LOS POLÍGONOS

CONCEPTO: ¿Qué son los Polígonos? a) Los Polígonos son Figuras Geométricas formadas por segmentos rectos,

a los cuales llamamos lados.b) Los Polígonos están formados por líneas quebradas cerradas, las cuales

cumplen las siguientes condiciones:1) Cada par de segmentos del polígono se intercepta sólo en un punto y2) Ningún par de segmentos consecutivos pueden ser colineales

Segmentos Colineales: ¿Qué son?:________________________________________________________________________________________________________________________

EJERCICIO: Dadas las siguientes figuras: a) Identifique las que sean polígonos y las que no lo son y b) Y en caso que no lo sean, Explique por qué no lo son.

º

Las Figuras: a), b), c), d), e), i): son Polígonos. Sin embargo:Las Figuras: f), g), h): no son Polígonos

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO: Lados, Vértices, Diagonales, Ángulos, Apotema

LADOS : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

VÉRTICES : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

¿Cuáles son los lados del Polígono?

LOS LADOS: Son los segmentos que componen el polígono.Lados Adyacentes: (consecutivos)Son las parejas de lados que tienen un extremo común. Ejemplos:

Son Adyacentes AB y BC: El Extremo Común es B

LOS VÉRTICES: Son los extremos de los segmentos.Vértices Adyacentes: (consecutivos)Son los vértices consecutivos. Ejemplos:

A y B: son Vértices adyacentes

¿Cuáles son los Vértices del Polígono?

a) b) c) d) e)

f) g)h)

i)

A

B

C

DE

A

B

C

DE

.

DIAGONALES : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

CONVEXOS Y CÓNCAVOS:Polígonos Convexos: Un polígono es convexo cuando está formada por una Línea Quebrada Convexa. Y ya sabemos como probarla.Polígonos Cóncavos: Un polígono es cóncavo cuando no es convexo.

Ejercicio: Dadas las siguientes figuras probar cuáles son cóncavas y cuáles son convexas

En nuestro estudio nos limitaremos al estudio de Polígonos Convexos.

POR EL NÚMERO DE LADOS: los Polígonos se clasifican en:

POLÍGONOS REGULARES e IRREGULARES:Polígonos Equiláteros: Un Polígono es equilátero: cuando todos sus lados son iguales.Polígonos Equiángulo: Un Polígono es equiángulo: cuando todos sus ángulos son iguales.

¿Cuáles son las Diagonales del Polígono?

LAS DIAGONALES : Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos:Ejercicio: Trace todas las diagonales del Polígono de la figura, y Nómbrelas

a) b) c) d) e)

N0 de Lados Nombre del Polígono Dibujo3 Triángulo4 Cuadrilátero5 Pentágono6 Hexágono7 Heptágono8 Octágono9 Eneágono (Nonágono)

10 Decágono11 Endecágono12 Dodecágono13 Polígono de 13 lados14

Convexos Y Cóncavos Por el Número de Lados Regulares e Irregulares Inscritos y Circunscritos Estrellados

A

B

C

DE

Polígonos Regulares: Un Polígono es Regular, cuando es equilátero y Equiángulo.Polígonos Irregulares: Un Polígono es irregular, cuando todos sus lados no son iguales.Ejercicio: Sea ABCDEF un Polígono Regular. Plantee la relación entre sus lados y entre sus ángulos

En este curso sólo trabajaremos con polígonos regulares: para operaciones con Ángulos y Cálculo de Áreas. Pero para cálculo de perímetro trabajaremos tanto con Polígonos Regulares como Irregulares. Retomemos el tema de Las Diagonales. Es que estas son de tanta utilidad en Los Polígonos.DIAGONALES DESDE UN VÉRTICE [ d ]¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un Polígono?Actividad: 1) Trace las Diagonales desde el vértice A de los siguientes Polígonos, luego 2) Induzca La Fórmula General para calcularlas.

3) ¿Puedes inducir la fórmula? ¿Está relacionada con n?

DIAGONALES TOTALES [ D ]Actividad: Tome un Pentágono y trácele todas sus diagonales. Entonces: Razone:

El total de diagonales que se le podrá trazar: ¿será n veces (n-3)? ________ ¿O habrá que dividir, además? __________________________________

Complete: Entonces desde un vértice se trazan ____________ diagonales. Luego desde los n Vértices del Polígono ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar?

EJERCICIOS:

d=

D=

A

B C

D

EF

A

B

C

DE

A

B C

D

EF

A B

CD

Tiene 4 lados y se le pueden trazar ____ diagonales desde un Vértice Tiene 5 lados y se le pueden

trazar ____ diagonales desde un Vértice

Tiene 6 lados y se le pueden trazar ____ diagonales desde un Vértice

A

B

C

DE

1. En un Dodecágono Calcule a) el número de diagonales que pueden trazarse desde uno de sus vértices y b) Todas las diagonales que pueden ser trazadas.

2. En un Cuadrilátero Calcule a) el número de diagonales que pueden trazarse desde uno de sus vértices y b) Todas las diagonales que pueden ser trazadas.

3. En un Polígono de 50 lados Calcule a) el número de diagonales que pueden trazarse desde uno de sus vértices y b) Todas las diagonales que pueden ser trazadas.

ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS

SUMATORIA DE LOS ANGULOS INTERIORES:( Si )Hay un teorema que establece que:

TEOREMA:La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 1800.

Angulo Interior: Es todo ángulo formado por la intersección de dos lados del polígono, y que sus puntos pertenecen al interior del polígono.O más simplemente: son aquellos ángulos que se forman en el interior del polígono.Estrategia para determinarla: Descomponemos el polígono en triángulos, trazando todas sus diagonales desde un vértice cualquiera.En efecto quedará dividido en (n-2) triángulos. ¡Compruébalo!Inducción de la formula: Podemos inducir que la sumatoria de los ángulos interiores de un polígono cualquiera está dada por la fórmula:

La Medida de un Ángulo Interior: ( i )Como estamos trabajando con polígonos regulares, todos sus ángulos interiores tendrán la misma medida, entonces podemos plantear que:

Ejercicios:

Ángulos Interiores Sumatoria de los Ángulos Interiores La Medida de un Angulo Interior Ángulos Exteriores Sumatoria de los Ángulos Exteriores La Medida de un Angulo Exterior Ángulos Centrales Sumatoria de los Ángulos Centrales La Medida de un Angulo Central

Si = (n-2) 1800

Sea ABC un triángulo cualquiera. Entonces:

A

B

C

En que:

n: Número de lados del Polígono

En que:

Si: la Sumatoria de los ángulos interiores

n: Número de lados del Polígono

A

B

C

DE

1. Calcula cuánto suman los ángulos interiores de un Pentágono.2. Calcular cuánto mide un ángulo interior de un Pentágono.

SUMATORIA DE LOS ANGULOS EXTERIORES:( Se )Angulo Exterior: Es un ángulo adyacente a uno de los ángulos interiores del Polígono.Un teorema establece:TEOREMA: La suma de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera es igual a 3600. Luego:

Sumatoria de Los Ángulos Exteriores:( Se )La Sumatoria de todos los ángulos exteriores de un polígono es igual a 3600. O sea:

La Medida de un Ángulo Exterior: ( e )Como estamos trabajando con polígonos regulares, todos sus ángulos exteriores tendrán la misma medida, luego podemos plantear que:

Ejercicios: 1. Calcular cuánto mide un ángulo exterior de un Pentágono.2. Calcular cuánto mide un ángulo exterior de un endecágono

SUMATORIA DE LOS ANGULOS CENTRALES:( Sc )Angulo Central: Es un ángulo cuyo vértice es el Centro de un Polígono Regular y sus Lados pasan por 2 vértices consecutivos del polígono.

Hay un teorema que establece:TEOREMA: La suma de los ángulos alrededor de un punto es igual a 3600. Luego:Sumatoria de Los Ángulos Centrales:( Sc )La Sumatoria de todos los ángulos centrales de un polígono es igual a 3600. O sea:

La Medida de un Ángulo Central: ( c )Como estamos trabajando con polígonos regulares, todos sus ángulos centrales tendrán la misma medida, entonces podemos plantear que:

CENTRO DE EXCELENCIA MELBA BÁEZ DE ERAZO

Se = 3600

Sc = 3600

En que:

Se: la Sumatoria de los ángulos exteriores

n: Número de lados del Polígono

En que:n: Número de lados del Polígono

A

B

C

DE

PRÁCTICA – Tutoría Matemática 4/4/2013

1. Calcule la suma de los ángulos interiores de un Heptágono

2. Determine el valor de un ángulo interior de un Heptágono

3. Cuánto mide un ángulo exterior de un Heptágono

4. Determine la medida de un ángulo Central de un Heptágono

5. Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un:Heptágono

6. ¿Cuántas Diagonales podemos trazar desde un Dodecágono?

Diagonales Desde un Vértice:

Diagonales Totales

Ángulos Interiores

Sumatoria de Ángulos Interiores

La Medida de un Angulo Interior

Ángulos exteriores

Sumatoria de Ángulos Exteriores

La Medida de un Angulo Exterior

Ángulos Centrales

Sumatoria de Ángulos Centrales

La Medida de un Angulo Central

d = ( n - 3 ) En que:d : el número de diagonales desde un Vértice n : el número lados del Polígono

En que:D : el número total De Diagonales n : el número lados del Polígono

Si = (n-2) 1800En que:Si : es La Sumatoria de Los Ángulos Interiores del Polígono n : el número lados del Polígono

En que: i : es La Medida de Un Angulo Interior Si : es La Sumatoria de Los Ángulos Interiores del Polígonon : el número lados del Polígono

Se = 3600En que:Se : es La Sumatoria de Los Ángulos Exteriores del Polígono

En que:e : es La Medida de Un Angulo Exterior n : el número lados del Polígono

Sc = 3600En que:Sc : es La Sumatoria de Los Ángulos centrales del Polígono

En que:c : es La Medida de Un Angulo Exterior n : el número lados del Polígono

LOS POLÍGONOS: Resumen de Fórmulas