Transformaciones Geometricas

• Dos puntos P y P' son simétricos respecto a la recta e, eje de simetría, cuando e es mediatriz del segmento PP'.

• La simetría respecto de un eje se llama también simetría axial, y los puntos correspondientes homólogos.

• P

e

• P'

Se(P) = P'

e

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•

1. Simetría axial. Definición

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 13. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Javier Fernández

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• C(4, 4)

A(2, 7) B(4, 7)

D(6, 1)E(4, 1)

F(3, 2,4)

G(2, 1)

H(2, 4)

I(3, 6)

• •

•

• • •

•

•

• C'(– 2, 4)

A'(– 4, 7) B'(– 2, 7)

D'(– 2, 1)E'(– 4, 1)

F'(– 3, 2,4)

G'(– 6, 1)

H'(– 4, 4)

I'(– 3, 6)

Dos puntos P(x, y) y P'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abcisas opuestas y sus ordenadas iguales.Las ecuaciones de simetrías respecto del eje OY son: {x=−x

y=y

X

Y

2. Simetría respecto del eje de ordenadas


Dos puntos P(x, y) y P'(x', y') simétricos respecto del eje de abcisas tienen sus abcisas iguales y sus ordenadas opuestas.Las ecuaciones de simetrías respecto del eje OX son: {x=x

y=−y

• •

• • •

•

•

• •

A(4, 7) B(6, 7)

C(6, 4)

D(8, 1) E(6, 1)

F(5, 2)

G(4, 1)

H(4, 4)

I(5, 5,2)

A'(4, – 7) B'(6, – 7)

C'(6, – 4)

D'(8, – 1) E'(6, – 1)

F'(5, – 2)

G'(4, – 1)

H'(4, – 4)

I'(5, – 5,2)

X

Y

•

• •

• • •

• • •

3. Simetría respecto del eje de abscisas


• Dos puntos P y P' son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto medio del segmento PP'

• La simetría respecto de un punto llama simetría central, y los puntos correspondientes homólogos.

• P

• P'

So(P) = P'

• O

• P'

• Q'

• R'

• O• Q

• P

• R

4. Simetría central. Definición


Dos puntos P(x, y) y P'(x', y') simétricos respecto del origen de coordendas tienen sus abcisas opuestas y ordenadas opuestas.Las ecuaciones de simetrías respecto del eje OX son: {x=−x

y=−y

• •

• • •

•

•

• •

A(4, 7) B(6, 7)

C(6, 4)

D(8, 1) E(6, 1)

F(5, 2)

G(4, 1)

H(4, 4)

I(5, 5,1) • •

• • •

•

•

• •

A' (– 4, – 7)

C'(– 6, – 4)

D'(– 8, – 1) E' (– 6, – 1)

F(– 5, – 2)

G'(– 4, – 1)

H'(– 4, – 4)

I'(– 5, – 5,1)

B' (– 6, – 7)

X

Y

5. Simetría respecto del origen


X

Y

+ 4

+ 2

•

•

AB

=4, 2

A

B

– 2

+ 3 •

• C

D

CD

=3, −2

X

Y

A(2, 2)

B(6, 4)

+ 4• + 2

• AB

=4, 2

Las coordenadas o componentes de un vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen

AB

AB

=x ', y ' − x , y =x '−x , y '−y

6. Vectores en el plano


X

Y

u=2, 3 v=3, −2 •

• • uv=2, 33, −2 =5, 1

Dados dos vectores se llama vector suma al que tiene de primera componente la suma de las primeras componentes y por segunda componente la suma de las segundas componentes:

uv=x , y x ', y ' = xy , x 'y '

7. Suma de vectores


u

=6, 4

• •

• • •

•

•

• •

A(4, 7) B(6, 7)

C(6, 4)

D(8, 1) E(6, 1)

F(5, 2)

G(4, 1)

H(4, 4)

I(5, 5,4)

X

Y

• •

• • •

•

•

• •

A'(10, 11) B'(12, 11)

C'(12, 8)

D'(14, 5) E'(12, 5)

F(11, 6)

G'(10, 5)

H'(10, 8)

I'(11, 9,4)

Una traslación de vector guía transforma un punto P(x, y) en otro

punto P'(x', y') tal que ,es decir

(x', y') = (x, y) + (a, b)

OP '= OPu

8. Traslación en el plano


u=a , b

u

v

v

X

Y

• •

• •

u

• •

• •

• •

• •

La aplicación sucesiva de dos traslaciones de vectores guía es otra

traslación determinada por el vector suma

uv

uv

9. Traslaciones sucesivas. Producto de traslaciones


• •

• • A

B

C

D

• • •

•

• •

• •

• • •

•

II

III

• Cuando el rombo ABCD gira + 90º con centro de giro en A, produce la figura I.

• Cuando gira + 180º con centro de giro en A, produce la figura II.• Cuando gira + 270º con centro de giro en A, produce la figura III.• Si el rombo ABCD gira – 90º con centro de giro en A, produce la figura III• En todos los casos el punto A (centro de giro) permanece fijo.

10. Idea de giro. El centro pertenece a la figura


•

• •

• •

•

• • A

B

C

D

• Cuando el rombo ABCD gira + 95º con centro de giro en 0, produce la figura I.

• En este caso todos los puntos de la figura cambian de situación: ningún punto permanece fijo.

• O

95º

11. Idea de giro. El centro no pertenece a la figura


•

• •

• •

•

• • P

• O

αP'

• Un giro de centro O y ángulo α transforma un punto P en otro P' del plano

tal que:

• El punto P' se llama homólogo de P.

OP=0P ' y POP '=α

g O, α P=P '

12. Los giros como transformaciones geométricas


A

B

A'

B'

• O

αα

Los triángulos OAB y OA'B' son iguales, por tener: ⇒ AB=A ' B'

Por tanto los giros tranforman segmentos en segmentos iguales.

13. Homólogos de segmento mediante un giro


OA=OA 'OB=OB 'AOB=A 'OB'

• El triángulo ABC cuando es girado produce el triángulo A'B'C'.• Los lados de ambos triángulos son iguales, luego ambos triángulos son

iguales y por ellos tienen sus ángulos iguales.• En consecuencia los giros transforman triángulos en triángulos iguales• Y los giros conservan los ángulos.

B'

C'

A'

• O

•

• •

• •

•

A

B

C

14. Homólogo de un triángulo mediante un giro


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