Transformada de Laplace [Eduardo Espinoza Ramos]

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Transform ada

E C U A C IO N ESDIFERENCIALES

S O L U C IO N DEL PR O B LEM A

PROBLEMA

ALGEBRAICO ALGEBRAICA

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

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Ecuaciones Diferenciales

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IMPRESO EN EL PERU 2da. Edición

15-10-97 '■ ^

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DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.

RUC í , 19369978 s C ii í■ ' - , ■ * ' l# ii .3? -

Escritura Pública : N "4484

Registro Comercial : N®10716

j Ley de Derecho del Autor NM3714 '1 ' .

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DEDICATORIA

Èste libro lo dedico a mis hijos RONALD y JORGE,

que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser

guías de sus prójimos. '


r -www.elsolucionario.net

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PROLOGO

En la presente obra intitulada “ Transformada de Laplace ” en su 2da. Edición, he dado un trato especial al estudio de esta materia por ser de uso cotidiano en las carreras profesionales de Ciencias Matemáticas e Ingeniería.

Expongo una teoría concreta con problemas que motivan la solución de otros ejercicios que se proponen. La selección de los temas en cada capitulo es a ba.se de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y con las sugerencias brindadas por los colegas del área de matemáticas de las diversas universidades de la capital.

. I ' ' 'El libro empieza con el estudio de las funciones seccionalmente continuas y de

orden exponencial, la Transformada de Laplace y sus propiedades, las funciones especiales, la transformada inversa y concluye con las aplicaciones en la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales. '

La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento del Cálculo Diferencial e Integral y de las Series de Potencias.

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas por sus sugerencias y apoyo en la realización de esta obra.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra.

Eduardo Espinoza Ramos.


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INDICE'A ■ ■

CAPITULO I


1.

> < i

Conceptos Básicos. ' .

Pag.

12. Definición de Transformadas. 2 '3. Condición suficiente para la existencia de L{F(t)}. 34. Funciones Seccionalmente Continuas. 35. T Funciones de orden exponencial. 76. Teorema de existencia de L{F(t)}. 107. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. 128. Tabla de Transformada de Laplace. , 149. Propiedades de la Transformada de Laplace. 1510. Transformada de Laplace de la multiplicación por potencia de í " . 1911. Transformada de Laplace de la división por t. 2112. Transformada de Laplace de la derivada. 2413. Transformada de Laplace de integración. 2714. Aplicación de la Transformada en la Evaluación de Integrales. 2915. Ejercicios Desarrollados. 3216. Ejercicios Propuestos. 56

CAPITULO II

1. Función Periódica. 722. Función Escalón Unidad. , 753. Función Impulso Unitario. .· 814. Función Gamma. : , 825. Propiedades de la Función Gamma. : 836. Función Beta. 877. Propiedades de la Función Beta. > 878. Función Bessel. ‘ 899. Propiedades de la Función Bessel. 9310. Ejercicios Desarrollados. 9611. Ejercicios Propuestos. 144


CAPITULO III

1. Transformada Inversa de la Laplace.

Pag.

1692. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. 1703. Transformada Inversa de Laplace de derivada. 1734. Transformada Inversa de las Integrales. " 174S. Transformada Inversa de Laplace de la división pof S. ' 1756. Transformada inversa de Laplace por el método de las '

fracciones parciales. 1767. Formula del desarrollo de Heaviside. 1778. Definición de la Convolución de las Funciones. 1799. Teorema de la Convolución. ’ 18010. Teorema de Convolución para las Transformadas Inversas. ’ 18211. La Función Error. ■ 18612. Función Complementaria de Error. 18713. Las Integrales del Seno y Coseno. 18714. La Integral exponencial. 18715. Ejercicios Desarrollados. ‘ ■ ^ 18816. Ejercicios Propuestos. ■ ■ 220

CAPITULO IV

Pag.

1. Aplicación de la Transformada de Laplace en la Soluciónde la Ecuación Diferencial. 234

2. Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por elmétodo de la Transformada de Laplace. , , 238

3. Una Ecuación Integral. ;; 2414. Una Ecuación Integral - Diferencial. 2425. Resortes Acoplados. 2456. Redes Eléctricas. . ;7. Ejercicios Desarrollados. 2528. Ejercicios y Problemas Propuestos. . r 2859. Apéndice. ih: ; 304



CAPITULO I

1. CONCEPTOS BÁSICOS.

1.1 Introducción.- En el cálculo elemental se estudió la derivación eintegración los cuales gozan de la operación de

linealidad, es decir; '

^ [ a f (X) + pg(x)] = a - ^ f ( x ) + p - ^ g{x) dx dx dx

[(r f {x) + Pg(x)]dx = a j f ( x ) d x + )3j g{x)dx

donde a y p son constantes reales arbitrarias.

La integral definida de una suma también goza de la operación de linealidad, es decir:

La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión por ejemplo:

^ x ^ ^ l x ^ , [ x ^ d x ^ ^ ^ c , [ \ ^ d x = A.dx J 4 Jo

nosotros e.stamos interesados en una integral impropia que transforma una función F(l) en otra función de parámetro s, al cual se le llamará Transformada de Laplace, es decir, que la transformada de Laplace es una operación que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s.

i


1.2 Defínición.- Sea F: [0,oo > -^R, una función definida para t > O, entonces a la función f definida por:

f (x) = e ' 'F( t)dt= limO ¿>->+00

Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista. Simbólicamente a la transformada de Laplace de F se denota por: L{F{t)}, es decir:

•+CO£{F(í)} = _ e-^^F{t)dt=f(s)

0

Ejemplo.- Calcular L{F(t) } , donde F(t) = t

Solución

J'+CO i»+üC> ph he~^'F(t)dt = í e-^'í dt = Um e~^'tdt = lim

O J o ib -^+opJo s V ®

= lim [( -he -sh ^-sh 1 1

A->+co- ) - (0 - - 4 - ) ] = 0 - 0 + — = — '

s s

L{í} = — , para s >0. s

Observación.- El uSo del símbolo de lim F{t) / ' ’ vamos a reemplazar por la*->+01

notación F (x ) e s decir;

J'+OOt e - ' ' d t ^ ( -

O í/ + CJO 1

o = T T ' '^>0

Entendiéndose que en el límite superior, cuando t +<xi, e O, para s > 0.

2

1.3 Condiciones Suficientes para la Existencia de L {F(r)}.- .

La integral impropia que define la Traasformada de Laplace no necesariamente1 , 2

converge, por ejemplo; ni L{—} ni L{e } existen.

Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L{F{t)} son que F(t) ■sea continua por tramos o seccionalmente continua para t > O y además que -sea de orden exponencial para t > T.

1.4 Funciones Continuas por Tramos o Seccionalmente Continuas.


Deflnición.- La función F: [a,b] -> R, es continua por tramos o seccionalmente continua en [a,b] si ;

i. Existen puntos en [a,b] tal que: a = ío < í] < /2 ¿ . .. í„ = A, donde F escontinua en cada subintervalo t. para i = 0,1,2,..., n, salvo endichos puntos.

ii. En cada punto t. &\a,h\ exi.sten los límites F ( t ¡ ) = lim F(t +h),A - » 0 *

F {t i )= lim F ( t ¡ - h ) ./i-»0"

1 Observación.- Consideremos una función F: [a,b] -> R seccionalmente continua.


A la diferencia F ( í ¡ ) - F{t¡ ) = Á. se llama magnitud del salto de la función en el punto r,.. ‘ '

I ,

Ejemplo.- La función F (/) = [|{|] es continua por tramos en [0,4].

' ' ■ >í|'Si t e [0,1> F(t) = 0

t e [1,2> =>F(t)= 1

t e [2,3> =>F(t) = 2

t e [3,4> => F(t) = 3

para t = 4 => F(t) = 4

EJemplo.-

La función F(t) =

O si 0< t <l

si l < t <2 , ¿Es F continua por tramos?O si t >2

Sojqclén

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/¡’( r ) = lim F { \ - h ) = lim 0 = 0A->n- /i->o

lim F{\ + h)= lim (ì + tì)^ = \*-->0* A-»0*

F(2 )= lim F ( 2 - h ) = l i m ( l - h r = 4A-»0" A-»0'

; F{2^ ) = lim F{2 + h)= lim 0 = 0fc-*0* . A-»0*

además F(t) es continua V t e <0,c»> salvo en t = 1,2. Luego F(t) es una función continua por tramos en <0,oo>.

Observación.- Toda función continua en [a,b] es continua por tramos en [a,b].

Ejemplo.- Determinar si la función F(() = ln(/^ +1) es continua por tramos en [0,oo>.

Solucióníc5 ■ ■■

La función F(t) ~ ln(/^ +1) es continua V t g R, en particular es continua,

V t ¿ O entonces F ( í ) = ln(/^ +1), es continua por tramos en [0,+oo>.

Ejemplo.- Determinar si la función F(t) = es continua por tramos.

Solución

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F{2*)= lim F(2 + A)= lim A l l = +a,A-»0* A-»0* h

F(2 )= lim F ( 2 - h ) = lim 1 —^ = -coA - » 0 ' A - » 0 - - h

corno 3 los limites, por lo tanto la función F(t) no es continua por tramos.

Observación.-

1. Si F es una función continua por tramos en [a,b], entonces dicha función es

integrable en [a,b] es decir: 3 J F(t)dt

En efecto: como F es continua por tramos en [a,b], con discontinuidad en <0. <1. <2......‘n y posiblemente en a,b.

H----- 1----- h-t, ■ ■■

Entonces a la integral F { t )d t , se define como:Ja' í ■

f* , rf'""* f'i"* f*-*\ F(í )d t = lim [ F ( t )d i+ \ F(t) dt+...+ F(t) dt

J f l A - » 0 J f l+ A J / „ + A J / , + A

*f·■ ■ ■ ' ■ ■ íí.

como este h’mite siempre existe, entonces 3 í F(t)dí

m

2. Si F y G son dos funciones continuas por tramos en [a,b], entonces el producto también es continua por tramos en [a,b]. (Probar; queda como ejercicio).

1.5 Funciones de Orden Exponencial.-

Definición.- La función F: [0,+oo> -> R, es de orden exponencial si existen constantesc > O y a tal que |F ( í) (^ c e “ ' , V tSO .

Ejemplo.- Toda función constante es de orden exponencial. En efecto;

Sea F una función constante => 3 c > O tal que |^ (í) | ^ c , V t > O entonces

iF ÍO l^ c e " .

Es decir que F es de orden exponencial haciendo a = 0.

£jemplo.- Determinar si la función F(r) - e“ eos b t , es de orden exponencial.

. Solución · -

Como |cosftí| < 1, V t ^ O entonces e“'|cos¿>í| ¿ e " , V t > O de donde

e " cosftf ^ e " => |F ( í)| < e“' .

Luego F(t) = e " eos bt es de orden exponencial tomando c = 1 y a = a.

Propiedades.-

1. Si F: [0,+oo> R es una función seccionalmente continua en [0,+oo>, entonces;

i) La función F es de orden exponencial siempre que existe a e R tal que

í-»«.

F(t)ii) La función F no es de orden exponencial si: lim — — = oo .

l-tcr, e

Ejemplo.- Determinar si la función F{t) = t" es de orden exponencial para tt e Z * , V tSO ."

Solución

FU) t ”lim —~ = lim ^licando la regla de L’Hospitalí->00 g 1- a. e

í" n(K-l)(w-2)...2.1 1 n\ 1 n\= lim — ---- ---------------------- l im—- = — -¡im — =-— {0) = 0 y a > 0

a ” a"

por lo tanto F ( í) = í " es de orden exponencial V/ > O

Ejemplo.- Determinar si la función F(t) = e' es de orden exponencial.

Solución

F(t)lim — — = lim — - = lim e = +oo at aiQ »or- Q /—>QO

Luego la función F(t) no es de orden exponencial.

2. Si F , G\ 0, 00 >—> R , son dos funciones de orden exponencial, entonces el producto de F y G ¡son de orden exponencial.



En efecto:

Como F y G son de orden exponencial => e x is te n a j.a j.v Cj.Cj > 0 , tal que;

F{t)\ < c ie" '' y \g (î )\ < ,V i > 0 ■

F(t).G{t)\ = |F(0|lC7(i)i < .

= Cj.G2^^" entonces |F (í) G(í)¡ ^ ç“*. entonces F (t). G(t) es de ordenexponencial. ,

3. Si F, G: [0,oo >-> R son dos ftinciones de orden exponencial, entonòes la suma de F y G es de orden exponencial.

(Queda como ejercicio para el lector).

Ejemplo.- Demostrar que la función f ( t ) = t ” senkt es continua por tramos y deorden exponencial en 0,+oo >. '

Solución

Sea / ( í ) = / j ( í ) - / 2 (í) = í" senfo, donde fy{ t) = t ”, / j ( í ) = senA^í, la fiinción

= es continua V i s R , en particular f^{t ) = t ” es continua en [0,+oo> por lo tanto f ^ ( t ) = t" es continua por tramos (por la propiedad que toda función continua en [a,ft]es continua por tramos en [a, A] ).

La función {t) = sen kt , es continua V t c R , en particular es continua en[0,+oo >, por lo tanto / j (í) = sen kt es continua por tramos.

Entonces como f ^ ( t ) = t ” y / j í O = senXríson continuas por tramos entonces

/ ( / ) = t" senkf es continua por tramos ahora demostraremos que (t) = í"es de orden exponencial; para esto demostraremos que;

A (O í" n\ . „lim — — = O, es decir: lim = lim — = O, entonces / , (r ) = í es deí cD c /-►cjoCÍ 6orden exponencial. .

Ahora demostraremos que / 2 (í) = sen^í es de orden exponencial, para esto

existen c y a , tal que \ f i (o| ^ ce“" , pero jsen kt\ < 1 de donde \ f i (í)| ^ 1 = tomando c = 1 , a = O se tiene que f i i t ) = sankt es de orden exponencial por lo tanto como = y / 2(í) = sen/tr son de orden exponencial, entonces:

f ( t ) = t ” .senkt es de orden exponencial.

1.6 Teorema.- Si la función F:[0,+oo>-»/?, es seccionalmente continua y de orden exponencial a entonces 3 f { s ) = L{F(í)}, V s >‘a .

Demostracién

Por hipótesis se tiene que F(t) es de orden exponencial a = > 3A /> 0 , tal que1 l· tb

F (í) |< Afe“ , V /> 0 . Además por propiedad \ F(t)dt < ya a

·+«) faL{F(t)} = e ’‘'F{t)dt = lim e^ ' 'F( t )d t . ,

•'O •'O

Luego e~^'F(t) = e F{t) < V t> 0 puesto que

|F (í) |^ A /e " , V tS O1

Es decir: e *'F(/)j < ,V t >0, a esta desigualdad integramos de O hasta a.

r e ‘”F{t)dt< = / * ,Jo Jo s - a / o

fa M '[ e^^‘F (t)d t < -------- (e (*-“ )" - 1)Jo s - a

Ahora tomamos límite cuando a -> +oo

lim í“ e“"' F u j d í < — ^ lim - 1) :« —»+0 0 *0 S ^ ex a —»+00

Ms - a

JO

'+«)

oe ' 'F(t)dí < —j - , s > a

■ ■ ' ■ . . . IL ■■ .


Af

#+cr -+DCpor lo tanto e es convergente, entonces existe I e ‘''F íO í/í esto

quiere decir que: , “' 3L{F(t)} = li(s) . á!

Observación.-· . ■

1) Si F: [0,oo> —> R es una fiinción continua por tramos y de orden exponencial, se llama función de clase A.

2) Si F: [0 ,+ o o > R es una función de clase A entonces 3 L{F(t)}.

3) Si 3 L{F(t)} que F sea una función de clase A. i . *1 .«

'■ ' ■ '.i' m'n:.1.7 Teorema.- Sea F(t) una fiinción continua por partes para t > O y de orden

exponencial para t > T; entonces lim L{F(t)] = O·” i->oo

Demostración

Como F(t) es continua por partes en O < t < |T, es necesariamente acotada en este intervalo.|F (0 |< A fi = A/je”' , además \ F i t \ < M ^ e ^

para t > T. Si M denota el máximo de {A/i, M 2} y c, el máximo {0,A.} entonces'

J.oo fm / “ Me ^ ' \F ( l Í d t< M \ e ’ . e ^ d t ú - M - --------- = -------p a ra s> c

o ' ' Jo s - c ! a s - c

\L{F{t)}\ < para s > c. Cuando s —» 00 tenemos que:; ' p' -í "" '

\L{F{t))\ -> O y por lo tanto lim L{F{t)) = OS-*V>

l

11

r»'-


1.8 Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.

Encontrar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones.

1) F (í) = e*' ii . ,í'ofSolMclén .

Aplicando la definición de Transformada de Laplace

J*~4'Q0 *+0D 'e‘ ".e*'A = r =

O Jo

e-{s-k)t j j "= - —— — / = ------- r ( 0 - l ) = ---- T P a ra s> ks - k / o s - k s - k

por lo tanto / ( j ) = Z,{e*'} = — — p a ra s> k i |!s - k

Observación.- Cuando k = O se tiene:

/ ( j ) = Z,{l} = - p a ra s> 0 . s

2) F{t) = í"Solución -

■ #+00/ ( s ) = i(F (í)} = Z,{í” } = integrando por partes se tiene;

¡u .,· ^dv = e dt

d u ^ n t " ^dt-Ste

v = —

J*+o o / + « . n ^ + 0 0 ,

e - " í " * = - -------- + - Í e - " í" - ‘í/ío S / o í J o

para s > O, n > O, -> O, cuando t +oo, luego se tiene;

12



siguiendo el mismo proceso se llega a que;

1)} = Z,{í} = - I { í" } = puesto que I{1} = - , que reemplazando en

■ ! ', . n w-1 1 1 w! "(a) se tiene; / (.V) = —.

X X S í ' ? — · j » + l f

f f. _ '

/(.v) = ¿{/"} = ^ .s i s > 0

3) F{t) = sen at

Solución

/·+!» _ ./■(í) = i{sen a i} = e sena td t , integrando por partes.■ Jo

/(.y) = e / " *, para s > p, ^ " -> 0 , cuando t +«,

’ Qentonces; f{s) = Z{sen at) = —----- - , si s > O• + a

4) F(t) = cosat -»Solución' ■

En forma similar que la función anterior.

J 1+01 _ g

e " cosai dt = — — - , si s > Oo . s +a

Es decir; f{s) = ¿{cosai} = —--- ■ , si s > O ' s +a „

13



Tabla de Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.

F(t) L{F(t)} = fTs)

ni_n+l , s > 0

s - a ,-, s > a

sen at, s > 0

eos at, s > 0

senhat"i-

cosh at, s > | a |

e*' sen at{ s - b Ÿ +a^

e*' eos at s - h( s - b ) ^ +a^

e*' senhaí( s - b Ÿ - a ^

e*' coshar s - b-a^

Ejemplos.- Calcular L{F(t)} donde F(t) es dado:

1) F(í) = í'S slu^

4 4! 24L{F{t)] = L{t*} = — = —

s s

14


2) F(t) = sen20t


Z-{F(/)}= I{sen20í} =

3) FU) = cos^ 4í

Soluçito

20í +400

Solución

i{F(/)} = L{cos' 4t] = )

4) F(t) = sen 7tt eos JTl

2 ' 2 ' . V . y ^ + 6 4 '

Solución

, ^,sen2nrí, V ^ ^¿{^(0} = ¿{sennJ.cos;ií}= L{— ;;— } = — ( - 2 ------- t ) ~ '

5) F(í) = sen^ nt

2 2 s +4jt 5^+4;r^

Solución

, l-cos2 ;rí l 1^1 \L{F(t)} = L{sen^ = L{------ ------} = - L { l - c o s 2 ;ir} = - ( — -^ -------- 5-)

^ 2 s X +4n

1.9 Propiedades de la Transformada de Laplace.-

a. Propiedad de Linealidad.-

Sean F,G: [0,oo> R, funciones continuas por tramos y de orden exponencial entonces:

L{aF{t) + m t ) } = aL{F(t)} + j8I{G(/)}

Demostración

Mediante la definición de Transformada se tiene:

15



Í’+co , e ^'{aF(t) + pG{t))dt

r, ' f+«’ cíe~' F{t)dt + p \ e~"'G(t)dt = aL{F{t)} +pi{G{ í) i

.·. L{aF(t) + l3G(t)] = aL{F{t)] + {G (r)}

Ejemplo.- Calcular L{F(t)}, donde F (í) = +cos2t+e^'

Solución

2 V 1L{F(t)} = L{t^+ eos 2t + e^'}= L{t^) + £{cos 2t) + L{e^'} = - ^ + — +

í ^ +4 .v- 3

b. Primera Propiedad de Traslación.-

Si F: [0,+oo> -> R, es una ñinción continua por tramos y de orden exponencial y si L{F(t)} = f(s) entonces para a O se tiene.

L[e‘“FU)} = f ( . s - a ) , s> a

" Demostración

Mediante la definición de Transformada se tiene:

J*+ooe~'‘*F{t)dt = / (*v) entonces

o

J*+QO · ■· — ■ »+00e-^'.e“'F(t)dt = = f ( s - a )

O í / ^ 0

.·. L íe‘" F (0 } = f { s - a )

16


Ejemplo.- Si F (í) = / V ' . Hallar L{F(t)}.

Solución

i{í^} = - T = " T = /(·^)* entonces: L {íV '} = / ( í - 4 ) = — ^ s s ( í - 4 )

, · . i(,V '|---- í - f ,( s - 4 f ■

Ejemplo.- Si F (/) = c" 'cos2 í. Hallar L{F(t)}

Solución

sSea Z.{cos2t} = ----- -- f { s ) , entonces;

r +4

¿ íe ' eos 2 í} = / ( J +1) = —( s + i r + 4

-í . ■í+l.·. L{e cos2í) = -^----------j + 2 s+ 5

c. Segunda Propiedad de Traslación.-

Si F; [0 ,+oo>^R , es una función continua por tramos y de orden exponencial y;

O , t <aSi L{F(t)}=f(s) y G{t) :

Demostración

Mediante la definición de transformada de Laplace

17

L{G (t)}=\ e " C ( i ) r f i= e"G (i)< /i+ G{t)dt Jo Jo Jfl

f+a> f+OO;= 0 + J e~"'G(t)dt = ] e~‘"G{t)dt

a a

Es decir: Lz{G(t)} = e” G(t)dt

, V*·ahora calculamos la integral, haciendo la sustitución:

u = t - a => t = u + a => dt = du, reemplazando en la integral se tiene:

f+00 , . f+00 L {G (t ) i= \ "’G(«+a)</M = e ' “ J e~^F{u)du = e~‘" f { s )

por lo tanto: I{G(0} = e“*“/ (5) .

í ( / - 2 ) \ í > 2 Ejemplo.- Hallar L{F(t)} si F(t) = i

O , t <2 .


Solucién

Sea ¿{í '} = 4 = m => L i m ) = e-^‘m =s s

' « e -.·. L{F(t)} = — ^

s

d. Propiedad del Cambio de Escala.u Ü

Sea F : [a,+oo> —> R, una función continua por tramos y de orden exponencial.

Si I{F(í)} = f ( s ) => ^ F i a t ) ì = - f ( s / a )a

Demostracién

18


Aplicando la defínición de Transfomada de Laplace.

Í+Of>

e~’"F(at)dt, calculando la integral se tiene:

, u du j ssea M = aí t = — dt = —

a a

P+Vj · i -400 , I P

L{F{at)} = e " F(at)dt = - í e - ’‘‘'F(u)du = - / ( - )Jo a Jo a ' a

I{F (a í )} = - / ( - )a a

Ejemplo.- Hallar L{sen 7t}

Solución, ■ ■' o

Sea ¿{sen7í} = -r-í— = f ( s ) , entonces +1 ■

7 7 7 ,2 ' ,2 ^ 4 9— +1 49

5^+49

1.10 Transformada de Laplace de la Multiplicación por Potencia- d e t " . :

í , l ' - ·

Teorema.- Consideremos la fiinción f: [0,+oo> -> R, continua por tramos y de' ’ I I * ' ' Jl ' ’

orden exponencial, si L{F(t)} = f^s), entonces

d"I,{/"FÍÓ} = (-1 )” — par as >0. \ / n &

19



como

Demostración

#+•00L{F(t)} = f { ^ ) => /(>^) = e~"F{t)dt Jo

aplicando la regla de Leíbnitz para la derivada bajo el signo de integración se tiene:

as ¿¿v/o * •'o ds j

ñ+a>

= - te - ' 'F(t )d t = -L { tF( t )}

d .Es decir que: L{tF(t)} = ----- / ’(.v), se cumple para n = 1

ds

ahora generalizamos el teorema usando inducción matemática.

Suponiendo que el teorema es válido para n = h. ' ■

d^Es decir: L { t ' 'F { t ) } - ( - \ ) ’' —r / W , lo que es lo mismo.

dsd''J e = ( - ! ) * derivando por la regla de leibnitz se tiene:

o ds

A+l

f+t» d ^Es decir: e~’“t ‘'^^F{t)dt = ‘ àTT/Ì·^)

Luego como n = h el teorema es cierto, entonces el teorema es válido n = h + 1 y como también es válido para n = 1, entonces se cumple para todo n e , por lo tanto.

ds

20



EJemplos.-

1) Demostrar que ¿{icosa/} = —5---2~T .' ( . V + a ) '

Sojucién

„ , i/ . d , s a ^ - s ^L{t cosai} ----- ¿{cosaM ------ (-^----- r ) = - ------ -----n — -----ì-----TT^

' ds \ , V ds s^ + a ^ ’ '■ ( s ^ + a ^ f {s^+a^)^

· ■ · =

2) Hallar /,{i(3sen2/-2cos2i)}

. Sojudto

d d 6 2sZ,{f(3sen2i-2cos2i)} = ----- I{3 sen2 i-2cos2 i} = - - r (~ 7 ----- ; - ~ 5 ----- )

ds ds s +4 s +4

d ,ls-(>^ 2(.v^+4)-(2.v-6)2j 2 ì^+ 8-4.v^ +12.» 8 + 12.v-2.v^” , V 5 . ) ” ■

ds s^+4 ( í^ + 4) ( í^ + 4 ) ( í^ + 4 )

T . ^ 8 + 12í - 2 í^.·. ¿ { í(3 s e n 2 í-2 cos2í)} = ----- i------ i—

‘ " (s^+4f

1.11 Transformada de Laplace de la División por

Teorema.- Consideremos una función F: [0,oo> —> R continua por tramos y de

orden exponencial si L{F(t)} = fl[s) entonces

F(t) r+ooFit)L { -L L ] = \r { u )d u

t '>S

Demostración

- . F(t) ' ■ ·');■ * ' 'Consideremos G(t) = — — de donde F(t) = t G(t) aplicando la Transformada de

Laplace a ambos lados L{F(t)} = L{t G(t)} y por el teorema (1.10) se tiene:

21


L{F(t)} = - — L{G{t)} de donde — L{G(t)] = -L{F(t)} = - f { s ) , y se tiene ds ds ■

' L{G(t)} = - f(s) ds integrando se tiene: L{G(t)} = - f f(u )du ^ \ f{u)duJoo* i s

Luego = Í 7 {m)ì/« “

.......' ' ■Observación.- La constante de integración se escoge de tal forma que lim g(s) = 0

i


Ejemplo.-

s + b1) Demostrar que: L{------------- } = ln(------ )

/ s+ai ' . ; " ■

Siolución'/.■/ ■ ' ·

¿{e-“' - e-*' J = L íe“ > - ¿{e-"' } = — ------ - ^ = / ( s )s+a s+h

ahora aplicamos la Transformada de la división 'i, ■ ■'

g - “ ' ( · + ! » I I X ,

L{-------------- }= I (-------------- -)du = [\n(u + a)- \r \(u+h)] lt Js u + a u + h I “

. ,u + a^ ,ot. „ , , s+a^ , ,n+h,= ln(------ ) / = O - ln(---- - ) = ln (-— )u+h '» s+b J+fl

t s + a

^ 1 1 . .c o s í-c o s h í2) Calcular: L{---------------- }

Solución

s¿{cosí -cosh t} = ¿{cosí} - ¿{cosh t) = -5----------5- — = f { s )

-'í- ■ j +1 í -1 i'Ar

ahora aplicamos la Transformada de la división * =

22


co s/-co sh í f+«' u u 1 ' 1 1 1L{------- -------- } = [ (7 7 7 - 7 - 7 )'^« = [- ln (« + l ) - - l n ( « -1 )]/^

■ ,

c o s í- c o s h / . 1 ,K------ ;------ i - i i ”(777)


Solución

, , 1 1 2L { \ - e + sen 2/} = ¿{1 }-¿{e } + I{sen2tTZ ------------ +—----- = /(.v)

s Í - 1 s +4

ahora aplicamos la Transformada de la división , 1

l - e '+ s e n 2/ f+® 1 1 2 «L{-------- -------- } = [ = [ ln « - ln ( « - l ) + a r c tg - ] ¿

W W / V j ^ ^= [ln(-) + arctg—] / = (0 h— ) - ln------------- -a rc tg —

M-1 2 2 .y-1 2

ít .V -1 í= — + ln --------arctg—2 í 2

, , 1 - e '+ s e n 2 í , , .v-Í .v.·. L{-------- --------- } = j + l n — ---- arctg-

s - l 2= ln(----- )+ arctg(-)

.V s

23


1.12 Transformada de Laplace de la Derivada.-

Los siguientes teoremas que se van ha estudiar, referentes a la Transformada de Laplace de la derivada se utilizan bastante en la resolución de las ecuaciones diferenciales.

a. Teorema.- Consideremos una función continua F: [0,oo> —> R y que F'(t) sea continua por tramos y de orden exponencial en [0,oo> entonces :

L{F'{t)} = sL{F(t)}-F{0"' ) , donde F (0 ^ )= lim F(t)t^a*

Demostración

Como F '( /) es continua por tramos y de orden exponencial entonces por el teorema ( 1.6) existe L{F' (r)}, es decir:

0+CÓ

I{F '(í)} = J^ (/)<//, integrando por partes.

-J/\u - e d u ~ - s e dt

[ d v ^ F ( t ) d t I v - F ( í )

L{F'{t)} = e-^‘F{t) r ^ + s [ \ - ^ ' F { t ) d t = 0 - F(0^ ) + ,vL{F(í)}

de donde: I{ F (0 } = s I{ F ( í)} -F (0 ^ ) i

Ejemplo.- Aph'quese una Transformada de Laplace a la ecuación diferencial.dy 2i— - 3 y = e , sujeta a y (0) = 1. dx <

Solución

Primeramente aplicamos la Transformada a ambos miembros de la ecuación diferencial

A - m y } = L{e^'} dt

24


pero L{— } = sL{y}~y{Q) y L{e^') = — por lo tanto dt s —2

s-2

1 s - \ ^( .v - 3 ) ¿ M - l = ------ de donde L{y} = ---------------- .9-2 ( .v -2 )( i-3 )

b. Teorema.- Consideremos una función continua F ':[0 ,o o > -> /{ y que F"(t) sea una función continua por tramos y de orden exponencial.

Entonces:

Demostración

Como F ” {t) es continua por tramos y de orden exponencial entonces pq^ «I teorema (1.6) existe L{F"(t)}, es decir ahora aplicamos dos veces el teorema anterior ( 1.12 a.), para esto sea C(í) = F '(O => G'(t) = F' '( l)

L{F' ' {()} = L{G' (OI = s L{G(t) - G(0" )}

L{F"{t)] = s L{G{t)} - F ' ( 0 * ) = s L{F'{t)i - F' (O" )

= í(5 L{F{t)} - F(0" )) - F ’ (O" ) = .s^Z,{F(/)} - i F(O^) - F' (0+ )

.·. i { F " ( 0 } = .y '¿ { F ( 0 } - 5 n o " ) - F ’(0")

Ejemplo.- Apliqúese una transformada a la ecuación diferencial Ay"{t )+y(t ) - -21

sujeta y(0) = O, y '(0)= —.

Solución

25


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Primeramente aplicamos la transformada a a^bos miembros de la ecuación diferencial. /

4L{y' ’(í)} + L íy i t ) Í ^ L { - 2 i .

4s^L{y(t )} - 4jy(0) - 4y' (0) + L{y(t)} = - -

(4í^ + I ) ^ y O ) ¡ - 0 - 2 - - - dedonde (4.!^+ l ) í tv (0 )

/ ... " í(4.v ,; +1)

Generalizando.- Si : [0,+oo > -> /f, es una función continua y que F^”'( í) esuna función continua por tramos y de orden exponencial. Entonces:

L{F("> (0} = s” L{F(t)} * s"-‘ F(Ot‘) - 5"^^ F' (0^ f M ^ (0^ ) - (0^ )

L{F^” (f )} = s ” L{F(t)i - X F<'·’ (0^ )1=0

Ejemplo.- Calcular L{t "} mediante la transformada de las derivadas. ' ’ *?,

Solución

Z,{Z);í" } = ¿{« !} = — , de donde se tiene: s

»y

n\ ti!— = s"L{t'‘} - 0 - 0 - . . . - 0 , porlotanto: p a ra s> 0s s

26

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1.13 Transformada de Laplace de Integrales.-

Teorema.- Consideremos una función F: [0,c»> R, continua por tramos y de orden exponencial, entonces:

Demostracién

Primero demostraremos que I F{u)du es de orden exponencial, es decir, como F

es de orden exponencial => 3 a, O O, tal que: F(t) ¿ ce'” , V t > O ,

f F(u)du < f |F(m)|í/« < c Í e"“du = —e“" / = — (e“' - e ““)< — e“Ja Ja Ja a · a a ff

entonces \ F(u)du es de orden exponencial.*a

Por lo tanto 3 L{^F(u)du) es decir:

L{ í F{u)du] = í e”" ( í F(u)du)dt = lim í ” e " ( f F(u)du)dt•a •'0 Ja („->+!» •'a

integrando por partes.

w = f F(u)du Jadv = e~^dt

dw= F(t)dt- S te

- s

L{ [F(u)du} = lim [ - - — f F(u)du /*" + - f" e ” F(í)dt]J a tft S ^ a ' O S ^ 0

1 1 fin ,= - ~ ( 0 - \ F{u)du)+ lim - e F{t)dt

S J a tfí-¥+cc S »0

27


1 1 f+»f> 1 Γί·'» „ 1 f« ,= e~‘'F { t )ä t= - \ e F(t)dt — \F(t)dt *

s J a S J o s '^0

L{ \'F{u)dui = - L { F ( i ) } - - fV(i)rfi Ja S S Jo

Observación.- Cuando a = 0 se tiene:

L{F(t)] = f{s) => L { \ ' F ( u ) d u } ^ ^ Jn s

Generalizando.-

1 r"¿ i f f . . . ¡'Fiu)du...du] = — H F ( t ) } ------ÎF (u )d u -Jo Ja Ja ,ν” ,ν” Jo

n-1 vecesCuando a = O se tiene: ,,

¿{ Γ Γ ... = 4 Μ ^ ο ) }Jfí Jo Jo s"

Ejempios.-

1) Hallar Χ { Γ t e “' sentdt} Jo

Solucién

¿ { .s e n /} = - 4 r ¿{ísen/} = - 4 ¿ { s e n /} = - - ^ ( - 4 7 )= 2 ~ ~ ~ 2.V + l ds ds s + l (s +1)

2s 2 ( s -a ) ·¿{ísen/} = — 5----- r => L{e ísen/} = ----------5------ 5- = / ( í )

L { j \ e"'sen tdt}:f ( s ) 2(.v-g)

s .v[{í-a) + I)f

28



2 (5 -0 )2 . , i2

.·. L{[ t e “' sentdt} =

2) Hallar L [ t^ \ \ s e n td t }

Solución

¿{seni} = — — => L{iseni}.v^+1 (J^+1)^

(X 1 1 fi 1 2.V 1L{ / sen t d t ] - — Li sen i} — t sen td t = — (—^ — (cos 1 - sen 1)

Jl -v iJo 5 (.y + 1) Í

2 cos1 - sen 1“ ■ Í

L[\tsex itd t} = —7 - ^Jl (.V +1), fjf , f i d^ 2 c o s i-s e n i

¿{iM ts^ntdi} = ( - \ f ^ L { \ rsenrrfi}------r ( , ^ ------------------ >Jl ds^ Jl ds (J +1) J

1,

d %s c o s i-se n i^ 8(5.?^-1) 2 (co sl-sen l)

Jl (.9 +1)'*8(5i -1 ) 2(cos 1 - sen 1)

1.14 Aplicación de la Transformada de Laplace en la Evaluación de Integrales.- ·

Sea F: [0,+c»> -> R; una función continua por tramos y de orden exponencial, entonces.

Í +OO _ e F(t)dt = /( .y ) , tomando límite cuando s -> O,

se tiene:

29



lim } e ~ “F{t)dt = lim f{s)í-»o o j-»o‘

de donde ] F { l ) d t = f ( 0 ) · . .( * )” ' I -

siempre que la integral sea convergente.

La expresión (♦) es útil en la evaluación de integrales.

Ejemplo.- ' '

Í +oce"' sanht ¡inyo

Solución I ;

Aplicando la división en t y luego la defínición L{sen ht]= ^ = f { s )s +b

senbt f+'» h « /+» k sL{— — } = \ f ( u ) d u = \ 2 .2 t/K = a r c t g - / = - - a r c t g -

t *s •>s u +h b / s 2 b

^ ^ s e n ^ j = — - arctg— , ahora aplicamos la definición de transformada ' 2 ·

J’+«> senAí n sA ^ ' t

- S I

dt = -----arctg— , tomando límite cuando s -> a se tiene:

f+'» _ , senfeí Jt sl ìmi e -------- dt=lim{— -arc tg—)

"0 / 2 btsenAí . r e a b

e --------A = - - arctg- = arctg—Jo t 2 b a

f+“c 3 / 32) Demostrar que te sentdt = — ■ ¡

Solución

30


¿{sení}¡ 1 . d d , 1 ^ I s ^ " .- Y — => ¿{/sení} = - — ¿{sen/} = - — (-J— ) = —5— ^ r + 1 ds ds / + ! ( í + 1)

•L{t sen t } = —T——5-, ahora aplicamos la definición de transformada(s^+\r "

'o

J *. »#»

, \2ssen tdi = — ----- r , tomando límite cuando s —> 3 se tiene:

? (í +1)-« 2.V

e isentdt = lim

f « 3, 6 3 ' 'I e tsentdt = -----= —o 100 50 ,.„3Jw; ' ' --la· '.íi'ins. ■'»

■-1

Í+»cos6í-cos4í ----------------- dt

Solucién1’

Calculando la transformada de la función.

s s¿{eos 6í - eos 4/} = --------- 5------ = f ( s )

s +36 s +16

ahora aplicamos la transformada de la división

eos 6/ - cos4í (■“ uco s6 /-co s4 í r<® M u^ ------------------} = l ( 2 ^ ~~T---- ~)du .t ' ‘ Js +36 +16

1 ■> 1 /® 1 + 36= [-ln(M^ + 3 6 )--In ( i/^ +16)] = - l n ( -7------ )2 2 ' 2 «2+16 / ,

1 .V +36 1 .v + 16 íí= 0— bi(~2------ ) = -ln (-T ----- )

2 j^ + 16 2 í^ + 3 6

31

, ,c o s 6í - c o s 4 í , 1, .v + I6 j i ··■ j . r jL{------------------} = — ln(-2— , s^licando la definición de ti^nsformada

cos6 /-cos4 / 1 .V +16------- ----------dt = - ln( - 7

t 2 í +36), tomando limite cuando s -> O, se tiene:

f+‘” cos6í-cos4í 1lim I e

í +16 1 0 + 1 6 1 4-dt - — lim ln(“ 5------ ) = —ln(-) = —ln(—) = In—

2 í-.o / + 36 2 0+36 2 6 3

í+oocos6í-cos4/ 2

-------------- dt = ln(—)/ 3

1.15 Ejercicios Desarrollados.- ,

1. Determinar cual de las siguientes funciones son continuas por parte.

· ) / ( / ) =2 , 0 < í < 3

4 , t è 3

"SÍ .

como lim f { t ) - 2 /-».r

La fiinción es continua por tramos .

•«.■ite fi*

b) /( /) =í + 2 , 0 < / < l

Soiucién

32

como lim f ( t ) = 3 /-»r

lim f U ) = - í-'+i* 2

í la función es continua por tramos . *o ‘ I ' , . . I

Solucién, 2 , 2

V t G R, f ( t ) = e es continua, en particular f ( t ) = e es continua en [0,'»>,como toda función continua en un intervalo, dicha función es continua por tramos.

2) Determinar cual de las siguientes funciones son de orden exponencial,

a) f(t) = sen 5tSolucién

Como -1 ú sen 5t < 1 V t e R entonces

|.sen5í| < 1 = > |/(/)| á l.e”' (donde c = 1, ó = 0)

por lo tanto la función f(t) = sen 5t es de orden exponencial.

b) / ( / ) = rSolucién

f i t ) t 5!lim ■— — = lim —- = lim —;—- = 0 V a > O

al €U 5 at

Luego la función = es de orden exponencial,

c) f(t) = sen h tSolucién

33

senhf e - e ' - 1lim — — = l im----- -— = lim ,

^ A (a+i)í/-»oo e /-»oo ¿e

2e^'= „ (a.iv = *■'” “ (^1 )7: ----- ® p a ra a ¿ 1r-**· 2(a + \)e í-*«- e (a + 1)

por lo tanto f(t) = sen h t es de orden exponencial

Hallar ¿{cos^ ai)Solucién

Corno eos a / = — (1 + eos 2al) entonces

I{cbs^ af} = —¿{l + cos2a<} = —( - + — 5-)2 2 s +4a

, 1 .V 1 x^+ 2a^¿{eos ai} = — (—5------ ^ + - ) = -—r--------—

2 .v^+4a x s (s^+4a~)

'■ x^+a^4) Demostrar que ¿{í cosh at} = — 5----- 5—5-

( s ^ - a ^ ) \

Solucién

Aplicando la transformada de la multiplicación por t.

¿{cosha<} = · => ¿{icoshaf} = ¿(coshai}.v· - a ^ ds

II. i. I ^ V x ^ - a ^ - x ( 2 x ) s ^+ a^L{t cosh at} = - — (—---------------------------^) = — ' -d x \ ^ - a ^ ’ { s ^ - a ^ f

■ s^ + a^¿{/coshaí}=- - ti'

34

5) Hallar L { ^ }

Solución

e ' - g · ' 1 1 1 1Z{senh t] = i{— — } = 4 Líe' - e " '} = - (— ------ -) = / ( í )

2 2 2 í - 1 s +1

Ahora aplicamos la transformada de la división. .

tií.' ■."•■'(i

6) Calcular L{t" cosa/}

Solución

„ ■ ^(-l)* í^*Se conoce que, cosí = ------------ , entonces

í i (2*)!

f . ( - l ) * ( f l í ) '* „ ,V ( - l ) * ( f l í ) “cosa/ = 2 . ----- ^ t cosa/ = / / , ----------------

t i (2*)! (2¿)!

„ f . ( - l ) * a '* í '* ^ " ^/ cosa/ = > --------------------, tomando Transformada de Laplace se tiene:

n i (2*)!#f < *

/ t ^ k 2 k . 2 k + n <»

35


(2k + n)\

{ lk)\

uy

.·. I{ í" cosa/} = ^(2k)\ s-

(2¿ + b)!2*+n+l*=0-'""'· ■> . in;.

sen / 1 í + 47) Demostrar que i{ -------- } = —ln(— —) v itm

í 4 .í·

SolMclén ■ '

¿{sen^ í} = 4 ^{1- c o s 2í} = i | - ( - — - i —) = / ( j )2 2 .V s^+A ^

Ahora ^licam os la transformada de la división.

sen^ t f+» 1 1 M 1 1 , /+»L{— } = J y ( - - ^ ) r f « = - [ l n « - - l n ( « + 4 ) ] ¿

= j l n ( - ^ ) / : = 0 - l l n ( - ^ ) = l l n ( i ! ^ )4 +4 ' * 4 +4 4 j ' '

» e' -c o s í8) Calcular L{----------- } . «

SolMcléii

L{e' - cos /} = I{ e '} - Z{cos t } = - i - — = f ( s )í-1 r + 1

mediante la transformada de la división se tiene;

' , e ' - c o s í f+“> 1 « , 1 I /+üI{ ----- ------ } = J (— - j ^ ) r f « = [ ln (« - l ) - - ln ( « + 1) ] ¿

'..:3

36



, H - l _ / o o - , , . V - I= In r - r f ^ L = 0 - ln ( - 7 = = ·) = H ------

^ í 7 T i ‘ ^ í? T i * -1

... i £L·:f2Ü , . l„ ,£ IL Γ “/ j-1

9) Demostrar que: L{e " f e‘"F(x)dx} = —Jo s +

/Wa

Solucién ^ "■

Sea L{F(x)} = f(s) aplicando la propiedad de traslación se tiene:í*. I ]

Lie“"F(x)} = f (s - a) , aplicando la transformada de la integral se tiene:

/(■v-a)I{J e“ F(x)(ir} = , ahora aplicamos la propiedad de traslación, se tiene:

L{e ‘ ¡ 'e ‘"F(x)dx} = Jo s + t

/(£)■a T

c o s a í-c o s é í. 1 . ,s^+h^10) Demostrar que: L{------------------} = — ln(

Solución

s sLlcosai -cosbt] = —r -—?----- 7-— t ~ f ( ^ )

Ahora e^licamos la transformada de la división

cosat -cosh t ucosat -cosb t u w¿ í-------- --------- 1=1 i - — - ^ — ;T)dut Jí u + a u +b

1 ■> ■> 1 ■) ·) /°“ 1 +a^= { - H u ^ + a ^ ) - - \ n { u ^ + b ^ ) ] = - ln ( -^ ----- - )

2 l ' 1 u +6 ' »

37



1 1 s^+h^* = 0 - - l n ( 2 ■T ) = - l n ( - -----f )

2 s j+6 2 s + a

cosat-cosht I s^+h^... I , -------- ;--------

iit;

11) Hallar L{[' te^‘ sentdt\ · ,* ' ■ Jo Ijf

Solucktn

¿{sen t} = — , aplicando la transformada de la multiplicación por t.

¿{ísení} = —^ ¿{ sen /} = - 4 ( 4 - r ) = - 2 ^ds ds j^ + 1 (.V + 1)

. .9: ' ' 'ahora aplicamos la propiedad de traslación.

Líe^'t sen í } = — >, 1 aplicando la transformada de la integral . ' [ ( í - 2) ' + l f

L{['e^' t$entdt} = — 'Jo ' .í((.í-2) + lf

12) Calcular L { te ^ ' f ’(t)}

Soluciéii

Sea ¿{ /(í)} = v ( s ) => L { f (í)} = ív '( í) " /(O) -

aplicando la propiedad de traslación

L {e^ '/ '( t)) = ( s - 2) y , ( s - 2) - f ( 0)

ahora aplicamos la transformada de la multiplicación por t.. . I»

L { te ^ ' / ' ( t ) } = - 4 -M e^ '/ '( i ) } = - ^ ( ( s - 2) y , ( s - 2) - / ( 0)) ds ds

- i l / ( s - 2 ) - ( s - 2 ) y / ' ( s - 2 )

38



„ ) Calcular

Solución

, , : ' ■■■■ . í - 1 > ' 1 · 'L{e' (cos / -1)} = Z,{e' cos í } - L{e' } = -------5----- -------- /(.v)

(.v-;-!) +1 .í-1

.V taplicando la transformada de la división

e ' ( c o s í - l ) f+ * M-1 1 1 , rn — ;— I - J ,

1)“ + 1

, » - I ,

1)^ + 1

14) Hallar la Transformada de Laplace de la fiinción

F{t) = t ^ \ x s e n x d x + \ x e ^ ’‘ senxdx "'1 *0

, Solución ^

L {F ( t ) \ ^ L { t^^xsñnxdx + ' xe^’‘ senxdx}

= L{t^ [ Xsenxdx} + L·{[ x e ^ ’‘ senxdx] ... (1)Jl ■ , * ' '

Calculando L { t^ ^ x senxdx} se tiene:', i

xsenxdx = ( - xco sx+ sen x ) / ' = s e n r - í cost -sen 1+cosl •'1 ' 1 Iv

L{í' xsenxdx} = Z ,{ í(sen í-í c o s í-se n 1 + cosl)}

39


= ( - 1) — i{sen < - / eos / - sen 1 + eos 1} ds

d^ 1 l-.v^ co s l-se n l

d -2.V 2 s ^ - 6 s co s l-se n l

ds ( , s +1) (.V +1) .V

6.v^-2 3 6 .y ^ - 6 / - 6 2 (cosl-sen l)

"(.v' + l)·’ ’ (,v + l) ' .v

r . i í ' j . 8(5.v - 1) 2(cos i - sen 1)L { r \ X sen xdx] = - ^ ----- ^ + —------ t------- . . . ( 2 )(í^ + 1)·*

ahora calculamos la transformada de i{ J xe^ ’ sanxdx)

T . . 1 T . . 2.y¿{sen x] = —7---- => L{x sen x} =.y +1 (.v^+1)^

aplicando la propiedad de Traslación se tiene;

Líe^^x senx} = — , aplicando la traasformada de la integral ' ' ' [ ( í - 2) ' + l] ' ‘

L{\xe^"" sxnxdx}= — L{xe^’‘ senx} = -----^

L{[ xe^^senxdx] = -----— s- ... (3) ; 'Jo ' 4 ( í - 2) + l ) f

. j ·. - ' " reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

L{F(t)} = L{t^^xsenxdx}+L{^^xe^ ' ‘ senxdx} ‘ ‘

40

8(5s— 1) 2 (co sl-sen l) 2(í - 2 )

( í ' + l)'’” " .v' ‘".y[(.v-2) ' + l]^

15) Calcular "—-f ?

Solucfón. ,■ ■ ÍW' ' ■ . '

Se conoce que ----------7 , si |x| < 1 !-=i ■ ,

' . . i ,00

^ n x " ^ ' = l + 2x+3x^+...+nx”~'+..., s i | j r | < l

"=' _ t - - 7 V ■■ ' '1 '■ íi—1 ~t

Luego -------- :r=^l+2x-l·3x'+,,,+nx +... para x = - e , se tiene

■ ■ I '

1= l - 2 e ' '+ 3 e ‘^ '-4 e"^ '+ .

(1+"·')' .

L { ------- í— = I { 1 - 2e-' + Í e - ^ ‘ - 4e~^'+ . . . }

1 2 3 4 ^ 1)— +------- -----■+,..= > --- -----s s +1 í + 2 j+ 3 s+n

f

. ¿{- ‘ , _ x (-!)(«+ 1)1

, 9b ÍJ + ) t o ^ + ”

16) Hallar L{['Jo u

Solución

■r ® í .Expresando sen u eti serie de potencia se tiene: m dí ‘ r ;j ?s í?

41

,I senu = u ------ + ----------- +...f 3! 5! 7!I ,,‘ r·

I sen« u*

r ' s e n u f ' u* u ’ f tI du-=\ (1-------- 1--------------h...)du=(u------- H--------------- + ) /

Jo u Jo^ 3! 5! 7! ' ' 3.3! 5J! 7.7! V o

= t -------+ ------------- +...33! 5.5! 7.7!

: ■

^ . f ' s e n « . , „ 1 1 1 1 '

^io u 3.3! ^ 5 i! 7 .7 ! ^ · · · ^ " / 3^“ ^ 5 / ~ 7 /

l l / s ( l / i )^ (1/i)^ (1/ i ) ’ 1 1= ~(~j--------- ------------------------ T— +··■) = -a rc tg (-)

s 1 3 5 7 s s

r i s e n u 1 1.·. L{ ------ a« }= —arctg -

Jo u ‘ s

17) Probarque: L { \ <ic} = - a rc tg (- :^ ^ )J' X s +3

Sflluclán

Primeramente aplicamos propiedad de la integral

- f ^ ' s e n j f , f 3 ' s e n x , r ' s e n j c , 'H y —^ d x ) = L{^^ —— d x - ^ ^ —— dx}, por la propiedad de linealidad

f^'senof , , f 3 ' s e n x . , , , f ' s e n X j . , *

sen X \ \mediante el ejercicio (16) se tiene: £ { | —----- ífe} = -arctg(—) . . . ( 2)

Jo X s s

42

ahora aplicamos la propiedad de cambio de escala.

Si L{F(t)} = f(s) entonces L{F(at)) = — f [—) , es decir:a ' a °

, ,f 's e n ;c , . 1 1 , .f^'senAr , . 1 ,3,Si L{\ -------= —arctg— =¡>¿{1 ---------- = —arctg(—) . ..(3 )Jo X S S Jo X X X

Luego reemplazamos (2) y (3) en (1).

, , f 3 ' s e n x . 1 3 1 1 1 , 3 1^L {I -------ax} = —arctg---------arctg— = —(arctg— arctg—)

Jt X X X X X X X X

' 1 1 2 .V= -arctg(---- = -arctg(-T----------- ).9 , + Í . i .y .V +3

s s


f3/scnx 1 2.V■ ■ 4

1 1 r í f ' ^ c o sx + e ' s e n j c - , ,18) Calcular L{\ -------------------------- dx] 'Jo x

Solución

, - f ' c o s a c + e “ senx . , e " ^ s e n x , , ,L{\ ------------------------- dx} = L{\ (JCCOSX+------------ )dx]

Ja X Jo X

aplicando la propiedad de la integral se tiene:' ‘

x ^ c o s x + e "" s e n x , . . e '" senx , ,L{ ------------------------- dx] = L { \xcosxdx} +L{\ ------------- dx]

Jo X Jo Jo jr

aplicando la transformada de la integral

43



cosx + e ‘* senx . , 1 , 1 , , e senx, . ,5I{ ------------------------- dx} = -L{xcx>sx}+-L{------------ } .1. ( 1) *

Jo x s s X

aplicando la transformada de la multiplicación y la division.

I{xcosx} = -4 ¿ { c o s x } = - 4 ( “ 4 ~ ) = - 4 — V — Wdx ds s ^ + \ (.v^+1)^

, s e n r , f “'· du ‘L{e —— } = | L{e senx}= ---- - j —- = arctg(« + l) /

X •'s (m + 1) +1 ^■ ■ I

n H V= arctg(i»)-arctg(i+1) =-^— arctg(.v+l) ... (3)

ahora reemplazando (2) y (3) en ( 1 ):

f ' c o s j r + e senjr 1 .v - 1 n 1L{\ -------------------------- dx) = - ( —5---- 5-) + — --arctg (.y+ l)

'Jo jr Í (i^ + 1) 2.Ÿ s ’

19) Dado una función G(t) donde L{G(t)} = g(s)* cuando s > a. Entonces demostrar ___ que para una constante T > 0.

L{G(t + T)] = e ' ' ( g ( s ) - ( e - ' 'G ( t )d i )d t , s> a , l> 0 . 4Jn

3 Solucién

»00“ L{G(t + T)}= e~^'G(t + T)dt por definición de transformada.

Jo

Sea u = t + T> para t —> 0, entonces /i T ■ '

t —> oD, entonces /i->oo ^

£{G(/ + r)} = [ e~^'G(l + T ) d t = r e-'^^-'^^G(n)dnJo ■ Jfl ,

= e·" re-^"G(U)du = e ^ ' [ r e ^"G(u)du- e - ‘'f‘G(u)du]JT . .Jo -'0': !î* Jo ■ . ■ .

44


= e" [ / " e " G(t)dt - " G(t)dt] = e “' [g(.v) - "G(r)rfi], , '0 *0

i{G (/ + D} = e" [g (5 )-J_ e-^G{t)dt]

%r T \ - e " 1 1 ■

20) Demostrar que — rf«} = j l n ( l + - )

Pemostrackin

Primeramente aplicaremos la traasformada de la división.

Si L { \- e~ “] = - ---- — = f ( s ) , entoncesj í +1 ■

1- e " f“> 1 1 ’ u 1« s j +1 1L{---------}= (— ----- -)du = \n{------ ) / = 0 - l n -------- ^ln(------) = ln ( l+ - )

* u ’ i s U U + l U + V I s í + 1 , s s

ahora aplicamos la transformada de la integral.

1- e " 1 r l - e " " 1 1Si I{---------} = ln ( l+ - ) => i{ --------- </«} = - l n ( l + - )

U S Jo u s s

rt d ■,21) Calcular L { te ' \ t — (e sent)dt)

Jo at

Soluclén

Sea F(t) = -—(e^' sení) ^ L{F(t)) = L{— {e^' sen/)} = sL{e^‘ sen í)-F (O ) dt dt

, - Í V · ,

l Á m i --------- ^ — f ( 0) = . ¿ ( i F í D i . - í - w o i( í - 2 ) ^ + l dt

L{t F(t)} = - — [------ ----------F(0)]----------- ^ - 4 - — 5-* ( s - 2)^ + l ( ( í - 2 ) + l)^

45

w m ) = — = > ¿ { í ' f ( t ) d t ) = - ( — , ) [ ( í - 2) V l f ^ [ ( í - 2 ) '+ l ] '

L{, F(t)] -------------------- -3 => L{ f í F(í)¿í} = - i{ í F(í)} - i- f í F(t)dlr í .c _ 2 l^ 4 - i r Ja S 5 Jo


[ ( í - 2) ^ + i r

L{ \'t F(t)dt) = - ( — í" 'Jo Í [ ( . y - 2 ) + 1 ] v J o í / í

2y

,y [(.y -2 )" + l]" ' .y*

1 s - 5 1 fr 2, 2,= - ( --------- 2-----— J (2 íe sení + íe cost)dt ... (1)

J '“ ^ ii . 2or4a 6 sena 2a 8 cosa^ 82/ e sexitdt = e [— sen a ---------------------------------------------------- co sa + ---- ] --------- ... (2)

o ' 5 25 5 25 25

f» 7, 2acosa 3sena asena 4sena 3I /e co s* = e [------------ ---------+ ----- — -----------]+ — ... (3)•"o 5 25 5': 25 25

■ ■ ■ ■ ■ ; f sustituyendo (2), (3) en (1).

r r f ' c / i J i K / 2 c o s a ^ 1L{\ l F (t )d t )=—{·---------=----- r ) --------(a s e n a — se n a + —— ) + —'Ja ’ / [ ( 5 - 2 ) ^ + 1] í 5 5 5í

( í - 1 )^ -5 2TI í f ' ( í - 1 ) - 5 e , 2 cosa^L{e' tF(t)dí}==------i----- ----------- -------- ( a s e n a —- s e n a + —— ) +Jo ( í - l ) [ ( s -3 )^ + l f a - l 5 5

T, d ( .y - l)^ -5 1 , 2 cosa 1L{te F(t)dt} = ----- [----------------------- ;-]—-----(asena— sena+ ------- +(.y -l)[( j-3 )^ + l]^ J -1 5 5 5(5-1)

s* - 16j^ + 120j^ -4 0 0 j+ 4 6 0 e^“

)

L{te ' j ' tF{ t)d t]

, , -r -^ (2a -5 a s e n a -c o s o ).y((í-3)^ + l f 5 ( í- l)^

s* -16 í^ +120í^ -4 0 0 í+ 4 6 0 ^ e ^ " (2 a -5 a s e n a -c o s a )it ( í -3 )^ + l]^ 5 (s -l)^

46


22) HallarJl U

Solución“ A .

Sea u = t V =» du = tdv, además se tiene cuando u = t; v = 1 y cuando u - ► 0 0 , V -> 00 ahora Remplazando se tiene:

■ .

sen u f» sen ív f® sen tv f+® „ f«® sen ív4 = = [ e - [ J , —

f“ f“’ -í( s®nív f““ ! f°" -«1 = J J ^ ------- d t d v = \ — J e sen tv dt dv* ■ 1 O y 1 y O

f» 1 f“> 1 V= — L{senívWv= —

Jl V Jl V ,y2+v

J® í/v 1 V .00 1 ;r 1- 2 ----- 2' = -a r c tg ( - ) / = - [ — -a rc tg -]

> 1 j + v í j ’ j 2 j

COSU23) Hallar I { -------- du]

Jt uSolución i

Sea u = tv => du = t d v , además se tiene: cuando u = t , v = 1 y cuando u- > 0 0 , v -> o o , ahora reemplazando se tiene:

f “· COSI/ cos/v f» cos/vL(J_ — ¿ . I - I(J _ — < * ) - I(J _

o 1 y 10 ~ y00 j 00 CO J 00 I g

= 1 — e " cos/vrf/rfv = — ¿{cos/vWv= I — ----------í-< vJl V Jo Jl V ' Jl V J' +V

J'co dv fa> 1 1 V 1 1 , , /oo—1 ----17=·^! T ( ~ ~ “ 2----- f)</v = -[ ln v -^ -ln (v + í ) ] /

I v(v + í ) 1 .S V V +S -S 2 ' 11 1 1 n -----

= 0 — In I = - l n \ s +1 í V l+J^ ^


· 47

foDg-· Ky ■ ■ " [.24) Hallar L{\ -----dx)

X M

Solucién. ... ■ ' \ »

Sea x = tv => dx = t d v , además se tiene: cuando x = t ,¡ v = 1 y cuandoX 00, V 00, ahora reemplazando se tiene:

■ -A ' ■ w: ' .-tv (u, -tv ■ !.

L{\ ^ d x } = L{\ — tdv) = L{\ — í/v} h X J\ tv V

•'o •'l V · n y •'o

J l V V Í + V

1 foo’n 1 1 V ,/■” 1 í 1= -J (-----------)dv = - l n - ----- = 0 — In------- = -ln(.v+ l)

S ' V Í + V S V + .V ■ s j + 1 s

' ií< ..Ii• - 3 í - 6 /feo e —e .,,1

25) Demostrar que J ------------- rf/ = ln2

Solucién íq i -

Calculando L{------- — }, se tiene: L{e^^ '-e~^} --- ---- = /(.v)í í+ 3 í + 6

fu, -1 1 ¿L{------ j------ } = [ )d«=[ln(« + 3 )- ln (« + 6 )] /^

„'-^«0 ■ I '■ ~1 / “ + 3 /* ' ,5 + 3, ' .

= In(------- ) / . = 0 - I n ( — - ) ; ,« + 6 ,y í s + 6 f " ;

g - O , g

£{------------- } = ln(— r ) , por definición se tiene: ,r 5 + 3 ' - ...... ' ,■■■■■«

48

s - e s+6e .------------- dt = In(------ ), tornando limite cuando s 0, se tiene

1 s+ 3

-3r -6 /

lim J e .------------- dt = lim ln(------)j-»o 0 t i->o j+ 3

- - ìt -6> foce - eI dt = ln2« t

26) Demostrar que: _‘» e 's e n i ;r

-di = —0 [ 4

Soluclén

SGH tCalculando la Transformada de Laplace: L{------ }.

1 sen / f<® du /■» nL{sent} = - ^ r ^ => i{ — } = J = a rc tg « /^ = Y - a rc tg j

f “ sen / ;r¿{sení} = ----- ------ dt = - j - a r c tg s , tomando límite cuando s 1, se tiene:

Íi» . , sení 7t n n ne .------ dt = lim(----- arc tg í)= — -a rc tg l = — - —

.*->1 -J t s^\ 1 2 2 4

J'o oe 'sen í k---------- dt = -

í \ ^ A

Íoo senftí e ------- d t , siendo a y b constante positivas.

Soluclén ^

Calculahdo la Transformada de Laplace de ¿{-^^í^}

i49


, , b , ,s e n * í, f “ hdu u n sZ,{senéí} = - j — j => i { ---------}= ^ — — = a rc tg -/ = — - arctg-1

Í +b t is u +b b ' > 2 b

J - , - . .•n

senAi n s------- dt =— -arctg(—) , tomando límite cuando s - > a se tiene:

t 2 b

lim •Asen/»/ Jt s------- dí= lim{------ arctg(—))

t s-»a 2 b

senéf n ae ---------- d t = ------ arctg(—)

(*«) e ' sen^ t 28) Evaluar la integral ------------ dt

t

Solución

Calculando la Transformada de Laplace de L{— — }

Zísen^ /} = i ¿{1 - cos 2/} = 1 í-i - - ^ ) = f ( s )2 2 s s +4

sen^ I 1 f “· 1 u 1 1 ,

1 /«■ 1= - l n -2 ----- = 0 - - l n -

4 u ^ + A ' s 4 j s ^+ 4

sen t 1 l í — } = - l n

s^ + 4

+4f® sen t 1 _ . .J e --------dt = —ln(— 5—), tomando límite cuando s 1o t 4 s

50



s^+4* sen t 1 e dt =—lim ln(— r —)

0 / 4 s-»i s

Jr=c e ' sen^ t 1 ,------------ dt = - \ n 5

o t 4

f“ l-c o s / n29) Demostrar que: — p — a/ = —

Solucién

1-cosíCalculando la Transformada de Laplace L{— — }

i{ l-c o s r} = - — ^ = f ( s ) . ,. 5 .r + 1

l-COSÍ f'» 1 M 1 9 / “L{— ^ } = [ ( - - — ^ d u = [ l n u - - H u + 1) ] ¿

= 1 In(-ií— ) r = 0 - - ln{-^— )2 u ^ + l ' s 2 \ , ^ + l

1-cosí 1, ,.v + li{ — ;----- >=:rln(— 2“ )

í 2

1-c o s í p 1 M +1L{----5— } = — ln(— 5—)du, integrando por partes

t 2 u1 M^+1 1· Jt s ,y + l

= -[M ln(— 7—) + 2 arctgu] = — - - l n ( — j - ) - 2 arctg.v2 ! s 2 2

aplicando la Transformada de Laplace “ "

1-COSÍ , n s , ,s^ + l _ , „e -----5— dt -------- ln(— 5—) - 2 arctg5·, tomando limite cuando s -> Og t 2 2 s

!TI,

51



¡ m \ e -----T-r~dt = l m [ - — —ln(— 5—) - 2 arctgj]

J“ l-c o s i . K _ nt\

dt = — - 0 - 0 = —

·. J;'» 1-COSÍ n . - ^ d t = -0 r 2

f “ c o s « -e “ +sen«30) Calcular la integral — jp — ~ d u

Soluclén

cosM -e +senu Calculando la transformada L{---------- ----------- }

.9 .......... 1 1Z,{cosM-e" +sen«} = -^------------- ;--------- -- f{s)

"^+1 .v-1 j ^+1 ■s

cosM -e +sen«___ _ ___ » M i lL{----------------------} = (-2---- ----- r + 1 ----- )^«

u * is « 2 + 1 M- 1 M ^ + l

= lYln(M^ + l ) - l n ( « - l ) + actgM l/” = [1 in ( - í í - ^ ) + arctg m]/"

= (0 + | , - l i n ( - ^ ^ ) + arctgi , ,

,,cosM -e"+senM ' n 1 , , i ^ + lL{---------- --------- ) = — - - In (-5----------- ) + arctg í

2 2 S ' " 2*y+1

definiendo la Transformada de Laplace

52


J·» _ c o s « -e " + s e n « n 1 .í + Ie ‘ ----------------------= — ln (—5------ ) + arctgs ^

n u 2 2 í ^ - 2 .v+l ®

tomando límite cuando s->0 ?

ftt c o su -e "+ se n u k 1 .v +1lim e ----------------------du - lim[— - —ln(-j----------- ) + arctg .v]Í-.0J0 u í-,0 2 2 . r ^ - 2.í+ lÍ-.0 2 2 . v^ - 2.í + l

r

ifc

1 1« /OD l o

, 1- c o s í . 1 , ,.y^+l

1-c o s f 1 u +1-----5— } = — In (— 5—)</m , integrando por partes

í 2 Jj

/·«■ c o s tt-e "+ se n u ;r n.·. ----------------------- du = - ~ 0 + 0 = -Jo u 2 2

31) Demostrar que: f '

J““ -SI 1 -co sí , Jt .1 , , ■e " ----- — rfí= —+ - l n ( - r ---- ) - 2 arctg.yo 2 2 s^ + \

Solución

¿{l-COSí} = - ------: ^ = f ( s ) ' ■' ls s +1

1 -co sí f® I M 1 , ,00L{— ;------------------------------------------------------------- }= ( - — ^ ) d u = [ l n ( u ) - - l n ( u + 1 )]/

1 ,00 1

:v

si í i ■ í !· 'ÍBI!!'·

53


1-c o s í 1 u ^ + l /a. ...U — — } = - j l « l n ( - j ^ ) + 2 arctg« |/^ _

L{— = —+ —In ( - 7— ) - 2 arctg s .definiendo la Transformada dé Laplace2 2 +1

f“· -C/ 1-COt . 7t S , , S , ■e " — r— ífí = — + - l n ( - r ------ )-2arctg.v

Jo 2 2 .v^+l

feo _2 , '=- ■' ') ■■ ,, '32) Evaluar la integral J íe sen tdt *

Soluciéni

¿{ísení} = -4 ¿ { s e n í} = - 4 ( - y 4 ) = , 2 ^ds ds +

aplicando la definición de transformada

i) ■•■a«; - "s -■

f•n te " sen tdt =2s

— ;-------r . tomando límite cuando s->2, se tiene: „ . ,,(_y2 + l |2

2sf” « =lim J e sen tdt = lim · , ,

.v-»2 ( j ^ + í ) ·

2,J te s e n t d t = - : r =·'« .v 25

““ eos í33) Evaluar la integral J -------- — di

Solución '

54

' „V, ' ...... -

e~^‘ - cost


= — In (-T———— ), aplicando la definición de transformada se tiene:2 5 ^+ 4 í + 4

^ je -^ ' -co s t )d t 5 ^ + l ; y ,T. IIt 2 í ^ + 4 í + 4

0-2'f “ -a -<^os t)dt 1 í ^+ 1Im e " -i--------------— = - Im ln(^;------ — )í^o Jo * t 2 s-*o s + 4 í + 4' Iff·' ' I

Jo í

íiT" ' ' rtíji 59.“ .m

- I t

34) Evaluar la integral £ e ^'tsetíatdt

' ’ Solución

I{fsen h í} = —^ I{senh í} = — (— — ) = ■2

[Vds ds - \ ( í ^ - l )

aplicando la defínición de transformada

foo 2ste senhíí/í = lim — ------y , tomando límite cuando s->2

/íffi f m seahtdt = ¡im '2 Jo ‘

íl'í;

Í-+2J0 ‘ s - » 2 ( j 2 _ j ^ 2

, - r,4senh tdi = —Í

» _2f ’»4 . ,i|, ■ .3«ll-

.8

55

1.16 Ejercicios Propuestos.-

1.1) Demostrase que / ( / ) = í *, es de óríden exponencial cuando t—>«> ; V e

2) ¿La función = es de orden exponencial en [0,+oo >?

Rpta. No es de orden exponencial '

3) ¿Es /■(í ) = í s en - continua por tramos en [0,+oo >?' · t + i-

Rpta. Si es continua por tramos en [0,+qo >

4) ¿Cuales de las siguientes funciones son continuas por tramos en [0,-h»> ? Razónese la respuesta.

í + 1 t - 2 ·· -·

e. f U ) = e ^ d. f U ) = t^

Rpta. a. no es continua por tramos en [0,+oo >.

b. ' es continua por tramos en [0,+oo >.

c. no es continua por tramos en [0 ,+oo >.

d. es continua por tramos en [0,+oo>. '

5) Demostrar que para cualquier numero real a , F(í) = e“ f { t ) es continua por tramos en [0,+oo >, siempre que f lo sea.

6) Demuéstrese que las funciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial en [0,+oo >


56


a. f U ) = i"coskí b. ^ A 0 = —— — c. f i t ) ·t

1-sen^i . n , Í , y, . cosf-cosh/d. f ( t ) = ----------- e. f i t ) = t cosh/ *f. /(< ) = -

t

7) Demostrar que el producto de dos funciones continuas por tram'ps en [0,+<o > es una función continua por tramos.

8) Hallar la transformada de Laplace L{F(t)\ si:

a. f ( t ) = i^ COSÍ b. f ( t ) = t^e ‘ cost

1*2- tC, f ( t ) = (2 t -3 )e d- f { t ) = 3e cos2i

2 s ^ - 6 s 2( i - l ) ^ - 6( i - l )

3i+3c· = T <*· ------

3.9-1 .9 + 3 î +.9

6 .9 ^ -29) Demostrar que L{t^ sen i} = ^

10) Demostrar que Licos^ /} = — ^ — ' 4 / ( i ^ + 9 )(5' + l )

6j ' ' - 3 6 j ^+ 611) Halla L{t^ cosí} Rpta. f ( s ) = j ----- ^

■ ( j + 1)

12) Halla ' °°- } R p ta ./ ( î ) = - l n ( ^ y ^ )t 8 s +1

57

13) Halla i{sen(a + /)}

14) Calcula ¿{cos^A/}

15) Demostrar que:

a. ¿{cosh^íaí)}-2 a ^

cosa + .v.senaRpta. /(.y) ---------5----------

s +1

1 1 s Rpta. f ( s ) = - ( - + )

í ( í ^ - 4 a ^ )

2 .y s ‘-+Ah^

b. i{senh^(aí)} = ----- r " — 5“s ( s ^ - 4 a ^ )

c. ¿{cosúi.senar} :fl(.y^+2fl^)

j “* +4a*d. Ifcosaí.cosaíJ =-T--------

s +4a

e.

16)

Z,{senh(aO-sen(aí)} = f. Z,{senh(a/).cos(a/)} =s +4a

Hallar la transformada de L^lace de F(t) si

.y '+ 4a"

F (/) =t , t < 2 2 , t > 2 b. , dF(t) = te — (sen2r)

dt

e.

e. F (0 =

t , t <2 8-3» , 2 á í ¿ 3 í - 4 , 3 < r ^ 4 O , í > 4

d. F(t) =

TCo

n 3;rcosí , — <t< —

2 23;r

o

f(<)= e ^‘\^cos4tdt

e ' eos 3tdt h. F (í) = í e ' í í — {e^‘ sent)dt•n -dt

58

www.elsolucionario.net ,

17)" Si / (j) = L { f (/)}, demostrar que para r >0

, L{r'F{ar)] = ^ f { L · J I í L ) , a a

18) Demostrar que : L{t^ senbt} = 6bs^-2h^

0·'

19) Demostrar que: = arctg—t s

20) Calcular L{F(t)} si:

a. F(t) = e J / sen l td t >Rpta. F(s) = — 5------ --------r,, ( / + 6 5 + 1 3 ) '

sen2 r ' ' s+3b. F(t) = e --------- Rpta. f ( s ) = arctg (—^ ,

t 2

«.V - - . 1 1 r , f ' s e n 2 í , , í + 3,21) Calcular ------—-— dt} Rpta. f (.s) = — (----- arctg-------)JO t 2 2 2

22) Halla Rpta. f ( í ) = —a rc tg -—^arctg.(—)t - ' ‘ 4 í 4 st 'miar'

Sugerencia: sen ’ r = 3 sen í - sen 3í . . .

(e“' ■< ( s - a — b)^23) HaUa --------- — } R p ta . / ( í ) = ln( ^

„ sení + sen^í , „ 7 ,1 1 324) Halla L{---- ------------e } Rpta. /■(í) = —arctg---------- arctg (------ )

< ■ 4 i - 1 4 í - 1

k25) Evaluar ¿{senArí.cos^í} Rpta. f ( s ) = —:-------7 , í > O

s +4k

59

26) Halla L{FQ^ si F{t) = e^' Í'í cosAtdt Rpta. f ( s ) = ------ ------------------- -

27) Hallar I{F(/)} si:

a. FU) = í j e senlídt FU) = t j te senltdt 'o

c.,, f/ sen 2 /

FU) = e ^ 'J --------dt d. FU) - í -- c o s 2 í

-dit

28) Halla i{F (f)} si F (í) =seni . í <An sent+cost , t>Arz

29) Halla i{F ( í)} si F (í) =

30) Halla I{F (/)} , donde:

cosí , t<-3/r

2i n

cosí + seni , / >-

)■, . .

FU) =t c o s e o U -a ) , t > a

,<B , a constantesO , t < a

31)

32)

Calcular L{¡"‘^ d u } Jo U

1Calcular L{-----------( I + e " ' ) '

33)

34)

60

Hallar L{e^' cos3/.cos4í}

Hallar L{{t + a )"}, n es un entero positivo.


n n-Ia a "Rpta. f ( s ) = n\(-----------+

f 2 f , , f 3 » s c n 2 u35) Calcular I{ I I é" “ - ------ ditda}

’ Jo Jo fJ

36) Calcular 37) Hallar L{senat.cosAí}

38) Hallar ¿{e" sen^ 6 í} 39) Hallar e 'cos3ídí}

40) Calcular Líe^'t^ sen^ í}

4 1 ) Calcular Z,{VTeos/ ] '

, 2 . ( - l)"“‘(4 « -2 )!42) Demostrar que: ¿{senf } = / .- An

t í

43) Demostrar que:

44) Demostrar que: »

¿{F '"(/)} =s'^ I { F ( O } - íV ( 0) - j F ’(0) - F " ( 0)

45) Demostrar que:

L{í"lní}r '( « + l ) - ln s . r ( « + l)

.0+1

f 2 í f x flyse tlZ46) Calcular: L{\ ( ( ------ dz)dy)dx)

' Jo Jo Jo z

, n > - l■■ ' Jt:·

61


47) Demostrar que : L{ } = ^^.(-1)

48) Calcular L{— { e “' F ( —) d t } , a * 0 . Rpta. f ( s ) = -<p ( s a - b )a Jo a s

49) Demostrar que:

f ' f-^ f.v senz 1 1j „ — *«·<«(-;r«ag(-7)

50) Demostrar que:

f " sen V 1 (a - 1)JL{\ -----= —arctg (—T------------ y ) donde “a” es una constante positiva.

y s s + a

51) Si X {F '(t)} = arctg(i) , F(0) = 2, F '(0) = -1 . Hallar L{F(0}s

fa t fcD g “ - g

52) Calcular L{\ (--------------)dudx}Jo Jjr U

R p ...s+2a

53) HaUarr

Rpta. f { s ) = - ^ lim f arctg (-^)< /«4h^+(x>Js 2u

' 2 sen t 154) Calcular I e " * '------dt Rpta. / ( í ) = arctg (— ) »

o t

55) Calcular la Transformada de Laplace de:

L { t e ' \ sen z)dz)Ja d Z

at ax ^56) Demostrar que: L{\ \ ue~“ F {u)du dx} = í f +1)

»0 Jo s a

cosat-cosbt 15 ^ , H all» '

62

58)

59)

60)

61)

62)

63)

64)

68)

Calcular L{,, sen« a r c t ( 2 / s ) s

------ )du] Rpta. f ( s ) = ------ ------------- ;--------------o u ' ‘ (s + 2)^ ( j 2 +4 ) ( í +2 )

f2i fXDemostrar que: L{ ^ ( > sen£ (jy±c} = · ^ aictg (—)

o Z í"* -V

Rpta. / ( í ) = - a r c t g ( - - ) s s

f - 's e n « .Calcular L{\ -------du\

Jo u

Calcular f ^ - ^udu) Rpta. /(.v) = —j-arctg( - - ) Jo Jo u s y

Demostrar que: I { £ £f h l f a x (* 0 0 g "

d u d y d x ) ^ —3- l n ( — + 1)

f t f - x e - y senz . 1 1 ,Demostrar que: ( ■■— )dzdydx} = - ^ 3 arctg ( ^)

Demostrar que: I { í f (----- )<fe</>'dx:} = - 2-arctg( )^ Jo Jo Jo z s ^

65) Calcular L{

66) Calcular L{

2' cos3z-cos2zdz\

Rpt».

e‘z — ie^^ senz)dziO dz

1 ( í - l ) ^ - 5Rpta. f ( s ) = 7— rr[:( j - l ) ^ ( ( í - 3 f +1) '

■]

67) Demostrar que: ¿{sen í} = -6 !

s(-s + l)(s^ + 16)(s" + 36)

120

63

69) Sí L{tF(t)) = — ^ -----. Hallar L{e 'F ( l t ) ) ,, . í ( . r + l )

R p , .

'O sen^ u70) Si existe, calcular L{- c — 5— du\

*~t u.1 i ' '

71) Sin deriv£|r y usando solo las propiedades de Transformada; calcular

d f4f sen^ u

72) Calcular L{í" sen ai}, si n e z n y n e R, n > -1

cosí 1- eos ni73) Calcular L{-------74) Calcular L{-------------------------------------- 5----->

(1- e ) t

75) Calcular ' 76) Calcular L {-— ^íí-^}í ’

, d e~^' sen^ t77) Calcular L{t — (----- -------- )} sin derivar.

78) Si L{F(t)} = H(s), calcular L{ dv fV(«)íím}Jo Jo

, d 2,79) Solo usando propiedades sin derivar calcular L{e i~ r (e sen t)dt]

•fl UÍ

f ' d ,180) Calcular Í{J^ «derivar solo usando propiedades.


81) Sea [0,oo> R una función de clase A. Si L{F(t)} = <p(s), calcular

i { - e » 'F ( - ) } , a > 0 . a a

64


-87) HaUar L{2 + |t - 2|}

83) DïSnostrar que L{e‘ = arctg (—^ )..........., . ■ > —- ■ t m J - 1

çt *2y ^ 2 284) Demostrar que lA ------ dzdy} = —: arctg (—) \

JoJo 7 s s' ' > ' , ■

^sen^ u85) Evaluar si existe L{t I e~^‘ (— ;— )du}

J2l u

86) Sean a, b, u , v y A constantes, probar que:

■ ■ ■ ■ ■■■m ,_______L i a r " +bt '’} = A{as " +bs~'') u + v = l y A = ± ^ n c s c n u

87) Hallar iina fórmula para; i{ i" senai}, a > 0 . . , ,' ' ■..

88) Calculai cosu^'^dudy)

89) Hallar la transformada de Lapiace L{x ju sen udu + j^ue^“ seau du]

■ ' r"“*90) Hallar L{------r r} , donde n es un entero positivo."^

1- e

Rpt». m_ y ( n - ï ) \

~ à ( s ^ ^ r■ · - , t

91) Determinar la transfonaaâBi L( f ·'·- ^ ). · ■ l + e ' ,

e' sent92) Calcular L{— -----

.. \ l + e - ' ) 2 .00

Rpta. f ( s ) = X ·^ (5 + -n --2)2+1

i t

;.d''

65


e - '93) Calcular — -ΙΓ}

94) Calcular L { - -----ττ)e + e

95) Hallar Z,{i tgh(i)}

e*‘ seni96) Calcular ¿{--" - 3,^3 }

' " ' J - ' ■ ■

97) Calcular L{r^'^F(t)] si f^ ^ 0 ( 2 n + l ) n !

d i/ sen^ t98) Usando propiedades calcular la transformada L{t — I — ( — 5—)dt}

dt dt ti·: -4.

99) Usando propiedades, calcular la transformada |cos<a i\du]

■ V d100) Solo usando propiedades, calcular la transformada ¿{ | — (/" sen at)dt)•'0 dt

I« ·) HaU„ — Λ ) Κ ρ · -Jo u s+2■' i ,

102) Sea F(x) una ñinción real, definida por:

66

F(x)

o , si x e [ 0,l>

e' - e“ +senxi"'(

0

0I *

-)dt , si X e [1,2]

, si X >2

Hallar L{F(x)}

103) Hallar L{—■Jt• <

1 nRpta. f { s ) = - ( ^ + ln2)(e-^ -e-2*)

S o

Rpta. f ( s ) =n er-h

i r

0, O ^ t ^ a ^ ^'^'’Fiv)dv]t , t> a Jo104) Si

105) Calcular la transformada de L^lace de la función

/ - [ | i + lO SI [|i|J es impar

106) Calcular L{K{t + a) sug. Es un el binomio de Newton.

107) Si H{t) =J/ - t | / si [|i|] es par o cero

si [|i|] es impar

' r6/Calcular L{te 'J^ a'H(u)du) , a > 0

l- ( i- [k l] )^ « [kl] es impar

d .r'

108) Si G(t) =

Calcular L{t e'*’ ^ ( \'G{u)du)] dt Jo

109) Calcular L { \ ' ^ { t e '" )dt)Jo dt

SI [|r|] es par o cero

67


coaat-cosht '■ 1110) Calcular L{--------- -------} Rpta. /(.v) = - ln (

t e ' ■ 2 ™ ( s - \ ) +a^

f ' „ sen« “ 1 1 1111) Calcular ¿{il e ------ du) Rpta. /"(j) = —t-arctg(------ ) + ---------------

! „4. _ , .■f-3t fix \ ^ g -y .112) Calcular L{\ | L ^ d y d x }

Jo Jo V

113) Calcular L{t ''^ co sa í ‘ } Rpta. f ( s ) = ^ —e , s > 0

a, ‘ ■ 'S‘114) Calcular L{------5 2 ^ } ,a , b?tO

. . E ^ ,

115) CalcularJo X

o d^116) Calcular L{te ' — I e~'cos4t dt}

. , dt 'o ,Yj

117) Calcular L { t e ' j t - ^ (e ^ ' sen t)dt)

■ ■■■■■ ;i!118) Calcular senhVT}

een Ot119) Hallar la Transformada de Laplace Z{/J --------------dt]

120) Hallar la Transformada de Laplace cos3í}

121) Calcular L { t^ ^ n x d x }

122) Calcular i{c '''(2 senh2 í-5cosh2 í)}

68


123) Calcular

124) Calcular I { í£ e '^ '

' _2/ sen2í


I I . -- f - 3 /00 e - e j

1) Evaluar la integral ------------ dt Rpta. i ln3» /

6)

foosenaí-cosftí a2) Calcular la integral ------------------dt Rpta.

f” -2/ 33) Evalu^ la integral J ^ t e cos td t Rpta. —

JV j 2t senhí.sení tc4) Demostrar que; I e - - - - - - - - - - - dt = —

• 0 , 8

J “ -J 2t senó í.senr^ k5) Demostrar que; e ---------------

focsen^í n Demostrar que; J — j— dt = —

o

f® 3 , l · - 2 / 17) Demostrar que: J t e J t e sen td t dt = —

8) Calcular la integral e'^^" cos4í dt du Rpta. In 2

2f» A, cosat-cosht 1 16+A9) Calcular J e ----------------- dt Rpta. —ln(-------- j )

69


f » ft sen« JC '11) Demostrar que: J —- —dudt= —

fo5cosh2í-cos4í * ' 112) Evaluar --------------------dt ' Rpta. -7 ln4

13) Evaluar J t ^ e ^ ' sentdt „ * Rpta."o

14) Evaluar J t e7^' senh tdt . * 'R pta.

2

22

125

4

9

- cosí15) Evaluar -------------- dt » · Rpta. -In2

o t

Í or· 1-co sn í nn s se ----- 5— -d t= ---- + —ln(-5------5-)-n .arctg(—),

’> t 2 2 s +n n .

f+co 1-coswí ' ' nnV n e . Z y calcular ----- j---- </í *" ■ Rpta. - j -

17) Usando Transformada de Laplace calcular [ Jn(u^ )du j,•'O

. -ax -bx 'feo e —e18) Calcular J -------- x--------dx, usando Transformada de Laplace si a,!} > 0 .

“ X

fo'senjc + cosai:19) Usando Transformada de Laplace, calcular J --------j ------ dx, O < P < 1

n ' 1 1Rpta. --------- (------ ------------- p - ) , O < P < 1

2 r í P ) F n P n' sen----- eos-----

‘ ’ -2 2

e-V^T20) Calcular J” ' Rpta. ,

o 2^Ja 2vfl

70

22)

23)

21)


> cos6/ - cos4/ ¡ÍK. cost. ____------------------di Rpta. ln(—)

Evaluar la integral’ocsen4í-sen2/o -dt Rpta. O

f- _2, 3Calcular el valor de J t e cost dt Rpta. —u: i •'o 4: 25

24) Demostrar que:•t 2 2

25

2

-n.arctg(—) n

^1-cosnt nn---- d t = -----o t" 2 '11·. ■ü>r·

, sen M foosení.senaíe" ---- 5— í/mí/í 26) Calcular J ---------- dt

o Jo . u O r

27)

29)

33)

feo eCalcular J ------~dx»n'o 1 + x

f»5sencc Evaluar J ------- dx•'a•'O

31) Calculardx

1 ^ { x - m - x )

2 Calcular í {4 -x^)^ '^dxJo

f28) Calcular J t^e ' sen tdt

30) Calcularf“ x^

(8 - ^ )

32) Calcular ¡ \ 4 - x ^ f dx

71



CAPITULO II

2. FUNCIONES ESPECIALES.-

2.1. FUNCION PERIODICA.- La función F: R R, se dice que es unañinción periódica si B p > O, tal que:

F(t + p) = F(t), V t e R

y al menor número p > O, que satisface la condición de periodicidad se denomina período de la función ·

Si F(t) es una ñinción seccionalmente continua a lo largo de un intervalo de longitud P y de orden exponencial, entonces su Transformada de L ^lace existe y es la integral de cero al infinito. ,

2.2 Teorema.- Si F: [0 ,+oo> R, es una ñinción continua por tramo.s, de orden exponencial y periódica con período P. Entonces:

í^ e "F(í)í/í Jo__________

72


BegijstiaslÓB

Como F(t) es continua por tramos y de orden exponencial entonces 3 L{F(t)}

L{F(t)] = = + e ' ’" + F(t)dt+...

Como F(t) es una función periódica con período P O, entonces a partir de la segunda integral se tiene:

t = u + p, t = u + 2p, t = u + 3p , . . entonces

L{F{t)} = re^^"F(u)du+ f + +•’o Jp

+ r ''e-^("^ 2 >F(M + 2/j)du+ ¡‘' ^ e - ‘^"^^P^F(u + 3p)du+...^ J l p J ip

= ¡^e -^F (u )d u + e - ‘ e - ‘“F(u)du + e-^“'’ V e-^'‘F(u)du +..*0 Jo *0

= (l + e~‘ +e-^^+ ...)re-‘ F(u)du^0

L{F(í)} = ( 1 + e ... (1)

1 2 I Ipero se conoce que: ------= l + x + x +..., para |jc|< 1

Luego + ------— •••(2)1- e ^ *

por lo tanto al reemplazar (2) en (1) se tiene:

l i m ) =

í ^ e " ' F ( t ) d í


.·. L{F( í ) }="

i73

Ejemplo.- Hallar la traasformada de L ^lace de la función que se muestra en la figura.

Splucléii

La función F(t) del gráfico es periódica de período P = 2 es decir:

F(t)1 si 0 < í < 1 - 1 si - 1 < í < 2

, F(t + 2) = F(t), V t

L{F(t)} =l-e-p> l _ g -

f e ~ ‘'F(t)d t+¡^e~‘'F(i)d t f e"dt+P e ' ^ d t

1- c -2s1 - e

- 2 »

r ^ " - 2e * + l ( l - e - ^ ^ 1 -e -_________________________ £lzi:=Ítg(£)s ( l - e s ( l - e s(l + e ") s(e^ + l) s 2

L{F(í)} = - tg h (^ ) s ¿

74

Ejemplo.· Hallar L{F(t)} donde F(t) es la función periódica que se muestra en la figura. ^

La función F(t) es periódica, de período P = 1, donde F(t) = t, para O < t < 1 y F(t) = F(t + 1), V t su Transformada de Laplace es dado por:

Í V ^ ' í d t ,Jo Jo i

1- e - / ’"

1 - e "

- = ( -

1- e 1- e "

+ -7 ·)’

2.3 Función Escalón Unidad.-

A la función “Escalón Unidad” llamada también función unitario (0HEAVISIDE es denotada por n(t - a) - n ^ i t ) y es definida como:

ÍO si t < a

SU gráfico es:

75

su gráfico es:

La función (í) es continua en <0,+í»>, a pesar que (/) tiene un punto de discontinuidad en x = a, la Transformada de Laplace de f i { t - a ) = n, (a) es:

' f+oo ffl f +00MMa(0} = jg = J^ e e ' ^ f i ( t - a ) d t

f + OC. f+OO /+0D= 0 + J e ” n ( t - a ) = j e d t = —^ J paras>0

·■· ¿{ M í-« )} = ■

76


Observación.- Toda función F puede ser trasladada “a’’ unidades a la derecha del punto a.

Ejemplo. La función F(t)=sent

En general dada una fiinción F: [a.+oo>-)‘R, se puede trasladar a la derecha, de tal manera que la función valga cero en [0,a> y se define la función GU) = K t - a ) F ( t - a ) .

Observación. Si L{F{t)} existe para s > a ^ O, entonces podemos Cálcular

L {t i{ t -a ) F(t - a)} en función de L{F{t)}.

i) Teorema. Sea F: [0+,oo> —> R ,‘ una función de clase A entonces

L í n ( t - a ) F ( t - a ) } = e - ‘“L{F(t)}

Demostración

77



IMediante la definición de transformada. .,

L { n { t - a ) F ( t - a ) } = \ e " ' / i ( t -a ) F ( t -a )d t

= J e~ " 'n ( t -a )F { t -a )d t+ “ e ~ n { t - a ) F { t - a ) d trO Ja

. . ( 1)

Sea t - a = z i i » t = a + z

, [t = a ; z = 0para

[ i ->00 ; z-»oo

reemplazando (2) en (I) se tiene:

... (2)

L { ju ( t - a )F ( t -a ) } = e "F (r

h e - " F(t)dt = e-‘"L(F(i) i

.·. M M i - a ) F ( t - a ) } = e- “ L{F(t))

11) Teorema. Sea F: [0,+oo> -> R, una función de clase A, entonces L{^{ t-a )F( t)} = e - ‘ L {F ( f^a )} ‘

/ Demostractén

Mediante la definición de transformada se tiene:

L { t i ( t - a ) F ( t } ) m \ " e - H i t - a ) F ( t ) d t , .•"o

. \

Í =^% ~^‘p ( t -a )F { t )d i+ ^ '^ e ^ ‘”n ( t -a )F { t )d t .

= j^°°e'"'F(t)dt . .. (1)

n

78


í - > 0 ; z - > 0r ->+Q0 ; 2 _>+oo ... (2)Sea t = z + a, cuando

reemplazando (2) en ( 1) se tiene: , _

£{//(í - a)F{t)) = e - ‘'F(t)dt = + ">F(a + z)dz• 0 •'o

= e-^‘' F e - “ F(z+fl)dz•'o

‘ r+00 *= e” " F ( / + = e- “ L{F{t+a)}

Jo

L M í - a ) F ( / ) } = e - ‘'^L{F(t + a)}

Observación.-■ ■ ■ , í

Sea F: [0,+ao> -> R, una ñinción de clase A, tal que:

, ,■ ,1

Luego la función F{t) se puede escribir en términos de la función escalón unidad.

F (t) = F, (O + (F2 (í) - F¡ ( O m - a)

Generalizando; Si F: [0,+oo> -> R, es una función de clase A, tal que:

a la función F(t) se expresa en la forma siguiente:

¿i!

F(0 =

Fi(t) , si 0 < t F^ií) , si Aj < í <«2 F j( í) , si 0 2 <t <a j

■ 'XfF„in , si t>a„_^

79

Luego a la ñinción F(t) se puede expresar en términos de la ñinción escalón unidad.

F(t) = Fi(t) + { F 2 { t ) - ( / - a i ) + (F3(í)-F2(/))iU U - a ^ )

+...+{F„{t)-F„_^{t))H ( í -a„_ j )

Ejemplo.- Escribir en términos de la ñinción escalón unidad, la ñinción.

F{t)_ Íí^ , si 0 < t <2

4í , si t >2

F(t) = í^ + { A í - t ^ ) n ( í - 2 )Solución

Ejemplo.- Encontrar la Transformada de Laplace de la ñinción que se muestra en la figura.

a b t, ■ . ' ' i í.. , i ‘

Solución

Escribiendo la función en términos de la función dscálón unidad se tiene:

F(t) = k[ ^ (t - a) - (t - b)] y su Transformada de Laplace es :

L{F(t)} = k L{ /i (t - a)} - k L{ // (t - b ) } = ------s s

.y

80

2.4 Función Impulso Unitario ó Función Delta de Diroc.-

Consideren^os la función / ^ ( í ) . definido por:

/ , ( 0 =

1si O ^ Í < E

B0 si t > e

donde e > O, y que es muy pequeño. Su gráfica es:

A la función f g( t ) , así definida se le denomina función impulso, y cuando

e ->0 , la altura d_e la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base

decrece, de tal manera que el área siempre es igual a 1, es decir:

a la función 5 (/) = lim (/) se denomina función impulso unitario o función Í -+0

Delta de Dirac, otra forma de definir la función 5(t) que frecuentemente es

empleada en electrónica es: S(t) = lim —(// ( t ) - n (t - e ))e-»0 s

81

Ahora c^cularem<»s su Transformada de Laplace ; j ^

í { / . (0 } = A i t ) d t= e-"' A {í)dt + J ” e - ^ f , {t)dt

r e " e ’' /« e "= ----- dt = - ------ = - ------ +J o e f i j ' o es es

··· i í / . ( 0 }=-1- e '

es

como S(t) = lim f g( t ) => L{5(t)] = lim L{f^{i)}e-»0 e-»0

I{5(í)} = lim1- e ' se

lim-------- = 1«-»O B S s~*0 S

L{5(t)} = 1, además L{S(l -a )} =

2.5 La Función Gamma.•1' ■

Es una integral paramétríca defínida par;

Γ ( n ) ^ £ ^ i ”' ' e · ‘d^ι

ff.:

Esta integral es convergente para valores positivos n > O, y para valores negativos

n exceptuado los valores -1,-2,-3,-4..., a la función Gamma también se denomina

función factorial y se aplica en las ecuaciones diferenciales que admiten soluciones

por series infinitas. ‘

Su representación gráñca es:

82

En la siguientes tabla se indica algunos valores de r(n ) donde 0 < n < l ,

calculados según (1) mediante series infinitas.

N 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9r(n) 9.5 4.59 2.99 2.22 1.49 1.30 1.16 1.07

La integral r(« ) = , no define ningún valor n = O, pero define los" : - ■ ■

valores de F(n) para todos los números reales de la siguiente forma:If ■

2.6 Propiedades de la Función Gamma.

1. n « + l) = « r(« ), V n > - 1

Demostración

.34·;

83


Por definición de función Gamma se tiene:

r (« + l)= limJo Jo ;>-»+a.Jo il

integrando por partes: > ' !

dcù = nfi" ‘d/i .

dv = e~‘‘dfi v = - e ~ ^

r ( n + l ) = lim [~n"e ^ l l + n ^ n " 'e ^dî]p-t+oi Jo J

= lim - p ' ’e~^í+ lim n i e~¡'‘idp. =0 + np~>+cx> p~>+cc »0

.• .r(n + l) = «r(n)■ .■ li

2 . r(«+l) = «! , V«eZ^ '

.. Demostraclén

Aplicando repetidas veces la propiedad (1)

ft” 'e "du = nT{n)

r(n + l) = nr(n) = n ( n - l )r (n - 1) = n(n - l)(n - 2)F(n - 2)

= n(n - l)(n - 2)(n - 3)... (n - (« - l))r( l) ‘‘

= «(« - 1)(« - 2 )(n - 3)... ,3.2.1 r ( l ) = nF(l) = n ! r (« + 1) = « !

Observación. r ( l ) = f n^~ê~^dn=[ e"^dî = l Jo ,,Jo r ,

•••r(l) = l i i , . -

84


2.7 Teorema. Demostrar que: e“ du =

Demostración

Í p _ 1 Cp l -' <¿c= dy ,

y sea / = lim Ip, el valor de la integral.p—*fx>

Luego I^p = e~’‘ d x ) ( ¡ ^ d y ) = dxdy

-(.V+ / ) dxdy, donde R ss el cuadrado o ABC, de lado P i

Sea R, la región en el primer cuadrante, comprendida por la circunferencia dei'\ ■ ■' , i

radio P. es decir: JJe ^dxdy y sea R2 la región en el primer cuadrante,*

comprendida por la circunferencia de radio ^f2P es decir: J J ^dxdy.R,

. ,'ftl ■ ^

Luego : J J ^dxdy ^ I^p ^ JJ dxdy

85

por medio de coordenadas polares (r, 6) se tiene:


-d 0

rt , „2 1- d - e " ) < / % < - a - e - ^ ' ’ ), « '4 . 4

tomando límite cuando p->+oo, se tiene: i

lim — ( l - e ' ^ ' ) < lim p ú lim —/ > - » + o o 4 p - * + o o 4 I I I )

7t 2 n 4 ñ— ú l < — de donde se tiene / = ----- ^4 4 2

Ejemplo de aplicación. . |

1 r -Demostrar que: r ( —) = v^r

Solución

Por definición de la función Gamma se tiene:

1 f+eo 2 »+00 1 »+00r(« ) = J /i" e ''d// , de donde: r ( —)= e~"d'/i=

' O ¿ J o J o. ' -1

Sea n = ^ dfi = 2xdx

cuando x = O, ¡u = O y cuando x -> + oo; fi -> + oo

r ¿ . r % - r 2 » i r . 2 /* % - '■ * . 2 A . v ; r2 Jo Jo Jo 2

1 ^ ,

86


2.8 La Función Beta.

A h función B: R^xR^ -& R, definida por la integral

Jo

donde m > O, n > O, se denomina función Beta.

2.9 Propiedades de la Función Beta; .^

1. B{m,n) = B{n,m)

Demostracién

Por la definición de función Beta se tiene:

sea Z = \ - dz = -dfi , además cuando/i = 0 , z= 1H = l , z = 0

B(m,n) = ¡ ' /i” - ' (1 - f i ) d^ι ^ - f (1 - z) d zJo ' "Jl

= f z"~^ ( l - z ) ’"~^dz = B(n,m)Jo

2. B{m,n) =r( /n ) .r(n )

T{m + n)

Demostración^. . I

Por definición de la función Beta se tiene:

■ÍK' a·

87


B{m,n) = \ \ ”' - \ l - p r - ^ d n ,

Jo ■ : · ■' f

sea g(í) = í ^Γ~^ (1 - fi)"~^d¡íi, calculando su Transformada de Laplace se tiene:•O ........ ■■■'· ■ · ■ ■ ■■

por el teorema de convolución. „ .‘ '

« 8 « ) ) - r ( m ) r < „ ) p l p . . n ™ ) r ( n ) . ^

e (0 - r w r w r ‘( - l ^ ) ' y ™ ■ 'gm+n r ( m + n )


8 ( 0 - r ^ - ' ( 1 -Jo r (m 4 n )

g ( l ) = f ’ ^ ’"-‘( l - / i ) - ' d í i = I ^Jo r(m+

.■. B(m,n) =

r(m )r(n )T(m+n)

T i m ) n n ) -

r ( /n+n)

{% 2m-i 2„-i 1 r(m )r(n )3. I sen^" *0.cos^” ‘ 0 d 0 = - j 5 K K ) ^ — ■

• 0 . 2 2Tim + n)

Pemostracidn

De la propiedad (2) se tiene;

5(m ,«) = [ 'a /“ -· (1 - A/)"-* dti =Jo r(m + j

r(m )r(n ) r (m + n)

sea z = cos^ d => dz = -2 cos 9 sea 9d6 ^ sen0cos0d0 = - —dz2

¡1'"^sen^*^^ e.cos^"“' 0 de =oy - ' . ' · J ', .

'sen^""^ 0.cos^"-2 e.senO.cosG d9

88

= f* (l-c o s^ d)" ’ (cos^ 0 )" ' send.cosdt/d Jo

= - - f ( 1 - z)” - ' 2" '' </z = - P ( 1 - z) z"·' dz = i- B{m, n) ■■7 7 "0 7

T{m)T{n)

2*0 2 2r{m + n)

sen^'”~‘ 0 .cos‘‘"~‘ 9 dQ = — B(m.n) = ·. 1 . r(m )r(n ) . ^

»A 2r(m+n)

■ Ò., . · . ·-! ·

2.10 La Función de Bessel.

La ecuación diferencial de segundo orden de la forma

< V ' ' U H ty'U) + U^~ P^)yU) = O... ( l ),, A v .

se llama ecuación diferencial de Bessel de orden p, con p ^ O .

Ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias al rededor del punto t = O,

el cual es un punto singular regular.00 00

Sea.v(í) = í ^ X a „ í * , /»¿O■s' *=0 *=0

calculando las derivadas correspondientes se tiene: ,

y'U) = ' Z ( k + P)a,t^*'’- . y y"U ) = ' Z { k + p)(k + p - [ ) a y ^ > ’ k = 0 k = 0

ahora reemplazando en la ecuación diferencial dada

*=0 K = a *=0

'^ ik + p){k+p,-l)a^t''^^ + ^ ( k + p)att' ‘ '’ + =04=0 a :=o k = o k = o

89


v.> v.> . , si:'1jjl.

* = 0 AT=0

■ , -s , : ■ " :"« ' "poniendo en una misma potencia a t · ' ) -

Á‘‘*=0 JC=2 ■ " ■. '■ 't'A=rO

poniendo los inicios iguales

Jg> V··· , „ „ , 00,

(p^ - p ^ ) a o t ' ’ +(2p+\)a^l^^>’ + Y ^ \ i k + p)^ =0k=2 K=2

S,), .(2p+\)a , t^^P+Y^l ik^+2pk)a^ +a*_2Jí*"^ = 0

*=2 ■ ' ■ , ? £ > .

I te ; . ' · * . . , i g,"

fli = O ,(2/7 + l ) a , = 0

(k^ +2pk)a/^ + a *-2 = 0

“ak = 2 => a ^ = - °

2(2 p + 2)

«1

3(2;;+ 3)

4(2 p+ 4 ) 2A.(2p + 2 )(2p+4)

k = 5 a , ---------------- O a , = 0- 5(2;;+5)

^ di 1k = 6 = > 0 6 = - 77 :----- T = ( - 1)

6(2/7+6) 2.4.6(2/? + 2)(2/7+4)(2;7 + 6)

90



«2*-! = 0 . V ¿ ¿ 1

« 2* =( - D*

2A.6:&...(2k)2'^(p+\){p+2){p+3)...(p+k)

_____________ ( - l ) * f lo __________________

23.4S..k .2^*(p+lXp+2)(p-h3). .. (p+k)

2.4.6.8...(2kX2p + 2)(2p+4). ..(2p+2k)iÜ.

a-)4 =·

2i

( - 1) «O“ 2* “ ----- ñ -------------------------------------- > V k ¿ l

kl ·2^Up + i)(P + 2)(p+3).. .(p+k)

n ; ;¿ ! 2 '*{;j + l)(/»+2)...(/7 + A:)

„ ( o = Í ________ ^f : ^k !2 ^U p + l) (p + 2)...(p + k)

consideremos a„ = —-— í------ se tiene:2'’r ( p + l)

___________ tu!___________ ,2*+p

^ í ^ k ! 2 ' ’2^^r (p+ l)(p+ l)(p+ 2) . . . (p + k)

, ( 0 = y ___________ ________________ ( i ) - -t ; k ! r ( p + l X p + l ) ( p + 2). .. (p+k) 2

é

Esta íunción es una de las soluciones linealmente independiente de la ecuación diferencial de Bessel y es llamado “Función de Bessel de orden p y de primera clase” y denotaremos en la forma siguiente: '

91



(-D*

a. Definición. A la función de Bessel de primera clase y de orden n, denotaremos

por J„U) y es definido por la serie.

• ^ ( - 1)* t 2 si n = 0 , se obtiene JoU) =

Llamada función de Bessel de orden cero.

Observación. Se ha obtenido una solución linealmente independiente.

00 / ^

■ ' . ( » - ' L --------------------- -----------------------------í - ) ” "·' n J r ( í + l ) r ( í+ l ) . ( p + lX í+ 2 ) . . . ( ; ,+ i ) 2

I

í>:

se sabe que: {p + l ) r ( p + í ) = r { p + 2 )

i p + 2 ) r ( p + 2 ) = n p + 3 )

(p + 3 ) n p + 3) = r ( p + 4 ) j

{p + k ) T { p + k ) = ^ T ( p + k + \)

de donde:

00 » / i v A 00 V , 1

¿ m + l)r(/7+ * + l) 2 ^ ^ , k \ ( p + k ) l 2

92



La segunda solución linealmente independíente de la ecuación diferencial de Bessel es:

Observación. Las funciones de Bessel de mayor utilidad son los de orden cero ( í ) Y las de orden uno, y , (o y son expresados así:

2*+l

*=0 (*!)^ 2

el gráfico de estas funciones es:

b.

1.

3. - { íV „ ( í ) } = /V „ _ ,(0

5. 4 -{ /-V „ (í)} = - r v „ , . ( oat

4. „ = 0 , y^(f) = - y , ( / )

6. y„_ ,(í)-y„+ i(í) = 2 7 ;(0

93



cosr

sení / M-i 00 j9, y ^ ( / ) = j — ( ^ p - c o s í ) .. 10. ’ = X ^ „ ( í )« "

»=-00

Se conoce con el nombre de función generadora para las funciones de Bessel

Ejemplo. Hallar (r)}, donde oCO es la función de Bessel de orden cero.■ . - . . i ' i ■

Solución

,« ,2 . ,6 ií

JJ í )= —---------(1 --------------+------------------------------------------------------- + -). 2 " r(n + l) 2 -(2n+ 2) 2.4.(2n+2X2n+4) 2.4.6(2n+2K2«+4X2«+6)

r*

2 ^ ^ 2 ^ 4 ^ " 2 ^ 4 ^ 6 ^ " 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8 ^ " · · ·

¿ í/o (í)} = í { i - p - + ^ - ^ 2^ + P 7 r ¡ T ^ - · · · }

1 21 4! r 6 ! ...- ... 8 !- 2 „ 3 ^ « 2 . 2 5 „ 2 . 2 , 2 7 ^ - 2 . 2 , 2 „ 2 9 · "s 2 .s 2 .4 .J 2 .4 .6 .J 2 .4 .6 .8 .s

1 1 1 , 1.3 1 . 0 3 1 . 133.7 1 ,= 7 I - 1t ( ” ) + T 7 (7 ) “ T 7 7 Í7 ) + 7 4 A « - • • • i s 2 s 2.4 s 2.4.6 í 2.4.6JJ s

1 1 1

\ í .5^+1

94


Ejemplo. Calcular L{^—

Solución

V i +1

f“(l_ 1 t Js U

= ln(u +

+1

" . ) / : - 0 - l n (

:)dn = [In /j - In

■) = ln{ )+ 1

Ejemplo. Demostrar que: J” (t)dt = -1

' í ‘ Solución

Se sabe que L{Jg (<)} = — , entonces+1

B', " , , </2 1 3^2 1

•/o(O) = ( - 1) — r ( I------ ) = ~ ; ------- ---------------ds Ví^ +1 ( j + 1) ^ ( í + 1)

Ahora aplicando la deñnición de transformada de Laplace.

o ( s^+l) ' ^ (5^+1)^ j

tomando límite cuando s->0 , ,

lim í->0'0 -»0 ( í S l ) ^ (.s^+1) ^

■) = 0 - l = - l

95

2.11 Ejercicios Desarrollados.

1. Muestre que la función F(t)cuya gráñca es la onda triangular que se muestra en1 sla ñgura, tiene como transformada de Laplace L{F(0} = —r tgh(—) ·

Solución

Si t €< 0,1 >=» »1, = 1 => F(t) = t

Si t e< 1,2 »»2 = -1 F(t) = 2 - t

ít, si / € < 0,1>Luego F(t) = \

* [2 - / , í 6 < 1,2 >

donde F(t) es periódica de período p=2

\ \ “ F(t)dí Jo Jocomo L{F(i)) í

1- e -2sdt

---- —T - [ [ \ - “ td t+ {^ e - ’' { 2 - t )d t \\ ~ e Jo Ji

1 -e-Is

e " '* - 2e - % l 1 - e ■’ 1 s·)= 2; ; : tg h (-)s (1 + e ) s 2

96


2

e ' - e - ' e^‘ - \ 1- e “ '

2. Hallar la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la figura.

Definiremos la función periódica F(t) donde el período es p = a, si t e [O,a] m = tg 9 , luego la función es: F(/) = I . t g 9 , con período p = a.

..5

Ahora calculamos la Transformada de Laplace de: F(t) = tg9.t

L{F(l)} = ¿{Tg9.(} = Jo1- e

tgfl1- e - “

e “' t d t .

tg0 te e~’“ ja - tg9 l - e “ - a s e

1 - e 2 ' / O « -«is .5 1- e

97


3. S íF ( /) = /2 , 0 < / < 2 3/ F(/ + 2) = F ( 0 hallar Z,{F(/)}

Solución

Grafícando la función periódica de F(t) se tiene:

, - 2 í 2 31 - e s s s

l - e ^ í * ' A·

2 - 2e -As .e - A s^e

s H \ - e - ^ ‘ y

-2s a „ 2 „ 2 s

.·. L{F(t)] = ·

4. Determinar la transformada de Laplace de la función F(t) definida por:

j l - t , t<7r~ |sen/| , t> 7T

Solucion

98


La íunción F(t) = |sen i | , es periódica de periodo p = jt

f+QO fitL{F(i)}= e -” F {t)d t= \ e-^'F(t)dt +0 Jo'* .

flt /»+00= Jo (1 - t)e^‘”dt + J e "|seni|df

= f (1 - t)e~^‘dt + -— Í e'®' seni di -Jo 1 _ e“® Jo

e”” + l

' . ^ + 1

5) Hallar L{í-[|í|]}, t:>iv ■

Solución

Grafícando la función F(l) = t - i|]

99


I{ F (0 }=-Jo Ja i

l - e -Ts \ - e 1 - e

t e “ e-*' />e " /> .

v „

1 - c s s ‘

1- e - V

6) Hallar L{F(t)) donde F(t) = | cos t - sen 11, es una ñinción periòdica de periodo T = n.

Solucién

co s í- s e n i , s i O ú t ú — 4

se n i-c o s í , si — < t < n 4

F (i) = |cosi - seni| =

f e~‘'F(t)dt f e '" |c o s í- s e n í |d í *0 Jo

¿{F(t)} = ·1 - e -Ts l - e

* /a

= ------- —11 |cos/ - sen + f |cosi - sen i|e " dt\l _ g - ® 'Jo Jff/4

100

1 _ C’’ f= ------e " (cosi- s e n /)<//+I (sen i-c o s í) </i|

l — e *0 '»M

1 e “*'= -j---- — 2’ í®®ní-í.cosí + .v.seni+cosi)

e IH·»··.,H-------7 ( j .c o s / - s e n i - s e n i - c o s i ) I ,,l + j 2 ' " ’A

1

i{F(i)} =( l - e - ” )(l + i^ )

7) Hallar I{F(i)} donde F(t) = | sen 11.

. Soiucién

Grafícando la función F(t) = IsetÌt l. '

La función F(t) es periódica de periodo P = n, ahora aplicamos el teorema para calcular la transformada. ■

ns , ■Z{|sen t \ } ~ ------- — f e '' sen t dt

1 + e

TT.“

101


8) Encontrar la Transformada de Laplace de la función que se muestra en la figura.

A la función F(t) expresaremos en términos de la función escalón unidad.

F(t) - k{n„ (i) - /ift (0) son transformada de Lí^lace es:

L { k 0 } = kL {M a (0 } -k L{;u,(/)} =i S .

··■ L{F(t)) = - ( e * ^ - e ” ) i «y _

9) Hallar la transformada de Laplace de la función mostrada en la figura.

SoluciéiiDefiniendo la función F(t) se tiene:

102


i , para O < / < 1 1 , para I > 1

F(t) =

fi 4-ÛOL{F(t)} = J e ’“F(t)dt = J / e + 1 e ^^dl

” '

f = ( _ Î £ _ 1 _ £ ^ ) / ' - l ^ / ” i l s / 0 S I ]

l - e

'ii ■ · - ^También la Transformada de Laplace de F(t) se calcula expresado a F(t) entérmirtos de la función escalón unidad, es decir: F(t) = t - ( 1 - 1) /i (t -1 )

L{F(t)] = L{t + ( l - t)nit - 1)} = m + L{ti(t - 1)} - L{t n(t - 1)}

1 e d 1 g-·' d , e - \ 1 e-"=— +——+— L {n ( t - l ) } = - j + ----- + — (-------------- ) = “ 2-----------J-s s ds g2 g ¿g g ^2 ^2

10) Hallar la transfprm^a d f la

. f

103


luego: ,F{t) =

O , si í e[0,l >

2 / - 2 , si t e [l,2 >

4 - t , Sí í G 2,4> O , Jl / > 4

Soluclén■ i ■

Definiremos la función F(t)

S i t e [0,J>=> F(t) = 0

S itG [1,2>=> F(t) = 2 t-2>

Si t e [2,4> => F(t) = 4 - 1

S it> 4 => F(t) = b

a la función F(t) expresaremos en términos de la función escalón unidad.

F(t) = O + (2t - 2 - 0) ^ (t - 1) + (4 - 1 - 2t + 2) // (t - 2) + (O - 4 + 1) // (t - 4)

F(t) = ( 2 t - 2 ^ ; í ( t - l ) + (6 -3 t) / i ( t -2 ) + ( t -4 ) / i ( t -4 )

F(t) = 2t | i ( t - 1 ) - 2 / i ( t -1 ) + 6 / i ( t - 2 ) - 3 t /i( t '-2 ) + t ju ( t -4 ) - 4 / / ( t -4 )

■' · ■ ' · . ' .'hL{F(t)} £ ¿2 4 L{p(t - 1)} - 2¿{/i(í -1)} + 6¿{/i(í - 2)} + 3 L{^i(t - 2)}

ds ds i

ds

= - 2 y (— ) i— ) ) - 4 ^ds s s s ds s ds s s

.·. LÍFit)]·

11) Hallar la Transformada de la Laplace de la figura

104


. M i Soluclán

Definiremos la función de acuerdo al gráfico

O , si 0 < Í< 1 ...

m ' =

. Sí 1 < / < 3

4 - í ,

( - 5 , s i 4 < í < 51 - t

, si 5 < t <7 ,

O , s i ' t > l

Ahora expresaremos a la función F(t) en términos de la función escalar unidad, que es la fórma mas simplificada.

F(O = 0 + ( - ^ - 0 ) / i ( / - l ) + ( 4 - í —Í y - ) / / ( í - 3 ) + ( í - 5 - 4 - í ) a í ( í - 4 )

+ { ^ - t + 5)^ι{ t-S) + { 0 - ^ )

F(t) = 1) + 1 Mí - 3) Í /Í (Í - 3) + i m i t - 4 ) - 9//(í - 4 )

+ Y M í - 5 ) - | íM í - 5 ) - j M(í - 7 ) + y /i (í - 7) n

105

L{F{t)] = ~ L{n(t - 1)} -<¿y 2í 2j 2 ds ~ ds

9e~^^ \1 3 d . ^ „/ - - f -----+ — --------+ L { ^ ι ( t - 5 ) } - - . ----------_ l { ^ ( , _ 7 ) }j 2 s 2 ds 2 s ds

d e~’‘ . 9e"^·^ -e~·^ + \le~^^ - l e~ ’'^ 5 d ,e~^^ . . d ,= - _ ( ------) +<M S 2s

3 d , e ~ ^ \ d2 d s s ds s ^

. + —— (—— ) + 2 — (-2 as s as s

e - " 3e"3·^ 2e~^·^ 3^-5·^

2. 2 2. 2 . 2 , 2

-3 ^ -3 ^ + 4 e Í " - 6e -^ ‘ +2e~'^^

2s^.·. L{F(t)] = ·

12) Calcular ¿{ |í- |í-2 ||}

Soluciéii V ’

£>efiniendo el valor absoluto en la función F(t) = |í - |í - 2|, . -

2 - t , si í <í FU) = 2 t - 2 , si l ú t <2 ,

2 , si t >2

a la función FU) = ~ |* ~ 2| , expresaremos en términos de la función escalón

unidad.' ' 'Á'

F(t) = 2 -2 t + (4t + 4) ju(t- l) + (4 -2 t) n ( t - l )

L{F(t)} = L{2 - 2t + (4t - 4) /í (t -1 ) - 2(t -a> // (t - 2)}

106

13) Calcular L{3'

2 2 4e“ ·' 2e “ ·.v2 _,2 , 2

SoLucton

L{3'} = L{e'"'^) =j - In 3

también P2(,) = P^o-i)1 , si í >2 O si t ú 2

ÍO ,+ s i t< 2 = ^ ( ' - 2) = {, , . M > 2

^ -2 ( í- ln 3 )

<í' '14) Calcular Z ,{ /e" 'sen 4 /./i(e '-3)}

Solución

Analizando la íunción escalón se tiene;

fi(e· -3 )0 , si e' - 3 < 0

1 , si e' - 3 k O

0 , si t < ln3

1 , « | S l n 3, Oü-

■■ñh

107

M e'-3) =


0 , si / - l n 3 < 0··· 1.11

1 , si í - l n 3 ¿ 0 ' "

fO , si t-h i3< 0 .1 , . / , - l n 3 2 0

Luego de (1) y (2) se tiene ^(e ' -3 ) = /i(í - ln 3 )

Si F(í) = I e~' sen At.n(e' -3 ) = í e~' sen 4 /./i(/ - In3), entonces

L{te~‘ s e n 4 í .^ e ' -3)} = Z,{/e~' sen4/./i(<-ln3)}

ahora mediante la propiedad de Transformada se tiene:

I{sen 4 í. /i(t - In 3)} = e * I{sen(4í + 4 In 3)}

= e"·’*" i{sen4t. cos4 In 3 + cos4í. sen 4 In 3)

_ jln 3 ,4 co s4 1 n 3 . sen(41n3).s,— ^ I Ij + 1 6 s + 1 6

dL{t sen4í. n(t - In 3)} = —— I{sen4t.|i(t - ln3)} ,

ds

- J In 3 (4 cos4In3 + sen(4In3). ds^ ' .2 ^ 1 6

In 3.sen(4 In 3). + (4 In 3.cos4 In 3 + sen 4 In 3).^T T T ó ^

(8cos41n3-16sen4hi3)j+16(41n3.cos41n3-sen41n3) ^^ (.2+16)^

15) Calcular - ? |- 2 )}

SolucléBAnalizando la función escalón se tiene:

108

0 si í 2 - 7 - 2 < 0- 1 - 2 ) =

1 íí - 7 - 2 ¿ 0

SI í - ' - 7 < 2 = > - 2 < í 2 - 7 < 2 = > 5 < í 2 < 9

5 < t^ < 9 o 5 < t ^ At^ <9

o ( / < —>/s V /> VS)a - 3 < / <3 i

o -3 < Í < -V s V Vs < / < 3

í " - 7 | ¿ 2 o / ^ - 7 > 2 v î 2 - 7 ^ - 2

‘ o í ^ ¿ 9 v í 2 ¿ 5 .»ü ,

' O í ^ 3 v / ^ - 3 v - V 5 ¿ í V5

SI

Luego la Transformada de Laplace de / i ( { ^ - 7 |- 2 ) existe en

■JE<t <3 y t è 3 entonces:

M í - 7 - 2 )

1 , «· O ¿ í á Vs

0 , si Vs < íf < 31 , «■ í ¿ 3

foo VL{fiÍt ' - 7| - 2)} = Jo e-“‘^ ( |í2 - t | - 2)df

= Jo - 7 |- 2 ) d í + - 7 | - 2 ) d / + - 7 | - 2 ) d í

».íb

r c e 1e " d t + 0 + 1 e~"'dt - - - - - - - - - - - - - - + -

, , J 3 S S S

109

■ i { í 'M í ' - 7 - 2 ) } = ( - l ) ^ - y ( - - — — + - )ds s s s ^

' d ,{-JSs + - (3j + l)e'^" +1,~ ds^ ^

„ 9s^e~^‘ + ((6 - l S ) s - 5s^ - 2" .v'

' I ( ,V V ( ,= - 7 - 2M .Í- ■ > - ^


( í + 1) '

16) Calcular cos/.sen /./i(/-4)}

Solución ^

,^ - 2fSea F(t) = tn ' ^ cosí.sen í./i(/- 4 ) = —^— se n 2 í.p ( í-4 )

,g - 21n«.« gg jj2 /.p (í-4 )

L{F{t)} = - j L{íe·^'""‘ sen 2í. fi(t -4 )}

c-'·*I{r/+4>·^'" ’ '*'''’ sen2r/+4;} ... (1)

i{(/+4)sen2(í+4)} = i{(í+4)(sen2/.cos8+sen8.cos2/)}

= ¿{4(sen2r.cos8 + sen8.cos20}+¿{i(seB2r.cos8 + sen8.cos20}

8cos8+4..sen8 d „ „ „ „ .---------- -------------------¿{cos8. sen 2r + sen 8. cos 2 ;}

+ 4 ds .. .

8cos8 + 4..sen8 4 cos8.5 + sen8. í^ -4 s e n 87 7 ^ ·" .

lio


4 , 4 ) ,(j+21n;r)^ +4

4 cos8( í + 2 ln 7r)+'sen8(s + 2 1 n ^ )^ -4 se n 8 + --------------------------------- ---------------------------- . . . (3)

(s+2\nn) +4)

reemplazando (3) en (1) se tiene:

L[F{í)] ^8cos8+4sen8(í+21n;r) ^

2 (,ΐ+ 21ηπ)^+ 4

4cos8(j+21n^) + sen8(í+21ng)2 -4 s e n 8 j

(( ί+ 2 1 η π )2 + 4 )2 ^ '

17) Evaluar: L{[ ^ sen()U —^ )c o s(/i~ ^ ) μ { μ ~ ) ά μ \3 μ πμ 4 4 4

Solución

f2íicosh4u π π πSea f ( s ) = L{]^ — — sen(/i - j)cos(;u - ~ ) μ { μ —^)άμ} , ... (1)

COSh4// e ' * ' ' g(4-l«*)/^+g-(4.1n»)/.

πμ ^ 2 2


1 fZi» +g-H+lo>r)í<

(2)

1 Γ2ί» e ' +e π ^f { s ) ^ - L { \ ^ ^ (---------------------------) ^ η 2 { μ - - ) μ ( μ - - ) ά μ ]

■u ■

= ) sen2( ^ - | ) φ } -

I ,

- £ { / “(e<''-'"”>'^+e-í''^'“”>'‘)sen2( / / - j ) M / / - f ) r f ^ } ^ - O )

111

i{sen(/i - j ) cos(/i - - j ) } = e""’Z,{sen /i. cos ;<}


c-·"■I{sen2^} = ·

2 ,2 + 4

n 7tsen(/i - j ) c o s ( / i - - j ) } = —

e+

( í-4 + ln ;r ) · +4

-y (í+4+ ln») -

( j + 4 + lnff)^ + 4

j -•5-(»-4+lnff) ^-f(í+4+lnff)

5^(.v -4+ ln ff)2+4 ^ ( j+ 4 + ln ;r )2 +4^ ··· W

, -|(4-4+lnT) -7(4+4+ln»)1 e 2 e 2

=TiT----------(—- 4 + lnn·)^+4 (—+4 + ln ;r)2 +4 ”

ahora reemplazamos (5), (4) en (3)

m = T - j(■ ^-4+ lnff)2+ 4 (y + 4 + h i;r)2+4

^ -7 ( í -4 + ln ; r )

^ ( j - 4 + ln;r)2 ( j+ 4 + lnw)^+4^^

112

18) Hallar L{cost.lnt.S{t- n ) ]■ > . -

Solución

Aplicando la propiedad de la función Delta de Dirac para cualquier función

continua G(t), se tiene: - a). G(t)dt = G{a)

¿{ co s/.ln /.5 (í-;r)}= | e~'” cos t . \n t .S ( t -n )d t = e ' ” coswIn;r = -e"® ln;r

■\f~2t rx f2y-v e ''sen 2 (v -4 ) ,

19) Calcular L{\ ( ( ----------- ------ fx{v^-\6)dy)dx}Jo Jo Jo V—4


Solución

- - V

(v -4)^

,-v „„„2 ,

Sea F W , r £ 2 j 5 1 i ^ M v = - 1 6 ) *J O í v - 4 ^ 2

ry e ' ' sen (v -4 )//(v -16)rfvL{F{y)} = L { \ -----------

)Jo (v -4 )

1 se n 2 (v -4 )M v -4 )j ^

•V (v -4 )2 *■'


, í + l , . (s + l )2 2' — ln(-^^— Y— ) + arctg — ■.

4 (j+ l)V + 4 s + 1L {F (y ) ) = -— [— ln( ; i - - ^ ~ ) + arctg— ] = H(s) ... (o)

113


L{ f / ( 23')dy} = - l{F{2y)) = ^ H{^) Jo .y 2s 2

L { [ “ ( [F{2y)dy)dx) = ( fV(2v)dv)dx} ... . .. (3)Jo Jo Jo Jo ^

■ V· ■ " " i - · " " ‘í- ''«í-·

L { U [ F ( 2 y ) d y ) d x } ^ - ; ^ H { ^ )Jo Jo 2 . 2

'fe - = ' ■ ' : ■ ■ Jítóií·'"L i \ ^ ' ( [ F ( 2 y ) d y ) d x } = \H { . ^ ) . ..(4 )

Jo Jo 4

de (a) se tiene: ,

g-4U+l) (g + ])2 2H{s) = ----- ;;— (— ln(7— - 7 - 7 ) + arctg - ’

4 ' { 5 + 1 ) 2 + 4 =>s + i*

s í . ·

/ / ( j ) = 4·^------- ---------------------------- ) + a r c t g - ^ l ... (5)4 .y 16 ( í + 4)2+ 64 s+4


L{ f \V F {2 y )d y )d xh = \ e ^ ^ * * ^ \ ^ \ T i { "'*'^^'— ) + arctgJo Jo ,H 16 ( 5 + 4 ) 2 + 6 4 s + 4

*' V.

. . V ' ' 's e n 2 (v -4 ) í /(v 2 -1 6 )^ 'donde F(2y) = ------------ ^ --------- -dv" Jo ■ (v-4)2

f°° p 1 P + 120) Probar que: x e <& = —n - y - ) , p > - l

Solucfón

114

XÍi


^ 2 . » . , dz dzSea z = x => d z ~ 2 x d x d x - —2x

S i x = 0 , z = 0 y s i x - > a i , z - y o o

Jo Jo 2 2 Jo

1 f” i±i_i . j 1 ^ , P + \' 2 Ì ‘ ' ' « '■ ' - ■ T n — )

Jo 2 2

■ r(l)-lnss

Solución

f “ - 1Se conoce que r (n ) = J ^ p " e , derivando con respecto a n

P (« ) = In /id ^ , p a r a n = l

JiOO _e " Xn^idfi , haciendo p = st

0 7

r '( l ) = s f e “"'(ln.y + hii)di = .vi e “ \sìsdt + s{ e~"' lntdt Jo Jo Jo

T e - i n , , , = m _ = m _ ( i £ l Ì H ÁJo i Jo s i / o

115


■, ·" c ·22) Calcular £ x ^e ífe, m, n, a > O

Sktluclén ‘

Hacemos ¡ x - a x " "

dx = — — dun a a

si x = 0 ; /i = 0 ; si x->oo, =» ¿u->oo■ / i

J’“> >■ f ” M " 1 « 1 1 1 s 1 1 i i-1 ,dx = \ = ( - ) " — ( t ) " L e > dfi

o Jo a an a . a na a •'o

Jo na ’ ”

23) Demostrar que:' f ;c'"(lnjc)"<fc = ^ n G z '^ ,m > - l .^ Jo (ffi + 1) ”·'*

Soluclén

Sea lnjc = -Ai => x = e~** => dx = -e~^d/i

Si x -> O , => ju-> 00 : s ix -> 1 ,'=> O■ ♦

f x ”‘( l n x r d x = r e - ' ”>^(-nre->^i-dfi) ^ ^ i - i r Jo Jo *'0

116

dzSea (w + l)/i = z => d f i= ------ '

fH + l

/ i = 0 , z = 0 , / i - > o o , z - > o o

z dz


[ \ ”' ( \ n x r d x = = (- !)" r ( - ^ ) V -Jo Jo Jo m+l m+l

( - 1)" f % - ^ , v z = - í ^ rJo r»i + n"+‘ Jo

( - l ) " r ( « + l) ( - 1)".k! .- --- ----- - r n — = ------ -T T . K e z , m >-1

24) Demostrar que: ¿{<"}= . n > - l , s > 0- s

Solución

•00

Z{í"} = , por definición de Transformada.Jo

XSea x = s t , s > 0 = > í = —

^ s

25) Demostrár que; ¿(í =

Solucién

117

„ «. r ( « + i)Se conoce que: L{t } = — — .

■Í7- 1/2 ,···,

26) ’ Si s > 0 , n > 1, Demostrar que:

’ 1 1 1( L{-------- } = r(n )(— + ---------- + --------- +...)

1- e ' s" ( j + 1)” (s + 2)"

Solución

Sesabeque: = l + x + Jc^+..., para |x | <1l — x '■

— ^ - = l + e - '+ e - 2'+ e -^ '+ .. . * *1- e - '

í ”“*------- - = í"- ' + í" - ‘e ' ' + í" - ‘e -2' +,'>->e-^'+...1- e " '

*fí-l—} = Z,{í"'* + í" '* e - ' + ,»-ie-^ '+ ...}

1- e

I í 2 ) + _ [ í í i L + J > L h . . . . = r ( . ) ( - L + ^ + . . . )s" ( s + 1)" (j + 2)" f" (í + 1)"

Vt

S olud ta

27) Hallar

118

Pormedio de = s i{ F (/)} -F (0 ^ ), donde: ,

F (/) = senVT =► = y F (0^) = 02Vi

¿{C o s ^ } = .y¿{senV7}-0, donde I{senVi} = —- l / 4 i

.. f

2V7 ' ........... ..

cos l/4i3/2 i r

,-1/4.5

28) Calcular Í yr , q > 0, — > 0 y deducir el valor de f __

Solución

Sea l - j c ’ = z => ;c’ = l - z => x = { \ - z f ‘'

d x - —i - ( l - z ) ’ *dz, además x ^ * = ( l - z ) ’q

Si X = 0, z = 1 y si* x = 1, z = 0, entonces '

= i ( z ^ - \ l - z r ' d z = - B ¿ A 'q JO a l a

, r è n i ) p r ( £ )

■ - ' - T - f ' - — < - r V '

119


fi dx 'è . ■-*5’"·*·.' f-its-i'v;para el caso ^ . se tiene p = 1, q = 4.

"•lì-x‘ " V n X 4 2 ’4 4 r { i + i ) 4 r ( - ). 2 4 4

29) Evaluàr 1„ = \ \ \ - 1 ^ ) ” dt V? ‘ _

Sgiastéa t 1 ,

Sea /i = l - r => - 2 t d t = d i

dn= => t = J \ ~ n => dt = — _____

2^ 1- / it i

Si t = 0, /i= 1 ysi t= 1, /i= 0 .

^ab-i» ,¿ 5 : ~

= r (1 - /i)^·' dn = 5(« + 1. j )

r ( « + i ) r ( l ) ^ r ( « + l )

r (« + r + l ) r (n + | )

_ V^.«! «! 2 ’’·^*.«!' 1. 3 1 ^ ,1 , (211+1) (2 « -1 ) 3 1 (2n + l)(2n- 1)..J.1

120


30) Si B(p,q) = £ (1 - jr)’ -' dx , Demostrar que: *

a) B { p ,q )= f^ x - ^ ^ ^ ‘> \x - \ ) " - ^d x b) B{p,q) = f ^ x ^ - \ ( \ + xy^>>^‘'^dx

Solucién

a) Sea x = — , cuando x -> O ; z -> ooz

cuando x -> 1 ; z -> 1

\ j dz como x = — => dx = — r-

2 Z^' ’ ^

B(p,q) = ¡ x ^ ' \ l - x y - ^ d x = ¡*'{) »00 Z ^ 2

■ - . ■ ■ , m

. V « JC z , dzb) Sea z = ------ => x = ------- => dx = — :— 'I - X Z + 1 (z + l f

cuando x -> O ; z -> O y cuando x 1, z -> » í '

B(p,q) = f^ x ^ - '0 -x r ~ 'd x

. - r . - ' aJo z+1 z+1 (z+1) •'O

= r x ^ - ' ( x + l)-^^ ''^dx ,Jo


121


·■· B ( p , q ) ^ r + ' í»JO <

31) Demostrar que í p{'8~fi^)^'^dfi= n · íJo 27

Soluclén

- ..... a , ;

Sea x = ( | ) ^ => => dn = \x ^ ^ '^d x

para /í = 0 ; x = 0 , / í = 2 , x = 1.

Jo Jo 3 3 Jo

(s

como B{m, n) =

« - 1 = 1

34n = —3

2 4 '8 r ( - ) r ( - ) 8 2 1 1

. i r , V ( i - i ) . ^ ( - ^ ) - ! ^9 ^3^ " 3^ 27sen—„ 3

¡ \ ( S - f i Y ^ d p ^Jo

l&y¡3 Jt27

12á

32) Demostrar que: - a)" { h - t f dt = { b B ( p + \,q+ \)

donde p > - l , q > - l , b >a .

Solucién

Sea t = / / + a => -t = -Ai - a => b - 1 = b - / / - a y

s i t = a , / i = 0 ; t = b , j u = b - a .

f b r b - a ■ 'i' . I\ { t - a f ( h - t ) U t ^ n P ( h - a - n Y d n . . . { \ )Ja Ja

U -

Sea x = — — => u = (h - a ) x => dp ={h-a )dx , , h - a

S i | i = 0 , x = 0 , s i / i = b - a , x = l

í ( t - a y ( b ~ t ) ^ d t = ¡ fi’’ ( b - a - ( i ) ‘‘dp Ja Ja

■> f>____ = j ^ { b - a y x ' ’[{b -a ) - (J ) -a )x \ ' ’ {b-a)dx

f* 1 ^= í ( b - a ) ' ’ \ ‘’{ b - a ) ‘' { \ - x ) ’>dx Jo

= x ’’ { \ - x ) ‘‘dxJo

Jo

={b~a)P^"^^ B{p + \,q + \)

33) Dado f —— dx = — - — , Demostrar que r ( p ) F ( l - p) = — - —Jo 1 + X sen p n sen p n


123



Solución

Si x - > 0 , y - > 0 , y s i x - > o o , y -> 1

í xn p n Jo 1 + x Jo y (1-;^)■ 1- y

^ { \ - y V - \ \ - y y■ (■ ..

= (1 - y f -^ ^ -^d y = B(p, \ - p ) = = r( /» )r( l - p)Jo T ( p + \ - p )

= r ( / ; ) r ( l - / 7 )sBnpK

34) Mostrar que: T (1 + /» )r ( l - /?) ^2 2 cospz

Solución

Del ejercicio anterior r( /» )r(l - p ) = — - —serí p n

" f ■

r ¿ + / ^ ) r ¿ - / 7 ) = r ¿ + ; 7 ) r ( l - ( ! + ;;))2 2 2 2 sen (l + / 7);r

124


r** COSX 7t35) Demostrar que: ------ dx ---------------------- , O ^ , P - ^ o o s x d t ) d xJo jc'’ Jo r(/>) Jo r (p ) Jo Jo "

------ — r t^ -^ L { c o s x } d t ----- — f i ^ - ^ ^ ^ d tr(/>)Jo r(/7)Jo t +l

f ^ c o s x , 1------ d x = -------

Jo xP T{p).dto l + f2

Haciendo z = t^ => t = z^'^ => di -------- dz2

.b,

j·“'cosjT I z ~‘ 2 1 ,Jo T ^ ‘* '" r ( /» ) J o 1 + z T " 2r (p )J o z +1 ^

- ,í*

2 r ( p ) c o s ^

125


, f^cosjr .por lo tanto =

2r(/;)cos p n

f ' dt36) Calcular I -----------^ = =

•'‘’ (í + D ' ^ d - í ) “ ·

SolMcién

I,dt - 1 4 / 1 5 / 1 , ^ - 1 / 1 5

o / + 1-dt

1 1-M , duSea u = -— => f = ------ => dt = - — 2

1+ í u u^■'M:, ,

'"■» . ' l·· cuando t ^ O ; u-> 1 ; t -> 1 ; « ->

fi dt

(í + l)‘ í 'V l - í )

- 1 4 / 1 5 , , ' l - “ , - l / 1 51/2 ' “ T“ -' „ '

l - U+ 1

du' - U >

cuando u - ¥ — , w - > 0 , u - > l , w - > l2

f ‘--------- = f‘( l - « ) - ’"''*(2« - l ) - ‘' ‘*(í + l)‘ í * ' '( l - í )

du

126



ri ___ L f ' (1 ^ H-)^* w^-^dwJo

2* *5 4 s ’ 15^ +15 15^

_ ! _ r ( — ) r ( i — Í- )= ------- --------2 - ^ ^15> 15> 2 -S e n ( iL )

15

- í . it + i y ^ t ^ \ l - t ) 2 " ‘-%en(-^)

f* t “~^dt37) Calcular | ------^ , a > 0 , b > 0 .

Jo i + í*

^ Solución

t «Hacemos u =----- t- => t = ------1 + í* 1- «

h U I. W 1í* =----- => 1 + í* =1--1-M 1-K l - u

cuando t ^ 0 , u - > 0 y sit->oo, u - > l

U JL±

Jo 1 + í* Jo 1 b l - u (1- m )21- t t

127


¡I


1 fl u *· . u ‘‘ ^du 1 fl ^du

. = l ( _ y _ i — * ^ ^ 1 γ ( £ ) γ ( ι - - ) = — - —ft ft ft ft^ ¿ s e n Ä

b b b

f * '^ ’■ φ38) Demostrar que I . ----------

I 2n

Solucidn

Por definición B(p,q) = Í x^~K(l - x)^~^dxJO

l/nSea 1 - x ” =u ^ x ” = \ - u => x = ( l - u )

1de donde dx = dun

Si X = 0, u = 1 y si x = 1, u = 0

fi dx r o - ^ ( ^ - ^ ) ^ ' ' d u 1 1- , = 1 — -----ÎT2--------= - | u~^^\ l -u)"-^du^ l - x " •’l M « ■'0JO

1 fi , i , 1 1 1

n Jo n 2 n

128

Γ


" r ( i + i ) . r ( ü f i )2 n 2n

39) Verificar que = r ( l + /?)r(l - p ) , | p | < 1

SolBClén'I

Seau = t - l= > s i t - > l , u - > O y s i t - > o o , u - > o o , entonces

f«' (t - 1) f * u^du, dt = ---------r ... (1)

Ji / 2 . Jo (m + 1)2

1 1 dvSea V = ------=> 1 + u = — => du = -

(2)1 + 1/ * ” V

SÍ u O , 1 y si u - > o o , v = 0

f “ ( / - l ) ^ u^du fO 1- v „ dv-■ ’ d t= \ -------- j-= (------ ) ^ v 2(— 2-)

t ^ Jo (« + 1)2 _Jl V ' y2

= f ‘( l - v ) ^ v - / ’rfv= f v<*-'P)-‘( l - v ) ( ‘- >-‘í/v Jo Jo

' T { \ - p + \ + p ) r ( 2 )

= r ( l - p ) r ( l + p ) donde r ( 2) = l

·■· \ ^ ^ ^ ^ d t = T { \+ p )T { \ - p ) , |P | <1 “

/’

40) Calcular T í “ (1 + 0 * dr “ i - : "' Jo ,· £ ■■ ,

129

Solucién

Sea í = tg^ Θ => Q = arctgV? => άθ = ·2V7VT+7

dt = l4 t{ \ + t)de = 2 tge.sec^

Si t ->0 , => Θ O ; si t ->00 => Θ = —2

foo filli

Jo í" ( l + í) ^ = J|j tg^"0 .(l + tg^0)*2tg5 .sec^0í/e

= 2 í ' ^g ^ ‘' 0.(1 + tg^ Θ)* tgS.sec^ 0 íf0 Jo

Jo Jo (00 8 0 )^ “· ’ (COS0)^*^^

= 2 í'^^sen^"^* e.cos“^"“ '’-^ 0<Í5 Jo

fn/2= 2 f (sen 0 ) . (cos 0)

Jo

:2 5 ( . + l . - a - Z , - l ) = H I i ± i E í l ^ Z ^ Γ(α + 1 - α - Λ - 1 )

2r ( a + l ) r ( - a - ¿ » - l ) Γ(-Α)

41) Calcular L{Jo(-Jt))Solución

Λ ( 0 - Σ , . „ 2 λ2 + , 2 . 2 - 2 .; ^ ( * : ! ) ^ '2 ' ■ 2 2^4^ 2^4^6^ 2^4^6^8^

130

22 2 2 .4'2 22.42.62 22.42.62 .g2 ■

r 1 1 1 1 1 , 1 1 ,V ...I

' ■ j / ■ ■ ' - V ■ ■

(_ 1) " ( ± ) " n

= l y -------- , > 0

- I— ------------------------ ; ---------- -

?’■ -<¡s +2as+a +b

A'y|~-í., Solucién

. ¿ 2,2 ¿ V é V é V•^o(*0 1- ^2 ^ 2 2 4 ? · 22 .42 .62^·'2^ ? . ^ 2 .g2

1 Z>2 1J¿4 j3 ^ ^ 6 " i j j7 ¿ 8 ^

i{-/o(*0 } - ^ - 2^3 + 2.4 . í ’ “ 2 .4 .6. í ’ 2 .4 .6.8. j ’

1 1 6 , 1.3 é 4 133 ¿ ,"····

1

■ f ?

■·· ¿{-/o(VF)} = - y— - —Ví^ + 6 ^

ahora apUcamos la propiedad de traslación

131


L{e-‘”M b t ) } =■J(s+a)^ +b^ +2as+a^ +b^

43) Demostrar que: L{J^{a-J t^-b^)}= . , t > b. s s ^ + a

Solución

Λ ίΟ = Χ · ^ τ | ν Φ ” ’ por definición

(í^ - A ' ) * = /'* + Α ί ^ ( , 2 ) * - 2 * 4

. A r(^-l)(2^-4)¿^ b ^

' i

y ( - l ) * fl .2* , (^ + l)(^ + 2)...(2^) k(k + i)...(2k)b^

. * (* - lX * + l)(* + 2)...(2*)¿^___ b ^„2*-3 •••■^ , ·

*=0 ·\ΐ5^+α^

132



1 1 . - b i

+a^ k=o

-b-í77^e

S + a í

44) Calcular L{tj^J(,(ayf¡ü)dp}

Solucién

Sabemos que: L { J ( , { - J ^ = -------- , s:>0

I{ f Jo(a^Jü)du) = ^ L{Jn{a^fü)} = -|·.•O S s

l e e~

tt r- d e * ' {^s~a^)e *'H , l M a T u ) d u ) — * (— ) - — ^

, _Zft r- (S s -a )e

.·. L{t\ Jo(a4ü)du} = ------ -----------0 4 í

45) Si Z,{F(m)} = / ( s ) , calcular Jn(2^u(t - u))F(u)du]

i Solucién

c o m o ^

h (*!)^ '

133


» /_ 1\*J o { 2 , ß Ü ^ ) F ( u ) = Σ Τ Γ ^ - “ * '

*=0 V -í , 1 ö

/ 1 \Ä£ Jo(2^u(t-u))F{u)du = K* ( t -uŸ 'F{ü)du '

' Jo(2^u{t - u) )F(u) du} = ¿ 7 7 7 3 ¿ í J porconvolusión '0 *=0 '* ·) ”

ffL{

λ! /<*^(·ν)

f ' /------------ /^* ^ ( ·^ )··. L = 2 -7 7 7 ΤΓ•'O ^^0 /r..ŸÍ

J’“ f«' V2 :e Jo(t)dt = -

0Jo ' 2

iSoluclén

1Se conoce que: L{Jq (t)}=-

134


JIOO J ,

e~"'Jr,(t)dt = ------ , tomando límite cuando s —> 1*, tenemos" V 7 7 7

‘ ' 1 J 2e Jn(í)dt = lim . = — ^

“ 2

47) Probar que: [j„{t)dt = \Jo

Solucién

Se conoce que: L{J„ ( / ) } = ahora aplicamos la definición L{ (/)}Vs^+1

f® _ , +1-5·)"(í)} =1 e {t)dt = ----- 1 ........— , tomando límite cuando s -> O

•’o ^|s^+l "

,_oJo í- 0

48) Calcular f"/e-^ '7o(4 í)í/í Jo

S o iu c l^

i{7o(40} = - T = ^ => ¿{t./o(40} = - j - ( , / ■ - )V . ' + 16 Ví ^+16

135


S

de donde ^ —2--------sTT» aplicamos la definición de transformada(iT ^ 16)

00 gI e~"'t jQ(4t)dt = —T ^ , tomando límite cuando s -> 3Jo (.s^+ 1 6 r^

49) Demostrar que: £ J q cos /i rf/i = sen t

Solución

Sea F (/) = £ J(i(2.JíJi)cosijdti, entonces se tiene:

í í f ( t ) ] = Jo cos fi dfi] = Jo e"" ( J q eos n dfi)dt »

= Jo cos/i(Jo e~‘‘Jo(2y[r¡i)dt)dfi

= J c o s f i L { J o ( 2 ^ ) } d t i = ¡ costi.^— dn•O »0 s

_ l f e""^^cos«í/M = 1 / ( 1 ) , donde . ,j j o S S ; ' i, '

f ( s ) = L{cost) = - ^ => / ( 1 ) = · ^

www.elsolucionario.net ’

LÍFit)] = 1 / ( 1 ) = 1 ( - ^ = =^{sen t] ·> s í j +1 J +1

136


Luego L{F(í)} = ¿{seni} entonces fît) = sent

.·. j* Jo(2.jr¡¡)cosfidfi = sent

50) Demostrar que: J Jo(2.j7jí)senndfi=‘ cost

Sojudón

Sea F(t) = j J q (2.J7Jt )séh ft d f i , entonces se tiene:

L{F{t)) = \ e - " ( ¡ J o ( 2 ^ ) s e a n d f í ) d t = \ s e n ^ í e ^ ' J a { 2 ^ ) d t ) d n Jo «0 •'O ,Jo .

= 1 s e n t i L { J o ( 2 ^ ) ) d f i ^ j senfi.^—


1 1dedonde / ( i ) = i{sen i} = - 5— - => / ( - ) = ^ — -

J +1 S 5" +1

co m o I{ F (0 } = l / ( l ) = 7 ( ^ ) = ^ = I{cosr}

Luego £ {F (/)} = I{cosr) entonces f(t) = cost . *

.·. J Jo(2^rjLi)senfidn = cost

51) Demostrar que: Jo =-^0( 0

So|H£i6n

137


Se conoce que: ■

; ._a*e *’

s

sL { J o ( 2 ^ ) ] = L { J o ( 2 ^ ^ ) } = - — donde a ^ 2 ^5 ,

I { JJ· Jo ( 2 ^ ) Jo (n )dn} = (J " J o ( 2 ^ ) J o (fi)dti)dí

= ¡ ^ J o i ^ ^ ) ( ¡ ^ e - “ J o ( 2 ^ ) d t ) d ^ ι = ¡ y o ( ^ i ) ^ d ^ ι

• = - J y - ^ ' ’ Jo(î)d^ι = - f M , donde / ( , ) = i{ y „ (,)} = - = L =^ ^ Ví^ + 1

L { \ y o ( 2 4 ñ^)M^^)dî) = f M = ( - γ = ) = - ¡ ^ = L{Jo(t)]-o , s s s J _ V i + 1

• ' fe

··· •ô(2^/i7i)-/o(Át)dM = -ô(0

f ” í52) Calcular A . reduciendo el resultado a su nünima expresión. Jo

Solucién '

Sea F ( í ) = í 7o(x*í)<£c, entonces su trmisformadaes:Jo

M m i = ( / “ J o ( x W t ) d x = J " ( ¡ ^ e - “ Jo ix^t)d t)L ·

J’” « dx^L {J o (x ^ t)}d x = \ -= ^ = = .

138

hacemos x * = 5.tg0 => 6x^dx = s.sec^ ddO => dx=. 6x^


cuando x = O = > 0 = O y cuando x -> + 0 0 , ^ ~ Yi,

ahora reemplazando en ( 1 ) se tiene:

“ dx 1 s.sec^OdO

iO 1 f"Jo

" 1 f«/^secGde 1' - ' s e n 0 .COS* dO

6s^'" Jo tg

, r ( — )'r(— ) r ( — ) r ( — ) r ( — ) r ( — )1 h l ' 12 1 12 1 2 ' ^1 2 ' 12

J T 1 2 ^

/ ; A ( A ) . , = F ( o = ^ M r > ( ^ } . . . ( 2)

como L{,-} = I ^ , a > : i . >

I 1 -

como ¿ - ’{-5 } = i ‘{— } = — i--------= —

139



r ( f )V i. o

ahora reemplazando (3) én*‘ (2) se tiene:

r 6 1 ·1 J q{x t)±c = — i *— — ----- , tomando limite cuando t 1, se tiene:>’ M -n r(Ì)V7

6

r . r ( - l ) r ( - | ) ,

Um\ J q(x t)dx = lim----- ——

1 5 ' "■ '...Í '* 'rt-00 r ( - i i r ) r ( ~ )f J„(x‘ )d x -------!2— . . , (4)

12V ? r 4 ):, , , ’

además tenemos r ( jf ) r (x + —) = - J ñ r i l x ) , entonces• . I . . 2 , ’" _ ..... . .......„ . .

2 ^^'‘r ( x ) r ( x + - ) Í Í · ’T{lx) ----------- ■==----- = - , por lo tanto se tiene:

V?r

r 4 ) - r ( 2A ) ----------------------------- ^ 12o y;r

5 2 - ‘ r ( - ) r ( - )r ( 4 ) ----------- _..,12 ,

r ^ r ( — ) r r —12

■ .:'V; '1


140



W12V ^ 2 - * '^ r ( A ) r ( i i ) 12r ( ^ )

12 12 12

1 l U i12r ( ^ ) r ( - .

... (6)

pero r(/> )r(l - p) = — - — , entonces sen p n

r ( — ) r ( — ) = r ( — )r ( l - — ) = — ^ ... (7)' 12^ ^ 12 ' 12 12 11^ ■

“ " 1 2 -

reemplazando (7) en (6) se tiene: ^

.

12sen----- 12;rsen-----12 12

53) Demostrar que: Jy^{t) ^ s e n t

Soluclén

r / í" ,, t* ^" 2” T(n +1) ” 2(2« + 2) 2.4(2« + 2)(2« + 4) " ^

141



ί ' / “

' 2 ^2 ’ ΐ . - ,

4 π 4 ΐ 2 J 2 3 A 5 "ο

•‘· (O = ^ — sen ί ^ fí

54) Demostrar que; — 7ο(*^) = “ Λ (^) dx

m.Solucióli

■ Σ ϊ ό τ π ^ π τ τ τ ί Ψ “ * ' ■ '

I (χ\ = V _ í z í 2 l _ _ / £ v í v íz l l l í-V * ; ^ Γ (Α + 1)Γ(Λ + 1) ^ 2 2 ^

y 2Η{-\Ϋ λ: 2ϋ - ι l ^ y * H l l f £ ) 2 í - i

dx ( k ï f ' 2 ' -2 ¿ í (;t.)2 ^2 Í

142


2.12 Ejercicios Propuestos.

1)

»)


3)

4)

3í, O < í < 2Sea F(t) = 2 < í < 4 ’ periodo 4.

Hacer la gráfíca de F(t)

Rpta. ■ L{F{t)} =

b) Hallar L{F(t)}

3 -3 e -2 * -6 íe - '‘"

2) Hallar L{F(t)}, donde /^(/) =t, 0 < t < 1 o ; i < í < 2

y F(t + 2) = F(t), p a ra t> 0 .

« p o ·

Demostrar que la transformada de Laplace de la función F(t) que se muestra en la figura diente de sierra es.

1 e - " .I{F(í)} = — ^

as s ( l - e

Suponga que F(t) es la rectificación de semionda sen kt, que se muestra en .figura. Demostrar que: i .

L{F(t)i = - ^

144


5) Hallar L{F(t)} donde F(t) se muestra en la figura."

145



Calcular la transformada de Laplace de F(t) tal que F(t + 2) = F(t), donde F(t) es el pulso parabólico del gráfico.

8) Hallar L{F(t)} donde F(t) es dado en el gráfico.

9) Hallar L{F(t)} donde F(t) es dado en el gráfico.



10) Hallar L{F(t)} donde F(t) es datdo en el gráfico.

adjunto.

147



13) H(t) esta dado por el gráfico adjunto, calcular L{2 cosh 4t.H(t)}.

15) Hallar L{F(t)}, donde H(t) esta dado por el gráfico adjunto.

148



16) Si F(t) esta dado por el gráfico adjunto probar que

senh(y)

17) Hallar L{F(t)}, donde F(t) esta descrita por el gráfico.

149


19) Encontrar la transformada de Laplace de la ñinción onda cuadrada, mostrada es la figura. ,

Rpta. ¿ {F (0} = -tg h (^ ) s ^

20)

21)

a)

b)

í, 0 < / < l 2 - í , l ^ í <2

, F(t + 2) = F(t)Considera la función F definida por F (í) =

graficar F(t) y calcular L{F(t)}. f

Expresar F(t) en términos de la función escalón unidad y obtener L{F(t)}.

F(t) =

F(t) =

V , 0 < í < l4, í > l

V , 0 < í < 24, 2 < í < 4 O, í > 4

Rpta. / ( í ) = 4 - + e ' ^ ( - - 4 - 4 ) j·* s j ·’

2 , 4 2 4eRpta. / ( í ) = .-y - ( _ + ) ~ —

- 4 s

c) F{í) =

<2, 0 < í< 2 -1 , 2 < í O, t>3

d) F(/)^r í 0 < t < 2 4í, í > 2

Rpta. fís)"

150

22) Expresar en términos de la función escalón unidad, las siguientes funciones y hallar su transformada.

a) b)4/, t > 2

F(t) =

sèni, 0 < / < n sen2í,^ n ú t ú l K sen3í, I o l n

23)f

a) F(t) =

24)

Determinar la transformada de Laplace de la función F(t):

2 ^

|cosí|, í > - |

1 - r , t < K

|sení|, /> / rb) F(t) ■■

2, 0 < t ^ 2 n Halla,MH(.)1 donde , > 3.

\ i

25) Calcular L{í2 ‘ sen3t .n( í -2)} .

26)

27)

Evaluar L{tn ' seat.cost.fu(t-4)}

i I?

Calcular L{----- ;— sen(í - —) . - - ■ ) }7 ' 2 2

28)

29)

30)

31)

Evaluar L[------p — sen(í - -y). ju(í - —)}2» 4 4

Hallar i{ |í- |< - l ||} ■

Hallar L m .) ) « n o -

■ :■* ■' Calcular L{U(í - 6í^ + 1 U + 6)} y graficar la función.

151


32) Calcular L{sen (t - ti)} 33) Calcular L{ i

34) Calcular I{ /sen |[|í-9 |]A i(e '-1)}

35) Calcular L { t n l \ x - Í - \ ) d x }·'/

36) Calcular L { \ fi{u^ - l)du} ’''-lOr

37) Calcular e"^ '^V (k -3 |-2 )rfí}.'-10/

38) Calcular L{fi(sent)} 39) Calcular L { f t e ~ ^ ° ' ^ ' ‘iu(u^-l)du}

40) Calcular L{— ^ι{\t -\ \ - \) }

·¥ K41) Calcular L{— —------sen í.cos(/-7 r)/i(í-Y )}

42) Calcular L{t"n( t -2)}

. _ f4 /e ~ ’'sen 2 (tt-2 )/i(M 2 -4 ) _43) Calcular I{ l -------------------- 5-------------du]

Jo (m-2 )2 ^

44) Calcular ¿{fEÜÍLiZfl _ 2;r)} Rpta. / ( . ) = arctg-t - 2 n s

a(2a-s)

45) Calcular -o)} Rpta. / ( j ) = — +4as + 4a^ - 2 }

46) Calcular n(t - á)dx] Rpta. = - — In

152

í - 1, S > 1;


47)

48)

49)

50)

51)

52)

Calcular la transformada de Laplace.L{1' c o s t . ( t - n ) . f i { t - 2 n ) . f i { t - ln ) }

Rpl>. )( j - l n 7 ) +1

{cosíCalcular L{— flit)}

Calcular i{cos|;r - <|}

Calcular i{senl;r - íj}

Calcular L { t ^ - \ }

Rpta. f { s ) =( í + ln9)^ - 1

((s + ln9)^ +1)^

5·

l - 2 e “®Rpta. f{ s ) = - - - ■ ■

s +\

Hallar I{ |a - t n ( t - a)|} donde “a” es una constante positiva.

53)

54)

55)

56)

HaUar Rpta. /(s ) =

S s S

2 a 2e-“

Calcular L{t^ ^ 4 t n ( t - 2 ) } Rpta. / ( í ) = ~ ( l-2 e ·^ ^ " + 2e"‘'")

Calcular la transformada de Laplace: Z,{í.íe~*' J n(¡x - 1| - \)dx}

Rpta. / ( í ) :

+ n n n ^

Calcular L[— s e n ( r ) c o s ( f -

■ ■ .7 , :153


60)

61)

62)

63)

64)

65)

66)

68)

69)

70)

57) Calcular I{ í2 2 ' sen /.co sí.ju (/-—)}

58) Calcular L { 4 - - 1 } 59) Calcular L{sent.^(e^' -4 )}

e cos(í - n ) 2 2Calcular ---- - ι ( r

Evaluar si existe L{— ( dt

t e 4 / V -Irfv)} sin derivar.

J-12/Evaluar si existe L{\ . e cosv./i(v2 - \)dv)

Evaluar te^^' - \ d u }

·>'

At

Evaluar ( v - 4 ) ” ln |v-4|/i(v-4)rfv}

Evaluar L{ f ' dv \''F{u)du} si F(t) = H(s) Jo Jo

Evaluar L{t" Injíj} 67) Evaluar L{^i{t^ - 2 t ^ + í)}

Evaluar ln|í|} |·

Calcular la l isforrnada de las funciones. ’’ I ‘ ^

a ) F ( o = i + n r ^ l | ] b ) G ( 0 = ( -1 )^ '' Í

Evaluar L{ o o s^ (v -l) /i(v ^ -l)¿v } , donde n es la función escalón' 'i

r (unitario.

154



71) Sea n > -1, n real, calcular L{t e Inji^e/u}

F(t)72) Si L{F(t)} = f(s), calcular L{—^ }

t

73) Calcular LU^e~^'/u(t^ -1)} ,

f6/ '74) Calcular L{íe~^' m(¡x ~ ll ~ l)dx}

J/

75) Calcular L{^fi cos t^'^}

76) Evaluar la integral ¿{sen* ( t - \ ) f i ( t ^ - \ ) }

77) Calcular L { - e^' F(i / a)dt} , a > Oa Jo

78) Evaluar 4 - |r^ - 1|} 79) Calcular L { tX ^ { t )n { t - \ ) \

80) Si F (0 = ( / - ! ) ” / i ( í - l ) . calcular L{F(t)}

e T (n + 1)

Rpta. f { s ), n > - 1 , .y ,> O

e n\ + .-T T T j . « e z o , s > 0

82) Calcular , /V k.

155



83)

84)

,85)

86)

87)

88)

89)

Rpta. f { s ) =

1Calcular L{te^' senhyft) Rpta. = ----- tT·

·” (2n +1)!

r(« + |); ^ ( 2 n + l ) ! (.,-6 )""^

Demostrar que:

T (n + 1)

L{t”} =s

«!

»+1 , si n> - l , n e R

— , .« n ezo

Calcular I{/"^V„(aV7)}i

I,

Demostrar que: L{Jq (í) sen t} ■■

2 '

1 A A . .sen(-arctg(-))

Demostrar que: I{7o(0cosí} -----/ — cos(—arctg(—))■fs^4^+Ar 2 , J

Calcular. J q ( í - 4 ) s e n « - A)U{t - 4)}

Evaluar Z,{yo(Ocosí.coshf}

90) Sea L{F(t)} = H(s), probar que:

J J (2Víií )F{u)du} =

156


^2t .91) Calcular L{te^'^JQ{u)senu.du]

92) Si H{t) = e^'Jo(At). Calcular !{///,'’/}


93) Hallar L{tJa{Xt)}. Rpta.

_____ c(s~4?+â )94) Demostrar que; L{Jç,(a^{t + 2c)} =

95) Evaluar I{ 16 ' J q (5(î - 4)ju(t - 4)di}

96) Evaluar L{i e"*“' Jg (t) cos/}, Si

I .

97) Evaluar £ Jq (2^u(t - u) )F{u)dudv\ si L{F(t)} = H(s)

' · t'

98) Calcular I{ y ,(/)} , ¿{72(0}, I{^„(/)}/ ,

99) Calcular I { J e '^ “'7 o (“)sen«i/M}, si existe.

r e " ln (j+ l)100) Demostrar que: Z{/, (/)} = X{ I ---- -du}=---- r----

J) u 2

f” COS« ln(s +1)101) Demostrar que: Z{/<. (i)} = L{ I ------ du} = ------------

, , Mil,

102) Demostrar que: | e ' { l -Jo{ t))d t = \n(l + -j2)

■:¡~

157

103) Demostrar que:

a) p o (í)rfí = l b) re - 'JoU )d t = ^Jo Jo

104) Calcular C t e - ^ ' J o m d t Rpta.Jo

2

3 - ,125

»00 J

105) Probar que J^iat) cosht dt = —= = = = , cuando O a.

» 0 0 1

106) Demostrar que: \ jQ{kt )dt= —Jo A

107) Calcular a) [ljo(kt)dt ‘ b) íL·,(Aí)í/fJo Jo

Rpta. · a) O b) 4A

108) Calcular \ Jo iü )J i{ t -ú )d u Rpta. Jo ( t ) -co s t

V

109) Calcular f ue “ JQ{au)du Rpta.JO

r 2n 135.7...(2n-l)^/ñ110) Demostrar que: x e dx = --------------------— y-—

111) Calcular las integrales siguientes.

a) sení^dt bj cosí^dí

r(173)Rpta. a)

158

112) Demostrar que: r(n ) = 2 ^ 'e dx |

113) Probar que:«sen« . 7T------ —du = — e

o . 1 + 2

(-1)"«!114) Demostrar que: x ”'(\tíx) ’' dx = ---------- n e z * , m > - \

" (ffi + 1)" ‘o

115) Demostrar que: Ja(x^ )dx =| r ( l / 4 ) l '

..í 4;r ^

¡"Fin)116) Calcular 1 - L ^ d u , u e R, u > -1 si L{F(u)} = H(s)

,, Jo r (« + l)

117) Calcular la transformada de Laplace < t

L{te~‘ \ jQ(u-4)sen(u-4)U (u^-16)du] ^: f· >1. . -í ' ■-■·■’ (3

118) Calcular la integral dt ,m ,n > O, a > 0 . ^o

n = i i )« p « ·

na n

119) Calcular t ’'{\nt)’'d t ,n b z ^ , m > - \ Rpta.Jo

I - 1,. '

dt 1 1 1120) Calcular [ - = = ^ = Rpta. — = 5 ( —,—)

JoW 3-cosr > 2V2 4 r

(*“> v^dy 71121) Demostrar que: J '4 ~

159

122) Calcular dxJo

Rpta.V ^ r ( i /4 )4or(3 /4 )

123) Calcular

124) Calcular

■f' dt Jo (/ + I ) ( í2 ( l- í) ) ‘ 3

f» dt .

(t + l f ^ O - t )

ViRpta.

Rpta.

TT

n¡¡4T T

Í nl2sen" x d x , mediante la función gamma.

126) Calcular las siguientes integrales.

ri dxa) f Jo

C)

v r ^

na

r, a > 0

127) Mostrar que:

tg2" ' x d x , 0 < n < 1

B ,V: - r>.

. ) r y ’e-^>‘< f y . í

c)* Jo 36

128) Calcular las siguientes integrales

— j.» ^a) , ------------ , O < a < 1

J o y “ ( ] +

Rpta. a)

o x “{\ + x)

nsen an

b)

b) f f-x^dx , a > O ■Jo

d) í'x " ’ ^ (l-x)™ -‘ ífe ,n ,m >0 Jo

b)

■' 'tí) , .

b) .J tgxdx ^

k4 i

Ì60

129) Demostrar que si / , = f - j = ¿ = , I-, = f, entonces Ix.Ii = —

3 '■ I* I,

130) Calcular \{1-t){ t-3)\^"'d t

131) Calcular los integrales siguientes

-X dx

r x

c) f ( x + l )^ e ^ '< fe Jo

b)Jo

J.oo— ífe sug.c'‘ = e

o r·1 I .1

Rpta. a) F (X ) b) 2

d)

,1

r ( c + l) (L n c r ^

132) Si F (í) = - r . í > 0 . G(/) = Vi

—js , 0 < í < 1Vi V · Demostrar que:O . í < l , .

F{t)*G{t) = n - 1 arctg i 4 i ^ ) n ( í - l )

"M.· : : IfnjCI· , * : =

J tdto 1 + f*

r*® 1 7t134) Demostrar que: x c o s x d x = — = -------—

^ Jo :_3V 3r(X )

135) Calcular I„ = j ' (1 - í^ )" di

Rpta.;r

3 ^ . .

Rpta.y j r ( » + i )

r ( » + | ) ·

161

, f?í(sen0)2'”-»(cos0)2"->rf0 ^136) Calcular 7--------- m,n>0

Jo (a sen 6 + b eos 6)

R p f.2a" b"

m-í , ,n-\0CO " + í" ‘137) Demostrar que: -------------- dt - 2P(m,n),m,n > O

Jo (i + í)*^"

u"“‘( l - u ) '" · '138) Calcular ----------- — — dfx,si m ,n> 0

Jo (fi + r)"'^’'

' ' Rp.a. « " · ” >r"(l + r)·

J’i u — ( l - u ) " ‘Z------------- dfi,s i m ,n > 0

o - ( a + cu)'”^” ^(a + CAi)"P(n,m)

Rpta.

Í.ÍAX « ® f°°ln í¿ í Jt^-j2140) Probar que I ------- --------Jo 1+,'· 16

(I , ■

J’“ í " “ ’ 71----- dt = ----------- , 0 < « < 1 sin usar la propiedad

o \ + t sen(njt) ^

r ( p ) r ( l - p ) = — ^ , 0 2/w+l /_ i\ w+1 ^ I *142) Demostrar que: r ( - m - - ) = ----------------- 1-----

2 ’ (2/1 + 1)!

143) Pruebe que --r = -Jn .-* rí (/(,) V3

'1

162

144) ¿ Es cierto la identidad siguiente? ■

r ( u ) =.-------- ^ ,-------si es afinnativo demuéstrelo, n n l - u

2 ' - ^ c o s ^ . Γ ( ^ )

. .1 do i

145) Verifíqueque [ = T(\ + ‘p ) T ( \ - p ) , \ ¡ ^ < \Jl

146) Calcular [ ^ - ~ Rpta.•'O (a + n (b - a ) ) a b

00 {<”¿1’ Jt r "■ f<» t dt n147) Si m > 1, demostrar que ^ s®c( - ^ ) .

148) Si |/>|<1 .calcular í ( - — V · ■—- , a > 0' ' Jo 1 - í (fl + f)

2m

^pjtRpta.

149) Calcular r t" {\-\- t f dt Rpta.Jo

f “ cosh {2aO) dO150) Calcular | ^

Jo

(a +1)^·^’ sen p n

2 r(a + l ) r ( - ¿ - a - l )r(-¿)

4,

■'O (cosh0)

Rpta.

151) Verifique que. 2^^'* T(p )T {p + ^) = -JñT(2p)

152) Si sen(—)'.sen(— ).,.sen(”* n) = . 'w = 2,3...m m m ' 2

163

Calcular F ( - ) F Fm m m

, .,70«·· - -iS . V(2^)Rota. I—

Vw1

153) Probar que ln(F(í))<íí = —ln(2;r). Jo 2

I ' '

p i,i-P (l-,)/>154) Si -1 < p < 2 , evaluar

(1 + í ) 'Rpta. 2P-^P{2-p,p+i)

1155) Mostrar que : F ( - /» + - ) =

156) Mostrar que: F (m + -;^)F(-/n+ ■; ) = (-1 )" n , m = 1,2...Ja

157) Verifica que [F(—) |2 = ^■^■^■^^■^2.14...13/, vemw-dquc |M ^ ; i 5 3 9 9 1 3 .1 3 .1 7 .1 7 . . . ^' I l i ‘

J**® t 111 f---------- dt Rpta. -n<iosecÍpn).cig(pn)o 1 + í

íYi dt |F(Í)12159) Venfícarque: ---------- j “ = . r' Jo sen t K 4-4n

7t160) Calcular ln|sení|í/í « Rpta. - - ^ n 2

161) Demostrar que: r ( p + l) = ^2Tcp(—y ,p eZ ^ , /? - > « '

164

162) Probar que: r(n + Í ) = e2 4 " b!

163) Demostrar que para // > O , P = — e ^ ' ‘Jo i + ,2 2

1 »00 ,»-1 * 1164) Demostrar q u e :------ (------- )<íí=> — ,«>1

/ ^ r ( « ) J o V - r é í ; t "

f l r (n + ) r ( M - ^ ) sen x"dx = — (--------" ,—

166) Demo&trar que: f ”cosx"¿¿c = — ( ^ ^2 n \ r ( « - l ) , '

167) Calcular p o

Rpta. 7 i(0 = y

168) Calcular J ; í” ^ yo (r-A ^^)íí/i para todo n en R - {0}

169) Demostrar que: sen(ísen^ 0)</0 = sen(^)7o ( i )

170) Evaluar la integral Jo(n^)dn

171) Evaluar la integral J jQ ( f i * ) d n

H5


00172) Si |/>| > 1 , calcular s&nx^cbc usando transformada de Laplace

f/+l I173) Verifícarque: I ln (r(^ ))d /i = í I n í - í + —ln(2;r)

Jí ‘ 2

174) Verificar que:■ ¿

f?+« , ^ , /2Ü\« -2. ln(r(/i))dAí = ln(í'.(í + l)'^‘4 / + 2)'^^..(í + n-l)'^"-‘e “" ' - é ‘ 2 >

n+Kn n

[ T175) Probar que: J y^(x) = cos x

■ 1 sen/i;r f® .176) Probar que: 7„(í) = ~ c o s (« ^ - í s e n ^ ) ^ - --------- e ^

n Jt n Jq

177) Demostrar que:

f f F (x ,> ') ( l-x ) '" - ‘> ^ '"(l-y )"-’drrf>/ = 5 (m ,n )f F(M )(l-M )’"^"-'du J o J O ' Jo

178) Si , calcular tal que - ■D

D = { ( x , y ) M R ^ ) ^ !x ^ +y^ ^ c ^ } ‘ i * -

. Rpta.■ 4r(ffi + n + l)

2179) Demostrar que: 7 ^ ( 0 s e n í - y ^ ( í ) c o s í = •^=-3-

« 1180) Demostrar que: 7o (0 = ‘j ( -^ » - i(0 - -4+i(0J '

181) H a U a r ^ ^ ^ ^ 4 ^ ^ R ^ U . x J ^ { l x ) + 2 x U i { 2 x )dx

166


, , dJ„(x)182) Demostrar que: d (x Jp_, (x) (x)) ^ I x ^ J p (x) - ^

■ ■ , ■ f /■ ' ■

183) Demostrar que: Jp{x) = Jp_x{x)- — Jp{x)■ X. .

184) Demostrarque: y^(x) = - jy p (x ) -y ^ + i(x )

d\xJp{x )J X (x ) l185) ------ ----------------- = x \ j \ { x ) - j \ ^ d x ) \

8 4186) Demostrar que: J 3(x) = (—j— l ) J \ {x )---- Joix)

X ^ ' ■,, , ■ , “K'

, 4 2187) Demostrar que: (í) = (1 — r-)7i ( í)+—Jq (x ) _

/ t

d188) Demostrar q u e :— (jc ’’Jp{x)) = x~’’Jp^^(x)

189) Demostrar que: J_„ (x) = (-1)" J„ (jf), \ / n e Z

190) Expresar J 4 (ax) en íunción de Jo(ax)y Ji(ax)

. 48 8 24Rpta. J , (ax) = ( - ^ - — ) 7, (ox) - ( - j - y -1 ) / „ (ax)

a X o x a X

191) £)etnostrar que:

, 1a) L { U ( t ) } = — f „ ( y 2) . s > 0 b ) i{/,,{VT)} = ^ , s > 0


, Á “ r r .


192) Calcular £ (senhff)’’ (coshO)“dO

. : ■ ■■ ÍS.' ■■ ■Iní---

o l + í'’ í

ft+2194) Probar que: J In (r(Aí))<#)U = í In í + (í +1) ln(l + í) - 2/ + ln(2;r) -1

fo o e - '( l-Jo ( /)) ’

195) Demostrar que -------- --------- dí = ln ( l+ v 2 )

V. V

O· I - - .P - V ■

r - 168

CAPITULO III


' V ‘i ..ÍXÉ-fr»·· :■ " . ■ ■

3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.■■ ' . a ■

Mediante la definición de transformada de Laplace se tiene: Si F: O,+00 >-> R , esuna ñinción seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces3 L{F{t)) = f { s ) , ahora invertiremos el problema, es decir: dÉída la ñinción f(s) queremos encontrar la función F(t) que corresponde a esta transformada y a esta ñinción F(t) se llama la transformada inversa de f(s) y se simboliza por ¿ - '{ / ( í ) } , es decir F (0 = Z ,M /( í)} .

2Ejemplo.- Hallar F(t) si f { s )

s+3niSolucién

F(t) = { /(j)} = r ' {— } = 2e-^' de donde F(t) =S 3

Ejemplo.- Hallar F(t) si f ( s ) ^+ 4

Soiucjón

> ( 0 = ¿ ‘ { m i = 1 = l i e n 2t 's ^ + 4 2 s ^ + 4 2

¡ d ■ ■

de donde F (í) i= y sen 2 í

169


3.1 Propiedades de La Transformada inversa de Laplace.

ler. Propiedad de Linealidad

Si a y b son constantes arbitrarios y f (s), g (s) son las transformada de F (t) y G (t) respectivamente entonces:

i - ' {a f ( s ) +b g(í)} = o l- i {/(s)} + [gis)} = a F(t) + b G(t)

Demostración u, ,

■ . . ■ * I "'i}Mediante la propiedad de linealidad de la transformada se tiene:

L{a F(t) + b G(í)} = aL{F{t)}+bL{G{t)] = a F (í) + b G{s)

Es decir que: a f { s ) + b g{s) = L{a F(t) + bG {t)} , tomando la transformada inversa se

tiene: I " ' {a f { s ) + b g(s)} = a F(t) + b G(t) = a L~ {/(s)} + b L~ {g(s)}

www.elsolucionario.net ^

Ejempio.- Si f ( s ) ---------— . HaUar F(t)r + 9 s - 2

Solncién

F w - m s n -

( ^

= í + ls e n 3 í-3 e ^ '

2da. Primera Propiedad de Traslación

Si {/(s)} = F ( t ) , entonces I '* { f ( s - a ) } = e ‘"F{t)

Demostración

170


Se conoce que: Si L { f( t ) } = F { s ) ^ L { e ‘“F(t)) = f i s - á ) de donde

e “'F{t) = L~^{ f(s -a)} otraformaes:

j»+CO #+0C> <*+oo/( .y ) = e -'‘F(t)dt = > / ( í - a ) = = e ".e"F(/)</í = ¿{e“'F(0}

Jo Jo Jopor lo tanto / ( s - f l ) = L{e“'F{í)} de donde: I"* { / ( í -a )} = e"F{t )

t' ' '

Ejemplo.- Hallar F(t) si f { s ) = ^ ^


( s -2 )^ +9

Solución

F(t) = I-*{/(.y)} = I-*{— 1 -— } = cos 3/, ( j - 2 ) ^ + 9 j ^ + 9

3era. Segunda Propiedad de Traslación.

Si { /(í)} = F(t ) , entonces {e-“ / ( í )} = j f[O , t <a

Demostración

#+co

Como / ( j ) = e“^F (í)£ /í, entonces multiplicamos por e~^Jo

J»+Ot) f+CD , ^e ‘ . e - “ F i t ) d í = \ e - ‘ '^‘ ^F(t)dt

o Jo

Sea t+ a = u=>dt = du; Cuando / = O ; u - a y cuando t->+oo ; u->+oo

0+00 0+ODe -“ / ( j ) = r e ’ ^ '^‘'^F( t )d t= \ e " ‘F {u-a)du

Jo Jo

o ma

e ’“ F (« - a)du = [ e ' “ F{u - a)du' o "o

171


4 ’ ·J 1+00 f+«>e - ”‘F (u -a )d u = e ^ F ( t - a ) d t = L{F{t-a)}

o Jo

4ta. Propiedad de Cambio de Escaia.-

Si L - '{ / ( 5)} = F ( 0 , entonces L-^{f(ks)\ = j F { j )

Demostracién

como / ( í ) = f e“ F(í)dt => / ( f c ) = í e~^'F(t)dtJo JO

du usea u = kt => dt = —— donde t = —

k k

#+Q0 , +00 jí

^ i r e - ^ ' ‘F { j )du = j L { F { U } k Jo k k k

entonces : i * {/(*s)} = 7 · F (y )k k

Ejemplo.- Hallar F(t) si f ( s ) =9s^ +l

Solucién

Sea Z - ' { ^ } = senr =>

172


3.2.- Transformada Inversa De Ligfilace De la Derivada.

Teorema.- Si {f(s)} = F(t) entonces (ì)} =

Demottrà^fai

conio L {t”F(t)} = (-1 )” L{F(t) ì = ds"

tornando la inversa a ambos miembros.

Z,-‘{/(">(5)} = (-1 )" /" F (0


Ejemplo.- HaUar r ‘{ln(— )}j + 1

SolucléB

como L{tF(l)} = - f ' { s ) => i

=> r U / ’(s)} = -i£-^{/ (s)}

Luego i * { /( .)} = - i !-> { /'( .)}

aplicando este resultado al ejercicio dado.

i - · { ln (£ li)} = L-‘{ln(j+2) - ln (í+1)} «y+1

i 's + 2 j + r í ' ^e - '

173


3.3. Transformada Inversa fii€üáplace De Las Integrales. ’

Teorema.- Si I " ' { / (s)} = F(t} entonces {J / (u)du] =

Pemostracián

como L{F(t)) = f ( s ) => L { ^ } = j y i m d u

de donde ai tomar la transformada inveraa;«e.tiene. -f. , ,

1 f ““ FU)L - \ \ m d u ] — Y - ,l

_i f“ dsEjemplo.- Calcular la transformada inwersa de L {I —5----- 7 }

Jí s +a

S«»»c«>n

Si i{F(r)} = /{ í ) => = dedonde Z“'{ J7 (í)d í} = f p

Luego si L-*{/(s)} = F (í) => =is í

ahora aplicamos este resultado al ejercicio dado. ■


, 1 sena/ , f'“ éfi sena/L [—2— r} = -------- i { ~ T — r F = --------s +a a .y i+ a V at

3.4. Transformada Inversa dé Laplace de la multiplicación por s.íi

Teorema.- Si L“‘ {/(í)} = FU) y E(0) = O entonces {s/ (s)} = F' (í)

. .ff'Demostración

174



como r* { /(5 )} = F (0 => L{F(0} = / ( í ) , de donde

I ' ·L{F'(t)} = sL{F(t)} - F(0) = sL{F{t) ) . es decir:

L{F' (f)} = s f ( s ) entonces ‘ {s /(s )} = F { t )

Ejemplo.- HaUar ---------j-}(s + 1)

SolBClén

, s i^e~' t*e~‘ e"* i " '

jt .'"%v ■ ■ ■

3.5. Transformada Inversa de Laplace De La División por s.

mHu)du

S ' Jo

PemostracléB

Teorema.- Si L ^ { f { s ) } = F(t) entonces L = J F(u)du

como L ‘ {/(s)} = F{t) => L{F(t)} = f ( s ) de donde

V(«)d«} = ^ => r ‘ { ^ } = jV(u)rfM “

Ejemplo.- Encontrar L ‘{ - ln ( l+ “7;)}S S '

SolBCitoI

175



r ‘ {ln(l+ 4 ) } = i “' + 1) - In Í - 7 r > - 7 }S ‘ S + 1 s

1 , 2 ( l-c o s i)= — (2 c o s i-2 ) = - i --------- -

t t

, 1 1 f '2 ( l -c o s u )r ' Í - ln(l + — )} = Í -5-— ----- ’-du

S S Jo u

3.6. Transformada Inversa De Laplace por el método de las Fracciones Parciales.

P(s)Las funciones racionales------ , donde P(s) y Q(s) son polinomios en las cuales el grado

8(s) ...

de P(s) es menor que el grado de Q(s), pueden expresar como una suma de íimciones racionales simples, aplicando el criterio de descomposición estudiado en el caso de las integrales de funciones racionales.

. ■ ■ ' ' ? V · , ' ; 4 b -

Ejemplo.- Hallar I " '{---- -------- 2j +_5—' ' ( s - 2 ) ( 2 s - l ) ( í + l ) '

Soiucién

l b ^ - 2 í + 5 A B C -+------- +-( í - 2 ) ( 2 í - l ) ( j + l ) s - 2 2 s - \ J+1

A(2s - 1)(J +1) + Bjs - 2)(s +1) + C(J - 2)(2j -1 ) > '( s - 2 ) ( 2 í - l ) ( í + l ) 1

o*.>

1 lí - 2j +5 = ^ (2j - l)(s +1) + j - 2 )(í+ 1 )+ C(s - 2)(2j -1 )

ll j^ - 2 s + 5 = A(2s^ + s - l ) + B(s^ - s - 2 ) + C(2s^ -5s+ 2)

lls^ - 2 s + 5 = (2A + B + 2 C ) s ^ + ( A - B - 5 C ) s - A - 2 B + 2C

176



1A + B + 1C = \ \ A = 5 A - B - 5 C = - 2 => B = -3- A - 2 B + 2 C = 5 C = 2

( j - 2 ) ( 2 . s - 1 K j + 1 ) s - 2 2 j - 1 J+/1

' ~ 2

3.7. Teorema (Formula del Desarrollo de HEAVISIDE).

Sean P(s) y Q(s) polinomios en los cuáles P(s) es de grado menor que el grado de Q(s). Si Q(s) tiene n raíces diferentes a , , « 2 ,..., a „ ; entonces

Demostracién

Si el polinomio Q(s) tiene n raíces diferentes a , , a 2 , . . . ,a „ ; por lo tanto de acuerdo al método de la descomposición de las funciones racionales se puede expresar así:

+ ...+---- í— . ...(1 )..........Q(s) s - a ¡ s - a 2 ...... s - a * ...... s - a ,

a la ecuación (1) multiplicamos por s - a ^ , es decir: ^

) = ( - A _ + _ j í l _ + . . . + _ d i _ + . . . + _ j í » _ ) ( , _ a t ) ... (2)Q(s) s - O j s - a 2 . s - a * ■^-otn

177



ahora tomando h'mite cuando v —> a* y aplicando la regla de L’Hospital, se tienes

• - % “ fe P{s) s - a *

l i m - — ( s - a ^ ) = Um P{s).— — í->Oi Q(s) í-»at

= lim Pis). lim * = lim P(s). lim P(s). lim ■ ?«y V· )

= P W - *g(oA:) g ( a ^ )

* f f (a k ) '

reemplazando (3) en (1) se tiene: .

P{s) P (« i) 1 n « 2 ) 1* , ^ K ) 1 'llgW &ioci) s - a y ^ g ( , a 2 ) s - a 2 * 'j: Q‘{ a „ ) s - a „

■f5 'i '"t""·-tomando la transformada inversa de Laplace se tiene:

, / ( í ) 1 m ) 1 P i a i ) 1 Z Í 5 l 1 _ L0 ( í) e '( a i ) s - a , '^ e ’(a2) J - a 2 0 '(a « ) ‘ ■^-a»

e ’(a i) ^ '(0 2 ) e ' K )- ·' V í

■ ■

Ejemplo.- Calcular Z, ----- ,t9s+37-------- * (s-2 )(s + l)(s + 3)'

Solucién

0(s) = (s -2 ) (s + l)(s + 3) = s^ +2s^ - 5 s - 6

178



0 '( í ) = 3 s 2 + 4 s - 5 => &(2) = 15, Q'{l) = -6, Q{-3) = 10

P(s) = 19s + 37 => P(2) = 75, P(-l) = 18 , P(-3) = -20

¿-1, 19. + 37 y . P ( 2 ) ^2, , F ( - l) , P(-3) ^ - 3 ,

\ . - 2 ) ( j + l)(.v+3)^ Q'(2) Q'(-l) Q'(-3)

= 5e^' -3e~ ‘ -2e~^‘

P(s)Observación.- Supongamos que f( s ) = —— son polinomios en donde el grado P(s)

Q(^) 'es menor que el grado de Q(s), pero en este caso Q(s) = O tiene una raíz “a” de multiplicidad m, mientras que las otras raíces 0 ^,0 2 , . ..,h„ son todas distintas entre sí. Entonces se tiene:

P(s) _ A¡ A2 A„i) / ( j ) = - ^ = ------- — + ------- ^ + . . . + - 2 - + — !-+ ...+ -

0 (í) ( s - a ) ”· ( í - a )" -* 3 J - a .v-^i s -h„

1 rf*ii) A^ = ... k = 1.2,...,m

Entonces la transformada inversa es:

, .fe.·- ■

3.8. La Convolución.

a) Definición.- Sea F y G dos funciones continuas por tramos en cada intervalofinito y cerrado O á t á b y de orden exponencial. La función

que denotaremos por F*G y que viene definidas por:

F(t)*G (t)=l 'F(u)G( t-u )duJo .

recibe el nombre de convolución de las ñinciones F y G.

179


Ejemplo.- La convolución de F(t) = e ' yG (t) = sent es:

r t f te * s e n r = e" sen(t - u)du = l e " ( s e n í c o s M - s e n M c o s í ) d i /

Jo Jo

= f e " s e n / c o s M í / t t - f e“ senucostduI Jo Jo

sení cosí « u /‘■ = I ^ - ( e c o sM + e s e n « ) ------s e n u - e c o s m ) ! / ^

= l [ s e n í e ' cosí + sen^ t e ' - c o s t e ' sen í+ e ' cos^ í | - —(sení+cosíJ

= Y [ e '- s e n i - c o s í ]

.·. e ' * s e n í = - j ( e ' - s e n í - c o s í )

3.9 Teorema De La Convolución.

Sean F(t) y G(t) ñinciones continuas por tramos V t ^ O y de orden exponencial, entonces:

. . L{F(t)*G(t)} = L{F(t)}.L{G(t)} = f(s).g(s)

Demostraclén

o . ' 'Sea f ( s ) = L{F{t)} = f°°g-""F(a)da

g(s) = L{G(t)} = ¡%-^PF(P)dp

m . g ( s ) = ( ¡ % - ^ ‘ F(a)da)(¡%-^PF(p)dP) = dfi

•


180


= r F (a )d a \" s*Jo Jo

dejando a fijo, hacemos t = a + p, dt = dp, de modo que:' t

/ ( ‘v).g(.v)= Í F{a)da \ e“"G (r-a )rfiJo *a

En el plano ta estamos integrando sobre la región sombreada, como F y G son continua por partes V t S O y de orden exponencial se puede demostrar que es posible intercambiar el orden de integración;

¡it,‘ -i.m - g { s ) = fV(a)G(í -a)rfa

*0 Ja

= r e - ^ { \ 'F (a ) G { t - a )d a ) d t =¿{F*G }Jo Jo

.·. L{F(t)*G(t)} = L{F(t)}.L{G(t)} = fi(s).g(s)

Ejemplo.- Calcular sen(í-«)<#«}

Solucién

Sean F{t) = e ' y G(t) = sen t, entonces por el teorema , '

181


Z,{£e“ sen(t-u)du] = L{e'}.L{sent]

1 1 1

Nota: e ' *sení = f e“ sen{t-u)duJo _ ,

3.10 Teorema De Convolución para La Transformada Inversa.

Suponiendo que L"' { / (s)} = F(í) y {gis)} = G (í) .

-1 C‘Entonces L { f ( s ) .g ( s ) ] = \F (u )G ( t -u )d u = F * GJo '

donde F*G es la convolución de F y G.

Demostraclén

Si se prueba que L{{ F(u)G(t-u)du) = f (s ) .g (s ) ··· (1)·'” ■ ■ : ;.dC‘ .-!¡ ■

entonces el teorema quedara demostrado,

donde L{F(t)} = f ( s ) y ¿{C(í)} = g (í)

L{ f F(u)G{í - u)du] = f ( f F(u)G{t - u)du)dt Jo Jf=0 J«=o

= f í e” ' F(u)G{t -u )dud t = lim S u , dondeJt=0Ju=0 M-toc,

r e-^'F{u)G{t-u)dudí . . . (2)Jt=0Ju~0

Consideremos la región sobredi cual se calcula la integral doble.

182



Haciendo t = u = v => t = u + v

ahora a la región la transformamos en al región

M

S u = 1 / " F(«)G (í - u)du dt = J J F(u)G(u)^(« .0

rfi/í/v ..'.(3)

donde el jacobiano de la transformación es.

di áid{u,t)

d(u,v)ái dv (k dt

du dv

1 01

1 11

por lo tanto: 5 ^ = J J ^ ^^" '’ Fiu)G(u)dudv

ahora definiremos la función siguiente.

,-í(«+v)

k(U,V)F(u)G(v) , si u + v ^ MO si u + v > M

183


eM fMI I k(u ,v)dudv , entonces,'v=0*'u=0 ' '

<'· x"·

HmS¡^ = \ [ k{u,v)dudv- { e ‘ '‘ ' '^F{u)G(y)dudv Í/-»00 Jo Jo Jo Jo

= (£ F(u)duxj^ e~'’" G{v)dv)

v .( a )

... O). i 1 .

lim Su^L{F(u)} .L{G (v)} = f{s).g(s)AÍ->»

como L { \F (u )G ( t -u )d u )= limJ o . A /-»oo

por lo tanto de (a) y (P) se tiene;

/(■«)· g(s) = i{ F(u)G(t - u)du} Jo

L·-^{ /(í) .g (í)} = \ / i u ) G { t - u)du = F * G

Observación.- La convolución de F y G es conmutativa, es decir F*G = G*F

Ejempio.- Calcular L1

w-

( . v - l ) ( í + 4),}

Solucito

184


Sea / ( í ) = —^ y g (j) = —^ de donde í - 1 · í+ 4

i - '{ / ( í ) } = e '= F ( 0 y L~^{g(s)} = e ^ ' =G{t)

por lo tanto por el teorema de convolución se tiene:

- ‘- - L■ Jo 5 / o 5 :

• -1 ^Ejemplo.- Calcular L {—j------- t )( í +4)

Soiucjón

= í, ‘ — .—r — }. de donde

/ ( s ) = -T “ y g(s) = - r ^ , por,lo tanto r + 4 s^ + 4

i ' ‘ {/{í)} = c o s 2 í= F (0 y ¿-'{g(í)} = cos2/ = G(0

It

— ^}= fF (u )G ( t -u )d u = {cos2u.cos(2t-2u)du (^2+4)2 Jo Jo

= fcos2«(cos2/cos2M+sen2/sen2uWi/Jo

K

= cos2í í cos^ 2« du+ sen 2í f sen2u.cos2« du Jo Jo

185


t sen4í ^ ^sen^ 2i= cos 2(—+ -------- ) + sen 2i (---------- )

2 8 ' 4 '

icos2i sen2i.cos^2i sen^ 2i hcost sen2i --------- + ------------------ + ---------- = -------- + --------

, .V icos2i sen2i

3.11. La Función Error.

A la función error denotaremos por y es definido por:

2 r

< al evaluar transformada inversas de ciertas ñinciones simples de s se encuentra la

ñinción error por ejemplo: se conoce que Z,“' {-!=} = entonces por la propiedad-Js -Jm

de traslación.

V.v+1 V®

1ahora aphcamos el teorema de convolución a la transformada inversa de L {— ------},

syls+1

es decir: i '{-!-} = 1 = F(t) y ¿ ' { - j ^ } = - ^ = G(t) "1 Vs+1

I 1 r e~“ t ‘ e"“L ‘{ - 7 = } = \ .- ¡ = d u = \ - j= d u ...(1 )

•vvs + l “ ynu i

Sea u = x^ => du = 2xdx = l4üdx

para u = 0; x = O y para u = t , x = -Jt

186

www.elsolucionario.nett

Luego reemplazando en (1) se tiene: ,

r · , ^ , . I f - f f e - ' · ^ = /„ (V 7 )sv x + l •4m •'o VJT •’o

■·■ i “’{ - 7 = } = /er(VT).yV^rf 1

3.12. La Función Complementaria de Error.

A la función complementaría de error definiremos por:

3.13. Las Integrales Del Seno y Coseno.

A las integrales del seno y coseno se definen de la siguiente manera.

, , , r ' sen« , , , , f"co s« ‘^ , ( 0 = ---------d u ; h { t ) = \ ---------d u

Jo U Jt u

.'I

3.14. La Integral Exponencial.

A la integral exponencial se define de la siguiente manera:

»00 g-«/ . ( 0 = | — d u .

Jt «

Observación.- Se ha estudiado la fíinción escalón unidad y su respectiva transformada de Laplace. Ahora expresareiños la transformada inversa en términos de la fiinción escalón unidad y los expresaremos mediante el teorema siguiente.

187


^ ' www.elsolucionario.net

3.15. Teorema. Si I ^{/(ì)} = F (/) y c S O ,y si aF(t) se le asigna valores

(no importa cuales) para -c < t < 0. Entonces; {«”“ / (s)} = F{t - c)n{t - c)

Ejemplo.- Evaluar ' ^ (j+ 2)*

Soludén

r ' { — !-3-} = e - ^ T ^ { - L ] = 2t^e-^ = F (0 (j + 2)^ j·*

- 4 i

= F (r - 4 ) |i ( i - 4 ) = 2( t -4 )^e-^^‘-^'>n(t-4)

3.16. Ejercicios Desarrollados.-

1) Hallar la transformada de Laplace inversa de; «t ,

1 3 J -1 2 ,■> ^ W

Soluclén

i-1 i d i l l i ) = 3£ - i{—i — } - i -1 { - 4 ^ } = 3cos2V2r - 3^2 sen 2VIi j^ + 8 j^ +8 V2 i^ + 8 , i. n·

b)2 i - 5

Soluclén

. . -:o;

188


■ · ■■■ *> V , . ,; Solución

, s , s -7 t + Jt‘ , s - n , n-------------- r ) = {--------2— r l = ^ {--------- i— r ) + {--------5— r )s - I n s + l n { s - n ) + n (s - k ) + n { s - n ) + n

= e ” cos;ií + e” s«n«í

■t2 + 4 j 2 _ i 5■ ■ ■ f·

Solución

,_ i ,3 j - 8 4j - 2 4 , ^ _ i ,3 s - 8 , ,_i ,4 j - 2 4 ,

= 3¿- ' { - ¡ ^ ] - 4 1 * { - J ^ } - 4 I - ‘{ - y ^ } + 6 i - ‘j + 4 s +4 j -1 6 í -1 6

= 3 cos 2t - 4 sen 2t - 4 cosh 4t + 6 senh 4t' í.

e) L ' í—( í+ 1 ) ' ■

Sojución

Mediante la propiedad de traslación se tiene

-f ·

f) i - 1 { _ ^ £ ± 2 -----j4j +12j + 9

Solución

189



{— — } = - {— i l l Z l — } = 1 = 1 g-T'4j ^+ 1 2 ì + 9 4 \ 2 ^ 3 ì + 9 /4 4 ì .+ 3 /2^ 4

2) Hallar la transformada inversa de Laplace. ,f I ■ . ■ ■ ■ I ---- ■ _

a) r ' i ^ } , "s - s .

Solución

Descomponiendo en fracciones parciales. _ __

2 ^ -6 2.V-6 A B C A(s+ l)(j -1 ) + B s ( s - 1) + C s(s+ 1)~ s í í í+ I X j - I ) s j + 1 .y-1 s (í+ 1 )( í-1 )

2 í - 6 = / Í ( í ^ - l ) + f i ( j ^ + I

2s—6 = {A + B + C) í + {—B + C)s — A

■' V i ■ ‘A + B + C = 0 A = 6- B + C = 2 => B = - 4- A = -6 C = -2 ' '

2 í - 6 6 4s ^ - s s j + 1 í - 1

L - H ^ Í = l H - ~ ~ Í = 6 - 4 e - ‘ - 2 e ‘ s - s X í + l í - 1

( j+ 3 )( j^ + 2 s + 2)

Descomponiendo en fracciones parciales.

Solución

190



■Y^-2.y+2 A Bs+C Ajx^ + 2.v+2) + (AY+c)(.y+3)(s + 3 ) ( í 2 + 2 í + 2) -y+3 s ^ + 2s + 2 ( .v + 3 ) ( . r + 2 s + 2)

- 2 s+ 2 = A{s^ + 2s + 2) + B(s^ + 3.v) + C(.t + 3)

—2s + 2 = (A + B)s^ +{2A + 3B+ C)s+2A + 3C

A + B = \2A + 3B + C = -2 2A + 3C=2

- TB . - í l

5

s ^ - 2 s + 2 17 . _ I 12.T+8(j+ 3 )( j2 + 2 s+ 2 ) 5(.í+3) s j2^.2.y + 2

(j + 3)(j 2 + 2j + 2) 5(í+3) 5 í 2 + 2 j +2

= — 1 “ ’ {—^ } - — z,·' { } + - ¿ — }5 (j + 3) 5 (,v + l ) 2+l 5 ( j + V + i

17 _3, 12 4= — e — —e cost +—e sefli

c) z - ' ( . Z _ 2 £ 1 L }( .y -l)2 (s+ l)

Solución

j 2 - 2 j + 3 a B C .4( j -1 ) 2 + fl( j + l)(j -1 ) + C(s +1)(.v+l)2(.v+l) s+ l í - 1 ( í - l ) 2

191



- 2s + 2 = A(s^ - 2s +1) + B(s^ -1 ) + C (í +1)

= (A + B)s + {—2A + C)s + A —B + C

■f

A + B = l- 2 A + C ^ - 2 =>A - B - h C = 2

A = 1 4

B = - l 4

c = l 2

( 5 - l ) ^ ( í + l) 4 ( í+ l) 4(5-1) 2 ( í - l )

_ 5 1 1 . 1 , - 1, 1 . 1 , - 1,___1 . 1 1 r ^ l í L4 í+ 1 4 5 ^ 1 5 . 2 (.v+1)^ 4 ^ 4 ^ 2

s -f aSoluclán

Descomponiendo en fracciones parciales.

1 1 A Bs + C+ -

.í’ +a^ (.í+r)(.v^-a.v + a^) s + a - a s + a^

A(s^ - a s + a ^ + { B s + c)(s + a) (s + a)(.v^ - a s + a^)

1 = A(s^ - a s + a^) + B(s^ +as) + C(s + a)

1 = (A + B)s^ +(-aA + aB + C)s + a^ A+aC

192



A + B = 0 -o A + a B + C = 0

a ^A + a C = l

A=-3a'

5 = —

C = — 3a

s^+a^ 3a^(s+a) 3a^ s ^ - a s + a ^r)

1 s - a i-2------- - Ύ ) ί3a^(s+a) 3a^ s ^ - a s + a ^

1 1 1 -I I s - 2 a3a^ ' s + a ' 3a^ a , 3a^ ■}

r -o

3a^ s+a 3a^ ' ' a . 3a( . v - y r + - 4

1 I 4r, V3 V3 ^Í3a— e - · Γ Τ ^ c o s T ^ i + T ^ s e n —r ~ i3a" 3a^ 3a“= 3a^

4.Î +1

Solución

+1 4 2 1É> + “ . 4 4

193



1

A r - i i — L · - , . } . L J í L ” 2 ^ 2 ^ , 1 ^ " 2 “ " 2 2 ®°®2

T, „ , - i ,2 í ^+10 í 2 + 8 í + 40.3) Hallar L {-------z— -------------}í ( í +9)

Solucién

II Descomponiendo en fracciones parciales.t

2. 2 , ·;;; = “ Gonces«2 ( ,2 + 9 ) 9 ^2^5,

2 5 ^ + l Q y 2 + 8 j + 4 0 1 2 .y^ + 10j 2 + 8 5 + 4 0 2 í U i 0.y2 + 8 í + 4 0

s 2 ( j 2 + 9 ) ” 9 , 2 ^2^9

1 . ^ . « 8 4 0 IOj + 5 0 , ,= —(2j+10h— I—7— (2 í+ 1 0 ----- z------ )19 í j 2 ^ 2 ^ 9

1 ,8 40 IOj 50 . = —| - + - r + ^ ; -----+ - Í ------19 Í j2 j2 _^9 j2 _|_9

,_k 2j ^+10s 2+ 8 í + 40, 1 . 8 40 lOí 50 ,^ {--------T—i------------ } = T ^ { - + - r + - í — +—1— }j2 ( j2 + 9 ) 9 S ,2 j 2 ^ g ^

= l ( 8 + 4 0 í + 10cos3/ + y s e n 3 0

¿ 1 = — (24 +120r + 30 cos 3 í+50 sen 3í)í2 ( í2 + 9 j 27

194


4) Calcular }( í-1 )2 ( í+ 3 ) ^

Solucién

Descomponiendo en fracciones parciales se tiene: ,

Y 2 s ^ - 9 s + l 9 A B C - 1)( j + 3) + + 3) + C( s -1 )

' : r ( i - l )2 (s+3) J+1 (.v + 1) í+ 3 (j -1)2(j +3)

■ ■ I

· : 2 s^:^9 s+ \9 = A(s^ + 2 s -3 ) + B(s+3) + C ( s ^ - 2 s + í )

:->wA^ + C )í2+(2.4 + f i-2 C )J


A 4 · ^ 2

éi^2íA*3B + C = l9 - y A + 3 B + C = l9

A = -2 B = 3 C = 4

(j -1 )2 (s +3) J - 1 (í -1)^ J+ 3

^ _ ,^ £ ^ -9 £ + 2 9(j -1 )2 ( í +3)· í -1 (j -1)^

= - 2 i - '{ - ^ - } + 3 r '{ — ^ - } + 4 r ’ í - i - } í - l ( j - l ) 2 í+ 3

= - 2 e '+ 3 /e '+ 4 e · ^ ' ,

+ 2 í+ 35) Hallar Z, '{—, , ,

• (j 2+ 25+ 2X j 2 + 2 í +5)

Solución

195


Descomponiendo en fracciones parciales se tiene;

2s^+ 2s+ 3 As + B Cs+D( j^ + 2 s + 2 ) ( í + 2 j + 5) í ^^+2í +2 j + 2s+ 5

+ +2j+5)t(C j+Z)X .v^ +2^ + 2)(j ^ + 2 í + 2)(j ^ + 2 j + 5)

+ 2s + 3 = A(s^ + 2j^ + 5j) + B(s^ +2s + S) + C(í^ + 2s^ + 2s) + D{s^ + 2 s + 2)■ ' ■

= iA + C)s^ +i2A + B + 2C+D)s^ +(,5A + 2B + 2C+2D)s+5B + 2D. f;;..· íi ■ ' . .

A + C = 02A + B + 2C+D=^l ■ ^ = -J5A + 2B + 2C+2D = 2 ^ C = 055 + 2£> = 3 D = - ’

1 1 j ^ + 2 j + 3 3___ 3__

(s + 2 s+ 2 )(í + 2 í + 5) s +2s + 2 s +2s+5

i 1¿-1 3 ; 3 j

( í^ + 2 j +2)(s^ + 2 j + 5) <, ,r^'+2s+2 j ^ + 2 í +5

1 -/ 1 ,= —e se n í+ —e sen2í

16) Calcular L í—j j ?----------------- }

s + 4 í +13í + 6 2 s + 1495+130

196

factorízando el denominador se tiene:

/ +4s*+l4s^ +62j^ + 149j+130 = (j+ 2X j^ -2 j+ 1 3 K í^ + 4 j+ 5 )

r-U________ 1______________ j .,1 A ^ Bs+C Ds+E+4.T^+13í^+62í^+ 149J+130· j +2 í ^ - 2 j +13 j ^ + 4 j + 5


i ,-1 ,218 8J+81 226J+515,ÍT T T 'T T T T T T T '^ T T rT rT T '4578 í+ 2 ( s - l ) ^ + 12 (j + 2)'‘ +1

4578 í^ + 1 2 í^ + 1

' (218e'^' - 8e ' cosV 2í— ^ s c n V Í 2 í + 226e cosí + 63e sen/)— I4&ÍO&4518 ' VÍ2

. 2s^ - 47) HaUar r ' { ------ =------------- - }

' '( Í+ 1 X J -2 X J -3 )

Soluclóa

aplicando la fórmula de HEAVISIDE.

/»(í) = 2s^ - 4 y Q(s) = (s + l)(s - 2Xs

para Q(s) = 0, se tiene « 1 = - ! , 02 = 2 , 0 3 = 3

6 ( s ) = s ^ - 4 í ^ + í + 6 ^ 0 '( í ) = 3 í ^ - 8s + l

r * { ____ ___________} = ^ e - + ^ e ^ ' +\í+l)(j-2Xí-3)' 0'(-l) „e-(2) e'(3)

2 4 2/ 14 j, e ‘ 4 21 T n= --------e ‘ + e " + — e·” ----------------- e + — e^'

12 - 3 4 6 3 2

197


8) Calcular i “' {----------------------- } ■ „ ^' \ í - 2 ) ( j + l ) ( í + 3 ) '

* Solucién

. aplicando la fórmula de HEAVISIDE. ...

P(s) = 19s + 37 y Q(s) = (s -2)(s + 1 )(s + 3)

como Q(s) = 0, entonces « i = - 3 , £«2 = - 1 , 03 = 2 , ,

Q{s) = s ^ + 2 s ^ - 5 s - 6 => Q(s) = 3 s ^ + 4 s - 5 .....’’í

g ( - 3 ) = -1 0 , 0 '( - l ) = - 6 , & '(2) = 15 .

P(-3) = -20, P (- l)= 1 8 , P(2) = 75( . . . ■ .

19í + 37 ^ ^ (-3 ) , />(-!) , P(2)'( í -2 X s + l) (s + 3 )* 'g ( - 3 ) ( í+ 3 ) g ( - l ) ( í + l ) g ( 2 ) ( s - 2 Y

= 2 e - ' '- 3 e - '+ 5 e 2 ', % “

9) Calcular ------} »(s+l)(s^+l)

. ':ií ■: - ■. ' ) ■ -.mSolución

' ■ ■ . ’ ’4 . ■- . >Aplicando el teorema de convolución se tiene:

¿ '{ / ( í ) g(í)} = f 'F(u)G(t-u)du = F * G , donde f(s) = L{F(t)} y g(s) = L{G(t)}

i - ‘ {------^ ‘( í + l) ( í2 + i) j + 1 s ^ + i


. ' ■ ' \L ■

j , = > · I ^= r * G(í) = r ' { - ^ } = sení

J +1 , ‘ ,; j( , .■i. y

198



L *{------ -Lt------}= \ F(u)G(t -u )tiu = \ e " .sen(t-u)du(¿■+l)fi^+l) Jo Jo ,,

= f e""(sen/cosM-cosisenMW« IJo

= sen if e “" coswrfw-cos/f ssnudu Jo Jo

- e “" co su + e '" sen« / ' - e " " sen « - e “" cos« / '- - - - - i - - - - - — ~ 1 - - - - - - - - - - - V .

e ' s e n i , seni e ' cosi , . cosi(se n i-co s i) H---------1-------------(sen i +cosi) —

2 2 2

e ' s e n i-c o s i2

f . i f 1 , g - '+ s e n i - c o s i(j+ l)( .y '+ D * 2

10) Calcular ^ > «

Soiucita

Aplicando el teorema de convolución. I

, j , Í 1¿ ■ * { - 2 ----- r} = ^ -----}. de donde

(5^+1)^ 5^+1 s ^ + l

* « - 7 T T= i '{-2 ~ } = C0SÌ

J T 1

F(/) = } = senii·' + r

199


i

í S WL~ {—z------= I F(m)G(í-u)dw = seau.cos(t -u)du

( j2+l)2 Jo Jo

= fsenu.Ccosrcosu + senlsenuW u Jo

senucosu<íu+sentí sen^ udwo Jo

: cost

u / ' u "^seni/cosM

costsen^í tsen í sen^ícosí tsen í

t sentWí„i

11) Dado a > O y Z,“’ {/(s)} = F ( t ) , probar que: ¿ ' {/(as)) = - F ( - )a a

Solución

Sea * = - => L{F(kt)] = ^ f ( ^ ) , a k k

L { F i - y } = a f m => F ( - ) ^ a L - \ f ( a s ) } a a

a a

12) Hallar ¿ - ‘{ - j -----(í +fl )

Solucién

200

r ' { - y - ^ } = --------= F ( 0s ^+ a ^ a

s ^+ a ^ a

1 1 VJ f 'se n a « se n a ( í-u ) .Z ,-'{-^----- r -^ } = F{u)G(t-u)du = -------- .--------------- du\ s ^ + a ^ f ■’o io a a

1= — - 1 sen<2«(sena/cosflt/-cosflí sena«)«/«Jo

1 fí r 2= —rls e n a r l senflMCOsai/í/M-cosflíl sen audu\

a J o J o

1 sen^ aw u sen2au / '= [ s e n a / . ^ ; ^ - c o s a í . ( j — ^ ) l / o íj

1 ^sen^aí ícosat cos^ o í.senaí, 1 ^senat íco so t,2fl ■ 2 2a 2 ~

■ A . - - íT*

Aplicando la propiedad siguiente. ^

Si r ' { / ( s ) } = m => i '{ / W } = - 7 ¿ " ' í 4 W }

· · · " ’ " ”

aplicando el teorema de convolución


. 201


2a

reemplazando (2) en (1 ) se

13) Hallar i ' ( l n ( - í - ^ ) ls(j + 3)

Solucién

L ' ^ +1) - In j - ln (í+3))

libh ■

aplicando la propiedad siguiente.

L · - ' ( n s ) í - - h - ' í r u ) ì

Φ + 3) t g y+3

í(s + 3) t t

. '.a"f X P '14) Calcular r ‘{ln(l+-í^)}

sI*·' ‘ ' ■ . - ■ íSf i V I ,

Solucién

Z-'{ln(l+ - ^ ) } = ¿-'{In(s2 + k ^ ) - ] n s ^ } ^ - η Í T ^ - “ }s t s +k s

1 , 2 -2 c o s k t= — (2eos¿r-21 = --------------

t t

202



I-‘{ln(l+^)} -

15) Calcular ¿ ‘{ln(l+4-)}s

goiflcjéa

{ln(l+ 4-)} = +1)} - 3 1 ' {In s}s

1 z,“‘{ - 4 ^ } - 3 l '{1} = - l r ' { — + - ^ - — -}t j +1 .V t . s + \ S - s + 1 V

rr 3-2e'^^ c o s ^ t - e '= - ~ ( e ' ' +2e"^ eos— í - 3 ) = ----------------- ?----------

t 2 t

V3j -J “ W>Ud

.·. I ' { l n ( l + — )}= ^3 - 2 e ' ‘ cos- - - t - e '

.y" ' /

16) Calcular ¿~ '{ lln ( \ -— -7 )}

Solución------ , M i

t s ^ a I ‘y ·% -y 1 | 2x 2sL í ln ( ^ — ; t ) ) = L + a ^ ) ~ + * ' ) } = - - i ' { - ------f — T T r }s +b · s +a s +0

1 , . - 2 c o s b t - 2 c o s a t= — (2 c o s a t -2 c o s h t ) - - - - - - - - - -- - - - - - - -

•.y s^+b^r ‘{ I i n ( 4 l 4 ) } = f3Í2£!^iL :££!£ íí)¿„

.y +h^ Jo u

203


17) Calcular 1' ( s+ h X s-c )^ ‘

Solucfón

j - \ ) j ^ ¿-1 ^ g J y2 + (.2 ) - ln ( ,+ h ) - 2 ln(.v - c)}( s + h ) ( s - c Y

t s + a s +c s+h s - c"I· V

= - y ( e ‘" + 2 c o s c < -e '* '-2 e " )

+2e"' - e " “' -2cosc< '~ í '■

18) Evaluar ¿'*{·^— j y }

Solucién

Utilizando la propiedad siguiente: "

Si ¿ - ‘{/(s)} = F (0 => Z,-‘{g-“ / ( j )} = G(0 donde

^ ^ ^ ^ ^ Í F ( í - a ) para t > a “ V[ f.O para t < a - ,

■ ■ ■ ■ 'I"

ÍF (z -4 ) , í > 4

' [s + l f 1 O , í < 4

204

r ^ { — ---- r-} = F ( í - 4 ) . / i ( t - 4 ) ‘ (fe.(5 + 2)^

g-*‘.·. r ' í - — ; r } = í í - 4 ) e - ^ < ' - ' ' >Ai ( í - 4 )

(j+2)-'' Im: fsi ■ "" - ■ ■« yíi;-··

■ , ,) ■■A : ‘

19) Calcular ¿~'( 3 ,, - i ; . }

Solución

Como —í— = l + x + Jf^+...+x"+...,para |x | < 1I r ^ .

-4«

________ y . -2« _____í _ = y f _1 -e - '* h h

1 _5EL _-2>w °° _-2iw

00= ^ F ( t - 2 n ) . f i ( i - 2 n ) , donde

»=0 ^

F(í) = i ; ‘{ - ^ } = y => F ( t - 2 r , ) = ^‘

n=0

205

" it+ 'K -

1 d ^ acorno L {Jo(at))= ; .derivando I{— Jo(oO} = - 7 I ----- r^ JT

. +a^ ““ ( i + a )

, aL{i Jn (at)] = - — 5------r~i7 7 , tomando la inversa

(s +a )

t J'o(at) = - a {—2— de donde( i + a )

1 tJoiat) tJ¡{at)« - «

. u _____^·■ '-„2 , -2.3/2 I -

21) Calcular F(r) = r ‘{—— i------ } yF(12) ,s cosh(2i) j „ ...... ....

SolBcfón

.1 2 > 2è^^’cosh2.y = ------------- ;------- -- ---------— r

2 cosh2i +e~^‘ l + e- “*

1 2e l e , 4. - 12.. . l e —i^co sh 2 i v^(l + e “'■') ì

•4ns

= — = 2 X< ^ l ) " ln=o <'

206

= ^ ( - l)" (í -4 « - 2) |i(í -4 n - 2) de donde11=0

F(/) =

o si t <4n + 2.00

2 ] ( - l ) " ( í - 4 n - 2 ) ^ si í> 4 n + 12>1=0

ahora F(12) = J ] ( - l ) " ( 1 2 - 4 « - 2 ) ^ = 1 0 ^ -6 ^ + 2 ^ = 68n=0

uu

puesto que ^ ( - l ) " ( 1 2 - 4 n - 2 ) ^ , 12>4n + 2n=0

exp(-)22) Calcular }

Soluclta

exp(ax) = y ^ - ^ = e ‘ => e “'’ = Y — —

exp(a / J)

exp(g/5) _ y . 1 . _ y' „ n + l í Z-( „1 ^ l „ m + n + l '

207


a ^ . m \ ( m + n)l aW—\j

O O ^

d o n d e / „ ( í ) = ------------------- ( — ) f u n c i ó n d e B e s s e l m o d i f i c a d a ." ‘ m ! ( w + n)! 2m=()

23) Calcular(j + 6)“

Solución

1 _ 3 s r 2 2 .2e senh(3 + -j) = 2e ------- ------- ) = e ^ - e

- 2 s

( s + ó f '" ' ” ' ( í + 6p

„ - 2 í 1 , 7 / 2

1 2 / ^senh(3+.v/2) , I6e'® '~‘>(í-1)^'^ 16e'-* '“2> (í-2)^^2

^ Í -— . 6 , " — - 7 ^ . 0 5 ^ .. ^ > - ^ 1 ,■ ■.■■'.- . i A·..

) ^ 2 e ^ s e n h ( 3 + . ; / 2 ) 12 -6/ . . , ^ 7 / 2 , . / - , u i 2- 6> . · > . .7/2 . . ^ . .

(.v + 6)'k'

e~'

i “'{------- . . . .V9/2 ‘ } = -1 ) -1 ) - e - 2)'^V ( í - 2 ) I - [ 3 ^

24) CalculeB· L ’{—7=}V-v

Solución

208 ^


- ^ = E h ) " ^ - - = Í h )„=0 · t í n'-s”

e ~ _ _entonces se tiene:

1

Vj t í

_ y (-1)"2^"<"'^ _ y (-1)"(2V7)^" _ cos(2>/r)

¿ 4 ^ { l n ) \ tt> V ^(2«)! ■

.■. L - H - r ) -e ‘ COSIi2y[¡)

e »■''■ K. “

25) Calcular r * { l y o ( - i ) }J Vi

SoÍ!¡clto

por definición de la íunción J q (t) se tiene:

^ ( í ) = 1 - 4 + 4 ^ - t 4 - T + · · ·22 2^4^ 2^4 6^

2 2 2* 2* .

6 ^ / ■ ' 242 .5^ ·· ·

1 1 1 1 ’ 1-+-

209


L = 1 “ + ----- T “ ----- T + ----- J·“ ····*·------ i—+ .li. = / --------(2!)' (3!)' (4!)^ (n!)' („¡)3

26) Calcular ! “'{---------- , ---------- 5—},>. ( i + l)(.y2+4i + 5)(l-e"®")

Solución

Ss + 5 A ^ & + C -*■ 3 1’ 1 3.y+25 ~ -( s + l) ( i2 + 4 i + 5) Í +1 j ^ + 4 j + 5 2 s + l 2 + 4 + 5

. 2 s + i 2 (S+2)2+1 ^

3 1 1 3(s + 2) + 19 3 3 19 „L {- — (---- t ) - t ( --------- 5----- ) ì = - ' Z e -~ze c o s i- — e

' 2 ' s + r 2 ' ( ì + 2 )2 + i " 2 2 2 , .

. 1

seni

= - j ( 3 e '+ 3 e ^'cosi + e ^'geni)

---- L— = 1 + g-^^ +e-"’"+...+e-^“ +...= Y i ^ n=0

. ·· 'ii ■ ' ' :iÒÌ;»'?

r 'i 1 = r 'u ___3___1(-Jil21_))y e 3-x(s + l)(.y2+4,v + 5 ) ( l-e ’*) 2 (s+ l) 2 .52+45 + 5 ^ ^

- y - i i - . , £ Ì L . l y r - | S í í i 2 £ Í l ,S 2 ^ + ' 2 ^ ‘ . '+ 4 , + 5 *

-> °° _ - 3 n j + 3 n I 1 Q \ „ - 3 ' w + 6 n^ V - - r r - l f ^ 1 1 ^ „-2r r-1 i

w=0 «=0

210


= - | + 19sen ί M í - 3η)^ n=0 ^ 11=0

1 ^ ,= - y y J3g~ '~ " -e"^^''^"*(3cos/ + 19senf)l^(í-3«)

«=0

-Ó527) Hallar L ~ \ ------arctg(.ïH4.T+4)}

s

Sólucfóa

1 2 ï +4Sea f ( s ) = arctg(í +4.V + 4 ) ‘

í(j+ 2 )V + lίΛ\

, 1 , ” 1 , 2 j + 4L {/(s)} = — r ‘ { / ’ ( j )}= r {------- TT— ■}

"<s*2)’ + r

1 ,, , 2 í · 3^ 1 2 í= — } = *-— p ----------------- 5 p ----------}

t .y'’ + Γ * ■ ( í ^ + t ^ s + O í s V - V Í j+ í )

1 v45+S € s +D~ ~ \^ - V 2 .- ^ 1 % ^ + V 2 5 + 1

e-^' . 1 1 1

Ü , 1 t = - - s e n ( ^ / ) - e ' s e n ( ^ ) |

= ------- ‘ = - — s e n ( ^ ) s e n h - r

211

t J isen (-p )sen h---- f

Z,“ '{arctg(.v2 + 4 .V + 4 )} --------------------------------------

u - 6 V2

, e , r J 2 2I {------arctg(s + 4 j+ 4 )} = --------------------------------------------- n(u -6 )d u

s Jq m —6í'i

28) Calcular L í ~ r ^ — y Halle el dominiode existencia de F(t).

Solucién

4 -e ^ » ‘ 4 - e - '“ 4-e-** ^-36*

/ ( 4 + 2e ' " ) " 4 e-*» " 4 . ' ' 2 : ^ 8 ' 4 / ( 1 + — )

í z £ l V ( - u ’’ f — = m ± £ i t ........4 4 Z - ' 2" ^ 4S^n=0 «=»< '

4 -e '* " _, '^ ( - 1 ) " e-("+W^ ^ /(4 + 2 e -* ^ )^ " '^ 2" ‘ 4 /

_ 1 v 1 z E h x Í £ Z 1 _ £ - ! _ 1 . 4 ; ^ 2" í ' 4 / ^

l ’ ( - l ) " . 4 ( / -«/>)' „ . . ( f - ( n + l ) A ) ' ; „ , ____= 4 2 ^ “ ^ I ------1----- " nb)— — j - r — Uit - ( « + 1)*)1

212

= '57 S " T T · I4(' - nb) Hit - nb) - ( » - ( « + - (« + D*)!«=o ^

■■ I

y F ( t)e x is te e n n b < t< (n + l)b -

29) Demostrar que: ./o(/) = — f dw 'n J-i

' Solfici^

Vi +1 -V.V-/

aplicando el teorema de convolución se tiene:Q&Í'

. - [ ' . ' ' ' - ’"■ .-''■ (r-i,)*“ *;r Jo V / .

S é a u = tv du = t d v , cuando u -> 0 ; v - > 0 ■ '

u - > t ; v ^ 1 .■ iib... ■■ ■

/r *>0 ;r '0

7Í Jo 1 ,

dwahora hacemos w = 1 - 2v => dv = ------

213

',1

\ I


cuando v -> O, w 1 y cuando v -> 1, w -> -1 ^

, 1 f “' fe. tn l+M* 1/7 dw

» • - t

30) Demostrar quer ./n (O = ~ í cos(í cos 6)d0■ 7t J o

Solución

í f l = n

Sea w = cos 0 =»r»f >caaiido

U·'·

0 = 0 . w = l 9 = n , w = - i

utilizando el ejercicio 28> se tiene.

JoU) = - f = - f V “ *®(l-cos^ 0 )-’'^(-sen0)</0rtJ-i _ ^ ,,,V .

= — í = — Í[cos(ícos6)+fsen(/cos0)|d0;r ^o ;r Jo .

= — ^cosfrcos0)</0+—£son(rcos0)d0

igualando la parte reaííy la parte imaginaria se tiene:

P fa./(,(«)= — lcos(í cos6)dG

31) Probar que L * {r ( # ) } = arctg(-p)V OT Vi

Solución

214 >>


e -Jt V 2Se conoce que: e = y - ---------- , s e a x - ut i

2 " í—ll"u2'’e~“ - V - i— -------- , integrando de O a t.

n=Q

Jo " «! Jo " «!

í ‘ ““ - L ·

( - » ’ r 2 . . v ’ ( - i ) ’ «’· · ' / '' OJ ' '

» / ivn.2n+l

ní(2n + l)■a,‘ '·>

3':i

r 2 ^ ( - 1 ) " / " · '^ ,- I /2

2 y (-1)"^"V 7 ;í^ (2 « + l)n!

( - 1)"

■■■'i

( - 1)" ( - 1)"t í (2« + l ) í (2« + 1 ) /" ^

v ® n 5 2 « + l Vi V«s Vi

·■· i{ í " ''V er ( - ^ )} = arctg(-4) V ^ Vs

215



— ' ·»'.■!-n ■ ■■ '

1 1 f* ^senxf ,32) Calcular I — =------ dxJo x ^ + \

Solucién * ) ;. » "k

Ì'OC' ^ sen xt— -—— d x , tornando Transformada de L^lace

0 x^+1 II

L{F(t)} = = r - ^ ( f “ e " senxtdt)dx' Jo Jo jc +l Jo jc +l Jo/ 1 .= f — Z,{sen xt}dx ='Jo x ^ + \ '

x^dx0 {x^+ \) {x^+ x^ )

1 f “ , J 1 1 / X . , / ■ «= —---- (— ----- ---- ---- )dx = — — IJ.arctg-----a rc tgx l/i ^ - l J o x ^ + s ^ x^ + \ 5 ^ -1 J

'■*!” · V.

> )

J _ | £ L - £ | = £ , _ L ,! - l 2 2* 2 i + r

n , 1# 0 0 g sen xt 7t 1Luego L{F{t)} = L{\ — ------ dx} = — (------ ) tomando la transformada i

Jo x ^ + i 2 s+1mversa

J‘” xsenxi , n e '----- dx = -

0 x ^ + l-OO

33) Calcular cosx^dx ,® V

Soluclén

Sea F{t) = f cos tomando transformada Jn

216


= J J e ’ " ( J ” cosíx2fl[ )</í = 1 “ costx^dt)dx

L{costx2}d)c= f - - i - - dxo Jo í +x*

sea x ^ = s t g O => 2xdx = s.sec^ 6d 6

cuando x O : 0 -> O, cuando x -> oo , 6 = —2

TíiPítu f “ s^.sec^GdOL{F( )} +jc^ Jo (j2 jg2 Q^2^gigQ

2 Jo 2VsJo

1 i

= — p í cos 0 sen B.d6 = — p . ------5 ^2V7Jo , 2V7 2r(l+i)

1 r(i-;^r(l) 1 , ^

l 4 ¡ ' 2 2V 7’2 ¿ j ^ £ 2 V ^ · -^ 2V2V^‘ 4

2V2 ' ^ " 2V2 " 2V27

.■. f ( i ) - j ; < » s , = * . ^

34) Calcular C ^ 2 ^ d xJo ;r2 + l .

; 3 ; -~··■■, s

Solucién

217

f “ cosnxt I ,S e a F ( í)= —5---- d r , tomando transfom)ada

Jo x ^ + 1 *

L{F(t)} = f ( f°° dx)dt = r - ^ ( ¡ " 6 - ^ ' cosnxt dt)dx- Jo Jo x^ + i Jo ;c ^+ l Jo

• r 7 T T « ” ’'“ ' ' * - r < 7 T T v W ' *

f"“_______idx______ f” s sn^ dxh (x ^+ l ) ( s ^ + n ^ x^ ) • 'o^ ;c^+ l + n ^ x ^ K ^ - n ^

L{F(t)}

s . n hx, /°° s n n , n s n,■ = —-----5-íarctgx------arctg— 1 / = — --- f í - - — 1 = — ------ j - O ---- )

j - w i 2 / o 2 2 í 2 { s ^ - n ^ ) s

Tt(s-n) K2(j + n )(s -n ) 2(s+n)

f ” cosnxJ o -r·“ 4 . 1

;re

35) Calcular L '{—j - V J

'o x^+l 2 í-

1

Soluclén

1I - ' {— 1 ^ } = r ‘ { 4 ^ } = r > { - L + _ ^ }

s - - J s s - s s - l V j ( í - I )

= e ' + e ' L - ^ - ~ } = e ' -7 = } !sVs+1 s Vs+1

218


, , I 1 i l . . e* *■’= e ' + e ' I l ' í - } * r ' { - p = } l = e ' + e ' | l * - 7 = l s V i+1

= e ' + e ' f )— du , v = Vm => M = y2 => du = 2vdv■'o ^KU

u = 0 , v = 0 , u - > t => v’=Vi^

^ e ' + e ' \ - j = \ e '''dv\ =e' + e 7 „ (V 7 ) = e ' ( l + / , , ( / ) ) y ;r •'0

219



3.17. Ejercicios Propuestos.-

1) Hallar la Transformada Inversa de:

r - i , 2 . s - nb)

.v(.v + a)

d).V +9

6s

1

g) L-'{— .s + 2 s - 6

h)s -1

i)5 s - 2

3.y2+4s + 2 } j).y +4.y

Rpta. a) /=’(í) = 2 e® -2 e2 'se n h -^ í b K F(í) = e “" ' - 2 e “^ 's e n h ·^

senhíVs^r)d) F(í) = 2cos3í+ sen3í

f) F(í) = 2 + e ' - e - 2 '

g) F (0 = 6e~' coshVTí senh-/?/

h) F (í) = 2 co sh í-6 sen h í

5 2, V I 16 i ,I) F(t) = —e ’ c o s h - :p í - —7=e ’ senh— -í

3 3 3

j) F (í) = e 2 'cosh2/ + 10e“2'senh2/

220


2) Mediante fracciones parciales, hallar la transformada inversa de Laplace.

‘ ( s + l ) ( s -3 ) '


**) Rpta· F(t) = [ 3 e ' - e - ‘ )

j . *■·' ' 'b) — } Rpta. F{t) = t - \ + e- '

.y"(.v+l)

.v + 1 1 ,n cos2/ sen2í9.v^+6í + 5 9 3 3

2 +1d) L-^{— ------5-} Rpta. F (/) = l + e

í(.v+l)-=

^ J Rpt»· F{t) = \ ~ 2 e - ^ · + e 's ( í+ 2 ) ( j - I )

í) ’ Rpta. F(t) = 5e^·s - j —6 ‘

g) Rpta. F(í) = l - l e - ' + i e ·s ~ s

„3

2 2

, s +16iy—24 cos2í 2 sen4/^ (0 = — — 2 ..-c o s4 ,+ —

i) L-'{------------ ------------------- }.... (.v-2)(s-3)(í^+2.y+5) ^

Rpta. F{t) = — - e ^ ‘ +— e^' - — e ' c o s 2 í + ^ ^ e “' sen2í13 10 30 390

J) ! “*{-------- ^ ------} Rpta. F (í) = —e “' - —c o s í—í-sení(s +IX j +1) 2 2 2

■ ·

3) Mediante la formula de Hoaviside calcular la transformada invéréa de Laplace.

· ' " ' ' ( T T i i T T i ; ' * '· · ·

221


b)

c)

d)

j r -u 19í +37 ■

( í -2 ) ( j+ l ) ( í+ 3 )

^-1 2 s ^ - 6 s + 5+ 1 1.V - 6

} Rpta. F(t) = 5e^' - Se ' - 2e'^'

Rpta. F (0 = Y - e 2 '+ | e ^ '

Rpta. F(t) = - j (e ' + sen < - cos í )

í ) ^ ' í 2 Js i ^ s - 6

3.V+16Rpta. F ( 0 = 5e^'-2e-2'

r- i, 2 7 - 1 2 ^ (s+ 4 )(í2 + 9 )

í - 1h) Z“‘{(í +3)(í 2 + 2 í + 2)

e~‘' 1Rpta. F(t) = — - - e ~

^Rpta. F(t) = 3e~^'- 3 CQs3t

4 1 ‘} ■ Rpta. F (í) = - — + - je “'( 4 c o s í-3 s e n í)

I)

j)

í ^ - 3-}

r(í + 2)(í - 3){í + 2í + 5)

Rpta. F(í) =3e^’ e 2' g 'c o s2 í 9e ' sen2í50 25 50 25

l -HÍ 1

—z--------------- --------------} Rpta. F(t) = — senh í.sen t( í 2 - 2 í + 2 )(í2 + 2 í + 2) 2

4)

a)

Encontrar la transformada inversa de Laplace, ií» ;

1¿^'{” 2---------------- 2“ ) . , a b * 0+ a ^ ) ( s ^ + b ^ y

222


·») ^ ' í T l ----- 2 ^ 2- 7 2 : i , a ^ * b ^ , a h * 0 .(s +a ){s +b ) p,

c) ¿~'( V 1 1 ----- 5- ) . . ab*Ú Í:

d) l ' { — 5-------------------------------------------------------------------------------} e) ------------}s(s^ + l) . \j-3)(5+2)(j-1)"

5) Hallar la transfojmaaa de Laplace, mediante el teorema de convolucion.• « , . ■ r* '

1 3 . 2 _

*> o '

** ^ ' ' ( 7 7 4 7 ’

■> ■ '

6) Hallar la transformada inversa de Laplace de:

3) r ' { , " - } b) r ‘ { · }. r + 2 s + S j -6.V+13

c) L — } d) r ‘ { ' }j^ -6 .y+ 13 s^+4.v + 29

223


I '


e)(j+1)

f)(s + 2 f

I) r ' í ^ í 's ( s - n )

^ .v‘'-16 .y2+ l00^

J) r ' í - T ^ ^ }

1) r ‘{-

6j 2 + 7 s + 2

■(j+l)(.y2 + 4 ) '-}

II)

í | " : |

j+ 1(j 2 + 1)(s2 + 4 j + i 3) m) r ' { ------------------ )

(s + l)(.v+2)^

7)

a)

Hallar las siguientes Transformadas inversas.

L -‘t , ’ Is + 6 í +11J + 6

d) ¿ * í ------](s+l) (s^+4)

e) L~^{í - 1

( í+ 3 )( j + 2 j +3)}

(í+4)(.y2+9)-id·,-..a :f'i S'-'O.

g) L~U---- — 7 } . « > 0 ,'( i - 1 ) " ^ o- '

2s

·) J)s +1

224



a)

8) Si =1

Γ(η + 1)

(.y+1)b)

d) J— ) '}

é)

9)

a)

« , - ι ,3 ( · ^ '- 1 ) ' . 4.V-18 , ( s + l ) ( 2 - .v ' ' ' , ,« ? ■’"T T. »

Hallar la transformada inversa de Laplace.

, 5“=+2.ν

‘7 ? T W ’b)

9 - s

V - 6 ^\ s ^ - 4 s + 5 ) ^ ^

.5/2

C) i - . t £ L i 8 d ± 2 ^ 1 )(s +6.V+10)*

, .v’ + 3 .y ^ - i - 3

> « ' T T T w · ’

, 2(5·^+2.y^- 5 - 4 7e) i { - S ------------- T“ }( j ^ +45+13)^

2 .y-^-5^-l(5+l)^(.y^+l)^^

g)5^-10.y-2S

t .3 Íj"-25 .yh) — }

6j^+7.y + 2

10)

a)

Hallar la Traasformada inversa de Laplace de;

¿ - ‘{ln(— -)} .y-1

b) i ' { l i n ( - | _ ) }2 .y-' +1

C) r ' { l n Â }s+b d) i~ ‘{ln(-^—

5(.y + l) )}

225



h) Z-'{ln(— ^ ) }í( j+ 3 )

r - l r l . ^^+2.i) r ‘{-ln (------)}s í+ 1 j) I - ' { - l n ( 4 ^ ) }

i +b^

r - lr . -^-1^k) i ‘{íln(---- -) + 2}í + l

1

B) í - . , to ( i£ 1 2 > í£ - L 4 l ) ,( í + X s-c )

11) Hallar la transformada inversa de Laplace de

a) X‘ *{arctg(s + 1)} b) i *{-arctg(-)}s s

c) I - ‘{-cos(-)} s s

d) I-I{arctg(4-)}

e) L ‘{arctg(J + l)} I) z - '{ a r c tg ( ^ ) }

.-4sg) Z ~ * { -^ a rc tg ( j2 + 4 j + 4)} h) arctg(-)}

12) Calcular la Transfonnada inversa de Laplace de:

b) ¿■'{7 = 7 }Vs + 1

c) r ^ { ----- 4 ------ -}s{s +1)

'd)

226



e)V i-1 (.y-l)V.y

V.vVí+l V-v^+4.y + 13

i) i) ¿ ‘{ - p = L = }.ve '+ l - J s -a + h

k) I)

m)4.V +4.V + 9>

13) Hallar la transformada inversa de Laplace de:

») ...— b) L-'{ ’(.y+l)(í+2)(.v^+l)(l-e“ *) (.y-l)(s+2)^(l-e

3s + 5*

's(.y^+2í+5)(e '' + 1)_ (í +1)(j ^ + 45 + 5 ) ( l - e

14) Para a > 0. Demuéstrese'^ que: de L {f{s)} = F(t) se sigue que

i - '{ / ( a y + 6 ) } = - e " ^ F ( - ) a a

15) Dado F ( í ) = r ‘{-r— ------- }, calcular F( 10) Rpta. F(10) = 344s' senh(3s)

16) Verificar = e '(-T = L y + /^^(V 7)-l)I + V i ^Tcte '

17) Verificar L '{— 7=—} = —i = ^V.V ^7C t

227



18) Demuestre que: L { ___ — =■} = -------- --------' ■ ' V.V+1 + v s '

, 1 / V “'19) Demuestre que para n e Z , se tiene: L {----- - } = ----- j—

•(.v+1)""·' «!

' 1 120) Demuéstrese que para m > -1 : L {------------} = -----

(v + a)'""' r(»z+ l)

1 '21) Halle la formula para determi nar: F„{t) = L·' ‘ « e Z

s ( í +1)

22) Hallar F(Q = ■>( s ^ - 2 x + 2 f *, ,, ·

Rpta. F(t) = - e ' ' (eos t + ( t - n) sen t]n„ (t)r '

- 4 í i

23) Evaluar L~'{--------Rpta.(x + 2 y 2 .

-,r

24) Si F(t)es continuaparat>O y F(l) = L {--------r} evaluar F(2), F(s), F(7)(■' + !)■

Rpta. F(2) = O , F(5) = 2e-^ , F(7) = 8e

, (l-í> “2*)(i-3e'2*) íí25) Si F(t) es continua para t > O y F(í) = L {------------ 5------------} evaluar

sF(l), F(3), F(5)

Rpta. F ( l ) = l , F(3) = -l , F(5) = -4

{---------T f = ‘(.v+a)Ví +h26) Hallar l ‘{--------- ¡7= } Rpta. F(t) = e~“' e“'Jn(ht)dt

' o

228



27) í, Sí H(s) = ln (l+ - = L = ) calcular F(t) = {//(s)}Vl + .v '

i.

28) Mostrar que para cualquier entero n > 1, a 9 0.

-)dt

29) Utilizando el resultado del ejercicio 27), para demostrar que:

i “' í —2— "Y . 4-1' -----'í ... f í s e n rd / , n veces.( s ^ + a ^ ) ” ' 2"an\io lo h Jo .

' >30) Dado c > O, s > O y F(i) = I “‘ { /(s)} . Pruebe que

‘ !

Í-^ T T T } = ( - 1)" F(t - 2nc-c)U{t - 2nc - c)cosh(cs) ^ r -

31) Calcular l ' f-Ir 1y j { s ^ + 2 s + l6 f ' T '

Rpta. F(t) = sen.yj^5(t - u)J„{4\5ú)du

+ te , 1 2 ^ í - n " í32) Calcular r ‘{ -J o ( -p ) } Rpta. F i t ) = y ^ ’

t s JS 'f ^S f t o (« !) '

. it ' , . J33) Calcular la transformada de Laplace; ^ --- ----------------- }

í(a.y+l)(as+2 ) ...(a j+ n )

Rpta. F(t) = - ( \ - e ~ ^ Yn\ r

229



34) Hallar F (/) = i ' { - ^ ^ } Rp*«· ^ ( 0 = X -

35) Demostrar que;

z r* { - -4 — + t V + - t — } = - r T O + ^ ') - ( i+ ^ ') /e r ( - ^ ) + “r-^ .r(ao1 + v l + s 1 + vs s-Js+a va

36) Calcular ¿ ' {— 37) Calcular r ' { - ¡ = J = ---- }.V - V V ■\ls-a+b

, 2.?'· + 14.y2 +1638) Calcular L _ 2) ( ,2 + 7)(i + g-5·') ^ 4^4

, í® + / + lO-v“* + 6í^ + 25s^ + 9.V39) Hallar L~ + , 5^6 ^ 94^4 ^240^^+225 *

40) Encontrar - 7 .^ . 1 4 . 9)' ' ( , _ 1) 2( , _ 2) '

, 1 4í^ + 18.y2+30í+17,41) Encontrar L {-----------------r--------- }

( í + 2)^ ■

- 2 s ^ +s1 s - ¿ s +s42) Encontrar L {— :---------------;----------

(í2 -4 í+ 5 )(s2 -2 .y + 5 )

43) Encontrar L-^{— -----^ —^ ] 44) Hallar(s -3 )(s2+1) í (s +1)

. 2 .3

, 2 (j^ + 2 í2 - .y -4 7 )^47) Calcular r í )

230



.s^ -6 .v + 2 7 j -3 848) Calcular L {----- 5------------- 5— )

(.v^-4s+13)^ ‘

49) Calcular I ’ · {— ------------------------------------------------------------------------5-} , 50) Calcular I ' { - = ¿ = } , a,b > O(.v"+4í + 5)'' ^as+h

1 í ' sen t51) Calcular L {sL{y —^ d t ] ]

i

52) Hallar la transformada inversa de Laplace I " ‘{■v(í-a)"

53) Hallar r ‘{------------------------}

4 s — 254) Hallar la transformada inversa de ----- )}

+4

55) Calcular L ‘ y A,B,b y c realess +2hs+c

, 2e^^ ’ í ’ senh(3 + - )56) Calcular ¿ ‘{“ 4— “ T J 57) Evaluar Z,"'{--------------------- ——

j" + 4 a " ( s + 6 f ^

58) Calcular F (í) = i * { —— - } y F(12)

59) Evaluar Z,“’ {— } 60) Calcular i “‘ { ■ * ----------- }, a 5t b•vJ V-v+fl + Vs+ft

61) Calcular i ' ------ } 62) Calcular Z,“'{ '.V senh(cj) í cosh(cs)

23]



íe '

63) Calcular L '{"7="} 64) Evaluar LV «y s

„ - ( s s

65) ' Evaluar L ‘{-r— > 66) Evaluar LT {— r -----}.V — 1 s e +l

67) Calcular L~'{------^ -Γ }‘Ift

, r , 4.v’ +6^2+145+1168) Calcular L {—^ j ------ :------ ;------------ —r-}

‘ (s- +4ví +6.5 + 5 j + 2 ) ( l - e )

4 - e ““69) Calcular L j 70) ^ Encontrar L~^{-r=]

í{4 + 2e )

senh(4.y)

, -6 .v^+5.v2+3j-172) Calcular ¿ -------- 5------- -5-------- 5--------}' (í 2+1)(í 2+ 4)(j 2+ 9)(j 2+36)J

73) Calcular ¿ . 74) Hallar r ' { }^¡s^+a^ j ' '+ 4 a ‘'

_i 1 V _i e~^“ senh(6i)75) Encontrar L {—= = = ] 76) Encontrar L {--------¿ }

V i '· -a ^ (1“ ^ )

77) Calcular r '{ - = ------j--------r-------- ----------------- } af í ’ + 5/+ 1 4 5 ^ + 6 2 ^ 2 + 1 4 9 í+ 130

2e’"^co sh (5 + ^) 2 s 2 - 9 í + 1978) Evaluar r ‘{ - ----------- 79) Evaluar ¿ ‘{-=-------------------- f ---- — )(s +24)‘^ 2 * (j _1)2(,, + 3)

232 ‘



80) Calcular L '{------------------5--------- }

Rpta. F(t) = [ l - c o s ( t - I ) ] n ( t - I ) - [ l - c o s ( t - 2 ) ] n í t - 2 )> I 1

81) Demostrar que:' " ' . ' ' ' l¡ ~ I

a ) ^ .. b) r ' { f Z Í . } = )2 -^ n r i V4í

■ ■■ J- .1■ Js

c) , X -'{se-‘'^ } = - ( f l 2 _ 2, ) - j = = d) l ‘{— p - } =ir; . I ·

233



CAPITULO IV

4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Las técnicas de transformada de Laplace son muy útil para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales dadas, es decir: A medida que avancemos en su estudio observamos que dicho método transforma un problema de Ecuaciones Diferenciales ordinarias en un problema algebraico de fácil análisis, el que una vez resuelta es llevado al problema original atravez de la transformada inversa de Laplace.

Este proceso observaremos en el siguiente esquema.

234



d ” v ■ ■Como L{— —}, n > 1, depende y(t) y sus n - 1 derivadas calculadas en t = O, la

dtTransformada de Laplace es especialmente adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales. Este caso de ecuaciones diferencíales puede reducirse a una ecuación algebraica en las función transformada L{y(t)} = y(s), para ver esto, consideremos el problema de valor inicial. '

a

.v(0) = .Vo , .v'(0) = V o......... y (% '^= A " en donde

a,·, i = 0,1,...,n, y so“ constantes, por la linealidad de laTransformada de Laplace podemos escribir.

f

d"v d”-^y dv‘^ M ' ^ ) + c i „ _ , L { - ^ } + . . . + a , L { - ^ } + a o L { y } = L{g(t)}

aplicando el teorema de la Transformada de Laplace

a„ Is” L{y} - s "-V (0 )}s "· V (0 )-.. (0 ) |+ (s"- ’ L{y} - s”-^y(0) -

- s " -V íO ) - . . . -> '"-^’(0)l+..,+aoi{>'} = L{g it)}

(a„s” + fl„_, s " '' +.. .+a„ )L{y} = a„ [s "-’KO) + .v " 'V (0)+· · (0)1+

+ a„_, ( í "-* + s - V ( 0 ) + . . (0))+.. .+¿{g(/)}

de donde L {y} = y (s), calculando y(t) mediante la transformada inversa de Laplace.

X 0 = i ‘ ‘{.v(5)}

En forma similar para las ecuaciones lineales de coeficientes variables no homogéneas.

235


Ejemplo.- Resolver las siguientes diferencialesJ| '

1) / ' ( í ) + 4>;(í) = 9í . y(0) = 0 , y (0 ) = 7 ,

. Soluclén

Tomando Transformada de Laplace en la ecuación diferencial

L{y''{t) + Ay{t)} = L{9t}

L{y"{t)}+AL{y(t)} = L{9t}


L{y{t)} - s ;;(0) - (0) + AL{y{t)} = \s

, 9 9 + ls ^+A)L[y{t)} = — + 7 = -----—

s s

7^2+9 9 , 1 1 . 75 ( í +4) 4 s s +4 s +4

„ , 9 1 1 7

— 9í 19 ,·■· J^(í) = — + y s e n 2 r

2) (£)2-4Z) + 4)>/ = 2 e^ '+ co s / , > (0) = ^ , / ( 0 ) = - ^

Soluclén

d^V dv Ti— Í - - 4 — + 4v = 2e +COSÍ dt^ dt

236


tomando Transformada de Laplace en la ecuación

- 4 ^ + 4y}-= L{2e^‘ + cos í} d r dt

s 2 l{ y (0 } - í j ; (0 ) -y ’(0 )-4si{ j(/)}+ 4X O ) + 4i{;;(0} = L{2e^· +cos/}

( í2 -4 .y + 4 ) I W r)} -— + — + — = ^


25 25 25 s - 2

r r / V. 2 s' 3 .9 -1 6L { y U ) i = --------- r + - T - ------------ T + -------------T

’ , ( s - 2 ^ ( s ^ + \ ) ( s - 2 Y 2 5 ( s - 2 f

2 i . 3 .V-16 ,y(t) = L *{-------- r + —j ^ ------ r·*·------------- r l

( . v - 2 ) ’ (,v2 + 1 K í - 2 ) 2 2 5 ( s - 2 f■■■ iSf. 1 <=: ■ . ... =

, . 2 2» 3 2 / 3 2 ( seniy(í) = t^e^' + - í e ^ ' +— e ^ ' --------5 25 4

3) í / ' ( 0 + y(í)+ ;í> '(í) = 0. y (0 )= l, >;’(0) = 0 ,

Solucién

Tomando Transformada de Laplace se tiene

L{ty"( t )+y '{ t ) + ty(t)] = 0, de donde

¿ { í / '( í ) } + ¿ { /( í)} + ¿{í.v(t)} = 0 ,,

, ^ y ( t ) } - s y ( 0 ) - y m + s L { y { t ) } - y m ~ L { y U ) } = Ods ds

, " ■■ ,, ■

^ ^ 2 s L [ y ( t ) ) - s ^ ^ ^ y { t y ) + s ^ y { t ) i - ^ ^ y ^ y i \ = 0ds ds

237


(s^ + \ ) ^ L { y ( í ) } ^ - s L { y { t ) ] 'ds

dL{yit)} sds . ^ ' ....... '----------- -- — ---- , integrandoL{y(t)} s ^ + l ' ■

; ■ ?· ■ ■ Í; ' ' :■ ’A

\n(Liy(t))) = ~ l n 4 ? T ì + ì n ' k

ln(i{v(i)}) = 1” ~ 7 = = = ' levantando cl logaritmo■ V.y* + 1 ·

v(i )} = __ tomando la inversa’ V.v^+1 i

y(t) = k LT { ■., .} = ./q ( 0 , como y(0) = 1 y 7q(0) = 1 entoncesV i '+ l

> (0) = cJo(0) => l = c

.·. y{t) = Jo(t) 6 '

4.1. Solución De Sistemai De Ecuaciones Diferenciales por Elmétodo de la Transformada de Laplace.

'•*te , '■ 'Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

dx— = ai,x+a,2V + / ( 0

t— = fl2,X + fl32j' + g(i) dt

con condiciones iniciales x(0) = Xg > 7(0) = .Vo > donde x,y son las funcionesincógnitas, a \ \ ,a \ i ,a iy ,a i i son constantes y fi[t), g(t) son funciones conocidas tomando la Transformada de Laplace a ambas ecuacipnes diferenciales;del sistema( 1)

238



L { ^ ] = L{a,,x + a n y ^ m )at -

¿ A = L{a2xx+fl22V + £(í)} dt f

mediante las propiedades de la transformada se tiene:

.V L{x) - ;r(0) = a „ L{x) + 0,2 ¿{.v} + L{f{t)} s L{y}-y{Q) = «21 «22 t^{y) + JÍ-ígíO}

agrupando términos se tiene:

( j - a „ ) L{x) - a ,2¿{.v} = -ÍO + L{f{,t)\- ü2¡ L{x)+ (.V - «22 )My} = yo + M g (0 }

... (2)

Si Xq + L { / (/)} y yo + L(g(0i no son ambos cero, ei^tonces se pued? resolver el sistema (2), mediante la regla de CRAMER, es decir: ·

L{x}^

X o + L{/( t) } - a 12yo+L{g(t)} s - a -¡2

X-«1J -fli2

— «21 i —«22

(xq + L { / ( t ) } X s - a 22 (yo + Mg(Q})

^ ^ (Xo + L { / ( Ó i ) ( x - fl22 ) + «12 (J o + M g ( O Í ) J( í -a „ X j-a 2 2 ) -a i2 f l2 i

L{y}:

* - ‘*11 Xo + M / ( O Í -«21 .Vo + i{«(0}

x - a ¡ t - f l i2

- f lj l «-«22

(i -«11 )(.Vo + ¿{g(Q}) + «21 (^0 + M / ( 0 i )(j-flllK s-fl22)-«12«21

^ ^ jr-1 - «11 Xl'O + Mg(Q}) + «21(^0 + ¿{/(O I) j

( i-«n X i-«22)-«12«21

239



por lo tanto es evidente que la Transformada de Laplace, nos permite convertir un sistema de^ecuadones^Jiíéieneiídes TOmSjndiciones iniciales dadas en un sistema

-de ecuaciones simultáneas. Este método puede generalizarse a sistemas de “n” ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes, dado entonces un sistema correspondiente a “n” ecuaciones lineales simultáneas. '

Ejemplo.- Resolver el problemas con valor inicial,

como x{0) = 1, y(0) = O,

x'(t) = x ( t ) - y ( t ) + e'

y'(t) = 2x(t) + 3y(t) + e- '

Soluclán. ■·■. ' í.

Tomando Transformada de Laplace, a cada ecuación diferencial

ÍLÍx' ( t ) }^LÍx(0-y( t)+e' i ‘L{y’( t ) }= U 2x( t ) + 2y( t)+e-']

^sL{x(t)\-x{0) = L{x(t)]-L{y(t)} + LW) awi i { y (O) - ,V(0) = 2L{x{t)} + 3L{y(t)} + L { e ' ]

(s - l)¿{x(í)} + iW O } = I+1

-2L{x{ t )} + {s~3)L{y{t}} =

í - 1 s - l 1

s + 1

s - I1

s+1s - 3

s - l 1 - 2 s - 3

11 19S-4510(j+ l) 10(s - 4 s + 5)

/> r - l , -11 1 9 ( s -2 ) - 7 , 11 19 2, 7 2,x ( t ) ^ L {-----------+ ----- ------------- } = ----- e + — e co s í------e sení10(s+l) 1 0 [(s-2 )^ + l| 10 10 10

11 e^' ’

240



¿{v(0} =

í - ly-Il

1 s - 1 2s■Y+l| .y+1 j - 1 _____ +1

(j - 1)(J - 3) + 2 ( i 2 _ -4 5 + 5)Í - 1 1 I- 2 . - 3 |

2 2____ 8 . v - 2 7 1

5(i + l ) ^ s - l 5 (î - 2)2+1 s ( i - 2)2+1

y ( n = + . ‘V ----- -25(.v + l) ,v -l 5 (î -2 )2 + 1 5 ( , - 2 )2 + 1 )}

4.2. Una Ecuación integral.

El teorema de la convolucion es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en las que aparece una fiinción incógnita bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente obtener í(t) resolviendo una “Ecuación Integral” de la forma.

/ ( O = g(t) + j j ' ( f i )h ( t - f i )dp i

donde las ñinciones g(t) y h(t) son conocidas.

Ejemplo.- Obtener iït) si*' í{t ) = 3í 2 - e'* - f ' f ( t i ) e " f ‘dn' Jo

Solucién

Tomando Transformada de Laplace.

!{ /( /)} = L{3t 2} - L{e-'} - m J ' /(M y-'^dM l

241



L { m } = - ^ — L ^ - L { f ( t m e ' \s .y - r 1

1 ......... .. _6 1(1 + — )¿ { /(0 } = — - ,

i - 1 i+ 1

— L { m } = ~ —í - I .y+1

i ( j+ l ) J·’ s S j+ 1

A í ) = ¿ " '{ 4 — T + “ - ^ } = 3 í ' - í ^ + l - 2 e " ' '■ s s s s+1

4.3. Una Ecuación Integro-Diferencial.

La segunda Ley de Kirchoff establece que en un circuito simple conectado en serie, la suma de las caídas de potencial a través de un inductor, de un resistor y de un capacitador es igual a la tensión E(t) suministrada, es decir que: caída de potencial

a través del inductor = L — caída de potencial a través del resistor = Ri(t) yd t '

caída de potencial a través del capacitor = —J i( t)dr en donde i(t) es la corriente

y L, R y C son constante, se deduce que la corriente en un circuito como el que se muestra en la figura esta regida por la ecuación Integro-diferencial.

r di 1L ---- ¥ R i -\—d t c

i ( r ) d T = E(t)

242


EJemplo.- Determinar la corriente i(t) en un circuito simple L-R -C si L = 0.1 H,R = 20 Í2, C = lO '^ F , i(0) = 0 y si la tensión aplicada E(t) es como se muestra en la fígura

Soludén

como el voltaje se anula para t > 1, entonces podemos escribir así:

E{t) =_ í l2 0 í , 0 ^ í < l " O , / é l

expresado en términos de la función escalón unidad.

E(t)= 120t-120t | i ( t - 1) '

243

por medio de ta segunda propiedad de traslación se puede escribir así:I

E ( t )= 1 2 0 t- 1 2 0 ( t - l ) A i(t-1 )-120 / i ( t - l )

ahora reemplazando los datos en la ecuación

di I r 'L — + R i - ¥ - \ i ( T ) d x ^ E { t )

dt c Jo

0 . l ^ + 2 0 i + 10^£i(r)rfT = 120í - 120(í - l)ij(t -1 ) -1 2 0 /í(í -1 )

Si L{i{t)] = /(.V) => Líjj(r)dT] =


i{0.1— } + 20Z,{i(í)}+10 L{ I /(r)rfr} = i{120r - 120(í - l)U(t - 1) -120 U(t - 1)} dt Jo

0 .1 . / ( . ) .2 0 / ( . ) + 1 0 ^ ^ = i f - i ^ - i ^ -

i . r X

multiplicando por 10 s a la ecuación

(í+100) 7(5·) 1200(-i-— -e“") -s s

i(s) = 1200J-------— r - -------^í(í+100)^ í(í+100)^ (^ 1 0 0 )^

. ,-,««.1/10000 1/10000 1/100 I 1/100007(í) = 12001----------------------------------------r-í------------- e * +

Í í+100 (j+100) i

1/10000 1/100 1+ ----------- e + ----------- í - e --------------I

. í +100 (s + ioor (j + 100)^

aplicando el teorema de traslación para la transformada inversa.

244



1 ( 0 = ^ ( 1 - M í - 1 ) 1 V O - 1 ) 1 - 1 2 / e “ *“ ' - 1 1 8 8 ( / - l ) e “ ' " ^ ' - ’ ~ D

4.4. Resortes acoplados.

Supongamos que dos masas ffí] y /Mj están sujetas a dos resortes A y B, de masa insignificantes, cuyas componentes son A:, y ^2 · respectivamente. A su vez, los dos resortes están conectados como se muestra en la figura.

Sean jt, (/) y Xj (t) los desplazamientos verticales de las masas con respecto a sus posiciones de equilibrio cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte B esta sujeto tanto a un alargamiento como a un acortamiento; por consiguiente, su alargamiento neto es X2 -X i - De este modo, por la ley Hooke resulta que los resortes A y B ejercen sobre /w¡, respectivamente las fiierza

-k¡Xi y k 2 ÍX2 - X i )

Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerza de amortiguación, entonces la fuerza neta sobre wí] es -k^x^ + ¿2 ( 2 “ 1) po·· segunda ley de Newton escribimos asi:

m ■ = -kx^ +k2ÍX2 - ^ 1)

245



ti’·

De igual modo la fuerza neta ejercida sobre la masa «2 se debe solamente al alargamiento neto de B, es decir: - k 2 {xi - Xy) de esta manera resulta que ’

d^X2« 2 ---- r» '■ dt ■ = -kl(X2 -JCl)

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda descrito por el siguiente sistema dé ecuacionés diferenciales de segundo orden simultáneas.

d^x^= + ^ 2(^2 - ^ 1)

m

dt^

d^X2... (1)

= - ^ 2 ( ^ 2 “ ^ 1)

Ejemplo.- Resolver el sistema (1) suponiendo que = 6, k 2 = 4 , m ^ = \ , m2 = 1 y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias de direcciones opuestas;

r Solución

como las masas parte de su posición de equilibrio entoríces x¡ (0) = O, X2 (0 ) = 0

y como sus velocidades son unitarias y opuestas entonces x¡ (0) = 1 , Xj p ) = -1 ahora reemplazando enei sistema (1)

X, (t) + Wx¡( í ) -4x2( t ) = 0

- 4 x , (t) + x¡( t) + 4x2( l)=0... (O)

tomando transformada de Laplace a cada ecuación

¿{x;(í) + 10x;(í)-4x2(/)} = 0

L{x'2Ít)-4xi(t) + 4x2(t)} = 0

246



y L[xi (f )} - 5 Jc, (0) - xo (0) + lOsLiXi (í)} - lOx, (0)-4L{x2 (/)} = O

L{x2 (í)} - XX2 (0) - Xi (0) -4Í{JC, (f )}+4¿{x2 (0) = O

( i^+ 10s)I{x ,(f)} -4 I{x2(0} = l

-4 ¿ { x i(í )) + (s ^+ 4)¿{x2(í )} = -1

aplicando la regla de CRAMER se tíene:

L {χ^ (n } -

1 - 4-1 s^ + 4

.v"+10.v - 4- 4 s^ + 4

(s^+ 2 )(í^+ 1 2 )

usando fracciones parciales podemos escribir.

As+B Cs+D +-(s^+ 2 ) (s^+ 12) s ^ + 2 s ^ + l2

s^ =(As + B)(s^ +12) + (Cs+DXs^ + 2)

s^ =(A+C)s^ +(B + D)s^ +(i2A + 2C)s+12B + 2D

comparando los coeficientes de s en cada miembro de la igualdad se tiene;

A + C = 0 B + D = l 12^ + 2C = 0 12fl + 2£> = 0

de donde

A = 0 C = 0

5

- I

(.v^+2)(s^+12) 5 (í^+ 2) 5(s^+12)

247



5(s^+2) 5(j^+12) m , , . -

x ,(t) = r ‘í - *5 (í^+ 2) 5(s^+12)

}

1 , V2 6 , VÍ2X (í ) = — = r ‘ {-j— }+—7 = l '{—,— )

' 5^2 s^+ 2 ^ 5VÍ2 \v^+12^

'.¡- i ^i.O¡xp"

■J2 S r-Jf|(0 = - ^ s e n V 2 í + — scn2V2í

L{X2(‘)} =

s -'+IO j 1 - 4 -1 +6

.v'‘ +10j - 4- 4 s^ + 4

(s^+ 2)(í^ + r2)

siguiendo el proceso anterior, mediante fracciones parciales obtenemos.

LÍX2Ít)} = - 4 ^ — j ^ ' ■

+2 . r+ 1 2

5J 2 ’ . ' + 2 ' 5 V Ü ‘' ' V + I 2 ' · 5

Luego la solución del sistema (a) es: '

(í ) = - - ^ sen V 2 í+ · ^ sen 2V3/

^ 2 (0 = “ • ^ s e n V 2 í- - ^ s e n 2 V 3 í

aio

VX + í ‘ l i . Í í

■J! t-

248



4.5. Redes Eléctricas.

Un sistema eléctrico (red) con mas de un circuito simple (o lazo) también da origen a ecuaciones diferenciales simultáneas tal como se muestra en la fígura.

©

AAAr^1

-1

La corriente /](/) se divide según las direcciones indicadas en el punto llamando punto de ramificación de la red por la primer ley de KIRCHOFF podemos escribir.

*1 (t) = h (Ó+'3 (O

además, también se puede ^ lica r la segunda ley de KIRCHOFF a cada circuito, para el caso del circuito A¡B¡B2 A2 Á¡ , sumando las caídas de voltaje a través de cada parte del circuito resulta.

£ ( í) = + I i —^+»2^2 •••(2)at

en forma similar, para el circuido 4, C, C2 2 " 2 » obtenemos

E{t) = i , R , + L 2 ^ ...(3 )> dt

249



ahora reemplazamos (1) en (2) y (3) se obtiene dos ecuaciones dp primer orden para las corrientes (O g i j ( t ) .

di. 'L\ — ^+(Ry+Ri)Í2i+ Rii· = E{t)

dt

L2— + R \ Í 2 + R \ h - F { t ) ’dt ......... .

. .. (4)■.k

con las condiciones naturales Í2 (0) = 0 , 13 (0) = O, el sistema (4) se puede resolver mediante la Transformada de L^lace.

4.6. Problema De Entrenamiento para el alumno.

Demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes V, ( 0 e «2 (0 ®n la red de la ñgura que contiene un resistor, un inductor y un capacitador es:

L ^ + R Í 2 = E { t )dt

di-yR C ..... *2 “ '1 * ^dt

... (*)

250


Ejemplo.- Resolver el sistema (*) con las condiciones E = 60V, L = 1H, R = 50ÍÍ, C = 10~‘‘ F , y donde /, e ¡i son inicialmente igual a cero.

S<^lucl6n

al reemplazar los datos en el sistema C ) se tiene.

{dhdt

+ 50/2 = 6 0

5 0 ( 1 0 “ ) - ^ + i 2 - » i = 0 di

\ sujeto a Ij (0) = O, ¡i (0) = O

ahora aplicamos transformada de Laplace a cada ecuación del sistema.

i { ^ í^ + 5 0 i2 ( 0 } = ¿{60} dt ■"

¿ { 5 0 ( 1 0 ' ' ) ^ i ^ + / 2 - / , } = 0 dt

'.Y?'

s I { / i ( í ) } - / , ( 0 ) + 5 0 L { /2 ( í )} =6 0

50(10-'* )s ¿{»2 (í)} - 50(10-'· )/2 (0) + 1{/2 (O) - i í ' i (0} = O

íi{/,(/)} + 50i{i2 (/)} = —,v

- 200 Z{i, (í)} + (s + 200) L{i 2 (í)} = O

6050

O .v+200 6 0 j

s , 50

-2 0 0 í + 2001j(.í+100)^

mediante fracciones parciales se tiene

251

60i»Ss 5(s+100) (.v + 100)^

60Ss 5(s+100) (j+100) 5 5

L{hit)} =

60

-2 0 0 0j 50

-2 0 0 \+200|

, 12000 .y(.v+100)^

mediante fracciones parciales se puede escribir

r,.. . . . . 6 6 1205(s+100) (s+100)^

Ì2Ìt) = r > { - --------^--------------1 2 0 ie - ‘“"'^5j 5ÍJ+100) ( j + lOO)^' 5 5

mediante fracciones parciales se tiene

^ 5 5H ■ -I <'

4.7 Ejercicios Desarrollados.

1) Demostrar que la ecuación subsidiaria de la ecuación diferencial

s +as+b s +as+h

Solución '

- « ( , ) . lie™ la Solución m -

252

Tomando la Transformada de L ^lace a la ecuación diferencial

L{y"(t)+ay'{t)+hy{t)} = L{g(t)) , rft j

- s 7(0) - >'■ (0 )+ a s >>(í)+ é ;^(s) = R(s)

(s^ +as+b)y(s) = (s+ a )3'(0) + y ( 0) + /? (s ) ,


s^+ a s+ h s^+as+ h

2) Resolver la ecuación diferencial; y ' '+4y = 9 / , y(0) = O, y' (0) = 7■ ' " ■ ' ''t.'

soiujcMa '

Tomando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial

L{y' ’H v} = i{9 í} , de donde ^

s ^ L { y } - s y ( 0 ) - y ' { 0 ) + 4 L { y } = · ^

+ A ) L { y } = \ + lj s

I s ^ + 9 __ 9 19 1s^ ( í^ + 4 ) 4j 4 j^ + 4

, 9 19 1 íbR4j '‘ 4 j ·' +4

9í ' l 9 ^.·. y = — + — sen2/

■ ! ^ *

3) Resolver la ecuación Diferencial ,

y - 3 y + 2 y = 4/ + 12e-', y(0) = 6, y (0 ) = - l

253


tI

SolucMffl'*

Tomando la Transformada de Laplace se tiene. " ' (

L{y"-2y'+2y} = L{4t + \le'^’ } H»)


s H { y ) - s y { Q ) - 3 s L { y } + 3y{0) + lL{y] = - ^ + —J+1

Á 10(j ^ - 3 s +2)Z,{;;}-6j +1 + 18 = - ^ + -----

5 + 1

{i)','· viV +

4 12 6 .y ''-1 3 s^ -7 s^ + 4 5 + 4(5 " -3 5 + 2 )L W = 6j - 19+ -5-+ — ------------- j

s J+1 s

65“ -13.T^-7j^+4.v + 4

s^{s+l)

L{y} = -j^ (5 + l)(j^ - 3 j +2)

, , , 3 2 2 2 3Líy] = - + ^ + ·

S S 5 + 1 s - 2 5 - 1

, 3 2 2 2 3 ,{ _ + _ + -------------------------------- + -------------- ]

5 5^ 5 + 1 5 - 2 5 - 1

>’ = 3 + 2 /+ 2 e ^ '-2 e ^ ' +3e'

4) Resolver la ecuación diferencial

y' ’- 4 y ’+5y = 125í \ y(0) = y'(0}= O

Soluclén

Tomando la Transformada de Laplace se tiene.

254



í L{y] - J y(0) - y ' (0) - 4s L{y}+4y(0) + 5L{y} =s

(.v - 4 j + 5)Z{>'} j despejando L{y} se tiene^ 3

250 A B C D s+Es {s - 4 s + 5) s ' Y s s s - 4 s + 5

L{y) = 2501— + - 1 - + - i - — — ( - I Í L J L ) i 'l2 5 í 25 5s^ 1 2 5 % 2 _ 4 j+ 5 ^ '

y(t) = 250r ' + - L — L (_ Í Í Í _ Í L ) }. 125s 25s 5s 125 - 4 s + 5 ’

= 250(— + — + — - — COSÍ+— sen/) 125 25 10 125 125 ’

.·. >’(/) = 22 + 40/ + 25í^ cos/ + 4e^' sen/)

5) Resolver la ecuación diferencial dada

y + 9 y = 18/ , y(0) = 0 , y ( j ) = 0

SolucléB

Tomando la Transformada de L ^lace se tiene:

Z{>>"+9y} = ¿{18í}, de donde se tiene:

s ^ L { y ¡ - s y | ( l ) - y · m ^ ■ 9 ^ y ì . L · U S l ì

.r .y2

255



í ' ' / ( 0 ) + 18 A B Cs+D

í^ ( í^ + 9 ) ~ í " 5· j ^ + 9... (1)

s ^ / ( 0 ) + 18 A ^ B ^ C s + D _ A{s^ + 9j) + B(s'^ + 9) + Cs^ + Ds^s^(s^ +9) í ' + 9 j ^ ( í '+ 9 )

s V ( 0 ) +18 = (/í + C)·* + {B + p)s^ +9AS+9B

comparando coeficientes de s se tiene:

A + C = 0 A = 0B + D = y'(0) B = 2

(2)9 A = 0 9B = 18

C = 0D = Y '{0 ) -2

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

2 . / ( 0 ) - 2L{yi = ^ +

s^ í ^ + 9-, tomando la inversa

s^ s +9 3

n y ' ( 0 ) - 2 3k y ’(0 ) -2 como y(—)=0=>7T+----- ----- sen— = 0=>·:^— ^----- ti

:.y{t) = 2t + Trsen3t n.

6) Resolver la ecuación diferencial dada:I

y ' ' { í ) - 4 y ' ( t ) + 3yit) = F{t) , j(0 ) = 1 . y (0) = 0 :

Solución ^

Tomando la Transformada de Laplace se tiene: '

256


\

.3/

L { y" { t ) -4 y ' i t ) + 3y{t)) = L{F(i)},de donde

L[yU)}-sy(di) - y' (0) - As L{y{t)} + 4y(0) + 2L{yit)) = L{F{t)}

( i ' - 4 s + 3 ) LW /)} = .v-4 + L{F(i)}

L{yi^)} = ~ 7 ~ ~ , tornando inversas + 4 i + 3

( ^.1 í - i { _ y ñ í 2 L )

= 4 r ‘ { - ! - } - 1 Z“‘ { - i - } + i - ' {F(í)}* L-‘ r ¿ · ; }2 '.v-1 2 í - 3 ( í - 3 ) ( j - l )

y(t) = ^ e · - l e 3 ' + F ( t ) * í ^ - y )

• ?, í. '

v(í) = J g ' - ~e'‘)F {t-u )du

7) Resolver la ecuación diferencial dáda

íx " ( í ) - ( 4 í + 1)jc'(O + 2(2í + 1)x (O = 0 , jr(0) = 0

Solftciéq

Tomando la Transformada de Laplace en la ecuación dada

L{t x"(t) - (4/ +1) x'U) + 2(2/ +1) j (O) = O

- ± L { x ’'{t)} + 4 -^LÍx '( t)} - L{x '(t)\4^L{x{t)] + 2L{x(t)} = O ds ds ds

- 4 (í ' Ux' (»)} - sx(0) - X' (0))+4-^ (í i{^(í )} - (0)) - jIÍx(O)+x(0)ds ds


257


- A ^ L { x { t ) } + 2L{x(t)} = 0 Vds

d '^" d ■'- 2sL{x(t)}-s^ — L[x{t)} + x{0) + 4L{x(t)) + As— L{x(t)\-sL{x(t)}

ds dsA- I

+ x(0) - 4 - i L{x(t)\ + 2 L{x{t)} = 0ds _

-(.y^ -4.y + 4)-^L{jc(i)} + (3 j-6 ) = 0as

( s - 2 ) ^ ^ L { x ( t ) ) + 3{s-2)L{x(t)} = 0ay *

~ ■ ' + — r = 0 , integrando f , , , , < f e + f - ^ = lnX:L{k{t)} s - 2 J ¿{x(i)} J Í - 2

.

ln (IW í)}) + ln Í J -2 ) ’ = ln/t

{ s -2 )^ L{x{t)] = k ^ L { x ( t ) ) ^( s - 2 f

1x(t) = k L — ; t t } = — — .-.Bxit) , VAr^tOi en particular si k=l, se

( i - 2 ) ¿ f )¡2

tiene la Solución x(t) = — '


y ’( o + > '( o = / o ( o . y ( 0 )= y (0 )= 0

Solución

Tomando la Transformada de Laplace se tiene:

i{ / '( í)+ > '( í)} = ¿{-/o(Ó} .de donde

258

í ' i w / ) } - ^ ( 0 ) - y ( 0 ) + i M O } = i . { J o ( 0 }

(í^ +1) L{y(t)} = - i — , despejandoV i +1 '

L{x{t)) = — — — , tomando inversa se tiene: v(/) = ¿ “'{— — ü"}»de

acuerdo al ejercicio (20) de la transformada inversa se tiene:

9) Resolver la ecuación diferencial dada por:

y"( t ) + t y ' i t ) - y ( t ) = 0 , y(0) = 0 ,y '( 0 ) = l '

Soluclán

Tomando la Transformada de Laplace se tiene:

, Z ,{ /'(í) + í / ( 0 - > '( 0 } = 0.dedonde:

. > „0,: >1' '■í 2 L{y(0} - sy(Oj - y ' (0) ~ ^ y ' «)} - ^ y (t)} = O

ds < '

í ' ¿{y(t)} - 1 ~ (s¿{y(t) - y(0)} - y (t)} = O

.V H y(t)} -1 - L{y(0} - ^ y (0 } - MyO)} = o

-s -fL { y (t)} + (s^ -2 )L { y tl)} = l í¿y .

/ / —.*7 1

— ¿(X í)} -·--------L{y(t)} = — , ecuación lineal 'as s s

259


i W » ) - c | .

Por el teorema del valor inicial se tiene:

10 = y(0) = ìim y(t) = lim sy(s) = lim (—+ c.------) = 0

t - * 0 s~¥9> J-+00 S S

¡ /A ,luego lim —+c.------ = 0 =» c = 0 , entonces L{y(0) = ~ T , tornando la inversa se

s ·tiene:

My(OÌ = - T d e donde y(l) = L r ^ { \ } = t s s

: .y(t) = t . "· '■ ■ ' ■'«' ·' ■ ' '>'-■' *'

-‘;ri

10) Resolver la ecuación diferencial dada

iy* ‘ ( 0 + ( l - 2 0 y ( r ) - 2 > (r) = 0 , y (0 ) = l , / ( 0 ) = 2 '

Solución ^

Tomando la Transformada de L ^lace en la ecuación dada

I { i y (/) + ( 1 - 2 / ) / (i)-2>'(i)} = 0 , de donde :

- £ L { y ' ' ( l ) ì + L{y'(t)ì + 2 - ^ L i y ' ( i ) ì - 2 L { y ( m = 0 ds ds

- 4 lÀyit)} - « '(O) - J'· (Q) + Ìl{y(i)} - y{0) + (Sl{y(/)} - y(0)) - 2L{y(t)) = 0ds ds

260


-2sL{y(t)}-s^ 4 ¿W 0} + 1 + íiW O } - \ + 2L{y(t)}+2s-^L{y(t))-2L{y(t)} = O dx ds ,

- (s^-2s)^L{y{t)}-sL{y(t) ] = Qds .

~ L { y { t ) } . ^ ^ y m ,V ---- -- O, ¡ntegrando,· | — ----- - + ds+ í = InA '

L{y(t)i s^-2s J L{y(t)} J s-2

ln(I{.v(í)}) + ln(í-2) = lnA

In (Z,{y(í)}) + In ( ^ , de donde : In L{y(l)} = ~ ~ . aplicando el teorema del• s - 2 , s - 2

valor inicial se tiene; 1 = _v(0) = lim y{t) = lim sy{s) = lim _ Í !_ = ¿ entonces/~*0‘ s—»00 J-+0O.V —2

L{v(t)} = — tomando inversa v(í)=¿ ' {— = por lo tanto, la■ s - 2 ■ s - 2

solución es; y(t) = e ^ ' .

11) Para que valores de A y B se tendrá que F(0) = 1 , F ’ (0) = 3 siendo

f í (s ) = y ^ ( 0 = ·■J - í ; · i·;'?a., <’A

Solución _

Descomponiendo en fracciones H(s) se tiene;

s ^ + A s - B M ' N RH (s ) = ----- --------- --— + ------ + ------ , dedonde;s ^ - s V s - \ j + 1

s ^ + A s - B - B „ , , _M = l im --------------- = ------= B=> M = Bí-^<r,(j_l)(j+l) -1

s ^ + A s - B Ì + A - B “t r X + A - BN = I m --------------------------- ^ N -------------

í-»i .y ( j+ l) 2 " 2

261

„ s ^ + A s - B l - A - BR= h m --------------- = ------------I .v(.v-I) 2(.y+l)

, B Ì + A - B l - A - BLuego H ( s ) = — +------------+ ------------^ ,v 2 ( .v - l ) 2 ( i + l )

Fi,) - L - ' W ) Ì -s 2 ( s - l ) 2 ( j+ l)

F{0) = l = B +

2 2

l + A - B l - A - B

i i , , 'ii + 1

Además 1 = fi + 2 - — - 1 - — = 12 2

(verdadero), entonces

F(t) = B + ^ ■_ ^ e ‘ - - - — e ' para A=3 y para cualquier valor de B.

-Al13) Resolver la ecuación diferencial dada por:

H no-y" ( t ) + 2y'(t) = f ( t ) , y ( 0 ) = / ( 0 ) = 0,donde:

m =

1 si n < t < 2 n 0 si 0<t<7T0 si t > 2 n

Solución

La función F(t) es lo mismo expresarlo así

262

m -


o s i 0 < t < n

\ si n < t < 2 n ... r TI0 5/ Í > 2;r

Ahora la función fi(t) expresaremos en términos de la función escalón unidad.

f { t ) = p { t - j i ) - I n ) , à& donde

eL i m ì = ------ --------- .además L{y"(t) + 2y'(t)ì = L{f{ t) ìs s

Í ' L{y{t))-sy(0) - y ’ (0) + 2sL{y(t)} -2y (0 ) = Lif ( t) ]

+2s)'L{yU)] = ------------------------------------------------------- -----, de dondes

- 7CS ^ - 2itS€ —eL{y(t)) = — ^------------ , tomando la inversa

y(ty =:[ / - n - l + M i - n ) - l t - 2 a - l + ] / i ( i - 2 n )

N o t * ; - - } = l + e - ' - lj^ ( i+ 2 )

13) Resolver la ecuación diferencial dada por:

0 , t ^ 2,, , donde: X 0) = l , / ( 0 ) = - l

e , t >2

SolucléB

263

Encontraremos la solución para t ¿ 2 , L{— ^ + 4 — +4y(/)} = 0 , de donde;dt dt

L{y{t)} -,iy(0) - y' (0) + 4sL{y(/)} - 4y(0) + 4L{y(i)ì = 0 .

(s^ +4s + 4)L{y(t)] = 5 + 3, despejando L{y{t)}

.v + 3 ?= ~ ----- r» ahora tomando la inversa

( i + 2 ) '

y( t) , - ) = te~^‘ +e~^‘^ ' (s + l f

.1Ahora veremos la solución para t > 2.

d ^ y dy ,L { - ^ + 4 - j ^ + 4 y ( t ) ) =

(s+ 2 )^ L { y ( i)} -( i+ 3 )= — - /s + l

^{>"(0) = —— -------------------------------------------%--------, tomando la inversa^ (j+ 2 )^ (s+ 2)^(s + l)

y{t) = L + ------ ---------} - e + te + e^ (e’ ' - e - t e(j+ 2 )^ ( i+ 2 )(s+ l)^ '

Luego la solución de la ecuación diferencial es;' í

+e~^' “ . para t<2

^ | ( í + l)e“^' + - (/ - , para t > 2

264

14) Resolver la ecuación diferencial dado por

t x " ( t ) + x ' { t ) -a^ tx ( t ) = Q ,x{G) = k ,x '(0 ) = 0

Solución

Tomando la Transformada de Laplace

L{tx' '(t) + x '{t)-a^tx{t)} = Q = ^ L { x " ( t ) } + L{x' ( t ) } + a ^ ^ L{x{t)) = 0ds ds


- 4 ( i L{x{t)} - ix ( 0 ) - jc' ( 0 ) ) + ii{x(i )} - x(Q) + 0 ^ 4 = 0ds ds

d ’ d - 2 s L i x ( t ) ì - s ^ — L{x{i)} + xiO)+sL{x{t))-x{0) + a ^ ^ L { x { t ) ) = 0^

ds ds

„2 i , d- ( s ^ - a ^ ) — L{x{t)\-sL{x{t)} = Q ds

^ — — + - f - ^ = 0 , integrando ln (¿{ * (í)} + -ln ( j^ - a ' ) = lnc ^ \X v ) ì s - a *

In - a ^ L{x(t)} = Incentonces L{x{t)}

Aplicando teorema del valor inicial

selim - T" = lim x{t) = x(0) = k

lim = k = ^ c = kS->tX> I ^2

' H

265


ri s '17) Resolver para x ( í) ;F (0 = J { t - u ) ’’x'(u)du ,0 < ;» < 1

■■ KSoluctén

F{t) = - uyP x'(u)du = r P *jc'(t) , 0 < p < l

Tomando la Transfonnada de Laplace

L{F(t)] = L{t-P *x’(i)] = L{t '’ )L{x'(t))

si L{F(t)] = f ( s ) , entonces se tiene:

f ( s ) = L i t " }L{x\t)} = I Í ^ ( , x ( , ) - ; c ( 0 ) ) / ( , ) + I í ^ x ( 0 ) =s s

xL·) I Is r ( l - ;7 ) í s P T ( \ - p ) s

s P T ( \ - p ) s

F(í)*-^-----+ 4 0 ) = - " ^ ^ +x(0)r ( l - /7 ) r( /;) ;r

.·. ;c(í ) = F (í ) · í - ' + x(0)

x"(í) + y ( / ) + 3x(t) = I5e' y ’( 0 - 4 x '( 0 + 3y(0 = lSsen2/

18) Resolver sistema de ecuación diferencial

con las condiciones x(0) = 35 , Jr'(O) = -48 , y(0) = 27 , y '(0) = -55

268 ■


S2iM £!éa_

Tomando la Transformada de Laplace a cada ecuación.. .

L{x"{t)+y'U) + 2x(t)\ = L{\5e~'][ / ,{ / ' (/) - 4x ' \ t f+ 3> (f )} = ¿{15sen 2t]

L{x(t)} - sx(0) - X' (0) + - j (O) + 3L{x(t)) = 15 L { e '}

í2 l{> ^(t)} -í> ^(0)-/(0 )-4 íi{x(í)}+ 4x(0) + 3i:WO} = 15L{sen2i}

(.r+3)¿{x(t)}+s¿{y(í)¡ = 35.V-21 +

:î·

15 .9+1

-4 .ïl{x(0} + + 3)L{y(t)} = 27s - 1 9 s + ' - r ^■ s^ +4

Aplicando la regla de CRAMER se tiene:

15

L M O l·

35.V-21+-

27î -1 9 j +

j+ 1 30+ 4

- 4 ï i '+ 3

3 Q j _____ _____ _______s^+1 s ^ + ç " s+ l ' s ^ + 4

45 3 2j-+ ----- +-

30s 45j^ + 1 s ^ + 9 Í+ 1 s ^ + 4

.·. x (0 = 3 co si-1 5 sen 3 /+ 3 e“'+ 2 c o s 2 i ,

L{y(t)}

s^+3 35.V-21+— s+1 *■' .■ : ;

- 4 s 0"] C 1 Oc 4» 30L· ! A 173 1 “ & +4 ,30s 60 3 ‘ 2

s^ +3 s s^+ 1 s^+1 Í+ 1 .v^+4

- 4 s s^ +3

269



60 3 2 ,+ ----- - + -T:----- }

í^ + 1 j^ + 1 J+ J j^ + 4

·'· yíO = 3 0 c o s í-6 0 se n / + 3e ' +sen2/

19) Resolver el sistema 2x'U) + 2 x i t ) + y ' ( t ) - y i t ) = 3í

de■ f

ecuación diferenciales

, con las condiciones x (0 )= l, y(0)=3 x'(t)+ x ( t)+y '( t ) + y(t) = l ’ i ' '

Solución

Aplicando la Transformada de Laplace a cada ecuación

L{2x' (f ) + 2x(t)+y' (t) - y ( m = L{3/} L{x'{t) + x ( t ) + y ’{t) + y( t i]=L{l}

2sL{x(t)}- 2x(0) + 2L{x(í)\ + s ^ y { t ) ) - y { 0 ) - L{y(t)) ^ —s

sL{x{t)] - x(0) + L{x(t)i - y(0) + L{y(t)] = -s

«iCi,

2 (s+ l)L {x(í)}+(J-l)L {y(0} = — +55

( j + i ) ¿ W í ) } + ( i+ i ) iW 0 } = - + 4 ,s

,;:K

L{x{t)} =

7 - + 4 s

s -1

s + ls^ + 8 s^ + 4 s+ 3 1

2(s+ l) s -1 s^ (s^ + 4 s + 3) s^s + l s + l

2 3

x(í ) = ¿ - ' {-L - = í - 2e-^' + 3e' s + 3 s + l

s+ 3 s + l; ■ f

.·. x(t) = t-2e~'^' +3e~'

270



L{x(í)} =

2(.9+1) - + 5

Is+1 —+4

s ■■2(s + l) « -1

s+1 s+1

3s^ +5s^ - s - 3 ^ 3 s ^ + 2 s -3 ~ 2 í^ ís^ + 4 s + 3 ) s^(s+3)

y(t) = L í ------ Y * ---- r ) = l - í + 2eS^(S+3) ^ 1 5 ^ í+ 3

H'·--3/.·., >»(/) = l - / + 2 e ‘

20) Resolver el sistema de ecu^cMies diferenciales.

’ í y ’( f ) - x ( í ) + 5 y ( 0 - í , ..................... , · · .. , con las condiciones imciales siguientes.

x(0) =‘0, x' (0) = O, y(0) = 0. / (0) = O

Srtucién

Aplicando la Transfonnada de L ^lace a cada ecuación1

L{x"U)-x (¡ ) + 5 / ( t ) ] = L{t}L íy ' ' ( t ) - 4 y ( t ) - 2 x ' ( t ) ] = LÍ-2]

s^ L{x{t)\.- sxíO) - x' (0) - i íx ( 0 ) + 5sl{>'(í)} - 5j/(0) = —

s^ L{y(t)\ - s x(0) - x' (0) -4 ¿ W í)} - 2siL{x(í)} + 2x(0) = —s

(s^+ l)l{xíí)}-5sl{.y(í)} = 4 " s

-2si{x(/)}+,(s^ -4)L{y it) ) = - -

271



Aplicando el teorema de CRAMER

7- I .,= - 4

s 1 - 4

s ^ + l 5.V

- 2 s -4

.y (.v +l)(.v +4) ,9“ J-+1 ■v‘ +4

x(t) = L· --------— } = {/ + 5sen/-2sen2¡f}, r . r + 1 . r + 4

.·. x(f) = - í + 5 se n í-2 se n 2 /

L{y{t)) =- I s —

ss +\ 5s - I s - A

- 2 s ^ + A í 2fí íí(.v^+l)(í^ + 4) s . í^ + l .v^+4

s í^ + 1 .v^+4'

> (í) = í -2 c o s í+ c o s 2 í f

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciabs.

-} = í-2 c o s í + cos2í

21)

x' '{t) + 2 x ( t ) - y ' ( t ) = l í + 5 x ' ( t ) - x ( t )+ y ' { t )+ y ( t ) = - 2 í - \ O

con las condiciones iniciales x(0) = 3, x'(0) = O, y(0) = -3■

Solucién

Aplicando la Transformada de Laplace a cada ecuación.i

m

272



L{x"(t) + 2 x ( t ) -y ' { t ) ) = L{2t+5}L{x '{ t) -x ( t) + y '( t) + y(t)] = L{-2t -1}

js^£{x(í)}-.vJc(0)-x’(0) + 2I{x(í)}-íi{>'(0}+:>'(0) = L{2t + 5] J¿{x(í)} - x(0) - L{x(t)} + xL{y(0)-y(0) + ¿íy(t)} = ¿{~2t -1}

(s^ + 2)L{x(t)} - sL{y(t)} = 4 + - + 3 « + 3s

(s+l)L{x(0} + (s + l)L{yO)} = - 4 · - -

Aplicando la regla de CRAMER

2 5 , ,H— I-3.T+3 - s

3s^ +6s^ +7s^ +5.T+2

s ^ + 2 - s j - 1 s + l

s^(s^ +25·^ +S+2)

r , / 2 1 1 1 , , .L{x(0} = —+ - r - + ------+ -z----- , tomando inversa

s s+ 2 s ^ + l

x(/) = r ' { i + 4 + - ^ + - i ^ - }s s+ 2 s^+1

.·. jr(/) = 2 + i + e '^ '+ s e n /

Jigual modo se obtiene y(t) es decir.

.·. >'(0 = l - i - 3 e +COSÍ

273



22) Se conectan en sene una resistencm de R ohmios y un condensador de C faradios con un generador de E voltios (ver figura) en t = O la carga del condensador es cero. Hallar la carga y la corriente en cualquier tiempo t > O, si.

a) E - Eo constante b) Si £ = Er,e~"‘

§ o ju c |^

a) Dado del problema circuito R - C Resistencia = R ohmios

Capacidad = C faradios Generador = E voltios

en t = O, Q(0) = O, de acuerdo a la segunda ley de KIRCHOFF y condición del

problema se tiene: q = £o

transformada de Laplace se tiene;

dQ Q E q— + -----= ----- , ecuación lineal aplicandodt RC R

dO 1 En¿ { - ^ + - ^ 0 = , de donde

( S + ^ ) L { Q ( t ) } = ^ , despejando L{Q(t)} aC KÒ

L{Qit)) = · Eo ■, tomando transformada inversia.

274



— n - ' - ·.......

e ( 0 = £ , a i - e · " * ' ' ) corno ,dt R

' R

b ) Datos del problema.Circuito R - C , Resistencia = R ohmios

i Capacidad = C faradios , Generador = E voltiospara t = 0 ^ Q(0) = 0, de acuerdo a la segunda Ley de Kirchoff y condiciones del problema se tiene.

>

R I + 9 . = Eoe'“' , donde I = .C dt

Luego = de donde ¿

— i_ 0 (i)= :.£ 2 f— ecuación lineai aplicando transformada de Laplace dt RC R

se tiene; ' _'ì

dQit) 1

u m ) - 0(0) + L{Q(t)) = -RC /? ( j+ a )

( • i+ · ^ ) L{Q{t)} = . despejando L{Q(t)}AC /v(J+CZ)

EL{Q(t)\ = ---------- p ----------, tornando inversa

R { S + ^ ) ( s + a ) ’

275



Q^t) = I * {----------^2----- ^ (-------- J ----------,/ ? ( S + ^ ) ( s + a ) ^ ( S + ~ ) ( s + a )

KL· aC

CEo , i 1 CE o

23) Desarrollar el problema 22) para el caso en que E = Eq sento/ y la carga del condensador se a Qg.

Solucién

Datos del problema

Q(0) = Qo, E = E o s e n a t , Resistencia = R ohmios

Capacidad = C faradios, de la condición del problema se tiene.

dQ(t) 1 gpsenfflf .dt R C ^ R

apUcando transformada de Laplace se tiene.

^L{Q(t)} - 2(0) + L{Q(t)} = . - 2 - ^a C a .y f i)

1 Ec\Ct){S+— )L{Q{t)} = 00 + 1 ------2"’ ^W(t)}

rtC S +0)

276


On EnCaL[Q(t)} = — ■ + -------j----------------- , tomando inversa

g ( 0 = ¿~‘{ --------- }; de donde5 + ---- (S + ---- )(s^+o)^)

RC RC.■ '3,

-,/p r ^0 senoí (oR^C^e-"^^’Q(t) = Qc\e + ~ ;rl----- i—r~T ("T t:“ -® eos ú)í)+-------- 5—5—r"!7? ‘ i + ú,2 /j 2c 2 V l + '

coEoRC £ q coR^C^ c o s o)t-RCsen(ot- T < --------- T T Í W --------- '

24) Un inductor de L henrys y un condensador de C faradios están conectados en serie con un condensador de E voltios. En t = O, la carga del condensador y la corriente del circuito son nulos. Hallar la carga del condensador en cualquier tiempo t> 0 . '- i

a) Si E = E q constante b) E = £ 0« > O

soiijcióa

a) Datos por el problema

Inductancia : L Henrys '

Capacidad: C faradios

Resistencia : R = O, £ = £(, de la segunda ley de Kirchoff se tiene:

d m 1 í".¿“im + i f'/(r)rfr = V(t) , de donde dt c Jo

dlj t) 1 rdt LC-

apUcando transformada de Laplace se tiene

277


LC s Ls

( S + - ^ ) L { I ( t ) } = ^ , despejando L{I(t)} LCS LS __ '

■ J ■ ■.

EoL{Q{t)} ----------- j— , tornando la inversa

- iiifi ___ >t

di L / E

0(i) = -i^oC .coS(-j=^| + it paraQ(0) = 0 .¡RC

entoaces 0 = - E n C + k => k = E(,C

. · . Q(t) = E(,C

·■· 0(O = i^oC(l + c o s ( - ^ )

I*

- (i

278


b ) Datos del problema

Resistencia; R = O ; Inductancia : L Henrys


Capacidad ; C faradios , E = E qC " , a > O, para t = O, Q(0) = O, 1(0) = O, por la segunda ley de Kirchoíf se tiene: ^

dl{t) 1 r

aplicando transformada de Laplace

W ( 0 + - ¿ e ( í ) } = i í - ^ e - “'} , de donde ‘ ^

(j2 +.L·)L{Q{t)} = , despejando L{Q(t)}LC L(s-\-a)

¿'{0(0} ------------- -------j— * tomando inversa '■ U S + a )(S^+ — ) .

Eo , 1 E q , A Bs+D

( Í + « X S U — )

de donde efectuando operaciones se tiene

e , „ ,

25) Desarrollar el problema 24) si E(t) es EgS(t) donde 5(t) es la función Delta De Diroc.

Solucién

279



De las condiciones del problema se tiene.

L f I{r)dr = E , luegodt c Jo ;

d l U l ^ ldt LC·

aplicando transformada de Laplace se tiene.

i!v -sff ;íí

■t

■ i

. . . . .

dl(t) 1 f ' £:o^(í)

LC s L

{s + - ^ ) L { m ) = 4 ^ - , despejando L{I(t)} LCs L

^{^(0} = ----- — ' tomando inversaL(s^ + ---- )

LC

En 1 ' ' S '^0 t^ W = T ^ " í T ^ J = - c o s ( ^ )

■ ■ 'iC

como = /( í) = — cos( fi—) , integrandodt L V iC

r - .0 (í) = —^ ■ v / ^ s e n ( - = ) + Ar,paraQ(0) = 0 k = 0 ^

L .JLC ,, ;jí ,■■■ ■ ‘D I · 'a:

( - L · )V i c

■ -

280



26) Un inductor de 3 Henrys esta en serie con una resistencia de 3 ohmios y una f.e.m. de 150 voltios, suponiendo que es t = O, la corriente^ es Cero, halle lacorriente en cualquier tiempo t > 0.

Solucién ,' : · V·. ' '

Datos del problema.

Inductancia : 3 henrys, Re.sistencia : 30 ohmios,

t = 0 ,1(0) = O, f.e.m .; 150 voltios

1

L = E ,de dondedt

dl(t) R , E ^ ,-------+ — 7(í) = — , aplicando transformada

dt L L

L { ^ + y m ] = I { y } , de donde d t L L

■A

(j+-^)Z,{7(/)} = , de.spejando L{I(t)}L L o

281



W ( 0 } = ----- ^ n = — (— + tornando inversa . *

/

corno E = 150, R = 30, L = 3 se tiene

7(0 = 5(1- e ' " ' ) *’

27) Resolver el problema 26) si la f.e.m. es 150 sen 20t

Solución

Datos del problema: f.e.m. = 150 sen 20t

Inductancia = 3 Henrys ; Resistencia = 30 ohmios

su ecuación correspondiente es:

¿ . ® + ;?/(,) = £·, de donde dt

I( t) = — , aplicando transformadadt L L

¿ { •^ ^ + ■ 7 / ( 0 } = ¿{-7 }> entonces : - ■'dt L L .

s L { I ( í ) } ~ I ( 0 )+ ^ L { I ( t ) ) = p — } , despejando L{I(t)}

' ' ' ■

= ------ ñ-------------- > tomando la inversa( í + —)(j^+ 400) -

L

282


7(í) = iooor'{ 1

(.y+^)(j2 +400) L·

7(0 = 2«·“’' +2sen20/-2cos20<

28) Hallar la corriente l(t) que flu^e en el circuito de la figura mostrada, si se aplica una onda cuadrada con voltaje de altura Vq . Se supone que el circuito no esta

, perturbado antes de aplicar la onda cuadrada. > ^

V(t)

Soluclén

La ecuación del circuito es:

L .r ( t ) + R J i t ) + - ^ f n r ) d r = V(t)

del circuito L = O y aplicamos la transformada

L { R / ( t ) + - f H r ) d r } = LÍV(i)i c Jo

)}+— ¿{/(<)} = L{Vn(U, (í) - í/fc(í)} Co

1

( s + — )£{/(í)} = Fo(---------------)a C s

-------------- 1 1--------------'Ì1 1

! i ■ '' t)

' ! * . p i .J--------- 1 1----------- ► i '

------------ v w ------------

283

Ki(e~"'' — e ”** )^ H 0 } = — ---------------- . tomando la inversa

/?(.y+— )JiC

s + -JiC

s+-RC

1(0 =

0 , 0 < t <a

— e , a < t < bK

Vg _¿±- ^ { e - e ) , t > b

A 1

»Í·

284


4.8 Ejercicios y Problemas Propuestos.-

1), Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

a) ^ + 4 — +4x = 4e“^' , x(0) = -l , x '(0)'=4dt^ dt

Rpta. x{ t )= e (2í + 2í -1)íWi...

b) - t t + ^ = 6cos2í , x(0) = 3 , x'(0) = l dt

Rpta. x(t) = 5 c o s t - s e n t- 2 c o s 2 t

c) y ” (O - >^(0 = 5 sen 2í , y(0) = O , (0) = 1 ,

Rpta. y(t) = 3 senh x - sen 2t, " 1 I ■'

d) / ’( í ) - 2 / ( í ) + 2>'(0 = 2 c o s2 í-4 se n 2 / , y(0) = 0 , / ( 0 ) = 1

Rpta. y(t) = - cos 2t + cos t - sen tf ■' ■

e) .v” ( 0 - í / ( 0 + : > '( 0 = i , y(0) = i , / ( 0 ) = 2

Rpta. y(t) = 1 + 2t

f) //'(0+(-i-0/ ( 0+2Xí) = í-i , y(o) = o , y(0) = i

Rpta. y(t) = t *

d ^ y dy8) — ^ - 2 > ' = 18e ' sen3í ,y (0 ) = 0 , / ( 0 ) = 3

r f r dt

Rpta. ; = 2 e ^ '- 3 e " '- e ' 's e n 2 / + e“'co s3 í

285


d^ y d ^ y dy , j,h) - f - ^ + 4 - ^ - 4 y = -3e‘ +4e^· , y(0) = O , /(O ) = 5 , / ’(0) = 3

■ d r d r dt

o . 27 57 , 3 te ‘ e'Rpta. y = ------cos2 í+ — sen 2 í+ --------+ — + ----50 25 2 25 2 '

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

a ) ^ + 2 - f - l l ^ - 1 2 y = 4 , y ( 0 ) = / ( 0 ) = y ( 0 ) = 0dt^ dt^ dt ' ' ■

„ , e - ' 1Rpta. y = -------- ----- + ----------o21 21 3 3

b) í V ( 0 - 2 > '( 0 = 2 Rpta. y = - l - c t ^

c) y' ' ( t ) + 2 ty ' { t ) - 4 y i t ) = 6 , y(0) = / ( 0 ) = 0

Rpta. y = 3í^

d) y " ( t ) - S t y ' { t ) + l6y(t) = 3 , y ( 0 ) = / ( 0 ) = 0

Rpta. y = i ^

e) y " ( í ) - 4 t y ' { t ) + 4 y ( t ) = 0 , y(0) = 0 , / ( 0 ) = 10

Rpta. y = 101 .

*) ^ + 4 ^ + 5 ^ + 2 y = l0cost , y ( 0 ) ^ 0 , y (0) = O , / ’(O) = 3rf r dt^ dt

Rpta. y = -e~^' + 2e~^~ 2< e“' - cos < + 2 sen t

286

-8í


g) = s®"' · * 7(0)=>»'(0) = 0d r

1 ' e“ 'Rpta. y = —(sen t - cos t ) + -------(sen / + cos i )

8 8

·*> ^ - 2 ^ - % y = 0 , y(0) = 3 , / ( 0 ) = 6 ,d r d x ,,

Rpta. y = 2e*'+e~^‘

3) Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales.

a) / x " ( í ) - ( 4 / - l ) x ’(0 + 2(2í + l)jr(/) = 0 si x(0) = 0

. , ■ ■ . · ■ --rr '

Rpta. jc(í) = ---- .

d ^ y dy ■— ^ + — ■

dt^ dx·» x ^ + ^ + xy :.Q . y(0) = l , / ( 0 ) = 1

Rpta. y(0) = k J o { x y =

c) tx ' '{ t ) + x ' ( t ) - a ^ t x ( t ) = {i , x (0 )* k . x'(0) = 0 . a # 0

Rpta. x(t) = cIo(at)i "

d) Resolverpara V(t), si \ v ’( t )V( t-u)du = 24t*, y ( 0 ) ^ 0Jo

Rpta. F(/) = ±12í^

e) t x " i t ) + 3x'it) + tx(t) = 0 si x(0) = - j Rpta. x(t) = ^ ^

287


f ) í V ’ ( O + (2 /^ + O y (O + (2 /^ + /- l)> '( /) = 0 , siy(0) = 0 , y (0 ) = l

Rpta. y( t ) = e~'Jx(t) ^■ ■■ i r ■ ■'

g) y ' " ( t ) - 6 y " ( t ) + ì2 y 'U ) - Ìy { l ) = t 'e^ ' +Uy(0)=l, y' (0) = - l . y ’(0) = 2

Rpta. =

h) t^V' 'U) + t V ’it) + (t^ - ì )V U ) = 0 , V (l) = 2

Rpta. =^,(1) .


a) y ’(í) + 4í(í) = 9í , y(0) = 0 , y (0 ) = 7

Rpta. y ( í ) = y + Y s e n 2 < .

b) y ( 0 - 3 y ( 0 + 2 y (0 = 4 í + 12e-' , y(0) = 6 , y (0 ) = - l

Rpta. y(/) = 3 + 2 í+ 2 e ' '- 2 e ^ '+ 3 e ' ;

■c) y '(0 -4 y (0 + 5 ;^ (0 = 125/^ , y(0) = y'(0) = 0

Rpta. y = 22 + 40/ + 2 5 /^ + 2 e ^ '(2 s e n /- l lc o s í) !

d) / ' ( / ) + y(f) = 8cosí , y (0 )= l , y(0) = - l

y*- -Rpta. y(í) = c o s í- s e n i + 4 ísen r ‘


288

e) ' y " i t ) - 3 y ' ( t ) + 2y{í) = 4e^' , -*

. Rpta. y U ) = C i e ^ ' + C 2C‘ donde Cj = / ( 0 ) - ; ^ ( 0 ) - 4 , C2 = 2> »(0)-y (0 )+ 4 ' ^

f) y"{t ) + 9y(t) = m , y(0) = 0 , y ( j ) = 0

Rpta. y(t) = 2t + n sen 3t

g) y' ' (t ) + 4y = F(t) , y(0) = 0 , / ( 0 ) = 1

Í1 , 0 12 4

h) / ’(í9 + 4y(0 = /^(0 1 y(0) = 0 , / ( 0 ) = 1 si F(t) = U (t-2 ) .

Rpta. y{t)= + - j(c o s (f-2 )- l) s i t > 2

1) x'(t) + 3x(t) = e~^‘ , M0) = 0 Rpta, x(i) =

J) x ' ( t ) - x ( t ) = c o s t - s e n t , x(0) = 0 Rpta. x(t) = sent

k) x '(/) + x(i) = 2seni , x(0) = 0 Rpta. x(t) = e-* - c o s t + sent

'Y: '■

2x'(t) + 6x(t) = i f ^ ‘ , x(0) = - | Rpta. x ( t ) = ^ - ^ e -2

t ■


a) x' ' ( t )+x(t ) = 2e' , x(0) = l , x’(0) = 2 Rpta. x(t) = e '+ sen t

289


b) x '( í) -3 x ( í) = 3 í^ + 3 /^ + 2 í + l ,x (0 ) = -l Rpta.

c) x" ( t ) + 2x'(t) = U t - U e - ^ ' , x(0) = 2 , x’(0) = - ¿7 4 56

Rpta. x(i) = 2 - Ì Ì ^ i m e - 2 ' (i:56

d) / ' ( 0 - 3 / ( 0 + 2>'(/) = / ( 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0 , fl[t) = U ( t - l )

Rpta. y(t) = (— ------

e) t y " ( t ) + ( l - 2 t ) y ' ( t ) - 2 y { t ) = 0 , y ( 0 ) = l . / ( 0 ) = 2

Rpta. y{t) = e^' .

f) t y " { t ) + { t - \ ) y ' { t ) - y ( t ) = Q , y(0) = 5 , / ( 0 ) = 0i . , ,

Rpta. y(i) = 5e~‘! . . .


a) / ’’(0 + 6 y '( í) + 1 2 /( í) + 8y{í) = 0 . y(0) = 4 , y (0 ) = -12 , / ' ( 0 ) = 34■ - ' * · ■

b) y ”(t) + 2y' i t) + 5y(t) = e ' sent , y{0) = 0 , / ( 0 ) = 1■í&.· ■ ■

c) y"-3y'+2y' = 4( + e^‘ , y(0) = 1 , y'(0) = -1

d) / " ( 0 - 3 / ’(0 + 3 / ( 0 - y ( 0 = 0 , y(0) = l , y (0 ) = - l 1 y '( 0 ) = - l

e) / ' ( / ) + 2y' (t) + 5y(0 = sen / , y(0) = 0 , y ’ (0) = 1

f)^" y ' " { t ) - 3 y ' ' { t ) - 4 y { t ) + l2y{t) = l2e- ' , y(0) = 4 , / ( 0 ) = 2 , / ' ( 0 ) = 18

290 -


fb ,a) P \ x(t -u)x{u)du = 2 x ( t 9 - senpt , p?tO Rpta. x{t) = Ji{pt)

Ja

b) Si L{F(t)} = H(s), resolver para x(t) la ecuación diferencial x"(t ) + 6x'(t) + lx{t) = F(t) sujeto a jr(0) = x'(0) = O

Rpta. x{t) = F(t) *^ s e n h (V 2 í)V2


.c) y"U) + yU) = F(t) , donde y(0) = 0 , y' (0) = O3Jt

F (í) =

O , /< ·2.

3n Sncosr , — < í< —

2 2

O , í> -

Rpta. y(t) = — (cos t. sen 2/ - sen / - cos 2» + sen t - 2í cos í) 4

d) Jox ’’(u)x ' ( t -u )du = x ' i t ) - x ( n si jr'(0) = x'(0) = 0

Rpta. x(/) = í - y

e) e “ cos2(t-u)x(u)du = e ' ( x ' ( t ) + x ( t ) ) - l ,x (0 ) = 0Jo

Rpta. x(/) = y - 4 í e '

y' ' ( t ) + 2 y ( t ) + 2 y ( t ) = e' , y(0) = 0 , / ( 0 ) = 1

e ' e - '

291

g) y ( / ) - 3 y ( o + 3 y ( í ) - > ' ( 0 = < V . y ( 0 ) = i , y ( 0 ) = 0 , y ” (0 ) = - 2t t e

Rpta. y - e ' - t e ' ----- e ' + ------2 60

h) y" '{ t ) + y"{t ) + Ay'(t) + 4y{t) = -2 , y(0) = 0 , / (O ) = 1 , / ’(0) = -1' r'· ■

« . 1 e ' 3 3 ^Rpta. y = ------ 1-— - + — cos2í + —sen2í2 5 10 5 ,

8) Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada deL ap la c e ./ '( /) + a y ( í ) + i8y(í) = 0 donde a = 6, P = 9, y(0) = 0 , y (0 ) = 0

9) Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada deLaplace. y ”(t) + a y ' ( t ) + Py( t) = Q{t) donde a = -I , p = -2 , y(0) = O ,

y'(0) = 0 , Q(t) = e'+e~^'

10) Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada de Laplace.F(í)y"(t ) + R(í)y'(t) + S{ny(t) = Q(t) , donde y(0) = O , / ( O ) , F(t) = 4 t ^ ,

5(í) = ( í ^ + l ) ^ Q(t) = 0. ■

11) Resolver la siguiente ecuación diferencial mediante Transformada de Laplace.

y " ( t ) - 3 y ' ( t i + 2y{t) = f ( t ) donde / ( í ) = · ®1 , í > l

, y(0) = / ( 0 ) = 0

Rpta. y(t) = (·

12) Resolver la ecuación diferencial dado por:

t y " ( t ) + 2y'(t) + ty ( í ) = 0 , y(0^) = l . y(n) = 0

senrRpta. y(í) = ·

292

y ' (0 - 4y' (t) + 5y{t) = V(t ) , y(0) = 1 , / (0) = 1

14)

15)

donde V(t) =e cosí , 0 < t < 2 n

O t > 2 n

Rpta. j/(í) = e ^ ' c o s í - s e n í +t e sení e

- (í - 2/r) sen í. í/( í - 2;r)2 ' 2

Utilizando Transformada de Laplace resolver la ecuación diferencial

í , í <1 ( 2 - í ) . l ^ í ¿ 2

O , í> 2y'+2y + \^y{t) = f ( t ) , donde / ( í )

sujeto a la condición inicial y(0) = 1

Resolver la ecuación y{t) = 4 sen í - sen(í - u)du

Rpta. y{t) = sen V3 í v3

16) Resolver el problema siguiente de valor inicial

y'{t) + 2j^(í) + f^y(u)du = / ( / ) , y(0) = 1 donde f es dado por el gráfico.

293


17) Resolver el siguiente problema de valor inicial. ì m f /.-'■'‘fe,

/ ' ( í ) + 4>'(í) = sen í-C /(/-2«^).sen (/-2 ;r) , ^^D) = y '(0) = 0 ^

Rpta. y(f) = —(-se n 2 í + 2 se n í)+ —(s e n 2 í-2 s e n í)y ( í-2 ;r )6 6 ' ■ .

18) Resolver la ecuación diferencia

x"(/)-2x"(0 + 5x(í)=fee^^{4cos3ifífl8sen3í) , x(0) = 2 , Jc'(0) = -1


x' '{ t)+n^x(t) = a s ñ n p t , x(0) = l ,r '( 0 ) = 3 n,p constantes positivos, n^ tp

20) Resolver la ecuación diferencial.

ty ' ' ( t ) + y '(t) + ty (t ) = 0 sigeto a las condiciones iniciales y(0) = 1, / ( 0) = 0

21) Resolver la ecuación diferencial'■> ' " iiV · · ■ . ··'■ '·' ' ' " ' ■

t x' ’(í) + x ’( / )+ 4í x(t) = O, con las condiciones iniciales x(0) = 3, x' (0) = O

22) Calcular L{Ji(í)} y usando el resultado obtenido, resolver la ecuacióndiferencial x ' ’(t) + x(t) = (t) si x(0) = 1 , x' (0) = 4 donde L{x(t)} = x(s)


t ^y ' ' iO + t y ' i t ) + { t ^ = l ) y ( t ) ^ 0 , s iy (0 )= 0 , /X 0) = 1s ; 2

24) Resolver f x ' ' ' ( u ) x " ( t - u ) d u = 24t^ si x(0) = x'(0) = x” (0) = OJo '

294



25)

26)

Resolver la ecuación diferencial V

tV' '{ t) + { t - i ) V ' ( t ) - V ( t ) = 0 si V(0) = 5 y V(oo) = 0

Resolver la ecuación x"{t) + 2x' (í ) + x ( t ) - F { t ) , x(0) = x(0) = 0 si F(t)esta dado por el gráfico adjunto.

f ( t)^i

> 0 7t ^ fm 4 0 0 *

27) í ^ x " ( 0 + t(2t + l)x'(O + ( 2 t ^ + t - l)x(t) = O . x(0) = O , x'(0) = -

28)

29)

x' '(t ) + 3x' (í) + 2x(t) = 3í sen 3/ , Jt(0) = x’ (0) = O

x' ' (t ) + 3x'(í) = l - 2 U ( t - 2 j r ) , x(n) = 0 , x ' (n) = - l

30) x ' ' ( t ) - x ' ( t ) = H(t) , x ( 0 ) = l , x'(0) = 0 si H(t) esta dado por el siguientegráfico.

295


31) t x " { t ) + (2t + 3)x'(t) + (t+3)x(t) = e ' · si x (0 )=l

32) ty ' ' ( t ) + y '( t) + ty (t ) = 0 , y(0) = 1 , / (O ) = 0

33) x" (í) + (2í - 3)x' (í) + 2x(í) = O si x(0) = 1 , x' (0) = 3

34) x" (í) + í x’ (/) + x(í) = O , t > O, sujeto a las condiciones iniciales x(0) = 1 , x'(0) = 0

35) x ''( í) + 3x'(í) = 1-2C/2(í) sujeto a las condiciones x(n) = 1 , x'(7r) = - l!

36) i í - t ^ ) y " ( t ) + 2 y ' { t ) + 2y i t )=6t . si y(0) = y(2) = 0, - ■ · ' . '-yi ■

37) t ^ y ' ’(t) + t ( l - t ) y ' { í ) - { l + 3t)y(t) = Q sujeto a la condición y(0) = 1 ,/ Í 0 ) = 4 y , ^ ; ■

38) Resolver la ecuación diferencialO si O < X < ;r

/ ’+4y = / ( x ) si / ( x ) =


, , . y ( 0 ) = l , / ( 0 ) = 11 - sen 3x SI X > ;r

Rpta.

/ ( x ) = cos2x + —[1 -c o s 2 (x - k )\U{x - n ) + — + — sen3(x - k )U{x - n )2 4 5 10

39) Hallar la función y = f(x) tal que:

/ (x ) = 2 J ^ / (u ) co s(x - u )du =

e ^+ e-^Rpta. y = ------------- xe ^ = c o s h x - x e ^

296

a)

40) Resolver las ecuaciones diferenciales.

y " - y = j f ^ e " u ^ d u , y ( 0 ) = y ’(0)=0

„ ■ e \ x ^ 9 2 2\ 45, ,Rpta. v = — (--------- X +— X ------ ) + l -----r*

' 6 3 4 4 8 16

b) / ’+2/+2>; = / ( / ) donde / ( / ) :

O , 0 < í < ;r I

e~' cosí , i t < t l n

Rpta.

y = e"'Lv(0)cosí + {yiQ) +y(0))sení 1 + · ^ (í - n)U(t - n ) - ¡ ^ ( t - 2Tr)seníJÍ/(í -2 ;r)

y'+2y + 2 Í y ( t ) d t - / ( t ) donde f ( t ) :°(> .1

Rpta.

e * cosí , 0< í < ;r O , t > n . y(0)

(í sen / - sen í + / cos/) ' , 0 < t < n

e~' e '— ( ís e n í - s e n í + co sí)+ ----- [ ( / - ff)(cosr-sen í) +senr] , t > n

2 >2

d) y ^ y + 5 > ' = / ( r ) , y(0)

e^' senr , 0< r < 2;r O , t > 2 n

/ ( 0 ) = 1 donde

m

Rpta.e^‘ c o s r -e ^ ' senr + e^

rsenr, 0 < r < ;r

e co&í-e sení + ffe senr , t > 2 n

297


41) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenpiales. ;

{ x ' ' { t ) -3 x ' { t ) -y ' { t ) + 2y{t) = \At + 'i *

b>

Rpta.x{t) = 2 - — - i - -

2 2

y(í) = 7í + 5 - e '+ | e · ^ '

2x'{t) + 2xU) + y ( t ) - y ( t ) = Zt x \ t ) + x{t) + y { t ) + y(t) = \

Rpta.

, x (0 )= I , y(0) = 3

íx(t) = t + 3e-’ -2e-^ '

y(t) = l - t + 2e - í t

c>x' ' (t ) + 2 x { t ) - y { t ) = 2t + 5

Rpta.x(í) = í+ 2 + e ^ '+ sen í

y(í ) = 1 - í - 3e~^‘ - cos í

x ' ( t ) - 2 x ( t ) y ( t ) - y i t ) = 6e^’

2x ' ( t ) -3x( í ) + y ( t ) - 3 y ( í ) = 6e^, x(0) = 3 , y(0) = 0

Rpta.Íx(í) = (l + 2 í)e '+ 2e^ '

e)

dx -V----- + X + y = 2edtdy

^ + . - 4 , = l, x (0 )= l ,y (0 ) = 2

298



g)

h)

Rpta.

" 2 40 8 10

2 ^ + ^ - x - y = e- ' . x(0) = 2 dt dt

^ + ^ + 2 x + y ^ e ' , 7(0) = 1at at

Rpta.

X = 8seni + 2cosi

e' e 'y = -1 3 se n i+ COSÍ

d ^ x dx dy— - Z — + + 2 x - y = 0* e , x(0) = 0 , y(0) = -l , x ' ( 0 ) = rdx dy ^ „— + — -2 x + y = 0 dt dt ^

x = 2e‘ - e ^ ’ - I

y = e' - 2Rpta.

[ y = e -

y'+y+2z'+3z = e ' '3>''-y+4r'+z = 0

y= 5 e · - 3 e - ' - 2 e ~ ^ '

, y(0) = 0 , z (0 )= l ( ,

Rpta.z = e-^' +

2e- - e

42) Resolver el sistema de ecuación diferencial.

' ty{t) + z(t) + tz ' ( t ) = ( t - l ) e - '

y ' { t ) - z i t ) = e ' z(0) = -l

sujeta a las condiciones iniciales: y(0) == 1,

299



43) Resolver el sistema de la ecuación diferencial

¡2x ' ( t ) -3y ' ( t ) = 2e‘ , x(0) = 2 x ' ( í ) - 2 y ’(t) = 0 , y(0) = l

Rpta. x{t) = 4 e ' - 2 , y{t) = 2e‘ - l

44) Resolver el sistema de la ecuación diferencial

Íx '(í) + x(í) + 2y(í) = 0 , x{0) = i\3x(t) + 2y(í) + y ' ( t ) ^ 0 , y(0) = 2

6 1 9 e'R p». . M O - j r j T + T

45) Resolver el sistema de la ecuación diferencié.

46)

^ = 2y + e* , ac(0) = l at

^ = %x- t , y(0) = l at

Resolver el sistema de la ecuación diferencial.

x - 2 y , x(0) = - l

, /(O) = 2

dt

dt

Rpta. x = -3 co s3 í-- jsen 3 í , y = 2 co s3 í-- jse n 3 í

300



47) Resolver el sistema de la ecuación diferencial.

2 ^ + - 2 x =\ , x(0) = 0dt dt

Í L + ± - 3 x - 3 y ^ 2 , 7(0) = 0 dt dt

5* 5 2/ ^ 3 / ^ 2 / ^Rpta. . = - 2 e - + - e - - - ,

48) Resolver el sistema de la Ecuación diferencial.

d^x,,a

dt^

d^ ydt '

+ x - y = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = -2

+ y - x = 0 , y(0) = 0 , / ( 0 ) - l„ - Sí· « j . Wi;·· "

Rpta, x = - ^ ~ ^ i ¡ 2 s e n 4 2 t , y = —j+ jV ? s e n V 2 t


, x(0) = 8 , x'(0) = 0dt^ ' dt^ d ^x d ^ ydt^ dt^

= 4í . y{0) = 0 , / ( 0 ) = 0

301




+ 3 ^ + 2 y = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = 2dt^ dt

2 +3y = t e ' ‘ , y(0) = 0d ^xdt

t 1 1 1 Rpta. x = — +t + \ - e ^ ‘ , y = — + — e~'+ — te~‘

2 3 3 3

t i » ;

'V i i


a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente a lascorrientes /^(í) e 13(1) de la red mostrada en la Figura, es

L i ^ + R Í 2 + R h ^ E { t )dtdu -

L j ------y R12 ^*3 = E(t)dt

b) Resuelva el sistema de la parte (a) si R = 5Í2, Z,, = 0.01 , Li = 0.0125 , E= 100V, i2(0) = 0 e Í3(0) = 0 .

’ t ¡f"c) Determine el valor en amperes (A) de la corriente íj {/).

' ‘ I.

AAArR

Rpta. , i i - 2 0 - 2 0 « - ’“ '

302


51)

a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente a las corrientes /^(O 6 /3 (0 de la red mostrada en la figura es.

L ^ + L ^ + R ^ Í 2 ^ E ( t ) dt dt

di 2 di· 1 ■\>- R , - T + R T —r + - x h = ( idt dt C

b) Resuelva el sistema de la parte (a) si R¡ = 1 0 Q , L ^ = \ H , C = 0.2 F,

£(0 =120, 0 < í < 2O, í >2

)

c) Determine la corriente í, (í) en amperes (A).

/ T T T ^ .

303

A P E N D I C E


DERIVADAS ELEMENTALES " , ^

1) y ^ f ( x ) = c ^ ^ = f ' ( x ) ^ 0dx :

2) y ^ ^ ( x ) = c = > ^ = ^ - ( x )‘ dx ■ , ■

dy ■'3) y = n x ) ± g ( x ) = ^ - r = f ’( ^ )± s l x )

dx) „--í..:.·· . ,V:. 'S,r·,· ,' ■

4) >- = / ( x ) = ac" => — = / ' ( x ) = nx" ' ídx ’

5) 3 = f(x)· g(x) = r ix) g(x) + f(x)· g' (x)dx

„ f ( x ) dy ^ w . / ' ( i ) - / ( x ) . y w6) y = --------=> — = ------ -------------5------------g(x) dx g{x)

7) y = ( J i x ) r = > ^ = n { f { x ) T - \ r { x ), , t t

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS 1

■■ . f

1) y = sen(/(x)) => ^ = c o s ( / ( x ) ) / ’( x ) .........................djc

2) y = c o s ( /(x ) )= > -^ = - s e n ( / (x ) ) . / '( x )¿£C

3) 3' = t g ( / W ) = > ^ = s e c '( / ( x ) ) . / ’(x)dx

304



4) ,v = c tg ( / (x ) ) => — = - c o s e c ' ( / ( 4 ) i / ' ( i ' )dx

dy5) 3’ == sec(/(x )) => — = s e c ( / ( x ) ) . tg ( / ( m / '{ x )

dx

dy6 ) .. còàecij ix)) ^ - ^ ^ - c o s e c ( f ( . x ) ) . c t g { f ' ( x ) ) . f ' { x )

' dx «'·"

dy f ' ( x )7) V = are. s e n ( / ( j : )) ^ — ; = ■

- / (x)

i /y - f ' { x )8 ) V = arc.cQsif (x)) => — = =. ■= :

dx y l l - f - ( x )

i/j / ’(·«)9 ) v = a r f . t g ( / ( j c ) ) = ^ — = — -------

* k j i\ì

dx 1 + / ( x ) ' ’ V

11 ) y -a r c . s e c i f ( x ) )

dx ì + f " i x )

dy f ' { x )

dx

12) y = arr.cnsec'i f ( x ) ) :=>— ='

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 7 /

dy iog,. e i1) y = i o g „ ( / U ) ) = ^ ^ = - ^ . / ’(x ) ,- ^ 0 , 1

, . ■ ' dx f ( x ) ■ » i.

i ' _ ,

dy f ' ( x )2) 7 = ln ( /(x » ^ .. - ■ : ==. ■." -·■ . = ■ v'íf.

„ dx f ( x ) ...' , u /


3) = — = a ' ‘^ ' . Ä a ; / 'U ) . , ' tdx

dx

5) y = i f { x f ^ ’‘ ^ — = g ix){ f{x)y^^^ -y . f ' (x ) + ( f { x ) f ^ ^ ' i n { f { x ) ) .g ' ( x )dx

_ t

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS

dy ..1) }’ = 5εηΗ(/·(χ)) ^ — = co sh ( /(x )) ./ '(x )

dx

2) >’ = cosh (/(x )) =>— = senh(/(x))./ '(J:) ’dx

3) j = tg h (/U ))= ^ — = s e c / t ? ( /W ) . / ’(À) ■dx

4) >- = c tg h (/(x )) => — = -c o se c A ^ (/U )) ./ '(x ) >j ·dx : r

dy5) 3’ = sec /i(/(x )) => — = -secA (/(ac)).tgh (/(x ))./ '( .ï) ,

dx, . V, . . . „ - . ,

6) y = cosehif(x )) => — = -c o sech ( f ix ) ) .c tgh ( f (x ) ) . f ' { x )dx

f ' M n .'Í·· '-iU m :7) J = arc. senh(/(A:)) =>— = —= = = =^ V / ' W + l ' Ϊ Ι ν Π ' U

dy ± f ' { x )8) )’ = arc. cosh(/ ( x)) =» —

■ r H

V / U ) - l

dy f ' ( x ) ,v*9) y = arc. tg h (/ (jc)) => — = ‘ , - < f(x)< 1

dx l - f (x) ' (

306


dy f ' i x )10) 3 = are. c tg h (/ (jc)) => — = -------------, (f(x)) > 1

dx í - f \ x ) ^

dy i f ' i x ) -11) j = a re .sec /i(/(jc» =>— = —

^ f ( x ) 4 l - f m

12) y = are.cos ech(f(_x)) =^— =

12)

1 4 )

dx ‘ \ f ( x ^ l + f ^ - i x )

TABLA DE INTEGRALES

1) j a d x = ax + c 2 ) ' j k f (x)dx = k j f (x)dx

3) j d ( / { x ) ) = f ( x ) + c

4) j ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = j f ( x ) d x ± j g ( x ) d x '

5) \x ' 'dx = ------- i-c, n ? t - l 6) \u"du = ------- he,J «+1 J n+1

7) j — = £„jy| + ¿. 8) J c"í/m = e" + c

9) í a “du = - ^ + c , a > 0 , a?>tlJ Ina

f du 1 u ( duJ l - - 2- = - a r c t g - + c 11) -5- - 5- =J a +u a a J u~ - a

du 1

2aLn

u - au + a

+ c

r du _ l j a^ - 2a

J du

Lnu + au - a

+ c ...V C du13) I 7 - r = arc.sen(—) + c

= Ln u + Ju^ +a^ + c 15) J -4 ' '

du■ = Ln u + yju^-a^ + c

307



17)

18)

19)

21)

23 )

25 )

2 7 )

29 )

3 1 )

33 )

35 )

3 7 )

3 8 )

16)

308

ί - u^du = —·\Ια^ ~ + — arc. sen — + cJ 2 2 a

f - a ^ d u = —^Juî —a^ - — Lnu + -\lu - a J 2 2

+a^du = —4u^ +— Lnu + yju^ +a^2 2

+ c

+ c

sen udu = - cos u + c 20)

tg udu = —Ln cos u + c 2 2 )

con udu - senw + c! . . ■. ft·:

c tg udu = Ln sen u + c

sec udu = Ln sec u+.tgu\ + c 2 4 ) cos ecudu = Ln cos ecu - c t g u + c

sec udu = tgu + c 2 6 ) cosec'udu = -c tg u + c

sec u tgu du = sec u + c 2 8 ) cos ecM. c tg mc/« = - cos ecu + c

senh udu = cosh u + c 3 0 ) cosh udu = senh u + c

tgh udu = Ln cosh u + c 3 2 ) c tgh udu - Lnjsec hu +c

sec h^udu = tgh u + c 3 4 ) co&ech^udu = -c tg h u + c

sec hu. tgh udu = - sec hu + c 3 6 ) J cos ech m, c tgh udu = — con ech u + c

a^ + b

- + c

+ c



BIBLIOGRAFIA

1. Matemática Superior para Ingenieria por: C.R. WYLLER.TR.

2. Transformada de Laplace por: MURRAY R. SPIEGEL.

3. Introducción to the Laplace Transfor por: HOLL, D.C. MAPLE Y B. WINDOGRADE.

4. Matemática avanzada para Ingeniería por: ERWIN KREYSZIG, Tomo I, Tomo II.

5. Matemática avanzada para Ingeniería por: PETER V. ONEIL

6. Ecuaciones Diferenciales y problemas con condiciones en la frontera por:C.H. EDWARDS, Jr.DAVID E. PENNEY.

7. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones por: DENNIS G. ZILL.

8. Introducción al Análisis Lineal por: KREIDER - KULLER - OSTBERG - PERKINS.

9. Ecuaciones diferenciales con Aplicaciones por: WILLIAMS R. DEREICA - STANLAGI - GROSSMAN.

10. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la frontera por: WILLIAM E. BOYCE - RICHARD. C. PRIMA.

11. Ecuaciones Diferenciales Elementales por: EARL D. RAINVILLE.

12. Curso de Matemática Superior Tomo IV por: J. QUINET.

13. Ecuaciones Diferenciales por: KREIDER - KULLER OSTBERG.

14. Ecuaciones Diferenciales Por: SHEPLEY L. ROSS. x

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Transformada de Laplace [Eduardo Espinoza Ramos]

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