Trabajo Final : DieléctricosTrabajo Final : DieléctricosTrabajo Final : DieléctricosTrabajo Final : Dieléctricos

Laboratorio 3 – FCEyN - 2005

Cátedra: Jorge Aliaga

Grupo 1Rivera, Ramiro y Lavia, Edmundo

Resumen

En este trabajo se estudió el efecto de los dieléctricos sobre el valor de la capacitancia en uncapacitor de placas paralelas, y se intentó determinar la constante dieléctrica de diferentes

materiales.

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♦ IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

1.1.1.1. CapacitoresCapacitoresCapacitoresCapacitores

Un condensador, o capacitor, esesencialmente un dispositivo utilizado parael almacenamiento de carga y energía. En suforma más simple consta de dos conductoresaislados entre sí que poseen cargas iguales yopuestas. No entraremos en detalles acerca de lasmuchas consideraciones que puedenrealizarse sobre el funcionamiento de uncapacitor, sino sólo aquellas que atañen a laexperiencia realizada. El lector con interésen una visión general sobre capacitorespuede consultar las referenciasbibliográficas 1 y 2, y la 3 para una visiónmás orientada a la electrotecnia. Para nuestra experiencia empleamos un

capacitor de placas circulares paralelas. La caída de potencial que ocurre en uncapacitor conectado a un circuito se definecomo:

V = Q / C [1]

donde Q es la carga acumulada en elcapacitor en ese instante y C es la capacidad(o capacitancia) del mismo, lo que definecuánta carga acumulará un dado capacitor.Las unidades MKS para Q son el Coulomb ypara C el Faradio (F), así en [1] V quedaexpresada en Volts.

Puede demostrarse que la capacidad paraun capacitor de placas paralelas viene dadapor la expresión:

C = A.εο / d [2]

donde A es el área de cada una de lasplacas, d la distancia entre ellas y ε0 es elcoeficiente llamado permitividad eléctricadel vacío. Esta constante vale 8,85418.10-12

F/m. Debe tenerse en cuenta que esta fórmulaes aplicable en aquellas situaciones en lascuales la distancia d entre las placas esmucho menor que la longitud D de lasmismas (d<<D), y, asimismo, cuando lo quelas separa es vacío. Un capacitor puede cargarse mediante uncircuito como el presentado en la figura 2;en el mismo vemos una batería (con voltajeV), una resistencia R y un capacitor C. Al

cerrar el switch S del circuito las cargas quefluyen desde la batería se acumulan en lasplacas de acuerdo a la polaridad mostrada.De modo que la placa más cercana alterminal positivo se habrá cargadopositivamente y la otra negativamente (coniguales valores absolutos de carga). Este circuito tiene como ecuación demalla

V – i.R – Q/C = 0 [3]

Mientras que la carga en el capacitor entodo momento se expresa como:

Q = Q0 + q [4]

Lo cual significa que la carga en todoinstante se compone de la carga inicial Q0

que pudo tener el capacitor antes deconectar el switch más la circulante (q) que

Figura 2 – Circuito para la carga de uncapacitor.

Figura 1 – Esquema de una capacitor deplacas paralelas.

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se va acumulando. Ahora bien, la derivadatemporal de dicha carga circulante no esotra cosa que la corriente i, entonces [4] setransforma, derivando, en:

dQ/dt = dq/dt = i [5]

y con ayuda de esta última ecuación esposible reescribir [3] de modo que resulte enuna ecuación diferencial para Q en elcapacitor en función del tiempo. Es decir:

V/R – dQ/dt – Q/RC = 0 [6]

Donde hemos supuesto para simplificar queel capacitor estaba inicialmente descargado(Q0 = 0, y por ende Q = q) dado que anuestros fines no supone ninguna pérdida degeneralidad. No vamos a demorar al lectorresolviendo dicha ecuación (es sencilla, déseel gusto); simplemente diremos que lasolución es:

Q(t) = V.C (1-e-t/RC) [7]

De aquí podemos analizar en formasencilla el comportamiento del circuito.Según [7] la carga es cero al instante inicialpero empieza a crecer en forma exponencialal valor final Q =V.C para tiempos grandes;en ese momento ya no circula corriente porel circuito ya que el capacitor estátotalmente cargado. En realidad, lostiempos necesarios para alcanzar la cargatotal dependen, como puede verse mirandoconcienzudamente esta ecuación, del valorde R.C (la llamada constante RC del circuito–nótese que RC tiene unidades de tiempo- yque se simboliza con la letra τ). Para lamayor parte de los casos este valor esrealmente pequeño con lo cual 1/RC esgrande y el término –e-t/RC rápidamentetiende a cero.

En efecto, para los valores usuales deresistencias (miles de ohms) y decapacidades (microfaradios) este período decomportamiento transitorio es del orden delos milisegundos. La figura 3 muestra una gráfica para lacarga de un capacitor. Allí está indicado enel eje temporal el valor de τ, que es elcorrespondiente al instante en que elcapacitor se encuentra cargado al 63% de suvalor final.

Dividiendo [7] sobre C se obtiene laexpresión para la caída de potencial (Vc)sobre el capacitor en función del tiempo ; ycomo C es una constante del circuito se veque el comportamiento para esta caída essimilar al de la carga Q.

Vc(t) = V.( 1-e-t/RC) [8]

Disponiendo del capacitor cargado esposible conectarlo a una resistencia para sudescarga según la figura 4. Al cerrar elswitch (S) se establecerá una corriente dedescarga generada por la diferencia depotencial entre las placas del capacitor.Ahora tendremos que la carga en elcapacitor en un dado instante será:

Q = Q0 - q [9]

donde q es la carga circulante (dado queabandona el capacitor le antecede el signomenos), entonces trabajando en formasimilar al caso de la carga se tendrá :

dQ/dt = - dq/dt = - i [10]

Figura 3 – Gráfica de la carga del capacitor.

Figura 4 – Circuito para la descarga delcapacitor.

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y la ley de las mallas dará :

Q/C – i.R = 0 [11]

Que equivale a otra ecuación diferencialpara la carga Q en función del tiempo

Q/R.C + dQ/dt = 0 [12]

Cuya solución es :

Q(t) = Q0.e-t/RC [13]

Esto nos lleva a la siguiente expresión parala diferencia de potencial:

Vc(t) = (Q0 / C).e-t/RC [14]

Otra vez comportamiento exponencial peroahora en sentido opuesto : a medida quepasa el tiempo el capacitor pasa del valorinicial de carga (Q0) a un valor final cero. Uncomportamiento idéntico sigue la caída depotencial.

Lo mismo que antes, el tiempo de caídaes del orden de los milisegundos siempreque la magnitud de la constante RC seasimilar a la ya mencionada.

La figura 5 presenta el gráfico de ladescarga del capacitor en función deltiempo.

2.2.2.2. DieléctricosDieléctricosDieléctricosDieléctricos

Un dieléctrico no es otra cosa que unmaterial aislante. Una propiedad interesantede los aislantes es que al introducirlos entrelas placas de un capacitor se altera ladiferencia de potencial que alcanza alcargarse pero no se altera la carga. Lo quesucede es que un capacitor con un

dieléctrico aumenta su capacidad. Entoncesen [1] si el denominador C crece, V debebajar.

La figura 7 ilustra lo que sucede sicargamos un capacitor hasta llegar a una

diferencia de potencial V0 (que podemosmedir con un voltímetro) y luegointroducimos un dieléctrico entre sus placas.Puede verse que ahora la diferencia depotencial V1 es menor. Este hecho fuedescubierto por Michael Faraday (1791-1867), quien notó que si un aislante llenabacompletamente el espacio entre las placasdel capacitor la capacidad se incrementaba

en un factor κ dado por:

Figura 5 – Gráfica de la descarga delcapacitor.

Figura 7 – Introduciendo un dieléctrico entrelas placas de un capacitor disminuimos ladiferencia de potencial entre las mismas.

Figura 6 – Michael Faraday.

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V0 / V1 = κ [15]

el cual es un factor característico deldieléctrico y se denomina constantedieléctrica.

En este punto es en donde debemoscorregir la expresión [2] para adaptarla alcaso de que exista un dieléctrico entreplacas y no vacío como supusimosinicialmente. Mediante un cálculo rutinario4

puede verse que la fórmula de la capacidadpara un capacitor de placas paralelas con undieléctrico adopta la forma:

C = κ.A.εο / d [16]

En realidad la ecuación [2] es válidasolamente para el vacío (se define laconstante dieléctrica del vacío como κ = 1).Entonces para cualquier medio material locorrecto es utilizar [16]1. Asimismo podemos hacer un poco deálgebra en [15] para obtener la variación dela capacidad. Llamando C0 a la capacidadoriginal (en el vacío) y C1 a la capacidad conel dieléctrico se tiene:

V0 / V1 = (Q/C0) / (Q/C1) = κ [17]

De aquí puede verse que justamente lacapacidad aumenta en un factor dado por laconstante dieléctrica. Es decir que:

C1 = κ. C0 [18]

Ahora bien, ¿qué es lo que sucede en elinterior de un dieléctrico para originar estefenómeno?. Antes de contestar esta pregunta

tengamos presente que la deducción de lasexpresiones [2] y [16] utiliza como hipótesisque el campo eléctrico EEEE entre las placas esuniforme y perpendicular a las mismas. Estaaproximación es válida cuando la distanciaentre placas (d) es mucho menor que lalongitud de las placas (se verá en detallemás adelante)2. Entonces entre las placas el campoeléctrico tendrá el sentido que muestra lafigura 8. En dicha figura también puedeverse, a efectos ilustrativos, la forma quetiene el campo sobre los bordes delcapacitor. Sin ahondar en demasiado detalledigamos que la presencia de un campo EEEE enel dieléctrico produce un desplazamientoentre el centro de la carga negativa (nubeelectrónica) y la carga puntual positiva(núcleo) de los átomos del dieléctricogenerando lo que se conoce como momentosdipolares inducidos (ver figura 9 inserto a laderecha). La figura 9a esquematiza este efecto depolarización para todo el dieléctrico. Dicha

Figura 8 – Campo eléctrico entre las placasde un capacitor y deformación en los bordes.

Figura 9 – Polarización de un dieléctrico por efecto del campo E de las placas del capacitor.

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polarización trae aparejada la formación deuna densidad de carga superficial en lascaras del dieléctrico que enfrentan a lasplacas del capacitor. Como consecuencia segenera un campo PPPP dentro del dieléctricocuyo sentido es contrario al EEEE de las placas,ver figura 9b. Así el campo efectivo(resultante entre EEEE y PPPP) resulta ser menor, yes este campo efectivo el que determina ladiferencia de potencial y la capacidad. En medios dieléctricos isótropos EEEE y PPPP soncolineales con lo cual las constantes κ sonescalares. Existen sustancias que presentandiferencias en la polarización entre unadirección y otra; en estos casos el problemaes más complejo.

♦ ProcedimientosProcedimientosProcedimientosProcedimientos

El objetivo del experimento fue ladeterminación de la constante dieléctrica dealgunos materiales. Para elllo se empleó uncapacitor de placas paralelas circulares dediámetro D con un sistema que permitía elajuste fino de la separación de las mismas.

En principio se pretendió medir laconstante dieléctrica de diferentesmateriales cargando el capacitor (con eldieléctrico incorporado) mediante unafuente de tensión continua (usando uncircuito similar al de la figura 2) y luegoretirando cuidadosamente el dieléctricopara registrar la variación en la diferenciade potencial sin alterar la separación entreplacas.

Así, utilizando la expresión:

V0 / V1 = κ [15]

tendríamos fácilmente los valoresrequeridos.

Las mediciones de diferencia depotencial se realizarían mediante la

interfaz de software-hardware MPLI (MultiPurpose Lab Interfase). Dicha medición nopudo realizarse debido a que los tiempos dedescarga del capacitor resultaron demasiadochicos y era imposible realizar la conexión ala PC sin que se descargue instantáneamenteel mismo.

En segundo lugar se intentó registrar ladiferencia de potencial en el capacitordurante el tiempo de carga y en la descargaen un circuito RC con objeto de obtener elvalor de τ=RC y despejar desde aquí C y porende κ. Para ello se realizaría la adquisiciónde los datos mediante MPLI en un circuitocon fuente de tensión continua.

Sin embargo dicha fuente, debido a sudiseño electrónico3, introduce efectos dedistorsión durante los transitorios de carga ydescarga que se sumaban a lo que intentabaregistrarse, razón por la cual se decidióemplear para nuestro circuito RC, una ondacuadrada provista por un generador de

funciones.Este equipo produce, entre otras, una

señal cuadrada que alterna entre dosvoltajes fijos. Puede variarse la amplitud(voltaje) y la frecuencia de dicha señal en

Figura 10 – Señal cuadrada producida por ungenerador de funciones.

a b

Figura 11 – La señal cuadrada equivale a dos circuitos de corriente continua en los cuales se invierte lapolaridad de la batería.

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un cierto rango. La figura 10 muestra una deestas señales en el tiempo.Matemáticamente es una función escalónentre dos voltajes V1 y V2.

Una señal de este tipo es equivalente atener un circuito como muestra la figura 11aen el tiempo para el cual la señal vale V1 yun circuito como muestra la figura 11bcuando el voltaje es V2. Es decir que seinvierte la pila una vez en cada ciclo. Unciclo es una longitud de onda y consta deuna estadía en V1 y otra en V2.

No es dificil ver que hay una analogía conel caso de la corriente alterna donde lo quese tiene es una señal sinusoidal5.

La ventaja del uso de la onda cuadradaradica en el hecho de que el cambio entrevoltajes (V1 a V2 y viceversa) no se veafectado por caídas internas del generadorcomo sucede en la fuente de tensióncontinua.

Lo que debe tenerse en consideraciónpara el caso de una señal cuadrada es lorelacionado con su frecuencia f. Si esta esbaja comparada a 1/RC podemos ver que elcapacitor tiene tiempo (en cada voltaje) decargarse o descargarse completamente. Eneste caso la caída de potencial registrada enel capacitor, Vc, llega a los voltajes V1 y V2 yla curva temporal tiene la forma mostradaen la figura 12b (se ve en 12a la señal a lasalida del generador para referencia). Si lafrecuencia es alta comparada a 1/RC elcapacitor no tiene tiempo de alcanzar susvalores asintóticos y la curva temporal tienela forma de aletas de tiburón mostrada en lafigura 12c.

Cuando se da esta situación (f >>1/RC) elVc es bajo relativo al V de entrada provistopor el generador y se está en presencia de loque se conoce como “filtro pasabajos”.

Puede pensarse, cualitativamente, quedicho dispositivo deja pasar las señales debaja frecuencia, para las cuales resultará Vc

~ V y filtra (no deja pasar) las señales dealta frecuencia, con lo cual en este últimocaso Vc será tanto más pequeña como altasea la frecuencia del generador.

En el caso de que el dispositivo se hallefiltrando frecuencias es claro que no valenlas ecuaciones que dedujéramos en laintroducción, razón por la cual debemosutilizar una f < 1/RC en el circuito.

Entonces, se intentó examinar elcomportamiento de nuestro circuito RC con

un osciloscopio (empleamos un modeloTektronix TDS 210), colocando una de susentradas para registrar la evolucióntemporal del voltaje a la salida delgenerador y otra entrada en el capacitor,como muestra la figura 13.

Sin embargo, llegados a este puntoresultó claro que el montaje de la figura 13no solo era inadecuado sino que no secorrespondía a la situación “real” queestabamos intentando medir. Esto obligó apracticar modificaciones importantes sobreel montaje. Los inconvenientes quesurgieron, y las soluciones que se hallaron,fueron los siguientes: AAAA - Observando con el osciloscopio laseñal en el capacitor resultó evidente que laconstante RC de nuestro circuito, como

Figura 12 – La señal cuadrada del generador (a), la caída de potencial vista en el capacitor si f ~ 1/RC(b), y la caída de potencial si f >> 1/RC (c).

Figura 13 – Montaje para determinar laconstante RC.

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estaba armado inicialmente, era tanpequeña que no podían apreciarse las curvasde carga y descarga del capacitor. Esto nosforzó a aumentar el valor de la resistencia afin de obtener una constante RC quepermitiera apreciarlas. Y no solo verlas, sinomedirlas. Una vez que la resistencia delcircuito alcanzó un valor que hacía RCapreciable, se comprobó que la misma eraahora del orden de la resistencia interna delosciloscopio (megaohm), con lo cual, ya noera posible despreciar su efecto en elmodelo experimental. El valor final de R quese utilizó fue: 2,08 ± 0,01 MegaOhm

BBBB – Realizando un cálculo teórico de lacapacidad para nuestro capacitor de placascirculares (usando [16]) resultaba unacapacidad del orden de 10-10 Faradios.Teniendo en cuenta que al variar ladistancia entre placas para introducirdieléctricos esta podría disminuir un par deórdenes de magnitud comprendimos que loque estabamos viendo no era el efecto denuestro capacitor únicamente sino tambiénel efecto capacitivo de los cables coaxiles(del osciloscopio y el generador) y lacapacidad interna del osciloscopio mismo.

Para superar este inconveniente lo que sehizo es fabricar un cable con los conductorespositivo y negativo separados (de maneraque no tuviese capacidad apreciable) para

adaptar la salida BNC del generador. Estoeliminó una de las capacidades. Sin embargocomo se disponía de una sola ficha BNC paraeste tipo de adaptación no se tuvo másremedio que incluir el capacitorrepresentado por el otro cable coaxil de la

ficha BNC del osciloscopio. Para ello seinvestigó en internet6 el valor de lacapacidad de un cable coaxil. Para nuestrocaso resultó ser de 50 pF/m. La capacidadinterna del osciloscopio ( [20 ± 3] .10-12 F)también fue considerada, obteniéndola delas especificaciones del mismo en sucorrespondiente manual.

C C C C - Las escasas dimensiones del capacitor(diámetro D= 6,975 ± 0,005 cm) causaronque a distancias del orden del grosor delvidrio – uno de los dieléctricos empleados -la hipótesis d<<D dejase de ser válida.

DDDD - Por último, el ruido de línea no sólofue imposible de eliminar, sino que su granamplitud – del orden de 3 volts - hacíaterriblemente dificultosa cualquier mediciónutilizando MPLI, dado que introducía unaoscilación sobre todos los valores que eraimposible despreciar. A cualquier frecuenciade trabajo las caídas o subidas de voltaje enel capacitor estaban montadas sobre el ruidode línea. Para disminuír dicho ruido sereemplazaron las resistencias tipo dial porresistencias de carbón que fueron soldadasdirectamente en el circuito.

Asimismo se redujeron en el circuito,tanto como fue posible, la longitud de losconductores. Las pequeñas corrientes quecirculaban por nuestro circuito, dada la granresistencia, hacían que los conductores

actuasen como antenas. De esta forma fueposible minimizar el ruido de línea, pero noeliminarlo.

Debido a todas estas circunstancias elcircuito considerado para el análisis semodificó por completo, a fin de contemplar

Figura 14 – El circuito RC final.

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ahora la inclusión de todos los elementosque a priori habían sido despreciados; esdecir: resistencia interna del osciloscopio (1± 0,01 MegaOhm según especificaciones),capacitancia del osciloscopio y capacitanciadel cable coaxil que conectaba elosciloscopio con el capacitor. El nuevocircuito puede apreciarse en la Figura 14.

Finalmente, dado que la perturbaciónsobre la señal causada por el ruido de líneaera importante, se abandonó la intencióninicial de medir la caída y subidaexponencial de voltaje tomando los datoscon MPLI y ajustando la curva con unaexponencial para, en función de dichoajuste, calcular RC.

Para esto se optó por realizar la medicióndirectamente sobre el osciloscopio, con unimportante zoom de la región cercana alnacimiento de la exponencial de carga delcapacitor, la cual puede aproximarseadecuadamente de manera lineal con unpolinomio de Taylor de primer grado. Lapendiente de esta recta permite despejar lacapacidad C0 buscada. La figura 15 muestrala zona donde se realizó la medición.

De esta forma, se consiguió minimizar elefecto de distorsión causado por el ruido delínea, ya que a la frecuencia de este (50Hz)las alteraciones producidas sobre la regiónlineal de la señal que intentaba medirsepodían suponerse constantes, y la pendienteno se vería afectada por ello.

Resolviendo el nuevo circuito de la figura14 ahora tenemos para la diferencia depotencial en el capacitor:

V = (R1 / (R+R1) ) . Vo.R .

(1-e-t . (R+R1

) / R.R1 . (C

0+C

1+C

2) ) [19]

Donde V0 es el voltaje del generador(constante durante la carga), R1 es laresistencia interna del osciloscopio, C1 es lacapacitancia interna del osciloscopio y C2 lacapacitancia del cable coaxil que conecta alosciloscopio con el capacitor. Como puedeverse la constante RC ya no existe como tal;ahora dicha constante toma la forma :

R. R1.(C0+C1+C2) / (R+R1) [20]

y en función de ella fueron seleccionados losvalores para mantener visibles los tiemposde carga y descarga del capacitor.

Tal y como se ha dicho, para el análisisde datos se trabajó con la aproximaciónlineal de esta curva. La misma, toma lasiguiente forma:

Vc ≅ (V0 / [R . (C0 + C1 +C2)]).t [21]

Donde consideramos como cero el valor apartir del cual nace la subida de voltaje enel capacitor, y la constante que acompaña ala variable t es la pendiente de la recta.

Llamando m a dicha pendiente lacapacidad que queremos determinar es:

C0 = (V /m.R) - C1 - C2 [22]

Hechas estas consideraciones se procedióa medir la variación de voltaje en el

capacitor para distintos dieléctricos, y encada caso, para el aire, dado que cadadieléctrico tenía un espesor distinto, y alretirarlo de entre las placas, teníamos a lasmismas separadas por una distancia igual alancho del dieléctrico.

Figura 15 – Región de la curva de subida de potencial donde se realizó la aproximación lineal.

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Tomando del osciloscopio valorescercanos al “cero” se construyó en cadacaso, mediante fiteo lineal con el softwareLAB Fit 7.2.29, una recta que permitíaobtener de manera experimental lapendiente m de la aproximación lineal, y deallí, despejar el valor de C0. Para esto lafrecuencia de la señal cuadrada dada por elgenerador de ondas debía cumplir lacondición de ser mucho más chica que 1/RC,de manera tal que en media longitud de

onda el capacitor llegase a cargarse porcompleto, y en la siguiente, a descargarse.Se pudo constatar que estabámos en estesupuesto contemplando la forma de la señalen el osciloscopio por un lado, y haciendo uncálculo aproximado de 1/RC utilizando [20]por otro. La frecuencia utilizada fue 236 ± 1Hz y el voltaje V = 20,2 ± 0,2 Volts.

Con estos valores se procedió con cadadieléctrico a medir la subida de voltaje en elcapacitor con el mismo introducido entre susplacas, y luego sin él, manteniendo laseparación dada por su espesor natural.

♦ Resultados y AnálisisResultados y AnálisisResultados y AnálisisResultados y Análisis

Primeramente se recolectaron los datoscorrespondientes a los primeros valores de ladiferencia de potencial Vc en función deltiempo para la carga, leyéndolosdirectamente del osciloscopio ayudados porla función CURSOR del mismo. Dado que el osciloscopio divide su áreade trabajo en un cuadrícula; teníamos,considerando el zoom utilizado, alinstrumento dividido en pasos de 0,125 Voltspara el potencial y de 5.10-6 seg para eltiempo. Lo que se hizo fue determinar para unvoltaje dado que diferencia de tiempo habíacon respecto al “cero”. Para ello se

desplazaba el mando del cursor delosciloscopio hasta hacerlo coincidir con elpunto medio de la curva de potencial. Esnecesario aclarar que la curva, como eravista por el osciloscopio, tenía un ciertoancho debido a la oscilación de la imagen.Este ancho corresponde a un error no menora la mínima división de tiempo (5 µs). Luego, el fiteo lineal que realiza elsoftware también tiene su dispersión, quedebe ser tenida en cuenta.

Para la propagación de errores se realizóuna acotación. En efecto, utilizando elcriterio de los diferenciales7, se llegó a queel valor del error estaba dominado por loserrores en las capacidades del cable coaxil yla interna del osciloscopio. Estos términos,del orden de 10-11, resultaron superiores alos otros términos (del orden de 10-12 comomucho para el caso en que la pendiente “m”producía el incremento mayor en el error). Así pudimos armar la tabla 1 donde semuestran las mediciones realizadasutilizando el aire como dieléctrico. Losespesores corresponden, como se habíamencionado, a los que tenían losdieléctricos que estabamos empleando.Asimismo se compara contra la capacidadteórica obtenida de [16] y suponiendo queestamos en la situación donde vale dichaaproximación.

En la tabla 2 se muestra la constantedieléctrica κ obtenida despejando de lascapacidades calculadas cuando en elcapacitor se colocaron los dadosdieléctricos. Es notorio que resultan sermenores respecto a las que puedenencontrarse en la bibliografía del tema. Lasreferencias bibliográficas 1 y 3 contienensendas tablas para algunos dieléctricoshabituales.

Espesor Aire C exp C teo C exp / C teo[mm] [10-10 F] [10-10F]

0,3 ± 0,05 3,6 ± 0,1 4,5 ± 0,05 0,8 ± 0,050,85 ± 0,05 2,2 ± 0,1 1,6 ± 0,05 1,38 ± 0,052,65 ± 0,05 1,4 ± 0,1 0,51 ± 0,05 2,75 ± 0,053,15 ± 0,05 1,3 ± 0,1 0,43 ± 0,05 3,02 ± 0,05

Tabla 1 – Capacidades con aire como dieléctrico. Cexp es la capacidad medida experimentalmente y Cteo esla que resulta de aplicar la fórmula geométrica. Finalmente se presenta el cociente entre ambas.

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Era de esperar que al aumentar laseparación entre placas el cociente Cexp/Cteo

se desviase de la unidad dado quepaulatinamente estabamos haciendo quedejara de valer la aproximación quejustificaba [16]. Esta aproximación (que 1 >>d/D) resulta de aproximadamente 1 >>1/200 para el caso del cálculo con 0,3 mmde aire y 1 >> 1/22 en el caso del cálculocon 3,15 mm de aire. En el último caso esclaro que no puede despreciarse.

En efecto, se ve que la capacidad crececonforme hacemos mayor la distancia.Fisicamente lo que sucede es que el campoentre las placas deja de ser uniforme yperpendicular; ahora va a tener algúncomponente paralelo a las mismas y va a sermenor a su valor con las placas juntas. Comoel campo es proporcional a la diferencia depotencial entre las placas, de la expresión[2] vemos que si EEEE disminuye la capacidaddebe aumentar. Todo cuanto podemos decirrelativo a como varía el campo escualitativo.

Lo que no es fácil de explicar es el hecho

de que sea menor la capacidad experimentalpara el primer valor de espesor de aire (0,3mm) donde se supone que la aproximacióndebiera funcionar bien. Podemos especularque luego de retirar el dieléctrico de esteespesor (goma), se modificó en formainperceptible para nosotros la separaciónentre las placas o incluso su paralelismo, yesto pudo alterar el resultado.

También debemos destacar que, dadoque era necesario retirar el dieléctrico luegode realizar la medición con el mismo (parahacer a continuación la medición con aire)el primero no era “ajustado” demasiadofuertemente entre las placas. Esta falta depresión pudo llevar a que entre dieléctrico yplaca quedase una película de aire quepodría tornar el sistema en un arreglo de doscapacitores en serie: uno con dieléctrico yotro con aire.

En la tabla 2, donde se ven las constantesdieléctricas se puede apreciar, como yaanticipáramos, que son menores respecto alos valores tabulados. Pero teniendo encuenta que, según [18], κ es el cocienteentre las capacidades con y sin dieléctrico ysabiendo que las capacidades sin dieléctricoresultaron mayores que las esperadas y , asu vez, las capacidades con dieléctricopudieron llegar a resultar menores por elhecho de quedar aire atrapado entre placaspodríamos explicar de este modo lasdiferencias.

Sin embargo esta explicación es solo unaposibilidad. Dados los datos tomados y loselementos con los que contamos ahora,luego del experimento, no podemos asegurarque esta sea la justificación de losresultados obtenidos.

• ConclusionesConclusionesConclusionesConclusiones

La primera conclusión a la que arribamoses que resulta bastante difícil medir conbuena precisión la constante dieléctrica κcuando el capacitor utilizado tiene unacapacidad casi del orden de la de los cablescoaxil y el osciloscopio.

Si bien visualmente podía apreciarse elefecto del capacitor cuando era introducidoun dieléctrico entre sus placas, (se veíadecrecer la pendiente de la suba depotencial), otra cosa diferente resultamedirlo y otra aún, medirlo con precisión.

Es, al menos con el instrumentalempleado y con los métodos por nosotrosconocidos, inviable medir el valor de lacapacidad de un condensador de lascaracterísticas del que se disponía por elmétodo aquí expuesto. Para ponerloclaramente no hay más que observar losiguiente: según el montaje, C0 va a ser unafunción que depende de:

C0 = C0 (V, m, R, C1, C2) [23]

pero, además m es a su vez:

m = m (V, R, C1, C2) [24]

donde m se obtuvo de un ajuste lineal condatos que incluyen un error en el tiempo,según ya se vio.

Dieléctrico κκκκ medida κκκκ tabuladaPapel 2,5 ± 0,1 3,6Vidrio 1,4 ± 0,1 5Goma 1,3 ± 0,1 2 - 3

Plástico 1,3 ± 0,1 4Tabla 2 – Constantes dieléctricas medidas

comparadas con las tabuladas en bibliografía.

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Con todo esto en cuenta la propagaciónde errores para una expresión de C0 como[23] resulta monstruosa.

Se vuelve necesario, con esteinstrumental de medición, un capacitor convalores de capacidad del orden de los µF. Deesta manera sería posible despreciar lascapacidades parásitas que se introdujeronen el circuito y tener una expresión para elerror que fuese manejable.

Otro apartado, sobre el que no hicimosdemasiado hincapié es en el hecho de losdetalles físicos de los aparatos. Cuando setrabaja con espesores del orden de lasdécimas de milimetro (como era necesariopara que valiese la aproximación de lasplacas paralelas) detalles como elparalelismo de las placas, que el dieléctricose halle haciendo buen contacto con lasuperficie de ambas placas y la forma deretirarlo para hacer la medición dediferencia de potencial, son críticos. Alsacar el dieléctrico de entre las placas,estas tienden a juntarse si se hallaba eldieléctrico bien compreso entre ellas, peropor otro lado si estaba “flojo” teníamos deseguro una buena capa de aire alterando lamedición. Conseguir un compromiso entreestos dos extremos no asegura de ningunaforma llegar a resultados aceptables.

Para esta situación restaba simplementemedir y ver lo que arrojaría la medición.

En definitiva no se pudo extraer muchainformación concluyente sobre lasconstantes dieléctricas. Sin embargo se pudovislumbrar en los números obtenidos que, sibien diferían bastante de los teóricos,indicaban una tendencia que sí era la quecabía esperar. Pese a todo esto, creemos que esimportante ensayar la determinación de undado factor mediante métodos que no sonlos más precisos ni los óptimos, porque seaprende dónde está la fuente de laimprecisión y en que formas se la puededisminuir, lo cual puede ser útil en elcontexto de la medición futura de algunaotra cantidad.

• Referencias BibliográficasReferencias BibliográficasReferencias BibliográficasReferencias Bibliográficas

1. Gettys, William E., Keller, Frederick J. ySkove, Malcolm J.; Física Clásica yModerna [McGraw-Hill, 1991].

2. R. Resnick y D. Halliday, Fisica Parte Dos[Compañía Editorial Continental, 1980].

3. Christie, Clarence V., ElectrotecniaGeneral Tomo 1 [Ediar S.A. Editores,1948].

♦ NotasNotasNotasNotas

1. Claro, para el aire seco a 1 atmósfera depresión κ = 1,00059, con lo cual usar laecuación para el vacío en el aire noproduce alteración digna en lasaplicaciones comunes.

2. Dos masacotes de hierro de caprichosasformas separados una cierta distanciatambién son un “capacitor’, pero noexiste fórmula que permita expresar sucapacidad en función de factoresgeométricos.

3. Las fuentes incorporan sus propioscapacitores y otros elementos nolineales que enmascaran los efectos quese estaba intentando medir. Estosefectos hacen que en el encendido yapagado la fuente tenga su propia curvaque se solapa a la del capacitor delcircuito.

4. Rutinario si se ha seguido algún curso deelectromagnetismo, obviamente.

5. Aquel quien haya tenido contacto conlas series de Fourier sabe que una ondacuadrada se puede expresar como sumade ondas tipo seno-coseno.

6. Se pudo hallar información bastantecompleta sobre cables coaxiles en:http://www.diotronic.com/htm/cablerf.htm.

7. Dada una función de n variables el erroren una de ellas, digamos “x”, se obtienemultiplicando el módulo de la derivadaparcial de la función con respecto a x(evaluada en el punto en cuestión) porel error en x.