Triángulos

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TRIÁNGULOS Es una superficie plana trilateral. Tiene: Tres lados Tres ángulos y Tres vértices Es el polígono con menos lados.

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TRIÁN

GULO

S

Es una superficie plana trilateral. Tiene: •Tres lados•Tres ángulos y •Tres vérticesEs el polígono con menos lados.

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Para designar un triángulo se emplea el símbolo y para el plural s .

Para nombrarlo se pueden usar las 3 letras de sus vértices en cualquier orden.

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CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Se clasifican según la igualdad o la desigualdad de sus lados , o la clase de ángulos que tengan:

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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

a) TRIÁNGULO ESCALENO: es aquel que ninguno de sus lados son iguales.

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b) TRIÁNGULO ISOSCELES: tiene iguales dos de sus lados.

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c) TRIÁNGULO EQUILATERO: tiene sus tres lados iguales; también se le llama acutángulo, por tener sus tres lados iguales (estos miden siempre 60°).

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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

a) TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto (90°).

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b) TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un ángulo obtuso, mayor a 90°.

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c) TRIANGULO ACUTANGULO: tiene sus tres ángulos agudos.

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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

Las rectas notables son: a. Medianas b. Mediatricesc. Bisectrices d. Alturas De cada una de ellas en cualquier

triangulo son tres.

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MEDIANA

Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

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MEDIATRIZ

Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

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BISECTRIZ

Recta que partiendo de su vértice divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.

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ALTURA

Perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas correspondientes a cada lado.

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En un triángulo obtusángulo, las alturas correspondientes a los lados del ángulo obtuso caen fuera del triángulo, por lo tanto el ortocentro también.

A B

C

Ortocentro

Altura Altura

Altura

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TRAZOS TRAZADO DE UNA BISECRIZ:

con un ángulo cualquiera, con el compas haciendo centro en el vértice del ángulo y con una distancia cualquiera, se marcan los puntos B y C en los lados del ángulo; con esa misma abertura del compas, haciendo centro en B trazar un arco D, haciendo lo mismo con el punto C, se vuelve a cruzar en el arco D. Uniendo el vértice del ángulo con el punto D, se obtendrá la bisectriz del ángulo.

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TRAZADO DE LA MEDIATRIZ: En un segmento cualquiera abrimos el compas a más de la mitad del segmento, y haciendo centro en los dos extremos de él, se trazan los arcos C y D, a cada lado del segmento. Se unen los dos cruces de los arcos hechos con una recta, esta será la mediatriz del segmento.

C

D

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: se sigue el mismo procedimiento para trazar o localizar el punto medio; solo se unen los arcos r y n sobre el segmento AB y se hará una marca que será M, exactamente el punto medio de un segmento .

n

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PUNTOS NOTABLES

Los puntos donde se cortan las rectas notables en un triangulo son:

1.BARICENTRO:

Centro de gravedad del triangulo donde se cortan las medianas.

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2.CIRCUNCENTRO: punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo.

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INCENTRO: punto en donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito del triangulo.

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ORTOCENTRO: punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo.

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PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

I. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo.

AlturaMedianaMediatrizBisectriz

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II. En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.

III. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

IV. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

V. En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.

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ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE TRIÁNGULOS

TEOREMA 1La suma de los ángulos interiores de

todo triángulo es igual a dos ángulos rectos o sea 180°.

A B

CM N

x y

<A+<B+<C=

2rt.=

180°

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TEOREMA 2Es un COROLARIO

del teorema 1.La suma de los dos

ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a un recto (90°).

C

AB<A + <C= 1rt. = 90°

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TEOREMA 3La suma de los

tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo es igual a 4 ángulos rectos (360°)

A

C

BX

Y

Z

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TEOREMA 4:

Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes. A B

C

X

<X = <A + <C

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CONGRUENCIATRIÁNGULOS CONGRUENTESSon los que tienen igual forma y tamaño. Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

A B

C70°

60°

50°

C’

A’

B’

50°

70°

60°

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MARCAS EN LAS PARTES HOMÓLOGAS

Los triángulos congruentes se pueden sobreponer, entonces los ángulos de un triangulo que coinciden con el otro se llaman, ángulos homólogos y los lados que coinciden serán homólogos.

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LOS PRINCIPALES CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS SON 3:

Si un triangulo tiene dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.