TRANSMISIÓN DE CALOR

INTRODUCCIÓN

Los cuerpos, sometidos a la influencia de una fuente calórica, se calientan, es decir, absorben parte del calor transmitido. También esos cuerpos, en función del material de que están constituidos, no absorben ese calor de la misma forma e intensidad.

El calor absorbido por el cuerpo lo recorre interiormente, desde la cara expuesta a la fuente calórica, hasta la cara opuesta. Es decir desde una zona de mayor temperatura a otra de menor temperatura.

En este fenómeno, que se conoce con el nombre de conductividad térmica, vemos que no todo el calor absorbido por la cara expuesta llega hasta la opuesta. Esto lo podemos comprobar aplicando una mano sobre ambas caras, con lo cual sentiremos que la cara opuesta está más fría que la expuesta.

Esto significa que el cuerpo opuso cierta resistencia al paso del calor por su interior; este fenómeno se conoce como resistencia térmica del material.

La propiedad de retener parte del calor absorbido e impedir su paso total de una cara a la otra del cuerpo, es la capacidad aislante al calor que posee el material.

En un muro cualquiera de una construcción, el calor imperante en el exterior, pasará a través de su masa al interior del local, en la medida que su capacidad aislante lo permita.

Si dentro de un ambiente debemos lograr un rango de confort determinado, en función de las normas mínimas de habitabilidad, habrá que diseñar el muro con materiales y espesores adecuados, de modo tal que se logre el máximo aislamiento.

La transmitancia térmica, es decir, la propiedad de los cuerpos de dejar pasar calor a través de su masa, deberá entonces limitarse.

Para ello debemos estudiar los fenómenos de transferencia de energía en forma de calor, que comúnmente denominamos transferencia de calor.

EL FENÓMENO DE TRANSFERENCIA

Hemos visto que cuando dos o más sistemas de temperaturas diferentes se ponen en comunicación entre sí a través de una pared diatérmana alcanzan el estado de equilibrio térmico.

Este fenómeno se explica por el pasaje de energía calorífica de los cuerpos de mayor temperatura a los de menor temperatura y se lo denomina transmisión de calor. En un sentido más amplio, este fenómeno se produce también entre las porciones de un mismo cuerpo que se encuentran a diferentes temperaturas y entre cuerpos que no estando en contacto se encuentran también a temperaturas diferentes.

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En este fenómeno el estado de agregación molecular es importante, ya que de acuerdo a como estén vinculadas estas moléculas, se presentarán tres formas de transmisión de calor:

1) Conducción: esta forma de transmisión de calor se manifiesta principalmente en los cuerpos sólidos y se caracteriza por el pasaje del calor desde los puntos de mayor temperatura hacia los de menor temperatura sin desplazamiento apreciable de materia. La transmisión de calor puede producirse de una parte a otra del mismo cuerpo o de un cuerpo a otro en contacto con él.

2) Convección: esta forma se manifiesta en los líquidos y gases que alcanzan el equilibrio térmico como consecuencia del desplazamiento de materia que provoca la mezcla de las porciones del fluido que se encuentran a diferentes temperaturas. La convección será natural cuando el movimiento del fluido se debe a diferencias de densidad que resultan de las diferencias de temperatura. La convección será forzada cuando el movimiento es provocado por medios mecánicos, por ejemplo mediante un agitador en los líquidos o un ventilador en los gases.

3) Radiación: es la forma de transmisión en la que el calor pasa de un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura sin que entre ellos exista un vinculo material. Esto indica que el calor se transmite en el vacío, en forma de ondas electromagnéticas denominadas comúnmente radiación o energía radiante.

Si bien para facilitar el fenómeno de transmisión hemos separado el fenómeno en tres formas diferentes, en la naturaleza el calor generalmente se transmite en dos o tres formas simultáneamente. Es decir que la conducción puede incluir también convección y radiación y los problemas de convección incluyen a la conducción y a la radiación.

CONDUCCIÓN DEL CALOR

Algunas sustancias conducen el calor mejor que otras y se las denomina buenos conductores, mientras que aquellas que lo hacen con mayor dificultad se denominan malos conductores o aisladores. Entre las primeras se encuentran los metales y entre los malos conductores los gases y los líquidos como así también muchos cuerpos sólidos. Se debe tener en cuenta que el mercurio por ser un metal es buen conductor del calor a pesar de encontrarse en estado líquido.El mecanismo de la transmisión del calor se estudia más fácilmente en los cuerpos sólidos pues en este caso no hay convección. Al no haber movimiento relativo de moléculas.La temperatura de un punto de un sólido en un instante dado, cuando el sólido está transmitiendo calor por conducción, depende de las coordenadas del punto considerado. Por otra parte, para cada punto en particular, la temperatura será en general función del tiempo.Si referimos todos los puntos del sólido a un sistema de coordenadas x, y, z y llamamos al tiempo, podremos escribir entonces para la temperatura t que:

t = f(x, y, z, )

Cuando como en este caso, la distribución de las temperaturas de los puntos de un sólido depende no sólo de las coordenadas de los diferentes puntos sino también del tiempo, el estado térmico del cuerpo se denomina de régimen variable.

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En un cuerpo sólido puede ocurrir que después de un cierto tiempo las temperaturas de todos sus puntos permanezcan constantes o sea que no varía con el tiempo. En este caso la distribución de las temperaturas dependerá solamente de las coordenadas de los diferentes puntos considerados, por lo que escribiremos:

t = f (x, y, z )

En este caso el estado térmico se denomina de régimen estacionario o permanente.

ESTADO TÉRMICO ESTACIONARIO: GRADIENTE O CAÍDA DE TEMPERATURA

Supongamos, para simplificar, que el calor se transmite a lo largo del eje x, o sea que la distribución de las temperaturas es función de esa coordenada:

t = f (x ) en régimen estacionario

Además tomaremos una variación lineal de t con respecto a x, o sea:

t = a + b x

Para un punto A, la temperatura será:

t1 = a + b x1 (1) t

y para el punto B:

t2 = a + b x2 (2) t1 AComo el calor se transmite en el sentidode las temperaturas decrecientes, t1 > t2 t2 B

Restando las ecuaciones (1) y (2):t1 - t2 = b(x1 - x2)

o también: t1 - t2 = - b(x2 - x1) x1 x2 x

t1 - t2 t 2 - t1

Luego: b = = - (x2 - x1) (x2 - x1)

Como t2 = f (x2 ) y t1 = f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) - b = - = G

x2 - x1

G se denomina caída de temperatura y como t2 < t1 y f (x2) < f (x1), su valor es positivo.

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Cuando A y B están próximos, siendo x el parámetro de A y t su temperatura, para el punto B, el parámetro será x + ∆ x y su temperatura t + ∆t.

La caída media de temperatura entre A y B será:

- (t + ∆t) - t ∆tGm = = -

(x + ∆ x ) - x ∆x Cuando los puntos A y B están infinitamente próximos tendremos:

G = lím Gm = lím - ∆t = - dt ∆x0 ∆x0 ∆ x dx

A la magnitud G se denomina gradiente de temperatura.

LEY DE FOURIER S1 S2

Supongamos que por los puntos A y B pasan dxplanos perpendiculares a la dirección x, que Q xdeterminan en el sólido las áreas S1 y S2 A Q Bque poseen respectivamente, temperatura dtuniforme (superficies isotermas). t1 t2

Si la temperatura es función lineal de x, la gradiente de temperatura tendrá el mismo valor entre los puntos A y B. Llamando Q a la cantidad de calor transmitida en un tiempo d, en dirección x , por la superficie S, se cumple que:

Q = . S . d . dt dx

Si hacemos S = 1m2 ; dt = 1ºC ; dx = 1m; y d= 1 seg. , resulta Q = = coeficiente de conductibilidad térmica.

Podemos definir entonces el coeficiente de conductibilidad térmica como la cantidad de calor que se transmite en un segundo, a través de la unidad de superficie, entre dos planos paralelos distantes la unidad de longitud y cuando la diferencia de sus temperaturas es de 1°C.

UNIDADES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD

Si despejamos el valor de de la expresión de Fourier tenemos:

= Q.dx S. d.dt En el sistema internacional o SI, el que adopta en nuestro país para las normas IRAM, denominado SIMELA, el coeficiente de conductibilidad térmica será:

= . Joule = watt .

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m K seg m K

En otros sistemas las unidades de , son, por ejemplo en el sistema c.g.s.:

= . calorías . centímetro = . cal . centímetro 2 . grado . segundo cm . °C seg.

O en el sistema técnico:

= Kcal . m °C h

VALORES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD

El valor numérico de depende del material del cuerpo.Veamos algunos valores para buenos y malos conductores, a 0° C.

MATERIAL ( cal / m . °C. h) Característica Plata 360 Muy Bueno Cobre 335 Bueno

Lana de vidrio 0,032 MaloCorcho molido 0,011 Muy Malo

En los metales, pequeñas cantidades de impurezas pueden modificar considerablemente el valor de . Así por ejemplo, bastan trozos de arsénico en el cobre para reducir su conductividad térmica hasta cerca de la tercera parte de la correspondiente al cobre puro. Este proceso se denomina dopado, y se utiliza en la fabricación de semiconductores que se usan en la industria electrónica.

En la mayoría de los sólidos homogéneos, el valor de es función de la temperatura según una variación lineal:

t = 0 + a . t 0 = coef. de conductibidad a 0°C.

Para materiales no homogéneos, el coeficiente a una temperatura dada es proporcional a la densidad aparente del material considerado.Así por ejemplo, la lana de amianto posee los siguientes valores de a 0°C:

Densidad aparente (Kg /m lt)

0,40 0,0770,70 0,165

FLUJO CALORÍFICO

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La ley de Fourier establece:

Q = - . S . d . dt dx

Se denomina flujo calorífico ( fi) a la relación: = Q

dy expresa la cantidad de calor que se transmite en la unidad de tiempo. Entonces:

= - . S . dt = - dt dx dx SLa expresión dx = d se denomina resistencia térmica S

Por lo tanto: = - dt dEn la expresión del flujo calorífico, se observa que depende de la diferencia de temperatura, en consecuencia, cuando la diferencia de temperaturas permanece constante, el flujo también será constante. Esto ocurre en el estado de régimen estacionario o permanente, pues la distribución de temperaturas es constante lo que mantiene constante la diferencia de temperaturas.

Por lo contrario, en el estado de régimen térmico variable, la distribución de las temperaturas varía con el tiempo, y también variará la diferencia de temperaturas, en consecuencia el flujo será variable.

SUPERFICIES ISOTERMAS Se llaman superficies isotérmicas a las definidas por los puntos del sólido que poseen igual temperatura. La transmisión del calor se dirige en dirección normal a dichas superficies isotermas. Las normales a las superficies coincidirán entonces con las direcciones del flujo calorífico, y se denominan líneas de flujo. LINEAS DE FLUJO

a b c SUPERFICIES ISOTERMAS

1 2 3

En la figura, se observa un sólido que ha sido cortado con un plano que determina con las superficies isotermas las curvas isotérmicas (1), (2) y (3) de temperaturas t1, t2 y t3.a, b, c son las líneas de flujo.

Hemos visto que,

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= - dt Luego: - dt = d d

Suponiendo el estado de régimen térmico estacionario, el flujo calorífico permanecerá constante, y siendo d la resistencia térmica del material entre las superficies de temperaturas t1 y t2, se obtiene al integrar: t2

- dt = . d , por lo tanto, = t1 - t2

t1 En consecuencia:

= t1 - t2

PROBLEMA DEL MURO

Supongamos un material cuyo coeficiente de conductibilidad es se encuentra limitado por dos caras planas y paralelas A y B de superficie S y temperaturas t1 y t2

respectivamente (superficies isotermas).Si t1 > t2 el calor se transmite de la cara A a la cara B. Las líneas de flujo son normales a ambas caras, es decir paralelas a la dirección del eje x.Si transcurrido un cierto tiempo se alcanza el estado térmico estacionario o permanente, la temperatura de un punto cualquiera del interior del cuerpo es solamente función de la coordenada x de dicho punto.Esto significa, que en un plano cualquiera como el C, paralelo a las caras A y B, la temperatura es constante porque t = f(x) para todos los puntos del plano.

Vimos que A B

φ = Q = - S dt d dx x C φ . dx = - S dt

Suponiendo que es independiente del tiempo y S es constante al integrar entre x = x1 , x = x2 y t = t1 , t = t2 tendremos:

x2 t2

φ . dx = - S dτ x1 t1

Por lo tanto: φ (x2 - x1) = S (t1 - t 2)

Como x2 - x1 = e, escribimos finalmente:φ = S (t1 - t 2)

e

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En esta forma se calcula el flujo térmico que atraviesa un cuerpo de caras planas y paralelas, conociendo las temperaturas de dichas caras, el valor de la superficie normal al flujo calorífico, el espesor del cuerpo o pared y el coeficiente de conductibilidad del material. En este caso, la resistencia térmica del cuerpo valdrá también:

= . e . . S

CASO DE PAREDES CILÍNDRICAS

Consideraremos el caso de un cilindro hueco cuyo radio exterior es r2, el interior r1, la conductividad del material , t2 la temperatura de la cara exterior, t1 la temperatura de la cara interior y L la longitud del cilindro. Supongamos que t1 > t2 o sea que el calor fluye de adentro hacia fuera.Si consideramos un cilindro de espesor muy pequeño dr, y radio r, podemos suponer que las líneas de flujo son prácticamente paralelas dentro del cilindro, aplicando la Ley de Fourier:

Q = - . S . dt . = - 2 r. L dt dx dr

Pues: S = 2 r. L ; dx = dr

dr = - 2 L dt ; r

Integrando, cuando se ha alcanzado el estado térmicoestacionario o permanente,

r2 t2

dr = - 2 L dτ ; ln r2 = - 2 L (t2 - t1) r1 r t1 r1

De donde : = 2 L (t 1 - t2) ln r2

r1

La resistencia térmica valdrá :

= . 1 .ln r2

2 L r1

CASOS DE PAREDES ESFÉRICAS

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Consideraremos el caso de una esfera sólida hueca de radio interior rr, exterior r2,de la cara interior tt, y exterior t2. Si t1 > t2 el flujo calorífico se dirigirá de adentro hacia fuera. Por las mismas consideraciones del caso anterior:

= - 4 r2 dt pues: S = 4 r2 ; dx = dr dr

dr = - 4 dt r2

Integrando entre r1 , r2 y t1 , t2 y alcanzando el estadotérmico de régimen permanente: r2 t2

dr = - 4 dt entonces : 1 - 1 = 4 (t1 - t2) r1 r2 t1 r1 r2

Luego: = 4 (t 1 - t2) 1 - 1 r1 r2

La resistencia térmica será:

= . 1 . 1 - 1 4 r1 r2

CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE PAREDES SUPERPUESTASEl caso más general que se presenta en la práctica es la transmisión de calor por conducción a través de paredes de distintos materiales y propiedades transmisoras.Consideremos tres paredes superpuestas cuyas resistencias térmicas son 1 , 2 , 3 , limitadas por las superficies isotérmicas de temperaturas t1 , t2 , t3 y t4, siendo t1 > t2 > t3 > t4,

las líneas de flujo se dirigen en la dirección que indica la figura.

Conforme a lo visto anteriormente, el flujo que atraviesa la pared de resistencia térmica 1, 2, y 3 será respectivamente:

1 = (t1 - t2) y para las otras paredes: 2 = (t2 - t3) 3 = (t3 - t4) 1 2 3

Cuando se ha alcanzado el estado de régimen permanente:

1 = 2 = 3 = , entonces (1 + 2 + 3 ) = (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4)

De donde : = (t1 - t4)

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1 + 2 + 3

Esto significa que el flujo calorífico que atraviesa paredes superpuestas de diferentes materiales es igual a la relación entre la diferencia de las temperaturas extremas y la suma de las resistencias térmicas del material de las paredes.

CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE DIFERENTES MATERIALES ENTRE DOS SUPERFICIES ISOTÉRMICAS

Sean dos materiales de resistencias térmicas 1 y 2 que transmiten calor por conducción entre dos superficies isotérmicas de temperaturas t1 y t2.

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Si t1 > t2, cuando se alcanza el estado térmico de régimen permanente, el flujo que atraviesa t1 > t2

el material de resistencia térmica 1 será: 2

1 = t1 - t2 y para el otro material: 2 = t1 - t2 1 2

El flujo total entre las dos superficies isotérmicas será:

= 1 + 2 = (t1 - t2) 1 + 1 1 2

Nota: se puede hacer una analogía entre la corriente eléctrica y las resistencias, cuando se conectan en serie y cuando se conectan en paralelo.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN EL ESPACIO, EN RÉGIMEN VARIABLE

La ecuación de Fourier que hemos visto, está referida al eje de las “x”, sin embargo, si consideramos un cuerpo en el cual se transmite en tres direcciones en el espacio, debemos referirnos a los ejes “x”, “y”, “z”.Si tomamos un punto “o” de un sólido en el cual consideramos un paralelepípedo elemental de aristas dx, dy, dz, el flujo que pasa por la cara normal al eje “x”, de superficie dy, dz será de acuerdo a la ley de Fourier:

ox = - . dy . dz . dT dx

En estado térmico de régimen variable, la variación de flujo por unidad de camino seráa ; y para el camino dx : ox dx ; o sea que:

x x

ox dx = - . dx . dy . dz . 2 t x x2

del mismo modo para el eje “y” :

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oy dy = - . dx . dy . dz . 2 t y y2

y para el eje z: oz dz = - . dx . dy . dz .2 t

z z2

Sumando las tres ecuaciones: ox dx + oy dy + oz dz = d = - . dx . dy . dz . 2 t + 2 t + 2 t x y z x2 y2 z2

Para el cubo elemental: dx . dy . dz = dV, volumen elemental:

d = - . dV 2 t + 2 t + 2 t x2 y2 z2

Si consideramos que la variación del flujo provoca una absorción de calor, por la masa del elemento de volumen, como la temperatura aumenta, el segundo miembro de la ecuación anterior será positivo.Si denominamos Q al valor elemental absorbido por el elemento de volumen en el tiempo d , la variación del flujo en dicho tiempo será:

d = Q = c . G. dt = . dV 2 t + 2 t + 2 t d d x2 y2 z2

donde, m es la masa del elemento de volumen, o su valor específico y dt la elevación de temperatura producida en el tiempo d.

Si llamamos al peso específico del cuerpo = G ; G = . dV dV

Reemplazando en el ecuación anterior y simplificando: c . . dt = 2 t + 2 t + 2 t d x2 y2 z2

de donde dt = 2 t + 2 t + 2 t d c x2 y2 z2

El término entre paréntesis se denomina operador de Laplace o Laplaciano, que se indica con el símbolo 2 (delta cuadrado), luego podemos escribir:

dt = 2. t La magnitud se denomina difusividad térmica “a “ y d c c. depende del material, de donde:

dt = a 2. t d

Si tomamos el caso particular de régimen estacionario o permanente, como la temperatura no varía con el tiempo: dt = 0 ; pero como ≠ 0 se deberá cumplir que: d c

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2. t = 0 , condición a cumplir para el estado de régimen estacionario o permanente.

Para el caso del muro, o sea paredes planas y paralelas, como el flujo se transmite sólo en dirección “x”, se deberá cumplir que:

2 t = 0 t = Cte = C x2 x

De donde dt = C.dx, e integrando : t = C . x + C’ , o sea que obtenemos una expresión que nos indica que la temperatura varía linealmente con la dirección del flujo, lo cual ya habíamos aplicado al definir gradiente o caída de temperatura.

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN

Habíamos definido que el calor se transmite por convección en el caso de los fluidos: gases o líquidos, cuando absorben calor en una porción y luego esta porción se desplaza mezclándose con otra más fría cediéndole calor. Este movimiento se denomina corriente de convección y si es provocado por diferencias de densidad debidas a diferencias de temperatura, tenemos, el fenómeno de convección natural. Si, en cambio, el movimiento del fluido se efectúa por medio de un agitador, una bomba o un ventilador, corresponde a la convección forzada.Cuando un fluido está en contacto con una pared sólida de mayor temperatura, aunque el fluido se encuentra en movimiento turbulento, se forma junto a la pared una película de fluido. Cuanto más turbulenta sea el movimiento, más delgada es la película, también llamada capa límite. El fenómeno de transmisión de calor de la pared al fluido se realiza por conducción a través de la película y a la vez por convección del fluido. En conjunto, el fenómeno es complejo porque la cantidad de calor transmitida dependerá de varios factores concurrentes: como ser la naturaleza del fluido ; el estado del fluido (densidad, viscosidad, calor específico y conductibilidad térmica); de la velocidad del fluido (si es mínima, el movimiento será laminar y si es considerable, turbulento); de que el intercambio de calor provoque evaporación, condensación o formación de la película; de la forma del sólido (pared plana o curva, vertical u horizontal); de la naturaleza de la superficie (rugosa o lisa) y de que el sólido sea buen o mal conductor.La cantidad de calor transmitida por convección se expresa por la Ley de Newton:

= S dt d

En esta expresión empírica, se denomina coeficiente de convección, coeficiente pelicular o coeficiente de conductibilidad exterior, y se puede definir como la cantidad de calor que se transmite a través de la unidad de superficie de separación entre el sólido y el fluido, cuando la diferencia de temperatura entre ambos es unitaria y en la unidad de tiempo. El coeficiente pelicular tiene en cuenta todas las variables enunciadas anteriormente por lo que el problema fundamental de la transmisión de calor por convección es encontrar el valor que resulte apropiado para cada caso en particular. Su valor en el sistema técnico oscila entre unas pocas unidades (aire casi quieto) y más de 10.000 (vapor saturado que se condensa).Unidades de α: si despejamos en la expresión de Newton: α =

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S.dt.d En el sistema SI.: = . J . o bien = . W . m2. K.seg m2. K.

en el técnico: α = . cal . m2 . °C . h

y en el c.g.s. α = . cal . cm2.°C.seg

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS COEFICIENTES PELICULARES

Para calcular el valor de α se puede proceder en forma teórica o experimental. En esta última forma, los resultados se deberán aplicar solamente a casos análogos a las experiencias realizadas. Las ecuaciones que sean utilizadas para determinar α deberán incluir todas las propiedades del fluido en particular y las condiciones de su movimiento.

En forma teórica, uno de los métodos más útiles encontrados hasta ahora y que permite relacionar todos los factores que intervienen en la convección es el análisis dimensional, también llamados modelos de similitud. En este método, las variables se vinculan y ordenan en grupos adimensionales, o sea relaciones numéricas sin unidades o dimensiones.

Los grupos más importantes que se han determinado son:

Número de Grashof: Gr = D 3 2 g t 2

Número de Nusselt: Nu = D

Número de Prandtl: Pr = c

Número de Reynolds: Re = D Donde: α es el coeficiente pelicular, D las dimensiones lineales del recinto (por ejemplo el diámetro o longitud de una cañería), el coeficiente de conductibilidad, ω la velocidad lineal del fluido, η su viscosidad, c el calor específico, la densidad, g la aceleración de la gravedad, β el coeficiente de dilatación cúbica y ∆t , la diferencia de temperatura.El número de Reynolds contiene la velocidad del fluido, por lo tanto medirá su grado de turbulencia y será importante en el caso de la convección forzada cuando los fluidos posean movimiento turbulento. El número de Grashof incluye el coeficiente de dilatación y la fuerza ascensional provocada por la variación de temperatura, proporcional a g. β . ∆t; en consecuencia el Gr mide el grado de convección natural. Su valor en cambio es

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despreciable en la convección forzada. Por el contrario, el Re en la convección natural desaparece pues la turbulencia es pequeña debido a la baja velocidad. El número de Prandtl contiene únicamente las propiedades del fluido o sea que dependerá solamente de su naturaleza.En el caso de los gases, la viscosidad η es tan pequeña que Pr se puede considerar despreciable. Por lo tanto resumiendo:

Convección natural: Nu, Gr En los gases

Convección forzada: Nu, Re

Convección natural : Nu, Gr, Pr Y en los líquidos

Convección forzada: Nu, Re, Pr

En el caso más general, se encuentra que la ecuación que vincula los números adimensionales es de la forma:

Nu = f ( Re, Pr, Gr)

Aunque esta función puede tomar la forma de cualquiera de las conocidas, se simplifica suponiendo que cada número entra en la ecuación una sola vez y como función de potencia. Esta suposición se cumple aproximadamente en la mayoría de los casos prácticos. Podemos entonces escribir:

Nu = K Rea , Prb , Grc

donde K, a, b y c son constantes que se deben determinar experimentalmente.

Para ello se puede encontrar experimentalmente la variacióndel Nu con Re y Gr en cada caso en particular y luego trazar en un diagrama dicha variación tomando en ordenadas y en abscisas los logaritmos de los valores encontrados.En efecto, tomando logaritmos se cumple que:

log Nu = log K + a log Re + b log Pr + c log Gr

El coeficiente angular de las rectas encontradas nos dará el exponente correspondiente a cada número. El término independiente corresponde al valor del long K. Una vez conocidas las constantes, se puede calcular el coeficiente pelicular α despejándolo del número de Nusselt:

α = Nu D

TRANSMISIÓN DEL CALOR POR CONDUCCIÓN Y CONVECCIÓN

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Uno de los casos más frecuentes en la práctica es la transmisión de calor entre sólidos y fluidos, o sea la transmisión mediante la conducción y convección combinadas.

Consideraremos una pared sólida que separa dos fluidos, uno de los cuales calienta al otro trazamos en ordenadas el eje correspondiente a las caídas de temperaturas producidas en la pared y cada una de las películas.Llamaremos t1 la temperatura del fluido caliente y su coeficiente pelicular, t la temperatura del fluido frío y su coeficiente pelicular; es el coeficiente de conductibilidad del material de la pared y e su espesor ( t > t ).Cuando se ha alcanzado el estado térmico de régimen permanente, el flujo que atraviesa la película de coeficiente por unidad de superficie será:

Q = S d dt capa limite capa límite 1 2

= 1 ( t1 - t’1) Ley de Newton t1 S t’1 = ( t’1 – t’2) Ley de Fourier t’2 S e fluido fluido caliente frío = 2 ( t’2 - t2 ) Ley de Newton t2

S e

Sumando miembro a miembro

( 1 + e + 1 ) = ( t1 - t’1) + ( t’1 – t’2) + ( t’2 - t2 ) = (t1 – t2) S 1 2 = . 1 . S . (t1 – t2) ( 1 + e + 1 ) 1 2 Si hacemos : . 1 . = K 1 + e + 1 1 2

= K . S . t

El coeficiente K se denomina coeficiente de transmisión de calor total, y se lo puede definir como la cantidad de calor que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie de pared interpuesta entre dos fluidos, cuando la diferencia de temperatura entre ambos fluidos es unitaria.

las unidades de K serán; K = joule ó bien K = W

m K seg m.K

DIFERENCIA VARIABLE DE TEMPERATURAS

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Corriente de sentido contrario o contracorriente

Corrientes paralelas o de igual sentido

La ecuación anterior es aplicable cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos permanece constante. Sin embargo, en los aparatos utilizados para intercambio de calor, la temperatura de los fluidos varía con la superficie de intercambio.

Tomemos por ejemplo el caso de un refrigerante de laboratorio. Es evidente que podemos hacer circular los fluidos en dos formas distintas. En el primer caso los dos fluidos penetran por el mismo extremo del intercambiador. Este caso se denomina de corrientes paralelas o equicorrientes. En el segundo caso, los fluidos penetran por los extremos opuestos del intercambiador y se denomina de contracorriente.

En el caso de corrientes paralelas, el fluido caliente se enfría desde t a t’ (ver diagrama y figura I), mientras que el fluido frío se calienta desde t a t’.

En el caso de contracorriente, en cambio, el fluido frío se calienta desde t’ a t (ver diagrama y figura II).

Se puede observar que el salto o diferencia de temperaturas t varía en ambos casos entre t y t’ a lo largo de la superficie de intercambio, en consecuencia podremos aplicar la ecuación de transmisión de calor total siempre que conozcamos la diferencia media de temperatura entre dichos límites. Se puede demostrar que la diferencia media de temperatura responde al promedio logarítmico dado por la ecuación:

Si t = cte. entre los fluidos = K . S . t

Si t cte.

tm = t - t’ en consecuencia = K . S . tm

ln t t’ t t t1

t1

t’1 t t’1 t t’2 t’ t2 t’ t’2 t2

s s t’1 t1 t’1 t1 t2 t’2 t2 t’2

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TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN

Todos los cuerpos, cualquiera sea su temperatura, emiten energía en forma continua desde sus superficies. Esta energía se denomina energía radiante y es transportada por ondas electromagnéticas, por este motivo, la energía radiante puede transmitirse aún en el vacío. La emisión continua de energía radiante por un cuerpo se denomina radiación. Como consecuencia de este fenómeno, dos cuerpos colocados en el vacío que están a diferentes temperaturas alcanzan el equilibrio térmico debido a que el de menor temperatura recibe energía radiante del otro cuerpo de mayor temperatura. Cuando la energía radiante es absorbida por un cuerpo, se transforma en calor; no obstante la energía radiante también puede ser reflejada (difundida) o refractada (propagada) por los cuerpos. Trataremos únicamente la energía radiante emitida por los sólidos y los líquidos, pues la emitida por los gases obedece a leyes muy diferentes.Hemos dicho que la energía radiante se transmite por ondas electromagnéticas, por lo tanto su velocidad de propagación será la de la luz (300.000 km/seg en el vacío).

Las ondas electromagnéticas comprenden: radio ondas, ondas infrarrojas, luz visible, ondas ultravioletas y rayos X y γ; todas diferentes solamente en sus longitudes de ondas. Los cuerpos sólidos y líquidos emiten energía radiante que contiene ondas de todas las frecuencias, cuyas amplitudes dependen principalmente de la temperatura del cuerpo emisor y no del tipo de moléculas que lo formen.

En cambio, los gases, emiten energía radiante de relativamente pocas frecuencias, las cuales son características de las moléculas del gas.

Si la radiación emitida por un cuerpo se hace incidir sobre un prisma, se descompone en radiaciones monocromáticas cuyo conjunto se denomina “espectro”. Cada radiación monocromática corresponde a una determinada longitud de onda , que está relacionada con la velocidad de propagación c por la ecuación: = c . T. D0onde T es el período correspondiente al fenómeno periódico al cual responde la radiación.

Por otra parte, T = 1 / ; siendo la frecuencia.

El espectro se puede dividir en tres zonas:

1) zona infrarroja: constituida por radiaciones de longitud de onda superiores a 0,8 .2) zona luminosa o visible, cuyas radiaciones poseen longitudes de onda

comprendidas entre 0,4 y 0,8 . e impresionan la retina humana.3) zona ultravioleta, cuyas longitudes de onda son inferiores a 0,4 ..

La energía radiante es emitida por toda la materia del cuerpo, pero en general, en su interior la energía emitida por cada punto es nuevamente absorbida por eso solamente se libera la energía correspondiente a una delgada capa de la superficie del cuerpo. no solo depende de la temperatura de la superficie sino también de su naturaleza.

DISTRIBUCIÓN ESPECTRAL DE LA ENERGÍA RADIANTE

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Lumer y Pringssheim, efectuaron una serie de experimentos en los cuales tomaban las radiaciones emitidas a una cierta temperatura y medían su energía a distintas longitudes de onda. Así encontraron que la energía en las distintas longitudes de onda no eran uniforme. Si E es la energía emitida con longitud de onda , la energía total a temperatura T está dada por:

ET = E . . d 0

Por lo tanto, el área encerrada por cada curva representa la energía total emitida a esa temperatura, será proporcional a la cantidad de calor transmitida por unidad de superficie y unidad de tiempo.

Se puede observar que a temperaturas bajas, la energía emitida corresponde a radiaciones de longitudes de onda ubicadas en la zona infrarroja. a medida que el cuerpo aumenta su temperatura, emite radiaciones de longitud de onda cada vez menores, alcanzando la zona roja de luz visible y posteriormente al cubrir todo el espectro visible, la luz blanca. Por este motivo, los cuerpos a temperaturas elevadas presentan color rojo y también blanco.

RADIACIÓN INCANDESCENCIA

Hemos visto anteriormente que la energía emitida por un cuerpo depende de su temperatura.La energía radiante recibida por un cuerpo, en general puede dividirse en tres partes:

a) la energía transmitida o programada por el cuerpo sin absorberla;b) la energía reflejada o difundida según las leyes de la óptica yc) la energía que el cuerpo absorbe

La cantidad de energía transmitida, reflejada o absorbida por un cuerpo, depende de la naturaleza del material, de la superficie y de la longitud de onda de la radiación. En

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realidad no existen cuerpos totalmente permeables o impermeables. Por ejemplo, el vidrio es permeable a las radiaciones visibles pero absorbe las infrarrojas.Podemos imaginar la existencia de un cuerpo que sea absolutamente absorbente o sea un cuerpo que absorbiera todas las radiaciones que recibe. Un cuerpo teórico que cumple esta condición, se denomina cuerpo negro.Un cuerpo negro, se puede lograr casi perfectamente practicando un orificio pequeño, de superficie ∆S, en un recinto cerrado, opaco o recubierto de negro de humo, y mantenido a temperatura constante. La radiación absorbida o emitida por dicho sistema, es equivalente a la que correspondería a un cuerpo negro de superficie ∆S, a la misma temperatura. A unos 500 °C, la radiación que emite u cuerpo negro, comienza a tener radiaciones luminosas (rojo cereza). Midiendo la energía de dicha radiación, se puede medir la temperatura del cuerpo, procedimiento en que se basan los métodos ópticos de medición de temperatura en los hornos industriales.

PODER EMISIVO Y PODER ABSORBENTE

El poder emisivo o de emisión E, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor emitida por unidad de superficie y por unidad de tiempo, en una dirección dad. El valor de E depende fundamentalmente del valor de y de T. En general se expresa relacionándola con el poder emisivo del cuerpo negro ideal.Se denomina coeficiente de emisividad e a la relación entre el poder emisivo del cuerpo E, y el poder emisivo del cuerpo negro ES, en iguales condiciones. O sea:

e = E ES

En la expresión anterior vemos que e debe ser un número, independiente de las unidades en que se mida el poder emisivo y cuyo valor está comprendido entre 0 y 1.

Por ejemplo, entre 20 y 200°C, los valores aproximados de e son:

MATERIAL emetal pulido 0,04 – 0,05

metal oxidado 0,80 - 0,90madera lisa 0,80 - 0,90

material de construcción 0,90vidrio liso 0,94

negro de humo 0,98

El poder absorbente o de absorción A, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor absorbida por unidad de superficie y por unidad de tiempo. Su valor depende de y T. Se denomina coeficiente de absorción a, a la relación entre el poder absorbente del cuerpo A y el poder absorbente correspondiente al cuerpo negro en las mismas condiciones AS.

a = A valor comprendido entre 0 y 1 AS

Se deduce entonces que tanto aS correspondientes al cuerpo negro ideal, deben valer 1.

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LEY DE KIRCHOFF

Esta ley establece que la relación entre el poder emisivo y el coeficiente de absorción, es una constante para todas las superficies a valores de y de T dados.Si llamamos E1 y E2 a los poder emisivos de dos cuerpos cuyos coeficientes de absorción son a1 y a2, se deberá cumplir que::

E1 = E2 también igual a ES para el cuerpo negro a1 a2 aS

Como para el cuerpo negro, aS = 1; entonces el valor de la constante es igual a ES o sea el poder emisivo del cuerpo negro en las condiciones de y de T dadas.

E1 = E2 = ES = ES

a1 a2 aS

Vemos entonces que todo cuerpo puede emitir radiación a una y T dadas, según el valor de su coeficiente de absorción.La radiación será mayor cuanto mayor sea el valor de a, en consecuencia el cuerpo negro es el que mayor radiación emite en tales condiciones, pues su valor de a es máximo, igual a 1.Según la ley de Kirchoff, para un cuerpo cualquiera, cuyo poder emisivo es E y su coeficiente de absorción es a, se debe cumplir que:

E1 = E donde ES = poder emisivo del cuerpo negro aPero, según vimos antes, E = e; donde e es el coeficiente de emisividad del cuerpo, en consecuencia:

E1 = e . ES donde e = a aSe deduce que para toda superficie, el coeficiente de emisividad es igual al coeficiente de absorción. Por tanto, si un cuerpo puede emitir una radiación a temperatura T, el mismo cuerpo es también capaz de absorberla en las mismas condiciones. Este fenómeno se conoce como inversión del espectro.Resumiendo lo dicho, se puede establecer que la cantidad de calor transmitida por radiación y por unidad de tiempo, depende no solamente de la temperatura y de la naturaleza de la superficie del cuerpo sino también de las temperaturas y naturaleza de las superficies de los cuerpos circundantes.

CUERPOS GRISES

Son aquellos en los cuales el valor del coeficiente de emisividad e, permanece constante para todas las longitudes de onda y temperaturas. Como vimos que e = a, el coeficiente de absorción también debe ser constante. En la práctica no existen cuerpos grises, pues

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el valor de e no se mantiene constante, sin embargo, en la mayoría de los casos pueden considerarse grises a los cuerpos sin mucho error.El poder emisivo de un cuerpo gris será:

E = e . ES

Esta ecuación se considera válida para todas las longitudes de onda y en un intervalo dado de temperatura.

LEY DE STEFAN BOLTZMANN

Establece que la cantidad total de calor emitida (en todas las longitudes de onda), por unidad de tiempo y por unidad de superficie del cuerpo negro, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo. (Según lo visto antes, la cantidad de calor total emitida es proporcional al área encerrada por la curva de radiación: E = f().

Esta ley se puede expresar matemáticamente:

Donde es el coeficiente de radiación total del cuerpo negro, que se puede definir como la radiación integral, para todas las direcciones y longitudes de onda transmitida por unidad de superficie del cuerpo negro, en la unidad de tiempo y por °K de temperatura. Es una constante universal.Par los cuerpos grises podemos aceptar que:

Q = s S d T4 para un cuerpo gris : = e s

Q = e s S d T4 o . . = e s T4 S d

Donde s = 4,96 x 10-8 Kcal / m2 h ºK4

CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN

Supongamos que un cuerpo 1 a temperatura T1 y de superficie S1 transmite calor a otro cuerpo 2 de temperatura T2 y superficie S2, considerando además que el medio que lo rodea no es absorbente. La cantidad de calor transmitida será igual a la cantidad de calor emitida por el cuerpo 1 a temperatura T1 menos la cantidad de calor reflejada por el cuerpo 2 y menos la cantidad de calor emitida por dicho cuerpo a T2 y absorbida por 1.Si el cuerpo 1 fuera gris y el 2 negro y rodeara totalmente a 1, las cantidades de calor serían:Ejemplo: t1 1 t2

2 cuerpo negro no refleja medio no S1 absorbente S2

Calor emitido por 1 1 = e1 s S1 T14

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El cuerpo 2 por ser negro no refleja radiación

El cuerpo 1 absorbe de 2 2 = e1 s S1 T24

Calor transmitido: = 1 - 2 = e1 s S1 ( T14 - T2

4 )

Si t = T – 273,15 = r S1 ( t1 - t2 )

Donde r = ( T14 - T 2

4 ) e1 s

t1 - t2

αr = se denomina coeficiente de radiación.

CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN Y CONVECCIÓN

Si un cuerpo de temperatura t1 y superficie S1se encuentra dentro de un fluido a temperatura t2, siendo t1 > t2, transmite calor por convección y radiación.(Si estuviera apoyado, también transmitiría calor por conducción a través de los apoyos). El flujo total, transmitido por convección y radiación, según las ecuaciones ya vistas será:

= α . S1 (t1 - t2) + αr . S (t1 - t2)

donde α = coeficiente de convección

= (α + αr ) . S1 (t1 - t2)

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA

ZEMANSKY, MARK W.- CALOR Y TERMODINÁMICA. EDIT. AGUILAR S.A 1979

SEARS, FRANCIS W.- TERMODINÁMICA. EDITORIAL REVERTÉ, S.A. 1969

WILSON, JERRY D.- PHYSICS. EDIT.HEAT. SEGUNDA EDICIÓN, 1983

RESNICK Y HALLIDAY.- FISICA, EDITORIAL CECSA, PARTE I, 1990

CEIT, UTN FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES.- APUNTE FISICA II B, CALOR Y TERMODINÁMICA, 1995

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FERNÁNDEZ Y GALLONI.- FISICA ELEMENTAL. EDITORIAL NIGAR. BUENOS AIRES.1980

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