1) COMPORTAMIENTO DE UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO (Objetivo 6)

Waclaw Sierpinski (1882 – 1969) fue un matemático polaco. Son notables sus

aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría

de funciones. En el estudio de los fractales existe “La alfombra o Tapiz de

Sierpinski”, construya un modelo matemático utilizando este estudio que le permita

describir el comportamiento (cualitativamente) para modelar el fluido en un medio

poroso. Escriba un informe donde reporte su solución al problema planteado

siguiendo los pasos para elaborar un modelo.

Este modelo se construirá de una manera empírica, recreando una

situación didáctica en el aula de clases de educación media general, con el

propósito de evidenciar como una situación real se puede modelar

matemáticamente, de donde se obtienen ecuaciones que se aproximan al

comportamiento de tal situación. Por esto la construcción del modelo no se hará

de forma exhaustiva, pero si tomando en cuenta los pasos de la caracterización

del modelaje matemático propuesta por Edwards y Mason (1989) como se

muestran en la siguiente figura:

(Edwards y Mason, 1989, p. 44)

[3]

1. Identificar el problema real:

Se quiere describir el comportamiento de un fluido en un medio poroso,

utilizando el estudio de los fractales (alfombra de Sierpinski).

Un medio poroso es un sólido con espacio abierto dentro o alrededor de las

partículas que lo componen para permitir el paso de un fluido. Al entrar en

contacto un fluido con un medio poroso, el fluido penetra en el mismo (o el medio

absorbe el fluido) a través de los poros, ocupando el espacio libre existente.

Esta situación depende de las condiciones iniciales de las cuales se pueden

nombrar: la densidad del fluido, la cantidad total de fluido, la cantidad de poros que

tiene el medio y el tamaño de los poros. Como el modelo que se quiere construir

depende de las condiciones iniciales, entonces es determinístico.

Se quiere determinar una fórmula que permita obtener el tiempo que tarda

cierta cantidad de fluido en penetrar un medio poroso en función de las siguientes

condiciones iniciales o variables de entrada.

D: densidad del fluido.

F: cantidad de fluido.

C: cantidad de poros.

T: tamaño de los poros.

2. Formular un modelo matemático:

Se define la densidad “D” como la propiedad de un fluido que determina, la

cantidad de masa que contiene por unidad de volumen (gr/cm3), por lo tanto si la

densidad es menor, el fluido penetra en el medio con mayor facilidad, y a medida

que aumenta disminuye la penetración del fluido en el medio poroso. Esto indica

que “D” es directamente proporcional a “t”, siendo “t” el tiempo que tarda el fluido

en penetrar el medio poroso. Si “D” aumenta, “t” aumenta.

Se define “T” como el tamaño de cada poro, es decir el área (cm2) por el

que debe pasar el fluido, si “T” es pequeño pasa menos fluido y si “T” es grande

pasa más cantidad de fluido, por lo tanto “T” es inversamente proporcional a “t”. Si

“T” aumenta, “t” disminuye.

[4]

La cantidad de poros es inversamente proporcional al tiempo ya que, si “C”

aumenta entonces el fluido penetra en menos tiempo y viceversa.

Ahora se tiene que la cantidad de fluido que penetra por unidad de tiempo

en cada poro (cm3/seg), es Vol / t , donde “Vol” es el volumen (cm3) que penetra

en un poro. Luego el parámetro (Vol / t) depende de la densidad del fluido “D”, si

“D” aumenta entonces Vol / t disminuye y viceversa. Como la unidad de medida

del tamaño de los poros es cm2 entonces se tiene que el flujo por cada poro está

determinado por:

w = Vol

t . cm2. D . K

( K es una constante de proporcionalidad y homogeneidad de unidades)

Es decir, por cada cm2 de área por donde penetra el fluido, pasa la cantidad

Vol / D por cada segundo. Luego si el medio poroso es homogéneo, es decir,

todos los poros tienen las mismas características, se multiplica “C” por “T”

(cantidad de poros por tamaño de cada poro) y se obtiene el área total por donde

puede penetrar el fluido; finalmente se obtiene que la cantidad total de fluido que

penetra el medio poroso por unidad de tiempo sea:

U = w. C . T

Multiplicando “U” por el tiempo que tarda en pasar la cantidad de fluido “F”

resulta la ecuación:

F = U.t t = FU

= Fw .C .T

(1)

Es decir, el tiempo que tarda la cantidad de fluido “F” en pasar por un medio

poroso con “C” cantidad de poros de “T” tamaño

Ahora hay que determinar el valor de “C” y “T” en función del tamaño del

medio poroso.

3. Obtener una solución matemática:

Vamos a tomar como referencia la “Alfombra de Sierpinski”. En su

construcción se parte de un cuadrado negro, que se subdivide en nueve

cuadrados iguales, de los cuales el que queda en el medio de todos se pinta de

blanco y el resto se deja de color negro.

[5]

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

Después se va repitiendo este procedimiento en sucesivas iteraciones para

cada uno de los cuadrados negros que se hayan formado. Con esto se van

obteniendo las figuras siguientes:

 

             Para calcular su dimensión fractal se usa el mismo cálculo que para el

triángulo de Sierpinski. Las variaciones están en los parámetros:

número cuadrados negros = 8n

tamaño del lado de los cuadrados blancos = 3-n

dimensión fractal = - lim [ninf.] ((ln 8n) / (ln 3-n)) = 1’89278926…”

(http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/trabajos/Imagenyvideo/fractales/sierpinski.htm)

Ahora bien si relacionamos las variables “C” y “T” (cantidad de poros y

tamaño de los poros respectivamente) con la alfombra de Sierpinski se observa

que su relación es directa con “n” (numero de iteraciones), es decir que a medida

que “n” aumenta, el área por donde penetra el fluido también aumenta lo que

implica un aumento en la rapidez de penetración y por consiguiente una

disminución del tiempo en que todo el fluido atraviese el medio.

El área por donde pasará el fluido está determinada por los cuadrados

blancos, por lo tanto se relaciona “T” con el tamaño de los cuadrados blancos que

es 3-n L. 3-n L = 3-2n L2 , siendo “L” la longitud de los lados de la alfombra, y “C” con

el número de cuadrados blancos.

Como los cuadrados blancos varían de tamaño en cada iteración y la

cantidad de ellos no está determinada de manera directa, y nos interesa en

realidad el área total por donde pasará el fluido, se calcula el área total que cubren

los cuadrados negros y se resta al área total de la alfombra. El tamaño de los

cuadrados negros es igual a la de los cuadrados blancos y entonces el área que

cubren los cuadrados negros viene dada por: N = 8n . 3-2n L2

[6]

Si la alfombra tiene lados de longitud “L” entonces el área de ella es “L2” y

resulta que el área total que cubren los cuadrados blancos es:

B = L2 – ( 8n . 3-2n L2) = L2 ( 1 - 8n . 3-2n )

B = L2 (1 - ( 89 )n

)

Esto implica que C.T = B y sustituyendo en la ecuación (1) se tiene que:

t =

F

w L2(1−( 89 )n

)

4. Interpretar la solución matemática:

Ahora se analiza la ecuación obtenida, primero se observa que si “w” tiende

a cero, entonces “t” tiende a infinito lo que implica que si no pasa fluido por los

poros entonces “F” nunca disminuye por lo que el tiempo se hace infinito. Ahora si

el área de la alfombra “L2” aumenta, “t” disminuye lo que es lógico ya que al

aumentar el área por donde pasa el fluido este pasará más rápido (en menos

tiempo). En cuanto a “n” si es igual a cero se tiene que el denominador se hace

cero por lo que “t” tiende a infinito, es el caso en que no existen cuadrados blancos

por donde pase el fluido, nunca pasará fluido. Si “n” tiende a infinito, como 8/9 es

menor que 1, entonces la ecuación se transforma en

t = F

w L2

Lo que indica que toda el área de la alfombra “L2” permite el paso del fluido

y entonces: si “F” es mayor que “w L2” ,”t” es mayor que 1; si “F” es menor que “

w L2” ,”t” es menor que 1.

5. Comparar con la realidad:

Los resultados son compatibles con la realidad y tal como se esperaba,

tomando en cuenta que “w” es un parámetro medible, se pueden realizar

experimentos prácticos para determinarlo y de esta manera describir el

comportamiento del fluido en todo el medio poroso. Se puede determinar el tiempo

“t” que tarda una cantidad “F” de fluido en pasar por el medio de dimensiones “L2”,

[7]

pero también es posible calcular la cantidad “F” que pasa por el medio en cierta

cantidad de tiempo “t”.

Como conclusión se puede expresar que el comportamiento de un fluido en

un medio poroso con las características de la “Alfombra de Sierpinski” depende

de la cantidad de iteraciones (n), el área total de la alfombra (L2) y la cantidad de

flujo en cada poro por unidad de tiempo (w).

2) FRACTALES, LA CURVA DE KOCH (Objetivo 7, actividad 1)

Construya un tipo de fractal (Conjunto de Cantor, Triangulo de Sierpinski, Curva

de Von Koch, entre otros) y genere una situación didáctica para explicar el tema

en los estudiantes de cuarto año de Educación Media. Debe anexar la

planificación, incluyendo las estrategias de enseñanza, algunos ejemplos de los

problemas que les serían propuestos a los estudiantes y la manera en que se

realizará la evaluación.

El tipo de fractal a construir es la curva de Von Koch, la cual parte de un

segmento de recta (iteración cero), que se divide en tres partes iguales, luego se

suprime el segmento central, y se reemplaza por dos segmentos de igual longitud

pero con un ángulo de 60º entre ellos. El proceso de iteración descrito se

comprende mejor al apreciar las gráficas resultantes que se muestran a

continuación.

[8]

Iteración 0

Iteración 1

Iteración 2

Para presentar el tema a los estudiantes de 4to año, se hace una

introducción al tema de los fractales, su historia, sus principales precursores y

algunos fractales conocidos.

Por tanto la clase a realizar esta organizada de la manera siguiente:

1. Se inicia con un resumen de la historia de los fractales.

“A mediados del siglo XIX los matemáticos le fueron dando paso a una idea

matemática revolucionaria como la Geometría Fractal, la cual consiste en la

descripción de objetos geométricos que son autosemejantes o simétricos

en escala, es decir, sus partes guardan semejanzas con el todo,

prolongándose la similitud con las partes de las partes y así hasta el infinito.

Benoit B. Mandelbrot acuña el término Fractal en su libro The Fractal

Geometry of Nature (1977) al referirse a ciertos objetos de estructura

irregular” (Colección Bicentenaria, Matemática 4to año).

El término Fractal proviene del latín fractus que significa fragmentado o

quebrado.

2. Se nombran algunos precursores de la Geometría Fractal y sus aportes.

Georg Cantor en 1883 creó el primer fractal que se conoce y fue

llamado el Conjunto de Cantor.

Giuseppe Peano ideó la Curva de Peano, es una curva que, en su

límite, recubre todo el plano. Al cambiar la dimensión en su límite se

sitúa en el contexto de la geometría fractal.

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental)

quien construyó la curva fractal que lleva su nombre.

La Curva de Niels Helge von Koch.

Waclaw Sierpinski, matemático polaco que introdujo La Alfombra y El

Triángulo de Sierpinski.

Gastón Julia, matemático francés, publicó en el año 1918 sus

trabajos acerca de Los Conjuntos de Julia. Estos conjuntos son la

fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de

la actualidad.

[9]

Benoît Mandelbrot, que en 1979 comenzó a estudiar un conjunto de

puntos en el plano complejo Z. Dicho conjunto de puntos se conoce

también como conjunto de Mandelbrot o Fractal de Mandelbrot.

(La idea es tener cada uno de estos fractales en láminas y mostrarlas a los

estudiantes a medida que se nombran para que puedan visualizar la forma

de cada fractal)

3. Se introduce la curva de Von Koch. Se explica detalladamente cómo se

construye dicha curva.

1º Se traza un segmento de recta de longitud “L”.

2º Se divide el segmento anterior en tres partes iguales.

3º Se elimina el segmento que queda ubicado en el centro.

4º Con un compas se hace centro en el extremo interno de uno de los

segmentos que quedan y se traza una circunferencia.

5º Se traza la circunferencia ahora con centro en el extremo interno del otro

segmento.

6º Las dos circunferencias se intersecan en dos puntos, del punto superior

se trazan dos segmentos, cada uno hasta el extremo interno de los

segmentos iniciales.

[10]

Y este es el resultado de la primera iteración, luego a cada segmento

resultante se aplica el mismo procedimiento y así recursivamente.

Se sugiere a los estudiantes que consulten las siguientes páginas en

internet:

http://linuxmusica.com/curva-y-copo-de-nieve-de-von-koch-con-python-3/

http://fralbe.com/2010/09/29/fractales-clasicos-fractal-de-mandelbrot/

http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/2.html

4. Se propone a los estudiantes construir la curva de Koch pero iniciando con

un triangulo equilátero y aplicando el procedimiento a cada lado del

triangulo hasta la iteración número 3. Después de tener la figura geométrica

construida se les dice que esta se llama Copo de Nieve de Koch.

5. Otro ejercicio que se propone en clase es construir el Conjunto de Cantor

hasta la iteración 4, de manera que el estudiante se familiarice con el

concepto de iteración y obtenga la experiencia para realizarlas.

Hasta aquí la clase a los estudiantes. La planificación sería la siguiente:

Nº

ObjetivoObjetivo o Propósito Contenidos Estrategia fecha Evaluación

1

Identificar algunos

fractales y construir

la curva de Koch

Fractales

Curva de

Koch

Exposición Oral del

Profesor

Presentación de

Laminas

09 – 06 – 14 Sumativa

Nº 1

[11]

La evaluación a los estudiantes se realizará de forma práctica escrita y

consiste básicamente en la construcción de la curva de Koch hasta la iteración

numero 2. (ver anexos)

También se incluyen algunas cuestiones teóricas como:

Describir un Fractal.

Nombrar algunos Fractales conocidos.

¿Cuál es el Origen de la palabra Fractal?

Describir como se construye el Conjunto de Cantor.

¿Quién le dio el nombre de Fractal a estas estructuras geométricas?

3) LA GEOMETRÍA PRESENTE EN LA VIDA (Objetivo 7, actividad 2)

Seleccione un tema de geometría presente en la planificación de segundo año de

Educación Media General. Identifique una situación de la vida real problemática y

genere dos problemas con su solución donde este la aplicación de este tema de

geometría escogido por usted. Debe reportar: el tema, la situación problemática

con sus dos problemas y su solución.

El tema seleccionado es Área y Volumen de Cuerpos Geométricos. La

situación problemática consiste en lo siguiente:

“En una granja cultivan maíz en un área aproximada de 100 hectáreas, para

la semana siguiente necesitan aplicar fertilizante al suelo, pero el proveedor

regular, que era el que realizaba los cálculos y suministraba el fertilizante con su

transporte, notificó que no podía abastecer a la granja del fertilizante. Por esta

razón el encargado de la granja se ve obligado a realizar todos los cálculos para

determinar la cantidad de fertilizante que necesita y el medio de transporte más

adecuado para buscarlo”.

Los datos de los cuales dispone el encargado son los siguientes:

En primer lugar el fertilizante se utiliza en una proporción de 400 Kg/Ha

El fertilizante se presenta en sacos con 50 Kg de contenido.

[12]

Cada saco tiene un volumen aproximado de 0,12 m3

En la granja hay tres vehículos de carga:

o Una camioneta con capacidad máxima de 1200 kg y 2 m3

o Un camión 350 con capacidad máxima de 3500 Kg y 10 m3

o Un camión 750 con capacidad máxima de 9000 Kg y 24 m3

El primer cálculo es determinar la cantidad de sacos de fertilizantes que se

necesitan. Como la proporción utilizada es de 400 Kg/Ha y se quiere aplicar a 100

Ha, entonces se multiplica (400 Kg/Ha).(100 Ha) y es igual a 40.000 Kg que es la

cantidad de fertilizante que se necesita para las 100 hectáreas. Luego se divide

40.000 Kg entre 50 Kg y resulta que son 800 la cantidad de sacos que se deben

utilizar.

Ahora se presenta el problema del transporte, como se deben utilizar los

vehículos de carga para obtener mejor rendimiento. Como cada saco de

fertilizante pesa 50 Kg y tiene un volumen de 0,12 m3, entonces:

Para la camioneta se tiene que 1200 KG entre 50 Kg es igual a 24 sacos,

pero 24 sacos equivalen a un volumen de 24 . 0,12 m3 = 2,88 m3 lo que

supera el volumen máximo que soporta la camioneta, por lo tanto se divide

2 m3 entre 0,12 m3 y se obtiene que la cantidad máxima de sacos que

puede cargar la camioneta es de 16.

Para el camión 350 se tiene que 3500 Kg entre 50 Kg es igual a 70 sacos,

luego el volumen que ocupan estos 70 sacos esta dado por el producto 70.

(0,12 m3) = 8,4 m3 < 10 m3, por lo tanto este camión puede cargar 70 sacos.

Para el camión 750 se tiene que 9000 Kg entre 50 Kg es igual a 180 sacos,

luego el volumen que ocupan los 180 sacos esta dado por el producto 180.

(0,12 m3) = 21,6 m3 < 24 m3, por lo tanto este camión puede cargar los 180

sacos.

Ahora se calculan los viajes que debe dar cada vehículo. El camión grande

puede transportar 180 sacos, entonces se divide el total de sacos entre 180 y

resulta 4,4444. Es decir que el camión grande hace 4 viajes de 180 sacos lo que

equivale a 720 sacos.

[13]

El resto es 80 sacos que se pueden transportar 70 en el camión 350 y 10 en

la camioneta.

Otra situación problemática que se plantea es la siguiente:

“Se quiere construir un tanque de agua cilíndrico para el riego de una

pequeña parcela de 400 m2, se sabe que cada m2 requiere 20 litros de agua cada

dos días, se pide las medidas del tanque para almacenar la cantidad de agua

necesaria para regar la parcela por un tiempo mínimo de 6 días, sabiendo que la

altura del tanque es la cuarta parte del radio de la circunferencia de la base”

1. Para calcular la cantidad de agua que se quiere almacenar se sigue el

siguiente procedimiento:

(20 lt / m2).(400m2) = 8000 lt de agua para 2 días

8000 lt . 3 = 24000 lt de agua para los 6 días.

2. Para determinar las medidas del tanque, se tiene que el volumen de un

tanque cilíndrico viene dado por V = A . h donde “A” es el área de la base

y “h” es la altura del tanque. Si se llama “R” al radio de la base del tanque

entonces A = π . R2, luego V = π . R2 . h pero como h = R/4 entonces se

obtiene la ecuación V = π . R2 . R/4 ;Como el volumen total que se desea

almacenar es de 24000 lt se realiza el cálculo siguiente:

V = π . R3/4 R =3√ 4.Vπ = 3√ 4.(24000)3,1416 = 3√30557 = 31,26

Este resultado expresa que el radio del tanque debe ser de 32 mts y como

consecuencia la altura es igual a 32 / 4 = 8mt.

El tanque tendrá 64 mts de diámetro con un área en la base de:

A = π R2 = 3,1416 . (32 mts)2 = 3216.99 mts2

[14]