Ing. Edward Ropero Magister en Gestión,

Aplicación y Desarrollo de Software

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Un sistemas de ecuaciones lineales es un conjunto de varias ecuaciones lineales. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Dependiendo del posible número soluciones que tenga un sistema, éstos de pueden clasificar en:

Un sistema de dos incógnitas es un sistema de la forma: Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales: • Reducción

• Igualación

• Sustitución

Ejemplo: Por Reducción: De donde y = -1 y sustituyendo x + 2 (-1) = -3, x = -1 Es decir la solución del sistema es única, x = -1, y = -1

Ejemplo: Por Igualación: lo cuál es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas

Ejemplo: Por Sustitución: como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9 es decir −6y − 9 + 6y = −9 Por tanto 0y = 0, 0 = 0 Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma

Ejemplo:

Resuelva el sistema En este caso se buscan tres números x1, x2, x3, tales que las tres ecuaciones en se satisfagan. El método de solución que se estudiara será el de simplificar las ecuaciones, de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Se comienza por dividir la primera ecuación entre 2. Esto da

Se simplifica el primer sistema multiplicando la ecuación 1 por -4 y sumando esta nueva ecuación a la segunda. Lo que da: La ecuación es la nueva segunda ecuación y el sistema ahora es: Como se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuación por la ecuación

Entonces, la primera ecuación se multiplica por -3 y se suma a la tercera, lo que da por resultado: Observe que en el sistema se ha eliminado la variable x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Después se divide la segunda ecuación por -3:

Se multiplica la segunda ecuación por -2 y se suma a la primera; después se multiplica la segunda ecuación por 5 y se suma a la tercera: Ahora se multiplica la tercera ecuación por -1:

Por último, se suma la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera ecuación por -2 y se suma a la segunda para obtener el siguiente sistema:

A modo de matriz: Y de manera aumentada:

Para el ejemplo anterior, la solución en esta notación sería:

Ejemplo para un número infinito de soluciones: A modo de matriz:

Hasta aquí se puede llegar. Se tienen solo dos ecuaciones para las tres incógnitas x1, x2, x3 y existe un número infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige un valor de x3. Entonces . Esta será una solución para cualquier número x3.

Ejemplo para un sistema inconsistente: A modo de matriz:

Es necesario detenerse aquí porque, como se ve, las ultimas dos ecuaciones son

lo cual es imposible (si , entonces , no 4). Así no hay una solución.

Un sistema general de m x n ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2, … bm, son cero. Es decir, el sistema general homogéneo esta dado por:

Para el mismo ejemplo inicial:

Ejemplo con soluciones infinitas:

Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones

Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz m x n, A + B dada por: Es decir, A x B es la matriz m x n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.

La suma de dos matrices se define únicamente cuando las matrices son del mismo tamaño. Así, por ejemplo, no es posible sumar las matrices y o las matrices (vectores) y . Es decir, son incompatibles bajo la suma. Ejemplo:

Si A = (aij) es una matriz de m x n y si a es un escalar, entonces la matriz m x n, αA, esta dada por Esto es αA = (αaij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α. Si αA = B = (bij), entonces bij = αaij para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo:

Sean a = y b= dos vectores. Entonces el producto escalar de a y b denotado por a . b, esta dado por Ejemplo:

Dos matrices se pueden multiplicar únicamente si el numero de columnas de la primera matriz es igual al numero de renglones de la segunda. De otra modo, los vectores que forman el renglón i en A y la columna j de B no tendrán el mismo numero de componentes y el producto punto en la ecuación no estará definido. Dicho de otro modo, las matrices A y B serán incompatibles bajo la multiplicación. Los vectores renglón y columna sombreados deben tener el mismo número de componentes.

Ejemplo:

Si A = y B = , calcule AB y BA.

Ejemplo 2:

La matriz identidad In de n x n es una matriz de n x n cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son 0. Esto es: Ejemplo:

Sean A y B dos matrices de n x n. Suponga que

AB x BA = I

Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A-1. Entonces se tiene:

AA-1 = A-1A =I Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible.

Ejemplo: Supongamos A = y B = Entonces:

El cálculo de la inversa de una matriz, lo podemos realizar a través del método visto anteriormente Ejemplo: Determine la inversa de la matriz A =

Ejemplo: Encuentre una factorización LU de una matriz A = Solución: Reduzca por renglones la matriz A a una matriz triangular superior y después escriba A como un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior (Se procede como antes; solo que esta vez no se dividen los elementos de la diagonal (pivotes) por si mismos)

Usando las matrices elementales se puede escribir:

Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangular superior. Sea L el producto de las matrices elementales. Debe verificar que: , se trata de una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. Después se puede escribir A = LU, donde L es triangular inferior y U es triangular superior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de U son los pivotes. Esta factorización se llama factorización LU de A.

El procedimiento utilizado en el ejemplo se puede llevar a cabo mientras no se requieran permutaciones para poder reducir A a la forma triangular.

Ejemplo 2: Del caso anterior, resuelva el sistema Ax = b, donde: Entonces:

El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones Despejando:

Ahora, de Ux = y se obtiene: Despejando: La solución es:

Otra forma de resolver el ejemplo anterior: Al resolver el producto de las matrices LU se llega al punto de resolver el sistema Ly = b y Ux = y, para así llegar a la solución La componente 2,1 de A es 4. De este modo, el producto escalar del segundo renglón de L y la primera columna de U es igual a 4, entonces:

4 = 2a o a = 2 De la misma manera y reemplazando los valores se pueden hallar los demás: b, c, d, etc.

Esta técnica funciona únicamente si A se puede reducir a una matriz triangular sin realizar permutaciones.