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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.- Los elementos de un triángulo rectángulo son sus ángulos interiores y sus respectivos lados opuestos. Luego, en un triángulo rectángulo, si tenemos uno de los tres lados y un ángulo agudo podemos expresar los demás elementos del triángulo en función a estos.

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR.- Sea el triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente. Para calcular el área del triángulo ABC (en términos trigonométricos) necesitamos dos lados del mismo y el ángulo que estos forman.

A B

C

ab

c

S

ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR RECTANGULAR

∆×

=2

ABCc sen2AS

4

∆×

=ABCa bS

2

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES

Triángulos Pitagóricos: Son triángulos rectángulos cuya medida de sus lados está expresado en números enteros. Ejemplos

ÁNGULO DE ELEVACIÓN.- Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado por la línea horizontal y la visual que pasan por el punto de observación cuando el punto observado está por encima de la horizontal.

O: Ojo del observador A: Punto observado

ÁNGULO DE DEPRESIÓN.- Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado por la línea horizontal y la visual que pasan por el punto de observación cuando el punto observado está por debajo de la horizontal. O: Ojo del observador B: Punto observado

13 12

5

25

24

7

15

23º 61 60

11

17 8

TRIGONOMETRÍA

4 CIENCIAS

A C

B

ca

b

S

∆×

=ABCa b.senCS

2

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 4

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EJERCICIOS DE CLASE

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( )= °C 90 , se

prolonga CB hasta D tal que = =DB AC 4 y =AB 5 m. Si = θm DAB . Calcule θ65 sen .

A) 45

B) 84

C) 165

D) 83

E) 35

2. Considerando los datos de la figura, halle el valor de θ13 15 sen .

A) 2 3 B) 3 C) 2 35

D) 5 3 E) 2 5

3. En un triángulo isósceles ABC, =AB BC , se tiene

que =5cosB13

. Calcular −=

2tan C 13 cosATcotB

.

A) 35

B) 34

C) 23

D) 12

E) 56

4. En la figura adjunta, =BC m u y =AM x u , exprese x en función de m, θ y α .

A

B C

M

N

A) α + θ α mcos( ) .tan u B) [ ]θ αmcos .sec u

C) θ α − θ mcos .cot( ) u D) θ θ − α msen .tan( ) u

E) θ α − θ msen .tan( ) u

5. En el grafico mostrado ABCD es un cuadrado, ADC es un sector circular con centro en D, = θm ABM y = ϕm ADM . Calcule tanθ en términos de ϕ.

BA

CD

M

A) + ϕ+ ϕ

1 sen1 cos

B) + ϕ+ ϕ

1 cos1 sen

C) − ϕ− ϕ

2 cos2 sen

D) − ϕ− ϕ

1 sen1 cos

E) − ϕ− ϕ

1 cos1 sen

6. Desde un punto en tierra se observa la parte más

alta de un poste con un ángulo de elevación θ. Si nos acercamos al poste en línea recta a una distancia igual al doble de la altura del poste, el ángulo de elevación es el complemento de θ. Calcular tanθ.

A) 2 B) 3 C) −2 1 D) +2 1 E) −2 3

7. En la figura mostrada; si =AB 3 u , =AD 10 u y

=3BM 2MC , hallar el valor de α5 sen .

A

B C

D

M

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Dos barcos parten de un mismo punto y al mismo instante, el primero sale en el rumbo S30°E a 40 nudos y el segundo en el rumbo Nα E, a una velocidad de 20 2 nudos. Halle α para que al cabo de una hora, el segundo barco esté exactamente al Norte del primer barco. A) 30° B) 60° C) 53° D) 37° E) 45°

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 4

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9. Si α y β son ángulos complementarios y verifican

° − βα − °°+ =

° ° °

24 cos60 3cossen cot30tan75 5cos52 sen38 cos52

,

entonces el valor de α11 tan , es:

A) 3 B) 2 C) 12

D) 1 E) 13

10. Del gráfico mostrado, si =CE ED y =AE 1 u , halle

el valor de − α ⋅ β ⋅ γBA sen csc sen .

A) 3/5

B) 4/5

C) 10/3

D) 2/5

E) 5

11. En la figura mostrada, si AC a u= , calcule DE .

A

E

D C

B

A) ( )β − α βasen . 1 tan .tan u

B) ( )β − α βacos . 1 tan .tan u

C) ( )β + α βasen . 1 tan .tan u

D) ( )β + α βacos . 1 tan .tan u

E) ( )β − α βasen 1 cot .cot u

12. Desde un helicóptero que se encuentra a 2n km

de tierra, se observa a un barco que se encuentra al sur con un ángulo de depresión igual a 45º, si el helicóptero se desplaza horizontalmente dirigiéndose hacia el Este, se observa que avanzo 2n km. Determine el ángulo de depresión con el cual se observaría a la embarcación desde esta última posición. A) 45° B) 37° C) 30° D) 60° E) 15°

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Calcular tanα del gráfico mostrado.

120°2 4

A) 32

B) 2 C) 5 D) 2 E) 3

2. Si β es la medida del ángulo agudo que forman las

diagonales de un cubo, calcular el valor de βtan . A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 2 E) 2

3. En la figura mostrada, =3AD 2BC y el área de la

región del triángulo ABC es 250 3 m . Calcular la

medida de 3.AB .

A D C

B

120°

A) 4 13 B) 4 65 C) 26 D) 2 52 E) 46

4. En el gráfico, T es un punto de tangencia y O es centro de la semicircunferencia, exprese el cociente de PM sobre QN en función de los ángulos α y β .

A) − α− α β

1 cot1 2sen .cos

B) − α

− β β1 sen

1 2sen .cos

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 4

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C) − α

− α β1 sen

1 2sen .sec D) − α

− β β1 cos

1 sen .sec

E) − α

− β β1 sen

1 2sen .sec

5. En la figura mostrada; =AD 12 u, =BD 8 u y

=3AB 4BC . Hallar = α − αP 6 23 tan 8 2 cos .

A B C

D

A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 43

6. En el grafico mostrado; si = =AB BC AD, calcular el valor de αtan .

AD

C

B

32°

A) 24125

B) 45128

C) 21121

D) 98289

E) 99299

7. Una persona observa tres veces la parte más alta de un edificio. En la primera observación el ángulo de elevación es θ, para efectuar la segunda observación se acerca sobre la misma dirección 9 m y el ángulo de elevación es de 45°, finalmente la última observación la efectúa luego de avanzar sin cambiar de dirección 6 m más y el ángulo de elevación es ( )° − θ90 . ¿Cuál es la altura del

edificio, si la estatura de la persona es de 2 m? A) 32 m B) 18 m C) 25 m D) 20 m E) 22 m

8. En la figura adjunta, exprese BDAD

en función de α.

A) α α αcsc .cos2 .cos3 B) α α αsen .cot2 .csc3

C) α α αcsc .sen2 .cos3 D) α α αsen .csc2 .sec3

E) α α αcsc .tan2 .sec3

9. En la figura mostrada; ∠ = °m ABC 90 ,

m ABD ,∠ = α BC = p cm y BD = q cm. Calcular AB.

C

B

AD

A) α

− α

pqcos cmp qsen

B)

α − α

pq cmpsen qcos

C) α

− α

pqsen cmp qcos

D) + α

− α

p qcos cmp qcos

E) + α

p qsen cmpq

10. En el gráfico mostrado, el rectángulo ABCD tiene

por área 236 u , además =AP 3 5 u y =DP 4 3 u . Halle el valor de θtan .

A) 62

B) 33

C) 22

D) 52

E) 5

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11. En la figura adjunta, las áreas de las regiones triangulares ACD y DEB son iguales. Determine el valor de ( )θ + θ

2tan cot .

A) 3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 5

12. En el gráfico, OAB es un sector circular, MNPQ es

un cuadrado de lado “L cm” y

=AT TB

L L . Si el

ángulo AOB es igual a θ rad, calcule el radio de dicho sector circular.

A) θ θ + +

2L cot cot 2 cm2 2 2

B) θ θ + +

2L tan tan 4 cm2 2 2

C) θ θ + +

2L cot 4cot 5 cm2 2 2

D) θ θ + +

2L tan tan 2 cm2 2 2

E) θ θ + +

2L tan 4cot 4 cm2 2 2

13. Desde dos puntos A y B en tierra opuestos a un poste, se observa la parte superior de este con ángulos de elevación α y β respectivamente. Si la distancia de A a la base del poste es x metros y la distancia del poste a B es de ( )+x 4 metros.

Calcule la altura del poste, si: α − β =tan tan 6 .

A) ( )+3x x 4 m4

B) ( )+3x x 4 m2

C) ( )+5x x 4 m2

D) ( )+x x 4 m2

E) ( )+x x 4 m4

14. Se tiene dos torres de 24m y 7 m de altura,

distanciados 31 m uno del otro. Determine el mínimo ángulo de elevación con que una persona observaría la parte superior de la torre menor, desde un punto ubicado entre las dos torres; sabiendo que el ángulo de elevación para la torre mayor, desde ese punto, es el complemento del ángulo que se pide calcular. A) °8 B) °30 C) °16 D) °37 E) °24