Autor:Gabriela Bello CI.25056404

Transformación Lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una funciónT : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v) b) T (c u) = c T (u)

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. 

Transformación Lineal

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 M2 (x, y, z ) f (x, y, z) =

x+y-z x+3y+2z

2x+y-3z -3x+2y+3z

(1,0,1)

(-2,3,1)

(0,0,0)

f (1,3,2) =

f (3,5,1) =

f (0,0,0) =

V1

V2

V3

0 3-1 00 9-4 150 00 0

R3

(x, y, z )

M2

f (x, y, z ) = f a bc d

EJERCICIOS1

Ejercicios

SOLUCION

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : P(2) R2

(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )

P(2

) (a+bx+cx2 )

R2

f (a+bx+cx2 ) = (y, z)

f

f (1-x) = (2,1)f (3+x-2x2) = (2,-1)f (0+0x+0x2) = (0,0)

(1-x)(3+x-2x2)(0+0x+0x2

)

V1V2V3

SOLUCION

2

Ejercicios

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 R2

(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)

R3 R2

f(x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)

(1,3,2)(3,5,1)(0,0,0)

f (1,3,2) = (11, 13)f (3,5,1) = (14, 11)f (0,0,0) = (0,0)

V1V2V3

EJERCICIOS3

Ejercicios

SOLUCION

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas.

Método de Gauss – Jordan

1

Ejercicios

2

Ejercicios

0x+0y=1

0=10=1

3

Ejercicios

NúcleoEl núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.

...

... f

V W

v1v5v9

0wN (f)

Sean:V,W: Espacios Vectoriales

v1,v5,v90w

Vectores

N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

Ejercicios

P(2

)

(a+bx+cx2 )

R3

f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)

a = 0 a+ b+c = 0 b+c = 0

a = 0 b+c=0 b=-c

N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c } N f : { -cx+cx2/ c Є R } N f : { c (-x+x2) / c Є R } N f : { (-x+x2))}

1 0 0 02 1 1 00 1 1 0

Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.

f : R2 R3

(x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c)

1

SOLUCION

Imagen

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:

im(T) := {ɯ ∈ W : ∃v ∈ V tal que ɯ = T(v)}.

1 Sea la matriz B determine el espacio nulo, la nulidad, el espacio imagen, rango, espacio renglón y espacio columna de la matriz.

SOLUCION

RangoSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T:

r(T) = dim(im(T)).

Determine el rango y el espacio de los renglones de A.1

SOLUCION

NulidadSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La nulidad de T se define como la dimensión del núcleo de T:

nul(T) = dim(ker(T)).

Determine le rango y nulidad para las siguientes matrices1

SOLUCION

Matriz en una transformación lineal

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sea A una matriz de m x n . Entonces la transformación matricial TA: R n R m definida por. TA(x) = A x (para x en Rn)es una transformación lineal.

TEOREMA1

TEOREMA2

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces:i.                     Im T = Im A = CATii.                   P(T) = p(AT)iii.                  Un T = NATiv.                 v(T) = v(AT

Matriz en una transformación lineal

Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Smen Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

AT = A2-1 CA1

TEOREMA4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2  en W. Entonces:i.                     p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)          iii. V(a) + p(T) = n

TEOREMA3

Conclusión

Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha llegado a la conclusión de que todos los temas vistos con anterioridad son de suma importancia debido a que están relacionados en cierta forma, en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas porque estas nos forman las bases para comprender, analizar y poner poner en practica los temas futuros.

Bibliografía

http://esfm.egormaximenko.com/https://es.slideshare.net/https://www.matesfacil.com/http://www.vitutor.com/http://mate.dm.uba.ar/http://profe-alexz.blogspot.com/

Gracias por su

atención