MATEMATICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS

MATEMATICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS

INGENIERIA EN SISTEMASAlumno: Nuez, JuanDocentes:Prof. Marina BloeckLic. Nori Cheein de Auat

MATEMATICA SUPERIOR RESUMEN UNIDAD N3

AO 2011

Transformada de LaplacePara comenzar con la exposicin primero vamos a demostrar de donde viene la transformada de Laplace, para ello vamos a tener en cuenta la siguiente frmula matemtica, que es la trasformada de Laplace:

La funcin F de la variable independiente s se la llama transformada de Laplace de la funcin original f de la variable independiente t. Para demostrar (1) tenemos que tener en cuenta SERIES DE POTENCIAS pues la transformada de Laplace es un caso especial de SERIES DE POTENCIAS, esta serie tiene la forma:

El resultado de la sumatoria de (2), si converge, converge a una funcin de x:

es una funcin de la variable independiente n, entonces podemos expresar esto de la siguiente manera funcional: (3)Donde nosotros tomamos un elemento del conjunto de los naturales y atravez de una funcin llegamos a:

Ahora vamos a expresar (2) de manera funcional

Esta sucesin es una sucesin discreta Por qu es discreta?, pues simple porque el dominio de lo que estamos siguiendo hasta ahora va desde los naturales a los reales (3), esto significa que entre los valores 1 y 2 no hay ningn valor.

Anlogamente trabajaremos la SERIE DE POTENCIAS pero en un dominio continuo y en este caso entre los valores 1 y 2 tenemos muchos valores, redefinimos la manera funcional de (2) cambiando la variable n (discreta) por una variable t (continua) y t est definida en un intervalo:

Como ahora la serie de potencias est definida en dominio continuo en lugar de trabajar una sumatoria vamos a trabajar con integrales llamando como (4)(4) es lo que conocemos como integrales impropias. En esta integral hay ciertas cosas que tenemos que cambiar, y mirando nos damos una idea de los cambios que tenemos que realizar, claramente tenemos que trabajar En la integral impropia (4) x es una constante entonces:

y son funciones inversas entonces al operar regresamos a la x. Pero como dijimos nosotros queremos sustituir entonces:

Aparte de esta transformacin hay otras cosas que tenemos que tener en cuenta, si x es un valor que es mayor que 1 cuando evaluemos la integral vamos a notar que va a crecer demasiado rpido con respecto a porque tiene un comportamiento exponencial. La nica chance que tenemos para que (4) converja es que el valor de x sea menor a 1 y mayor que 0:

Con este intervalo definido para x tenemos que el : ; Entonces:

Como la variable x del logaritmo natural es continua vamos a definir una nueva variable que sea igual al : con S>0Para hacer ver que el resultado es negativo escribimos S. Ya tenemos listo todo, ahora replanteamos (4) con las nuevas correspondencias:

Y llegamos al resultado que esperbamos. Observemos algo MUY IMPORTANTE de las transformadas de Laplace, nosotros dentro de la integral tenemos (una funcin de la variable independiente t) y nos devuelve (una funcin de la variable independiente s). Nosotros sabemos que:

Con todo esto visto estamos en condiciones de de presentar la definicin formal de la transformada de Laplace.

Sea f de la variable independiente t, para toda . Multiplicando dicha funcin por e integrando con respecto a t desde cero hasta el infinito; entonces, si la integral resultante existe, es una funcin de s, por ejemplo F(s):

La funcin F de la variable independiente s, se llama transformada de Laplace de la funcin f de la variable independiente t y se denota por:

La transformada de Laplace es un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales. El proceso de resolucin consta de traspasos principales:Paso 1: El problema duro dado se transforma en una ecuacin sencilla que la llamaremos ecuacin subsidiariaPaso 2: La ecuacin subsidiaria se resuelve a travs de manipulaciones algebraicas.Paso 3: La solucin de la ecuacin subsidiaria se transforma en sentido inverso, a fin de obtener la solucin del problema dadoEl mtodo se utiliza ampliamente en las matemticas de la Ingeniera, en donde se tienen numerosas aplicaciones. Resulta particularmente til en problemas en los que la fuerza impulsora (mecnica o elctrica, veremos ms adelante ejemplos orientados a la mecnica) tienen discontinuidades

Algunas propiedades

La transformada de Laplace, como trabaja con integrales hereda algunas propiedades de ella:1) Suma de transformadas de Laplace (s1)

2) Trasformada de Laplace de una constante por una funcin (s2)

Linealidad de la transformada de LaplaceDe (s1) y (s2) desprende el teorema de linealidad de transformadas de Laplace, lo vemos:=Entonces:

Existencia de la transformada de LaplaceAhora veremos que no es necesario que la funcin sea continua. Este hecho tiene importancia practica, ya que son precisamente las entradas (fuerzas impulsoras) discontinuas para las que las que la transformacin de Laplace se vuele particularmente til. Basta con requerir que la funcin de la variable independiente t sea seccionalmente continua sobre todo un intervalo finito para , entonces las nicas discontinuidades que puede tener una funcin seccionalmente continua son los saltos finitos; estas se conocen como discontinuidades ordinarias:

t

LA DEMOSTRACION DE ESTE TEOREMA LA VEREMOS MAS ADELANTE, YA QUE NECESITAMOS SABER EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION Y ALGUNAS PROPIEDADES MAS.

Primer teorema de traslacinPrimero vamos a calcular la transformada de Laplace de 1:=Entonces: (5)Para que esto converja condicionamos a S con: S>0Podemos generalizar (5) utilizando (s2):=Entonces: (6)Para que esto converja condicionamos a S con: S>0Prestar especial atencin aqu porque voy a calcular la transformada de Laplace de:

Hacemos un cambio de variable y replanteando:

(7)Si miramos con buen ojo a (7), veremos que es la transformada de Laplace:

Solo que: y Pero como :

Y por ultimo concluimos que:

Es lo que se conoce como teorema de translacin, y nos dice que cuando se tiene una funcin de la variable independiente t y multiplicado esta por provocamos un corrimiento de la funcin en (s-a). Para entender esto imaginamos una funcin de la variable independiente t igual al tiempo (el dominio de esa funcin es el tiempo), la multiplicamos por y esto va a provocar un corrimiento en la lnea del tiempo hacia a (entonces tenemos un corrimiento provocado por ).Ahora vamos a calcular la transformada de Laplace de solo que la funcin de la variable independiente igual a 1:

Sabemos que:

Aplicando el teorema de traslacin (porque a la funcin la multiplicamos por y como sabemos esto provoca el corrimiento de la funcin hacia a):

El cual sera el resultado de la transformada de Laplace de Teorema de la existencia para las transformadas de LaplaceSea la funcin de la variable independiente t seccionalmente continua sobre todo el intervalo del semieje y que satisface:

Para toda y para algunas constantes a y M; entonces la transformada de Laplace de existe para toda . Como la funcin de la variable independiente t seccionalmente continua; es integrable sobre cualquier intervalo finito del eje t. Suponiendo que se obtiene:Teoremas y propiedades que necesitaremos para demostrar el teorema de existencia.

Vemos que a la integral la podemos expresar como:

Aplicando las transformadas y teoremas que hemos visto anteriormente (transformada de una constante multiplicado por f(1) y el primer teorema de traslacin) tenemos que:

Entonces:

Que era lo que queramos demostrar. En donde se necesito la condicin de que

Transformada de Laplace del seno y cosenoVamos a ver una manera diferente de calcular la transformada de Laplace del cos(at) y el sen(at).No vamos a utilizar la definicin de la transformada de Laplace para calcular eso, para ello vamos a recurrir a la formula de euler:

==Por el teorema de traslacin sabemos cul es la transformada de , entonces:=Calculando el comn denominador (multiplicacin del complejo por su conjugado):=

Finalmente:

De manera anloga por formulas de Euler procedemos a calcular el sen(at):=Calculando:=Finalmente:

Transformada de Laplace de Todava no hemos trabajado transformadas de Laplace de polinomios, por ello vamos a empezar calculando hacindolo por definicin:

Para resolver esta integral vamos a utilizar el mtodo de integracin por partes, realizamos clculos auxiliares:CALCULO AUXILIAR

udvCALCULO AUXILIAR

Y recordando el mtodo de integracin por partes:

Regla mnemotcnica: "Un Da Vi Una Vaca sin rabo (menos integral)Vestida De Uniforme".

dt = dt (i2)Vamos a analizar (i1):Para el extreme inferior = 0

Para el extreme superior =

Pero como es indeterminado vamos a trabajar un poco ms:

P(t)Q(t)Indeterminacin de tipo:

Los posibles casos son:ResultadoCondicin

Si el grado de P(t) es mayor que el grado de Q(t)

0Si el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t)

Si el grado de P(t) es igual que el grado de Q(t), siendo a y b los coeficientes de los trminos de mayor grado de P(t) y Q(t)

En nuestro caso el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t), porque sabemos que la exponencial (Q(t)) crece ms rpido que (P(t)), entonces:

Con esto queda claro que (i1) se hace cero cuando lo evaluamos en infinito y en cero, ahora solo nos queda trabajar con (i2):

Esto no es ms que la transformada de Laplace de ; Replanteando tenemos que:

Pero como :

Y sabemos que:

A partir de las transformadas demostradas formamos la siguiente tabla:f(t)F(s)

Obtencin de la transformada de Laplace a partir de una grafica de funcin

11f(t)t

La funcin que vemos en la grafica est definida por trozos, en el intervalo para t de 0 a 1 tenemos una funcin (todava no sabemos cul) y cuando va de 1 al infinito dicha funcin vale 0 Para calcular cual es la funcin en el intervalo para t de 0 a 1 suponemos que:

Para encontrar la ecuacin de la recta hacemos:

Para:

Para:

Entonces:

Ahora trabajamos con la definicin de la transformada de Laplace y como en nuestra grafica tenemos una funcin dividida en trozos tenemos que:

Solo nos resta trabajar con: ; integramos por partesCALCULO AUXILIAR

Entonces:=Segundo teorema de traslacinEn sntesis, recordando el primer teorema de traslacin nos deca que el corrimiento de la funcin era sobre la variable s. Lo que nos dice este segundo teorema es que al multiplicar la funcin por vamos a generar un corrimiento, pero ese corrimiento es especial porque la funcin de la variable independiente t solo est definida para valores de t positivos (t>0), entonces el corrimiento tiene que ser solo para valores positivos. Para demostrar este corrimiento necesitamos hablar de una funcin que se llama ESCALON UNITARIA:

La funcin escaln unitaria () est definida por tramos, y esto nos indica que para cualquier valor de t la funcin esta con el valor 0, cuando esta dicha funcin toma el valor 1.

1af(t)t

Una explicacin un poco mas practica seria decir que la funcin para valores de esta apagada (con valor 0, color azul en la grafica), cuando los valores la funcin se enciende (toma el valor 1, color rojo en la grafica).Con la funcin escaln unitario podemos escribir como se comportan funciones definidas por pedazos, por ejemplo:

Esto nos indica que nosotros necesitamos que g(t) funcione en el valor 0 de la variable independiente t (es decir que g(t) tome el valor 1) para esto hacemos que el escaln unitario se levante a 1 en 0 de la siguiente manera:

Ahora cuando necesitamos que se active la h(t) y g(t) se desactive, entonces hacemos:+Y cuando necesitamos que h(t) se desactive:+

Entonces ya tenemos definida f(t) como una funcin de escalones unitarios, veamos todo esto grficamente:

af(t)0g(t)h(t)

b

1t

Ahora vamos el segundo teorema de traslacin:A continuacin vemos la grafica de con t

Veamos lo que pasa si nosotros escribimos :a

t

Lo que sucede es cuando le restamos una constante al dominio, corremos la funcin hacia a (en lugar de estar el origen en 0 est en a), y como consecuencia de esto empezamos a ver una parte de la funcin que antes no veamos por la condicin de (en el grafico es la parta roja). Para calcular la transformada de Laplace de la funcin corrida en a tendremos que quitarle esa porcin de curva que apareci, lo que hacemos entonces:

Multiplicamos la funcin corrida en a por el escaln unitario de menos a, y esto produce:a

t

Que es lo que nosotros queramos y tenemos un corrimiento puro de , ahora si calculamos la transformada de Laplace de :

En el intervalo de vale 0 entonces:

Ahora trabajamos conCALCULO AUXILIAR;t=u+aLimites de integracin

Podemos observar aqu que:

Entonces:

O bien

Por lo tanto:

Se puede ver muy bien que el segundo teorema de traslacin es muy parecido al primer teorema de traslacin, pero lo que est pasando es que al multiplicar por una exponencial a la transformada de Laplace provoca una traslacin en nuestro dominio t, y dicha traslacin es pura porque solo nos queda la parte positiva de f de la variable independiente t, lo que es distinto al primer teorema que nos provocaba un corrimiento de s hacia a

Transformada de una derivadaLa derivacin de una funcin de la variable independiente t corresponde simplemente a la multiplicacin de la transformada F por s. Esto permite reemplazar las operaciones del clculo por simples operaciones algebraica sobre transformadas

Vamos a trabajar con: y como es una integral impropia tenemos que cambiar los lmites de integracin

Tenemos y eso se siente como que es el diferencial de la funcin. Y como hay un diferencial vamos a hacer una integral por partesCALCULO AUXILIAR

Entonces:

Miramos:

En el caso de: , el signo menos del exponencial hace que este se convierta en denominador y esto ya lo hemos visto anteriormente. Sea y y , como en el denominador se encuentra el exponencial (todo esto para que la funcin converja y exista la transformada de Laplace), y este crece mucho mas rpido que el denominador cuando b tiene al infinito el resultado de ese cociente va a ser 0. Nos queda:

Y como :

Y esto es equivalente a decir:

Que es lo que queramos mostrar, y en base a esto ya podemos ir subiendo el orden de derivacin:

Y y entonces:

Y as podemos generalizar para derivadas de orden n:

Transformada de Laplace: AplicacionesUn sistema dinmico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningn tipo de control. La Figura 3 ilustra de un modo conceptual el funcionamiento de un sistema de control. El campo de aplicacin de los sistemas de control es muy amplio y una herramienta que se utiliza en el diseo de control clsico es precisamente la TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Por qu Transformada de Laplace?En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinmicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo, esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemticamente el comportamiento de un proceso. El problema es que las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento dinmico de los procesos naturales son muy complejas y es ah donde entra en juego la transformada de Laplace que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio Ejemplo: Suspensin de automvilesPara poder disear un sistema de control automtico, se requiere: Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuacin diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas, qumicas y/o elctricas. A esta ecuacin diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede disear el controlador.

f(t)

z(t)kbmFuerza de entradaDesplazamiento, salida del sistema

Despus:

Funcin de transferenciaUna funcin de transferencia es un modelo matemtico que a travs de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una seal de entrada o excitacin (tambin modelada). Entonces resumiendo este enunciado tenemos que la funcin de transferencia: Representa el comportamiento dinmico del proceso Nos indica cmo cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

Proceso

Entrada del proceso(funcin forzante oestmulo)Salida del proceso(respuesta alestmulo)

Para el ejemplo de la suspensin del automvil tenemos que:Entrada(Bache)Salida(Desplazamiento del coche)

ConvolucionSi y de la variable independiente t son las transformadas inversas de F(s) y G(s), respectivamente, y satisfacen las hiptesis del teorema de existencia, entonces la transformada inversa h(t) del producto H(s) F(s)G(s) es la convolucion de y denotando y se define por:

Las propiedades de la convolucion de transformadas son:

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