo sus tres famosas leyes que son la base de la moderna astronomía.

planeta semieje mayor (U.A.) Período (días)

Mercurio 0,38710 87,97

Venus 0,72333 224,70

Tierra 1,00000 365,26

Marte 1,52369 686,98

Júpiter 5,20280 4332,59

Saturno 9,55475 10759,24

Urano 19,21814 30688,39

Neptuno 30,10957 60181,11



2

1U.A.=1496·105 km

Leyes de Kepler:

I) Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos de la elipse.

II) El área barrida por el vector de posición del planeta respecto del Sol, en la unidad de tiempo

(velocidad areolar), es la misma en todos los puntos de la órbita.

III) Los cuadrados de los períodos de revolución de cada planeta son proporcionales a los cubos de los

semiejes mayores de sus órbitas respectivas.

El período es el tiempo que emplea el planeta en describir una elipse completa.

Newton formuló un conjunto de tres leyes, con las cuales se podía explicar el movimiento de

cualquier objeto (las conocidas tres leyes de Newton). Demostró que las leyes de Kepler se satisfacen

si se admite que el Sol atrae a los planetas con una fuerza, cuyo módulo es directamente proporcional

al producto de las masas de ambos cuerpos, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que los separa. Al comprobar que la fuerza de atracción gravitatoria depende de la masa de los cuerpos

y no de otra cualidad de estos, Newton extendió esta idea de la atracción gravitacional a cualquier

pareja de objetos materiales y enunció la ley de gravitación universal:

"Dos cuerpos de masas m y m’, separados una distancia r, se ejercen mutuamente una fuerza atractiva, cuyo módulo es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ambos. La fuerza se ejerce en la dirección de la recta que une las posiciones de ambos cuerpos.

Consideremos dos partículas, m y m', de modo que la partícula m está en el origen del sistema

de referencia. Podemos expresar la fuerza que "m" hace sobre "m’ " como sigue:

Con r

rr = y donde G = 6,67⋅10

-11 N·m

2/kg

2 es la constante

de gravitación universal, y r es el vector de posición de la partícula m' respecto de la partícula m.

Naturalmente sobre el objeto “m” actúa una fuerza de igual

módulo y dirección y de sentido contrario F ' = -F. La fuerza gravitatoria sobre la partícula m' tiene las siguientes características:

** Tiene alcance infinito. F = 0 sólo si r � ∞ ** Varía con la distancia según 1/r

2.

** Es una fuerza central. Es decir, la fuerza está dirigida siempre hacia el mismo punto (centro de

fuerzas).

** Es siempre atractiva.

** Es conservativa: El trabajo realizado al trasladarse la partícula m’ entre dos puntos es

independiente del camino seguido para ir de uno a otro.

rr

'mmGF

2⋅

⋅⋅−= [ 1]

m’

F m r



3

Si se quiere calcular la fuerza que un conjunto de partículas ejerce sobre otra partícula testigo

de masa m’, se deben sumar vectorialmente las fuerzas que cada partícula ejerce sobre la partícula

testigo.

2. Campos escalares y vectoriales.

Algunas veces tenemos la impresión de que los cuerpos para poder ejercerse fuerzas deben

estar en contacto. Sin embargo, el concepto mismo de contacto es erróneo; nunca existe contacto en el

sentido que la distancia entre dos objetos sea cero. Los átomos no están nunca en contacto porque lo

impide la repulsión entre las nubes electrónicas que los envuelve. En realidad las fuerzas siempre se

ejercen a distancia. El Sol atrae a la Tierra con una fuerza que se ejerce a 150 millones de kilómetros.

La Tierra atrae a los cuerpos aunque estén a 36000 km, como le ocurre al satélite METEOSAT.

Al analizar las fuerzas presentes en la Naturaleza desde un punto de vista microscópico, la

Física ha podido comprobar que las fuerzas entre dos objetos siempre se ejercen a una cierta distancia.

Pero, ¿cómo pueden dos cuerpos muy alejados ejercerse fuerzas? Para hacer una representación de

cómo los cuerpos interactúan a distancia, se construye en Física el concepto de "campo de fuerzas".

Supongamos que dos cuerpos, A y B, se ejercen

mutuamente fuerzas FA y FB. El A actúa sobre el B y el B

sobre el A. Consideremos el cuerpo A. Sobre él el B ejerce

una fuerza FA que tendrá un cierto módulo, dirección y sentido para cada posición ocupada por el A, suponiendo el

B fijo. Sabemos que esa fuerza se debe a la presencia del B.

Pero si, por la razón que sea, desconocemos la presencia del

cuerpo B lo que observamos es que sobre A se ejerce una

determinada fuerza en cada posición, dentro de la región

estudiada.

Si ignoramos al cuerpo B, podemos interpretar lo

que observamos diciendo que, en una determinada región, el espacio ha modificado sus propiedades

de homogeneidad e isotropía: ya no son iguales todos los puntos y a cada uno le corresponde un valor

de la fuerza ejercida sobre la partícula A, que actúa como partícula de prueba. Decimos entonces que,

en esta región del espacio, existe un campo de fuerzas. El propio campo de fuerzas es algo más que

una mera representación (o mapa de fuerzas), tiene existencia física real. Toda interacción entre dos

partículas se propaga de una a otra a una velocidad finita (como máximo la velocidad de la luz). Esto

significa que, por ejemplo, la interacción gravitatoria entre el Sol y la Tierra necesita unos 8 minutos

para propagarse de uno al otro cuerpo. El Sol podría desaparecer y durante 8 minutos la Tierra sentiría

la fuerza que le ejerce un Sol que ya no existe. ¿Qué es lo que ejerce fuerza sobre la Tierra cuando el

Sol ha desaparecido? El campo de fuerzas creado por el Sol es el responsable. En general, decimos que en una determinada región existe un campo de cierta magnitud si a cada punto le corresponde un valor único de dicha magnitud. Se establece así una aplicación o correspondencia entre los puntos del espacio y los valores de la magnitud. Si la magnitud en cuestión

es vectorial se dice que el campo es vectorial; si por el contrario la magnitud del campo es escalar se

dice que el campo es escalar. En el caso de la gravedad, podemos decir que hay un campo vectorial de

fuerzas y otro escalar de energías potenciales, como veremos más adelante. Veamos tres conceptos

asociados a los campos.

∑∑⋅⋅⋅−

==i

2

i

ii

i

ir

r'mmGFF [ 2]

A

A

F1 F2

F3 A

B



4

♦ Línea de campo (campo vectorial): Es una línea que se caracteriza por que el vector campo es tangente a ella en todos sus puntos.

♦ Superficie equiescalar (campo escalar): Es una superficie que se caracteriza por el hecho de que en todos sus puntos la magnitud escalar del campo toma el mismo valor.

♦ Fuente y sumidero de un campo vectorial: Se llama fuente de un campo vectorial a un punto del cual salen más líneas de las que llegan. Sumidero es un punto al cual llegan más líneas de campo

de las que salen.

3. Trabajo; energía cinética y energía potencial.

Una fuerza constante F, aplicada a una partícula de masa m en reposo, produce en ella

cierta aceleración a, y, por tanto, provoca cierto desplazamiento ∆r. Cuando actúan varias fuerzas, el efecto final depende de cuál sea la resultante de

las mismas. Definimos el trabajo realizado por la

fuerza F, al desplazarse la partícula en ∆r, como una magnitud que se calcula de la siguiente

forma:

W = F⋅⋅⋅⋅ ∆ r

El producto indicado en la fórmula

anterior es el producto escalar de los vectores fuerza y desplazamiento. Este último vector tiene por

dirección y sentido el correspondiente al desplazamiento rectilíneo que estamos suponiendo, y por

F α ∆r

F α=90º ∆r

W=0

A1

A2 A3 Línea de campo C

V

Superficie equiescalar elipsoidal del campo V.

V V V V V

SUMIDERO FUENTE



5

módulo los metros desplazados en línea recta. Dado que en el producto escalar interviene el ángulo

formado por los dos vectores, el trabajo se puede expresar como:

Es decir, que puede existir una fuerza resultante no nula, un desplazamiento no nulo, y ser no

obstante nulo el trabajo realizado por la fuerza F (si α es π/2). Ver figura.

La anterior definición de trabajo es la correspondiente a una fuerza constante y el

desplazamiento recto. Si la fuerza es variable hay que realizar una integral, por las razones que vamos

a ver a continuación.

Físicamente el trabajo mide no sólo la intensidad de una fuerza, sino el efecto conjunto de su

intensidad y el desplazamiento de la partícula. Si la fuerza cambia de valor en el desplazamiento

∆x, según indica el gráfico, ¿qué valor

de F utilizamos para hacer el cálculo del

trabajo? Los matemáticos han resuelto

este problema de la siguiente forma.

Dividimos el intervalo ∆x en

intervalos más pequeños, tan pequeños

como sea necesario para que F pueda

considerarse constante en cada uno de

ellos. El valor de F en cada uno de estos

subintervalos es: F1, F2, F3, F4 y F5.

Ahora podemos calcular el trabajo, dentro de cada uno de estos subintervalos, como ii xF ∆⋅ ,

y sumar para hallar el trabajo total, suponiendo que la fuerza y el desplazamiento tienen igual

dirección:

Para hacer el cálculo con mayor precisión haremos tender a cero la longitud de los

subintervalos:

A esta suma se le llama en matemáticas integral definida de F en el intervalo [xi ,xf]. En matemáticas se define también el concepto de primitiva de una función F como aquella función que

al derivarla nos genera F. Un importante resultado de la teoría integral es la regla de Barrow, que

afirma que la integral definida de una función F en el intervalo [x1, x2] se calcula como G(x2)-G(x1),

siendo G la primitiva de F. Si aplicamos todo esto a nuestro cálculo del trabajo, suponiendo que la

fuerza es variable y que el desplazamiento es curvo en general, obtenemos la siguiente expresión

para calcular el trabajo realizado por F a lo largo del camino C:

)cos(rFW α⋅∆⋅= [ 3]

nn2211 xF....xFxFW ∆⋅++∆⋅+∆⋅= [ 4]

∑ ∫ ⋅=∆⋅=→∆

i

xf

xi

ii0xi

dx)x(FxFlimW [ 5]

F F5 F1 F4 F2 F3

∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆x4 ∆x5 x



6

El trabajo se mide en el Sistema Internacional en julios, siendo el julio el trabajo realizado por

una fuerza de 1 N cuando la partícula se desplaza un metro en la dirección de la fuerza.

Hemos visto que una fuerza puede hacer trabajo o no, dependiendo de una serie de factores.

Interesa en muchos casos no sólo saber el trabajo realizado por una fuerza, sino también la mayor o

menor rapidez con la que se ha realizado ese trabajo. Para medir esta magnitud se define el concepto

de potencia de una fuerza. Llamamos potencia media desarrollada por una fuerza F al cociente entre el trabajo realizado ∆W y el tiempo empleado en ello ∆t:

Con la anterior definición sólo se calcula la potencia media. Si la potencia desarrollada por una fuerza

es variable, ya sea porque varíe la fuerza o cualquier otro factor, hay que definir la potencia instantánea

como:

En cualquier caso la potencia se mide en vatios (W). Un vatio corresponde a la realización de un

trabajo de un julio en un segundo. Otra unidad que se usa a veces para indicar la potencia es el caballo

de vapor (C.V.), que equivale a 735 W. Existe una relación directa entre la potencia instantánea

desarrollada por una fuerza y la propia fuerza F:

A continuación vamos a definir una idea fundamental en Física como es el concepto de

energía. La energía es la propiedad que tienen los cuerpos, en virtud de la cual, éstos pueden realizar algún trabajo. Existen diversos tipos de energía, es decir, hay diferentes estados que posibilitan la realización de un trabajo. Por ejemplo, un objeto que tiene una cierta velocidad v puede realizar un trabajo (clavar un clavo por impacto, por ejemplo): Decimos que el cuerpo en cuestión

tiene energía cinética, debido al movimiento que posee. Si calentamos una olla de agua hasta que

hierve observamos que llega a moverse la tapa de la misma, debido a la presión del vapor de agua

generado en la ebullición: Diremos que el vapor posee energía de tipo térmico. Diremos también que

una pila eléctrica posee energía, ya que puede realizar también un trabajo: podemos poner en

movimiento las aspas de un pequeño ventilador, por ejemplo. En resumen, existen varios tipos de

energía en función de su origen, pero todas tienen en común algo: posibilitan la realización de un

trabajo.

Los cuerpos en movimiento poseen una forma de energía a la que hemos llamado

anteriormente energía cinética. Sabemos que para modificar el movimiento de los cuerpos debemos

aplicar fuerzas, que a su vez realizan trabajo. ¿Existe alguna relación entre la energía cinética y el

trabajo realizado por la fuerza ejercida? La respuesta a esta pregunta la ofrece el teorema de las

∑∫ ∆⋅=⋅=→∆

→

i

iiri

C

rFrdFW0

2

,1

21 lim [ 6]

t

WPm

∆

∆= [ 7]

dt

dWP = [ 8]

vFdt

rdF

dt

dWP ⋅=

⋅== [ 9]



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fuerzas vivas (teorema trabajo-energía cinética), que tiene una gran utilidad práctica.

Consideremos una partícula material de masa m sobre la cual aplicamos una fuerza F, durante un tiempo ∆t = t2 - t1. En este tiempo la partícula ha realizado un desplazamiento determinado, y la

fuerza ha hecho un trabajo, que calculamos así:

Por tanto, sea del tipo que sea la fuerza aplicada, el trabajo realizado por ella, al trasladarse la partícula desde un punto 1 hasta un punto 2 se puede calcular como la variación

de la cantidad 2

vm 2⋅ entre los puntos 1 y 2.

A la magnitud 2

vm 2⋅ se la llama energía cinética de la partícula. Puede observarse que la

energía cinética es siempre una cantidad positiva o nula, en tanto que el trabajo (diferencia de energías

cinéticas) puede ser positivo o negativo. Una fuerza que actúa en el mismo sentido del desplazamiento,

realiza un trabajo positivo y provoca un incremento de la energía cinética de la partícula. Por el

contrario, el trabajo realizado por una fuerza que actúa en sentido contrario al desplazamiento es

negativo y provoca una disminución de la energía cinética.

3.1. Fuerzas conservativas: energía potencial.

De entre todas las fuerzas que se manifiestan en la naturaleza hay una clase especialmente

importante, que son las que llamamos fuerzas conservativas. Decimos que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza, al desplazarse la partícula a lo largo de cualquier camino cerrado, es nulo. El nombre les viene dado porque, tal y como veremos más adelante, para los

sistemas sobre los que actúan estas fuerzas se cumple

el teorema de conservación de la energía mecánica.

Es sencillo averiguar si una fuerza no es

conservativa, basta encontrar un camino cerrado para

el cual el trabajo realizado por la fuerza sea no nulo.

Por ejemplo, la fuerza peso es conservativa y, por

tanto, el trabajo total realizado al describir el recorrido

del dibujo debe ser nulo.

Por el contrario, la fuerza de rozamiento no es conservativa porque, si disponemos un objeto

sobre una mesa y lo movemos siguiendo un circuito cerrado, el trabajo de esta fuerza es siempre

negativo, dado que esta fuerza tiene siempre sentido contrario al desplazamiento.

)1(E)2(E2

vm

2

vm

2

vm

dtdt

)2

vm(d

dtdt

)2

vvm(d

dtvdt

vdmrdamrdFW

cc

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

21

−=⋅

−⋅

=

⋅=

=

⋅

=

⋅⋅

=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫∫∫→

[ 10]

W2=0

P=mg

h W1=-mgh

W4=0

W=W1+W2+W3+W4=0

W3=mgh



8

Cuando la fuerza es conservativa, el trabajo realizado por la

misma, al trasladar la partícula desde un punto 1 hasta un punto 2,

es independiente del camino como vamos a demostrar a

continuación:

Si consideramos dentro del circuito cerrado dos puntos a y

b, con el sentido de recorrido indicado en la figura, podemos

escribir lo siguiente:

En la segunda integral hay un cambio de signo debido a que si cambiamos el sentido del

recorrido se produce el cambio de dr � -dr.

Por tanto, hemos demostrado una propiedad interesante de las fuerzas conservativas: "El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos a y b es independiente del camino, y depende solamente de los puntos de partida y de llegada ". Si esto es así, podemos expresar el trabajo como diferencia de una magnitud, Ep, evaluada en los puntos citados. A esta

magnitud, cuyo valor depende sólo del punto considerado, la vamos a llamar "Energía potencial" de la partícula en dicho punto. Es decir, que si la partícula va del punto 1 al 2 el trabajo realizado por la

fuerza conservativa es:

El trabajo realizado por la fuerza conservativa, al trasladarse la partícula entre dos puntos, es igual a la variación de la energía potencial entre ambos puntos cambiada de signo. Podemos afirmar que la energía potencial es la energía que posee una partícula debido a su posición dentro de cierto campo de fuerzas

conservativas. El cambio de signo tiene la siguiente justificación física: Si sobre una partícula en

reposo actúa sólo la fuerza conservativa F, la partícula se desplaza hacia aquellas posiciones en las que la energía potencial sea mínima (principio de mínima energía potencial):

Supongamos una partícula en reposo en cierto punto 1. En ese punto la fuerza conservativa

desplaza la partícula hasta el punto 2, haciendo un trabajo positivo sobre la misma. Por tanto:

Si W1->2 > 0 entonces Ep(1) - Ep(2) > 0 y Ep(1) > Ep(2)

Observa que lo que realmente tiene significado son las diferencias de energías potenciales, y no

los valores absolutos de las mismas. Por esta razón se asigna, de forma arbitraria, Ep = 0 para puntos

que estén a una distancia infinita de la partícula o partículas que crean el campo.

Evidentemente tanto la energía cinética como la potencial se miden en julios. Veamos el

ejemplo de la energía potencial gravitatoria para puntos próximos a la superficie de la Tierra:

∫∫

∫∫∫∫∫

⋅=⋅

⇒⋅−⋅=⋅+⋅==⋅

b

2C,a

b

1C,a

b

2C,a

b

1C,a

a

2C,b

b

1C,aC

rdFrdF

rdFrdFrdFrdF0rdF

[ 11]

W1->2 = Ep(1) - Ep(2) = - (Ep(2) - Ep(1)) [ 12]

C2

b

C1

a



9

Suponemos que el objeto se traslada desde el punto 1 al 2

Otro campo de fuerzas conservativo interesante es el de

las fuerzas elásticas. Supongamos una partícula que puede

desplazarse en cierta dirección, sometida a una fuerza del tipo F = -k·r, donde k es una constante llamada constante elástica y r es el vector de posición de la partícula respecto de cierto punto

O (punto de equilibrio). El sentido de la fuerza elástica es siempre hacia el punto de equilibrio. Vamos

a calcular la expresión de la energía potencial elástica. Para ello supongamos que se desplaza entre dos

puntos 1 y 2 sobre el eje X:

Por tanto, la energía potencial elástica de la partícula

en un punto que está a una distancia r del punto de

equilibrio se calcula de la siguiente forma:

4. Conservación de la energía mecánica.

El teorema de las fuerzas vivas, como hemos dicho anteriormente, afirma que para cualquier

tipo de fuerza, el trabajo realizado por ella se puede expresar como diferencia de la energía cinética

entre los puntos final e inicial:

W1->2 = Ec(2) - Ec(1)

Por otra parte, en el caso de fuerzas conservativas como el peso o las fuerzas elásticas, ese

mismo trabajo se puede expresar como diferencia de energías potenciales:

W1->2 = Ep (1) - Ep(2)

En el caso de fuerzas conservativas se cumplen ambas ecuaciones. Si las igualamos, llegamos

a la conclusión de que Ec(2) - Ec(1) = Ep(1) - Ep(2) y, por tanto, se cumple también que:

Ec(1) + Ep(1) = Ec(2) + Ep(2)

W1->2 = P⋅⋅⋅⋅S = P⋅(h2-h1)⋅(-1)= m·g·h1 – m·g·h2 [ 13]

)2(E)1(E)2

xK()

2

xK()

2

xK()

2

xK(

2

xKdxxK)idx()ix(Krd)rK(rdFW

pp

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

22

1

2

1

2

1

2

1

21

−=⋅

−⋅

=⋅−

−⋅−

=

=

⋅−=⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−=⋅= ∫∫∫∫→

[ 14]

2

xKE

2

p

⋅= [ 15]

h2 P S

h1

F F r O r

O = punto de equilibrio



10

Si llamamos a la suma de la energía cinética y potencial de la partícula energía mecánica total

de la misma, Em = Ec+Ep, resulta que la energía mecánica de la partícula vale igual en el punto 1 y en

el 2. Por tanto, se conserva el valor de la misma en las diferentes posiciones ocupadas por la partícula.

Este resultado sólo es válido para fuerzas conservativas, como es evidente, y se conoce como el

teorema de conservación de la energía:

Cuando intervienen fuerzas no conservativas, como el rozamiento, este teorema no se cumple; véase el

siguiente ejemplo en el que actúa la fuerza de rozamiento sobre un objeto que se desplaza

horizontalmente:

Ep1 = Ep2 (energía potencial gravitatoria)

v1 > v2 ==> Ec1 > Ec2 ==>

Em(1) > Em(2)

La energía potencial permanece

constante, mientras que la energía cinética

disminuye, al desplazarse el cuerpo desde A

hasta B. Se ha perdido energía mecánica, que en este caso se ha transformado en otra forma de energía:

energía térmica.

Es importante observar que, para que la energía mecánica se conserve, es necesario que la

energía se pueda transformar de cinética en potencial y de potencial en cinética.

Llamamos fuerzas disipativas a las fuerzas que realizan un trabajo negativo sobre la partícula

que actúan, y producen con ello una pérdida de energía en la partícula. Las fuerzas disipativas siempre

actúan en sentido contrario al movimiento y pueden observarse en situaciones muy diversas. El

rozamiento entre la rueda de un coche y la carretera es una fuerza disipativa, como lo es también la

fuerza que ejerce el agua sobre una piedra que se mueve hacia el fondo de un embalse, o la que el aire

ejerce sobre un avión en vuelo (rozamiento viscoso). En todos los casos se trata de fuerzas no

conservativas, que realizan un trabajo negativo. Veamos, con un poco más de detalle, las

características de las fuerzas de rozamiento por deslizamiento relativo de dos superficies que están en

contacto.

Sobre un objeto que se desplaza, manteniendo una superficie de contacto con otro, se ejerce

una fuerza de rozamiento que tiene algunas características importantes. Por ejemplo, esta fuerza de

rozamiento es variable entre cero y un cierto valor máximo. Esto puede entenderse, si nos damos

cuenta de que un cuerpo apoyado sobre una superficie permanece en reposo hasta que la fuerza activa

que realizamos supera cierto valor. Este es el valor máximo de la fuerza de rozamiento. La fuerza de

rozamiento tiene siempre sentido contrario al desplazamiento. El máximo de esta fuerza de rozamiento

tiene las siguientes características:

� Depende de la naturaleza de las superficies puestas en contacto a través de un número llamado coeficiente estático (objeto en reposo) o dinámico (objeto en movimiento) de rozamiento (µe, µd).

� Depende de la fuerza normal a la superficie que se ejercen mutuamente los objetos puestos en contacto. A esta fuerza la llamaremos N, y depende de la situación concreta de cada caso.

Em(1) = Em(2) [ 16]

v1 v2

Fr Fr A B



11

� No depende el rozamiento de la velocidad de desplazamiento del objeto, ni del área de la superficie de contacto. En suma, la fuerza máxima de rozamiento estática se calcula como:

Esa es la fuerza que hemos de superar para que el cuerpo se empiece a mover si está en reposo.

Una vez el cuerpo se está moviendo sigue existiendo rozamiento, pero el valor de la fuerza es

ligeramente menor que Fre. El rozamiento dinámico se calcula de igual manera que el estático, pero el

coeficiente de rozamiento dinámico es ligeramente menor que el estático:

Frd = µd⋅N

con µe > µd

En general, si sobre una partícula actúan la fuerza conservativa Fc (que realizan un trabajo Wc)

y el rozamiento Fr (que realizan un trabajo Wr), se cumple que el trabajo total es igual a la diferencia

de energía cinética:

WTotal = Wc + W r = Ec(2) - Ec(1)

Ep (1) - Ep(2) + Wr = Ec(2) - Ec(1)

5. Campo y potencial gravitatorios.

De acuerdo con la ley de Newton de la gravitación, la fuerza que ejerce la partícula de masa m

sobre la de masa m' es proporcional a la masa m. Podemos decir que la partícula de masa m crea, en el

espacio que la rodea, un campo de fuerzas. Para representar el campo gravitatorio puede utilizarse el

vector fuerza, pero es más frecuente el uso del vector intensidad de campo gravitatorio en un punto (g) para hacer la representación de dicho campo. La fuerza sobre m’ depende de ambas masas y de la

posición de m’, mientras que el vector intensidad de campo gravitatorio, como se verá más adelante,

sólo depende de la partícula que crea el campo (m) y del punto donde se calcula.

El vector intensidad de campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza gravitatoria

que en dicho punto se ejerce sobre la unidad de masa. Por tanto:

g = F/m’. Y por tanto, F = m '⋅g.

De la definición anterior, resulta evidente que g mide la aceleración producida en la masa m’ por el campo gravitatorio existente en el punto considerado. El caso más simple de campo gravitatorio es el

creado por una sola partícula de masa m. Calculamos a continuación g para este caso:

Como puede comprobarse g no depende de la partícula de “prueba” o “testigo”, m’. Las líneas

Fre = µe⋅N [ 17]

Wr = (Ec(2) + Ep(2)) – (Ec(1) + Ep(1)) [ 18]

rr

mG

'm

rr

'mmG

'm

Fg

2

2

⋅⋅−

=

⋅⋅⋅−

== [ 19]



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de campo del campo gravitatorio creado por una partícula material son rectas que se cortan en el punto

que ocupa la partícula, y la propia partícula es sumidero del campo gravitatorio.

El campo gravitatorio es conservativo y, por tanto, el

trabajo entre dos puntos es independiente del camino seguido

para ir de uno al otro. Si utilizamos la fuerza (F), como magnitud para representar el campo vectorial, podemos expresar

el trabajo como diferencia de la energía potencial entre los

puntos inicial y final. Por el contrario, si adoptamos como

magnitud del campo la intensidad g, su integral de línea entre dos puntos se puede expresar como diferencia de una magnitud,

llamada potencial gravitatorio, entre los puntos inicial y final. En general, a la integral de línea de un

campo vectorial se le llama circulación. Calculamos a continuación las expresiones de la energía

potencial y del potencial gravitatorio en un punto para el campo creado por una partícula.

)2()1(

)'

()'

(1

''

ˆˆ'

21

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

pp EE

r

Gmm

r

Gmm

rGmmdr

r

Gmmrdr

r

GmmrdF

−=

=−

−−

=

−−=⋅

−=⋅⋅

−=⋅ ∫∫∫

)2(V)1(V)r

Gm()

r

Gm(rd

'm

Frdg gg

21

2

1

2

1

−=−

−−

=⋅=⋅ ∫∫

De acuerdo con lo anterior, el potencial

gravitatorio Vg en un punto mide la energía

potencial que, en ese punto, tiene la unidad de

masa. Observa que en todos los casos la energía

potencial gravitatoria es negativa y creciente con

la distancia r (es -∞ en r = 0 y vale 0 para r = ∞).

Los campos escalares Ep y Vg son los campos

asociados a los campos vectoriales F y g, respectivamente. Las superficies equipotenciales

del campo gravitatorio son esferas, si el campo

está creado por una sola partícula, ya que se

cumple:

-G·m⋅m'/r = constante, o bien -Gm/r = constante, implica r = constante. Y la superficie formada por

todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de uno dado es una esfera.

Las superficies equipotenciales son, por tanto, esferas. Se dice por ello que el campo gravitatorio de

una partícula es esférico. Las líneas equipotenciales son circunferencias.

r

'GmmE p

−= [ 20]

'm

E

r

GmV

p

g =−

= [ 21]

r2 m’

r1 m

v1 v2



13

Cualquier objeto real está formado por un elevado número de partículas. En este caso

podemos aplicar el principio de superposición, según el cual, el campo gravitatorio que crean un

conjunto de partículas en un punto es la suma (vectorial para F y g y escalar para Ep y Vg) de los campos creados por cada una de las partículas materiales:

Como puede comprobarse, la energá potencial en el infinito es siempre cero. Por tanto se

cumple que W1 �

∞ = Ep(1) – Ep(∞) = Ep(1). Es decir, se puede definir la energía potencial

gravitatoria en un punto como el trabajo que realiza el campo gravitatorio al trasladar la partícula

testigo, desde el punto considerado hasta el infinito.

6. Campo gravitatorio terrestre.

La tierra es un cuerpo de gran masa y

de elevado número de partículas, que crea un

intenso campo gravitatorio que afecta de forma

apreciable a todos los cuerpos que están en

puntos próximos. Puede demostrarse que el

campo gravitatorio, en un punto exterior de un

cuerpo esférico, se puede calcular con la

expresión válida para una partícula material,

considerando que toda la masa está

concentrada en el centro de la esfera. Por tanto, la intensidad del campo y el potencial gravitatorio en

un punto dado “p” las calculamos según las siguientes expresiones:

Puede apreciarse que, tanto g como Vg, varían con la altura h por encima de la superficie de la Tierra. El vector intensidad del campo gravitatorio g en un punto nos mide la aceleración con la que se mueve un objeto de masa m' colocado en dicho punto. Del resultado obtenido se desprende que g no depende de la masa testigo m' (sólo depende de la masa de la Tierra); g depende del radio de la Tierra y de la altura h, desde la superficie de la Tierra hasta el punto. Si consideramos puntos próximos a la

superficie de la Tierra y h ≈ 0 entonces g es aproximadamente constante. Si calculamos el valor correspondiente a puntos de la superficie de la Tierra resulta:

∑∑⋅−

==i i

i

i

igr

mGVV [ 223]

∑ ∑⋅⋅−

==i i

2

i

iii

r

rmGgg [ 232]

r)hR(

MGr

r

MGg

2

T

T

2

T ⋅+

⋅−=⋅

⋅−= [ 24]

)hR(

MG

r

MGV

T

TT

+

⋅−=

⋅−= [ 25]

p g h

r

RT



14

G = (G MT/RT2) = 6,67.10

-11 Nm

2/Kg

2·5,98.10

24 kg/(6378·10

3 m)

2 = 9,8 m/s

2

La energía potencial gravitatoria la calculamos usualmente mediante la expresión: Ep = mgh,

siendo h la altura respecto de la superficie de la Tierra. Aparentemente esta fórmula no tiene gran

parecido con las que hemos hallado anteriormente. Veamos que ambas fórmulas están relacionadas;

son de hecho equivalentes si consideramos g constante (h pequeña). Supongamos dos puntos que están

a alturas h1 y h2 respecto de la superficie de la Tierra. La diferencia de energía potencial entre ambos

puntos se calcula de la siguiente forma:

El movimiento de los planetas alrededor del Sol, o de un satélite alrededor de un planeta, se

explica mediante la interacción gravitatoria entre ambos cuerpos. Por tanto, todo el funcionamiento del

sistema solar y por extensión del Universo se explica mediante la interacción gravitatoria, que es la

dominante a gran escala.

Supongamos un cuerpo de gran masa M (Tierra) y otro de masa menor m (satélite) que gira en

torno del primero, describiendo una órbita que suponemos circular para simplificar. Si la M >> m el

centro de masas del sistema prácticamente coincide con la posición de M. Como ya sabemos el centro

de masas se mueve con velocidad constante, si no existen otras fuerzas exteriores, y podemos concluir

que un sistema de referencia ligado a M será inercial y podemos utilizar las leyes de Newton. En

adelante adoptamos como sistema de referencia el ligado al cuerpo M. El cuerpo m está sometido a la

fuerza gravitatoria atractiva, que actúa en la dirección radial y por tanto es una fuerza centrípeta:

Donde v es la velocidad orbital del satélite. Em es la energía mecánica del satélite en una órbita determinada.

La velocidad de fuga del satélite, vf, es la velocidad mínima necesaria para que, desde cierta

posición inicial, el satélite pueda escapar del campo gravitatorio terrestre y llegar hasta el infinito. En

el infinito la energía potencial es nula (r = ∞) y la energía cinética también porque calculamos la

velocidad mínima para llegar al infinito; si la velocidad fuese mayor que vf, en el infinito tendría una

velocidad diferente de cero.

1212122

T

T

2T1T

1T2TT

1T

T

2T

T

hgmhgm)hh(gm)hh(R

mMG

)hR)(hR(

)hRhR(mMG)

)hR(

mMG()

)hR(

mMG()1(Ep)2(Ep

⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅

≈

≈++

−−+⋅⋅⋅=

+

⋅⋅−−

+

⋅⋅−=−

[ 26]

r

GMv

r

v

r

GM)r

r

v(mr

r

GMmF

2

2

2

2g =⇒=⇒−=−

= [ 27]

r2

GMm

r

GMm

r2

GMm)

r

GMm(

2

mvEEE

2

pcm −=−=−

+=+= [ 28]



15

Es instructivo comprobar que las tres leyes de Kepler se deducen de la ley de Newton de la

gravitación universal. Veamos, por ejemplo, la segunda y la tercera:

La segunda es una consecuencia de la conservación del momento angular: Dado que la fuerza

gravitatoria es radial, su momento es nulo y por tanto el momento angular se conserva.

Se definen a continuación el momento de una fuerza F y el momento angular de la partícula sobre la

que se ejerce dicha fuerza:

Momento de la fuerza F: FrM ×= (producto vectorial)

Momento angular de la partícula: prl ×= , siendo p la cantidad de movimiento de la partícula.

Se cumple la siguiente relación entre M y l:

dt

ldM :Por tanto

dt

pdr0

dt

pdrpv

dt

pdrp

dt

rd

dt

)pr(d

dt

ld Pero

dt

pdrFrM

=

×+=×+×=×+×=×

=

×=×=

Pero M= r x F = 0, por tener ambos vectores la misma dirección y entonces l = constante.

Definimos la velocidad areolar del planeta como el área barrida por el vector r por unidad de tiempo dA/dt. En el tiempo dt se desplaza el planeta en dr. En el tiempo dt el área barrida por r es dA= (1/2) r x dr = (1/2) r x v dt y la velocidad areolar es:

Esto significa que la velocidad del planeta es mayor en el perihelio (distancia mínima al Sol) que en el

afelio (distancia máxima al Sol).

1

f

1

2

fmm

1

2

fm

2

m

r

GM2v)

r

GMm(

2

mv0)1(E)(E

)r

GMm(

2

mv)1(E

000)r

GMm(

2

mv)(E

=⇒−+=⇒=∞

−+=

=+=−

+=∞

[ 29]

r

GM2v f = [ 30]

constantem2

l

2

vr

dt

2

rdr

dt

AdVa ==

×=

×

== [ 31]

dr p a

r



16

En cuanto a la tercera ley de Kepler, ésta se deduce de la ecuación de movimiento y la expresión de la

velocidad orbital.

Características principales de los planetas del Sistema Solar.

Planeta Diámetro ecuatorial

Masa Radio

orbital(UA) Periodo orbital

(años)

Periodo de rotación

(días) Satélites naturales

Mercurio 0,382 0,06 0,38 0,241 58,6 0

Venus 0,949 0,82 0,72 0,615 243 0

Tierra* 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1

Marte 0,53 0,11 1,52 1,88 1,03 2

Júpiter 11,2 318 5,20 11,86 0,414 63

Saturno 9,41 95 9,54 29,46 0,426 60

Urano 3,98 14,6 19,22 84,01 0,718 27

Neptuno 3,81 17,2 30,06 164,79 0,671 13

Planetas enanos

La UAI creó en 2006 una nueva categoría para algunos cuerpos del Sistema Solar, la de los planetas

enanos, en la que fue incluido Plutón

Planeta enano Diámetro ecuatorial

Masa Radio orbital

(UA) Periodo orbital

(años)

Periodo de rotación

(días) Satélites

Ceres 0,075 0,000 158 2,767 4,603 0,3781 0

Plutón* 0,24 0,0017 39,5 248,5 6,5 3

Makemake ? ? 45,64 308 ? 0

Eris ~0,3 ? 67,709 557 ? 1

32

2

2

222

2

rMG

4T

r

MG

T

r4

r

MG)

T

r2(

r

MGv

⋅⋅

π=

⋅=

⋅π⇒

⋅=

⋅π

⋅=

[ 32]



17

PROBLEMAS FÍSICA . TEMA I: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

1) Calcula el trabajo necesario para extender un muelle una distancia de 5 cm, sabiendo que al colgar de este un objeto de 4 kg se estira 2 cm.

2) Un péndulo simple está formado por una esfera de 100 g de masa y un hilo de 40 cm de longitud. Separamos la esfera un ángulo de 45

0 de la vertical y la soltamos. Calcula la velocidad cuando

pase por la vertical y la que tendrá cuando el ángulo de separación sea de 300.

3) Un cuerpo de 50 kg es arrastrado tirando de él mediante una cuerda que forma 150 con la rampa de un plano inclinado de 30

0. Subimos el objeto 10 m con velocidad constante. El coeficiente de

rozamiento es µ = 0,4. Halla el trabajo realizado por: A) El rozamiento. B) La reacción normal de

la rampa. C) La fuerza ejercida a través de la cuerda. D) Por el peso.

4) Dos partículas puntuales, de 100 g de masa, se encuentran fijas en los puntos (3,0) m y (-3,0) m. Calcula: a) el campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas,

cuya ordenada es 5 m; b) velocidad de una tercera masa puntual de 20 g, inicialmente en reposo en

el punto (0,5) m, cuando pase por el origen.

5) Una masa puntual m1 = 8 kg está situada en el punto (0,0). Calcula: a) el punto del eje OY en el que habría que colocar otra masa puntual m2 = 6 kg para que otra partícula de 2 kg, se encuentre en

equilibrio en el punto (0,2) m; b) la energía potencial gravitatoria de la partícula; c) el vector

intensidad del campo gravitatorio en el punto (2,4) m.

6) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 4000 m/s. a) calcula la altura máxima que alcanzará; b) repite el cálculo despreciando la variación

de g con la altura y comparar el resultado con el obtenido en el apartado a.

7) Calcula: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie de la tierra hasta una altura igual a dos radios terrestres; b) la velocidad con que habría que lanzarlo

para que alcanzara dicha altura.

8) Un satélite se encuentra en una órbita geoestacionaria (está siempre sobre el mismo punto de la superficie de la Tierra). Calcula: a) la velocidad del satélite; b) el radio de la órbita.

9) Un objeto, que pesa 700 N en la superficie de la Tierra, se encuentra en la superficie de un planeta, cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la tierra. Calcula: a) el peso del

objeto en dicho lugar; b) el tiempo de caída desde una altura de 20 m sobre la superficie del

planeta.

10) El radio de la órbita lunar es de 384403 km y el período de rotación alrededor de la Tierra es de 27 d 7 h 43 m. Calcula con estos datos la masa de Tierra.

11) El muelle de una escopeta tiene una constante de recuperación K = 300 N/m. Se comprime 2 cm y se coloca en el extremo una pelota de 30 g. Calcula la velocidad con la que sale la pelota de la

escopeta, si actúa sobre ella una fuerza de rozamiento de 1 N mientras se desplaza por el cañón. En

su posición normal el muelle llega justo al extremo del cañón.

12) Un bloque de 30 kg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal. Atamos una cuerda a este cuerpo por un extremo, y por el otro, después de pasar por una polea, atamos un objeto de 20 kg

que pende libremente. Calcula la velocidad de ambos cuerpos cuando el que desciende



18

verticalmente baja 2 m. Aplica el teorema de conservación de la energía.

13) Un ascensor de 500 kg de masa sube, con movimiento uniformemente acelerado, hasta alcanzar la velocidad de 3 m/s a los 2 metros de subida, continuando después con velocidad constante.

Calcula el trabajo realizado por los motores del ascensor cuando suba una altura total de 20 m.

14) Lanzamos un objeto de 3 kg de masa hacia arriba por un plano inclinado de 600 y con una velocidad inicial de 10 m/s. El coeficiente de rozamiento entre el objeto y el plano es de µ = 0,3.

Calcula el espacio que recorre por el plano hasta pararse, utilizando el teorema de las fuerzas vivas.

15) Sobre una partícula actúa una fuerza F = 2yi -xj. La partícula se mueve desde el origen hasta el punto (4,2). Calcula el trabajo realizado sobre ella si se mueve: A) A lo largo de la recta que une

ambos puntos. B) Si la trayectoria es desde el origen hasta el punto (4,0) sobre el eje X, y desde

aquí al punto (4,2) sobre el eje Y. ¿Es conservativa la fuerza?

16) Sobre una partícula actúa una fuerza F = 2xy i+ x2 j N. Calcula el trabajo realizado al desplazar la partícula desde el punto (0,0) al (2,4) m: a) a lo largo del eje X desde (0,0) al (2,0) y paralelamente

el eje Y desde (2,0) al (2,4); b) a lo largo del eje Y desde (0,0) al (0,4) y paralelamente al eje X

desde (0,4) al (2,4); c) a lo largo de la recta que une los dos puntos (0,0) y (2,4).

17) Un bloque de 5 kg se desplaza por una superficie horizontal lisa, con una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masa despreciable y constante elástica 800 N/m, en equilibrio y con el otro

extremo fijo. Calcula: a) ¿cuánto se comprime el resorte?; b)¿desde qué altura debería caer el

objeto para producir la misma compresión?

18) Un proyectil de 0,01 kg, con velocidad de 40 m/s en dirección horizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg, suspendido de un punto fijo, mediante una cuerda de 1m de longitud. Calcula: a) la altura

a la que asciende el bloque tras el impacto; b) velocidad mínima de la bala para que el bloque

describiera una circunferencia vertical completa.

19) Un bloque de 4 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 300, con una velocidad inicial de 10 m/s. Si el bloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s, calcula: a) el

coeficiente de rozamiento con el plano; b) deformación máxima de un resorte de constante elástica

100 N/m, colocado en dicho punto de partida, al volver el bloque.

20) Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal unido a uno de los extremos de un resorte de constante elástica k = 100 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Se tira del

bloque con una fuerza de 150 N, en una dirección que forma 300 con la horizontal hasta desplazar

el bloque 0,5 m. Si el coeficiente de rozamiento es µ = 0,2 calcula: A) el trabajo de la fuerza de

rozamiento; B) la velocidad y aceleración del bloque en ese instante.

21) El Apolo VIII estuvo describiendo una órbita circular a 113 km de la superficie lunar. Calcula: A) el periodo de revolución del Apolo VIII. B) la velocidad angular y lineal del mismo. C) la

velocidad de escape de la gravedad lunar desde esa órbita.

22) Calcula los valores de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra a las 12 h y a las 24 h, horario solar. ¿Cuál es tu peso en esos dos instantes? Datos: MS = 1,991·10

30 kg. MT =

5,98·1024 kg. Distancia media Sol-Tierra = 1,49 ·10

11 m. RT = 6378 km.

23) Una estrella de neutrones tiene una masa de 2·1030 kg y un radio de 10 km. Calcula: a) La aceleración de la gravedad y la velocidad de fuga en la superficie de la estrella.



19

b) La energía que debe tener un objeto de masa 20 kg para describir una órbita de 30 km de radio.

TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA. SELECTIVIDAD

CUESTIONES.

1. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) ¿Qué ocurriría en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape?

2. a) Escriba la ley de Gravitación Universal y explique su significado físico. b) Según la ley de Gravitación, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste. ¿Por qué no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?

3. Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol que B.

a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de las energías cinética y potencial en A y en B.

b) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad? ¿Y el de la aceleración?

4. Se suele decir que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h viene dada por Ep = mgh.

a) ¿Es correcta esta afirmación? ¿Por qué? b) ¿En qué condiciones es válida dicha fórmula?

5. a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía potencial? En caso afirmativo, explique el significado físico.

b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética de una partícula es igual a la disminución de su energía potencial? Justifique la respuesta.

6. En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g, representado en la figura por sus líneas de campo.

a) Razone el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B, y desde el B al C.

b) Analice las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio terrestre.

7. Razone las respuestas a las siguientes preguntas: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se

encuentra a una distancia infinita de la Tierra?

A

d

d

B C g



20

b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? ¿Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?

8. Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética;

b) La energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial.

9. Una partícula se mueve bajo la acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece.

a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento. b) Describa la variación de energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula durante ese movimiento.

10. a) Defina los términos “fuerza conservativa” y “energía potencial” y explique la relación entre ambos.

b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de conservación de

la energía mecánica de esa partícula? ¿Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la

fuerza no conservativa? Razone las respuestas.

11. Comente las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) Existe una función energía potencial asociada a cualquier fuerza. b) El trabajo de una fuerza conservativa sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une.

12. Dos satélites idénticos A y B describen órbitas circulares de diferente radio (RA > RB) alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía cinética?; b) si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (RA = RB) y tuviesen distinta masa (mA < mB), ¿cuál de los dos se movería con mayor velocidad?; ¿cuál de ellos tendría más energía

cinética?

13. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento? b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos puntos?

14. Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme: a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha

fuerza? Razone las respuestas.

b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para un desplazamiento “d” en ambos casos. ¿En qué se invierte dicho trabajo?

15. a) Explique las relaciones que existen entre trabajo, variación de energía cinética y variación de energía potencial de una partícula que se desplaza bajo la acción de varias fuerzas. ¿Qué

indicaría el hecho de que la energía mecánica de la partícula no se conserve?



21

b) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Puede ser negativa su energía potencial en un punto? Razone las respuestas.

16. Comente cada una de las afirmaciones siguientes y razone si son ciertas o falsas: a) El trabajo de una fuerza conservativa aumenta la energía cinética de la partícula y disminuye su energía potencial.

b) El trabajo de una fuerza no conservativa aumenta la energía potencial de la partícula y disminuye su energía mecánica.

17. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M.

a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es menor que en el punto A, razone si la partícula se acerca o se aleja de M.

b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo

una trayectoria no rectilínea?

18. Haga un análisis crítico de cada una de las siguientes afirmaciones, definiendo los conceptos físicos relacionados con ellas y justificando su carácter de verdadera o falsa.

a) La energía potencial de una partícula depende exclusivamente de su posición; su expresión viene dada por Ep = mgh.

b) Siempre que una partícula se encuentre sometida a la acción de una fuerza es posible expresar la variación de energía en términos de la variación de energía potencial.

19. Se desea colocar un satélite en una órbita circular, a una cierta altura sobre la Tierra. a) Explique las variaciones energéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación orbital.

b) ¿Influye la masa del satélite en su velocidad orbital?

20. a) ¿Qué se entiende por fuerza conservativa?, ¿Y por energía potencial? Indique algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas.

b) ¿Puede un mismo cuerpo tener más de una forma de energía potencial? Razone la respuesta aportando algunos ejemplos.

21. Una masa m se mueve en el campo gravitatorio producido por otra masa M. a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial cuando se acercan las dos partículas? b) Si inicialmente m estaba a una distancia r de M y se traslada hasta una distancia 2r, explique las variaciones de sus energías cinética y potencial.

22. a) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h suele escribirse como Ep = mgh. Comente el significado y los límites de validez de dicha

expresión.

b) ¿Por qué la energía potencial gravitatoria de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol?

23. Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justificando su carácter de verdadero o falso:

a) El campo gravitatorio es conservativo y por tanto existe un potencial asociado a él. b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si lo hace a través de la recta que une dichos puntos, ya que es el camino



22

más corto.

24. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento? b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto a o la variación de la energía potencial entre dos puntos?

25. a) Conservación de la energía mecánica. b) Un cuerpo desliza hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Razone qué trabajo realiza la fuerza peso al desplazarse el cuerpo una distancia d

sobre el plano.

PROBLEMAS. 1. Un satélite describe una órbita en torno a la Tierra con un período de revolución igual al terrestre.

a) Explique cuántas órbitas son posibles y calcule su radio. b) Determine la relación entre la velocidad de escape en un punto de la superficie terrestre y la velocidad orbital del satélite.

Datos: G, gT, RT.

2. Un muelle de constante elástica 250 N m-1, horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg, situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle.

a) Explique las variaciones de energía del muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle. b) Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle.

3. Si con un cañón lo suficientemente potente se lanzara desde la Tierra hacia la Luna un proyectil, a) ¿En qué punto de su trayectoria hacia la Luna la aceleración del proyectil sería nula? b) ¿Qué velocidad mínima inicial debería poseer para llegar a ese punto? ¿Cómo se movería a partir de esa posición?

Datos: G, MT, ML, dT-L, RT, RL.

4. Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano inclinado 30º con 10 m s-1 de velocidad inicial. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida.

b) ¿Cómo variaría la longitud recorrida si se duplica la velocidad inicial? ¿Y si se duplica el ángulo del plano?

Dato g.

5. La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie

lunar.

a) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. b) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a la superficie.

Dato: gT.

6. Un satélite describe una órbita circular de radio 2RT en torno a la Tierra. a) Determine su velocidad orbital. b) Si el satélite pesa 5000 N en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso en la órbita? Explique



23

las fuerzas que actúan sobre el satélite.

Datos: G, MT, RT

7. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s-1 por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N m

-1, fijo por el otro

extremo.

a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxima compresión del resorte.

b) Discuta en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento.

8. a) Explique la influencia que tienen la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha

superficie.

b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruplo, ¿cuál sería el nuevo valor de g?; ¿y el nuevo período de la Luna?

Datos: G, MT, dT-L, RT.

9. Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética.

a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razone las

respuestas.

Datos: G, MT, RT.

10. Un satélite artificial en órbita geoestacionaria es aquél que, al girar con la misma velocidad angular de rotación que la Tierra, se mantiene sobre la misma vertical.

a) Explique las características de esa órbita y calcule su altura respecto a la superficie de la Tierra.

b) Razone qué valores obtendría para la masa y el peso de un cuerpo situado en dicho satélite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20 kg.

Datos: G, MT, RT.

11. Un satélite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 12800 km de radio.

a) Explique las variaciones de energía cinética y potencial del satélite desde su lanzamiento en la superficie terrestre hasta que alcanzó su órbita y calcule el trabajo realizado.

b) ¿Qué variación ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre?

Datos: G, MT, RT.

12. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x1 hasta otro punto x2, realizando un trabajo de 50 J.

a) Determine la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial de la partícula es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?

b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?, ¿Cuál será la variación de su energía mecánica?

13. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10



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m s-1 e incide sobre el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica k =

400 N m-1, colocado horizontalmente.

a) Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde un instante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud

inicial. ¿Cómo se modificaría el balance energético anterior si existiera rozamiento entre el

bloque y la superficie?

b) Calcula la compresión máxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del resorte, en el supuesto inicial de que no hay rozamiento.

14. Un cuerpo de 0,5 kg se encuentra inicialmente en reposo a una altura de 1 m por encima del extremo libre de un resorte vertical cuyo extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre

el resorte y, después de comprimirlo vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y una

constante elástica k = 200 N m-1.

a) Haga un análisis energético del problema y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al punto de partida.

b) Calcule la máxima compresión que experimenta el resorte. Dato g.

15. Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se le aplica a una fuerza de 10 N, paralela a la superficie.

a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique el balance trabajo-energía en un desplazamiento del bloque de 0,5 m.

b) Dibuje en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se aplica fuera de 30 N en una dirección que forma 60

º con la horizontal, e indique el valor de cada

fuerza. Determine la variación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m.

Dato g.

16. Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba, por una rampa rugosa (µ = 0,2) que forma un ángulo de 30º con la horizontal, con una velocidad de 6 m s

-1. Tras su ascenso por la rampa, el bloque

desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 4,2 m s-1.

a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando asciende por la rampa y, en otro esquema, las que actúan cuando desciende e indique el valor de cada fuerza. ¿Se

verifica el principio de conservación de la energía mecánica en el proceso descrito? Razone

la respuesta.

b) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento en el ascenso del bloque y comente el signo del resultado obtenido.

Dato g.

17. Se eleva un cuerpo de 200 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura de 5000 km. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule el trabajo mínimo necesario.

b) Si, por error, hubiéramos supuesto que el campo gravitatorio es uniforme y de valor igual al que tiene en la superficie de la Tierra, razone si el valor del trabajo sería mayor, igual o

menor que el calculado en el apartado a). Justifique si es correcta dicha suposición.

Datos: G, MT, RT.

18. Un satélite se encuentra a una altura de 600 km sobre la superficie de la Tierra, describiendo una órbita circular.

a) Calcule el tiempo que tardará en dar una vuelta completa, razonando la estrategia seguida para dicho cálculo.

b) Si la velocidad orbital disminuyera, explique si el satélite se acercaría o se alejaría de la



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Tierra, e indique qué variaciones experimentarían la energía potencial, la energía cinética y

la energía mecánica del satélite.

Datos: G, MT, RT.

19. Un satélite describe una órbita circular en torno a la Tierra de radio doble que el terrestre. a) Determine la velocidad del satélite y su período de rotación. b) Explique cómo variarían las magnitudes determinadas en a) en los siguientes casos: i) si la masa del satélite fuese doble; ii) si orbitase en torno a un planeta de masa la mitad y radio

igual a los de la Tierra.

Datos: G, MT, RT.

20. Dos partículas de masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2) m y P2(1,0) m, respectivamente.

a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O(0,0) m y en el punto P(1,2) m y calcule el campo gravitatorio total en el punto P.

b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al punto P.

Dato: G.

21. Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja caer libremente.

a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad

del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre.

b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?

Datos: G, MT, RT.

22. Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por la ladera de una colina de 30º de inclinación respecto a la horizontal

a) Haga un análisis energético del desplazamiento del trineo suponiendo que no existe rozamiento y determine, para un desplazamiento de 20 m, la variación de sus energías

cinética, potencial y mecánica, así como el trabajo realizado por el campo gravitatorio

terrestre.

b) Explique, sin necesidad de cálculos, cuáles de los resultados del apartado a) se modificarían y cuáles no, si existiera rozamiento.

Dato g.

23. Un bloque de 5 kg desliza sobre una superficie horizontal. Cuando su velocidad es de 5 m s-1 choca contra un resorte de masa despreciable y de constante elástica k = 2500 N m

-1. El

coeficiente de rozamiento bloque-superficie es 0,2.

a) Haga un análisis energético del problema. b) Calcule la longitud que se comprime el resorte y la distancia que recorrerá el bloque cuando es nuevamente despedido por el resorte, medida desde la posición de equilibrio de éste.

Dato g.

24. Un cuerpo de 300 kg situado a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre, cae hacia el planeta.

a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule con qué velocidad llega a la superficie, suponiendo que el cuerpo partió del reposo.

b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe estar el cuerpo para que su peso se reduzca a



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la cuarta parte de su valor en la superficie?.

Datos: G, MT, RT.

25. Un bloque de 0,2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Tras recorrer 2 m, queda unido al extremo de un resorte, de

constante elástica k = 200 N m-1, paralelo al plano y fijo por el otro extremo. El coeficiente de

rozamiento del bloque con el plano es 0,2.

a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando comienza el descenso e indique el valor de cada una de ellas. ¿Con qué aceleración desciende el bloque?

b) Explique los cambios de energía del bloque desde que se inicia el descenso hasta que comprime el muelle y calcule la máxima compresión de este.

26. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna, suponiendo que su radio orbital permaneciera constante.

b) Si además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre?

27. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg de masa, se encuentra en una órbita circular de radio 3 RT.

a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie de la Tierra.

b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria.

g = 9,8 m s-2 ; G = 6,67·10

-11 N m

2 kg

-2 ; MT = 5,97·10

24 kg ; RT = 6378 km ; ML = 7·10

22 kg ; RL =

1600 km ; dT-L = 3,8·108 m

Interacción gravitatoria TEMA I : INTERACCIÓN GRAVITATORIA · Interacción gravitatoria Luis...

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