OBJETIVO: Proponer soluciones a situaciones problemáticas del entorno, en las cuales se requiera

la resolución de triángulos oblicuángulos aplicando los teoremas del seno y coseno, valorando la

opinión de los demás.

Tiempo probable: 15 horas clases

Profesor: Julio César Orellana Rivas

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ANTES DE EMPEZAR

Para comenzar a estudiar los triángulos oblicuángulos debemos recordar algunos contenidos tal como: Teorema de Pitágoras, y Razones Trigonométricas. Los alumn@s tendrán que resolver las actividades de introducción de la página 150 y 151 del libro de apoyo.

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Se llama triángulo oblicuángulo al que no posee un ángulo recto. Dicho de otra manera, un triángulo que no es rectángulo se llama oblicuángulo. Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario conocer tres de sus elementos, uno de los cuales debe ser necesariamente un lado. Las herramientas básicas que se utilizan para resolver un triángulo oblicuángulo son: El teorema del seno y teorema del coseno. En la resolución de triángulos oblicuángulos se presentan cuatro casos:

Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 1 y 2 se usa la ley del seno.

Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 3 y 4 se usa la ley del coseno.

TAREA: Investigar sobre los puntos y rectas notables de un triángulo. En

cuadernillo. Actividad evaluada (10 %)

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TEOREMA O LEY DEL SENO En todo triángulo, el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamente opuestos a dichos ángulos son directamente proporcionales.

Es decir, dado ΔABC se cumple que:

Para demostrar el teorema del seno es necesario verificar la igualdad de las razones mencionadas

en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtusángulo.

Se hará la demostración con respecto a los ángulos B y C.

Luego trazamos una altura desde el vértice C, para terminar de demostrar.

Ejemplos:

1. Resuelve el triángulo ABC de la figura 3, en el cual A=55°, B=41° y a=4.5 cm.

R/ a=4.5 cm, b=3.6 cm, c=5.46 cm

A=55°, B=41°, C=84°

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2. Resuelve el triángulo DEF de la figura 6, en la cual D=40°, d=5 cm y e=2 cm.

La solución es:

d= 5 cm, e= 2 cm, f= 6.36 cm

D=40°, E= 14.9°, F= 125.11°

3.

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Resolver la siguiente actividad:

Página 155, del libro de apoyo (Santillana).

TEOREMA O LEY DEL COSENO

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los otros lados, -2 veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo

comprendido entre ellos.

Es decir, dado el triángulo ABC, se cumple que:

Demostración del Teorema del Coseno

1.

5

2.

3.

6

Ejemplos:

1. Resuelve el triángulo DEF de la figura, en la cual, d= 5 cm, e= 4 cm, y f= 6 cm.

La solución del triángulo es:

d= 5 cm, e= 4 cm, f= 6 cm

D=55.77°, E= 41.41°, F= 82.82°

2. Determina la medida del lado “b” para el triángulo ABC de la figura 10, en la cual B= 130°, a= 10 cm

y c= 5 cm.

3. Una palmera creció recta; pero inclinada 13° de la vertical. Si cuando el ángulo de elevación del sol

es de 39° la palmera proyecta una sombra que mide 17.4 m. ¿Cuál es la longitud?

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4.

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TAREA:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

AREA DE UN TRIÁNGULO.

Es posible deducir expresiones para determinar el área de un triángulo en los siguientes casos: Caso 1. Se conocen las medidas de lados lados y el ángulo comprendido entre ellos. Si en el triángulo XYZ, x e y son los lados y Z el ángulo comprendido entre x e y, el área del Triángulo XYZ se expresa como:

Para demostrar este hecho se procede así:

En ΔXYZ se tiene que

Donde h es la Altura sobre el lado “y”. Además,

Reemplazando esta expresión en la fórmula del área, se tiene que:

De forma análoga vamos a obtener la fórmula para el área con respecto a las otras dos alturas.

Luego obtenemos,

El área de un triángulo ΔXYZ es:

Caso 2. Se conocen las medidas de los tres lados.

La fórmula que determina el valor del área de un triángulo cuando se conocen los tres lados se denomina

fórmula de Herón y se enuncian así:

El área del ΔXYZ está definida por:

√ ( )( )( )

( )

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La demostración de este resultado requiere de identidades trigonométricas, las cuales se estudian en la

siguiente unidad.

Ejemplos:

1. Determina el área de ΔRST si r= 4 cm, s= 5 cm y T= 125°.

Como se conoce la medida de los lados, r y s, y el ángulo comprendido entre ellos, T, se aplica la expresión:

2. Determina el área del ΔABC cuyos lados miden a= 3.5 cm, b= 4.5 cm y c= 5 cm

Se calcula el semiperimetro

( )

( )

El área es:

√ ( )( )( )

√ ( )( )( )

TAREA: