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Trigonometría 2012

LA TRIGONOMETRÍA

Origen de la palabra TRIGONOMETRÍAProviene de los vocablos griegos "trigonos" (triángulos) y "metría" (medición). Que significa “medición de triángulos”.Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.Tiene amplia aplicación en física, química, ingeniería y astronomía, para medir enormes distancias. El estudio de trigonometría involucra el concepto de plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Un sistema de coordenadas o cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

Matemática 11. Mgter Alexis Guizado Méndez 9 Página 1

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El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas .

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por P(x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto .

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto .

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Signos

Conceptos básicosMatemática 11. Mgter Alexis Guizado Méndez 9 Página 2

0º o 360º180º

270º

90º

Abscisa Ordenada1er cuadrante + +2º cuadrante − +3er cuadrante − −4º cuadrante + −

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Ángulo: Formado por dos rayos que tiene un punto en común llamado vértice. Los dos rayos que forman el ángulo se llaman lados uno inicial y el otro terminal. Lado terminal

Lado inicial

Los ángulos (trigonométricos) se clasifican a su vez en:Ángulo positivo: Es aquel que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Ejemplos: 90º, 45º, 120º, 245º, 300ºÁngulo negativo: Es aquel que tiene rotación en sentido a las manecillas del reloj.

Ejemplos: -45º, -280º, -300º, -580º

Ángulo en su posición normal: un ángulo está en su posición normal, si su vértice coincide con el origen y el lado inicial con el eje de las X positivo. Y su lado terminal en cualquier posición del sistema de coordenadas rectangulares.

Ángulos cuadrantes: son aquellos que su lado terminal coincide con uno de los ejes.Ejemplo: 90º, 180º, 270º y 360º, 450º

Ángulos de referencia o relacionado:Es aquel ángulo positivo que se forma solamente y exclusivamente con el eje de las X.Dependiendo del cuadrante se puede utilizar lo siguiente:Q1 : θR=θ Q3 : θR=θ−180Q2 :θR=180−θ Q4 :θR=360−θEjemplos: Halle el ángulo relacionado de: 330º, 225º, 150º,, -300º


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Ángulos Coterminales: Son aquellos que colocados en su posición normal tienen el mismo lado terminal: Ejemplos: 450º con _______ -900º con _____

MEDICÍON DE ÁNGULOS


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Para medir ángulos se utilizan varios sistemas, los más conocidos son El sistema sexagesimal y el circular. Para esto es necesario conocer la rotación del ángulo, que anteriormente se había mencionado tomando en cuenta las manecillas del reloj.

SISTEMA SEXAGESIMAL: Su unidad de medida es el grado que corresponde a 1 de 360 partes. El grado se divide a su vez en 60 minutos y este en 60 segundos.

90º = 89º 59´60”SISTEMA CIRCULAR: Su unidad de medida es el radián. El radián es un ángulo central que tiene como laso 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio del a circunferencia que pertenece. C = 2πr

Revoluciones por minutos: Es la cantidad de vueltas que gira un ángulo en la circunferencia. 1 revolución = 2π

RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS EN GRADOS Y RADIANES.

1º = π180 radianes 1 radián = 180π

1 rad = 57º 17´45” = 57,2958 aprox

Un ángulo recto tienes 90º o π2

Consigna de AprendizajeMatemática 11. Mgter Alexis Guizado Méndez 9 Página 5

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I PARTE: Construya los ángulos dados señalando su lado inicial y su lado terminal o final e indique con una fecha el sentido de rotación.

45º, -135º, 405º, -300º, 120º, -420º, 780º

II PARTE: Señale en qué cuadrante se encuentra el lado final de cada ángulo en su posición normal. (Haga la gráfica) y encuentre un ángulo coterminal.

76º, 265º, 719º, 810º, -300º, -901º, 1926º

III PARTE. Encuentra el ángulo relacionado de:

125º, 250º, 310º, 150º, 430º, -405º, -120º, -620º.

IV PARTE: Exprese en radianes los siguientes ángulos dados en grados.

40º 465º

18º 135º

42º 144º

45º 216º

84º 378º

V PARTE: EXPRESEN GRADOS LOS SIGUENTES ÁNGOLOS DADOS EN RADIANES.

π6

π4

π9

2π5

5π9

5π6

7π20

π36

5π36

17π30

RELACIÓN ENTRE LA ABSCISA, ORDENADA Y RADIO VECTOR.


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Dado un punto P(x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares se puede obtener el valor del a abscisa, ordenada y el radio vector. Es importante tomar encuentra que la abscisa y ordenada dependen del cuadrante donde esté ubicado el radio vector y el radio vector siempre es positivo.

r = radio vector y = ordenada x = abscisa

r y

x

Por construcción, el triángulo formado es rectángulo, por lo que se aplica el teorema de PITÁGORAS

TEOREMA:

EN UN TRIÁNGULO RECTANGULO, EL CUADRADO DE LA LONGITUD DE LA HIPOTENUSA(r) ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADO DE LAS LONGITUDES DE LOS CATETOS( x, Y).

r2=x2+ y2,

De la ecuación anterior, despejando, se concluye que:

r=√x2+ y2

x=√r2− y2

y=√r2−x2

Ejemplo: Hallar el valor faltante x = -10, r = 15, el punto P está en el tercer cuadrante.

Ejemplo : Encuentre el número faltante. Trace el punto. Y = 6 y r = √85 . P está en Q2.


A

B

CDO

RA

RB

Y AY B

X A

X B

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POR SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Cuando se dan las coordenadas en uno de los puntos se aplica la semejanza de triángulos. Como los triángulos AOD y BOE son triángulos rectángulos entonces son semejantes. Por el principio que establece que dos triángulos son semejantes cuando tienen un par de ángulos congruentes (igual medida) y se establece que:

X AX B

=Y AY B

=RARB

EJEMPLO: Las coordenadas de A son (6,8); la abscisa de B es -12. Encuentre la ordenada de B el radio vector de A y de B. tome en cuenta que A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Use la semejanza de triángulos.


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EJEMPLO: La abscisa de A es 1,6; el radio vector de A es 3,4; el radio vector de B es 1,7. Encuentre las coordenadas de B. Los puntos A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Use la semejanza de triángulos.

Soluciones: B(0,8; 1,5), B(-0,8; 1,5), B(-0,8;-1,5), B(0,8; -1,5)


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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASSon seis razones trigonométricas que se pueden dar de un ángulo en su posición normal.

A continuación se definen las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo

Las razones inversas del seno, coseno y tangente se denominan cosecante, secante y cotangente respectivamente.

Por lo tanto:


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SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Dependiendo en que cuadrante esté la abscisa, la ordenada y el radio vector se puede obtener el signo de las funciones trigonométricas y con un análisis, obtenemos que:

Ejemplos:

El lado final de un ángulo contiene el punto P(-5,-12). Determine el valor de las funciones trigonométricas.

La ordenada de un punto en le lado terminal es -1, el radio vector 2,6. P en Q4. Constrúyase el ángulo en su posición normal y encuentre las demás funciones trigonométricas.

Construya el ángulo en su posición normal y encuentre las demás funciones trigonométricas, sabiendo que:

cotθ= 43,θ esta enQ3

tanθ= 724,


I II III IV

seno + + - -coseno + - - +tangente + - + -cotangente + - + -secante + - - +cosecante + + - -

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CONSIGNA DE APRENDIZAJE

I PARTE: Encuentre en valor faltante, trace el punto. El ángulo está en su posición normal.

x = -8 , y = 15 x = -5, y = -12

y = -7, r = √74 P en Q4 x = -6, r = √100 P en Q3

II PARTE: Utilizando la semejanza de triángulos, teorema de Pitágoras y tomando en cuenta que los puntos A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Determine los valores que se le indique. Trace el punto.

1. Las coordenadas de A son (5, -12), la ordenada de B es -6. Encuentre la Abscisa de B, radio vector de A y de B.

2. Las coordenadas de A son (-8, 15, la abscisa de B es -4. Encuentre la ordenada de B, radio vector de A y de B.

3. La ordenada de A es 8 y el radio vector de A es 10, la abscisa de B es -1,5. Encuentre la ordenada de B y el radio vector de B.

4. La abscisa de A es -1, su radio vector es 2,6. La abscisa de B es 2,5. Encuentre la ordenada y radio vector de B.

5. La ordenada de A es -16, el radio vector es 20. El radio vector de B es 1. Encuentre las coordenadas de B.

III PARTE: Construya el ángulo en su posición normal y calcule el valor de las funciones trigonométricas.

1. El punto (12,5) está en el lado terminal.2. El punto (-4,- 3) está en el lado terminal.3. La ordenada de un punto en el lado terminal es 8 y el radio vector es 17, P en Q2.4. La abscisa de un punto en el lado terminal es -3, el radio vector es 3,4. P en Q3

5. La ordenada de un punto es √3 veces la abscisa y ambas son negativas.6. El radio vector de un punto es el doble de la abscisa y P esta en Q4

IV PARTE: Construya el ángulo en su posición normal y encuentre el valor de las demás funciones trigonométricas.

1. cosθ=¿−1213PenQ 2¿

2. senθ=¿− 725PenQ4 ¿

3. tanθ=¿ 815PenQ2¿

4. secθ=¿√5PenQ1 ¿

5. csc θ=¿−132PenQ3 ¿


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6. secθ=¿− 5√29

PenQ2 ¿

7. tanθ=¿− 724

¿

8. senθ=¿ 7√58

¿

VALORES NUMÉRICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º Y DE LOS ÁNGULOS CUADRANTES.


√3

√3√2

1

2

1

1

2

1

30º 45º 60º

Func

ión

Ángulos del 1er. cuadrante

0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º

0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

2π

sen0

12

√22

√32

1 0 −1 0

cos1 √3

2√22

12 0 −1 0 1

tan0 √3

31 √3 _ 0 _ 0

cot_ √3 1 √3

30 _ 0 _

sec1 2√3

3√2 2 _ −1 _ 1

csc_ 2 √2 2√3

31 _ −1 _

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CONSIGNA DE APRENDIZAJE

DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES.

1. sen2 225º+cos2315 º=1

2. 1+cot2 150 º=csc2 330º

3. csc 120º−cot 240 º=tan 390º

4. sen120º=2 sen60 º sen30 º

5. csc 60 º−tan 30º=tan 210 º

6. sen120º=sen 90º cos30 º+cos 90º sen30 º

7. sen60º−cos60 º tan 30 º=tan 30º

8. sen90 º=3 sen150º−4 sen3 30 º

9. cos135 º=4cos3 45 º−3 cos315 º

10.sen60º=√ 1+sen150 º2

11.tan120 º= tan 60º+cot30 º1−tan 60 º tan 30º *

12.tan210 º= sen120 º1+cos60 º

13. cos315 º−cos225ºsen135 º−sen315 º

=tan 45º


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ASIGNACIÓN 1


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ASIGNACIÓN 2


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ASIGNACIÓN 3


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