ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................... 1

CAPITULO I............................................................................................................................................ 2

1.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.........................................2

1.2. OBJETIVOS................................................................................................................................ 3

1.2.1. OBJETIVO GENERAL........................................................................................................31.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS...................................................................................................3

1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA..........................................................................................3

CAPITULO II........................................................................................................................................... 4

2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL.......................................................................................................4

2.1.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO.......................................................................................42.1.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN..................................................................................52.1.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD.........................................................................5

2.2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL...................................................................6

2.3. COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓN..................................................................................6

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADOS A LA OFERTA Y DEMANDA.....................7

2.4.1. PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA................................................8

2.5. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON...............................................................................9

FIGURA 1: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON........................................................................................10

CAPITULO II......................................................................................................................................... 13

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA.........13

PROBLEMA N° 1.................................................................................................................................. 13

PROBLEMA N° 2.................................................................................................................................. 15

PROBLEMA N° 3.................................................................................................................................. 17

PROBLEMA N° 4.................................................................................................................................. 18

PROBLEMA N° 5.................................................................................................................................. 20

PROBLEMA N° 6.................................................................................................................................. 22

CONCLUSIONES................................................................................................................................. 24

REFERENCIAS..................................................................................................................................... 24

INTRODUCCIÓN

El estudio de la matemática, no se basa en el sólo cálculo matemático, sino en

un abordaje profundo y detallado de su aplicación en la industria, hecho éste

que causó gran curiosidad por ahondar en este tema, y más aún dar a conocer a

todos, y en especial a aquellos que consideran a la matemática como netamente

abstracta y sin más aplicación que para efectuar operaciones, que la matemática

es la ciencia más importante, pues en ella se basan las demás ciencias como la

medicina, la biología, química, etc.

El objetivo del presente trabajo titulado Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

en la Industria Alimentaria es un trabajo de investigación que desarrolla

contenidos matemáticos de manera general y se enfoca en mostrar su aplicación

en la industria de manera detallada, mediante explicaciones teóricas y con

ejemplos prácticos.

Para la presentación del trabajo, se ha dividido en tres capítulos. El PRIMERO

titulado Generalidades, se presenta una descripción detallada de la finalidad,

planteamiento del problema justificación, y objetivos del desarrollo de esta

trabajo; EL SEGUNDO, titulado Marco Teórico, desarrolla todos los conceptos

utilizados en la aplicación de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria;

EL TERCERO titulado Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en la industria

alimentaria, presenta lo que deseamos abordar: el contenido matemático y su

aplicación a la industria

En fin elaborar este trabajo es la muestra de que se existe una aplicación práctica

de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria.

1

CAPITULO I

GENERALIDADES

1.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

La aplicación de la matemática aumenta su importancia al ser una ciencia

auxiliar fundamental de otras disciplinas. Por esto, toda persona

debe poseer aunque sea un mínimo de conocimiento de la matemática y su

contenido; aspecto éste muy difícil de encontrar actualmente, pues el

docente contrariamente de enseñar a valorar este conocimiento, mediante

una motivación al estudio de la matemática, se ha dedicado a crear en el

estudiante un temor innecesario hacia la materia, dado que se la presenta

como algo irreal, sin antecedentes y además sin aplicación y utilización en

la vida, excepto de las operaciones matemáticas básicas; por lo que el

individuo considera innecesario profundizar en el conocimiento matemático.

Por este poco interés en la matemática, el estudiante no está consciente de

que en cualquier aspecto de la vida social en el que piense desenvolverse

necesitará un buen dominio de esta ciencia para alcanzar sus metas y

propósitos.

Aplicaciones de la ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria se

persigue básicamente demostrar la aplicación de la matemática y el

cálculo matemático en los aspectos y contenidos de la industria, ya

que son de uso cotidiano, además de concientizar al estudiante de la

utilización de la matemática en la vida.

2

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer la utilización y aplicación de ecuaciones diferenciales en

problemas relacionados a la industria alimentaria.

1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Presentar al estudiante la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales

en la realidad.

Presentar de manera más ilustrativa y demostrativa la aplicabilidad de la

derivada en la industria alimentaria.

1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA

Los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial, frecuentemente se

preguntan ¿Para qué aprender tanto cálculo? , ¿Qué utilización práctica

tiene las ecuaciones diferenciales?, por ejemplo, preguntas a las que no

es fácil encontrar una respuesta que no sea más complicada que la misma

pregunta.

Con el presente trabajo se espera sirva de herramienta para mejorar la

calidad de la aprendizaje de la matemática y a su vez sirva para

demostrarle al estudiante la gran utilidad de la matemática, motivándole

a estudiarle, además de servirle como consulta en sus estudios.

En la búsqueda de esa aplicación de la matemática en la vida, se puede

encontrar fácilmente a la industria alimentaria como campo de aplicación de

la misma.

3

CAPITULO II

MARCO TEORICO

2.1. ECUACIÓN DIFERENCIALUna ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de

una función de una o varias variables. Dicha función se llama función

desconocida o función incógnita o variable dependiente.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y

linealidad.

2.1.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPOSi la función desconocida depende de una sola variable, la ecuación se

llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). En cambio si la función

desconocida depende de varias variables la ecuación se llama ecuación

diferencial parcial.

Así por Ejemplo:

dydx

=x− y2(1)

y=y(x) es la función desconocida y x es la variable independiente.

Cuando aparecen derivadas de orden superior tales como:

d2 yd x2

,d3 yd x3

,………,dn yd xn

Se utilizan con frecuencia las notaciones respectivas y2 , y3 ,……. , yn en la

ecuación diferencial d2udt 2

+5 t dudt

−8u=0 (2)

4

La ecuación desconocida es u=u(t) y la variable independiente es t.

En la ecuación diferencial parcial:

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 (3)

U=u (x,y) es la función desconocida y x,y son las variables independientes.

2.1.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDENEl orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la mayor

derivada que aparece en la ecuación, se utiliza para ello números ordinales.

La EDO (1), es de primer orden

La Edo (2), es de segundo orden, en tanto que la ecuación de derivadas

parciales (3), es de segundo orden.

Se puede afirmar en general, que una EDO es una relación entre la función

desconocida, la variable independiente y las derivadas de la función

desconocida respecto a la derivada independiente.

F ¿)=0 (4)

La ecuación diferencial (4) es ordinaria de n-esimo orden.

La EDO ordinaria de primer orden se puede escribir entonces como:

F (x , y , y ' )=0 (5)

2.1.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDADSe dice que una EDO es lineal, si tanto la función desconocida como sus

derivadas están derivadas a la potencia uno. Por lo tanto la EDO (4) es

lineal si F es lineal respecto y ' , y ' ' ,……… y (n) . La ecuación (2) es ordinaria,

de segundo orden y lineal.

La EDO lineal de n-ésimo orden, no homogénea con función desconocida

y=y(x) se puede escribir como:

5

y(n )+ p1 ( x ) y (n−1)+...+ pn−1 (x ) y '+ pn ( x ) y=q (x) (6)

En la cual Pi(x), q(x) son funciones de x continuas.

Si q(x)=0 la ecuación (6) toma la forma

y(n )+ p1 ( x ) y (n−1)+...+ pn−1 (x ) y '+ pn ( x ) y=0 (7)

Esta última ecuación se llama ecuación diferencial de n-ésimo orden,

homogénea con FD y=y(x).

2.2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIALUna solución cualquiera definida en un intervalo I, n veces derivable, que al

sustituirse en una EDO de n-esimo orden, la reduce a una identidad es una

solución de dicha ecuación en I. con símbolos:

y=∅ (x ) Es solución de la EDO F ¿ si y solo si

F (x ,∅ ( x ) ,∅ ' (x ) ,∅ ' ' (x ) ,… ..……∅ (n) (x ) )=0 Para todo x en I

2.3. COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓNComprobación de una solución: Para comprobar que una función dada es

la solución de una EDO, se procede a derivar la función las veces que sea

necesario y luego se sustituye en la EDO, y esta última debe convertirse en

una identidad.

Por ejemplo, la función de y=−6/(x¿¿2+1)¿ es solución de la ecuación

diferencial de primer orden y '=−2 xy /(x¿¿2+1)¿ en efecto derivando la

función dada se obtiene:

y '=12 x /¿¿ Sustituyendo en la ecuación de primer orden:

12 x /¿¿

Entonces

6

12 x /¿¿. Por tanto si es solución.

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADOS A LA OFERTA Y DEMANDA

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de

este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo)

en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t

así que p(t ) es el precio en el tiempo t.

El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad

de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t ),

o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en

cualquier tiempo t, esto es, p(t ) sino también de la dirección en la cual los

consumidores creen que tomaran lo precios, esto es, la tasa de cambio del

precio o derivada p ´ (t ). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t

pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a

incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t ) y p ´ (t ) puede

escribirse:

D=ƒ [ p(t )] , p ´ (t )Llamamos ƒ la función de demanda.

Similarmente, el número de unidades del bien que los productores tienen

disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se

denota por S(t ), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S

también depende de p(t ) y p ´ (t ). Por ejemplo, si los precios están altos en

tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir más, la oferta

disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En

símbolo esta dependencia de S en p(t ) y p ´ (t ) puede escribirse:

S=g¿

Llamamos g a la función oferta.

7

2.4.1. PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDAEl precio de un bien en cualquier tiempo t o sea p(t ), está determinado por

la condición de que la demanda en t es igual a la oferta en t, es decir:

F [ p(t ), p ’( t)]=g [ p (t) , p ’ (t) ]

Como se puede ver la ecuación anterior es una EDO de primer orden, con

función desconocida p=p (t).

Ahora bien, las formas más simples de f y g son funciones lineales en p(t ) y

p ´ (t ), esto es:

D=a1 p (t)+a2 p ’(t )+a3

S=b1 p (t)+b2 p ’(t )+b3

En donde a1 y a2 son constantes reales.

Aplicando el principio económico de oferta y demanda D=S se obtiene:

D=a1 p (t)+a2 p ’(t )+a3=b1 p( t)+b2 p ’ (t)+b3

Operando:

P ’( t)+[(a1– b1)(a2– b2)

] p (t)=(b3 – a3)(a2 –b2)

Con:

a1≠b1, a2≠b2 , a3≠b3 .

La EDO es lineal no homogénea, con FD p=p (t).

Si la ecuación está sujeta a la condición inicial p(0)=p0 se origina el PVI

definido como:

P ’( t)+[(a1– b1)(a2– b2)

] p (t)=(b3 – a3)(a2 –b2)

8

p(0)=p0

La solución particular del problema en concordancia con la ecuación y

después de aplicar la condición inicial p(0)=p0 es:

p(t )=B3−A3A 1−B1

+[Po−(B3−A3A1−B1

)¿e−( A1−B2 ) t

A 2−B2 ]Se presentan varias posibilidades

Caso 1: Si p0=(b3– a3)(a1 –b1) entonces de la aplicación inicial se obtiene que

p(t )=P0 Situación en la cual los precios son constantes todo el tiempo.

Caso 2: Aquí el precio p(t ) tiende a (b3 – a3)(a1– b1)

como el limite cuando t

crece, asumiendo que este límite es positivo. En este caso se tiene

estabilidad de precios y el límite (b3 – a3)(a1– b1) se llama precio de equilibrio.

Caso 3: (a1 – b1)(b2 – a2)

<0 en este caso el precio p(t ) crece indefinidamente, a

medida que t crece, asumiendo que P0> (b3 – a3)(a1– b1) . Se presenta aquí

inflación continuada o inestabilidad de precios.

2.5. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTONSi un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un

medio ambiente que se mantiene a una temperatura Ta ≠ T0, la experiencia

nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser

igual a la del medio circundante. Es decir, si T (t) es la temperatura del

cuerpo en el tiempo t, entonces T (t)→ Ta Cuando t crece.

9

Figura 1: Ley de Enfriamiento de Newton

Para modelar la temperatura de un objeto utilizamos la ley de Enfriamiento

de Newton; esta afirma que la rapidez de cambio de temperatura de un

cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre

el cuerpo y el medio circundante.

T ' (t )=k [T (t )−T a ]

Donde k es la constante de proporcionalidad.

Notemos dos situaciones:

1. Cuando T 0>T a y por lo mismo T (t)>T a , en el cuerpo ocurre un

enfriamiento y se tiene que T (t) decrece y que T (t )−T a>0 , es decir

ddt

T ( t )<0 yT ( t )−Ta>0por lo que ,

ddt

T ( t )=k [T (t )−T a ] k<0.

2. Cuando T 0<T a y por lo mismo T (t )<T a , en el cuerpo ocurre un

calentamiento y se tiene que T (t ) crece y que T (t )−T a<0 , es decir

ddt

T ( t )>0 yT ( t )−Ta<0 , por lo que ddt

T ( t )=k [T (t )−T a ] k<0.

3. Concretando: Sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación

diferencial ddt

T ( t )=k [T (t )−T a ] tiene sentido siempre y cuando k sea

negativa (k<0).10

Tenemos entonces que la temperatura T(t) del cuerpo en el instante

t ≥0 ,está determinada por el T ' ( t )=k [T ( t )−T a ],con la condición inicial

T(0)= T 0.

Resolvemos la ecuación diferencial, que es claramente de variables

separables:

dTT−Ta

=Kdt

∫ dTT−T a

=Kʃdt

ln ⃓T−Ta ⃓=Kt+C1

|T−T a|=ekt+C1=ekteC1=c ekt

|T−T a|=cekt

|T−T a|=cekt

T (t )=T a+c ekt

Nota:

T>T a → T−T a>0

|T−T a|=T−Ta

Obtenemos lo mismo si:

T<T a → T−T a<0

|T−T a|=cekt

−(T−Ta)=cekt

11

T−T a=−c ekt

T−T a=c ekt

La temperatura en el instante t ≥ 0, para tener bien determinada la temperatura

T (t ) , son necesarias dos condiciones adicionales que permitan calcular valores

únicos para las constantes C y k. Estas condiciones podrían ser las temperaturas

del cuerpo en dos instantes cualesquiera y una de ellas podría ser la temperatura

inicial T 0 .

12

CAPITULO II

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA

ALIMENTARIA

PROBLEMA N° 1

Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de

publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la

que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número

de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la

mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él

por el final de 2 años?

SOLUCIÓN:

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:

x : Es el número en millones de personas (clientes potenciales).

t : Tiempo que han oído hablar del producto.

1−x : Es el número de personas que no han oído de este.

dxdt

: La velocidad a la que la población conoce sobre el producto.

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

dxdy

=k (1−x) Ecuación Diferencial

13

Esta ecuación significa que la tasa de cambio de x, es proporcional a la diferencia

entre 1 y x.

Para resolver la ecuación diferencial:

1. Separamos las variables:

dx=k (1−x )dt→Formadiferencial

dx(1−x )

=kdt

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

∫ dx(1−x)

=∫kdt

−ln (1− x )=kt+C

ln (1−x )=−kt+C→Multiplicando por−1

e ln (1− x)¿e−kt+C→Aplicando exponenciales

1−x=e−kt .C

x=1−e−kt .C

Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales

del problema a la solución general, es decir:

x = 0 cuando t = 0

0=1−e−k .0 .C

C=1

Entonces

14

x=1−e−kt

x = 0.5 cuando t = 1

0.5=1−e−k .1

0.5=1−e−k

0.5=e−k

ln 0.5=ln e−k

K=0.693

x=1−e−0.693t

En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha

transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el

total de personas que lo conocen hasta el momento.

x=1−e−0.693(2)

X=0.75ó750000 Personas

Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal)

son 750000.

PROBLEMA N° 2

La demanda y oferta de un producto alimenticio están en miles de unidades por

D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el

precio del bien es 10 unidades, encuentre:

a. El precio en cualquier tiempo t > 0

b. Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

SOLUCIÓN:

15

Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:

−2 p (t )+3 p' ( t )+48=p ( t )+4 p' ( t )+30

p' (t )+3 p (t )=18

Solucionando:

p (t )=e−∫3dt(∫ e∫

3dt18dt+c )

p (t )=e−3 t(6 e3 t+c)

Aplicando la condición inicial:

p0=10=(6+c )

c=4

Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier

tiempo t:

p (t )=6+4e−3 t

Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si (a1−b1 )(a2−b2 )

>0

entonces había una estabilidad en los precios, y como (a1−b1 )(a2−b2 )

=3 entonces los

precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el

precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6.

En la gráfica se puede apreciar mejor este punto:

16

PROBLEMA N° 3

Suponga que la oferta y la demanda de productos para consumo humano están

dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente,

la constante de proporcionalidad es K = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y

determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0

SOLUCIÓN:

La ecuación diferencial se expresara de la forma:

dpdt

=−4(60+2 p−120+3 p)

dpdt

+20 p=240

Solucionando:

p (t )=e−∫20dt(∫ e∫

20dt240dt+c)

p (t )=e−20 t(12e20t+c)

Aplicando la condición inicial:

p0=8=(12+c )

c=−4

Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier

tiempo t:

p (t )=12−4e−20 t

La grafica de la función es la siguiente:

17

Observación: Nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el

precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las

ecuaciones de la oferta y la demanda.

PROBLEMA N° 4

Un productor de conservas de atún para proteger sus utilidades, decide que la

taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de

la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda,

están determinadas en función del precio por: S=16 p ( t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t ) y

D=−8 p (t )−2 p' (t )+240 , determine el precio en cualquier instante, si cuando el

tiempo es 0 el precio es 12 unidades.

SOLUCIÓN:

Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios:

dpdt

=−αdqdt

dpdt

=−α (S−D)

18

Donde α es igual a 3:

dpdt

=−14

(16 p (t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t )+8 p ( t )+2 p' ( t )−240)

dpdt

=−1/ 4(24 p (t )+12 p ' ( t )+24 (−8−e−2 t ))

dpdt

=−6 p ( t )−3 p' (t )+6 (8+e−2t )¿

4dpdt

+6 p ( t )=6 (8+e−2 t )¿

dpdt

+ 64p (t )=6

4(8+e−2 t )¿

Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:

p (t )=e−∫ 64 dt

(∫ e∫ 64 dt(12+ 6

4e−2t)dt+c)

p (t )=e−64

t(∫e

64t(12+ 6

4e−2 t)d t+c)

p (t )=e−64

t(∫e

64t12dt+∫ e

64t 64e−2 tdt+c)

p (t )=e−64

t(e

64t8+∫ e

−24

t 64dt+c )

p (t )=e−64

t(e

64t8−e

−24

t3+c )

Aplicando la condición inicial:

12=e−64

(0)(e

64

(0)8−e

−24

(0 )3+c)

12=8−3+c

7=c

El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:

p (t )=e−64

t(e

64t8−e

−24

t3+7)

19

PROBLEMA N° 5

En la producción de embutidos es importante controlar los tiempos de

descongelamiento, ni muy rápido ni muy lento, para su posterior utilización en el

proceso:

1. Determine qué tipo de ecuación modela esta situación.

2. Si la temperatura ambiente es de 60ºF (15.5°C), determine la solución

general de la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o

calentamiento de un objeto por factor integrante.

3. Cuando se saca mezclas cárnicas, se mide su temperatura en 350ºF

(176°C). Tres minutos después su temperatura es de 180ºF (82.2°C). Si la

temperatura ambiente es de 70ºF (21°C), determine la solución general de

la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o calentamiento por

el método de separación de variables.

4. Cuando se saca una muestra de carne de un horno, se mide su

temperatura en 305ºF (176°C). Cinco minutos después su temperatura es

de 200ºF (93.3.°C). Si la temperatura ambiente es de 70ºF (21°C),

determine la solución general de la ecuación diferencial que representa el

enfriamiento o calentamiento por el método de separación de variables.

¿Cuánto tarda la muestra en alcanzar una temperatura ambiente de 90ºF

(32.2°C)?

SOLUCIÓN:

a) El tipo de ecuación diferencial que modela esta situación es una ecuación

diferencial ordinaria de primer orden.

b) La ecuación que representa esta situación es:

dT t=k (T−60)

Aplicando el factor integrante tenemos que de la ecuación dTt−kT=−60k el

factor integrante es

20

u=e−kdt=e−kt

Ahora multiplicamos la ecuación por el factor integrante:

e−ktdTdt−ke−ktT=−60e−ktk

Escribiendo esta ecuación como la derivada de un producto tenemos:

ddte−ktT=−60e−ktk

Integrando esta última ecuación obtenemos:

e−ktT=60e−kt+c

Despejando T(t) se obtiene:

T (t)=60+Cekt

c) La ecuación que representa esta situación es:

dTt=kT−60T 0=350

Aplicando el método de separación de variables tenemos

dTT−60=kdt

Integrando obtenemos que:

lnT−60=kt+c

de donde

T (t)=60+Cekt

Si T (0)=350 entonces

350=60+c

por lo tanto tenemos

T (t)=70+290ekt

si en T=5 se tiene

180=60+290e5k

entonces al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene

que

21

k=−0.17647

Por consiguiente

T (t)=60+290e-0.1764 t

Para determinar el tiempo en que la muestra de carne alcanza una

temperatura ambiente de 90ºF, se resuelve

90=60+290e-0.1764 t

para t y se obtiene

t=12.8559minutos

PROBLEMA N° 6

Una muestra de insumos molidos: mezcla de carne de cerdo, vacuno, grasa, etc.;

de 4 lb (1.81 Kg), inicialmente a 50°F (10°C), se pone en un horno a 375°F

(190°C) a las 5.00pm. Después de 75 minutos se encontró que la temperatura de

la muestra era de 125°F (51°C) ¿A qué hora estará a 150°F (65.5°C) temperatura

a la cual está lista para su procesamiento?

SOLUCIÓN:

La ley empírica de Newton del enfriamiento o calentamiento de un objeto está

dada por:

dTt=k (T−Tm)

donde k es una constante de proporcionalidad, T(t)es la temperatura del objeto

para t >0 y Tm es la temperatura ambiente; es decir, la temperatura del medio en

torno al objeto.

dTt=k (375−T )1375−T dT=k dt−ln375−T=kt+C;

375−T=Be−kt

22

Ahora T (0)= 50 implica que B = 325, así T (t)=375−325e−kt .También sabemos

que T=125 cuando t=75. La sustitución de estos valores en la ecuación anterior

produce

k=−175 ln 250375=0.0035

De aquí finalmente resolvemos la ecuación

150=375−215e-0.0035 t

Para t=−ln (225375)0.0035=105min, es el tiempo total de acondicionamiento de la

muestra. Puesto que la muestra fue puesta en el horno a las 5.00 pm, debe

sacarse alrededor de las 6:45 pm.

CONCLUSIONES

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El uso de las ecuaciones diferenciales‚ facilita enormemente la

interpretación económica de los problemas relacionados con la oferta y

demanda, sobre todo la representación gráfica de las soluciones de las

mismas. De hecho, proporciona un magnífico cuadro visual para

determinar si en la situación planteada existe o no estabilidad de precio y

el precio de equilibrio, si estos existen. Se insiste en el hecho de que

cualquier resultado obtenido teóricamente, debe finalmente ser probado a

la luz de la realidad.

REFERENCIAS

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DERRICK / GROSSMAN (1984). Ecuaciones diferenciales con

aplicaciones. México: Fondo Educativo Interamericano.

ZILL, Dennis (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado. México: Thomson.

*Ley del enfriamiento de Newton

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica//estadistica/otros/enfriamiento/

enfriamiento.htm

*Enfriamiento de un cuerpo. Estudio de la ley de Enfriamiento de Newton.

http://www.cienciaredcreativa.org/informes/enfriam_carrasco.pdf

25