Algebra Lineal 2015Practica 3: Transformaciones lineales.

1. Determinar cuales de las siguientes funciones son transformaciones lin-eales:

(a) f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (2x1 − 7x3, 0, 3x2 + 2x3).

(b) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1 − x2, 2x2, 1 + x1).

(c) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (sen(x), y).

(d) f : C→ C, f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorialy como C-espacio vectorial).

(e) f : R2x2 → R, f(A) = a11.a22 − a12.a21.(f) f : R2x2 → R2x3,

f(A) =

(a22 0 a12 + a210 a11 a22 − a11

)(g) f : R[X]→ R3, f(p) = (p(0), p′(0), p′′(0)).

2. Interpretar geometricamente las siguientes aplicaciones lineales f :R2 → R2.

(a) f(x, y) = (x, 0).

(b) f(x, y) = (0, y).

(c) f(x, y) = (x,−y).

(d) f(x, y) = (12(x+ y), 12(x+ y)).

(e) f(x, y) = (xcost− ysent, xsent+ ycost) con t ∈ R fijo.

3. Probar que las siguientes funciones son transformaciones lineales:

(a) tr : Knxn → K.

(b) t : Knxm → Kmxn, t(A) = AT .

(c) f : Knxm → Krxm, f(A) = B.A donde B ∈ Krxn.

(d) D : C2(R)→ C1(R), D(f) = f ′.

(e) I : C([0, 1])→ C([0, 1]), I(f)(x) =∫ 10 f(t)dt.

(f) Ev : K[X]→ K, Ev(f) = f(v) donde v ∈ K.

4. (a) Probar que existe una unica transformacion lineal f : R2 → R2

tal que f(1, 1) = (−5, 3) y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f , deter-minar f(5, 3) y f(−1, 2).

(b) Existira una transformacion lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) =(2, 6); f(−1, 1) = (2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)?

5. T : V → V una transformacion lineal.

(a) Sean {v1, v2, v3} vectores de V linealmente dependientes. Ex-plique porque el conjunto {T (v1), T (v2), T (v3)} es linealmentedependiente.

(b) Muestre que si T mapea 2 vectores linealmente independientessobre un conjunto linealmente dependiente entonces la ecuacionT (x) = 0 tiene una solucion no trivial.

6. Sean V,W espacios vectoriales sobre K, {w1, .., wn} vectores lineal-mente independientes de W ; v1, ..., vn ∈ V y T la transformacion linealdefinida por T (vi) = wi para i ∈ {1, .., n}. Probar que {v1, .., vn} eslinealmente independiente.

7. Sea V un K-espacio vectorial. Mostrar que la funcion identidad idV :V → V es K-lineal y que la composicion de funciones lineales es K-lineal.

8. En cada uno de los siguientes casos definir una transformacion linealf : R3 → R3 que verifique lo pedido.

(a) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y dim(Im(f)) = 1.

(b) Nu(f) ∩ Im(f) = {(1, 1, 2)}.(c) Nu(f) ⊆ Im(f).

(d) f 6= 0 y f ◦ f 6= 0.

(e) f 6= Id y f ◦ f = Id.

(f) Nu(f) 6= 0, Im(f) 6= 0 y Nu(f) ∩ Im(f) = 0.

9. (a) Calcular el nucleo y la imagen de cada una de las tranformacioneslineales de los Ejercicios 1 y 2. Decidir, en cada caso, si f esepimorfismo, monomorfismo o isomorfismo. En el caso que seaisomorfismo, calcular f−1.

(b) Clasificar las transformaciones lineales tr, t y Ev del Ejercicio 3en epimorfismos, monomorfismos e isomorfismos.

10. Sean f : R3 → R4, f(x1, x2, x3) = (x1+x2, x1+x3, 0, 0) y g : R4 → R2,g(x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, 2x1 − x2). Calcular el nucleo y la imagende f , de g y de g ◦ f . Decidir si son monomorfismos, epimorfismos oisomorfismos.

11. Sean g : V → V ′ y f : V ′ → V ′′ transformaciones lineales. Probar:

(a) Nu(g) ⊂ Nu(f ◦ g).

(b) Si Nu(f) ∩ Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f ◦ g).

(c) Im(f ◦ g) ⊂ Im(f).

(d) Si Im(g) = V ′, entonces Im(f ◦ g) = Im(f).

12. (a) Existira algun epimorfismo f : R2 → R3?

(b) Sean v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 0) y v3 = (1, 1, 1, 1). Existiraalguna transformacion lineal f : R2 → R4 tal que {v1, v2, v3} ⊂Im(f)?

(c) Existira algun monomorfismo f : R3 → R2?

(d) Sean S, T ⊂ R4 los subespacios definidos por S = {(x1, x2, x3, x4)/x1+x2 + x3 = 0} y T = {(x1, x2, x3, x4)/2x1 + x4 = 0, x2 − x3 = 0}.Existira algun isomorfismo f : R4 → R4 tal que f(S) = T?

(e) Determinar si existe (y en caso afirmativo hallar) una transfor-macion lineal f : R3 → R4 que verifique Im(f) = S y Nu(f) = Ten los siguientes casos:

i. S = {(x1, x2, x3, x4)/x1 +x2−x3 + 2x4 = 0}, T = {(1, 2, 1)}.ii. S = {(x1, x2, x3, x4)/x1+x2 = 0, x3+x4 = 0}, T = {(1,−2, 1)}.

13. Sean V un K − espacio vectorial y T : V → V una transformacionlineal. Probar que son equivalentes

(a) ImT ∩NucT = {0}.(b) T (T (x)) = 0→ T (x) = 0.

14. (a) ρ ∈ EndK(V ) se dice idempotente si ρ ◦ ρ = ρ. Mostrar que siρ es idempotente, entonces ρ|Imρ = idImρ. ρ se denomina unaproyeccion de V sobre Imρ.

(b) ϕ ∈ EndK(V ) se dice nilpotente de orden 2 si ϕ◦ϕ = 0. La com-posicion de dos endomorfismos nilpotentes no es necesariamentenilpotente. Hallar ϕ y ψ ∈ EndR(R2) ambos nilpotentes de ordentales que ϕ ◦ ψ sea idempotente.

15. Mostrar que toda sucesion exacta corta se parte. (En la teorıa estahecho para espacios de dimension finita, hacerlo para espacios dedimesnsion arbitraria).

16. S ≤ V

(a) Mostrar que si dimK(V ) = n y dimK(S) = m ≤ n, entoncesdimK(V/S) = n−m

(b) Mostrar que la aplicacion al cociente η : V → V/S dada porη(v) = v/S es un K-epimorfismo.

17. Sea S ≤ V con V de dimension finita sobre K. Mostrar que hay unsubespacio T de V tal que V ∼= S

⊕T . (Ayuda considerar la sucesion

exacta corta 0→ S → V → V/S → 0)