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    SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

    El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más

    importantes del algebra lineal.

    ECUACIONES LINEALES

    Una recta en el plano puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma

    siendo , no simultáneamente nulos. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación

    lineal en las variables e .

    De manera más general, una ecuación lineal en la variables se define como

    una ecuación que se puede expresar en la forma

    donde son números reales y, no todos nulos. Las variables en

    una ecuación lineal se denominan incógnitas.

    Ejemplo 1 Dadas las siguientes ecuaciones, determinar cuáles son lineales.

    Todas son ecuaciones lineales, salvo las dos última.

    Un conjunto finito de ecuaciones lineales de incógnitas se denomina sistema de

    ecuaciones lineales o sistema lineal. Por lo tanto un sistema de m ecuaciones lineales con n

    incógnitas se puede escribir como

    {

    donde los términos y para , son números reales, no todos

    nulos. Nos referiremos a este sistema como sistema lineal de .

    Si para todo , , el sistema se denomina sistema homogéneo. Es decir,

  • 2

    {

    Una n-upla de números ( ) que satisface todas y cada una de las ecuaciones del

    sistema se denomina solución del sistema lineal de .

    No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución

    Ejemplo 2

    (a) Sea

    una solución del sistema de es ( ), ya que cada uno de estos valores satisfacen

    ambas ecuaciones (verificarlo).

    (b) El sistema

    no tiene solución, ya que si a la segunda ecuación la dividimos por 2, se obtiene

    Las cuales son ecuaciones contradictorias. Podemos decir que el conjunto solución es vacío.

    Decimos que si un sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución es

    compatible o consistente. Si la solución es única el sistema es compatible determinado, si

    tiene infinitas soluciones es compatible indeterminado.

    Si el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución se dice que el sistema es incompatible o

    inconsistente.

    Ejemplo3 Sea una ecuación lineal con dos variables

    siendo y ambos no nulos. La gráfica de la ecuación lineal es una recta.

    Así, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

    {

    determina dos rectas en el plano .

  • 3

    En busca de la solución de este sistema, podemos encontrarnos con tres casos posibles:

    (i) Las rectas se intersecan en un solo punto

    (ii) Las ecuaciones describen la misma recta, o

    (iii) Las dos rectas son paralelas

    En estos tres casos decimos, respectivamente:

    (i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, el par ordenado

    de números reales correspondiente al punto intersección de las rectas.

    (ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todos los

    pares ordenados de números reales correspondiente a los puntos de la recta.

    (iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, es decir la solución es el conjunto vacío.

    Ejemplo4 Una ecuación lineal con tres variables

    Donde , y no son simultáneamente nulos, determina un plano en el espacio. La solución

    de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

    {

    Es una terna ordenada de la forma ( ) que satisface cada ecuación del sistema. La

    intersección de los tres planos descrita por el sistema dado puede ser:

    (i) un solo punto

    (ii) infinitos puntos, o

    (iii) ningún punto

  • 4

    En estos tres casos decimos, respectivamente:

    (i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, la terna

    ordenada de números reales correspondiente al punto intersección de los planos.

    (ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todas las

    ternas ordenadas de números reales correspondiente a los puntos de la recta intersección.

    (iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, la solución es el conjunto vacío.

    Consistente determinado – Los planos

    se intersecan en un punto Consistente indeterminado - Los

    planos se intersecan en una recta

    Consistente indeterminado – Los

    planos se intersecan en una recta.

    Inconsistente – Planos paralelos sin

    punto en común

  • 5

    En general podemos afirmar que:

    Todo sistema de ecuaciones lineales no homogéneo o no tiene soluciones, o tiene exactamente

    una o tiene infinitas soluciones.

    Todo sistema lineal homogéneo siempre es compatible o consistente.

    Pues siempre admite la solución trivial o bien además de la trivial pueden existir infinitas

    soluciones no triviales.

    Ejemplo 5 Dado el sistema

    {

    Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándole este resultado a la segunda obtenemos

    {

    Multiplicando la primera ecuación por -8 y sumándole este resultado a la tercera obtenemos

    {

    De donde

    {

    Si elegimos con , tenemos que

    y

    .

    Por tanto las soluciones del sistema constan de todas las ternas ordenadas de la forma

    (

    ).

    Inconsistente

    Inconsistente

  • 6

    Observe que para se obtiene la solución trivial ( )pero para se obtiene la

    solución no trivial ( ).

    SISTEMAS EQUIVALENTES

    Se dice que dos sistemas de ecuaciones con las mismas variables son equivalentes si tienen

    las mismas soluciones.

    Dado un sistema de ecuaciones, si realizamos algunas operaciones en sus ecuaciones

    podemos obtener un sistema equivalente

    OPERACIONES para transformar un sistema en un sistema equivalente

    (i) Intercambiar cualquier par de ecuaciones

    (ii) Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero

    (iii) Sumarle un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema.

    Ejemplo 6 Dado el sistema

    {

    Multiplicando la primera ecuación por -4, sumándole el resultado a la segunda, multiplicando

    a la primer ecuación por -2 y sumándole el resultado a la tercera ecuación, se elimina de

    estas dos ecuaciones;

    {

    Multiplicando la segunda ecuación por

    y sumándole este resultado a la tercera ecuación,

    eliminamos de la tercer ecuación. Se obtiene un sistema equivalente en forma triangular o

    escalonada

    {

    Si multiplicamos la segunda ecuación por

    y la tercer ecuación por

    , llegamos a otra

    forma triangular que es equivalente al sistema original

    {

  • 7

    es inmediato que . Usando este valor y sustituyendo hacia atrás en la segunda ecuación ,

    resulta

    ( )

    Finalmente, sustituyendo y en la primer ecuación, obtenemos

    ( )

    Por tanto, la solución del sistema es ( )

    Sistema de Ecuaciones. Uso de matrices aumentadas

    En el ejemplo anterior podemos simplificar los cálculos ubicando los coeficientes de cada

    ecuación y los términos independientes de manera ordenada en un arreglo rectangular de

    números como

    (

    | )

    Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema

    En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas como

    {

    La matriz aumentada correspondiente a este sistema es:

    (

    |

    )

    Una matriz es un arreglo rectangular de números.

    Podemos decir que la matriz aumentada tiene filas y columnas, en cuyo caso

    decimos que la matriz es de orden ( ).

    Los números , se denominan términos o elementos de la matriz e indican que el elemento

    se encuentra en la fila y en la columna .

    En caso en que el número de filas sea igual al número de columnas, decimos que la matriz es

    cuadrada, y se dice que la matriz es de orden .

  • 8

    Observación: Al elaborar una matriz aumentada, las incógnitas deben escribirse en el mismo

    orden en cada ecuación.

    El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es aplicar las operaciones de

    transformación al sistema, obteniendo un sistema equivalente de ecuaciones

    Dado que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema, las

    operaciones de transformación mencionadas corresponden a las siguientes operaciones

    efectuadas en las filas de la matriz aumentada

    (i) Intercambiar cualquier par de filas

    (ii) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero

    (iii) Sumarle un múltiplo de una fila a otra fila de la misma matriz.

    Cuando estas operaciones entre filas se aplican a